2020年天津市实验中学高考数学模拟试卷
2020届天津市实验中学滨海分校高三模拟考试(3月)数学试题(word无答案)
2020届天津市实验中学滨海分校高三模拟考试（3月）数学试题一、单选题(★) 1 . 已知，则（）A．B．C．D．(★★) 2 . 设，是两个不同的平面，是直线且．“ ”是“ ”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 3 . 已知奇函数在上是增函数，若，，，则的大小关系为( )A．B．C．D．(★) 4 . 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度(★) 5 . 已知函数，对任意的，，总有成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．(★) 6 . 函数= 的部分图像如图所示，则的单调递减区间为（）A ．B ．C ．D ．(★★) 7 . △ ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ．已知 ，a=2， c= ，则 C= A ． B ．C ．D ．(★★) 8 . 设椭圆C ：的左、右焦点分别为 、 ，P 是C 上的点，⊥ ， ∠=，则C 的离心率为（）A ．B ．C ．D ．(★★★★) 9 . 已知函数， ，若存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题(★) 10 . 复数 （ 为虚数单位）的共轭复数是 ________ ． (★★) 11 . 的展开式中x 7的系数为__________.（用数字作答）(★★) 12 . 已知，且，则的最小值为 ______________ .(★) 13 . 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．(★★) 14 . 如图，在中，，是边上一点，，则．(★★) 15 . 已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是________．三、解答题(★★) 16 . 某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率：（2）记为1名顾客5次摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布列和数学期望(★★) 17 . 已知数列是递增的等比数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和．(★★) 18 . 如图，为圆的直径，点，在圆上，，矩形和圆所在的平面互相垂直，已知，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的大小；（Ⅲ）当的长为何值时，二面角的大小为．(★★★★) 19 . 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为,直线被椭圆截得的线段长为.（1）求椭圆的方程；（2）过原点的直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴轴分别交于两点.①设直线斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；②求面积的最大值.(★★★★) 20 . 已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：．。
2020年天津市实验中学高考数学模拟试卷
2020年天津市实验中学高考数学模拟试卷（三）一、选择题1．（3分）已知i 是虚数单位，2017231iz i i=-+，且z 的共轭复数为z ，则(z z =g ) A ．3B ．5C ．5D ．32．（3分）,a b r r 是单位向量，“2()2a b +<r r ”是“,a b rr 的夹角为钝角”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．（3分）已知3412a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是( ) A ．4a b +>B ．4ab >C ．22(1)(1)2a b -+->D ．223a b +<4．（3分）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，且()()0f a x f a x ++-=，则||a 的最小值为( )A ．12π B ．6π C ．3π D ．512π 5．（3分）已知函数3|2|1,0()31,0x x f x x x x --⎧=⎨-++<⎩…，函数(1),1()2,1ln x m x g x x x -++>-⎧=⎨+-⎩„，若方程()()f x g x =恰好有4个实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．3(2,)2lnB ．(2,4)lnC ．(3,2)lnD ．(31,1)ln -二、填空题526．（3分）已知α满足2sin()4πα+=，则212tan tan αα+= ．7．（3分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，O 为坐标原点，点M 为双曲线右支上一点，若12||2||F F OM =，21tan 2MF F ∠…，则双曲线C 的离心率的取值范围为 ．8．（3分）如图，菱形ABCD 的边长为3，对角线AC 与BD 相交于O 点，||23AC =u u u r，E 为BC 边（包含端点）上一点，则||EA u u u r 的取值范围是 ，EA ED u u u r u u u rg 的最小值为 ．三、解答题9．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，112PA AD AB ===，点E 、M 分别在线段AB 、PC 上，且AE PMAB PCλ==，其中01λ<<，连接CE ，延长CE 与DA 的延长线交于点F ，连接PE ，PF ，ME ．（Ⅰ）求证：//ME 平面PFD ； （Ⅱ）若12λ=时，求二面角A PE F --的正弦值； （Ⅲ）若直线PE 与平面PBC 所成角的正弦值为5时，求λ值．10．已知数列{}n a 是公差为1的等差数列，数列{}n b 是等比数列，且347a a a +=，245b b b =g ，4234a b b =-，数列{}n c 满足：212,32,31,3m n m mb n mc b n m a n m-=-⎧⎪==-⎨⎪=⎩，其中*m N ∈． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记*3231313331()n n n n n n n t c c c c c c n N ---+=++∈，求数列{}n t 的前n 项和．2020年天津市实验中学高考数学模拟试卷（三）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）已知i 是虚数单位，2017231iz i i=-+，且z 的共轭复数为z ，则(z z =g )A BC ．5D ．3【解答】解：201722(1)3313121(1)(1)i i i z i i i i i i i i -=-=-=+-=-++-， 则12z i =+，故2||5z z z ==g ． 故选：C ．2．（3分）,a b r r 是单位向量，“2()2a b +<r r ”是“,a b rr 的夹角为钝角”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：Q ,a b rr 是单位向量，∴①由2()2a b +<r r 得，222||||cos ,22cos ,2a a b a b b a b +<>+=+<><r r r rr r r r ， ∴cos ,0a b <><rr ， ∴,a b rr 的夹角为钝角或平角，∴ “2()2a b +<r r ”不是“,a b rr 的夹角为钝角”的充分条件； ②由,a b r r 的夹角为钝角得，cos ,0a b <><rr ，∴2()22cos ,2a b a b +=+<><r rr r ，∴ “2()2a b +<r r ”是“,a b rr 的夹角为钝角”的必要条件， ∴ “2()2a b +<r r ”是“,a b rr 的夹角为钝角”的必要而不充分条件．故选：C ．3．（3分）已知3412a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是( ) A ．4a b +>B ．4ab >C ．22(1)(1)2a b -+->D ．223a b +<【解答】解：3412a b ==Q ；33log 121log 4a ∴==+，44log 121log 3b ==+；342log 4log 34a b ∴+=++>，342log 4log 34ab =++>，22223434(1)(1)(4)(3)2log 4log 32a b log log -+-=+>=g ；2a >Q ；224a b ∴+>；D ∴错误．故选：D ．4．（3分）已知函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，且()()0f a x f a x ++-=，则||a 的最小值为( )A ．12π B ．6π C ．3π D ．512π 【解答】解由图象易知，2A =，411()3126T πππ=-=，2ω∴=，又2262k ππϕπ⨯+=+，∴2()6k k Z πϕπ=+∈，Q ||2πϕ<，∴6πϕ=，∴()2sin(2)6f x x π=+，()()0f a x f a x ++-=Q ， ()f x ∴关于点(,0)a 对称，即有2,6a k k Z ππ+=∈，∴,212k a k Z ππ=-∈， ||a ∴的最小值为12π，。
2020年天津市实验中学高考数学第五次模拟测试试卷 解析版
2020年高考数学第五次模拟试卷一、选择题1．不等式成立的充分不必要条件是（）A．x＞1B．x＜﹣1或0＜x＜1C．x＞﹣1D．﹣1＜x＜0或x＞12．现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A﹣BCD，如图所示，已知，，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为（）A．B．C．D．3．数列{a n}满足a1＝1，对∀n∈N*，都有a n+1＝a1+a n+n，则++……+＝（）A．B．C．D．4．已知抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（）A．B．C．D．5．如图，圆O为直角三角形ABC内切圆，已知AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，过圆心O 的直线交圆O于两点P，Q，则•的取值范围是（）A．[1，1]B．[﹣7，7]C．[﹣1，7]D．[﹣7，1]二、填空题6．设a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，已知＝，则的取值范围为．7．若a＞0，b＞0，且+＝1，则a+2b的最小值为．8．设f（x）是定义在R上的偶函数，∀x∈R，都有f（2﹣x）＝f（2+x），且当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣2，若函数g（x）＝f（x）﹣log a（x+1）（a＞0，a≠1）在区间（﹣1，9]内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是．三、解答题9．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|＝c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x 轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程．10．已知函数f（x）＝ax sin x﹣（a∈R），且在上的最大值为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明．参考答案一、选择题1．不等式成立的充分不必要条件是（）A．x＞1B．x＜﹣1或0＜x＜1C．x＞﹣1D．﹣1＜x＜0或x＞1解：不等式，解得x＞1或x＜0x＞1⇒x＞1或x＜0，符合题意，故正确；x＜﹣1或0＜x＜1⇒x＞1或x＜0是假命题，故不正确；x＞﹣1⇒x＞1或x＜0是假命题，故不正确；﹣1＜x＜0或x＞1⇒x＞1或x＜0是假命题，故不正确；故选：A．2．现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A﹣BCD，如图所示，已知，，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为（）A．B．C．D．【分析】根据已知得三棱锥A﹣BCD的外接球的半径r＝1，且AB为外接球直径，分别求出AB，AD，BD，AC，BC的值．且当点C到平面ABD距离最大时，三棱锥A﹣BCD 的体积最大，可知此时平面ABC⊥平面ABD，且点C到平面ABD的距离d＝1，再由等体积法求三棱锥的体积的最大值．解：根据已知得三棱锥A﹣BCD的外接球的半径r＝1，∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴AB为外接球直径，则AB＝2，且AD＝，BD＝1，AC ＝BC＝．当点C到平面ABD距离最大时，三棱锥A﹣BCD的体积最大，此时平面ABC⊥平面ABD，且点C到平面ABD的距离d＝1，∴．故选：B．3．数列{a n}满足a1＝1，对∀n∈N*，都有a n+1＝a1+a n+n，则++……+＝（）A．B．C．D．【分析】本题将a1＝1代入递推公式后可计算得到a n+1﹣a n＝n+1．然后代入n的具体值，运用累加法可计算出数列{a n}的通项公式，然后计算出的表达式，再运用裂项相消法计算出结果，得到正确选项．解：由题意，可知a n+1＝a n+n+1，即a n+1﹣a n＝n+1．∴a2﹣a1＝2，a3﹣a2＝3，•••a n﹣a n﹣1＝n．