三角函数考点
三角函数考点
基本公式
考点1、（三角函数的诱导公式）：（把角写成
απ
±2
k 形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）
()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．
()5sin cos 2π
αα??
-=
???
，
cos sin 2παα??
-= ???
．
()6sin cos 2π
αα??
+=
???
，
cos sin 2παα??
+=- ???
． 考点2、（两角和与差的三角函数公式）：
⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
--=
+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；
⑹()tan tan tan 1tan tan αβ
αβαβ
++=
-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．
考点3、（二倍角的正弦、余弦和正切公式）： ⑴sin 22sin cos ααα=． ⑵
2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα
=-=-=-（
21cos 2cos 2
α
α+=
，
21cos 2sin 2
α
α-=
）． ⑶22tan tan 21tan α
αα
=-．
考点4、（辅助角公式）
:()sin cos ααα?A +B =+，其中tan ?B =A
． 考点5、（正弦定理）：
2sin sin sin a b c
R A B C
===（R 为ABC ?外接圆半径） 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =??=??=? ? sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ?
=??
?
=??
?
=?? 注意变形应用 考点6、（面积公式）：111
sin sin sin 222
ABC S abs C ac B bc A ?=
== 开展：面积公式
（1）△＝21ah a ＝21bh b ＝2
1
ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 上的高）；
（2）△＝2R 2sin A sin B sin C 。（R 为外接圆半径）
（3）△＝R
abc
4；
（4）△＝))()((c s b s a s s ---；??
?
??++=)(21c b a s ；
（5）△＝r ·s 。
考点7、（余弦定理）： 222222
2222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C
?=+-?=+-??=+-? ? 222
222222
c o s 2c o s 2c o s
2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ?+-=??
+-?=
???+-=?? 考点8、（图像的平移和伸缩）函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移?个单位长度，得到函数()sin y x ?=+的图象；再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的|
1
ω
|倍（纵坐标不变），得到函数()
sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象． 函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1
ω
倍（纵坐标不变），
得到函数
sin y x ω=的图象；再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移|
|?
ω
个单
位长度，得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数
()sin y x ω?=A +的图象． 考点9、（三角形中常用的关系）：
)sin(sin C B A +=， )cos(cos C B A +-=， 2
cos 2sin C
B A +=， )(2sin 2sin
C B A +-=， )(2c o s 2c o s C B A +=
配角方法：
ββαα-+=)(,()βαβαα-++=)(2,2
2
β
αβ
αα-+
+=
,2
2
β
αβ
αβ--
+=
考点10、（诱导公式应用，奇变偶不变，符号看象限）
.
sin （2π－α）·cos （π－α）
cos
????5π2＋αsin ???
?5π2－α＝________
．
(1)cos (π＋θ)
cos θ[cos (π－θ)－1]
＋
cos (θ－2π)
sin ()θ－3π2cos (θ－π)－sin ()
3π
2＋θ
(2)sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]
sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)，k ∈Z
考点11、（公式的应用）
：
sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°
cos 80°1－cos 20°
解析： ∵sin 50°(1＋3tan 10°)
＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°
cos 10°
＝sin 50°·2sin 40°
cos 10°
＝1，
cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°. ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°
＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2.
考点1、已知解析式
（化简、求最值（值域）、单调区间、周期等）
例1、已知函数
22()cos cos sin 1f x x x x x =?+--(x ∈R )
(1)求函数()y f x =的单调递增区间； (2)若5[,]123
x ππ
∈-
，求()f x 的取值范围．
答案：解：（1）由题设()2cos212sin(2)16
f x x x x π+-=+-……………… 3分
由222262k x k ππππ-
+π+≤≤，解得36
k x k πππ-π+≤≤， 故函数()y f x =的单调递增区间为,36k k ππ?
?π-π+???
?（k ∈Z ）……………… 6分
（2）由5123x ππ-≤≤，可得22366
x ππ5π
-+≤≤………………………… 8分
考察函数正弦函数的图像，易知1sin(2)16
x π
+-≤≤………………………… 10分
于是32sin(2)116
x π
+--≤≤．
故()y f x =的取值范围为[3,1]-……………………………………………… 12分
例2、已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，．
（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84??
????
，上的最小值和最大值．
【相关高考1】（湖南文）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ?
?????=-+
+++ ? ? ??
?????
． 求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间． 【相关高考2】（湖南理）已知函数2π()cos 12f x x ?
?
=+
??
?
