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2020高考数学二轮复习讲义专题1.2 函数与导数(教学案)

一．考场传真1.【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D2．【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z==，则 A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z【答案】D【解析】令235(1)xy z k k ===>，则2log x k =，3log y k =，5log z k =，则23x y >，，则25x z <，故选D. 3．【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）A.1-B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A4．【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足x 的取值范围是_________.5．【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a =A 1B 1C 1D ．1【答案】C【解析】函数的零点满足()2112x x x x a e e --+-=-+，设()11x x g x ee --+=+，则当()0g x '=时，1x =，当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数取得最小值()12g =，设()22h x x x =-，当1x =时，函数取得最小值1-，若0a ->，函数()h x 与函数()ag x 没有交点，当0a -<时，()()11ag h -=时，此时函数()h x 和()ag x 有一个交点，即21a -⨯=-，解得.故选C.6．【2017课标1，理21】已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.7．【2017课标II ，理】已知函数()2ln f x ax ax x x =--，且()0f x ≥.(1)求a ；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()2202ef x --<<.【解析】（1）()f x 的定义域为()0，+∞.设()ln g x ax a x =--，则()()f x xg x =，()0f x ≥等价于()0g x ≥.因为()()10,0g g x =≥，因()'10g =，而，得1a =. 若1a =，则当01x <<时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x >时，()'0g x >，()g x 单调递增.所以1x =是()g x 的极小值点，故()()10g x g ≥=，综上，1a =. （2）由（1）知()2ln f x x x x x =--，()'22ln f x x x =--.设()22ln h x x x =--，则时，()'0h x <；当时，()'0h x >，所以()h x 在.又()20h e ->，，()10h =，所以()h x 在有唯一零点0x ，1，且当()00,x x ∈时，()0h x >；当()0,1x x ∈时，()0h x <，当()1,x ∈+∞时，()0h x >.因为()()'f x h x =，所以0x x =是()f x 的唯一极大值点.由()0'0f x =得()00ln 21x x =-，故()()0001f x x x =-. 由()00,1x ∈得因为0x x =是()f x 在（0,1）的最大值点，由()10,1e -∈，()1'0f e -≠得()()120f x f e e -->=.所以()2202ef x --<<.8．【2017课标3，理21】已知函数()1ln f x x a x =--. （1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数112n ⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎭⎝⎭m 的最小值.二．高考研究 【考纲解读】1.考纲要求1．函数：（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.（3）了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.（4）理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义.（5）会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.2．指数函数：（1）了解指数函数模型的实际背景.（2）理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.（3）理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，1/2，1/3的指数函数的图像．（4）体会指数函数是一类重要的函数模型.3．对数函数：（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.（2）理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，10，1/2的对数函数的图像．（3）体会对数函数是一类重要的函数模型；（4）了解指数函数与对数函数（）互为反函数.4．幂函数：（1）了解幂函数的概念.（2）结合函数的图像，了解它们的变化情况.5．函数与方程：结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.6．函数模型及其应用：（1）了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.（2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用.7．导数及其应用：（1）了解导数概念的实际背景.（2）通过函数图像直观理解导数的几何意义.（3）根据导数的定义求函数(c为常数)的导数.（4）能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如f（ax+b）的复合函数）的导数. 常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式：(C为常数)；, n∈N+；；; ;(a>0,且a≠1); ; (a>0,且a≠1).常用的导数运算法则：法则1 .法则2 .法则3 .（5）了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.（6）了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.（7）会用导数解决某些实际问题..（8）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.（9）了解微积分基本定理的含义.2.命题规律高考对函数的考查以选择或填空题形式呈现，考查对数函数、含无理式的函数的定义域；以二次函数的图象与性质为主，结合函数的性质综合考查分析与解决问题的能力，函数的图象与性质历来是高考的重点，也是热点，对于函数图象的考查体现在两个方面：一是识图；二是用图，即通过函数的图象，利用数形结合的思想方法解决问题；对于函数的性质，主要考查函数单调性、奇偶性、周期性；函数的奇偶性、周期性往往与分段函数、函数与方程结合，考查函数的求值与计算；考查数形结合解决问题的能力等．每年都有函数试题，而且常考常新．以基本函数为背景的应用题和综合题是高考命题的新趋势．高考对导数的考查，主要是考查导数的概念、计算、几何意义以及导数在研究函数中的应用；从考查形式上看，基本上是以一道小题和一道大题形式出现，其中导数的几何意义考查，试题难度较低，有选择题、填空题，有时作为解答题中的关键一步,常常与直线的斜率、倾斜角、直线的方程、三角函数等相结合. 导数的应用涉及的知识点多，综合性强，要么直接求极值或最值，要么利用极值或最值求参数的取值范围，常与函数的单调性，函数的零点，不等式及实际问题，形成知识的交汇问题．选择题、填空题往往侧重于利用导数确定函数的单调性和极值，一般属于低档题目；解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列等知识的综合应用，一般难度较大，属于中高档题，综合考查函数方程思想及数学应用意识，考查转化与化归思想、分类讨论思想及数形结合思想的理解运用；考查分析与解决问题的能力、应用意识及创新能力.3．学法导航1.已知函数的解析式，判断其图象的关键是由函数解析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.2.(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.(2)图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.3.指数函数、对数函数的图象和性质受底数a的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a的范围.4.利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.5．函数的零点、方程的实根、函数图象与x轴的交点的横坐标是三个等价的概念，解决这类问题可以通过函数的单调性、极值与最值，画出函数图象的变化趋势，数形结合求解.一．基础知识整合基础知识：1．函数及其图象(1)定义域、值域和对应关系是确定函数的三要素，是一个整体，研究函数问题时务必遵循“定义域优先”的原则．(2)对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则；(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性；(3)周期性：周期性也是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其周期T＝ka(k∈Z)．3．函数的零点与方程的根：(1)函数的零点与方程根的关系：函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根，即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．(2)零点存在性定理：如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0, 这个c 也就是方程f (x )＝0的根． 注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.4．导数的几何意义：(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率，即k ＝f ′(x 0)．(2)曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．5．函数的单调性与导数：如果已知函数在某个区间上单调递增(减)，则这个函数的导数在这个区间上大(小)于或等于零恒成立．在区间上离散点处导数等于零，不影响函数的单调性，如函数y ＝x ＋sin x .6．函数的导数与极值：对可导函数而言，某点导数等于零是函数在该点取得极值的必要条件．例如f (x )＝x 3，虽有f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点，因为f ′(x )≥0恒成立，f (x )＝x 3在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，无极值．7．闭区间上函数的最值在闭区间上连续的函数，一定有最大值和最小值，其最大值是区间的端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极大值中的最大者，最小值是区间端点处的函数值和在这个区间内函数的所有极小值中的最小者. 8．利用定积分求曲边梯形的面积（1）由直线x=a ，x=b a b <（），x 轴及一条曲线()y f x =(()0)f x ≥围成的曲边梯形的面积()baS f x dx =⎰，若'()()F X f x =，则(-S F b F =）（a). （2）推广：由直线x=a ，x=b a b <（），()y f x =和y=g(x ）（()f x >g(x ））围成的平面图形的面积为[()()]ba S f x g x dx =-⎰二．高频考点突破考点1 函数的定义及其表示【例1】函数的定义域为（ ）A ．B ． C. D ．【分析】的定义域就是函数解析式有意义的自变量的取值范围.【答案】D的定义域为，故选D.【例2】【2018陕西西安长安区质检】已知(),0{ ,0xlgx x f x a b x ->=+≤且()()02,14f f =-=，则()()2f f -= A. -1 B. 2 C. 3 D. -3【分析】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值.． 【答案】A【例3】已知函数的图象如图所示，则的解析式可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】本题紧扣图像，可排除不符合图像的选择支，从而可得答案．【答案】A【解析】，排除C选项；，排除D选项；，排除B，故选A．【规律方法】1、求解函数的定义域一般应遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数；②是分式时，定义域是使分母不为零的一切实数；③为偶次根式时，定义域是使被开方数为非负值时的实数的集合；④对数函数的真数大于零，且当对数函数或指数函数的底数中含变量时，底数需大于0且不等于1；⑤零指数幂的底数不能为零；⑥若是由有限个基本初等函数运算合成的函数，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集；⑦对于求复合函数定义域的问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数的定义域应由不等式解出；⑧对于含字母参数的函数求其定义域，根据具体情况需对字母参数进行分类讨论；⑨由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．2、函数值域的求法:利用函数的单调性:若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x的范围.利用三角函数的有界性,如.利用“分离常数”法:形如y=或(至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法. 利用换元法:形如型,可用此法求其值域.利用基本不等式法:导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域3、分段函数题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值：首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围：应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．(3)分类讨论时要遵循分类的原则．4、求函数的解析式的常用方法：（1）.代入法：如已知求时，有.（2）.待定系数法：已知的函数类型，要求的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可.（3）.拼凑法：已知的解析式，要求的解析式时，可从的解析式中拼凑出“”，即用来表示，，再将解析式的两边的用代替即可.（4）.换元法：令，在求出的解析式，然后用代替解析式中所有的即可.（5）.方程组法：已知与满足的关系式，要求时，可用代替两边的所有的，得到关于的方程组，解之即可得出.（6）.赋值法：给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式.（7）.若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．（8）.应用题求解析式可用待定系数法求解．注意：求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错．【举一反三】1.已知函数是上的单调函数，且对任意实数都有，则（）A．1 B． C. D．0【答案】C2.【20180＜a ＜b ＜c ，满足f （a ）=f （b ）=f （c）__． 【答案】（1，2）的图象如下：0a b c ＜＜＜，满足()()()f a f b f c ==，22log log a b ∴-=，即1ab =，()c f c =故答案为()12，考点2 函数的图象【例4】函数的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】识图时应从函数性质方面（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性），函数的极值或者特殊点考虑. 【答案】A【规律方法】(1)根据函数的解析式判断函数的图象，要从定义域、值域、单调性、奇偶性等方面入手，结合给出的函数图象进行全面分析，有时也可结合特殊的函数值进行辅助推断，这是解决函数图象判断类试题的基本方法．(2)研究函数时，注意结合图象，在解方程和不等式等问题时，借助图象能起到十分快捷的作用．(3)作图、识图、用图技巧(a )作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．描绘函数图象时，要从函数性质入手，抓住关键点(图象最高点、最低点、与坐标轴的交点等)和对称性进行．(b )识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(c )用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象结合研究． 【举一反三】【2018江西南昌摸底】已知函数()21,0,()={ 3,0ln x x f x x x x +>-+≤，则实数m 的取值范围为__________．考点3 函数的性质【例5】【2018辽宁两校联考】设是定义在上的奇函数，且其图象关于对称，当时，，则的值为（）A. -1,B. 0C. 1D. 不能确定【分析】利用奇偶性和周期性，结合函数求值即可解出．【答案】C【解析】定义在上的奇函数的图象是关于直线对称，，,即故函数的周期为，，则，故选【例6】可导函数的导函数为，且满足：①；②，记，，则的大小顺序为（）A． B． C. D．【分析】本题利用函数的单调性.比较的大小,想到利用函数的单调性,由和想到构造函数,求导,根据利用积商符号法则判断函数的单调性,并对根据进行等价变形为,根据函数的单调性即可得出的大小.【答案】C【规律方法】1．函数的单调性：（1）判断函数的单调性应先求定义域；（2）用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：取值—作差—变形—判号—定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等；（3）用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视．(4)如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方法，首先判断两个简单函数的单调性，再根据“同则增，异则减”的法则求解函数的单调区间．（5）单调性的应用主要涉及利用单调性求最值，进行大小比较，解抽象函数不等式，解题时要注意一是函数定义域的限制，二是函数单调性的判定，三是等价转化思想与数形结合思想的运用．如若已知为偶函数且在[)0,+∞内单调递增，那么对于形如()()f m f n >的不等式中,m n 符号不确定，可转化为()()()()f m f n fm f n m n >⇔>⇔>，可避免分类讨论．2．函数的周期性：（1）判断函数的周期只需证明()()()0f x T f x T +=≠便可证明函数是周期函数，且周期为T ，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．（2）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T 是函数的周期，则(kT k Z ∈且0)k ≠ 也是函数的周期．2．函数的奇偶性：（1）判断函数的奇偶性首先必须检验函数的定义域是否关于原点对称，然后检验对任意的x 是否有f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )成立，必要时，可对上式作变形处理：f (－x )±f (x )＝0.（2）分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．【举一反三】已知定义在上的奇函数满足:当时，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C.D ．【答案】A考点4 指数函数、对数函数、幂函数【例7】【2018湖南株洲两校联考】设函数f （x ）的定义域为D ，若f （x ）满足条件：存在 [a ，b ]⊆D （a ＜b ），使f （x ）在[a ，b ]上的值域也是[a ，b ]，则称为“优美函数”，若函数()()24x f x log t =+为“优美函数”，则t 的取值范围是（ ） A. B. ()0,1 C. D. 【分析】定义新函数的定义域与值域相同，先判定函数的单调性，然后转化为函数方程根的情况，本题的关键也是能否转化为函数根的问题，然后求解. 【答案】D【解析】()()24xf x log t =+为增函数，存在[](),a b D a b ⊆<,使()f x 在[],a b 上的值域也为[],a b ，则()()22log 4{log 4a bt a t b+=+=，即42{42aab bt t +=+=，,a b ∴是方程420x x t -+=的两个不等的根，设2x m =，20m m t ∴-+=有两个不等的实根，且两根都大于0，140{0t t =->∴>，解得，故答案选D【例8】已知a R ∈，函数（1）当5a=时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程2()log [(4)25]0f x a x a --+-=的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；（3）设0a >，若对任意，函数()f x 在区间[,1]t t +上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【分析】（1（2）转化得到()()24510a x a x -+--=，讨论当4a =、3a =时，以及3a ≠且4a ≠时的情况．（3）讨论()f x 在()0,+∞上单调递减．确定函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值之差.得到()2110at a t ++-≥，对任意当3a ≠且4a ≠时，114x a =-，21x =-，12x x ≠．1x 是原方程的解当且仅当110a x +>，即2a >；2x 是原方程的解当且仅当210a x +>，即1a >． 于是满足题意的(]1,2a ∈．综上，a 的取值范围为(]{}1,23,4．【规律方法】1.对数函数的定义域为，指数函数的值域.2．熟练掌握指数、对数的运算性质以及指对互化；熟练掌握指数函数、对数函数的图象和性质，当底数的范围不确定时要分类讨论.3.注意利用指数函数、对数函数、幂函数的图像灵活运用数形结合思想解题. 【举一反三】【2018，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则） A. 2 B. 4 C. 8 D. 随a 值变化【答案】A【解析】不妨设1a ＞ ；故12341111bbbbx a x a x a x a --=-+=-+=+=+，，，，故A ． 考点5 函数的零点【例9】【2018南宁摸底联考】设函数是定义在上的偶函数，且，当时，，若在区间内关于的方程（且）有且只有4个不同的根，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【分析】对于求不同类的两个函数构成的方程，我们常把方程变形为f(x)=g(x)，然后根据y=f(x)与y=g(x)的两个图像交点个数来判断原方程根的个数.如本题把方程变形为，再画出两个函数的图像，根据两个图像有4个交点，求出参数a的范围.【答案】D【规律方法】1．求的零点值时，直接令解方程，当为分段函数时，要分段列方程组求解；2．已知在区间上单调且有零点时，利用讨论；3．求的零点个数时，一般用数形结合法；讨论函数与的图象交点个数，即方程的解的个数，一般用数形结合法．4．已知零点存在情况求参数的值或取值范围时，利用方程思想和数形结合思想，构造关于参数的方程或不等式求解．【举一反三】设是函数为常数）的两个零点，则的值为（）A ．B ．C ．D ．与常数有关【答案】A考点6 函数模型及其应用【例10】现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A B C D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A B C D -(如图所示)，并要求正四棱柱的高1PO 的四倍. （1）若16,PO 2,AB m m ==则仓库的容积是多少？（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？【分析】（1）几何体体积为柱与锥体积之和，需明确柱与锥体积公式区别，分别代入对应公式求解（2）从题目问题出发，以1PO 为自变量建立体积的函数关系式，与(1)相似，先用1PO 分别表示底面正方形周长及【规律方法】1．给出图象的题目要注意从图象中提取信息，这类题目常常是先求解析式，再讨论有关函数的性质或求最值、解不等式等．2．实际应用问题，要注意将背景中涉及题目解答的部分先行翻译为数学解题语言，并将条件和结论与学过的数学知识方法挂靠，依据相关知识与方法解决． 【举一反三】某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产，第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加3万元，该设备每年生产的收入均为21万元，设该设备使用了()*n n N ∈年后，盈利总额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n 等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．7或8 【答案】B7n =时，取最大值，选B.考点7 导数的运算及其几何意义【例11】【陕西省吴起中学2018届期中】已知函数.若直线与曲线都相切，则直线的方程为（）A. B.C. D.【分析】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．【答案】D【规律方法】导数几何意义的应用，需注意以下两点：(1)当曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是x＝x0；(2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线．曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．【举一反三】已知函数是奇函数，当时，，则曲线在处的切线方程为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，∵为奇函数，当时，，∴，∴，∴且，∴曲线在处的切线方程是．故选B．考点8 导数的应用（单调性、极值、最值）【例12】【四川省内江市2018届第一次模拟】当时，不等式恒成立，则的取值范围是A. B. C. D.【分析】在恒成立的条件下求得参量的取值范围，通过构造新函数，对新函数求导，然后对参量进行分类讨论，求得在定义域的条件下恒成立时参量的取值范围【答案】A【例13】已知函数（为常数，是自然对数的底数）在点处取极值.（1）求的值及函数的单调区间；（2）设，其中为的导函数，证明：对任意，.【分析】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力. 本题的第一问是直接求导,运用导数与函数单调性的关系求出单调区间使得问题获解；第二问则利用题设中的条件借助导数这一有效工具进行分析推证,从而使得不等式简捷巧妙获证.。