各项相加，可得a n﹣a1＝2+3+…+n，∴a n＝a1+2+3+…+n＝1+2+3+…+n＝，n∈N*，＝＝2（﹣），则++…+＝2（1﹣）+2（﹣）+…+2（﹣）＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝2（1﹣）＝，故选：D．4．已知抛物线y2＝2px（p＞0）与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AF⊥x轴，若l为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l的倾斜角所在的区间可能是（）A．B．C．D．【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据AF⊥x轴可判断出|AF|的值和A的坐标，代入双曲线方程与p＝2c，b2＝c2﹣a2联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e，即可得出结论．解：∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p＝2c∵A是它们的一个公共点，且AF垂直x轴，设A点的纵坐标大于0，∴|AF|＝p，∴A（，p），∵点A在双曲线上，∴＝1，∵p＝2c，b2＝c2﹣a2，∴＝1，化简得：c4﹣6c2a2+a4＝0，∴e4﹣6e2+1＝0，∵e2＞1，∴e2＝3+2，∴1+（）2＝3+2∴（）2＝2+2＞3∴l的倾斜角所在的区间可能是（，），故选：D．5．如图，圆O为直角三角形ABC内切圆，已知AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，过圆心O 的直线交圆O于两点P，Q，则•的取值范围是（）A．[1，1]B．[﹣7，7]C．[﹣1，7]D．[﹣7，1]【分析】以O为坐标原点，与直线BC平行的直线为x轴，与直线AC平行的直线为y 轴，建立直角坐标系，设△ABC的内切圆的半径为r，运用面积相等可得r＝1，设出圆的方程，求得交点P，Q，讨论直线的斜率k不存在和大于0，小于0的情况，运用向量的坐标运算，结合数量积的坐标表示和不等式的性质，计算即可得到范围．解：以O为坐标原点，与直线BC平行的直线为x轴，与直线AC平行的直线为y轴，建立直角坐标系，设△ABC的内切圆的半径为r，运用面积相等可得，×3×4＝r（3+4+5），解得r＝1，则B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），即有圆O：x2+y2＝1，当直线PQ的斜率不存在时，即有P（0，1），Q（0，﹣1），＝（3，3），＝（﹣1，0），即有•＝﹣3．当直线PQ的斜率存在时，设直线l：y＝kx，（k＜0），代入圆的方程可得P（﹣，﹣），Q（，），即有＝（3﹣，1﹣），＝（﹣1，+1），则有•＝（3﹣）（﹣1）+（1﹣）（+1）＝﹣3+，由1+k2≥1可得0＜≤4，则有﹣3＜﹣3+≤1．同理当k＞0时，求得P（，），Q（﹣，﹣），则有•＝﹣3﹣，则有﹣7≤﹣3﹣＜﹣3，综上可得，•的取值范围是[﹣7，1]．故答案为：[﹣7，1]．故选：D．二、填空题6．设a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，已知＝，则的取值范围为（0，2]．【分析】由已知结合正弦定理及和角三角公式进行化简可求C，然后结合余弦定理及正弦函数的性质即可求解．解：因为＝，由正弦定理可得，2sin A cos C﹣sin B cos C＝sin C cos B，即2sin A cos C＝sin B cos C+sin C cos B＝sin（B+C）＝sin A，所以cos C＝即C＝，所以0＜B＜，所以sin B∈（0，1]，则＝＝＝＝2．故答案为：（0，2]7．若a＞0，b＞0，且+＝1，则a+2b的最小值为+．【分析】把a+2b变形为a+2b＝﹣，再利用已知可得a+2b＝（+）（+），利用基本不等式即可得出．解：∵a＞0，b＞0，且+＝1，∴a+2b＝﹣＝（+）（+）﹣＝+++﹣≥+2＝+，当且仅当＝，a＞0，b＞0，且+＝1，即b＝，a＝+时，取等号，∴则a+2b的最小值为+，故答案为：+．8．设f（x）是定义在R上的偶函数，∀x∈R，都有f（2﹣x）＝f（2+x），且当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣2，若函数g（x）＝f（x）﹣log a（x+1）（a＞0，a≠1）在区间（﹣1，9]内恰有三个不同零点，则实数a的取值范围是（，）∪（，）．【分析】可判断f（x）的周期为4，从而作函数f（x）与y＝log a（x+1）在（﹣1，9]上的图象，结合图象分类讨论即可．解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2﹣x）＝f（2+x），∴f（x）的周期为4，作函数f（x）与y＝log a（x+1）在（﹣1，9]上的图象如下，，当a＞1时，，解得，＜a＜；当0＜a＜1时，，解得，＜a＜；故答案为：（，）∪（，）．三、解答题9．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EFA的面积为．（I）求椭圆的离心率；（II）设点Q在线段AE上，|FQ|＝c，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x 轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c．（i）求直线FP的斜率；（ii）求椭圆的方程．【分析】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．通过．转化求解椭圆的离心率．（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x＝my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为．通过a＝2c，可得直线AE的方程为，求解点Q的坐标为．利用|FQ|＝，求出m，然后求解直线FP的斜率．（ii）求出椭圆方程的表达式，求出直线FP的方程为3x﹣4y+3c＝0，与椭圆方程联立通过，结合直线PM和QN都垂直于直线FP．结合四边形PQNM的面积为3c，求解c，然后求椭圆的方程．解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e．由已知，可得．又由b2＝a2﹣c2，可得2c2+ac﹣a2＝0，即2e2+e﹣1＝0．又因为0＜e＜1，解得．所以，椭圆的离心率为；（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为x＝my﹣c（m＞0），则直线FP的斜率为．由（Ⅰ）知a＝2c，可得直线AE的方程为，即x+2y﹣2c＝0，与直线FP的方程联立，可解得，即点Q的坐标为．由已知|FQ|＝，有，整理得3m2﹣4m＝0，所以，即直线FP的斜率为．（ii）解：由a＝2c，可得，故椭圆方程可以表示为．由（i）得直线FP的方程为3x﹣4y+3c＝0，与椭圆方程联立消去y，整理得7x2+6cx﹣13c2＝0，解得（舍去），或x＝c．因此可得点，进而可得，所以．由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP．因为QN⊥FP，所以，所以△FQN的面积为，同理△FPM的面积等于，由四边形PQNM的面积为3c，得，整理得c2＝2c，又由c＞0，得c＝2．所以，椭圆的方程为．10．已知函数f（x）＝ax sin x﹣（a∈R），且在上的最大值为，（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（0，π）内的零点个数，并加以证明．【分析】（I）由题意，可借助导数研究函数，在上的单调性，确定出最值，令最值等于，即可得到关于a的方程，由于a的符号对函数的最值有影响，故可以对a的取值范围进行讨论，分类求解；（II）借助导数研究函数f（x）在（0，π）内单调性，由零点判定定理即可得出零点的个数．解：（I）由已知得f′（x）＝a（sin x+x cos x），对于任意的x∈（0，），有sin x+x cos x ＞0，当a＝0时，f（x）＝﹣，不合题意；当a＜0时，x∈（0，），f′（x）＜0，从而f（x）在（0，）单调递减，又函数在上图象是连续不断的，故函数在上上的最大值为f（0）＝﹣，不合题意；当a＞0时，x∈（0，），f′（x）＞0，从而f（x）在（0，）单调递增，又函数在上图象是连续不断的，故函数在上上的最大值为f（）＝＝，解得a＝1，综上所述，得（II）函数f（x）在（0，π）内有且仅有两个零点．证明如下：由（I）知，，从而有f（0）＝﹣＜0，f（）＝＞0，又函数在上图象是连续不断的，所以函数f（x）在（0，）内至少存在一个零点，又由（I）知f（x）在（0，）单调递增，故函数f（x）在（0，）内仅有一个零点．当x∈[，π]时，令g（x）＝f′（x）＝sin x+x cos x，由g（）＝1＞0，g（π）＝﹣π＜0，且g（x）在[，π]上的图象是连续不断的，故存在m∈（，π），使得g（m）＝0．由g′（x）＝2cos x﹣x sin x，知x∈（，π）时，有g′（x）＜0，从而g（x）在[，π]上单调递减．当x∈（，m），g（x）＞g（m）＝0，即f′（x）＞0，从而f（x）在（，m）内单调递增故当x∈（，m）时，f（x）＞f（）＝＞0，从而（x）在（，m）内无零点；当x∈（m，π）时，有g（x）＜g（m）＝0，即f′（x）＜0，从而f（x）在（，m）内单调递减．又f（m）＞0，f（π）＜0且f（x）在[m，π]上的图象是连续不断的，从而f（x）在[m，π]内有且仅有一个零点．综上所述，函数f（x）在（0，π）内有且仅有两个零点．。
2020年天津市高考数学模拟试卷(6)
2020年天津市高考数学模拟试卷（6）一．选择题（共9小题，满分45分，每小题5分）1．（5分）设全集为R ，集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{x |x 2≥1}，则A ∩（∁R B ）＝（ ） A ．（﹣1，1）B ．（﹣1，2）C ．（0，1）D ．（0，2）2．（5分）下列说法错误的是（ ）A ．命题p ：“∃x 0∈R ，x 02+x 0+1＜0”，则￢p ：“∀x ∈R ，x 2+x +1≥0”B ．命题“若x 2﹣4x +3＝0，则x ＝3”的否命题是真命题C ．若p ∧q 为假命题，则p ∨q 为假命题D ．若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件3．（5分）已知a ＝lg 0.3，b ＝20.2，c ＝0.80.6，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＜c ＜bB ．c ＜b ＜aC ．b ＜a ＜cD ．a ＜b ＜c4．（5分）在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3﹣a 5+a 7＝78，则a 5＝（ ） A ．12B ．18C ．24D ．365．（5分）已知抛物线y 2＝4√2x 的准线与双曲线x 2a 2−y 2＝1（a ＞0）相交于A 、B 两点，F为抛物线的焦点，若△F AB 为直角三角形，则实数a ＝（ ） A ．19B ．29C ．13D ．√236．（5分）将函数f(x)=sin(3x +π6)的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数g （x ）的图象，若g （x ）为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．π9B ．2π9C ．π18D ．π247．（5分）将3本不同的书随机分给甲、乙、丙三人，则甲、乙都分到书的概率为（ ） A ．19B ．29C ．13D ．498．（5分）在△ABC 中，E 、F 分别为BC 、AB 边上的中点，AE 与CF 相交于点G ，设AB →=a →，AC →=b →，且BG →=λa →+μb →，则λ+μ的值为（ ）A ．−13B ．13C ．23D ．19．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，f （2）＝0，则不等式xf （x +2）≤0的解集是（ ） A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B ．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C ．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）10．（5分）若a ，b ∈N ，且a +b ≤6，复数a +bi 共有 个．11．（5分）已知（1﹣x ）6＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 6x 6，则a 2＝ ，a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6＝ ．12．（5分）已知函数f （x ）＝e 2x ，则过原点且与曲线y ＝f （x ）相切的直线方程为 13．（5分）在底面是边长为2√3的正方形的四棱锥P ﹣ABCD 中，顶点P 在底面的射影H 为正方形ABCD 的中心，异面直线PB 与AD 所成角的正切值为2，若四棱锥P ﹣ABCD 的内切球半径为r ，外接球的半径为R ，则R ﹣r ＝ ．14．（5分）要制作一个容积为9m 3，高为1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总价是 元． 15．（5分）若f （x ）={sin πx6(x ≤0)1−2x(x ＞0)，则f [f （3）]＝ ．三．解答题（共5小题）16．已知函数f(x)=sinx ⋅sin(x +π3)−14(x ∈R)． （1）求f(π3)的值和f （x ）的最小正周期；（2）设锐角△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且f(A 2)=14，a ＝2，求b +c 的取值范围．17．