，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间．
考点2、解析式含参数
1、看图求解析式
例1：已知函数()sin()(0,0,||)2
f x A x A π
ω?ω?=+>><
的部分图象如图所示。
（1）求函数f （x ）的解析式，并写出f （x ）的单调减区间； (2)△ABC 的内角分别是A ，B ，C ，若f （A ）＝1，cosB ＝4
5
，求sinC 的值。 解：（1）由图象最高点得A=1， ……………1分
由周期
,22163221ω
πππππ==∴=-=T ，T 2=∴ω. …………2分
由图可知，图像的最高点为（
16
，π
）
当6
x π
=
时，()1f x =，可得 sin(2)16?π?+=，
Z k k ∈+=∈+=+?∴,k 26
Z ,k 2262ππ
?ππ?π，故
因为||2?π<，所以6
?π
=．
)6
2sin()(π
+=∴x x f . …………4分
令t=2x+6
π则y=sint 单调减区间为[ππ
ππk 223,
k 22++],k ∈Z 故ππk 22+≤t ≤
ππk 223+，k ∈Z 求得Z k k x k ∈+≤≤+,3
26ππ
ππ 由图象可得()f x 的单调减区间为Z k k k ∈+
+],3
2,6[π
πππ. ……6分 （2）由（I ）可知， 1)6
2sin(=+π
A , ∴πππk 226A 2+=+，k ∈Z
Z k ∈+=∴,k 6A ππ 中在△∵ABC A ， 6
π
=A . ……8分
5
3
cos 1sin ,02=
-=∴<
B A B A sin cos cos sin +=.
10
3
3453235421+=?+?=. ……12分
例2、如图，函数π
2cos()(00)2
y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤
≤的图象与y
轴相交于点(0，且该函数的最小正周期为π．
（1）求θ和ω的值；
（2）已知点π
02
A ?? ???
，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中
点，当02y =
，0ππ2x ??
∈????
，时，求0x 的值． 【相关高考1】（辽宁）已知函数2ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω?
???=+
+--∈ ? ??
??
?R ，（其中0ω>），（I ）求函数()f x 的值域； （II ）（文）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交点间的距离为
π
2
，求函数()y f x =的单调增区间．
（理）若对任意的a ∈R ，函数()y f x =，(π]x a a ∈+，的图象与直线1y =-有且仅有两个不同的交点，试确定ω的值（不必证明），并求函数()y f x x =∈R ，的单调增区间．
【相关高考2】（全国Ⅱ）在ABC △中，已知内角A π
=3
，边BC =B x =，周长为y ．
（1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求函数()y f x =的最大值．
考点3、三角函数求值
⑴、可将函数式化为
的形式，利用正、余弦函数的有界性来求解。形
如
或
的类型函
数适用。对形如
的函数最值问题，需先将
、
降次，化归为
的最值问题，再应用
求解；对形如
的函数最值问题，即函数的解析式中只含有sinx 〔或cosx 〕的一次式，可反解出sinx 〔或cosx 〕，再利用正、余弦函数的有界性求出y 的取值范围。
例1、求函数最 值。
分析：本题考察逆用正弦函数的性质的能力，先将降次处理，再应用
〔其中
〕的知识，转化原函数式，根据有
界性
求值。
解：原函数解析式可化为：
。由，可得：，即，。
例2、求函数的最值。
分析：利用沟通与之间的关系，通过换元使原函数转化为二次函数求解。
解：设，则，有
。
于是原函数为
故当时，即时，
例3、求函数的最大值与最小值。
分析：通过引入参数，，使原函数式由繁化简，等价化归为对参变量t和s的讨论求得最值。
解：设，，由，得，
因为，所以。于是有
，
因为 ，所以。
所以函数y 的最大值为，最小值为。
考点4、三角求值与向量
例1、已知向量a ＝(sin θ，cos θ)，其中θ∈?
?????0，π2.
(1)若b ＝(2,1)，a ∥b ，求sin θ和cos θ的值；
2）若sin()2
π
θ??-=
<<，求cos ?的值． 解 (1)∵a ∥b ，a ＝(sin θ，cos θ)，即sin θ＝2cos θ (2)
又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，
即cos 2θ＝15，∴sin 2θ＝4
5 (4)
又θ∈????0，π2，∴sin θ＝255，cos θ＝55...........................................6 （2）∵2
0π
?<<，2
0π
θ<
<，
∴2
2
π
?θπ
<
-<-
， (7)
则1010
3)(sin 1)cos(2=
--=-?θ?θ (9)
∴cos ?2
2
)sin(sin )cos(cos )](cos[=-+-=--=?θθ?θθ?θθ (12)
例2、已知ABC △的面积为3，且满足0≤AC AB ?≤6，设AB 和AC 的夹角为θ．（I ）求θ的取值范围；
（II ）求函数2()2sin 24f θθθ??
=+
???
π的最大值与最小值．
【相关高考1】（陕西）设函数()x f ?=，
其中向量R x x b x m a ∈+==),1,2sin 1(),2cos ,(，且函数y=f (x )的图象经过点??
