数学文化与高考数学

高考数学文化专题一、数学名著中的立几题，例如：2015年全国1卷文6理6题；6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛二、数学名著中的数列题，例如：2011年湖北卷文9理13题；13.《九章算术》“竹九节”问题：现有1根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升。

三、数学名著中的算法题，例如：2015年全国2卷文8理8题；（8）右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。

执行该程序框图，若输入a,b分别为14,18，则输出的a=A.0B.2C.4D.14四、数学名著中的统计题，例如：2015年湖北卷文2理2题2．（5分）（2015•湖北）我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石B．169石C．338石D．1365石五、杨辉三角，例如：2004年上海春季卷11题；11．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14与第15个数的比为3:2.六、祖暅原理，例如：2013年上海卷理13题；13．在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为2418y ππ-+，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________七、形数，例如：2009年湖北卷文10理10题；10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数。

比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…这样的数为正方形数。

下列数中既是三角形数又是正方形数的是A.289B.1024C.1225D.1378八、斐波那契数列，例如：2009年福建卷理15题15.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051………………已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为九、阿波罗尼斯圆，例如：2014年湖北卷文17题；17．（5分）（2014•湖北）已知圆O ：x2+y2=1和点A （﹣2，0），若定点B （b ，0）（b ≠﹣2）和常数λ满足：对圆O 上任意一点M ，都有|MB|=λ|MA|，则：（Ⅰ）b=；（Ⅱ）λ=．十、伯努力不等式，例如：2012年湖北卷理22题；22.(本小题满分14分)（1）已知函数()()()=-+1->0rf x rx x r x ，其中r 为有理数，且0<<1r .求()f x 的最小值；（2）试用（1）的结果证明如下命题：设12120,0,,a a b b ≥≥为正有理数，若12+=1b b ，则12121122+b b a a a b a b ≤；（3）请将（2）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题。

注：当α为正有理数时，有求导公式()-1'=x x ααα十一、回文数，例如：2012年湖北卷文13题；13．已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为______；(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为______．十二、数字黑洞，例如：2014年湖北卷理13题；13．(2014湖北，理13)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数，将组成a 的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a ＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b＝________.十三、角谷猜想，例如：2009年湖北卷理15题15．已知数列{}n a 满足：1a ＝m （m 为正整数），1,231,n n n n n a a a a a +=+⎧⎪⎨⎪⎩当为偶数时，当为奇数时。

若6a ＝1，则m 所有可能的取值为__________。

十四、四色定理，例如：2003年全国卷理15题；15．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）十五、格点问题，例如：2013年湖北卷文17题；17．在平面直角坐标系中，若点(,)P x y 的坐标x ，y 均为整数，则称点P 为格点.若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L .例如图中△ABC 是格点三角形，对应的1S =，0N =，4L =.（Ⅰ）图中格点四边形DEFG 对应的,,S N L 分别是；（Ⅱ）已知格点多边形的面积可表示为S aN bL c =++，其中a ，b ，c 为常数.若某格点多边形对应的71N =，18L =，则S =（用数值作答）.十六、米勒问题，例如：2005年天津卷理20题(20)(本小题满分12)某人在一山坡P 处观看对面山项上的一座铁塔如图所示，塔及所在的山崖可视为图中的竖线OC ，塔高BC 80(米)，山高OB 220(米)，OA 200(米)，图中所示的山坡可视为直线l 且点P 在直线l 上，l 与水平地面的夹角为α，21tan =αt 试问，此人距山崖的水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC 最大(不计此人的身高)？第17题图十七、摆线问题，例如：2011年江西卷理10题；10．如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是()十八、黄金分割，例如：2009年四川卷文5题5、设矩形的长为a ，宽为b ，其比满足b ∶a ＝618.0215≈-，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形。

黄金矩形常应用于工艺品设计中。

下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是A.甲批次的总体平均数与标准值更接近B.乙批次的总体平均数与标准值更接近C.两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D.两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定十九、逻辑推理，例如：2014年全国1卷文14理14题；（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为________.二十、算术-几何平均数，例如：2010年湖北卷理15题；15．设00a b ＞，＞，称2ab a b 为a ，b 的调和平均数．如图，C 为线殴AB 上的点，且AC =a ，CB =b ，O 为AB 中点，以AB 为直径作半圆．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．连结OD ，AD ，BD ．过点C 作OD 的垂线，垂足为E ．则图中线段OD 的长度是a ，b 的算术平均数，线段的长度是a ，b 的几何平均数，线段的长度是a ，b 的调和平均数．2017届全国各地高三最新数学文化46题1.(数学文卷·2017届安徽省皖智教育1号卷A10联盟高三下学期开年考试第3题)我国古代著名的思想家庄子在《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”用现代语言叙述为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完.这样，每日剩下的部分都是前一日的一半.如果把“一尺之棰”看成单位“1”，那么剩下的部分所成的数列的通项公式为（）A.12n a n = B.12n a n = C.12n n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ D.2nn a =2.(江淮十校2017届高三第一次联考文数试题第7题)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=1/2（弦⨯矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为32π，弦长等于4米的弧田.按照上述方法计算出弧田的面积约为（）A.6平方米 B.9平方米C.12平方米 D.15平方米3.(数学（文）卷·2017届新疆奎屯市第一高级中学高三上学期第二次月考试题第9题)齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马,田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛,则田忌马获胜的概率为（）A．13B．14C．15D．164.(数学文卷·2017届湖南省衡阳市第八中学高三上学期实验班第三次月考第11题)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为（）A．24里B．12里C．6里D．3里5.(数学文卷·2017届江西省南昌二中高三上学期第二次考试第9题)《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 14+a 15+a 16+a 17的值为（）A ．55B ．52C ．39D ．266.(数学（文）卷·2017届湖南省邵阳市洞口县第一中学高三上学期第三次模拟考试第9题)吴敬《九章算法比类大全》中描述：远望巍巍塔七层，红灯向下成培增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？（）A．5B．4C．3D．27.(数学文卷·2017届湖南师范大学附属中学高三上学期月考（三）第5题)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为（）A．13B．14C．158.(数学文卷·2017届四川省资阳市高三上学期第一次诊断考试第9题)公元263年左右，我国数学家刘徽发现，当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，由此创立了割圆术，利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值3.14，这就是著名的徽率．如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的n值为 1.732=，sin150.2588︒≈)︒≈，sin7.50.1305 A．12B．24C．48D．969.(数学（文）卷·2017届河北省承德实验中学高三上学期期中考试试题第8题)远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.下图所示的是一位母亲记录的孩子自出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满七进一，根据图示可知，孩子已经出生的天数是（）A．336B．510C．1326D．360310.(数学卷·2017届河北省定州中学高三上学期周练第10题)中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器———商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A．1.2B．1.6C．1.8D．2.4 11.(数学文卷·2017届重庆十一中高三11月月考第6题)欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，e表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第根据欧拉公式可知，2i三象限D．第四象限12.(滁州中学2016—2017学年度第一学期半月考高三文科数学试卷)《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。