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B l C 1中，BC ＝BB 1，BC 1∩B 1C ＝O ，AO ⊥平面BB 1C 1C ． （1）求证：AB ⊥B 1C ；（2）若∠B1BC＝60°，直线A1B1与平面BB1C1C所成的角为30°，求二面角A﹣B l C1﹣B的余弦值．18．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝0，S n+n＝a n+1，n∈N*（Ⅰ）求证：数列{a n+1}是等比数列，（Ⅱ）设数列{b n}的首项b1＝1，其前n项和为T n，且点（T n+1，T n）在直线xn+1−yn=12上，求数列{b na n+1}的前n项和R n．19．如图，已知圆G：x2+y2﹣2x−√2y＝0，经过椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点F及上顶点B，过圆外一点M（m，0）（m＞a）倾斜角为5π6的直线l交椭圆于C，D两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F在以线段CD为直径的圆E的内部，求m的取值范围．20．已知函数f（x）＝e x﹣xlnx+ax，f'（x）为f（x）的导数，函数f'（x）在x＝x0处取得最小值．（1）求证：lnx0+x0＝0；（2）若x≥x0时，f（x）≥1恒成立，求a的取值范围．2020年天津市高考数学模拟试卷（6）参考答案与试题解析一．选择题（共9小题，满分45分，每小题5分）1．（5分）设全集为R，集合A＝{x|log2x＜1}，B＝{x|x2≥1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，2）C．（0，1）D．（0，2）【解答】解：∵全集为R，集合A＝{x|log2x＜1}＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x2≥1}＝{x|x≤﹣1或x≥1}，∴∁R B＝{x|﹣1＜x＜1}，∴A∩（∁R B）＝{x|0＜x＜1}＝（0，1）．故选：C．2．（5分）下列说法错误的是（）A．命题p：“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，x2+x+1≥0”B．命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的否命题是真命题C．若p∧q为假命题，则p∨q为假命题D．若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件【解答】解：命题p：“∃x0∈R，x02+x0+1＜0”，则￢p：“∀x∈R，x2+x+1≥0”满足命题的否定形式，所以A正确；命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的否命题是x≠3，则x2﹣4x+3≠0，否命题的真命题，所以B正确；若p∧q为假命题，至少一个是假命题，当个命题都是假命题是p∨q为假命题，所以C 不正确；若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，满足充要条件的定义，所以D正确；故选：C．3．（5分）已知a＝lg0.3，b＝20.2，c＝0.80.6，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c【解答】解：a＝lg0.3＜0，b＝20.2＞1，c＝0.80.6∈（0，1）．∴a＜c＜b．故选：A．4．（5分）在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3﹣a 5+a 7＝78，则a 5＝（ ） A ．12B ．18C ．24D ．36【解答】解：根据题意，等比数列{a n }中，设其公比为q ，已知a 3＝6，a 3﹣a 5+a 7＝78，则6﹣6q 2+6q 4＝78，解可得q 2＝4或q 2＝﹣3，舍； 故a 5＝6q 2＝24， 故选：C ．5．（5分）已知抛物线y 2＝4√2x 的准线与双曲线x 2a 2−y 2＝1（a ＞0）相交于A 、B 两点，F为抛物线的焦点，若△F AB 为直角三角形，则实数a ＝（ ） A ．19B ．29C ．13D ．√23【解答】解：∵抛物线的方程为y 2＝4√2x ， ∴抛物线的准线为x =−√2，焦点为F （√2，0）． 又∵直线x =−√2交双曲线x 2a 2−y 2＝1于A 、B 两点，△F AB 为直角三角形．∴△F AB 是等腰直角三角形，AB 边上的高FF '＝2√2， 由此可得A （−√2，2√2）、B （−√2，﹣2√2），如图所示． 将点A 或点B 的坐标代入双曲线方程，得2a 2−8=1，解得a =√23（负值舍去）．故选：D ．6．（5分）将函数f(x)=sin(3x +π6)的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数g （x ）的图象，若g （x ）为奇函数，则m 的最小值为（ ） A ．π9B ．2π9C ．π18D ．π24【解答】解：将函数f(x)=sin(3x +π6)的图象向右平移m （m ＞0）个单位长度，可得y＝sin （3x ﹣3m +π6）的图象；再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数g （x ）＝sin （12x﹣3m +π6）的图象，若g （x ）为奇函数，则当m 的最小时，﹣3m +π6=0，∴m =π18， 故选：C ．7．（5分）将3本不同的书随机分给甲、乙、丙三人，则甲、乙都分到书的概率为（ ） A ．19B ．29C ．13D ．49【解答】解：根据题意，将3本不同的书随机分给甲、乙、丙三人，每本书有3种情况，则一共有3×3×3＝27种分法， 若甲、乙都分到书，分2种情况讨论： 甲乙丙三人都分到书，有A 33＝6种情况， 只有甲乙分到书，有C 32×2＝6种情况， 则甲、乙都分到书的的情况有6+6＝12种， 故则甲、乙都分到书的概率P =1227=49； 故选：D ．8．（5分）在△ABC 中，E 、F 分别为BC 、AB 边上的中点，AE 与CF 相交于点G ，设AB →=a →，AC →=b →，且BG →=λa →+μb →，则λ+μ的值为（ ）A ．−13B ．13C ．23D ．1【解答】解：∵E 、F 分别为BC 、AB 边上的中点，AE 与CF 相交于点G ， ∴G 为△ABC 的重心，且AB →=a →，AC →=b →，∴BG →=13(BA →+BC →) =13(−AB →+AC →−AB →)=−23AB →+13AC →=−23a →+13b →，又BG →=λa →+μb →， ∴λ+μ=−13． 故选：A ．9．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）是奇函数，且f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，f （2）＝0，则不等式xf （x +2）≤0的解集是（ ） A ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B ．[﹣4，﹣2]∪[0，+∞）C ．（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣4]∪[0，+∞）【解答】解：根据题意，设g （x ）＝f （x +2），g （x ）的图象可以由f （x ）的图象向左平移2个单位得到的，函数f （x ）是R 上的奇函数，则函数g （x ）的图象关于点（﹣2，0）对称， 则g （0）＝f （2）＝0，g （﹣4）＝f （﹣2）＝0， 则g （x ）的草图如图：故xf （x +2）≤0⇒xg （x ）≤0⇒{x ≥0g(x)≤0或{x ≤0g(x)≥0；则有x ≤﹣4或x ≥﹣2；即x 的取值范围为（﹣∞，﹣4]∪[﹣2，+∞）； 故选：C ．二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）10．（5分）若a ，b ∈N ，且a +b ≤6，复数a +bi 共有 28 个． 【解答】解：∵a ，b ∈N ，且a +b ≤6，∴当a ＝0时，b ＝0，1，2，3，4，5，6，此时复数共7个；当a＝1时，b＝0，1，2，3，4，5，此时复数共6个；当a＝2时，b＝0，1，2，3，4，此时复数共5个；当a＝3时，b＝0，1，2，3，此时复数共4个；当a＝4时，b＝0，1，2，此时复数共3个；当a＝5时，b＝0，1，此时复数共2个；当a＝6时，b＝0，此时复数共1个；∴复数a+bi共7+6+5+4+3+2+1＝28个故答案为：28．11．（5分）已知（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，则a2＝15，a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝64．【解答】解：由（1﹣x）6的通项为T r+1=C6r(−x)r可得，令r＝2，即x2项的系数a2为C62=15，即a2＝15，由（1﹣x）6＝a0+a1x+a2x2+…+a6x6，取x＝﹣1，得a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5+a6＝[1﹣（﹣1）]6＝64，故答案为：15，64．12．（5分）已知函数f（x）＝e2x，则过原点且与曲线y＝f（x）相切的直线方程为2ex﹣y ＝0【解答】解：设切点为（m，n），函数f（x）＝e2x的导数为f′（x）＝2e2x，可得切线的斜率为2e2m，由切线过原点，可得nm =e2mm=2e2m，解得m=12，n＝e，则切线方程为y＝2ex．故答案为：2ex﹣y＝0．13．（5分）在底面是边长为2√3的正方形的四棱锥P﹣ABCD中，顶点P在底面的射影H 为正方形ABCD的中心，异面直线PB与AD所成角的正切值为2，若四棱锥P﹣ABCD的内切球半径为r，外接球的半径为R，则R﹣r＝32．【解答】解：如图，E，F为AB，CD的中点，由题意，P﹣ABCD为正四棱锥，底边长为2√3， ∵BC ∥AD ，∴∠PBC 即为PB 与AD 所成角，由tan ∠PBC ＝2，可得斜高为2√3， ∴△PEF 为正三角形，边长为2√3，正四棱锥P ﹣ABCD 的内切球半径，即为△PEF 的内切圆半径， 可得r =√3tan30°=√3×√33=1，设O 为外接球球心，在Rt △OHA 中，（PH ﹣R ）2+AH 2＝R 2， 即(3−R)2+(√6)2=R 2，解得R =52， ∴R ﹣r =32． 故答案为：32．14．（5分）要制作一个容积为9m 3，高为1m 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总价是 300 元． 【解答】解：设长方体容器的长为xm ，宽为ym ； 则x •y •1＝9， 即xy ＝9； 则该容器的造价为 20xy +10（x +x +y +y ） ＝180+20（x +y ） ≥180+20×2√xy ＝180+120＝300；（当且仅当x ＝y ＝3时，等号成立） 故该容器的最低总价是300元； 故答案为：300．15．（5分）若f （x ）={sin πx6(x ≤0)1−2x(x ＞0)，则f [f （3）]＝ −12 ． 【解答】解：f （3）＝1﹣2×3＝﹣5 f [f （3）]＝f （﹣5）＝sin （−5π6）=−12故答案为−12． 三．解答题（共5小题）16．已知函数f(x)=sinx ⋅sin(x +π3)−14(x ∈R)． （1）求f(π3)的值和f （x ）的最小正周期；（2）设锐角△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且f(A 2)=14，a ＝2，求b +c 的取值范围．【解答】解：（1）函数f(x)=sinx ⋅sin(x +π3)−14(x ∈R)． 所以f(π3)=√32×√32−14=12． 所以f （x ）=sinx(12sinx +√32cosx)=1−cos2x 4+√34sin2x −14=12sin(2x −π6)， 所以函数f （x ）的最小正周期为π；（2）设锐角△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且f(A2)=14， 所以sin(A −π6)=12，解得A =π3． 利用正弦定理a sinA =b sinB=c sinC，解得b =√3，c =√3sin(2π3−B)， 所以b +c =√3+sin(2π3−B)]=4sin(B +π6)， 由于{0＜B ＜π20＜C =2π3−B ＜π2，解得π6＜B ＜π2，所以B +π6∈(π3，2π3)，所以b +c ∈(2√3，4]．17．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B l C 1中，BC ＝BB 1，BC 1∩B 1C ＝O ，AO ⊥平面BB 1C 1C ． （1）求证：AB ⊥B 1C ；（2）若∠B 1BC ＝60°，直线A 1B 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，求二面角A ﹣B l C 1﹣B 的余弦值．【解答】解：（1）因为AO ⊥平面BB ₁C ₁C ，所以AO ⊥B ₁C ， 因为BC ＝BB ₁，所以四边形BB ₁C ₁C 为菱形， 所以BC ₁⊥B ₁C ，因为AO ∩BC ₁＝O ，所以B ₁C ⊥平面ABC ₁， AB ⊂平面ABC ₁， 所以B ₁C ⊥AB ；（2）直线A 1B 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°，根据题意，∠ABO ＝30°，设BC ＝2，∠B 1BC ＝60°， 则B ₁C ＝2，OB =√3，OA ＝OB tan30°＝1，以O 为原点，OB ，OB ₁，OA 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则O （0，0，0），B （√3，0，0），B ₁（0，1，0），A （0，0，1），C ₁（−√3，0，0）， 由AB →=B 1A 1→，得A 1（−√3，1，1，）， 设平面B ₁C ₁A ₁的法向量我m →=(x ，y ，z)，由{m →⋅A 1B 1→=−√3x +z =0m →⋅C 1B 1→=−√3x −y =0，得m →=(1，−√3，√3)，平面B ₁C ₁B 的法向量为OA →=(0，0，1)， 由cos ＜m →，OA →＞=√3√7=√217， 故所求二面角的余弦值为−√217．