天一大联考2020-2021学年高中毕业班阶段性测试理数含答案
天一大联考2020年高中毕业班阶段性测试(五)理科数学试题-含答案
绝密★启用前天一大联考2020年高中毕业班阶段性测试(五)理科数学试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{－1，1，2，3，5}，B＝{x∈N|1<x<log220}，则A∩B＝A.{3}B.{2，3}C.{2，3，5}D.{－1，1，5}2.已知复数z＝512i＋i，则z的共轭复数为A.1＋3iB.1－3iC.－1＋3iD.－1－3i3.某公司以客户满意为出发点，随机抽选2000名客户，以调查问卷的形式分析影响客户满意度的各项因素。
每名客户填写一个因素，下图为客户满意度分析的帕累托图。
帕累托图用双直角坐标系表示，左边纵坐标表示频数，右边纵坐标表示频率，分析线表示累计频率，横坐标表示影响满意度的各项因素，按影响程度(即频数)的大小从左到右排列，以下结论正确的个数是①35.6%的客户认为态度良好影响他们的满意度；②156位客户认为使用礼貌用语影响他们的满意度；③最影响客户满意度的因素是电话接起快速；④不超过10%的客户认为工单派发准确影响他们的满意度。
A.1B.2C.3D.44.已知函数f(x)＝21010xx xa x->⎩+≤⎧⎨，，，若f(－1)＝3，则不等式f(x)≤5的解集为A.[－2，1]B.[－3，3]C.[－2，2]D.[－2，3]5.执行如图所示的程序框图，若输出的S值为30，则p的取值范围为A.(18，30]B.[18，30]C.(0，30]D.[18，30)6.已知函数f(x)＝sin(2π＋x)与g(x)＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)的图象有一个横坐标为3π的交点，将函数g(x)的图象向左平移12π个单位长度，所得图象的一条对称轴方程为 A.x ＝－12π B.x ＝712π C.x ＝512π D.x ＝1112π7.在1)2n x 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中x 5的系数为 A.－7 B.－358 C.358 D.7 8.已知数列{a n }满足a n ＋a m ＝a m ＋n (m ，n ∈N *)且a 1＝1，若[x]表示不超过x 的最大整数，则数列 {[235n a +]}的前10项和为 A.12 B.1135 C.24 D.40 9.已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的侧棱长为8，底面矩形的面积为16，一个小虫从C 点出发沿直四棱柱侧面绕行一周后到达线段CC 1上一点M ，若AM ⊥平面A 1BD ，则小虫爬行的最短路程为10.已知函数f(x)，g(x)的定义域为R ，f(x ＋1)是奇函数，g(x ＋1)是偶丽数，若y ＝f(x)·g(x)的图象与x 轴有5个交点，则y ＝f(x)·g(x)的零点之和为A.－5B.5C.－10D.1011.已知圆x 2＋y 2＝16与抛物线y 2＝2px(p>0)的准线l 交于A ，B 两点，且|AB|＝P 为该抛物线上一点，PQ ⊥l 于点Q ，点F 为该抛物线的焦点。
天一大联考2020-2021学年高中毕业班阶段测试五理科数学试题(含答案解析)
天一大联考2020-2021学年高中毕业班阶段测试五理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}23440M x x x =--<，{}11N y y =-≤，则MN =（ ）A ．[)0,2B ．2,03⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．[1,2]D ．∅2．已知复数z 满足21z -=，则z 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知a =323log 4b =，423c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．b c a >>D ．c a b >>4．已知公比大于1的等比数列{}n a 满足26m n a a a a =，2610m a a a =，则m n +=（ ） A ．4B ．8C ．12D ．165．函数sin ln y x x =⋅的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知向量()1,a x =，()0,2b =，则2a b a⋅的最大值为（ ）A ．B．2C D ．17．为了加强新型冠状病毒疫情防控，某社区派遣甲､乙､丙､丁､戊五名志愿者参加A ，B ，C 三个小区的防疫工作，每人只去1个小区，每个小区至少去1人，且甲､乙两人约定去同一个小区，则不同的派遗方案共有（ ） A ．24种B ．36种C ．48种D ．64种8．已知x ，y 满足约束条件240220330x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪++≥⎩，则z ax y =+(a 为常数，且13a <<)的最大值为（ ） A ．a -B ．2aC ．23a -+D ．29．已知曲线y =10kx y k -+-=有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．若函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，且在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值点，则ω的取值范围是（ ）A ．1,23⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,22⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．17,26⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．70,6⎛⎤ ⎥⎝⎦11．在棱长为2的正四面体ABCD 中，点P 为ABC 所在平面内一动点，且满足433PA PB +=PD 的最大值为（ ） A．3BC D ．212．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>过第一､三象限的渐近线为l ，过右焦点F 作l 的垂线，垂足为A ，线段AF 交双曲线于B ，若2BF AB =，则此双曲线的离心率为（） ABCD二、填空题13．