? ??2,4π，
（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数f (x )的最小值及此时x 的值的集合. 【相关高考2】（广东）已知ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)．
（文）(1)若0=?，求c 的值；（理）若∠A 为钝角，求c 的取值范围；(2)若5c =，求sin ∠A 的值．
考点5、三角函数中的实际应用
例1、如图，
甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A 处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B 处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A 处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B
处，此时两船相距
海里，问乙船每小时航行多少海里？
【相关高考】（宁夏）如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个侧点C 与D ．现测得BCD BDC CD s αβ∠=∠==，，，并在点C 测得塔顶A 的仰角为θ，求塔高AB ．
考点6．三角函数与不等式
均值不等式的一般形式：
〔其中为正数且〕
但利用均值不等式求最值时，必须关注三个条件“一正、二定、三相等”，所谓一正，即正值，这是运用此方法的前提条件，在解题中应予以说明论述；二定，即定值，它须通过恒等变换包括必要的技巧方能解决，是运用此方法的关键条件也是难点；三相等，即等值，是当且仅当等号成立的条件，则可求出自变量的值，最后还应注意的是最值，应为和的最值或积的最值。
1
A
2
A
120105
例1、已知，求函数的最小值。
分析：由得：，原函数式化为y=，可转化为均值不等式形式求解。
解：由得：，根据均值不等式
＝＝12
当即＝时，等号才成立，即有＝12
例2、已知，其中、为锐角，求的最大值。
分析：由于为锐角，即、＞0，故利用三角公式沟通、
、的关系，并构造为和的形式，运用均值不等式求解。
解：由得。
又由
所以
即，有
则
当= 即时，等号才成立，故有 的最大值为
例3、已知函数2π()2sin 24f x x x ??=+ ???，ππ42x ??
∈????
，．
（I ）求()f x 的最大值和最小值；
（II ）若不等式()2f x m -<在ππ42
x ??
∈????
，上恒成立，求实数m 的取值范围．
考点7、运用模型、利用数形结合求解。
数形结合能将抽象的问题直观化、形象化，对一些求最值的题型则可以构造几何模型来求解。
如对形如的函数式，通常可视作动点与定点的连线的斜率，由
于
，所以从图形角度考虑点
在单位圆上。这样一类既含有
正弦函数又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何法求解。
例1、求函数的最大值和最小值。
解：
这可以看作是定点与单位圆上的点
连线的斜率。因此，y的最值就是当直线AP与单位圆相切时的斜率。因为单位圆中斜率为k的切线方程为:
由于该切线过点，故
所以 . 即 , .
考点8、函数与方程的转化，构造方程，运用判别式求解。这类题目通常是将函数转化为方程，并且其具体特征为：所列的函数解析式或化简后的
解析式，可以化为：的形式，由x在某一定义域范围内有解，可以得出，再结合二次方程在某区间内有实数解的充要条件〔即方程在闭区间内有实根即可，并非一定有两个实根。〕，解这些不等式求出s的变
化范围，从而得到最值。（其中或的形式，是s的函数）。
例12、求函数的最大和最小值。
分析：将原函数整理成关于sinx的二次方程，问题转化为求一元二次方程在闭区间上存在实数解的充要条件问题，从而求得原函数的最值。
解：将原函数表达式变形为关于的方程：
，
由于，所以方程在闭区间有实数解。而
在上的有实数解的充要条件为：
或
解之得：。故有原函数的最大值和最小值为
用判别式求函数最值时，变形过程必须等价，必须考虑原函数的定义域，判别式存在的前提，并注意检验区间端点是否符合要求。
必修4三角函数所有知识点归纳归纳
《三角函数》【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角.
逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈ x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈ y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈ 3、第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈ 第二象限角：{}()90360180360k k k Z αα??+<<+∈ 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈ 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈ 4、区分第一象限角、锐角以及小于90的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈ 锐角： {}090αα<< 小于90的角：{}90αα< 5、若α为第二象限角，那么 2 α 为第几象限角？ ππαππ k k 222 +≤≤+ ππ α ππ k k +≤ ≤ +2 2 4 ,24,0παπ≤≤=k ,2345,1παπ≤≤=k 所以2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 8、角度与弧度对应表： 9、弧长与面积计算公式
弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α 终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c ”）
三角函数图像之解析
三角函数解之分析 考纲要求: （1）求参数的顺序问题：理论上，三个参数均可以通过特殊点的代入进行求解，但由于,A ω与函数性质联系非常紧密，所用通常先抓住波峰波谷以确定A 的值，再根据对称轴对称中心的距离确定T ，进而求出ω，最后再通过代入一个特殊点，并根据?的范围确定?。 （2）求?时特殊点的选取：往往优先选择最值点，因为最值点往往计算出的?值唯一，不会出现多解的情况。如果代入其它点（比如零点），有时要面临结果取舍的问题。 基础知识回顾: 在有关三角函数的解答题中，凡涉及到()()sin f x A x ω?=+的性质时，往往表达式不直接给出，而是需要利用已知条件化简或求得,,A ω?得到，本讲主要介绍求解()sin y A x ω?=+解析式的一些技巧和方法 1．“五点法”作图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x 轴相交的三个点，作图的一般步骤为： (1)定点：如下表所示． (2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y ＝Asin (ωx ＋φ)在一个周期内的图象． (3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y ＝Asin (ωx ＋φ)在R 上的图象． 2．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象的两种途径