18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝0，S n +n ＝a n +1，n ∈N * （Ⅰ）求证：数列{a n +1}是等比数列，（Ⅱ）设数列{b n }的首项b 1＝1，其前n 项和为T n ，且点（T n +1，T n ）在直线x n+1−y n=12上，求数列{b n a n +1}的前n 项和R n ．【解答】证明：（Ⅰ）由S n +n ＝a n +1，①， 得S n ﹣1+n ﹣1＝a n ，n ≥2，②， ①﹣②得a n +1＝2a n +1， ∴a n +1+1＝2（a n +1）， ∵a 1＝0， ∴a 1+1＝1，∴{a n +1}是以1为首项，以2为公比的等比数列， 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a n +1＝2n ﹣1，∴a n ＝2n ﹣1﹣1，∵点（T n +1，T n ）在直线xn+1−y n=12上，∴T n+1n+1−T n n =2， ∴{T n n}是以T 11=b 11=1为首项，公差为12的等差数列，∴T n n=1+12（n ﹣）=12（n +1）∴T n =n(n+1)2， 当n ≥2时，b n ＝T n ﹣T n ﹣1=n(n+1)2−n(n−1)2=n ， 又b 1＝1满足上式， ∴b n ＝n ， ∴b n a n +1=n •（12）n ﹣1．∴R n ＝1×（12）0+2•（12）1+3•（12）2+…+n •（12）n ﹣1．③12R n ＝1×（12）1+2•（12）2+3•（12）3+…+n •（12）n ．④，由③﹣④可得，−12R n ＝1+（12）1+（12）2+（12）3+…+•（12）n ﹣n •（12），=1−12n1−12−n •（12）n ＝2﹣（n +2）•12n，∴R n ＝4−n+22n−1 19．如图，已知圆G ：x 2+y 2﹣2x −√2y ＝0，经过椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的右焦点F 及上顶点B ，过圆外一点M （m ，0）（m ＞a ）倾斜角为5π6的直线l 交椭圆于C ，D 两点，（1）求椭圆的方程；（2）若右焦点F 在以线段CD 为直径的圆E 的内部，求m 的取值范围．【解答】解：（1）x 2+y 2−2x −√2y =0过点F 、B ， ∴F （2，0），B(0，√2)， 故椭圆的方程为x 26+y 22=1（2）直线l ：y =−√33(x −m)(m ＞√6){x 26+y 22=1y =−√33(x −m)消y 得2x 2﹣2mx +（m 2﹣6）＝0 由△＞0⇒−2√3＜m ＜2√3， 又m ＞√6⇒√6＜m ＜2√3设C （x 1，y 1）、D （x 2，y 2），则x 1+x 2＝m ，x 1x 2=m 2−62，y 1y 2=13x 1x 2−m 3(x 1+x 2)+m 23，FC →=(x 1−2，y 1)，FD →=(x 2−2，y 2)∴FC →⋅FD →=(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=2m(m−3)3∵F 在圆E 的内部，∴FC →⋅FD →＜0⇒0＜m ＜3， 又√6＜m ＜2√3⇒√6＜m ＜3．20．已知函数f （x ）＝e x ﹣xlnx +ax ，f '（x ）为f （x ）的导数，函数f '（x ）在x ＝x 0处取得最小值．（1）求证：lnx 0+x 0＝0；（2）若x ≥x 0时，f （x ）≥1恒成立，求a 的取值范围．【解答】解：（1）证明：函数的定义域为（0，+∞），f ′（x ）＝e x ﹣（lnx +1）+a ，f ″(x)=e x −1x ， 易知函数f ''（x ）在（0，+∞）上为增函数，又f ″(12)=√e −2＜0，f ″(1)=e −1＞0， 故函数f ''（x ）存在唯一零点m ∈(12，1)，使得f ″(m)=e m −1m=0， 且当x ∈（0，m ）时，f ''（x ）＜0，f ′（x ）单调递减，当x ∈（m ，+∞）时，f ''（x ）＞0，f ′（x ）单调递增，故函数f ′（x ）在x ＝m 处取得最小值，依题意，m ＝x 0，∴e x 0−1x 0=0，即e x 0=1x 0，两边同时取对数得x 0=ln 1x 0=−lnx 0，∴lnx 0+x 0＝0；（2）由（1）知，当x ≥x 0时，f ′（x ）＝e x ﹣（lnx +1）+a 的最小值为e x 0−(lnx 0+1)+a =1x 0+x 0+a −1， ①当1x 0+x 0+a −1≥0，即a ≥1−(1x 0+x 0)时，此时f （x ）为[x 0，+∞）上的增函数，∴f(x)min =f(x 0)=e x 0−x 0lnx 0+ax 0=1x 0+x 02+ax 0≥1x 0+x 02+x 0[1−(1x 0+x 0)]=1x 0+x 0−1，由（1）知，12＜x 0＜1，故1x 0+x 0−1＞1，即f （x ）＞1，故a ≥1−(1x 0+x 0)满足题意； ②当1x 0+x 0+a −1＜0，即a ＜1−(1x 0+x 0)时，f ′（x ）有两个不同的零点x 1，x 2，且x 1＜x 0＜x 2，则f ′(x 2)=e x 2−(lnx 2+1)+a =0，即a =lnx 2−e x 2+1，当x ∈（x 0，x 2）时，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数，当x ∈（x 2，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，∴f （x ）min ＝f （x 2），注意到f （1）＝e +a ＝1时，a ＝1﹣e ，且此时f ′（1）＝e +a ﹣1＝0， （i ）当a ≥1﹣e 时，f ′（1）＝e +a ﹣1≥0＝f ′（x 2）， ∴0＜x 2≤1，即1﹣x 2≥0， 又f(x 2)=e x 2−x 2lnx 2+ax 2=e x 2−x 2lnx 2+(lnx 2−e x 2+1)x 2=(1−x 2)e x 2+x 2=(1−x 2)(e x 2−1)+1，而e x 2−1＞0，故(1−x 2)(e x 2−1)+1＞1，即f （x 2）＞1， 由于在12＜x 0＜1下，恒有1x 0+x 0＜e ，故1−e ＜1−(1x 0+x 0)； （ii ）当a ＜1﹣e 时，f ′（1）＝e +a ﹣1＜0＝f ′（x 2）， ∴x 2＞1＞x 0，∴当x ∈（1，x 2）时，f （x ）为减函数，∴f （x ）＜f （1）＝e +a ＜1，与题设不符，故舍去． 综上，实数a 的取值范围为[1﹣e ，+∞）．。
天津市实验中学滨海分校2019-2020年度高三年级模拟(3月)考试数学试卷((附答案解析)
2020年高考数学（3月份）模拟测试试卷一、选择题1．已知A＝{x|y＝}，B＝{x|{4x＜2x+1}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（0，1]C．R D．∅2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a＝﹣f（），b＝f（log24.1），c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b4．要得到函数y＝cos（4x+）的图象，只需将函数y＝cos（4x+）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度5．已知函数，对任意的x1，x2∈R（x1≠x2），总有成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．6．函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ），k∈ZC．（2k﹣，2k），k∈Z D．（k﹣，k），k∈Z7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，a ＝2，c＝，则C＝（）A．B．C．D．8．设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．9．已知函数，若存在，使得f（x）+xf'（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，3）D．二、填空题10．复数（i为虚数单位）的共轭复数是．11．（x2﹣）8的展开式中x7的系数为（用数字作答）12．已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy＝0，则xy的最小值为．13．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为．14．在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则•＝．15．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为．三、解答题16．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率：（2）记X为1名顾客5次摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．17．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4＝9，a2a3＝8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图所示，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB＝2，EF＝1（1）求证：平面DAF⊥平面CBF；（2）求直线AB与平面CBF所成角的大小；（3）当AD的长为何值时，二面角D﹣FE﹣B的大小为60°？19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线y ＝x被椭圆C截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线与椭圆C交于A、B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴y轴分别交于M，N两点．①设直线BD，AM斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；②求△OMN面积的最大值．20．已知函数f（x）＝﹣x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．参考答案一、选择题（45分）1．已知A＝{x|y＝}，B＝{x|{4x＜2x+1}，则A∩B＝（）A．（0，1）B．（0，1]C．R D．∅【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|x≥1}，B＝{x|2x＜x+1}＝{x|x＜1}，∴A∩B＝∅．故选：D．2．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β“是“α∥β”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m⊂α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．解：m⊂α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；α∥β，m⊂α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．故选：B．3．已知奇函数f（x）在R上是增函数．若a＝﹣f（），b＝f（log24.1），c＝f（20.8），则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【分析】根据奇函数f（x）在R上是增函数，化简a、b、c，即可得出a，b，c的大小．解：奇函数f（x）在R上是增函数，∴a＝﹣f（）＝f（log25），b＝f（log24.1），c＝f（20.8），又1＜20.8＜2＜log24.1＜log25，∴f（20.8）＜f（log24.1）＜f（log25），即c＜b＜a．故选：C．4．要得到函数y＝cos（4x+）的图象，只需将函数y＝cos（4x+）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：将函数y＝cos（4x+）的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝cos（4x+）的图象，故选：C．5．已知函数，对任意的x1，x2∈R（x1≠x2），总有成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意，函数，在定义域R上是增函数，列出不等式组，解出即可．解：∵对任意的x1，x2∈R（x1≠x2），总有成立，∴函数在定义域R上是增函数，∴，解得，0＜a≤，故选：A．6．函数f（x）＝cos（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）A．（kπ﹣，kπ），k∈Z B．（2kπ﹣，2kπ），k∈ZC．（2k﹣，2k），k∈Z D．（k﹣，k），k∈Z【分析】由图象可得函数正确，进一步求出离y轴最近的两对称轴的横坐标，数形结合可得f（x）的单调递减区间．解：由图可知，，则T＝2，∴y轴左侧第一个最高点的横坐标为，y轴右侧第一个最底点的横坐标为．∴f（x）的单调递减区间为（2k﹣，2k），k∈Z．故选：C．7．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，a ＝2，c＝，则C＝（）A．B．C．D．【分析】根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可解：sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，∵sin B+sin A（sin C﹣cos C）＝0，∴sin A cos C+cos A sin C+sin A sin C﹣sin A cos C＝0，∴cos A sin C+sin A sin C＝0，∵sin C≠0，∴cos A＝﹣sin A，∴tan A＝﹣1，∵＜A＜π，∴A＝，由正弦定理可得＝，∴sin C＝，∵a＝2，c＝，∴sin C＝＝＝，∵a＞c，∴C＝，故选：B．