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2020届高考数学大二轮复习层级二专题一函数与导数第1讲函数的图象与性质教学案

2020届高考数学大二轮复习层级二专题一函数与导数第1讲函数的图象与性质教学案

第1讲 函数的图象与性质[考情考向·高考导航]1．高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下． 2．对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题．3．对函数性质的考查，主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题、填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．[真题体验]1．(2018·全国Ⅲ卷)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( ) A ．y ＝ln(1－x ) B ．y ＝ln(2－x ) C ．y ＝ln(1＋x )D ．y ＝ln(2＋x )解析：B [y ＝ln x 过点(1,0)，(1,0)关于x ＝1的对称点是(1,0)，而只有B 选项过此点，故选B.] 2．(2019·全国Ⅱ卷)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x－1，则当x <0时，f (x )＝( ) A ．e －x－1 B ．e －x＋1 C ．－e －x －1D ．－e －x＋1解析：D [当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝e －x－1， 又∵f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝e －x－1， 即f (x )＝－e －x＋1.]3．(2018·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝e x－e－xx2的图象大致为( )解析：B [∵f (－x )＝e －x－e x －x 2＝－e x －e－xx 2＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数，排除选项A ；又∵f (1)＝e －1e>1，排除选项C 、D ，故选B.]4．(2018·全国Ⅰ卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x ＞0，则满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)解析：D [画出函数f (x )的图象如图，①当2x ＜0，x ＋1≥0时f (x ＋1)＜f (2x )成立，∴－1≤x ＜0.②当2x ≤0，x ＋1≤0时，要使f (x ＋1)＜f (2x )成立，只需x ＋1＞2x ，∴x ≤－1.由①②知满足f (x ＋1)＜f (2x )的x 的取值范围是(－∞，0)．][主干整合]1．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．函数的性质 (1)单调性对于函数y ＝f (x )定义域内某一区间D 上的任意x 1，x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0(＜0)⇔y ＝f (x )在D 上是增(减)函数；对于函数y ＝f (x )定义域内某一区间D 上的任意x 1，x 2，f x 1－f x 2x 1－x 2＞0(＜0)⇔y ＝f (x )在D 上是增(减)函数．(2)奇偶性对于定义域(关于原点对称)内的任意x ，f (x )＋f (－x )＝0⇔y ＝f (x )是奇函数； 对于定义域(关于原点对称)内的任意x ，f (x )－f (－x )＝0⇔y ＝f (x )是偶函数． (3)周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a (a ≠0)； ②若满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a (a ≠0)； ③若满足f (x ＋a )＝1f x，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a (a ≠0)； ④若函数满足f (x ＋a )＝－1f x，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a (a ≠0)．(4)对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a .②若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．③若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．热点一 函数及其表示[题组突破]1．(2020·苏州模拟)函数f (x )的定义域是[0,3]，则函数y ＝f 2x －1lg 2－x的定义域是____________________．解析：因为函数f (x )的定义域是[0,3]，所以由⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x －1≤3，2－x ＞0，lg 2－x ≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧12≤x ≤2，x ＜2，x ≠1.即12≤x ＜2且x ≠1，即函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ＜2且x ≠1. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ＜2且x ≠12．(2018·江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，则f (f (15))的值为________．解析：因为f (x ＋4)＝f (x )，函数的周期为4，所以y ＝sin(2x ＋4)，f (15)＝f (－1)，f (－1)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12， ∴f (f (15))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝cos π4＝22.答案：223．(2017·课标全国Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x ＞0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＞1的x 的取值范围是________．解析：由题意：g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋32，x ≤02x＋x ＋12，0＜x ≤122＋12x －1，x ＞12，函数g (x )在区间(－∞，0]，⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞三段区间内均单调递增，且：g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝1,20＋0＋12＞1，(2＋1)×20－1＞1，据此x 的取值范围是：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞4．(多选题)在下列四组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1B ．f (x )＝|x ＋1|，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－1－x ，x <－1C ．f (x )＝1，g (x )＝(x ＋1)0D ．f (x )＝x2x，g (x )＝x x2解析：BD [本题考查判断两个函数是否相同．对于A ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠－1}，f (x )与g (x )的定义域不相同，则不是同一函数；对于B ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为R ，f (x )与g (x )的定义域相同，f (x )＝|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－1－x ，x <－1，对应关系相同，则f (x )与g (x )是同一函数；对于C ，函数f (x )的定义域为R ，g (x )的定义域为{x |x ≠－1}，f (x )与g (x )的定义域不相同，则不是同一函数；对于D ，函数f (x )＝x 2x＝1(x >0)，g (x )＝x x2＝1(x >0)的定义域与对应法则均相同，是同一函数．故选BD.]函数及其表示问题的注意点1．求函数的定义域时，要全面地列出不等式组，不可遗漏，并且要注意所列不等式中是否包含等号．2．对于分段函数解方程或不等式的问题，要注意在所应用函数解析式对应的自变量的范围这个大前提，要在这个前提条件下解决问题．热点二函数的图象及其应用[例1] (1)(2019·全国Ⅰ卷)函数f(x)＝sin x＋xcos x＋x2在[－π，π]的图象大致为( )[解析] D [∵f(－x)＝sin－x－xcos－x＋－x2＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A.当x＝π时，f(π)＝π－1＋π2＞0，排除B，C.故选D.] (2)如图，函数f (x )的图象为折线ACB ，则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A ．{x |－1＜x ≤0} B ．{x |－1≤x ≤1} C ．{x |－1＜x ≤1} D ．{x |－1＜x ≤2} [解析]C [令g (x )＝y ＝log 2(x ＋1)，作出函数g (x )图象如图．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，y ＝log 2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.∴结合图象知不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集为{x |－1＜x ≤1}．]识图、用图的方法技巧(1)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围，变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．如例1(1)(2)用图：在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究．如例1(2)(1)(2019·南昌三模)函数f (x )＝x e －x －e x4x 2－1的部分图象大致是( )解析：B [因为函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，f (－x )＝－x e x －e －x4x 2－1＝x e －x －e x4x 2－1＝f (x )，所以f (x )为偶函数， 所以f (x )的图象关于y 轴对称，故排除A ，令f (x )＝0，即x e －x －e x4x 2－1＝0，解得x ＝0， 所以函数f (x )只有一个零点，故排除D ， 当x ＝1时，f (1)＝1e－e 3＜0，故排除C ，综上所述，只有B 符合．](2)(2019·德州三模)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为________．解析：f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)的图象如图中实线所示．令x ＋2＝10－x ，得x ＝4.故当x ＝4时，f (x )取最大值，又f (4)＝6，所以f (x )的最大值为6.答案：6热点三函数的性质及其应用数学抽象素养数学抽象——抽象函数与函数的“三性”函数的周期性常常通过函数的奇偶性得到，函数的奇偶性体现的是一种对称关系，而函数的单调性体现的是函数值随自变量变化而变化的规律．在解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性.确定函数的单调性、奇偶性、对称性等[例2] (1)(2019·唐山调研)已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则( ) A．f(x)在(0,2)单调递增B．f(x)在(0,2)单调递减C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称[解析] C [由题意知，f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误；又f ′(x )＝1x －12－x ＝21－xx 2－x(0＜x ＜2)，在(0,1)上单调递增，在[1,2)上单调递减，A 、B 错误．故选C.](2)(2019·大同三模)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ [解析] A [f (x )是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，所以f (x )＞f (2x －1)⇔f (|x |)＞f (|2x －1|)⇒|x |＞|2x －1|⇒13＜x ＜1.]函数性质的综合应用[例3] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50[解析] C [f (x )是奇函数，图象关于原点对称，又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )关于x ＝1对称，故知f (x )是周期函数，周期T ＝4. 又∵f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－f (1)＝－2，f (4)＝f (－2)＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝2＋0＋(－2)＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.](2)(2019·武汉三模)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x ⎝⎛⎭⎪⎫1－2e x＋1，则( ) A ．f (－3)＜f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (－3)＜f (2) C ．f (2)＜f (－3)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 D ．f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (－3) [解析] D [因为f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x )＝f (x ＋2)，即函数的周期是2，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2e x ＋1＝x ·e x－1e x ＋1，则f (－x )＝－x ·e －x－1e －x ＋1＝－x ·1－e x 1＋e x ＝x ·e x－1e x＋1＝f (x )，则函数f (x )为偶函数，当0≤x ＜1时，函数y ＝x 为增函数，y ＝1－2e x ＋1也为增函数，则函数f (x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2e x ＋1＝x ·e x－1e x＋1在0≤x ＜1为增函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f (－3)＝f (－3＋2)＝f (－1)＝f (1)，f (2)＝f (0)，则f (0)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜f (1)，即f (2)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＜f (－3)．]函数三个性质的应用(1)奇偶性：具有奇偶性的函数在关于原点对称的区间上其图象、函数值、解析式和单调性联系密切，研究问题时可转化到只研究部分(一半)区间上．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )．(2)单调性：可以比较大小，求函数最值，解不等式，证明方程根的唯一性．(3)周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解．(1)(2019·贵阳调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝________.解析：∵f(x＋4)＝f(x－2)，∴f((x＋2)＋4)＝f((x＋2)－2)，即f(x＋6)＝f(x)，∴f(x)是周期为6的周期函数，∴f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1)．又f(x)是定义在R上偶函数，∴f(1)＝f(－1)＝6，即f(919)＝6.答案：6(2)(2019·青岛三模)已知偶函数y＝f(x)(x∈R)在区间[－1,0]上单调递增，且满足f(1－x)＋f(1＋x)＝0，给出下列判断：①f(5)＝0；②f(x)在[1,2]上是减函数；③函数y＝f(x)没有最小值；④函数f(x)在x＝0处取得最大值；⑤f(x)的图象关于直线x＝1对称．其中正确的序号是________．解析：因为f(1－x)＋f(1＋x)＝0，所以函数y＝f(x)(x∈R)关于点(1,0)对称，且周期为4，画出满足条件的图象，结合图象可知①②④正确．答案：①②④限时40分钟 满分80分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．(2020·湖北部分重点中学起点考试)已知函数f (x )＝(e x ＋e －x)ln 1－x 1＋x－1，若f (a )＝1，则f (－a )＝( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：D [解法一 由题意，f (a )＋f (－a )＝(e a＋e －a)ln1－a 1＋a －1＋(e a ＋e －a )ln 1＋a 1－a－1＝(e a ＋e －a)⎝ ⎛⎭⎪⎫ln1－a 1＋a ＋ln 1＋a 1－a －2＝－2，所以f (－a )＝－2－f (a )＝－3，故选D.解法二 令g (x )＝f (x )＋1＝(e x ＋e －x )ln 1－x 1＋x ，则g (－x )＝(e －x ＋e x )ln 1＋x 1－x ＝－(e x ＋e －x)ln 1－x 1＋x ＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以f (－a )＝g (－a )－1＝－g (a )－1＝－f (a )－2＝－3，故选D.]2．(2020·唐山摸底)设函数f (x )＝x (e x ＋e －x)，则f (x )( ) A ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：A [通解 由已知可知，f (－x )＝(－x )(e －x＋e x )＝－x (e x ＋e －x)＝－f (x )，故f (x )为奇函数．f ′(x )＝e x＋e －x＋x (e x －e －x )，当x ＞0时，e x ＞e －x ，所以x (e x －e －x )＞0，又e x ＋e －x＞0，所以f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，故选A.优解 根据题意知f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．又f (1)＜f (2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数，故选A.]3．(2019·合肥调研)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x ≥0，g x ，x ＜0，则g (f (－7))＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：D [函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x ≥0，g x ，x ＜0，设x ＜0，则－x ＞0，则f (－x )＝log 2(－x ＋1)， 因为f (－x )＝－f (x )，所以f (x )＝－f (－x )＝－log 2(－x ＋1)， 所以g (x )＝－log 2(－x ＋1)(x ＜0)， 所以f (－7)＝g (－7)＝－log 2(7＋1)＝－3， 所以g (－3)＝－log 2(3＋1)＝－2.]4．(2020·大连模拟)若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”： (1)∀x ∈R ，都有f (－x )＋f (x )＝0； (2)∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＜0.①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x ；④f (x )＝ln(x 2＋1＋x )． 以上四个函数中，“优美函数”的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：B [由条件(1)，得f(x)是奇函数，由条件(2)，得f(x)是R上的减函数．对于①，f(x)＝sin x在R上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f(x)＝－2x3既是奇函数，又在R上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f(x)＝1－x不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f(x)在R上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.]5．(2020·辽宁五校协作体联考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且x≥0时，f(x)＝(－x＋a ＋1)log2(x＋2)＋x＋m，其中a，m是常数，且a＞0.若f(0)＋f(a)＝1，则f(m－3)＝( ) A．1 B．－1C．6 D．－6解析：C [由题意知f(0)＝a＋1＋m＝0，所以a＋m＝－1，又f(a)＝log2(a＋2)＋a＋m，f(0)＋f(a)＝1，所以log2(a＋2)＝2，解得a＝2，所以m＝－3.于是，当x≥0时，f(x)＝(3－x)log2(x＋2)＋x－3.故f(m－3)＝f(－6)＝－f(6)＝－(－3log28＋3)＝6.故选C.]6．(组合型选择题)函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]上的图象分别如图(1)(2)所示：给出下列四个命题：①方程f(g(x))＝0有且仅有6个根；②方程g(f(x))＝0有且仅有3个根；③方程f(f(x))＝0有且仅有5个根；④方程g(f(g))＝0有且仅有4个根；其中正确命题的个数是( )A．4 B．3C．2 D．1解析：B [由图象可得－2≤g(x)≤2，－2≤f(x)≤2.对于①，观察f(x)的图象，可知满足方程f(g(x))＝0的g(x)有三个不同的值，一个值在－2或－1之间，一个值为0，一个值在1与2之间．再观察g(x)的图象，由图象知，g(x)的值在－2与－1之间时对应了2个x值，g(x)＝0时对应了2个x值，g(x)的值在1与2之间时对应了2个x值，故方程f(g(x))＝0有且仅有6个根，故①正确．对于②，观察g(x)的图象，可知满足g(f(x))＝0的f(x)有两个不同的值，一个值处于－2与－1之间，另一个值处于0与1之间．观察f(x)的图象，知f(x)的值在－2与－1之间时对应了1个x值，f(x)的值在0与1之间时对应了3个x值，所以方程g(f(x))＝0有且仅有4个根，故②不正确．对于③，观察f(x)的图象，可知满足方程f(f(x))＝0的f(x)有3个不同的值，一个值在－2与－1之间，一个值为0，一个值在1与2之间．再观察f(x)的图象，由图象知f(x)的值在－2与－1之间时对应了1个x值，f(x)＝0时对应了3个x值，f(x)的值在1与2之间时对应了1个x值，故方程f(f(x))＝0有且仅有5个根，故③正确．对于④，观察g(x)的图象，可知满足方程g(g(x))＝0的g(x)有2个不同的值，一个值在－2与－1之间，一个值在0与1之间．再观察g(x)的图象，由图象可知g(x)的值在－2与－1之间时对应了2个x 值，g(x)的值在0与1之间时对应了2个x值，故方程g(g(x))＝0有且仅有4个根，故④正确．综上所述，正确命题的个数是3.故选B.]7．(2019·广州二模)已知定义在R上的函数f(x)，对任意x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立，若函数y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝－1对称，则f(2 022)的值为( )A．2 018 B．－2 018C．0 D．4解析：C [依题意得，函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0对称，因此函数y＝f(x)是偶函数，且f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，即f(2)＝f(2)＋f(2)，所以f(2)＝0，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数y＝f(x)是以4为周期的函数，f(2 022)＝f(4×505＋2)＝f(2)＝0.]8．(2019·苏州调研)函数y＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：C [令f (x )＝sin 2x1－cos x，∵f (1)＝sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，∴排除选项A ，D.由1－cos x ≠0得x ≠2k π(k ∈Z )， 故函数f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝sin －2x 1－cos －x ＝－sin 2x1－cos x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，∴排除选项B.故选C.] 9．已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0,4)．当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a |x ＋b |的图象为( )解析：B [因为x ∈(0,4)，所以x ＋1＞1，所以f (x )＝x －4＋9x ＋1＝x ＋1＋9x ＋1－5≥2 x ＋1×9x ＋1－5＝1，当且仅当x ＝2时取等号，且f (x )的最小值为1，所以a ＝2，b ＝1，所以g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|，其图象关于直线x ＝－1对称，又g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x ＋1|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，所以B.] 10．(2020·河北衡水中学模拟)已知函数f (x )＝22 019x＋1＋sin x ，其中f ′(x )为函数f (x )的导数，则f (2 018)＋f (－2 018)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)等于( )A ．2B ．2 019C ．2 018D ．0解析：A [由题意得f (x )＋f (－x )＝2，∴f (2 018)＋f (－2 018)＝2，由f (x )＋f (－x )＝2可得f (x )－1＋f (－x )－1＝0， ∴y ＝f (x )－1为奇函数， ∴y ＝f (x )－1的导函数为偶函数，即y ＝f ′(x )为偶函数，其图象关于y 轴对称， ∴f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝0，∴f (2 018)＋f (－2 018)＋f ′(2 019)－f ′(－2 019)＝2.故选A.]11．(2019·定州二模)已知a ＞0，设函数f (x )＝2 019x ＋1＋2 0172 019x＋1(x ∈[－a ，a ])的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝( )A ．2 017B ．2 019C ．4 040D ．4 036解析：D [由题意得f (x )＝2 019x ＋1＋2 0172 019x ＋1＝2 019－22 019x＋1. 因为y ＝2 019x＋1在[－a ，a ]上是单调递增的， 所以f (x )＝2 019－22 019x＋1在[－a ，a ]上是单调递增的，所以M ＝f (a )，N ＝f (－a )， 所以M ＋N ＝f (a )＋f (－a )＝4 038－22 019a ＋1－22 019－a＋1＝4 036.] 12．(2019·贵阳监测)已知函数f (x )＝2xx －1，则下列结论正确的是( ) A ．函数f (x )的图象关于点(1,2)中心对称 B ．函数f (x )在(－∞，1)上是增函数C ．函数f (x )的图象上存在不同的两点A 、B ，使得直线AB ∥x 轴D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称 解析：A [因为f (x )＝2x x －1＝2x －1＋2x －1＝2x －1＋2，所以该函数图象可以由y ＝2x的图象向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度得到，所以函数f (x )的图象关于点(1,2)中心对称，A 正确，D 错误；易知函数f (x )在(－∞，1)上单调递减，故B 错误；易知函数f (x )的图象是由y ＝2x的图象平移得到的，所以不存在不同的两点A 、B ，使得直线AB ∥x 轴，C 错误．故选A.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．(2020·安徽江淮十校联考)函数f (x )＝log 13(x 2＋2)＋13|x |＋1，若f (2x ＋1)≥f (x )，则实数x 的取值范围是____________．解析：易知f (x )为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递减，∴|2x ＋1|≤|x |，解得－1≤x ≤－13，∴x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－1314．(2019·北京卷)设函数f (x )＝e x＋a e －x(a 为常数)．若f (x )为奇函数，则a ＝____________；若f (x )是R 上的增函数，则a 的取值范围是____________．解析：若函数f (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，e －x ＋a e x ＝－(e x ＋a e －x)恒成立，即(a ＋1)(e x ＋e －x )＝0恒成立，欲(a ＋1)(e x ＋e －x)＝0对任意的x 恒成立．需a ＋1＝0，即a ＝－1时，所以a ＝－1.若函数f (x )＝e x ＋a e －x 是R 上的增函数，则f ′(x )＝e x －a e －x ≥0恒成立，a ≤e 2x，a ≤0. 即实数a 的取值范围是(－∞，0]． 答案：－1 (－∞，0]15．(2020·湖北省八校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x 2＋a ln x ＋b ，x ＞0，e x ＋12，x ≤0，若f (e 2)＝f (1)，f (e)＝43f (0)，则函数f (x )的值域为________________．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧4＋2a ＋b ＝b ，1＋a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝3，∴当x ＞0时，f (x )＝(ln x )2－2ln x ＋3＝(ln x －1)2＋2≥2；当x ≤0时，12＜e x ＋12≤e 0＋12＝32，则函数f (x )的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32∪[2，＋∞)．答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，32∪[2，＋∞)16．(2020·辽宁五校联考)如果定义在R 上的函数f (x )满足：对任意的x 1≠x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)≥x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称f (x )为“H 函数”，给出下列函数：①y ＝－x 3＋x ＋1；②y ＝3x －2(sin x －cos x )③y ＝1－e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x x ≥1，0x ＜1；⑤y ＝xx 2＋1.其中是“H 函数”的是________．(写出所有满足条件的函数的序号)解析：因为x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)≥x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，所以f (x 1)(x 1－x 2)－f (x 2)(x 1－x 2)≥0，即[f (x 1)－f (x 2)](x 1－x 2)≥0，分析可得，若函数f (x )为“H 函数”，则函数f (x )为增函数或常函数．对于①，y ＝－x 3＋x ＋1，则y ′＝－3x 2＋1，所以y ＝－x 3＋x ＋1既不是R 上的增函数也不是常函数，故其不是“H函数”；对于②，y ＝3x －2(sin x －cos x )，则y ′＝3－2(cos x ＋sin x )＝3－22sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＞0，所以y＝3x－2(sin x－cos x)是R上的增函数，故其是“H函数”；对于③，y＝1－e x是R上的减函数，故其不是“H函数”；对于④，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x x ≥1，0x＜1，当x＜1时，是常函数，当x≥1时，是增函数，且当x＝1时，ln x＝0，故其是“H函数”；对于⑤，y＝xx2＋1，当x≠0时，y＝1x＋1x，不是R上的增函数也不是常函数，故其不是“H函数”．所以满足条件的函数的序号是②④.答案：②④。