3．函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的物理意义 当函数y ＝Asin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，x ∈[)0，＋∞表示一个振动量时，A 叫做振幅，T ＝2π ω 叫做 周期，f ＝1 T 叫做频率，ωx ＋φ叫做相位，φ叫做初相． 应用举例: 类型一、确定三角函数的解析式和振幅、初相、相位 【例1】 【山东省乐陵市第一中学2019届高三一轮复习检测试题】函数 的部分图象如图所示，则将 的图象向右平移个单位后，得 到的图象的解析式为 A ． 2x B ． 2x C ． D ． 【答案】D
三角函数知识点汇总
三角函数知识点 考点1、弧度制 1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α= ?，扇形面积21 122 S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）. 2．角度制与弧度制的换算： 180π=；180 10.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=； 考点2、任意角的三角函数 1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记22r OP x y ==+ 则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α= 2. 三角函数值在各个象限内的符号：(一全二正弦，三切四余弦) 考点3、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系： 1cos sin 2 2 =+αα 2. 商数关系： α α αcos sin tan =
考点4、诱导公式“奇变偶不变，符号看象限” sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .πααπααπαα+=-+=-+= sin()sin ,cos()cos ,tan()tan .αααααα-=--=-=- sin()sin ,cos()cos ,tan()tan . πααπααπαα-=-=--=- sin()cos , 2 cos()sin .2π ααπαα-=-= sin()cos ,2cos()sin .2πααπαα+=+=-3sin()cos ,23cos()sin .2πααπαα-=--=- 3sin()cos , 2 3cos()sin . 2 πααπαα+=-+= 考点5、三角函数的图象和性质 名称 sin y x = cos y x = tan y x = 定义域 x R ∈ x R ∈ {|,}2 x x k k Z π π≠+ ∈ 值 域 [1,1]- [1,1]- (,)-∞+∞ 图象 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 单调增区间: [2,2]22 k k π π ππ- +(k Z ∈) 单调减区间: 3[2,2]2 2 k k π π ππ+ + k Z ∈) 单调增区间: [2,2]k k πππ-(k Z ∈) 单调减区间: [2,2]k k πππ+(k Z ∈) 单调增区间： (,)22 k k π π ππ- +(k Z ∈) 周期性 2T π= 2T π= T π= 对 称 性 对称中心: (,0)k π,k Z ∈ 对称轴: 2 x k π π=+ ，k Z ∈ 对称中心:(,0)2 k π π+ ,k Z ∈ 对称轴: x k π=, k Z ∈ 对称中心:( ,0)2 k π ,k Z ∈ 对称轴：无 最 值 2,2x k k z π π=+ ∈时，max 1y =； 32,2 x k k z π π=+∈时，min 1y =- 2,x k k z π=∈时，max 1y =； 2,x k k z ππ=+∈，min 1y =- 无 考点6、“五点法”作图
高中数学三角函数知识点归纳总结
《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 考点13 三角函数定义 【题组一 终边相同的角】 1．终边在直线y x =上的角α的取值集合是（ ） A ．2,4 k k Z π α απ??=+∈??? ? B ．2,4 k k Z π α απ??=-∈??? ? C ．,4 k k Z π α απ??=-∈??? ? D ．,4k k Z π α απ??=+ ∈??? ? 【答案】D 【解析】当的终边在直线y x =（0x >）时， 24 k π απ=+，k Z ∈， 当的终边在直线y x =（0x <）时，24 k π αππ=++ ，k Z ∈，所以角α的取值集合是 2,2,44k k Z k k Z ππααπααππ????=+∈?=++∈????????=,4k k Z πααπ?? =+∈???? ，故选：D. 2．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（ ） A ．{ }|45 120αα? ?-B ．{}|120315αα?? C ．{ } |45360120360,a k a k k Z ? ? ??-+?+?∈D ．{}|120360315360,k k k Z αα????+?+?∈ 【答案】C 【解析】在180 180-间阴影部分区域中边界两条终边表示的角分别为45-，120. 所以阴影部分的区域在180 180-间的范围是45120α-≤≤. 所以终边在阴影部分区域的角的集合为：{ } |45360120360,a k a k k Z ???? -+?≤≤+?∈.故选：C. 3．下列选项中叙述正确的是（ ） A ．钝角一定是第二象限的角 B ．第一象限的角一定是锐角 第一章 三角函数教材分析 三角函数是中学数学的重要内容之一，它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了，本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习中学后继内容和高等数学的基础 本章教学时间约用16课时，具体分配如下(仅供参考)： 1.1任意角和弧度制 约2课时 1.2 任意角的三角函数 约3课时 1.3 三角函数的诱导公式 约2课时 1.4 三角函数的图象和性质约4课时 1.5 函数y=Asin(ωx+φ) 的图象 约2课时 1.6 三角函数模型的简单应用 约2课时 小结与复习 约1课时 一、 内容与要求 (一)本章主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关系、诱导公式、以及三角函数的图象和性质和三角函数模型的简单应用 (二)章头引言安排了一个天体运动问题——地球与月亮、月亮的圆缺和农历日期的周期对应的规律 第一大节是“任意角和弧度制”教科书首先推广了角的概念，介绍了弧度制，和换算关系等； 第二大节是“任意角的三角函数”，由锐角三角函数直接推广到任意角(都用坐标定义)，然后导出同角三角函数的两个基本关系式 第三大节是“三角函数的诱导公式” 能够通过诱导公式化简和计算. 第四大节是“三角函数的图象和性质”x y sin = ，x ∈ [0,π2]的图象，并根据“终边相同的角有相同的三角函数值”，把这一图象向左、右平行移动，得到正弦曲线；在此基础上，利用诱导公式，把正弦曲线向左平行移动2 π个单位长度，得到余弦曲线接着根据这两种曲线的形状和特点，研究了正弦、余弦函数的性质，然后又研究了正弦函数的简图的画法，简要地介绍了利用正切线画出正切函数的图象以及正切函数的性质 第五大节是“函数y=Asin(ωx+φ) 的图象” 通过图像研究性质. 