8．设椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】设|PF2|＝x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．解：|PF2|＝x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，∴|PF1|＝2x，|F1F2|＝x，又|PF1|+|PF2|＝2a，|F1F2|＝2c∴2a＝3x，2c＝x，∴C的离心率为：e＝＝．故选：D．9．已知函数，若存在，使得f（x）+xf'（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，3）D．【分析】求导函数，确定函数的单调性，进而可得函数的最大值，故可求实数b的取值范围．解：∵f（x）＝，x＞0，∴f′（x）＝，∴f（x）+xf′（x）＝+＝，∵存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，∴1+2x（x﹣b）＞0∴b＜x+，设g（x）＝x+，∴b＜g（x）max，∴g′（x）＝1﹣＝，当g′（x）＝0时，解得：x＝，当g′（x）＞0时，即＜x≤2时，函数单调递增，当g′（x）＜0时，即≤x＜2时，函数单调递减，∴当x＝2时，函数g（x）取最大值，最大值为g（2）＝2+＝，∴b＜，故选：B．二、填空题（30分）10．复数（i为虚数单位）的共轭复数是1﹣i．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．解：∵＝，∴．故答案为：1﹣i．11．（x2﹣）8的展开式中x7的系数为﹣56（用数字作答）【分析】利用通项公式即可得出．解：T r+1＝＝x16﹣3r，令16﹣3r＝7，解得r＝3．∴（x2﹣）8的展开式中x7的系数为＝﹣56．故答案为：﹣56．12．已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy＝0，则xy的最小值为64．【分析】利用基本不等式构建不等式即可得出解：∵x＞0，y＞0，2x+8y﹣xy＝0，∴xy＝2x+8y≥2＝8，∴≥8，∴xy≥64．当且仅当x＝4y＝16时取等号．故xy的最小值为64．故答案为：6413．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为．【分析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，由此能求出结果．解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R，∴V圆柱＝πR2×2R＝2πR3，V球＝πR3．∴＝，S圆柱＝2πR×2R+2×πR2＝6πR2，S球＝4πR2．∴．故答案为：．14．在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边BC上一点，DC＝2BD，则•＝．【分析】选定基向量，，将两向量与用基向量表示出来，再进行数量积运算，即可求出•的值．解：选定基向量，，由图及题意得＝﹣，＝+＝+，则•＝（﹣）•（+）＝+﹣＝＝﹣．故答案为：．15．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为（1，2）．【分析】由y＝f（x）﹣a|x|＝0得f（x）＝a|x|，利用数形结合即可得到结论．解：由y＝f（x）﹣a|x|＝0得f（x）＝a|x|，作出函数y＝f（x），y＝a|x|的图象，当a≤0，不满足条件，∴a＞0，当a≥2时，此时y＝a|x|与f（x）有三个交点，当a＝1时，当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣5x﹣4，由f（x）＝﹣x2﹣5x﹣4＝﹣x得x2+4x+4＝0，则判别式△＝16﹣4×4＝0，即此时直线y＝﹣x与f（x）相切，此时y＝a|x|与f（x）有五个交点，∴要使函数y＝f（x）﹣a|x|恰有4个零点，则1＜a＜2，故答案为：（1，2）三、解答题（75分）16．某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．（1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率：（2）记X为1名顾客5次摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（1）由题意可得第二次摸到黑球，第一次为其他球，求出概率；（2）先求出摸一次的奖金数额，再求5次的金额，求出相应的概率，进而求出发布列，及期望．解：（1）由题意可得第一次是红黄白中的一个，概率为，不放回的第二次为黑球，是从剩余的3个球中摸出黑色的球，概率为，所以1名顾客摸球2次停止摸奖的概率为＝；（2）顾客摸一次的奖金金额设为Y，可能取值0，10，20，30，40，则P（Y＝0）＝，P（Y＝10）＝＝，P（Y＝20）＝+＝，P（Y＝30）＝＝，P（Y＝40）＝＝；所以1名5次摸奖X＝5Y的分布列为Y010203040 X＝5Y050100150200 P所以随机变量X的期望E（X）＝0＝100．17．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4＝9，a2a3＝8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{a n}的通项公式；（2）求出b n＝，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和T n．解：（1）∵数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4＝9，a2a3＝8．∴a1+a4＝9，a1a4＝a2a3＝8．解得a1＝1，a4＝8或a1＝8，a4＝1（舍），解得q＝2，即数列{a n}的通项公式a n＝2n﹣1；（2）S n＝＝2n﹣1，∴b n＝＝＝﹣，∴数列{b n}的前n项和T n＝+…+﹣＝﹣＝1﹣．18．如图所示，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB＝2，EF＝1（1）求证：平面DAF⊥平面CBF；（2）求直线AB与平面CBF所成角的大小；（3）当AD的长为何值时，二面角D﹣FE﹣B的大小为60°？【分析】（1）欲证平面DAF⊥平面CBF，先证直线与平面垂直，由题意可得：CB⊥平面ABEF，所以AF⊥CB，又在底面圆中AF⊥BF，所以AF⊥平面CBF，进一步易得平面DAF⊥平面CBF（2）本题的设问是递进式的，第（1）问是为第（2）问作铺垫的．根据（1）的证明，有AF⊥平面CBF，所以FB为AB在平面CBF上的射影，则∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角．（3）二面角的度量关键在于找出它的平面角，构造平面角常用的方法就是三垂线法．由DA⊥平面ABEF可知：过点A作AM⊥EF，交EF的延长线于点M，连接DM，所以∠DMA为二面角D﹣FE﹣B的平面角，∠DMA＝60°．解：（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，CB⊥AB，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，∴CB⊥平面ABEF．∵AF⊂平面ABEF，∴AF⊥CB，又∵AB为圆O的直径，∴AF⊥BF，∴AF⊥平面CBF．∵AF⊂平面DAF，∴平面DAF⊥平面CBF．（2）根据（1）的证明，有AF⊥平面CBF，∴FB为AB在平面CBF上的射影，因此，∠ABF为直线AB与平面CBF所成的角．∵AB∥EF，∴四边形ABEF为等腰梯形，过点F作FH⊥AB，交AB于H．AB＝2，EF＝1，则AH＝＝．在Rt△AFB中，根据射影定理AF2＝AH•AB，得AF＝1，sin∠ABF＝＝，∴∠ABF＝30°，∴直线AB与平面CBF所成角的大小为30°．（3）过点A作AM⊥EF，交EF的延长线于点M，连接DM．根据（1）的证明，DA⊥平面ABEF，则DM⊥EF，∴∠DMA为二面角D﹣FE﹣B的平面角，即∠DMA＝60°．在Rt△AFH中，∵AH＝，AF＝1，∴FH＝．又∵四边形AMFH为矩形，∴MA＝FH＝．∵AD＝MA•tan∠DMA＝•＝．因此，当AD的长为时，二面角D﹣FE﹣B的大小为60°．19．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，直线y ＝x被椭圆C截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）过原点的直线与椭圆C交于A、B两点（A，B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD⊥AB，直线BD与x轴y轴分别交于M，N两点．①设直线BD，AM斜率分别为k1，k2，证明存在常数λ使得k1＝λk2，并求出λ的值；②求△OMN面积的最大值．【分析】（1）由椭圆的离心率为，得到a2＝4b2，由直线y＝x被椭圆C截得的线段长为，得到a2+b2＝，从而解得a2＝4，b2＝1，由此能求出椭圆方程．（2）①设A（x1，y1），（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），直线AB的斜率，则直线AD的斜率k＝﹣，设直线AD的方程为y＝kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣4＝0，由韦达定理得到k1＝，从而直线BD的方程为y+y1＝（x+x1），求出k2＝﹣，由此得到存在常数λ＝﹣，使得k1＝λk2．②直线BD的方程为y+y1＝（x+x1），令x＝0，得y＝﹣，即N（0，﹣），△OMN的面积S＝，由此能求出△OMN面积的最大值．解：（1）∵椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，∴，∴＝，∴＝，∴a2＝4b2，①设直线y＝x与椭圆交于P，Q两点，设P是直线与椭圆在第一象限的交点，∵直线y＝x被椭圆C截得的线段长为，∴P（，），∴+＝1，解得a2+b2＝，②联立①②，解得a2＝4，b2＝1，∴椭圆方程为＝1．证明：（2）①设A（x1，y1），（x1y1≠0），D（x2，y2），则B（﹣x1，﹣y1），直线AB的斜率，又AB⊥AD，∴直线AD的斜率k＝﹣，设直线AD的方程为y＝kx+m，由题意得k≠0，m≠0，联立，得（1+4k2）x2+8mkx+4m2﹣4＝0，∴x1+x2＝﹣，y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝，由题意知x1≠﹣x2，∴k1＝＝﹣＝，∴直线BD的方程为y+y1＝（x+x1），令y＝0，得x＝3x1，即M（3x1，0），解得k2＝﹣，∴，则，∴存在常数λ＝﹣，使结论成立．解：②直线BD的方程为y+y1＝（x+x1），令x＝0，得y＝﹣，即N（0，﹣），由①知M（3x1，0），得△OMN的面积S＝＝，∵|x1||y1|＝1，当且仅当＝|y1|＝时，等号成立，此时S取得最大值，∴△OMN面积的最大值为．20．已知函数f（x）＝﹣x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．（2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论．解：（1）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x ）＝﹣﹣1+＝﹣，设g（x）＝x2﹣ax+1，当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞0时，判别式△＝a2﹣4，①当0＜a≤2时，△≤0，即g（x）≥0，即f′（x）≤0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：x（0，）（，）（，+∞）f′（x）﹣0+0﹣f（x）递减递增递减综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，当a＞2时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，则（，）上是增函数．（2）由（1）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2＝1，则f（x1）﹣f（x2）＝（x2﹣x1）（1+）+a（lnx1﹣lnx2）＝2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），则＝﹣2+，则问题转为证明＜1即可，即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，则lnx1﹣ln＞x1﹣，即lnx1+lnx1＞x1﹣，即证2lnx1＞x1﹣在（0，1）上恒成立，设h（x）＝2lnx﹣x+，（0＜x＜1），其中h（1）＝0，求导得h′（x）＝﹣1﹣＝﹣＝﹣＜0，则h（x）在（0，1）上单调递减，∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+＞0，故2lnx＞x﹣，则＜a﹣2成立．（2）另解：注意到f（）＝x﹣﹣alnx＝﹣f（x），即f（x）+f（）＝0，由韦达定理得x1x2＝1，x1+x2＝a＞2，得0＜x1＜1＜x2，x1＝，可得f（x2）+f（）＝0，即f（x1）+f（x2）＝0，要证＜a﹣2，只要证＜a﹣2，即证2alnx2﹣ax2+＜0，（x2＞1），构造函数h（x）＝2alnx﹣ax+，（x＞1），h′（x）＝≤0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）＜h（1）＝0，∴2alnx﹣ax+＜0成立，即2alnx2﹣ax2+＜0，（x2＞1）成立．即＜a﹣2成立．。
【精品高考数学】[2020年天津高考仿真模拟卷-数学]+答案
