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一阶微分方程模型平衡点的稳定性
由于 f(x)f(x0)x (x0)在,讨论方程(4-1)的 稳定性时，可用
d dx tf(x0)x (x0)
来代替.
(42)
一阶微分方程模型平衡点的稳定性
易知 x0也是方程(4-2)的平衡点. (4-2)的通解为
x(t)C ef(x0)t x0,
关于x0是否稳定有以下结论：
而在实际问题中，讨论问题的解的变化趋 势很重要，因此，以下只对其平衡点的稳定性 加以讨论.
一维微分方程模型平衡点的稳定性
设
dxf(x) dt
(41)
称代数方程 f (x)=0 的实根x = x0为方程(4-1)的平 衡点(或奇点). 它也是方程(4-1)的解.
如果
limx(t)
t
x0
则称平衡点x0是稳定的.
x (t)f(x)rx (1x) N
x(t) ~ 渔场鱼量，r~固有增长率, N~最大鱼量 • 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比
h(x)=Ex, E~捕捞强度
建模
记 F (x)f(x)h (x)
• 捕捞情况下渔场鱼量满足
x (t)F(x)r(x1x)Ex N
产量模型
F(x)0 平衡点
E x0N(1r),x10
(其中a, b为常数，且a ≠-1, 0)的通解为 xn=C(- a) n + b/(a + 1)
易知b/(a+1)是其平衡点，由上式知，当 且仅当|a|＜1时，b/(a +1)是稳定的平衡点.
x g (P0 )
x
f (P0 ) y
g (P0 ) y
则当p＞0且q＞0时，平衡点P0是稳定的； 当p＜0或q＜0时，平衡点P0是不稳定的.
稳定性模型
•建模目的是研究时间充分长以后过程的变 化趋势 ——平衡状态是否稳定。
•不求解微分方程，而是用微分方程稳定性 理论研究平衡状态的稳定性。
实例： 捕鱼业的持续收获
P0 (x0, y0). 它也是方程(4-3)的解.
微分方程组的平衡点的稳定性
如果 tl ix m (t) x 0 , tl iy m (t)y 0 ,
则称平衡点P0是稳定的.
微分方程组的平衡点的稳定性
下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别准则. 设
f (P0 )
pf(xP0)g(yP0),q
的差分方程的解可以在计算机上实现.
若有常数a是差分方程(4-6)的解，即
F (n; a, a, … , a ) = 0, 则称 a是差分方程(4-6)的平衡点.
又对差分方程(4-6)的任意由初始条件确定 的解 xn= x(n)都有
xn→a (n→∞), 则称这个平衡点a是稳定的.
差分方程模型
一阶常系数线性差分方程 xn+1 + axn= b,
这个结论对 于(4-1)也是
① 若 f(x0)0,则x0是稳定的； 成立的.
② 若 f(x0)0,则x0是不稳定的.
微分方程组的平衡点的稳定性
dx dt
f
(x,
y),
dy dt

g(x,
y).
代数方程组
(4 3)
f (x, y) 0,
g(x,
y)
0.
的实根x = x0, y = y0称为方程(4-3)的平衡点, 记作
专题板块系列
1
概率统计专题
2
优化专题
3
模糊方法及微分方程专题
4
图论专题
模糊方法及微分方程专题 模糊微分
Part1: 微分方程
Part2: 模糊数学
part1：微分方程 一 微分方程模型 二 差分方程模型
在研究实际问题时, 我们常常不能直接 得出变量之间的关系，但却能容易得出包含 变量导数在内的关系式，这就是微分方程.
控制渔场鱼量为最大鱼量的一半
效益模型
假设 • 鱼销售价格p
• 单位捕捞强度费用c
收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE
单位时间利润 RTSpE cxE
稳定平衡点
xN (1E/r) 0 R (E ) T (E ) S (E )pN (1 E E ) cE r
求E使R(E)最大
ER
r (1 2
c )
pN
E*
r 2
渔场 鱼量
xR
N(1
ER) r
N 2
c 2p
hR
rN(1 4
c2 p2N2
)
差分方程模型
对于k阶差分方程 F( n; xn, xn+1, … , xn+k ) = 0 (4-6)
若有xn = x (n), 满足 F(n; x(n), x(n + 1) , … , x(n + k )) = 0,
在现实社会中，又有许多变量是离散变 化的，如人口数、生产周期与商品价格等, 而且离散的运算具有可操作性, 差分正是联 系连续与离散变量的一座桥梁.
不管是微分方程还是差分方程模型，有时 无法得到其解析解 (必要时，可以利用计算机 求其数值解 )，既使得到其解析解，尚有未知 参数需要估计 (这时可利用第二章参数估计方 法).
背景
• 再生资源（渔业、林业等）与非再生 资源（矿业等）
• 再生资源应适度开发——在持续稳产 前提下实现最大产量或最佳效益。
问题 及 分析
• 在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕 捞使产量最大或效益最佳。
• 如果使捕捞量等于自然增长量，渔场 鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。
产量模型
假设 • 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律
稳定性判断 F (x 0 ) E r , F (x 1 ) r E
E r F (x 0 ) 0 ,F (x 1 ) 0x0稳定, x1不稳定 E r F (x 0 ) 0 ,F (x 1 ) 0x0不稳,定 x1稳定
E~捕捞强度 r~固有增长率 x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯
产量模型－最大产量
F (x)f(x) h (x)
y
f(x)rx(1 x) N
hm h
h(x)Ex
图解法
y=rx y=E*x y=h(x)=Ex
P* P
y=f(x)
F(x)0 f 与h交点P
0
Erx0稳定
产量最大
x0*=N/2 x0
Nx
P的横坐标 x0~平衡点
P的纵坐标 h~产量
P *(x0 *N /2,h mrN /4) E*hm/x0 *r/2
则称xn = x (n)是差分方程(4-6)的解, 包含k个任 意常数的解称为(4-6)的通解, x0, x1, … , xk-1为已 知时称为(4-6)的初始条件,通解中的任意常数都 由初始条件确定后的解称为(4-6)的特解.
差分方程模型
若x0, x1, … , xk－1已知，则形如 xn+k = g(n; xn, xn+1, … , xn+k-1 )