第六大节是“三角函数模型的简单应用” 三角函数是描述现实世界中周期现象的一种数学模型. (三)本章的教学要求是： 1．使学生理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算 2．使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式 3．使学生掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力 4．三角函数是描述现实世界中周期现象的一种数学模型，初步掌握其实际应用方法 【考点定位】2014考纲解读和近几年考点分布 2013考纲解读 考纲原文:三角函数 （1）任意角的概念、弧度制 ①了解任意角的概念.②了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化. （2）三角函数 ①理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. ②能利用单位圆中的三角函数线推导出，π±的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出的图像，了解三角函数的周期性. ③理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x轴交点等）.理解正切函数在区间（）内的单调性. ④理解同角三角函数的基本关系式： ⑤了解函数的物理意义；能画出的图像，了解参数对函数图像变化的影响. ⑥了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 三角恒等变换 （1）和与差的三角函数公式 ①会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. ②能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. ③能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. （2）简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 解三角形 （1）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. （2）应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 1.任意角的三角函数定义 设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为r(r>0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是：sinα＝______，cosα＝______，tanα＝______，它们都是以角为__________，以比值为__________的函数. 三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦 2.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：__________________________. (2)商数关系：__________________________. 3.六组诱导公式 组数一二三四五六 角2kπ＋α (k∈Z) π＋α－απ－α π 2 －α π 2 ＋α 正弦余弦正切 口诀函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 4.“五点法”作图原理 在确定正弦函数y＝sin x在[0,2π]上的图象形状时，起关键作用的五个点是________、__________、__________、__________、__________.余弦函数呢？ 用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点.如下表所示. x ωx＋φ sinx A sin(ωx＋φ)0A0－A0 1三角函数的概念 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、角的概念与推广 1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角： 与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合：{|22,}2 k k k Z π βπβπ<<+∈ 第二象限角的集合：{| 22,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 第三象限角的集合：3{|22,}2 k k k Z π βππβπ+<<+∈ 第四象限角的集合：3{| 222,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββπ=+∈ 终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββ=∈ 要点诠释： 要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 三角函数的概念 角的概念的推广、弧度制 正弦、余弦的诱导公式 同角三角函数的基本关系式 任意角的三角函数 考点二、弧度制 1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α= ?，扇形面积21 122 S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）. 2．角度制与弧度制的换算： 180π=o ；18010.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=o o o o ； 要点诠释： 要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数 1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记r OP ==则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α=，cot x y α=，sec r x α=，csc r y α= 2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线. 3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是 {|,}2 k k Z π ααπ≠+ ∈；cot y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈. 4. 三角函数值在各个象限内的符号： 考点四、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系：2 2 2222sin cos 1;sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α. 2. 商数关系：sin cos tan ;cot cos sin α α α= α= α α . 3. 倒数关系：tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α?α=αα=α?