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2020年天津高考仿真模拟卷数学 2020.4满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|lg(2)}A x y x ==-，(2,3)B =-，则A B =I A ．(2,2)(2,3-U ） B ．(2,2)-C ．(2,3)D ．[2,3)2．“04a ≤≤”是“实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知ln3x =，4log 2y =，12z e -=，则A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<4．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2BD AD =，则DEF V 与ABC V 的面积之比为A ．12B ．13C ．15D ．175．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3331373152{3{94{5171119L ，，，仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为 A ．8 B ．9 C ．10 D ．116．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c ++=垂直，则ab=A ．13B ．13-C ．3D ．-37．设函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则函数()3()4y f x f x π=++的单调增区间为A ．[,]()44k k k Z ππππ-+∈ B ．[,]()63k k k Z ππππ-+∈C ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈ D ．[,]()2k k k Z πππ+∈8．已知三棱锥 P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，且两两垂直，ABC V 是边长为2的正三角形，则球O 的体积为A ．86πB ．46πC 6πD 69．已知函数2()43f x x x =-+.若方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是 A ．()2,0-B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2第Ⅱ卷二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分． 10．若复数z 满足2z i i ⋅=-，则z =_______．11．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表： 等待时间/分 [)0,5[)5,10[)10,15[)15,20[]20,25频数48521用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x =______，病人等待时间方差的估计值2s =______.12．已知向量a v 、b v 满足1a =v，||2b =v ，且它们的夹角为120°，则向量2a b +v v 与向量a v 夹角的余弦值为________13．已知球、母线和直径相等的圆柱、正方体，它们的体积依次为1V 、2V 、3V ，若它们的表面积相等，则222123::V V V =________（结果保留π）.14．已知0x >，0y >，141x y+=，不等式280m m x y ---<恒成立，则m 的取值范围是_______．（答案写成集合或区间格式）15．某省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外，考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目，成绩计入高考总分.已知报考某高校A 、B 两个专业各需要一门科目满足要求即可，A 专业：物理、化学、技术；B 专业：历史、地理、技术.考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有______ 种.（用数字作答）四、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222a c b ac +=-．()I 求角B 的大小；()II 若BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，1AD ==，求sin BAC ∠的值．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PBC V 是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，//AB DC ，AD DC ⊥，5AB =，4AD =，3DC =.AB平面PDC;（Ⅰ）求证://-的体积;（Ⅱ）当平面PBC⊥平面ABCD时，求四棱锥P ABCDP A B C D中找出两个点，使得这两点所在的直线与直线（Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,BC垂直，并给出证明．．.18．某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完℃有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间气温(单位：)[)20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 [)10,15[)15,20[)20,25[)25,30[)30,35[)35,40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(Ⅰ)求六月份这种饮料一天的需求量(X 单位：瓶)的分布列，并求出期望EX ； (Ⅱ)设六月份一天销售这种饮料的利润为(Y 单位：元)，且六月份这种饮料一天的进货量为(n 单位：瓶)，请判断Y 的数学期望是否在n EX =时取得最大值？19．已知椭圆2222:1()x y C a b o a b+=>>的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设斜率为的直线与椭圆C 相交于,A B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：12S S =20．已知函数()()32111323a f x x a x x =-++-． （1）若函数f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线方程为9x ﹣y +b ＝0，求实数a ，b 的值； （2）若a ≤0，求f （x ）的单调减区间；（3）对一切实数a ∈（0，1），求f （x ）的极小值的最大值．2020年天津高考仿真模拟卷数学 2020.4满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|lg(2)}A x y x ==-，(2,3)B =-，则A B =I A ．(2,2)(2,3-U ） B ．(2,2)-C ．(2,3)D ．[2,3)【解析】因为(){}|lg 22A x y x ∞==-=+（，），所以()2,3A B ⋂=，故选C.2．“04a ≤≤”是“实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”的 A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”⇔24004a a a ∆=-<⇔<<若“04a ≤≤”成立，“04a <<”不一定成立 反之，若“04a <<”成立，“04a ≤≤”一定成立所以“04a ≤≤”是“实系数一元二次方程20x ax a ++=无实根”的必要不充分条件. 所以A 选项是正确的. 故选A3．已知ln3x =，4log 2y =，12z e -=，则A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<【解析】1241log 212y e -==<=<，ln3ln 1e >=，∴y z x <<． 故选：D.4．构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设2BD AD =，则DEF V 与ABC V 的面积之比为A ．12B ．13C ．15D ．17【解析】2,BD AD AF BD ==Q ，2AF AD ∴=，即点D 为AF 的中点，由余弦定理得：2222cos120AB AD BD AD BD ︒⋅-=+，解得7AB AD =， )22ABC1()sin 601217sin 6072DEF AD S S ︒︒∴==V V ， 故选D5．对大于1的自然数 m 的三次幂可用奇数进行以下形式的“分裂”：3331373152{3{94{5171119L ，，，仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是73，则m 的值为 A ．8B ．9C ．10D ．11【解析】由题意可得3m 的“分裂数”为m 个连续奇数，设3m 的“分裂数”中第一个数为m a ，则由题意可得：3273422a a -=-==⨯，43137623a a -=-==⨯，…，12(1)m m a a m --=-，将以上2m -个式子叠加可得2(422)(2)(1)(2)2m m m a a m m +---==+-，∴22(1)(2)1m a m m a m m =+-+=-+，∴当9m =时，73m a =，即73是39的“分裂数”中第一个数， 故选B 6．设曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c ++=垂直，则ab= A ．13B ．13- C ．3 D ．-3【解析】依题意()()()'2221322x x y x x --+-==--，'1|3x y ==-，由于曲线12x y x +=-在点()1,2-处的切线与直线0ax by c ++=垂直，所以()131,3a a b b ⎛⎫-⋅-=-=- ⎪⎝⎭. 故选：B7．设函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图象如图所示，则函数()3()4y f x f x π=++的单调增区间为A ．[,]()44k k k Z ππππ-+∈ B ．[,]()63k k k Z ππππ-+∈C ．[,]()36k k k Z ππππ-+∈ D ．[,]()2k k k Z πππ+∈【解析】由图像可知2A =，1,4612T T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，因为2T πω=，得到2ω= 代入,212π⎛⎫-- ⎪⎝⎭得sin 16πϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，得23k πϕπ=-，取0k =，则3πϕ=-所以函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2cos 243f x x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此()34y f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭2sin 223sin 2343x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝=⎭⎝⎭⎝⎭ 2sin 223sin 22sin 223233233x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=4sin 233x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭4sin2x =，则22222k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈，得4sin 2y x =的单调递增区间，得44k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈.故选A 项.8．已知三棱锥 P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，且两两垂直，ABC V 是边长为2的正三角形，则球O 的体积为A ．86πB ．46πC ．6πD ．62π 【解析】由题中条件易得2PA PB PC ===，从而球O 的半径36222r =⨯=，体积3463V r ππ==， 故选：C ．9．已知函数2()43f x x x =-+.若方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不相同的实根，则实数b 的取值范围是 A ．()2,0-B ．()2,1--C ．()0,1D ．()0,2【解析】由题意，画出函数2()43f x x x =-+的图象，如图所示，可得()(1)(3)0,(2)1,0f f f f x ===≥，因为方程2[()]()0f x bf x c ++=恰有七个不同的实根，则方程20t bt c ++=的其中一个根为1，另一根在(0,1)内，设()2g t t bt c =++，则满足(1)0g =且(0)0g >且()02b g -<且012b<-<，即10b c ++=且0c >且2()()022b b b c -+⋅-+<且012b<-<，解得21b -<<-，即实数b 的取值范围是()2,1--， 故选B.第Ⅱ卷二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．10．若复数z 满足2z i i ⋅=-，则z =_______．【解析】22.12,iz i i z i z i-⋅=-∴==-∴=Q 11．