2020届高考数学大二轮复习层级二专题一函数与导数第2讲基本初等函数、函数与方程教学案

2020届高考数学大二轮复习层级二专题一函数与导数第2讲基本初等函数、函数与方程教学案

第2讲 基本初等函数、函数与方程[考情考向·高考导航]1．掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质． 2．以基本初等函数为依托,考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理． 3．能利用函数解决简单的实际问题．[真题体验]1．(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1,则a ＝________. 解析：∵f (x )＝log 2(x 2＋a )．且f (3)＝1,∴f (3)＝log 2(9＋a )＝1,∴9＋a ＝2,∴a ＝－7. 答案：－72．(全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e－x ＋1)有唯一零点,则a ＝( )A ．－12B.13C.12D ．1解析：C [x 2－2x ＝－a (e x －1＋e－x ＋1),设g (x )＝ex －1＋e－x ＋1,g ′(x )＝ex －1－e－x ＋1＝ex －1－1ex －1＝e2x －1－1ex －1,当g ′(x )＝0时,x ＝1,当x ＜1时,g ′(x )＜0函数单调递减,当x ＞1时,g ′(x )＞0,函数单调递增,当x ＝1时,函数取得最小值g (1)＝2,设h (x )＝x 2－2x ,当x ＝1时,函数取得最小值－1,若－a ＞0,函数h (x ),和ag (x )没有交点,当－a ＜0时,－ag (1)＝h (1)时,此时函数h (x )和ag (x )有一个交点,即－a ×2＝－1⇒a ＝12,故选C.]3．(2019·全国Ⅰ卷)已知a ＝log 20.2,b ＝20.2,c ＝0.20.3,则( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解析：B [∵a ＝log 20.2＜log 21＝0,b ＝20.2＞20＝1, 0＜c ＝0.20.3＜0.20＝1,∴b ＞c ＞a .选B.]4．(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点,则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0,＋∞)C ．[－1,＋∞)D ．[1,＋∞)解析：C [令g (x )＝f (x )＋x ＋a ＝0,则f (x )＝－x －a ,要使g (x )存在2个零点,则需y ＝f (x )与y ＝－x －a 有两个交点,画出函数f (x )和y ＝－x－a 的图象如图所示,则需－a ≤1,∴a ≥－1.][主干整合]1．指数式与对数式的七个运算公式 (1)a m·a n＝am ＋n；(2)(a m )n ＝a mn；(3)log a (MN )＝log a M ＋log a N ； (4)log a M N＝log a M －log a N ； (5)log a M n＝n log a M ； (6)a log a N ＝N ；(7)log a N ＝log b Nlog b a (注：a ,b ＞0且a ,b ≠1,M ＞0,N ＞0)．2．指数函数与对数函数的图象和性质指数函数y ＝a x(a ＞0,a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0,a ≠1)的图象和性质,分0＜a ＜1,a ＞1两种情况,当a ＞1时,两函数在定义域内都为增函数,当0＜a ＜1时,两函数在定义域内都为减函数．3．函数的零点问题(1)函数F (x )＝f (x )－g (x )的零点就是方程f (x )＝g (x )的根,即函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝g (x )的图象交点的横坐标．(2)确定函数零点的常用方法：①直接解方程法；②利用零点存在性定理；③数形结合,利用两个函数图象的交点求解．4．应用函数模型解决实际问题的一般程序 读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.热点一 基本初等函数的图象与性质[例1] (1)(2019·济南三模)若函数y ＝a |x |(a ＞0,且a ≠1)的值域为{y |y ≥1},则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )[解析] B [由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}, ∴a ＞1,则y ＝log a x 在(0,＋∞)上是增函数, 又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称． 因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.](2)(2019·郑州三模)已知a (a ＋1)≠0,若函数f (x )＝log 2(ax －1)在(－3,－2)上为减函数,且函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≤12，log |a |x ，x ＞12在R 上有最大值,则a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，－12 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－1，－12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，－12 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－22，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，12[解析] A [∵f (x )＝log 2(ax －1)在(－3,－2)上为减函数,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－2a －1≥0，∴a ≤－12,∵a (a ＋1)≠0,∴|a |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,＋∞)．当x ≤12时,g (x )＝4x∈(0,2],又g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x，x ≤12，log |a |x ，x ＞12在R 上有最大值,则当x ＞12时,log |a |x ≤2,且|a |∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1,∴log |a |12≤2,∴|a |2≤12,则|a |≤22,又a ≤－12,∴－22≤a ≤－12.](3)(2019·天津卷)已知a ＝log 52,b ＝log 0.50.2,c ＝0.50.2,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b[解析] A [利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与1的大小区别对待．a ＝log 52＜log 55＜12, b ＝log 0.50.2＞log 0.50.25＝2,0．51＜0.50.2＜0.50,故12＜c ＜1,所以a ＜c ＜b .故选A.]基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值,当底数a 的值不确定时,要注意分a ＞1和0＜a ＜1两种情况讨论：当a ＞1时,两函数在定义域内都为增函数；当0＜a ＜1时,两函数在定义域内都为减函数．(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数,其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质,然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．(1)(2020·银川模拟)若函数y ＝log a x (a ＞0,且a ≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )解析：B [∵函数y ＝log a x 过点(3,1), ∴1＝log a 3,解得a ＝3,由于y ＝3－x不可能过点(1,3),故选项A 错误； 由于y ＝x 3过定点(1,1),故选项B 正确；由于y ＝(－x )3＝－x 3不可能过点(1,1),故选项C 错误；由于y ＝log 3(－x )不可能过点(－3,－1),故选项D 错误．故选B.](2)(2019·全国Ⅲ卷)设f (x )是定义域为R 的偶函数,且在(0,＋∞)单调递减,则( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＞f ⎝⎛⎭⎪⎫log 314解析：C [本题主要考查函数的奇偶性、单调性,考查学生转化与化归及分析问题解决问题的能力．∵f (x )是R 的偶函数,∴f ⎝⎛⎭⎪⎫log 314＝f (log 34)． ∴log 34＞1＝20＞2－23＞2－32,又f (x )在(0,＋∞)单调递减,f (log 34)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23＜f ⎝⎛⎭⎪⎫2－32,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－32＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－23＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 314,故选C.]热点二 函数的零点与方程的根确定函数零点的个数或其存在区间[例2－1] (1)(2019·南昌调研)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] B [(1)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数即为函数y ＝|log 0.5x |与y ＝12x 图象的交点个数．在同一坐标系中作出函数y ＝|log 0.5x |与y ＝12x 的图象,易知有2个交点．](2)(2020·兰州模拟)方程ln(x ＋1)－2x＝0(x ＞0)的根存在的大致区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,e)D ．(3,4)[解析] B [设f (x )＝ln(x ＋1)－2x,易f (1)＝ln(1＋1)－2＝ln 2－2＜0, 而f (2)＝ln 3－1＞0,所以函数f (x )的零点所在区间为(1,2)． 所以B 选项正确．]判断函数零点个数的方法(1)直接求零点：令f (x )＝0,则方程解的个数即为零点的个数．(2)利用零点存在性定理：利用该定理还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．(3)数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形,常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题．根据零点情况求参数范围[例2－2] (1)(2020·四川凉山诊断)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，3x －a ，x ＞0(a ∈R ),若函数f (x )在R 上有两个零点,则a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1,＋∞)C ．(0,1)∪(1,2)D ．(－∞,1)[解析] A [∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－a ，x ≤0，3x －a ，x ＞0(a ∈R )在R 上有两个零点,且x ＝a3是函数f (x )的一个零点,∴方程2x－a ＝0在(－∞,0]上有一个解,再根据当x ∈(－∞,0]时,0＜2x ≤20＝1,可得0＜a ≤1.故选A.] (2)(2019·山东济南三模)已知偶函数f (x )满足f (x －1)＝1f x,且当x ∈[－1,0]时,f (x )＝x 2,若在区间[－1,3]内,函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋2)有3个零点,则实数a 的取值范围是________．[解析]∵偶函数f (x )满足f (x －1)＝1f x,且当x ∈[－1,0]时,f (x )＝x 2, ∴f (x －2)＝f (x －1－1)＝1f x －1＝f (x ),∴函数f (x )的周期为2,在区间[－1,3]内函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋2)有3个零点等价于函数f (x )的图象与y ＝log a (x ＋2)的图象在区间[－1,3]内有3个交点．当0＜a ＜1时,函数图象无交点,数形结合可得a ＞1且⎩⎪⎨⎪⎧log a 3＜1，log a 5＞1，解得3＜a ＜5.[答案] (3,5)利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解． (2)分离参数后转化为求函数的值域(最值)问题求解．(3)转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题,从而构建不等式求解．(1)(2019·武昌二模)已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x ∈(0,＋∞)时,f (x )＝2 018x＋log 2 018x ,则函数f (x )的零点个数为________．解析：在同一直角坐标系中作出函数y ＝2 018x和y ＝－log 2 018x 的图象如图所示,可知函数f (x )＝2 018x＋log 2 018x 在x ∈(0,＋∞)上存在一个零点,又f (x )是定义在R 上的奇函数,∴f (x )在x ∈(－∞,0)上只有一个零点,又f (0)＝0,∴函数f (x )的零点个数是3. 答案：3(2)(2020·张家界模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，－x －32＋2，x ≥2，若关于x 的方程f (x )－k ＝0有唯一一个实数根,则实数k 的取值范围是________________．解析：画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，－x －32＋2x ，x ≥2的图象如图所示,结合图象可以看出当0≤k ＜1或k ＞2时符合题设．答案：[0,1)∪(2,＋∞)热点三 函数的实际应用数学建模素养数学建模——函数建模在实际问题中的妙用解函数的模型的实际应用题,首先应考虑该题考查的是何种函数,然后根据题意列出函数关系式(注意定义域),并进行相关求解,最后结合实际意义作答．读题文字语言―→建模数学语言―→求解数学应用―→反馈检验作答型号电脑6台,乙分公司现有同一型号的电脑12台．现A地某单位向该公司购买该型号的电脑10台,B地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知从甲地运往A、B两地每台电脑的运费分别是40元和30元．从乙地运往A、B两地每台电脑的运费分别是80元和50元．若总运费不超过1 000元,则调运方案的种数为( )A．1 B．2C．3 D．4[解析] C [(1)设总运费为y元,甲地调运x台电脑至B地,则剩下(6－x)台电脑调运至A地；乙地应调运(8－x)台电脑至B地,调运12－(8－x)＝(x＋4)台电脑(0≤x≤6,x∈N)至A 地．则总运费y＝30x＋40(6－x)＋50(8－x)＋80(x＋4)＝20x＋960,∴y＝20x＋960(0≤x≤6,x∈N)．若y≤1 000,则20x＋960≤1 000,得x≤2.又0≤x≤6,x∈N.∴0≤x≤2,x ∈N.∴x＝0,1,2,即有3种调运方案．](2)(2020·湖南名校联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物,那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时．[解析]前5小时污染物消除了10%,此时污染物剩下90%,即t＝5时,P＝0.9P0,则(e－k)5＝0.9,∴e－k＝50.9＝0.915,∴P＝P0e－kt＝P0⎝⎛⎭⎪⎫0.915t.当污染物减少19%时,污染物剩下81%,此时P＝0.81P0,代入得0.81＝⎝⎛⎭⎪⎫0.915t,解得t＝10,即需要花费10小时．[答案]10解决函数实际应用题的两个关键点(1)认真读题,缜密审题,准确理解题意,明确问题的实际背景,然后进行科学的抽象概括,将实际问题归纳为相应的数学问题．(2)要合理选取参数变量,设定变量之后,就要寻找它们之间的内在联系,选用恰当的代数式表示问题中的关系,建立相应的函数模型,最终求解数学模型使实际问题获解．(2019·北京卷)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2,其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7,天狼星的星等是－1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A ．1010.1B ．10.1C ．lg10.1D ．10－10.1解析：A [考查考生的数学应用意识、信息处理能力、阅读理解能力以及指数对数运算． 两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2,令m 2＝－1.45,m 1＝－26.7,lg E 1E 2＝25(m 2－m 1)＝25(－1.45＋26.7)＝10.1, E 1E 2＝1010.1,故选A.]限时40分钟 满分80分一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1．(2019·云南检测)设a ＝60.7,b ＝log 70.6,c ＝log 0.60.7,则a ,b ,c 的大小关系为( ) A ．c ＞b ＞a B ．b ＞c ＞a C ．c ＞a ＞bD ．a ＞c ＞b解析：D [因为a ＝60.7＞1,b ＝log 70.6＜0,0＜c ＝log 0.60.7＜1,所以a ＞c ＞b .] 2．(北京卷)根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093解析：D [设M N ＝x ＝33611080,两边取对数,lg x ＝lg 33611080＝lg3361－lg1080＝361×lg 3－80＝93.28,所以x ＝1093.28,即MN最接近1093,故选D.]3．(2020·安徽皖中名校联考)若a ＜b ＜c ,则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ,b )和(b ,c )B ．(－∞,a )和(a ,b )C ．(b ,c )和(c ,＋∞)D ．(－∞,a )和(c ,＋∞)解析：A [由题意可得f (a )＞0,f (b )＜0,f (c )＞0,则由零点存在性定理可知,选A.]4．(2019·铁人中学期中)函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x ),且当－1≤x ≤1时,f (x )＝|x |.若y ＝f (x )的图象与g (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图象有且仅有四个交点,则a 的取值集合为( )A ．{4,5}B ．{4,6}C ．{5}D ．{6}解析：C [函数f (x ＋2)＝f (x ),则函数f (x )是周期为2的周期函数,画出函数f (x )的图象(图略),数形结合可知,当g (x )的图象过点(5,1)时,f (x )的图象与g (x )＝log a x 的图象仅有四个交点,则g (5)＝log a 5＝1,得a ＝5.故选C.]5．(2020·广西三校)函数f (x )＝x 2lg x －2x ＋2的图象( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于原点对称 C ．关于直线y ＝x 对称 D ．关于y 轴对称解析：B [因为f (x )＝x 2lgx －2x ＋2,所以其定义域为(－∞,－2)∪(2,＋∞),所以f (－x )＝x 2lg x ＋2x －2＝－x 2lg x －2x ＋2＝－f (x ),所以函数为奇函数,所以函数的图象关于原点对称．]6．某商店已按每件80元的成本购进某商品1 000件,根据市场预测,销售价为每件100元时可全部售完,定价每次提高1元时销售量就减少5件,若要获得最大利润,销售价应定为每件( )A ．100元B ．110元C ．150元D ．190元解析：D [设售价提高x 元,利润为y 元,则依题意得y ＝(1 000－5x )×(20＋x )＝－5x2＋900x ＋20 000＝－5(x －90)2＋60 500.故当x ＝90时,y max ＝60 500,此时售价为每件190元．]7．(2020·深圳模拟)已知函数f (x )＝ln x －2[x ]＋3,其中[x ]表示不大于x 的最大整数(如[1.6]＝1,[－2.1]＝－3),则函数f (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：B [设g (x )＝ln x ,h (x )＝2[x ]－3,当0＜x ＜1时,h (x )＝－3,作出图象, 两个函数图象有一个交点,即f (x )有一个零点；当2≤x ＜3时,h (x )＝1,ln 2≤g (x )＜ln 3.此时两函数图象有一个交点,即f (x )有一个零点, 当x ≥3以后,两函数图象无交点, 综上,共有两个零点．]8．(2020·贵阳模拟)某地方政府为鼓励全民创业,拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励,奖励方案遵循以下原则：奖金y (单位：万元)随年产值x (单位：万元)的增加而增加,且奖金不低于7万元,同时奖金不超过年产值的15%.若采用函数f (x )＝15x －ax ＋8作为奖励函数模型,则最小的正整数a 的值为( )A ．310B ．315C ．320D ．325解析：B [对于函数模型f (x )＝15x －a x ＋8＝15－120＋ax ＋8,a 为正整数,函数在[50,500]上单调递增,f (x )min ＝f (50)≥7,得a ≤344,要使f (x )≤0.15x 对x ∈[50,500]恒成立,即a ≥－0.15x 2＋13.8x 对x ∈[50,500]恒成立,所以a ≥315.综上,最小的正整数a 的值为315.]9．(山东卷)已知当x ∈[0,1]时,函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点,则正实数m 的取值范围是( )A ．(0,1]∪[23,＋∞)B ．(0,1]∪[3,＋∞)C ．(0,2]∪[23,＋∞)D ．(0,2]∪[3,＋∞)解析：B [当0＜m ≤1时,1m≥1,y ＝(mx －1)2单调递减,且y ＝(mx －1)2∈[(m －1)2,1],y ＝x ＋m 单调递增,且y ＝x ＋m ∈[m,1＋m ],此时有且仅有一个交点；当m ＞1时,0＜1m＜1,y ＝(mx －1)2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1m，1上单调递增,所以要有且仅有一个交点,需(m －1)2≥1＋m ⇒m ≥3,选B.]10．(2020·长春模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是( )A ．[－1,1)B ．[0,2]C ．[－2,2)D ．[－1,2)解析：D [∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，∴g (x )＝f (x )－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2，x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a ，而方程－x ＋2＝0的解为2,方程x 2＋3x ＋2＝0的解为－1,－2；若函数g (x )＝f (x )－2x恰有三个不同的零点,则⎩⎪⎨⎪⎧2＜a ，－1≤a ，－2≤a ，解得－1≤a ＜2,实数a 的取值范围是[－1,2)．故选D.]11．(2019·长春质量监测)已知函数f (x )＝x －1x －2与g (x )＝1－sin πx ,则函数F (x )＝f (x )－g (x )在区间[－2,6]上的所有零点的和为( )A ．4B ．8C ．12D ．16解析：D [令F (x )＝f (x )－g (x )＝0,得f (x )＝g (x ),在同一平面直角坐标系中分别画出函数f (x )＝1＋1x －2与g (x )＝1－sin πx 的图象,如图所示．f (x ),g (x )的图象都关于点(2,1)对称,结合图象可知f (x )与g (x )的图象在[－2,6]上共有8个交点,交点的横坐标即F (x )＝f (x )－g (x )的零点,且这些交点关于直线x ＝2成对出现,由对称性可得所有零点之和为4×2×2＝16,故选D.]12．(2020·烟台模拟)已知函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称,且当x ∈(－∞,0)时,f (x )＋xf ′(x )＜0成立(其中f ′(x )是f (x )的导函数),若a ＝30.3·f (30.3),b ＝(log π3)·f (log π3),c ＝⎝⎛⎭⎪⎫log 319·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．c ＞a ＞b C ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b解析：B [因为当x ∈(－∞,0)时不等式f (x )＋xf ′(x )＜0成立,即[xf (x )]′＜0, 所以g (x )＝xf (x )在(－∞,0)上是减函数． 又因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1,0)对称, 所以函数y ＝f (x )的图象关于点(0,0)对称, 所以函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数, 所以g (x )＝xf (x )是定义在R 上的偶函数, 所以g (x )＝xf (x )在(0,＋∞)上是增函数． 又因为30.3＞1＞log π3＞0＞log 319＝－2,2＝－log 319＞30.3＞1＞log π3＞0,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 319f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 319＞30.3·f (30.3)＞(log π3)·f (log π3),即⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319＞30.3·f (30.3)＞(log π3)·f (log π3),即c ＞a ＞b ,故选B.]二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13．(2020·福建三明模拟)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是T 0,经过一定时间t (单位：分)后的温度是T ,则T －T a ＝(T 0－T a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12th,其中T a 称为环境温度,h 称为半衰期．现有一杯用88 ℃热水冲的速溶咖啡,放在24 ℃的房间中,如果咖啡降到40 ℃需要20分钟,那么此杯咖啡从40 ℃降温到32 ℃时,还需要________分钟．解析：由已知可得T a ＝24,T 0＝88,T ＝40,则40－24＝(88－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫1220h ,解得h ＝10.当咖啡从40 ℃降温到32 ℃时,可得32－24＝(40－24)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12t10,解得t ＝10.故还需要10分钟．答案：1014．(2020·湖南省四校联考)已知函数f (x )＝lg x ＋32x －9在区间(n ,n ＋1)(n ∈Z )上存在零点,则n ＝________.解析：易知函数f (x )的定义域为(0,＋∞),且f (x )在其定义域内单调递增,由零点存在性定理知,若函数f (x )在区间(n ,n ＋1)(n ∈Z )上存在零点,则有⎩⎪⎨⎪⎧f n ＜0，fn ＋1＞0.又f (4)＝lg 4＋6－9＝lg 4－3＜0,f (5)＝lg 5＋152－9＝lg 5－32＜0,f (6)＝lg 6＋9－9＝lg 6＞0,所以函数f (x )在(5,6)上存在零点,所以n ＝5.答案：515．(2018·浙江卷)已知λ∈R ,函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥λ，x 2－4x ＋3，x <λ.当λ＝2时,不等式f (x )<0的解集是________．若函数f (x )恰有2个零点,则λ的取值范围是________．解析：∵λ＝2,∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≥2x 2－4x ＋3，x ＜2当x ≥2时,x －4＜0得2≤x ＜4. 当x ＜2时,x 2－4x ＋3＜0,解得1＜x ＜2. 综上不等式的解集为1＜x ＜4. 当y ＝x 2－4x ＋3有2个零点时,λ＞4.当y ＝x 2－4x ＋3有1个零点时,y ＝x －4有1个零点,1＜λ≤3.∴1＜λ≤3或λ＞4.答案：(1,4)；(1,3]∪(4,＋∞)16．(2019·合肥调研)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，x ≤a ，e x－1，x ＞a (其中a ＜0,e 为自然对数的底数),若g (x )＝f [f (x )]在R 上有三个不同的零点,则a 的取值范围是____________．解析：令t ＝f (x ),所以g (x )＝f (t ),g (x )＝f [f (x )]在R 上要有三个不同的零点,则f (t )＝0必有两解,所以－2≤a ＜0,所以f (x )的大致图象如图所示,又f (x )的零点为x 1＝0,x 2＝－2,所以y ＝f (t )必有两个零点,t 1＝－2和t 2＝0,而x ≤a 时,f (x )min ＝a 2－4,所以要使y ＝f (t )的两个零点都存在,则a 2－4≤－2,否则t 1＝－2这个零点就不存在,故a 2≤2,所以－2≤a ＜0.答案：[－2,0)。