α= 要点诠释： ①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式. ②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如2 2 1sin cos =α+α， 221sec tan tan 45=α-α==o L ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法 及方程思想的运用. 考点五、诱导公式 1.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号. 三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． 角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?< 求三角函数解析式常用的方法 三角函数是高中数学的一个重点,而三角函数图象与性质又是其中的难点,学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。现就几道例题谈谈常用的求解方法。 1 利用五点法，逆求函数解析式 例1．右图所示的曲线是)sin(?ω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式． 解:由22y -≤≤，得A=2 已知第二个点(,2)12π和第五个点5(,0)6π 35346124T πππ=-= T π∴= 2ω= 把(,2)12π代入，2122ππφ?+=得3π?= 所以y=)3 2sin(2π+x 点评：由图像确定解析式，观察图像的特征，形助数寻找“五点法”中的整体点，从而确定初相?。 2 利用图像平移，选准变换过程切入求解 例2下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ） A ．sin 6y x π??=+ ??? B.sin 26y x π??=- ?? ? C.cos 43y x π??=- ??? D.cos 26y x π??=- ?? ? 解：从图象看出，41T =1264πππ+=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin 2x 向左平移了6 π个单位，即sin 2()6y x π=+=sin(2)cos(2)cos(2)3236x x x ππππ+=-++=-，故选择答案D 。 点评：数形结合，由图像确定周期和初相位后，选准图像平移变换过程切入， 如本题y=sin 2x 向左平移了6 π个单位进行验证化简是求解的关键。对于利用图象的变换来求解函数的解析式，一定要清楚每一种变换对,,A ω?的影响，注重整体变量观念的应用。 3 特殊化赋值法求解 高考数学三角函数重点考点归纳 由解析式研究函数的性质 常见的考点： 求函数的最小正周期，求函数在某区间上的最值，求函数的单调区间，判定函数的奇 偶性，求对称中心，对称轴方程，以及所给函数与y=sinx的图像之间的变换关系等等。 对于这些问题，一般要利用三角恒变换公式将函数解析式化为y=Asinωx+φ的形式，然后再求相应的结果即可。 在这一过程中，一般要先利用诱导公式、二倍角公式、两角和与差的恒等式等将函数 化为asinωx+bcosωx形式其中常见的是两个系数a、b的比为1：1，1:1，然后再利用辅助角公式，化为y=Asinωx+φ即可。 根据条件确定函数解析式 这一类题目经常会给出函数的图像，求函数解析式y=Asinωx+φ+B。 A=最大值-最小值/2; B=最大值+最小值/2; 通过观察得到函数的周期T主要是通过最大值点、最小值点、“平衡点”的横坐标之 间的距离来确定，然后利用周期公式T=2π/ω来求得ω; 利用特殊点例如最高点，最低点，与x轴的交点，图像上特别标明坐标的点等求出某 一φ'; 最后利用诱导公式化为符合要求的解析式。 考点一：集合与简易逻辑 集合部分一般以选择题出现，属容易题。重点考查集合间关系的理解和认识。近年的 试题加强了对集合计算化简能力的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力。在解决这 些问题时，要注意利用几何的直观性，并注重集合表示方法的转换与化简。简易逻辑考查 有两种形式：一是在选择题和填空题中直接考查命题及其关系、逻辑联结词、“充要关系”、命题真伪的判断、全称命题和特称命题的否定等,二是在解答题中 深层次考查常用逻辑用语表达数学解题过程和逻辑推理。 考点二：函数与导数 中考数学考点：三角函数万能公式_考点解析 对于初中生来说中考就是一个重要的转折点，那么怎样才能在中考这场战役中取得胜利呢？别担心，看了中考数学考点：三角函数万能公式以后你会有很大的收获： 中考数学考点：三角函数万能公式 万能公式 (1)(sin)^2+(cos)^2=1 (2)1+(tan)^2=(sec)^2 (3)1+(cot)^2=(csc)^2 证明下面两式,只需将一式,左右同除(sin)^2,第二个除(cos)^2即可 (4)对于任意非直角三角形,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证: A+B=-C tan(A+B)=tan(-C) (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan-tanC)/(1+tantanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 得证 同样可以得证,当x+y+z=nZ)时,该关系式也成立 由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论 (5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1 (6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2) (7)(cosA）^2+(cosB）^2+(cosC）^2=1-2cosAcosBcosC (8)（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosBcosC 三角函数万能公式为什么万能 万能公式为： 设tan(A/2)=t sinA=2t/(1+t^2) （A+，kZ） tanA=2t/(1-t^2) （A+，kZ） cosA=(1-t^2)/(1+t^2) （A+，且A+(/2) kZ） 就是说sinA.tanA.cosA都可以用tan(A/2)来表示,当要求一串函数式最值的时候,就可以用万能公式,推导成只含有一个变量的函数,最值就很好求了. 通过阅读中考数学考点：三角函数万能公式这篇文章，小编相信大家对中考数学考点又有了更进一步的了解，希望大家学习轻松愉快！ 锐角三角函数知识点 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 4 5、0 锐角三角函数题型训练 类型一：直角三角形求值 1．已知Rt △ABC 中，,12,4 3 tan ,90== ?=∠BC A C 求AC 、AB 和cos B ． 2．已知：如图，⊙O 的半径OA ＝16cm ，OC ⊥AB 于C 点，?= ∠4 3sin AOC 求：AB 及OC 的长． 3．已知：⊙O 中，OC ⊥AB 于C 点，AB ＝16cm ，?=∠5 3sin AOC (1)求⊙O 的半径OA 的长及弦心距OC ； (2)求cos ∠AOC 及tan ∠AOC ． 4.已知A ∠是锐角，17 8 sin = A ，求A cos ，A tan 的值 类型二. 利用角度转化求值： 1．