某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间记录如下表：用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值x =______，病人等待时间方差的估计值2s =______.【解析】（1） 2.547.5812.5517.5222.519.520x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==；（2）222222(2.59.5)4(7.59.5)8(12.59.5)5(17.59.5)2(22.59.5)128.520s -⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯==12．已知向量a v 、b v 满足1a =v，||2b =v，且它们的夹角为120°，则向量2a b +vv 与向量a v 夹角的余弦值为________【解析】2a b +===r r ()112122cos 2,2a b a a b a a b a⎛⎫+- ⎪+<+>====+r r r g g g r r r r r r g13．已知球、母线和直径相等的圆柱、正方体，它们的体积依次为1V 、2V 、3V ，若它们的表面积相等，则222123::V V V =________（结果保留π）.【解析】设球的半径为R ，圆柱底面半径为r ，正方体的棱长为a ， 由它们的表面积相等，则222466R r a ππ==，则222111::::466R r a ππ=， 即2223232321234::():(2):()6:4:3V V V R r a πππ==. 14．已知0x >，0y >，141x y+=，不等式280m m x y ---<恒成立，则m 的取值范围是_______．（答案写成集合或区间格式） 【解析】因为0x >，0y >，141x y+=，则144()()559y x x y x y x y ++=++≥+=，（当且仅当3,6x y ==时取等号），9x y +≥，不等式280m m x y ---<恒成立，即：28m m x y -<+只需2289,890m m m m -<--<，则19m -<<，则m 的取值范围是(1,9)-.15．某省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外，考生须从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目，成绩计入高考总分.已知报考某高校A 、B 两个专业各需要一门科目满足要求即可，A 专业：物理、化学、技术；B 专业：历史、地理、技术.考生小李今年打算报考该高校这两个专业的选考方式有______ 种.（用数字作答）【解析】根据题意得到分情况：当考生选择技术时，两个专业均可报考，再从剩下的6门课中选择两科即可，方法有2615C =种；当学生不选技术时，可以从物理化学中选择一科，再从历史，地理选一科，最后从政治生物中选择一科，有2228⨯⨯=种方法；当学生同时选物理化学时，还需要选择历史，地理中的一科，有2中选择，当学生同时选择历史，地理时，需要从物理化学中再选择一科，也有2种方法，共有4种；最终加到一起共有：15+8+4=27种.四、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222a c b ac +=-．()I 求角B 的大小；()II 若BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，1AD ==，求sin BAC ∠的值．【解析】()I Q 在ABC V 中，222a c b ac +=-．∴由余弦定理可得：2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，()0,B π∈Q ，23B π∴=()IIQ 由正弦定理可得：sin sin AD BDB BAD =∠， 31sin 12sin 423BD B BAD AD ⨯⋅∴∠===， ()0,BAD π∠∈Q ，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，215cos 1sin BAD BAD ∴∠=-∠=， ()15sin sin 22sin cos 8BAC BAD BAD BAD ∴∠=∠=∠⋅∠=17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PBC V 是等腰三角形，且3PB PC ==.四边形ABCD 是直角梯形，//AB DC ，AD DC ⊥，5AB =，4AD =，3DC =.（Ⅰ）求证://AB 平面PDC ;（Ⅱ）当平面PBC ⊥平面ABCD 时，求四棱锥P ABCD -的体积;（Ⅲ）请在图中所给的五个点,,,,P A B C D 中找出两个点，使得这两点所在的直线与直线BC 垂直，并给出证明．．. 【解析】（Ⅰ）证明：∵AB ∥DC ，且DC ⊂平面PDC ，AB ⊄平面PDC ， ∴AB ∥平面PDC ；（Ⅱ）解：取BC 中点D ，∵PB=PC ，∴PD ⊥BC ， 又平面PBC ⊥平面ABCD ，且平面PBC∩平面ABCD=BC ， ∴PD ⊥平面ABCD ，则PD 为四棱锥P ﹣ABCD 的高， 在底面直角梯形ABCD 中，由AB=5，AD=4，DC=3， 得()1435162ABCD S =⨯⨯+=，且224(53)25+-=又PB=PC=3，∴PD=223(5)2-=． ∴13216233P ABCD V -=⨯⨯=； （Ⅲ）解：图中PA ⊥BC ． 证明如下：由（Ⅱ）知，PD ⊥BC ，作CG ⊥AB ，在直角三角形CGB 中，可得cos 5CBG ∠=， 在三角形ADB 中，由余弦定理可得22255(5)25520AD =+-⨯⨯⨯=， 则AD 2+BD 2=AB 2， ∴AD ⊥BC ，又AD∩PD=D ，∴BC ⊥平面PAD ，则PA ⊥BC ．18．某超市计划按月订购一种饮料，每天进货量相同，进货成本每瓶3元，售价每瓶5元，每天未售出的饮料最后打4折当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)℃有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为100瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 [)10,15[)15,20[)20,25[)25,30[)30,35[)35,40天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．(Ⅰ)求六月份这种饮料一天的需求量(X 单位：瓶)的分布列，并求出期望EX ； (Ⅱ)设六月份一天销售这种饮料的利润为(Y 单位：元)，且六月份这种饮料一天的进货量为(n 单位：瓶)，请判断Y 的数学期望是否在n EX =时取得最大值？【解析】(Ⅰ)由题意知X 的可能取值为100，300，500，()2161000.290P X +===， ()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===，X ∴的分布列为：()1000.23000.45000.4340E X =⨯+⨯+⨯=．(Ⅱ)由题意知六月份这种饮料的进货量n 满足100500n ≤≤，当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则532Y n n n =-=，若最高气温位于[)20,25，则()530023003900Y n n n =⨯+--=-， 若最高气温低于20，则()510021003300Y n n n =⨯+--=-，()()()20.49000.43000.24200.2E Y n n n n ∴=⨯+-⨯+-⨯=+，此时，500n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元， 当100300n ≤≤时，若最高气温不低于25，则532Y n n n =-=， 若最高气温位于[)20,25，则532Y n n n =-=，若最高气温低于20，则()5100100300300Y n n =⨯---=-，()()()20.40.43000.260 1.4E Y n n n ∴=⨯++-⨯=+，此时，300n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为480元，340n ∴=时，Y 的数学期望值为：4200.2340488+⨯=不是最大值， 500n =时，y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．19．已知椭圆2222:1()x y C a b o a b+=>>的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设斜率为的直线与椭圆C 相交于,A B 两点，记AOB ∆面积的最大值为k S ，证明：12S S =【解析】（Ⅰ）由题意，得椭圆的半焦距1c =，右焦点()1,0F ，上顶点()0,M b ，所以直线MF 的斜率03tan 1014b k π-===--，解得1b =，由222a b c =+，得22a =，所以椭圆的方程为2212x y +=.（Ⅱ）证明：设直线l 的方程为y kx m =+，其中12k =或，()1122,),,Ax y B x y （，由方程组22{12y kx mx y =++=得()222124220kxkmx m +++-=，所以2216880k m ∆=-+> ()*，于是有2121222422,1212km m x x x x k k --+==++ ， 所以()222222222422114821121212km m k AB k k m k k k --+⎛⎫=+-⨯=-+ ⎪+++⎝⎭，因为原点O 到直线y kx m =+的距离 21m d k=+所以()22221221212AOB S AB d m k m k ∆=⋅=-++ 222S =()22299AOB S m m ∆=- 当1k =时，()22233AOB S m m ∆=-232m =时AOB S ∆的最大值12S =，验证知()*成立；292m =当2k =时，所以当时AOB S ∆的最大值，验证知()*成立；所以12S S =。
2020年天津市高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年天津市高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是A. A C φ⋂=B. A C C ⋃=C. B C B ⋂=D. A B C =2. 若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z= A. i B. i - C. 2iD. 2i -3. 若1sin()43x π-=，则sin 2x = A.79B. 79-C.13D. 13-4. 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆ 的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.495. 在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A. 66B. 132C. -66D. -1326. 设函数2()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0f x ≤的概率为A.12B.13C.23D.147. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m8. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则 =aA. 2B.26C. 25D. 19. 函数ln ()xf x x=的图象大致为 A. B.C. D.10.已知函数532sin 2064y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+ A.43πB.23π C.3π D.6π 11.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.81500π B. 9100π C. 925πD. π412. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A B ．22 D -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年5月3日天津市实验中学2020届高三下学期高考诊断训练测试(十)数学试题及答案
天津市实验中学
2020届高三年级下学期高考诊断训练测试(十)
数学试题
2020年5月3日
一､选择题
1､已知实数x>0，y>0，则“ ”是“xy≤1”的()
A.充要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
2､函数 的图象大致是
3､已知当m，n∈[-1，1)时， ，则以下判断正确的是()
7､已知实数若x､y满足x>y≥0，则 的最小值是__.
8､已知函数 若方程 有八个不等的实数根，则实数a的取值范围是__.
三､解答题
9､如图，在三棱柱 中，H是正ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形， 的中心， 平面 且
(I)求异面直线AC与 所成角的余弦值;
(II)求二面角 的正弦值;
(III)设N为棱 的中点，点M在平面 内，且MN⊥平面 求线段BM的长.
(II)试讨论函数g(x)的单调性;
(III)证明:对任意n∈N*，都有 成立.
10､已知数列 的前n项和为 且点 在函数 的图象上.
(I)求数列 的通项公式;
(II)设数列 满足: ，求数列 的前n项和公式;
(III)在第(II)问的条件下，若对于任意的 不等式 恒成立，求实数λ的取值范围.
11､已知函数 函数g(x)的图象在点(1，g(1))处的切线平行于x轴.
(I)确定a与b的关系;
A.m>nB.|m|<|n|
C.m<nD.m与n的大小关系不确定
4､已知双曲线C 的右焦点F(c，0)关于直线， 的对称点在直上，则该双曲线 的离心率为().