2020高考数学(文理通用)大二轮课件：专题二函数与导数第1讲

2020高考数学(文理通用)大二轮课件：专题二函数与导数第1讲

“一府两院”改称“一府一委两院”展开全文2016年11月7日，中央办公厅印发《关于在北京市、山西省、浙江省开展国家监察体制改革试点方案》，方案明确，党的纪律检查委员会、监察委员会合署办公。

《方案》强调，要建立党统一领导下的国家反腐败工作机构。

整合反腐败资源力量，扩大监察范围，实现对行使公权力的公职人员监察全面覆盖。

紧接着，2016年12月25日，十二届全国人大常委会第二十五次会议表决通过《全国人民代表大会常务委员会关于在北京市、山西省、浙江省开展国家监察体制改革试点工作的决定》。

根据《决定》：在北京市、山西省、浙江省及所辖县、市、市辖区设立监察委员会，行使监察职权。

将试点地区人民政府的监察厅（局）、预防腐败局及人民检察院查处贪污贿赂、失职渎职以及预防职务犯罪等部门的相关职能整合至监察委员会。

目前的反腐败资源力量有哪些？政府内部的监察机关、审计机关、预防腐败部门；政府外部的人民检察院的反腐败、反渎职部门，以及检察院内部的预防腐败局。

各种重要反腐职能分布在这些行政机关、司法机关中，多头负责，资源分散，而且还有重复重叠之处。

为了建立起一个“集中统一、权威高效的监察体系”，就要把这些反腐败资源力量整合在一起。

单靠协调肯定不行，要通过一个平台重新分工整合。

新设立的国家监察委员会就是这样一个平台。

试点地区监察委员会由本级人民代表大会产生。

监察委员会主任由本级人民代表大会选举产生；监察委员会副主任、委员，由监察委员会主任提请本级人民代表大会常务委员会任免。

监察委员会对本级人民代表大会及其常务委员会和上一级监察委员会负责，并接受监督。

一、“实现对行使公权力的公职人员监察全面覆盖”具体包括哪些人群？依据现在的行政监察法，监察部门的覆盖范围只包括国家行政机关及其公务员，以及国家行政机关任命的其他人员。