已知：如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°．D 是AC 边上一点，DE ⊥AB 于E 点． DE ∶AE ＝1∶2． 求：sin B 、cos B 、tan B ． 2. 如图4，沿AE 折叠矩形纸片ABCD ，使点D 落在BC 边的点F 处．已知8AB =，10BC =,则 tan EFC ∠的值为 ( ) Ａ．34 Ｂ．43 Ｃ．35 Ｄ． 4 5 3. 如图6，在等腰直角三角形ABC ?中，90C ∠=?，6AC =，D 为AC 上一点，若1tan 5 DBA ∠= ，则AD 的长为( )A ．2 C ．1 D ．4. 如图6，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =8，∠A 的平分线AD = 3 16求∠ B 的度数及边B C 、AB 的长. 例2．已知：如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，?=3 sin A (1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tan B ． 例3．已知：如图，在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝10，AC ＝5． 求：sin ∠ABC 的值． 对应训练 1．（2012?重庆）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，点D 在BC 边上，且△ABD 是等边三角形．若AB=2，求△ABC 的周长．（结果保留根号） 2．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积等于9，求sin B ． 类型四：利用网格构造直角三角形 对应练习： 1．如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______. 特殊角的三角函数值 例1．求下列各式的值 ?-?+?30cos 245sin 60tan 2=. 计算：3－1+(2π－1)0－ 3 3 tan30°－tan45°= 0 30tan 2345sin 60cos 221 ??? ? ???-?+?+= ?-?+?60tan 45sin 230cos 2 tan 45sin 301cos 60?+? -? = B 初三下学期锐角三角函数知识点总结及典型习题 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。 5、30°、45°、60°特殊角的三角函数值(重要) 6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、的增减性： 当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大， 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义。(注意：尽量避免使用中间数据和除法) A 90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A 邻边 A 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 仰角 铅垂线 水平线 视线 视线 俯角 (2)坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即 h i l =。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5 i=等。 把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan h i l α ==。 3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图3，OA、OB、OC、OD的方向角分别是：45°、135°、225°。 4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向）， 南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。 例1：已知在Rt ABC △中， 3 90sin 5 C A ∠== °，，则tan B的值为（） A． 4 3 B． 4 5 C． 5 4 D． 3 4 【解析】本题考查三角函数的定义和勾股定理，在RTΔABC中，∠C=90°，则sin a A c =，tan b B a = 和222 a b c +=；由 3 sin 5 A=知，如果设3 a x =，则5 c x =，结合222 a b c +=得4 b x =；∴ 44 tan 33 b x B a x ===，所以选A． 例2：10 4cos30sin60(2)(20092008) - ??+--=______． 【解析】本题考查特殊角的三角函数值．零指数幂．负整数指数幂的有关运算， 10 4cos30sin60(2)20092008) - ??+--= 3313 41 2222 ?? ??+--= ? ??， 故填 3 2． : i h l = h l α 三角因数 第一节 【基础知识】 1.角的概念的推广： 2.象限角的概念:。 3.终边相同的角的表示： 4.Q与号的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定. 5.弧长公式：心扇形面积公式：S = ^lR = ^\a\R2, 15H度(lrad)-57.3°. 6.任意角的三角函数的定义： 7.三濤函数线三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。 8.特殊角的三角函数值： 9.同角三角函数的基本关系式： (1)平方关系：(2)商数关系： 10.三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变(对L而言，指￡取奇数或偶数)， —/T -F Cc 2 符号看彖限(看原函数，同时可把G看成是锐角). 【典型例题】 1.Q的终边与兰的终边关于直线)=兀对称，则0= _________________ o 6 a 2若Q是第二象限角，则匕是第象限角 2 3.已知扇形AOB的周长是6cm,该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。 4(1)已知角G的终边经过点P(5, —12),则sina + cosa的值为 ________ 。 (2)设Q是第三、四象限角，渔“2加-3,则加的収值范围是___________ 4-in 7T 5(1)若一上则sing cos 的大小关系为 _____ 8 (2)若Q为锐角，则a, sin a, tan a的大小关系为_______ (3)函数y 二Vl + 2cosx + lg(2sinx +V3)的定义域是________ 6(2)若05 2兀52龙，则使71-sin2 2x = cos2x成立的x的収值范围是________ 777 — 3 4- —7T (3)已知sin& = ---- , cos&二-------- (一v&v;r),则tan&= ________ m + 5 m + 5 2 (4)已知询。