B.2
5､在如图的平面图形中，已知OM=1，ON=2，∠MON=120°， 则 的值为()
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2020年天津市实验中学高考数学模拟试卷（五）一、选择题 1．（3分）不等式10x x->成立的充分不必要条件是( ) A ．1x >B ．1x <-或01x << C ．1x >-D ．10x -<<或1x >2．（3分）现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6DAB π∠=，4BAC π∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为( )A ．3B ．3 C ．3 D ．3 3．（3分）数列{}n a 满足11a =，对*n N ∀∈，都有11n n a a a n +=++，则122019111(a a a ++⋯⋯+= ) A ．20182019B ．20192020C ．40362019D ．201910104．（3分）已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是( ) A ．(0,)6πB ．(,)64ππC ．(,)43ππD ．(,)32ππ5．（3分）如图，圆O 为直角三角形ABC 内切圆，已知3AC =，4BC =，90C ∠=︒，过圆心O 的直线交圆O 于两点P ，Q ，则BP CQ u u u r u u u rg的取值范围是( )A ．[1，1]B ．[7-，7]C ．[1-，7]D ．[7-，1]二、填空题6．（3分）设a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C =，则222a b c ac +-的取值范围为 ．7．（3分）若0a >，0b >，且11121a b b +=++，则2a b +的最小值为 ． 8．（3分）设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[0x ∈，2]时，()22x f x =-，若函数()()log (1)(0a g x f x x a =-+>，1)a ≠在区间(1-，9]内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是 ． 三、解答题9．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA ∆的面积为22b ．()I 求椭圆的离心率；()II 设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，//PM QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ． ()i 求直线FP 的斜率； ()ii 求椭圆的方程．10．已知函数3()sin ()2f x ax x a R =-∈，且在[0,]2π上的最大值为32π-，（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数，并加以证明．2020年天津市实验中学高考数学模拟试卷（五）参考答案与试题解析一、选择题 1．（3分）不等式10x x->成立的充分不必要条件是( ) A ．1x >B ．1x <-或01x <<C ．1x >-D ．10x -<<或1x >【解答】解：不等式10x x->，解得1x >或0x < 11x x >⇒>或0x <，符合题意，故正确；1x <-或011x x <<⇒>或0x <是假命题，故不正确； 11x x >-⇒>或0x <是假命题，故不正确；10x -<<或11x x >⇒>或0x <是假命题，故不正确；故选：A ．2．（3分）现有一副斜边长相等的直角三角板．若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知6DAB π∠=，4BAC π∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为( )A 3B 3C 3D 3 【解答】解：根据已知得三棱锥A BCD -的外接球的半径1r =，90ADB ACB ∠=∠=︒Q ，AB ∴为外接球直径，则2AB =，且3AD ，1BD =，2AC BC ==当点C 到平面ABD 距离最大时，三棱锥A BCD -的体积最大， 此时平面ABC ⊥平面ABD ，且点C 到平面ABD 的距离1d =， ∴1113311332A BCD C ABD ABD V V S d --∆===⨯⨯g 故选：B ．3．（3分）数列{}n a 满足11a =，对*n N ∀∈，都有11n n a a a n +=++，则122019111(a a a ++⋯⋯+= ) A ．20182019B ．20192020C ．40362019D ．20191010【解答】解：由题意，可知11n n a a n +=++， 即11n n a a n +-=+． 212a a ∴-=， 323a a -=，g g g1n n a a n --=．各项相加，可得 123n a a n -=++⋯+，1(1)231232n n n a a n n +∴=+++⋯+=+++⋯+=，*n N ∈， 12112()(1)1n a n n n n ==-++， 则122019111a a a ++⋯+111112(1)2()2()22320192020=-+-+⋯+-111112(1)22320192020=-+-+⋯+- 12(1)2020=- 20191010=， 故选：D ．4．（3分）已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是( ) A ．(0,)6πB ．(,)64ππC ．(,)43ππD ．(,)32ππ【解答】解：Q 抛物线的焦点和双曲线的焦点相同， 2p c ∴=A Q 是它们的一个公共点，且AF 垂直x 轴，设A 点的纵坐标大于0， ||AF p ∴=，(2pA ∴，)p ， Q 点A 在双曲线上，∴222214p p a b -=， 2p c =Q ，222b c a =-，∴2222241c c a c a-=-， 化简得：422460c c a a -+=， 42610e e ∴-+=， 21e >Q ，23e ∴=+21()3ba ∴+=+2()23ba∴=+ l ∴的倾斜角所在的区间可能是(3π，)2π，故选：D ．5．（3分）如图，圆O 为直角三角形ABC 内切圆，已知3AC =，4BC =，90C ∠=︒，过圆心O 的直线交圆O 于两点P ，Q ，则BP CQ u u u r u u u rg的取值范围是( )A ．[1，1]B ．[7-，7]C ．[1-，7]D ．[7-，1]【解答】解：以O 为坐标原点，与直线BC 平行的直线为x 轴， 与直线AC 平行的直线为y 轴，建立直角坐标系， 设ABC ∆的内切圆的半径为r ，运用面积相等可得，1134(345)22r ⨯⨯=++，解得1r =，则(3,1)B --，(1,1)C -， 即有圆22:1O x y +=，当直线PQ 的斜率不存在时，即有(0,1)P ，(0,1)Q -， (3,3)BP =u u u r ，(1,0)CQ =-u u u r ，即有3BP CQ =-u u u r u u u rg ．当直线PQ 的斜率存在时，设直线:l y kx =，(0)k <， 代入圆的方程可得2(1P k+，21k +，(Q21k+2)1k+，即有2(31BP k=+u u u r，211k+，(CQ =211k -+21)1k++，则有22222(3)(1)(1)(1)311111BP CQ k k k k k =+-+=-+++++u u u r u u u r g 由211k +…可得2041k +，则有23311k-<-++．同理当0k >时，求得P (21k +21k +，2(1Q k +，21k+，则有231BP CQ k =-+u u u r u u u r g 则有27331k --<-+…，综上可得，BP CQ u u u r u u u rg的取值范围是[7-，1]． 故答案为：[7-，1]． 故选：D ．二、填空题6．（3分）设a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 233a b c-=，则222a b c ac +-的取值范围为 (0，23] ．【解答】233a b c-=， 由正弦定理可得，2sin cos 3sin cos 3sin cos A C B C C B =， 即2sin cos 3cos 3cos 3)3A C B C C B B C A =+，所以3cos C =6C π=， 所以506B π<<，所以sin (0B ∈，1]，则2222cos 33sin 23sin (0,23]2a b c ab C b B B ac ac +-===∈．故答案为：(0，3] 7．（3分）若0a >，0b >，且11121a b b +=++，则2a b +的最小值为 132 ． 【解答】解：0a >Q ，0b >，且11121a b b +=++， (2)3(1)323(1)113123(1)33123(1)12()()23222221222(1)2(2)2222(1)2(2)2a b b a b b a b b a b b a b a b b b a b b a b +++++++++∴+=-=++-=+++-+++++++g …， 当且仅当23(1)2(1)2(2)a b b b a b ++=++，0a >，0b >，且11121a b b +=++，即3b =，132a =+取等号，∴则2a b +的最小值为132故答案为：132+8．（3分）设()f x 是定义在R 上的偶函数，x R ∀∈，都有(2)(2)f x f x -=+，且当[0x ∈，2]时，()22x f x =-，若函数()()log (1)(0a g x f x x a =-+>，1)a ≠在区间(1-，9]内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是 1(9，1)(35⋃，7) ．【解答】解：()f x Q 是定义在R 上的偶函数，且(2)(2)f x f x -=+， ()f x ∴的周期为4，作函数()f x 与log (1)a y x =+在(1-，9]上的图象如下，，当1a >时，(21)2(61)2a alog log +<⎧⎨+>⎩，37a <<；当01a <<时，(41)1(81)1a alog log +>-⎧⎨+<-⎩，解得，1195a <<；故答案为：1(9，1)(35⋃7)．三、解答题9．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为(,0)F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA ∆的面积为22b ．()I 求椭圆的离心率；()II 设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，//PM QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c ． ()i 求直线FP 的斜率； ()ii 求椭圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆的离心率为e ．由已知，可得21()22b c a c +=．又由222b a c =-，可得2220c ac a +-=，即2210e e +-=．又因为01e <<，解得12e =．所以，椭圆的离心率为12； （Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP 的方程为(0)x my c m =->，则直线FP 的斜率为1m． 由（Ⅰ）知2a c =，可得直线AE 的方程为12x yc c+=，即220x y c +-=，与直线FP 的方程联立，可解得(22)3,22m c c x y m m -==++，即点Q 的坐标为(22)3(,)22m c cm m -++．由已知3||2c FQ =，有222(22)33[]()()222m c c c c m m -++=++，整理得2340m m -=，所以43m =，即直线FP 的斜率为34． ()ii 解：由2a c =，可得b =，故椭圆方程可以表示为2222143x y c c+=．由()i 得直线FP 的方程为3430x y c -+=，与椭圆方程联立22223430143x y c x y cc -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ， 整理得2276130x cx c +-=，解得137cx =-（舍去），或x c =． 因此可得点3(,)2c P c，进而可得5||2cFP ==， 所以53||||||22c cPQ FP FQ c =-=-=．由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP ．因为QN FP ⊥，所以339||||tan 248c cQN FQ QFN =∠=⨯=g ， 所以FQN ∆的面积为2127||||232c FQ QN =，同理FPM ∆的面积等于27532c ，由四边形PQNM 的面积为3c ，得22752733232c c c -=，整理得22c c =，又由0c >，得2c =．所以，椭圆的方程为2211612x y +=．10．已知函数3()sin ()2f x ax x a R =-∈，且在[0,]2π上的最大值为32π-，（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 在(0,)π内的零点个数，并加以证明．【解答】解：()I 由已知得()(sin cos )f x a x x x '=+，对于任意的(0,)2x π∈，有sin cos 0x x x +>，当0a =时，3()2f x =-，不合题意；当0a <时，(0,)2x π∈，()0f x '<，从而()f x 在(0,)2π单调递减，又函数3()sin ()2f x ax x a R =-∈在[0,]2π上图象是连续不断的，故函数在[0,]2π上上的最大值为3(0)2f =-，不合题意；当0a >时，(0,)2x π∈，()0f x '>，从而()f x 在(0,)2π单调递增，又函数3()sin ()2f x ax x a R =-∈在[0,]2π上图象是连续不断的，故函数在[0,]2π上上的最大值为33()2222f a πππ-=-=，解得1a =，综上所述，得3()sin 2f x x x =-()II 函数()f x 在(0,)π内有且仅有两个零点．证明如下：由()I 知，3()sin 2f x x x =-，从而有3(0)02f =-<，3()022f ππ-=>， 又函数在[0,]2π上图象是连续不断的，所以函数()f x 在(0,)2π内至少存在一个零点，又由()I 知()f x 在(0,)2π单调递增，故函数()f x 在(0,)2π内仅有一个零点．当[2x π∈，]π时，令()()sin cos g x f x x x x ='=+，由()102g π=>，()0g ππ=-<，且()g x 在[2π，]π上的图象是连续不断的，故存在(2m π∈，)π，使得()0g m =． 由()2cos sin g x x x x '=-，知(2x π∈，)π时，有()0g x '<，从而()g x 在[2π，]π上单调递减．当(2x π∈，)m ，()()0g x g m >=，即()0f x '>，从而()f x 在(2π，)m 内单调递增故当(2x π∈，)m 时，3()()022f x f ππ->=>，从而()x 在(2π，)m 内无零点；第11页（共11页）当(,)x m π∈时，有()()0g x g m <=，即()0f x '<，从而()f x 在(2π，)m 内单调递减． 又()0f m >，()0f π<且()f x 在[m ，]π上的图象是连续不断的，从而()f x 在[m ，]π内有且仅有一个零点．综上所述，函数()f x 在(0,)π内有且仅有两个零点．。