这个范围窄于公务员法。

我国的公务员法调整对象不仅仅是行政机关工作人员，也包含了立法机关、司法机关、各党派和主要人民团体的公职人员等。

(全国通用)2020版高考数学二轮复习 提升专题 函数与导数教案讲义汇编全集

(全国通用)2020版高考数学二轮复习 提升专题 函数与导数教案讲义汇编全集

第1讲 函数的图象与性质[例1] (1)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0(0＜a ＜1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A.－2B.2C.3D.－3(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________.[解析] (1)由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0＜a ＜1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2，故选B.(2)当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，y ＝(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1]内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12.[答案] (1)B (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 [解题方略]1.函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可.2.分段函数问题的5种常见类型及解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提求参数 “分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解[跟踪训练]1.已知函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋8－2x的定义域为( )A.[0，3]B.[0，2]C.[1，2]D.[1，3]解析：选A 由题意，函数f (x )的定义域为[0，2]，即x ∈[0，2]，因为函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋8－2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤12x ≤2，8－2x ≥0，得0≤x ≤3，即函数g (x )的定义域为[0，3]，故选A. 2.函数f (x )＝2＋|x |－x2(－2＜x ≤2)的值域为( )A.(2.4)B.[2，4)C.[2，4]D.(2，4]解析：选B 法一：因为f (x )＝2＋|x |－x2(－2＜x ≤2)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，－2＜x ≤0，2，0＜x ≤2.函数f (x )的图象如图所示，由图象得，函数f (x )的值域为[2，4).法二：因为f (x )＝2＋|x |－x 2(－2＜x ≤2)，当－2＜x ≤0时，f (x )＝2－x ，所以2≤f (x )＜4；当0＜x ≤2时，f (x )＝2.综上，函数f (x )的值域为[2，4).3.已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A.①② B.①③ C.②③D.①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )，满足.综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 考点二函数的图象及应用题型一 函数图象的识别[例2] (1)(2019·开封市定位考试)函数f (x )的大致图象如图所示，则函数f (x )的解析式可以是( )A.f (x )＝x 2·sin|x |B.f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ·cos 2xC.f (x )＝()e x－e－xcos ⎝⎛⎭⎪⎫π2xD.f (x )＝x ln|x ||x|(2)(2019·福建五校第二次联考)函数f (x )＝x 2＋ln(e －x )ln(e ＋x )的图象大致为( )[解析] (1)由题中图象可知，在原点处没有图象，故函数的定义域为{}x |x ≠0，故排除选项A 、C ；又函数图象与x 轴只有两个交点，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos2x 中cos2x ＝0有无数个根，故排除选项B ，正确选项是D.(2)因为f (－x )＝(－x )2＋ln(e ＋x )ln(e －x )＝x 2＋ln(e －x )ln(e ＋x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，据此可排除选项C ()也可由f （0）＝1排除选项C .当x →e 时，f (x )→－∞，据此可排除选项B 、D.故选A.[答案] (1)D (2)A [解题方略]寻找函数图象与解析式之间的对应关系的方法知式选图①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置②从函数的单调性，判断图象的变化趋势 ③从函数的奇偶性，判断图象的对称性 ④从函数的周期性，判断图象的循环往复知图选式①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域 ②从图象的变化趋势，观察函数的单调性③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性 ④从图象的循环往复，观察函数的周期性题型二 函数图象的应用[例3] (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋x －1，x ＞2，ax －1，x ≤2是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是( )A.－14≤a ＜0B.a ≤－14C.－1≤a ≤－14D.a ≤－1(2)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0)[解析] (1)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋x －1，x ＞2，ax －1，x ≤2是R 上的单调递减函数，所以其图象如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－12a ≤2，2a －1≥4a ＋2－1，解得a ≤－1，故选D.(2)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示. 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，∴x <0，故选D. [答案] (1)D (2)D [解题方略]1.利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解.2.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.[跟踪训练]1.已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A.f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B.f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C.f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1) D.f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：选C 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，作出函数f (x )的图象， 如图，观察图象可知，函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上单调递减.2.(2019·安徽五校联盟第二次质检)函数y ＝x 2＋12x的图象大致为( )解析：选C 因为函数y ＝x 2＋12x为奇函数，所以其图象关于原点对称，当x ＞0时，y＝12x 2＋1x 2＝121＋1x 2，所以函数y ＝x 2＋12x在(0，＋∞)上单调递减，所以排除选项B 、D ；又当x ＝1时，y ＝22＜1，所以排除选项A ，故选C. 3.已知函数f (x )＝2xx －1，则下列结论正确的是( ) A.函数f (x )的图象关于点(1，2)对称 B.函数f (x )在(－∞，1)上是增函数C.函数f (x )的图象上至少存在两点A ，B ，使得直线AB ∥x 轴D.函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称 解析：选A 因为f (x )＝2x x －1＝2x －1＋2，所以函数f (x )在(－∞，1)上是减函数，排除B ；画出函数f (x )的大致图象如图所示，结合图象排除C 、D.因为f (x )＋f (2－x )＝2xx －1＋2（2－x ）（2－x ）－1＝2x x －1＋4－2x1－x＝4，所以函数f (x )的图象关于点(1，2)对称.[例4] (1)(2019·广东六校第一次联考)在R 上函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，|2－x |，0≤x <1，其中a ∈R ，若f (－5)＝f (4.5)，则a ＝( )A.0.5B.1.5C.2.5D.3.5(2)(2019·济南市模拟考试)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋x x 2＋1＋1，则f (x )的最大值与最小值的和为( )A.0B.1C.2D.4[解析] (1)由f (x ＋1)＝f (x －1)，即有f (x ＋2)＝f (x )，得f (x )是周期为2的函数，又f (－5)＝f (4.5)，所以f (－1)＝f (0.5)，即－1＋a ＝1.5，所以a ＝2.5，故选C.(2)由已知得f (x )＝sin2x ＋x x 2＋1＋1，因为y ＝sin2x ，y ＝xx 2＋1都为奇函数，所以不妨设f (x )在x ＝a 处取得最大值，则根据奇函数的对称性可知，f (x )在x ＝－a 处取得最小值，故f (a )＋f (－a )＝sin2a ＋aa 2＋1＋1＋sin(－2a )＋－aa 2＋1＋1＝2.故选C. [答案] (1)C (2)C[解题方略] 函数3个性质及应用[跟踪训练]1.(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A.y ＝ln(1－x )B.y ＝ln(2－x )C.y ＝ln(1＋x )D.y ＝ln(2＋x )解析：选B 函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝f (a －x )的图象关于直线x ＝a2对称，令a ＝2可得与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是函数y ＝ln(2－x )的图象.故选B.2.(2019·河北省九校第二次联考)已知函数f (x )＝x 3＋2x ＋sin x ，若f (a )＋f (1－2a )>0，则实数a 的取值范围是( )A.(1，＋∞)B.(－∞，1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13解析：选B f (x )的定义域为R ，f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，又f ′(x )＝3x2＋2＋cos x >0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，∴由f (a )＋f (1－2a )>0，得f (a )>f (2a －1)，a >2a －1，解得a <1，故选B.3.函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数x 1，x 2(x 1<x 2)，都有x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，记a ＝12f (2)，b ＝f (1)，c ＝－13f (－3)，则a ，b ，c 之间的大小关系为( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.a >c >b解析：选B 因为对任意两个正数x 1，x 2(x 1<x 2)，都有x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，所以f （x 1）x 1>f （x 2）x 2，得函数g (x )＝f （x ）x 在(0，＋∞)上是减函数，又c ＝－13f (－3)＝13f (3)，所以g (1)>g (2)>g (3)，即b >a >c ，故选B.数学抽象——抽象函数与函数的三大性质[典例] 定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝log 12(1－x )，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32上是( ) A.减函数且f (x )>0 B.减函数且f (x )<0 C.增函数且f (x )>0D.增函数且f (x )<0[解析] 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，由f (x )＝log 12(1－x )可知f (x )单调递增且f (x )>0，又函数f (x )为奇函数，所以在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0上函数f (x )也单调递增，且f (x )<0.由f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )知，函数f (x )的周期为32，所以在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32上，函数f (x )单调递增且f (x )<0.故选D. [答案] D [素养通路]数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.主要包括：从数量与数量关系，图形与图形关系中抽象出数学概念与概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律与结构，并用数学语言予以表征.本题由函数的奇偶性得到其对称区间的单调性，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )得知f (x )的周期，进而得出f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32上的性质.考查了数学抽象这一核心素养. [专题过关检测]A 组——“12＋4”满分练一、选择题1.函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是( ) A.(2，3) B.(2，＋∞) C.(3，＋∞)D.(2，3)∪(3，＋∞)解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＞0，x －3≠0，解得x ＞2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选D. 2.若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x，则f (2)＝( )A.12B.eC.1eD.－1解析：选B 法一：令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t，于是f (t )＝1e 1－t ，即f (x )＝1e 1－x ，故f (2)＝e.法二：由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e ＝e ，即f (2)＝e.3.(2019·长沙市统一模拟考试)下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是( )A.f (x )＝sin x －xB.f (x )＝ln(x －1)－ln(x ＋1)C.f (x )＝e x ＋e －x2D.f (x )＝e x－e－x2解析：选D 由题意，f (x )＝sin x －x ，该函数是奇函数，满足图象关于原点对称的条件，而f ′(x )＝cos x －1≤0，即在定义域内f (x )＝sin x －x 单调递减，故A 不满足；对于B ，研究定义域可得⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x ＋1>0，即该函数的定义域为(1，＋∞)，所以该函数是非奇非偶函数，故B 不满足；对于C ，函数的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，所以该函数是偶函数，不满足图象关于原点对称的条件，故C 不满足；对于D ，函数的定义域为R ，f (－x )＝－f (x )，所以该函数是奇函数，满足图象关于原点对称的条件，又f ′(x )＝e x ＋e－x2>0，所以该函数在其定义域内单调递增，满足题目中的条件，故选D.4.(2019·江西九江两校3月联考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点，且满足f (－x )＝f (－1＋x )，则函数f (x )在[－1，3]上的值域为( )A.[0，12]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，12 解析：选B 因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点， 所以f (0)＝0，则b ＝0.由f (－x )＝f (－1＋x )，可知函数的图象的对称轴为直线x ＝－12，即－a 2×1＝－12，所以a ＝1，则f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，所以当x ＝－12时，f (x )取得最小值，且最小值为－14.又f (－1)＝0，f (3)＝12，所以f (x )在[－1，3]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12.故选B.5.函数f (x )＝ln|x |＋1ex的图象大致为( )解析：选C 函数f (x )＝ln|x |＋1e x 是非奇非偶函数，排除A 、B ；函数f (x )＝ln|x |＋1e x的零点是x ＝±e －1，当x ＝e 时，f (e)＝2e e <1e，排除选项D.6.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( )A.f (－25)<f (11)<f (80)B.f (80)<f (11)<f (－25)C.f (11)<f (80)<f (－25)D.f (－25)<f (80)<f (11)解析：选D 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数， 则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3).由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1).因为f (x )在区间[0，2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2，2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11).7.设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(]－2，1上的图象，则f (2019)＋f (2020)＝( )A.2B.1C.－1D.0解析：选B 因为函数f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2019)＝f (2019－673×3)＝f (0)，f (2020)＝f (2020－673×3)＝f (1)，由题中图象知f (0)＝0，f (1)＝1，所以f (2019)＋f (2020)＝f (0)＋f (1)＝0＋1＝1，故选B.8.(2019·湖北武汉3月联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是( )A.(－∞，0]B.[0，1)C.[1，＋∞)D.[－1，0]解析：选B 由题意知g (x )＝x 2f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1，画出函数g (x )的图象(图略)，由图可得函数g (x )的单调递减区间为[0，1).故选B.9.(2019·湖北省部分重点中学4月联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，1x，x ＜0，g (x )＝－f (－x )，则函数g (x )的图象大致是( )解析：选D 先画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，1x，x ＜0的图象，如图(1)所示，再根据函数f (x )与－f (－x )的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f (－x )的图象，即g (x )的图象，如图(2)所示，故选D.10.(2019·湖北武汉部分重点中学3月联考)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (1)＝－1，若f (2x －1)≥－1，则x 的取值范围为( )A.(－∞，－1]B.[1，＋∞)C.[0，1]D.(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选C 由题意，得f (x )在(－∞，0]上单调递增，且f (1)＝－1，所以f (2x －1)≥f (1)，则|2x －1|≤1，解得0≤x ≤1.故选C.11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3（a －3）x ＋2，x ≤1，－4a －ln x ，x ＞1，对于任意的x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]＞0成立，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，3]B.(－∞，3)C.(3，＋∞)D.[1，3)解析：选D 由(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]＞0，得函数f (x )为R 上的单调递减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，3（a －3）＋2≥－4a ，解得1≤a ＜3.故选D. 12.已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值解析：选C 作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x－1|的图象如图①所示，得到函数h (x )的图象如图②所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值.二、填空题13.(2019·山东济宁期末改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋b ，x ＞1，e x －2，x ≤1，若f (e)＝－3f (0)，则b ＝________，函数f (x )的值域为________________.解析：由f (e)＝－3f (0)得1＋b ＝－3×(－1)，即b ＝2，即函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2，x ＞1，e x－2，x ≤1.当x ＞1时，y ＝ln x ＋2＞2；当x ≤1时，y ＝e x－2∈(－2，e －2].故函数f (x )的值域为(－2，e －2]∪(2，＋∞).答案：2 (－2，e －2]∪(2，＋∞)14.(2019·全国卷Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax，若f (ln2)＝8，则a ＝________.解析：设x >0，则－x <0.∵当x <0时，f (x )＝－e ax ，∴f (－x )＝－e －ax.∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝e －ax，∴f (ln2)＝e－a ln2＝(e ln2)－a ＝2－a.又∵f (ln2)＝8，∴2－a＝8，∴a ＝－3. 答案：－315.已知定义在R 上的偶函数f (x )满足当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)，则当－1<f (－1)<1时，a 的取值范围为________.解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (－1)＝f (1)＝log a 2.因为－1<f (－1)<1，所以－1<log a 2<1，所以log a 1a<log a 2<log a a .①当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a <2，a >2，解得a >2；②当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a >2，a <2，解得0<a <12.综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞).答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)16.(2019·河北保定两校3月联考)对于函数y ＝f (x )，若存在x 0，使f (x 0)＋f (－x 0)＝0，则称点(x 0，f (x 0))是曲线f (x )的“优美点”.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ＜0，kx ＋2，x ≥0，若曲线f (x )存在“优美点”，则实数k 的取值范围为________.解析：由“优美点”的定义，可知若点(x 0，f (x 0))是曲线y ＝f (x )的“优美点”，则点(－x 0，－f (x 0))也在曲线y ＝f (x )上.如图，作出函数y ＝x 2＋2x (x ＜0)的图象，然后作出其关于原点对称的图象，此图象对应的函数解析式为y ＝－x 2＋2x (x ＞0).设过定点(0，2)的直线y ＝k 1x ＋2与曲线y ＝f (x )＝－x 2＋2x (x ＞0)切于点A (x 1，f (x 1))，则k 1＝y ′|x ＝x 1＝－2x 1＋2＝－x 21＋2x 1－2x 1－0，解得x 1＝2或x 1＝－2(舍去)，所以k 1＝－22＋2.由图可知，若曲线y ＝f (x )存在“优美点”，则k ≤2－2 2. 答案：(－∞，2－22]B 组——“5＋3”提速练1.设y ＝f (x )是R 上的奇函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上递减，f (2)＝0，则f (x )＞0的解集是( )A.(－∞，－2)B.(0，2)C.(－∞，－2)∪(0，2)D.(－2，0)∪(0，2)解析：选C 根据题意，函数f (x )是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝0，则函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (－2)＝－f (2)＝0. 当x ＞0时，若f (x )＞0，即f (x )＞f (2)，必有0＜x ＜2，当x ＜0时，若f (x )＞0，即f (x )＞f (－2)，必有x ＜－2， 即f (x )＞0的解集是(－∞，－2)∪(0，2).2.(2019·全国卷Ⅲ)函数y ＝2x32x ＋2－x 在[－6，6]的图象大致为( )解析：选B ∵y ＝f (x )＝2x32x ＋2－x ，x ∈[－6，6]，∴f (－x )＝2（－x ）32－x ＋2x ＝－2x32－x ＋2x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，排除选项C.当x ＝4时，y ＝2×4324＋2－4＝12816＋116＝128×16257≈7.97∈(7，8)，排除选项A 、D.故选B.3.已知函数f (x )为偶函数，且函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，若g (3)＝2，则f (－2)＝( )A.－2B.2C.