__1，则Sina-3cosa = ___________ ；sin? G + sinacosQ +2 = __________ tan ? -1 sin a + cos a (5)己知sin200° =a t则tan 160°等于 A、__a_ B、 a C、°、 Jl-a，Jl -d， a a (6)已知/(cosx) = cos3兀，则/(sin 30°)的值为________ 7⑴ cos2￡+tan(_Z￡)+sin2U的值为______________ 4 6 (2)____________________________________________ 已知血(540。+”) = -￡，则COS(a — 27(T)= ____________________________________________ ,若。为第二象限角，则 三角函数知识点 1.特殊角的三角函数值： （1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα == ） 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±???→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβ αβαβαβααα αα αβα αβααβα αα αα =±=???→=-↓=-=-±±= ?-↓= - （1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、 两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-， 2()()αβαβα=+--，22 αβαβ++=?，()( ) 222αββ ααβ+=---等）， (2)三角函数次数的降升(降幂公式：21cos 2cos 2αα+=，21cos 2sin 2 α α-=与升幂公 式：21cos 22cos αα+=，21cos 22sin αα-=)。如 (； (3)常值变换主要指“1”的变换（221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=? tan sin 42 ππ=== 等），. 。 （4）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ω?=+和 ()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2||T π ω=。如 （5）单调性：()sin 2,222y x k k k Z ππππ? ?=-+∈??? ?在上单调递增，在 ()32,222k k k Z ππππ??++∈??? ?单调递减；cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ (6)、形如sin()y A x ω?=+的函数： 1几个物理量：A ―振幅；1 f T =―频率（周期的倒数）； x ω?+― 相位；?―初相； 2函数sin()y A x ω?=+表达式的确定：A 由周 期确定；?由图象上的特殊点确()sin()(0,0f x A x A ω?ω=+>>，||)2 π?<()f x ＝_____（答：15()2sin()23 f x x π =+）； 3函数sin()y A x ω?=+图象的画法：①“五点法”――设X x ω?=+，令X ＝0，3,,,222 ππ ππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。 4函数sin()y A x k ω?=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（?>0）或向右（?<0）平移||?个单位得()sin y x ?=+的图象；②函数()si n y x ?=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 1 ω ，得到函数 ()sin y x ω?=+的图象；③函数()sin y x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ω?=+的图象；④函数sin()y A x ω?=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ω?=++的图象。要特别注意，若由 ()sin y x ω=得到()sin y x ω?=+的图象，则向左或向右平移应平移| |? ω 个单位，如 （1）函数2sin(2)14 y x π =--的图象经过怎样的变换才能得到sin y x =的图象？ 【知识网络】 《三角函数》 应用 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿 x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 { = + k 360?}(k ∈ Z ) x 轴上角：{= k 180 }(k ∈ Z ) y 轴上角：{= 90 + k 180 }(k ∈ Z ) 3、第一象限角： {0 + k 360? < < 90 + k 360?}(k ∈ Z ) 第二象限角： { 90 + k 360? << 180 + k 360?}(k ∈ Z )第三象限角：{180 + k 360? << 270 + k 360?}(k ∈ Z )第四象限角：{ 270 + k 360? << 360 + k 360?}(k ∈ Z ) 4、区分第一象限角、锐角以及小于90 的角 第一象限角：{ 0 + k 360? < < 90 + k 360?}(k ∈ Z ) 锐角： {0 << 90 } 小于90 的角： {< 90 } 5、若为第二象限角，那么 为第几象限角？ 2 + 2k ≤≤ + 2k + k ≤ ≤ + k 2 4 2 2 弧长公式 同角三角函数 的基本关系式 诱导 公式 应用 计算与化简 证明恒等式 应用 任意角的概念 角度制与 弧度制 任意角的 三角函数 三角函数的 图像和性质 应用 已知三角函 数值求角 和角公式 应用 倍角公式 应用 差角公式 应用 x 2 + y 2 , k = 0, ≤≤ k = 1, 5 ≤ ≤ 3 4 2 4 2 所以 在第一、三象限 2 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：1? = 180 ≈ 0.01745 1 = 180? ≈ 57.30? = 57?18' 角度 0? 30? 45? 60? 90 120? 135? 150? 180? 360? 弧度 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 2 9、弧长与面积计算公式 弧长： l = ? R ；面积： S = 1 l ? R = 1 ? R 2 ，注意：这里的 均为弧度制. 2 2 二、任意角的三角函数 y x y 1、正弦： sin = ；余弦cos = r ；正切tan = r x 其中( x , y ) 为角终边上任意点坐标， r = . 2、三角函数值对应表： 度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270? 360 弧度 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 3 2 2 sin 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 1 cos 1 3 2 2 2 1 2 - 1 2 - 2 2 - 3 2 -1 0 1 tan 3 3 1 3 无 - 3 -1 - 3 3 0 无 0 ,2021高考数学考点精讲精练《13 三角函数定义》(练习)(解析版)
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