－3D.3解析：选D 因为函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，且g (3)＝2，所以f (2)＝3，因为函数f (x )为偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝3，故选D.4.(2019·重庆4月调研)已知函数f (x )＝2x ＋log 32＋x 2－x ，若不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m >3成立，则实数m 的取值范围是( )A.(1，＋∞)B.(－∞，1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：选D 由2＋x 2－x >0，得－2<x <2，因为y ＝2x 在(－2，2)上单调递增，y ＝log 32＋x2－x ＝log 3x －2＋42－x ＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－4x －2在(－2，2)上单调递增，所以函数f (x )为增函数，又f (1)＝3，所以不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m >3成立等价于不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＞f (1)成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＜1m ＜2，1m ＞1，解得12<m <1.故选D.5.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数，给出下列函数：①f (x )＝sin2x ；②g (x )＝x 3；③h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；④φ(x )＝ln x . 其中是一阶整点函数的是( ) A.①②③④ B.①③④ C.①④D.④解析：选C 对于函数f (x )＝sin2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D ；对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A ；对于函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.6.已知函数f (x )的图象关于点(－3，2)对称，则函数h (x )＝f (x ＋1)－3的图象的对称中心为________.解析：函数h (x )＝f (x ＋1)－3的图象是由函数f (x )的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f (x )的图象关于点(－3，2)对称，所以函数h (x )的图象的对称中心为(－4，－1).答案：(－4，－1)7.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －1），x ≥0，－f （－x ），x <0，则满足f (x )＋f (x －1)<2的x 的取值范围是________.解析：当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－[－x (－x －1)]＝－x (x ＋1)， ①若x <0，则x －1<－1，由f (x )＋f (x －1)<2得－x (x ＋1)－(x －1)x <2， 即－2x 2<2，即x 2>－1，此时恒成立，此时x <0. ②若x ≥1，则x －1≥0，由f (x )＋f (x －1)<2得x (x －1)＋(x －1)(x －2)<2，即x 2－2x <0，即0<x <2，此时1≤x <2. ③若0≤x <1，则x －1<0，则由f (x )＋f (x －1)<2得x (x －1)－(x －1)x <2， 即0<2，此时不等式恒成立，此时0≤x <1， 综上x <2，即不等式的解集为(－∞，2). 答案：(－∞，2)8.若函数y ＝f (x )满足：对于y ＝f (x )图象上任意一点P (x 1，f (x 1))，总存在点P ′(x 2，f (x 2))也在y ＝f (x )图象上，使得x 1x 2＋f (x 1)f (x 2)＝0成立，称函数y ＝f (x )是“特殊对点函数”.给出下列五个函数：①y ＝x －1；②y ＝e x －2；③y ＝ln x ；④y ＝1－x 2(其中e 为自然对数底数).其中是“特殊对点函数”的序号是________.(写出所有正确的序号)解析：由P (x 1，f (x 1))，P ′(x 2，f (x 2))满足x 1x 2＋f (x 1)·f (x 2)＝0，知OP ―→·OP ′―→＝0，即OP ―→⊥OP ′―→.①y ＝x －1.当P (1，1)时，由图象知满足OP ―→⊥OP ′―→的点P ′(x 2，f (x 2))不在y ＝x －1上，故①y ＝x －1不是“特殊对点函数”；②y ＝e x －2.作出函数y ＝e x－2的图象，由图象知，满足OP ―→⊥OP ′―→的点P ′(x 2，f (x 2))都在y ＝f (x )图象上，则②是“特殊对点函数”；③y ＝ln x .当P (1，0)时，满足OP ―→⊥OP ′―→的点不在y ＝ln x 上，故③y ＝ln x 不是“特殊对点函数”；④y ＝1－x 2.作出函数y ＝1－x 2的图象，由图象知，满足OP ―→⊥OP ′―→的点P ′(x 2，f (x 2))都在y ＝f (x )图象上，则④是“特殊对点函数”.答案：②④第2讲 基本初等函数、函数与方程[例1] (1)若当x ∈R 时，函数f (x )＝a |x |(a >0，且a ≠1)满足f (x )≤1，则函数y ＝log a (x ＋1)的图象大致为( )(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，函数f (x )是单调递减函数，则f (log 25)，f ⎝⎛⎭⎪⎫log 315，f (log 53)的大小关系是( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 315<f (log 53)<f (log 25)B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 315<f (log 25)<f (log 53)C.f (log 53)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 315<f (log 25)D.f (log 25)<f ⎝⎛⎭⎪⎫log 315<f (log 53) [解析] (1)由a |x |≤1(x ∈R )，知0<a <1，又函数y ＝log a (x ＋1)的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移一个单位而得，故选C.(2)因为f (x )在R 上为偶函数， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫log 315＝f (－log 35)＝f (log 35).由对数函数的单调性可知，log 25>log 35>1>log 53>0. 又因为f (x )在[0，＋∞)上为单调递减函数， 所以f (log 53)>f (log 35)>f (log 25)， 即f (log 53)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 315>f (log 25). [答案] (1)C (2)D[解题方略] 基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，若底数a 的值不确定，要注意分a >1和0<a <1两种情况讨论：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数.(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断.(3)对于幂函数y ＝x α的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同.[跟踪训练]1.若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析：选B ∵y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}，∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称.因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.2.(2019·天津高考)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c <b <a B.a <b <c C.b <c <aD.c <a <b解析：选A ∵a ＝log 27>log 24＝2，b ＝log 38<log 39＝2且b >1，c ＝0.30.2<0.30＝1，∴c <b <a .故选A.3.已知函数f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x ＞0的解集为( )A.(0，1)B.(－∞，1)C.(1，＋∞)D.(0，＋∞)解析：选C 因为函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)在(0，＋∞)为单调函数，而2a ＜3a且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ，所以f (x )＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，结合对数函数的图象与性质可由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ＞0，得0＜1－1x ＜1，所以x ＞1，故选C.考点二函数与方程题型一 确定函数零点个数或所在区间[例2] (1)(2019·新疆乌鲁木齐地区三检)在下列区间中，函数f (x )＝e x＋3x －4的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 (2)(2019·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝2sin x －sin2x 在[0，2π]的零点个数为( ) A.2 B.3 C.4D.5[解析] (1)因为f ′(x )＝e x＋3＞0，所以函数f (x )在R 上单调递增. 易知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12＋32－4＝e 12－52， 因为e ＜254，所以e 12＜52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，但f (1)＝e ＋3－4＝e －1＞0， 所以结合选项可知，函数f (x )的零点所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选C.(2)令f (x )＝0，得2sin x －sin2x ＝0， 即2sin x －2sin x cos x ＝0，∴2sin x (1－cos x )＝0，∴sin x ＝0或cos x ＝1. 又x ∈[0，2π]，∴由sin x ＝0得x ＝0，π或2π，由cos x ＝1得x ＝0或2π. 故函数f (x )的零点为0，π，2π，共3个.故选B. [答案] (1)C (2)B [解题方略]1.判断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上；(2)利用零点存在性定理进行判断；(3)画出函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断. 2.判断函数零点个数的3种方法题型二 根据函数的零点求参数的范围[例3] (2019·江西八所重点中学联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |（x ≤1），－x 2＋4x －2（x ＞1），若关于x的方程a ＝f (x )恰有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[)1，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪[)1，2C.(1，2)D.[)1，2[解析] 关于x 的方程a ＝f (x )恰有两个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝a 恰有两个不同的交点，作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可得实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪[)1，2，故选B.[答案] B[解题方略]利用函数零点的情况求参数的范围的3种方法[跟踪训练]1.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x（x ＜1），log 2x （x ≥1），则函数g (x )＝f (x )－1的所有零点之和等于( )A.4B.2C.1D.0解析：选B 令g (x )＝0，则f (x )＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，2x ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，log 2x ＝1，解得x ＝0或x ＝2，所以函数g (x )＝f (x )－1的所有零点之和等于2.故选B.2.对于实数a ，b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b －a ，a ＜b ，b 2－a 2，a ≥b ，设f (x )＝(2x －3)⊗(x －3)，且关于x 的方程f (x )＝k (k ∈R )恰有三个互不相同的实根，则k 的取值范围为( )A.(0，2)B.(0，3)C.(]0，2D.(]0，3解析：选B 因为a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b －a ，a ＜b ，b 2－a 2，a ≥b ，所以f (x )＝(2x －3)⊗(x －3)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ＜0，－3x 2＋6x ，x ≥0， 其图象如图所示：由图可得，要使关于x 的方程f (x )＝k (k ∈R )恰有三个互不相同的实根，则k ∈(0，3).[例4] (1)(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10－10.1(2)某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元.则该场________天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.[解析] (1)设太阳的星等为m 1，天狼星的星等为m 2，则太阳与天狼星的亮度分别为E 1，E 2，由条件m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，m 2－m 1＝52lg E 1E 2，得52lg E 1E 2＝－1.45＋26.7＝25.25.∴lgE 1E 2＝25.25×25＝10.1，∴E 1E 2＝1010.1，即太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1.(2)设该场x (x ∈N *)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y 元.因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x 天饲料的保管费与其他费用共是6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝(3x 2－3x )(元).从而有y ＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x ＋3x ＋357≥417，当且仅当300x＝3x ，即x＝10时，y 有最小值.故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.[答案] (1)A (2)10[解题方略]1.应用函数模型解决实际问题常见类型 (1)应用所给函数模型解决实际问题. (2)构建函数模型解决实际问题.2.求解函数应用问题的一般程序及关键(1)一般程序：读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.(2)解题关键：解答这类问题的关键是准确地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.[跟踪训练]1.某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0＜x ≤A ，C ＋B （x －A ），x ＞A .已知某家庭2019年前三个月的煤气费如表：若四月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为( ) A.11.5元 B.11元 C.10.5元D.10元解析：选A 根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0＜x ≤5，4＋12（x －5），x ＞5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2.(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A 型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，则大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元.解析：设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x ＝14.4.化简得x －6×0.9x＝0. 令f (x )＝x －6×0.9x ，易得f (x )为单调递增函数，又f (3)＝－1.374＜0，f (4)＝0.0634＞0，所以函数f (x )在(3，4)上有一个零点.故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元. 答案：4直观想象——数形结合法在函数零点问题中的应用[典例] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4[解析] 函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数，即函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象的交点的个数.如图所示，函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象有两个交点，故函数y ＝f (x )＋x －4的零点有2个.故选B.[答案] B [素养通路]直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.本题是函数零点个数问题，基本思路是数形结合，即把函数拆分为两个基本初等函数，这两个函数图象的交点个数即为函数的零点个数，对于不易直接求解的方程的根的个数的讨论，也是通过根据方程构建两个函数，利用两函数图象交点个数得出对应方程根的个数.考查了直观想象这一核心素养.[专题过关检测]A 组——“12＋4”满分练一、选择题1.幂函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是( )A.(0，＋∞)B.[)0，＋∞C.(－∞，＋∞)D.(－∞，0)解析：选D 设f (x )＝x a ，则2a ＝14，所以a ＝－2，所以f (x )＝x －2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0).故选D.2.(2019·全国卷Ⅰ)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A.a <b <c B.a <c <b C.c <a <bD.b <c <a解析：选B 由对数函数的单调性可得a ＝log 20.2<log 21＝0，由指数函数的单调性可得b ＝20.2>20＝1，0<c ＝0.20.3<0.20＝1，所以a <c <b .故选B.3.函数f (x )＝－|x |－x ＋3的零点所在区间为( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3)D.(3，4)解析：选B 函数f (x )＝－|x |－x ＋3是单调减函数，因为f (1)＝1＞0，f (2)＝1－2＜0，所以f (1)f (2)＜0，可知函数f (x )＝－|x |－x ＋3的零点所在区间为(1，2).4.(2019·广州市综合检测(一))如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T .若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数h ＝f (t )的图象大致是( )解析：选B 水位由高变低，排除C 、D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.5.若函数y ＝a －a x(a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( )A.1B.2C.3D.4解析：选C ∵当a >1时，函数y ＝a －a x在[0，1]上单调递减，∴a －1＝1且a －a ＝0，解得a ＝2；当0<a <1时，函数y ＝a －a x在[0，1]上单调递增，∴a －1＝0且a －a ＝1，此时无解.∴a ＝2，因此log a 56＋log a 485＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫56×485＝log 28＝3.故选C.6.若函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( )A.f (x )＝e x ＋1B.f (x )＝e x －1C.f (x )＝e－x ＋1D.f (x )＝e－x －1解析：选D 与y ＝e x的图象关于y 轴对称的图象对应的函数为y ＝e －x.依题意，f (x )的图象向右平移1个单位长度，得y ＝e －x的图象，∴f (x )的图象是由y ＝e －x的图象向左平移1个单位长度得到的，∴f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.7.某商场为了解商品的销售情况，对某种电器今年一至五月份的月销售量Q (x )(台)进行统计，得数据如下：根据表中的数据，你认为能较好地描述月销售量Q (x )(台)与时间x (月份)变化关系的模拟函数是( )A.Q (x )＝ax ＋b (a ≠0)B.Q (x )＝a |x －4|＋b (a ≠0)C.Q (x )＝a (x －3)2＋b (a ≠0) D.Q (x )＝a ·b x(a ≠0，b >0且b ≠1)解析：选C 观察数据可知，当x 增大时，Q (x )的值先增大后减小，且大约是关于Q (3)对称，故月销售量Q (x )(台)与时间x (月份)变化关系的模拟函数的图象是关于x ＝3对称的，显然只有选项C 满足题意，故选C.8.已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A.(－∞，＋∞)上的减函数B.(－∞，＋∞)上的增函数C.(－1，1)上的减函数D.(－1，1)上的增函数解析：选D 由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A 、B ，又y ＝21－x－1在(－1，1)上是增函数，∴f (x )在(－1，1)上是增函数.选D.9.设函数f (x )＝ax －k－1(a >0，且a ≠1)过定点(2，0)，且f (x )在定义域R 上是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )解析：选A 由题意可知a2－k－1＝0，解得k ＝2，所以f (x )＝ax －2－1，又f (x )在定义域R 上是减函数，所以0<a <1.此时g (x )＝log a (x ＋2)在定义域上单调递减，且恒过点(－1，0)，故选A.10.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A.[－1，0)B.[0，＋∞)C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)解析：选C 令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x ).在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示.若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0，1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意.综上，a 的取值范围为[－1，＋∞).故选C.11.(2019·贵阳市第一学期监测)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，若a ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.5)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.c ＜a ＜bD.c ＜b ＜a解析：选D 由题意，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f (－log 25)＝f (log 25)，因为log 25＞log 24.1＞2＞20.5＞0，所以f (log 25)＞f (log 24.1)＞f (20.5)，即c ＜b ＜a ，故选D.12.(2019·福州市质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋4，x ≤0，－x 3－x ＋5，x ＞0，当x ∈[m ，m ＋1]时，不等式f (2m －x )＜f (x ＋m )恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，－4)B.(－∞，－2)C.(－2，2)D.(－∞，0)解析：选B 易知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋4，x ≤0，－x 3－x ＋5，x ＞0在x ∈R 上单调递减，又f (2m －x )＜f (x ＋m )在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，所以2m －x ＞x ＋m ，即2x ＜m 在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，所以2(m ＋1)＜m ，解得m ＜－2，故选B.二、填空题13.(2019·广州市综合检测(一))已知函数f (x )＝x 3＋a log 3x ，若f (2)＝6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.解析：由f (2)＝8＋a log 32＝6，解得a ＝－2log 32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18＋a log 312＝18－a log 32＝18＋2log 32×log 32＝178. 答案：17814.(2019·河北模拟调研改编)已知函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a ＞0，且a ≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，则实数a ＝________；若函数g (x )＝a x ＋m－3的图象不经过第一象限，则实数m 的取值范围为________.解析：函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a ＞0且a ≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0].当a ＞1时，f (x )＝log a (－x ＋1)在[－2，0]上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＝log a 3＝0，f （0）＝log a 1＝－1，无解；当0＜a＜1时，f (x )＝log a (－x ＋1)在[－2，0]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＝log a 3＝－1，f （0）＝log a 1＝0，解得a ＝13.∵g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋m－3的图象不经过第一象限，∴g (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13m－3≤0，解得m ≥－1，即实数m 的取值范围是[－1，＋∞).。

高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第二讲 函数的图象与性质教案 理-

高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数 第二讲 函数的图象与性质教案 理-

第二讲函数的图象与性质年份卷别考查角度及命题位置命题分析2018Ⅱ卷函数图象的识别·T3 1.高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第5～10或第13～15题的位置上，难度一般．主要考查函数的定义域，分段函数求值或分段函数中参数的求解及函数图象的判断．2.此部分内容有时出现在选择、填空题压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.函数奇偶性、周期性的应用·T11Ⅲ卷函数图象的识别·T72017Ⅰ卷函数单调性、奇偶性与不等式解法·T5Ⅲ卷分段函数与不等式解法·T152016Ⅰ卷函数的图象判断·T7Ⅱ卷函数图象的对称性·T12函数及其表示授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]求解函数的定义域时要注意三式——分式、根式、对数式，分式中的分母不为零，偶次方根中的被开方数非负，对数的真数大于零．底数大于零且不大于1．解决此类问题的关键在于准确列出不等式(或不等式组)，求解即可．确定条件时应先看整体，后看部分，约束条件一个也不能少．[全练——快速解答]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)以下函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A．y＝x B．y＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．结合选项知，只有函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．应选D.答案：D2．(2018·某某名校联考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x －4)，x >2，e x，－2≤x ≤2，f (－x )，x <－2，那么f (－2 017)＝( )A ．1B ．eC ．1eD ．e 2解析：由题意f (－2 017)＝f (2 017)，当x ＞2时，4是函数f (x )的周期，所以f (2 017)＝f (1＋4×504)＝f (1)＝e.答案：B3．函数f (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为________．解析：由函数解析式可知，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－ln x >0x >01－ln x ≠1，解得1<xf (x )＝x －1ln (1－ln x )的定义域为(1，e)．答案：(1，e)4．(2017·高考全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x，x >0，那么满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值X 围是__________．解析： 当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，∴－14<x ≤0.当0<x ≤12时，原不等式为2x＋x ＋12>1，显然成立．当x >12时，原不等式为2x＋2x －12>1，显然成立．综上可知，x 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准那么，列出不等式或不等式组，然后求出解集即可．2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略 常见类型 解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套〞的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值 分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值X 围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值X 围的大前提求参数 “分段处理〞，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值必须依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解函数图象及应用授课提示：对应学生用书第5页[悟通——方法结论]1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法、二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换等．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数y ＝sin 2x1－cos x的部分图象大致为( )解析：令函数f (x )＝sin 2x 1－cos x ，其定义域为{x |x ≠2k π，k ∈Z }，又f (－x )＝sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x 1－cos x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin 2x1－cos x 为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B ；因为f (1)＝sin 2 1－cos 1>0，f (π)＝sin 2π1－cos π＝0，故排除A 、D ，选C.答案：C(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin xx2的部分图象大致为( )解析：法一：易知函数g (x )＝x ＋sin xx2是奇函数，其函数图象关于原点对称，所以函数y ＝1＋x ＋sin xx2的图象只需把g (x )的图象向上平移一个单位长度，结合选项知选D.法二：当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin xx2→＋∞，故排除选项B.当0<x <π2时，y ＝1＋x ＋sin xx2>0，故排除选项A 、C.选D.答案：D由函数解析式识别函数图象的策略[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：法一：ƒ′(x )＝－4x 3＋2x ，那么ƒ′(x )＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，ƒ(x )单调递增；ƒ′(x )＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞，ƒ(x )单调递减． 应选D.法二：当x ＝1时，y ＝2，所以排除A ，B 选项．当x ＝0时，y ＝2，而当x ＝12时，y ＝－116＋14＋2＝2316＞2，所以排除C 选项．应选D. 答案：D 2．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x 的图象的大致形状是( )解析：∵f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cos x ，∴f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e －x －1cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋e x －1cosx ＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项A ，C ，又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，e x >e 0＝1，21＋ex －1<0，cos x >0，∴f (x )<0，可排除选项D ，应选B.答案：B3．(2018·某某调研)函数f (x )的图象如下图，那么f (x )的解析式可以是( )A ．f (x )＝ln|x |xB ．f (x )＝e xxC ．f (x )＝1x2－1D ．f (x )＝x －1x解析：由函数图象可知，函数f (xf (x )＝x －1x，那么当x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，应选A.答案：A函数的性质及应用授课提示：对应学生用书第6页[悟通——方法结论]1．判断函数单调性的一般规律对于选择、填空题，假设能画出图象，一般用数形结合法；而对于由基本初等函数通过加、减运算或复合运算而成的函数常转化为基本初等函数单调性的判断问题；对于解析式为分式、指数函数式、对数函数式等较复杂的函数，用导数法；对于抽象函数，一般用定义法．2．函数的奇偶性(1)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．3．记住几个周期性结论(1)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(2)假设函数f(x)满足f(x＋a)＝1f(x)(a>0)，那么f(x)为周期函数，且2a是它的一个周期．(1)(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是( )A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)解析：由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)．答案：D(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．假设f(1)＝－1，那么满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值X围是( )A．[－2,2] B．[－1,1]C．[0,4] D．[1,3]解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.答案：D(3)(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，ƒ(a )＝4，那么ƒ(－a )＝________.解析：∵ƒ(x )＋ƒ(－x )＝ln(1＋x 2－x )＋1＋ln(1＋x 2＋x )＋1＝ln(1＋x 2－x 2)＋2＝2，∴ƒ(a )＋ƒ(－a )＝2，∴ƒ(－a )＝－2. 答案：－21．掌握判断函数单调性的常用方法数形结合法、结论法(“增＋增〞得增、“减＋减〞得减及复合函数的“同增异减〞)、定义法和导数法．2．熟知函数奇偶性的3个特点(1)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． (2)确定函数的奇偶性，务必先判断函数的定义域是否关于原点对称． (3)对于偶函数而言，有f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．3．周期性：利用周期性可以转化函数的解析式、图象和性质，把不在区间上的问题，转化到区间上求解．4．注意数形结合思想的应用．[练通——即学即用]1．(2018·某某模拟)以下函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e x＋e －xB ．y ＝ln(|x |＋1)C ．y ＝sin x |x |D ．y ＝x －1x解析：选项A 、B 显然是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1x在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D 正确．答案：D2．(2018·某某八中摸底)函数y ＝f (x )在区间[0,2]上单调递增，且函数f (x ＋2)是偶函数，那么以下结论成立的是( )A ．f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72 解析：因为函数f (x ＋2)是偶函数， 所以f (x ＋2)＝f (－x ＋2)， 即函数f (x )的图象关于x ＝2对称． 又因为函数y ＝f (x )在[0,2]上单调递增， 所以函数y ＝f (x )在区间[2,4]上单调递减． 因为f (1)＝f (3)，72>3>52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (3)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72<f (1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 答案：B授课提示：对应学生用书第116页一、选择题1．以下四个函数： ①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x >0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0).其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①y ＝3－x 的定义域和值域均为R ，②y ＝2x －1(x >0)的定义域为(0，＋∞)，值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞)，④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≤0)，1x(x >0)的定义域和值域均为R ，所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，应选B.答案：B2．设定义在R 上的奇函数y ＝f (x )满足对任意的x ∈R ，都有f (x )＝f (1－x )，且当x ∈[0，12]时，f (x )＝(x ＋1)，那么f (3)＋f (－32)的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2解析：由于函数f (x )是奇函数，所以f (x )＝f (1－x )⇒f (x )＝－f (x ＋1)⇒f (x ＋1)＝－f (x )⇒f (x ＋2)＝f (x )，所以f (3)＝f (1)＝f (1－1)＝f (0)＝0，f (－32)＝f (12)＝32f (3)＋f (－32)＝－1.答案：C3．函数f (x )＝1＋ln ()x 2＋2的图象大致是( )解析：因为f (0)＝1＋ln 2>0，即函数f (x )的图象过点(0，ln 2)，所以排除A 、B 、C ，选D.答案：D4．(2017·高考某某卷)奇函数f (x )在R 上是增函数，g (x )＝xf (x )．假设a ＝g (－log 2 5.1)，b ＝g (2)，c ＝g (3)，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：奇函数f (x )在R 上是增函数，当x >0时，f (x )>f (0)＝0，当x 1>x 2>0时，f (x 1)>f (x 2)>0，∴x 1f (x 1)>x 2f (x 2)，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，且g (x )＝xf (x )是偶函数，∴a ＝g (－log 2 5.1)＝g (log 2 5.1)．易知2<log 2 5.1<3,1<2<2，由g (x )在(0，＋∞)上单调递增，得g (2)<g (log 2 5.1)<g (3)，∴b <a <c ，应选C.答案：C5．(2018·某某模拟)函数f (x )＝e xx 的图象大致为( )解析：由f (x )＝e x x ，可得f ′(x )＝x e x －e x x 2＝(x －1)e x x2， 那么当x ∈(－∞，0)和x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．又当x <0时，f (x )<0，应选B.答案：B6．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，那么( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，那么f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：D7．(2018·某某模拟)函数f (x )＝ex －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x ，假设f (x 1)＝g (x 2)＝0，那么( )A ．0<g (x 1)<f (x 2)B ．f (x 2)<g (x 1)<0C ．f (x 2)<0<g (x 1)D ．g (x 1)<0<f (x 2) 解析：易知f (x )＝e x －1＋4x －4，g (x )＝ln x －1x在各自的定义域内是增函数，而f (0)＝e －1＋0－4＝1e －4<0，f (1)＝e 0＋4×1－4＝1>0，g (1)＝ln 1－11＝－1<0，g (2)＝ln 2－12＝ln 2e f (x 1)＝g (x 2)＝0，所以0<x 1<1,1<x 2<2，所以f (x 2)>f (1)>0，g (x 1)<g (1)<0，故g (x 1)<0<f (x 2)．答案：D8．函数f (x )＝(x 2－2x )·sin(x －1)＋x ＋1在[－1,3]上的最大值为M ，最小值为m ，那么M ＋m ＝( )A ．4B ．2C ．1D ．0 解析：f (x )＝[(x －1)2－1]sin(x －1)＋x －1＋2，令t ＝x －1，g (t)＝(t 2－1)sin t ＋t ，那么y ＝f (x )＝g (t)＋2，t ∈[－2,2]．显然M ＝g (t)max ＋2，m ＝g (t)min ＋2.又g (t)为奇函数，那么g (t)max ＋g (t)min ＝0，所以M ＋m ＝4，应选A.答案：A9．g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，g (x )，x >0，假设f (2－x 2)>f (x )，那么x 的取值X 围是( ) A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－2,1)D ．(1,2)解析：因为g (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，所以当x >0时，－x <0，g (－x )＝－ln(1＋x )，即当x >0时，g (x )＝ln(1＋x )，那么函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0，作出函数f (x )的图象，如图：由图象可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3，x ≤0，ln (1＋x )，x >0在(－∞，＋∞)上单调递增． 因为f (2－x 2)>f (x )，所以2－x 2>x ，解得－2<x <1，应选C.答案：C10．(2018·高考全国卷Ⅱ)ƒ(x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )．假设ƒ(1)＝2，那么ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋…＋ƒ(50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50解析：∵ƒ(x )是奇函数，∴ƒ(－x )＝－ƒ(x )，∴ƒ(1－x )＝－ƒ(x －1)．由ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴－ƒ(x －1)＝ƒ(x ＋1)，∴ƒ(x ＋2)＝－ƒ(x )，∴ƒ(x ＋4)＝－ƒ(x ＋2)＝－[－ƒ(x )]＝ƒ(x )，∴函数ƒ(x )是周期为4的周期函数．由ƒ(x )为奇函数得ƒ(0)＝0.又∵ƒ(1－x )＝ƒ(1＋x )，∴ƒ(x )的图象关于直线x ＝1对称，∴ƒ(2)＝ƒ(0)＝0，∴ƒ(－2)＝0.又ƒ(1)＝2，∴ƒ(－1)＝－2，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(－1)＋ƒ(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴ƒ(1)＋ƒ(2)＋ƒ(3)＋ƒ(4)＋…＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝0×12＋ƒ(49)＋ƒ(50)＝ƒ(1)＋ƒ(2)＝2＋0＝2.应选C.答案：C11．定义在R 上的函数f (x )对任意0<x 2<x 1都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1，且函数y ＝f (x )的图象关于原点对称，假设f (2)＝2，那么不等式f (x )－x >0的解集是( )A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0,2)D ．(－2,0)∪(2，＋∞) 解析：由f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<1， 可得[f (x 1)－x 1]－[f (x 2)－x 2]x 1－x 2<0.令F (x )＝f (x )－x ，由题意知F (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，又是奇函数，且F (2)＝0，F (－2)＝0，所以结合图象，令F (x )>0，得x <－2或0<x <2，应选C.答案：C12．(2018·某某三市联考)函数f (x )＝e |x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x ≤4，4e 5－x ，x >4对任意的x ∈[1，m ](m >1)，都有f (x －2)≤g (x )，那么m 的取值X 围是( )A ．(1,2＋ln 2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，72＋ln 2 C ．(ln 2,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，72＋ln 2 解析：作出函数y 1＝e |x －2|和y ＝g (x )的图象，如下图，由图可知当x＝1时，y 1＝g (1)，又当x ＝4时，y 1＝e 2<g (4)＝4e ，当x >4时，由ex －2≤4e 5－x ，得e 2x －7≤4，即2x －7≤ln 4，解得x ≤72＋ln 2，又m >1，∴1<m ≤72＋ln 2.答案：D二、填空题13．设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________.解析：由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12. 答案：－1214．假设函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，那么a ＝________.解析：法一：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )对x ∈R 恒成立，所以－x ·(－x －1)(－x ＋a )＝－x (x －1)(x ＋a )对x ∈R 恒成立，所以x (a －1)＝0对x ∈R 恒成立，所以a ＝1.法二：因为函数f (x )＝x (x －1)(x ＋a )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，所以－1×(－1－1)×(－1＋a )＝－1×(1－1)×(1＋a )，解得a ＝1.答案：115．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，那么实数a 的取值X 围是________．解析： 当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ (1－2a )x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1)内的所有实数，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 16．如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点，设顶点P (x ，y )的轨迹方程是y ＝f (x )，那么对函数y ＝f (x )有以下判断：①函数y ＝f (x )是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x －2)；③函数y ＝f (x )在区间[2,3]上单调递减；④函数y ＝f (x )在区间[4,6]上是减函数．其中判断正确的序号是________．解析：如图，从函数y ＝f (x )的图象可以判断出，图象关于y 轴对称，每4个单位图象重复出现一次，在区间[2,3]上，随x 增大，图象是往上的，在区间[4,6]上图象是往下的，所以①②④正确，③错误．答案：①②④。

高考数学第二轮复习 导数教学案

高考数学第二轮复习 导数教学案

高考第二轮专题复习（教学案）：导数考纲指要：导数是高中数学中重要的内容，是解决实际问题的强有力的数学工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值是高考的热点问题。

考点扫描：导数在研究函数中的应用① 结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间；② 结合函数的图像，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，以及闭区间上不超过三次的多项式函数最大值、最小值；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

考题先知：例1．设函数B A Cx Bx Ax x f ++++=6)(23，其中实数A 、B 、C 满足： ①9841218+≤+≤+-B C A B ； ②A B A 63≤-<。

（1）求证：49)1(,41)1(''≤-≥f f ； （2）设π≤≤x 0，求证：0)sin 2(≥x f 。

证明：（1）由9841218+≤+≤+-B C A B 得：,4123≥++C B A 4923≤+-C B A ，又C Bx Ax x f ++=23)(2'，所以4123)1('≥++=C B A f ，4923)1('≤+-=-C B A f（2）当π≤≤x 0时，0)sin 2(≥x f 等价于当20≤≤u 时，0)(≥u f ，所以只须证明当20≤≤x 时，0)(≥x f ，由②知：,0>A 且(]2,13∈-AB，所以C Bx Ax x f ++=23)(2'为开口向上的抛物线，其对称轴方程(]2,13∈-=ABx ，又由A B A 63≤-<得：0)6)(3(≤++B A B A ，即AB A B 91822+≥-，所以，当20≤≤x 时，有 B A C AABA AC AB AC A B f x f 363918312412)3()(22''++=++≥-=-≥B BC B A B A C B A +-+++≥++++=)21(23323=)]1()1([4121)1('''--⨯+f f f=049814189)1(81)1(89''=⨯-⨯≥--f f ，所以)(x f 为[0，2]上的增函数。

高三二轮复习专题讲座函数与导数ppt课件

课程标准 教学要求 考试说明
3
一、课标、教学要求、考试说明的解读
考试要求： 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次 （在下表中分别用A、B、C表示）． 了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解 决相关的简单问题． 理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一 定综合性的问题． 掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合 性较强的或较为困难的问题．
4
内
容
要求
函数的有关概念
A
B
C
√
函数的基本性质
√
函
指数与对数
√
指数函数的图象与性质
√
对数函数的图象与性质
√
数
幂函数
√
函数与方程
√
函数模型及其应用
√
导数的概念
√
导
导数的几何意义
√
导数的运算
√
数
利用导数研究函数的单调
√
性与极值
导数在实际问题中的应用
√
5
二、近几年高考试题分析
高考函数与导数试题的命题特点
分析：此 题 的 关 键 是 集正 合 M的 确含 理,所 义 解谓 在 定 义 域 内 x0,使 存得 f在 (x01)f(x0)f(1) 成 立 ,就 是 方 f(x程 1)f(x)f(1)有 实 数 . 解
10
此 题 在 最 初 命,第 题(4时 )个 函 数 不f (是 x) cosx,而 是
7
三、目前学生存在的问题、成因
通过这次期末调研考试，以及一轮复习中反映出的 情况来看，在函数与导数部分主要存在着以下几个 方面的问题： 1．基础知识掌握不牢，该过关的地方还没过关， 主要是由于基本概念不清、运算能力不强； 2．灵活运用知识解决问题的能力不够，主要是由 于对于所学的知识理解不透，不能举一反三； 3．转化与化归的能力较弱，主要是平时解题过程 中不注意对方法的归纳与小结．

高考总复习二轮数学精品课件 专题1 函数与导数 第2讲 基本初等函数、函数的应用


3.函数的零点问题
(1)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与
函数y=g(x)的图象交点的横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③
数形结合,利用两个函数图象的交点求解.
温馨提示函数的零点是一个实数,而不是几何图形.
质与相关函数的性质之间的关系进行判断.
对点练2
9 0.1
(1)(2023·广东湛江一模)已知 a=(11) ,b=log910,c=lg
A.b>c>a
B.c>b>a
C.b>a>c
D.c>a>b
11,则( A )
解析 根据指数函数和对数函数的性质,
可得
9 0.1
9 0
a=(11) < 11 =1,b=log910>log99=1,c=lg
1 1
B. - 2 , 2
1
C. 0, 2
1
1
D. - 2 ,0 ∪ 0, 2
(3)换底公式:logaN= log (a,b>0,且 a,b≠1,N>0).

(4)对数值符号规律:已知a>0,且a≠1,b>0,则logab>0⇔(a-1)(b-1)>0,
logab<0⇔(a-1)(b-1)<0.
1
温馨提示对数的倒数法则:logab= log

(a,b>0,且a,b≠1).
11>lg 10=1,
又由 2=lg 100>lg 99=lg 9+lg 11>2 lg9 × lg11,所以 1>lg

高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 教案 文

高考数学二轮复习 专题2 函数与导数 教案 文专题二 函数与导数【重点知识回顾】1．函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势．函数的图象也是高考命题的热点之一．近几年来考查导数的综合题基本已经定位到压轴题的位置了．2．对于函数部分考查的重点为：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性对称性和函数的图象；指数函数、对数函数的概念、图象和性质；应用函数知识解决一些实际问题；导数的基本公式，复合函数的求导法则；可导函数的单调性与其导数的关系，求一些实际问题（一般指单峰函数）的最大值和最小值．【典型例题】 1．函数的性质与图象函数的性质是高考考查的重点内容．根据函数单调性和奇偶性的定义，能判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，掌握求函数最大值和最小值的常用方法．函数的图象是函数性质的直观载体，能够利用函数的图象归纳函数的性质．对于抽象函数一类，也要尽量画出函数的大致图象，利用数形结合讨论函数的性质．例1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点……用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t 为时间，则下图与故事情节相吻合的是（ ）答案：BA B C D解析：在选项B 中，乌龟到达终点时，兔子在同一时间的路程比乌龟短．点评：函数图象是近年高考的热点的试题，考查函数图象的实际应用，考查学生解决问题、分析问题的能力，在复习时应引起重视．例2．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则1234_________.x x x x +++=答案：-8解析：因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以, 由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，由对称性知1212x x +=-，344x x +=．所以12341248x x x x +++=-+=-．点评：本题综合考查了函数的奇偶性,单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题．2．函数与解方程、不等式的综合问题函数与方程、不等式、数列是密切相关的几个部分，通过建立函数模型来解决有关他们的综合问题是高考的考查方向之一，解决该类问题要善于运用转化的思想方法，将问题进行不断转化，构建模型来解决问题．例2．x 为何值时，不等式()23log log 2-<x x m m 成立．解析：当1>m 时，212132023023022<<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x ． 当10<<m 时，21322132023023022><<⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><>≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-<>->x x x x x x x x x x 或或． 故1>m 时，21<<x ．10<<m 时，2132><<x x 或为所求．点评：该题考查了对数不等式的解法，其基本的解题思路为将对数不等式转化为普通不等式，需要注意转化之后x 的范围发生了变化，因此最后要检验，或者转化时将限制条件联立．3．函数的实际应用函数的实际运用主要是指运用函数的知识、思想和方法综合解决问题．函数描述了自然界中量的依存关系，是对问题本身的数量本质特征和制约关系的一种刻画，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立函数关系．掌握有关函数知识是运用函数思想的前提，考生应具备用初等数学思想方法研究函数的能力，运用函数思想解决有关数学问题的意识是运用函数思想的关键．例3．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的 平均建筑费用为560+48x （单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=建筑总面积购地总费用）解析：设楼房每平方米的平均综合费为y 元，依题意得：*21601000010800(56048)56048(10,)2000y x x x x N x x⨯=++=++≥∈．则21080048y x '=-，令0y '=，即210800480x -=，解得15x =． 当15x >时，0y '>；当015x <<时，0y '<， 因此，当15x =时，y 取得最小值，min 2000y =元．答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层．点评：这是一题应用题，利用函数与导数的知识来解决问题．利用导数，求函数的单调性、求函数值域或最值是一种常用的方法．4．导数与单调性、极（最）值问题．导数作为工具来研究三次函数、指数函数、对数函数的单调性，极值、最值时，具有其独特的优越性，要理解导数的几何意义，熟练导数的运算公式，善于借助导数解决有关的问题．例4．已知函数321()33f x ax bx x =+++，其中0a ≠． （1）当b a ,满足什么条件时，)(x f 取得极值?（2）已知0>a ，且)(x f 在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围． 解析： （1）由已知得2'()21f x ax bx =++，令0)('=x f ，得2210ax bx ++=，)(x f 要取得极值，方程2210ax bx ++=必须有解，所以△2440b a =->，即2b a >， 此时方程2210ax bx ++=的根为：122b b x a a ---==，222b b x a a--+==，所以12'()()()f x a x x x x =-- 当0>a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值． 当0<a 时，所以)(x f 在x 1， x 2处分别取得极大值和极小值． 综上，当b a ,满足2b a >时，)(x f 取得极值．（2）要使)(x f 在区间(0,1]上单调递增，需使2'()210f x ax bx =++≥在(0,1]上恒成立．即1,(0,1]22ax b x x ≥--∈恒成立，所以max 1()22ax b x≥--， 设1()22ax g x x =--，2221()1'()222a x a a g x x x -=-+=， 令'()0g x =得x =或x =舍去)，当1>a 时，101a <<，当x ∈时'()0g x >，1()22ax g x x =--单调增函数；当x ∈时'()0g x<，1()22ax g x x =--单调减函数，所以当x =()g x取得最大，最大值为g = 所以b ≥ 当01a <≤1≥，此时'()0g x ≥在区间(0,1]恒成立， 所以1()22ax g x x=--在区间(0,1]上单调递增，当1x =时()g x 最大，最大值为1(1)2a g +=-，所以12a b +≥-．综上，当1>a 时， b ≥01a <≤时， 12a b +≥-．点评：本题为三次函数，利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值，函数在区间上为单调函数，则导函数在该区间上的符号确定，从而转为不等式恒成立，再转为函数研究最值．运用函数与方程的思想，化归思想和分类讨论的思想解答问题．【模拟演练】1．函数22log 2xy x-=+的图象（ ） A ． 关于原点对称 B ．关于主线y x =-对称 C ． 关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称 2． 定义在R 上的偶函数()f x 的部分图象如右图所示，则在()2,0-上，下列函数中与()f x 的单调性不同的是（ ）A ．21y x =+ B ． ||1y x =+C ． 321,01,0x x y x x +≥⎧=⎨+<⎩D ．,,0x x e x oy e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩3．已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( )A ．(25)(11)(80)f f f -<<B ． (80)(11)(25)f f f <<-C ． (11)(80)(25)f f f <<-D ． (25)(80)(11)f f f -<<4． 定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为 ．5． 已知函数()f x 在R 上满足2()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是 ．6．已知函数321(),3f x x ax bx =++且'(1)0f -= （I ）试用含a 的代数式表示b ； （Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）令1a =-，设函数()f x 在1212,()x x x x <处取得极值，记点1122(,()),(,())M x f x N x f x ，证明：线段MN 与曲线()f x 存在异于M 、N 的公共点．7．已知函数32()22f x x bx cx =++-的图象在与x 轴交点处的切线方程是510y x =-． （I ）求函数()f x 的解析式；（II ）设函数1()()3g x f x mx =+，若()g x 的极值存在，求实数m 的取值范围以及函数()g x 取得极值时对应的自变量x 的值．【参考答案】 1．答案：A解析：由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又f(-x)=-f(x)，故函数为奇函数，图象关于原点对称，选A ． 2．答案：C解析：根据偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，故可知求在()2,0-上单调递减，注意到要与()f x 的单调性不同，故所求的函数在()2,0-上应单调递增．而函数21y x =+在(],1-∞上递减；函数1y x =+在(],0-∞时单调递减；函数321,01,0x x y x x +>⎧=⎨+<⎩在（,0]-∞上单调递减，理由如下y ＇=3x 2>0(x<0)，故函数单调递增，显然符合题意；而函数,0,0x x e x y e x -⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，有y ＇=-x e -<0(x<0)，故其在（,0]-∞上单调递减，不符合题意，综上选C ． 3． 答案：D解析：因为)(x f 满足(4)()f x f x -=-，所以(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，则)1()25(-=-f f ，)0()80(f f =，)3()11(f f =，又因为)(x f 在R 上是奇函数， (0)0f =，得0)0()80(==f f ，)1()1()25(f f f -=-=-，而由(4)()f x f x -=-得)1()41()3()3()11(f f f f f =--=--==，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以0)0()1(=>f f ，所以0)1(<-f ，即(25)(80)(11)f f f -<<，故选D ． 4．答案：1解析：由已知得2(1)log 21f -==，(0)0f =，(1)(0)(1)1f f f =--=-，(2)(1)(0)1f f f =-=-，(3)(2)(1)1(1)0f f f =-=---=，(4)(3)(2)0(1)1f f f =-=--=，(5)(4)(3)1f f f =-=，(6)(5)(4)0f f f =-=， 所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现．，所以f （2009）= f （5）=1． 5．答案：21y x =-解析：由2()2(2)88f x f x x x =--+-得：2(2)2()(2)8(2)8f x f x x x -=--+--，即22()(2)44f x f x x x --=+-，∴2()f x x =∴/()2f x x =， ∴切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=． 6．解析：（I ）依题意，得2'()2f x x ax b =++， 由'(1)120f a b -=-+=得21b a =-． （Ⅱ）由（I ）得321()(21)3f x x ax a x =++-， 故2'()221(1)(21)f x x ax a x x a =++-=++-， 令'()0f x =，则1x =-或12x a =-， ①当1a >时，121a -<-，当x 变化时，'()f x 与()f x 的变化情况如下表：由此得，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --． ②由1a =时，121a -=-，此时，'()0f x ≥恒成立，且仅在1x =-处'()0f x =，故函数()f x 的单调区间为R ；③当1a <时，121a ->-，同理可得函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --．综上：当1a >时，函数()f x 的单调增区间为(,12)a -∞-和(1,)-+∞，单调减区间为(12,1)a --；当1a =时，函数()f x 的单调增区间为R ；当1a <时，函数()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(12,)a -+∞，单调减区间为(1,12)a --（Ⅲ）当1a =-时，得321()33f x x x x x=--，由2'()230f x x x =--=，得121,3x x =-=．由（Ⅱ）得()f x 的单调增区间为(,1)-∞-和(3,)+∞，单调减区间为(1,3)-，所以函数()f x 在121,3x x =-=处取得极值，故5(1,),(3,9)3M N --，所以直线MN 的方程为813y x =--，由32133813y x x x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得32330x x x --+= 解得1231, 1.3x x x =-==，1233121135119,,33x x x y y y =-=⎧⎧=⎧⎪⎪∴⎨⎨⎨=-==-⎩⎪⎪⎩⎩， 所以线段MN 与曲线()f x 有异于,M N 的公共点11(1,)3-． 7．解析：（I ）由已知,切点为(2,0),故有(2)0f =,即430b c ++=……① 又2()34f x x bx c '=++，由已知(2)1285f b c '=++=得870b c ++=……② 联立①②，解得1,1b c =-=．所以函数的解析式为32()22f x x x x =-+-．（II ）因为321()223g x x x x mx =-+-+．令21()34103g x x x m '=-++=．当函数有极值时，则0∆≥，方程2134103x x m -++=有实数解， 由4(1)0m ∆=-≥，得1m ≤． ①当1m =时，()0g x '=有实数23x =，在23x =左右两侧均有()0g x '>，故函数()g x 无极值； ②当1m <时，()0g x '=有两个实数根1211(2(2x x =-=+(),()g x g x '情况如下表：所以在(,1)∈-∞m 时，函数()g x 有极值；当1(23=-x 时，()g x 有极大值；当1(23=x 时，()g x 有极小值．.精品资料。

2020年高考数学二轮复习 导数讲学案 理.doc

回扣3 导数1．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y －f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．2．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)＞0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围：①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)＞0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．3．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点．(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．4．定积分的三个公式与一个定理(1)定积分的性质：①ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x；②ʃb a[f1(x)±f2(x)]d x＝ʃb a f1(x)d x±ʃb a f2(x)d x.③ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x(其中a<c<b)．(2)微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．1．已知可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f(x)的单调递增(减)区间为(a，b)，则f′(x)＞0(＜0)的解集为(a，b)．2．f′(x)＝0的解不一定是函数f(x)的极值点．一定要检验在x＝x0的两侧f′(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．1．a，b，c依次表示函数f(x)＝2x＋x－2，g(x)＝3x＋x－2，h(x)＝ln x＋x－2的零点，则a，b，c的大小顺序为( )A．c<b<a B．a<b<cC．a<c<b D．b<a<c答案 D解析a，b，c为直线y＝2－x分别与曲线y＝2x，y＝3x，y＝ln x的交点横坐标，从图象可知，b<a<c，故选D.2．若曲线f(x)＝x4－4x在点A处的切线平行于x轴，则点A的坐标为( )A．(－1,2) B．(1，－3)C．(1,0) D．(1,5)答案 B解析对f(x)＝x4－4x，求导得f′(x)＝4x3－4，由在点A处的切线平行于x轴，可得4x3－4＝0，解得x＝1，即点A的坐标为(1，－3)．3．若函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象可能为( )答案 C解析 根据f ′(x )的符号，f (x )图象应该是先下降后上升，最后下降，排除A ，D ；从适合f ′(x )＝0的点可以排除B ，故选C.4．设曲线f (x )＝－e x－x (e 为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l 1，总存在曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上某点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,2] B ．(3，＋∞)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23 答案 D解析 由f (x )＝－e x－x ，得f ′(x )＝－e x－1， 因为e x＋1＞1，所以1e x ＋1∈(0,1)，由g (x )＝3ax ＋2cos x ，得g ′(x )＝3a －2sin x ， 又－2sin x ∈[－2,2]，所以3a －2sin x ∈[－2＋3a,2＋3a ]，要使过曲线f (x )＝－e x －x 上任意一点的切线l 1， 总存在过曲线g (x )＝3ax ＋2cos x 上一点处的切线l 2，使得l 1⊥l 2，则⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3a ≤0，2＋3a ≥1，解得－13≤a ≤23.5．(2016·四川)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a 等于( ) A ．－4 B ．－2 C ．4 D ．2答案 D解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2.当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， ∴f (x )的极小值点为a ＝2.6．(2016·全国Ⅰ)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是( ) A.[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13 答案 C解析 方法一 (特殊值法)不妨取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23<0，不具备在(－∞，＋∞)上单调递增，排除A ，B ，D.故选C. 方法二 (综合法)∵函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0，即a cos x ≥43cos 2x －53在(－∞，＋∞)上恒成立．当cos x ＝0时，恒有0≥－53，得a ∈R ；当0<cos x ≤1时，得a ≥43cos x －53cos x ，令t ＝cos x ，g (t )＝43t －53t 在(0,1]上为增函数，得a ≥g (1)＝－13；当－1≤cos x <0时，得a ≤43cos x －53cos x ，令t ＝cos x ，g (t )＝43t －53t 在[－1,0)上为增函数，得a ≤g (－1)＝13.综上，可得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13，故选C.7．(2016·全国Ⅰ)函数y ＝2x 2－e |x |在[－2,2]的图象大致为( )答案 D解析 f (2)＝8－e 2＞8－2.82＞0，排除A ；f (2)＝8－e 2<8－2.72<1，排除B ；在x ＞0时，f (x )＝2x 2－e x ，f ′(x )＝4x －e x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14时，f ′(x )<14×4－e 0＝0，因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14上单调递减，排除C ，故选D.8．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A ．11或18B ．11C ．18D ．17或18 答案 C解析 ∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，函数在x ＝1处无极值，故舍去．∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16， ∴f (2)＝18.9．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 C ．[1,2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 答案 B解析 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x －12x，由f ′(x )＝0，得x ＝12.利用图象可得 ⎩⎪⎨⎪⎧k －1＜12＜k ＋1，k －1≥0，解得1≤k ＜32，故选B.10．已知奇函数f (x )是定义在R 上的可导函数，其导函数为f ′(x )，当x ＞0时，有2f (x )＋xf ′(x )＞x 2，则不等式(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)＋4f (－2)＜0的解集为( ) A ．(－∞，－2 016) B ．(－2 016，－2 012) C ．(－∞，－2 018) D ．(－2 016,0)答案 A解析 由题观察联想可设g (x )＝x 2f (x )，g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )，结合条件x >0,2f (x )＋xf ′(x )＞x 2，得g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )＞0，g (x )＝x 2f (x )在(0，＋∞)上为增函数． 又f (x )为R 上的奇函数，所以g (x )为奇函数， 所以g (x )在(－∞，0)上为增函数． 由(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)＋4f (－2)＜0， 可得(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)＜4f (2)， 即g (x ＋2 018)＜g (2)，所以x ＋2 018＜2，故x ＜－2 016，故选A. 11．ʃ10(1－x 2＋x ＋x 3)d x ＝________. 答案π＋34解析 因为ʃ10(1－x 2＋x ＋x 3)d x ＝ʃ101－x 2d x ＋ʃ10(x ＋x 3)d x ， ʃ10(x ＋x 3)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋14x 410＝34，ʃ101－x 2d x 等于以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的四分之一，即为π4， 所以ʃ10(1－x 2＋x ＋x 3)d x ＝π＋34. 12．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ 解析 f ′(x )＝3x 2－3a 2＝3(x ＋a )(x －a )，由f ′(x )＝0，得x ＝±a ，当－a <x <a 时，f ′(x )<0，函数单调递减； 当x >a 或x <－a 时，f ′(x )>0，函数单调递增． ∴f (－a )＝－a 3＋3a 3＋a >0且f (a )＝a 3－3a 3＋a <0， 解得a >22.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. 13．已知曲线C ：y ＝f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为________． 答案278解析 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )． 由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ， 切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝3t 2－a ，①所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t )．② 将点(1,0)代入②式，得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意它们互为相反数，得a ＝278.14．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对任意x 1∈[0,1]，存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞ 解析 由于f ′(x )＝1＋1(x ＋1)2＞0， 因此函数f (x )在[0,1]上单调递增， 所以当x ∈[0,1]时，f (x )min ＝f (0)＝－1. 根据题意可知，存在x ∈[1,2]， 使得g (x )＝x 2－2ax ＋4≤－1，即x 2－2ax ＋5≤0，即a ≥x 2＋52x 成立，令h (x )＝x 2＋52x，则若存在x ∈[1,2]，使a ≥h (x )成立，只需使a ≥h (x )min ，又函数h (x )＝x 2＋52x在[1,2]上单调递减，所以h (x )min ＝h (2)＝94，故只需a ≥94.所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞. 15．设函数f (x )＝x e kx(k ≠0)．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)若函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增，求k 的取值范围． 解 (1)由题意可得f ′(x )＝(1＋kx )e kx，f ′(0)＝1，f (0)＝0，故曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为x －y ＝0. (2)由f ′(x )＝(1＋kx )e kx＝0，得x ＝－1k(k ≠0)，若k ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，＋∞时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增；若k ＜0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k 时，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，＋∞时，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减．所以当k >0时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k ；当k <0时，f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1k ，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，＋∞.(3)由(2)知，若k ＞0，则当且仅当－1k≤－1，即0<k ≤1时，函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增； 若k ＜0，则当且仅当－1k≥1，即－1≤k <0时，函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增．综上可知，当函数f (x )在区间(－1,1)上单调递增时，k 的取值范围是[－1,0)∪(0,1]．16．已知函数f (x )＝ax e x ，其中a ＞0，且函数f (x )的最大值是1e. (1)求实数a 的值；(2)若函数g (x )＝ln f (x )－b 有两个零点，求实数b 的取值范围；(3)若对任意的x ∈(0,2)，都有f (x )＜1k ＋2x －x 2成立，求实数k 的取值范围． 解 (1)由题意得f ′(x )＝a (1－x )e x ，因为a ＞0，所以当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )＞0，f (x ) 在(－∞，1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，则f (x )max ＝f (1)＝a e ＝1e，所以a ＝1. (2)由题意知，函数g (x )＝ln f (x )－b ＝ln x －x －b (x ＞0)，所以g ′(x )＝1x －1＝1－x x， 易得函数g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝－1－b ， 依题意知，－1－b ＞0，则b ＜－1，所以实数b 的取值范围是(－∞，－1)．(3)由题意知，f (x )＝x e x ＜1k ＋2x －x 2对任意x ∈(0,2)都成立， 所以k ＋2x －x 2＞0，即k ＞x 2－2x 对任意x ∈(0,2)都成立，从而k ≥0.又不等式整理可得k ＜e x x＋x 2－2x ， 令h (x )＝e x x＋x 2－2x ， 所以令h ′(x )＝e x (x －1)x 2＋2(x －1) ＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx 2＋2＝0，得x ＝1， 当x ∈(1,2)时，h ′(x )＞0，函数h (x )在(1,2)上单调递增，同理，函数h (x )在(0,1)上单调递减， h (x )min ＝h (1)＝e －1.依题意得k ＜h (x )min ＝h (1)＝e －1，综上所述，实数k 的取值范围是[0，e －1)．。

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