某中学为了加强艺术教育，促进学生全面发展，要求每名学生从音乐和美术中至少选择一门兴趣课，某班有50名学生，选择音乐的有21人，选择美术的有39人，从全班学生中随机抽取一人，那么这个人两种兴趣班都选择的概率是___________.14．一个球的表面积为100π，一个平面截该球得到截面圆直径为6，则球心到这个平面的距离为___________.15．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，60S =，77a =，若12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项，则m =___________.16．已知函数()f x 的定义域为()0+∞，，其导函数为()f x '，且满足()0f x >，()()0f x f x '+<，若1201x x <<<，且121=x x .给出以下不等式：①()()2112x xf x e f x ->；②()()1221x f x x f x <； ③()()1122x f x x f x >； ④()()()2111f x x f x >-.其中正确的有___________.(填写所有正确的不等式的序号)三、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin b C a A b B c C +=+． （I ）求A ；（Ⅱ）设D 是线段BC 的中点，若2c =，AD =a ．18．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD DC CB ==，60ABC ∠=︒，四边形ACEF 是矩形.（1）求证：AC EB ⊥；（2）若CE BC =，且CE BC ⊥，求EB 与平面FBD 所成角的正弦值. 19．已知函数()ln f x x x =.（1）求()f x 的图象在点()()1,1A f 处的切线方程，并证明()f x 的图象上除点A 以外的所有点都在这条切线的上方；（2）若函数()()()ln 1sin 22cos2g x x x f x x =+⋅-，1,2x e π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，证明：()22cos g x e e ≥.20．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线与C 交于,A B 两点，AOB (点O 为坐标原点)的面积为2.（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点()()0,0E a a >的两直线1l ，2l 的倾斜角互补，直线1l 与抛物线C 交于,M N 两点，直线2l 与抛物线C 交于,P Q 两点，FMN 与FPQ △的面积相等，求实数a 的取值范围.21．甲､乙两人进行乒乓球比赛，两人约定打满()21Nk k ++∈局，赢的局数多者获得最终胜利，已知甲赢得单局比赛的概率为()01p p <<，设甲获得最终胜利的概率为k a . （1）证明：198a p ≤； （2）当112p <<时，比较k a 与1k a +的大小，并给出相应的证明. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩，(ϕ为参数)，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩，(t 为参数，0απ≤≤).（1）若曲线C 与y 轴负半轴的交点在直线l 上，求α；（2）若tan α=等，求曲线C 上与直线l 距离最大的点的坐标. 23．已知函数()1257f x x x =++--.（1）在如图所示的网格中画出()y f x =的图象；（2）若当1x <时､()()f x f x a >+恒成立，求a 的取值范围.参考答案1．A 【分析】化简集合,A B ，再根据集合的交集运算可得结果. 【详解】由题意可得{}22,023M x x N y x ⎧⎫=-<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，故{}02M N x x ⋂=≤<. 故选：A 2．C 【分析】本题可根据21z -=得出点Z 的轨迹为以()2,0为圆心、以1为半径的圆，即可得出结果. 【详解】因为21z -=，所以复数z 在复平面内所对应的点Z 到点()2,0的距离为1， 则点Z 的轨迹为以()2,0为圆心、以1为半径的圆， 故z 的取值范围为[]1,3，z 的最大值为3， 故选：C. 3．B 【分析】借用0，1进行比较大小，简单计算即可得到结果. 【详解】由题可知：1a ，33223log log 104b =<=，40201233c <⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭故a c b >> 故选：B 4．C 【分析】由已知结合等比数列的性质可得262610m nm +=+⎧⎨=+⎩，解方程组可求得结果【详解】解：由等比数列的性质知262610m n m +=+⎧⎨=+⎩，解得84m n =⎧⎨=⎩，所以12m n +=. 故选：C 5．A 【分析】先判断函数的奇偶性可排除CD ，然后根据()0,1x ∈，0y <，可知结果. 【详解】由题可知函数定义域为{}0x x ≠，则()sin ln y f x x x ==⋅， 又()()()sin ln sin ln f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-所以sin ln y x x =⋅是奇函数，且()0,1x ∈时，0y <，故选项A 正确. 故选：A 6．D 【分析】将坐标代入计算可得2221||a b xxa ⋅=+，然后讨论x 的大小并结合基本不等式计算可得结果. 【详解】 由题意可得2221||a b xxa ⋅=+，当0x ≤时，上式小于等于0， 当0x >时，原式211x x=≤+，当且仅当1x =时等号成立，故最大值为1.故选：D 7．B 【分析】分3：1：1与2：2：1分配进行选派，结合排列组合知识简单计算即可.【详解】若按照3：1：1进行分配，则有133318C A =种不同的方案，若按照2：2：1进行分配，则有233318C A =种不同的方案，故共有36种派遣方案.故选：B 8．D 【分析】画出不等式组表示的平面区域，由z 的几何意义求解即可. 【详解】画出约束条件所表示的平面区域，如图中阴影部分所示z ax y =+可化为y ax z =-+，结合图象可知，直线y ax z =-+过直线220x y -+=与直线240x y +-=的交点()0,2A ，z 取得最大值，max 022z =+=.故选：D 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用z 表示的几何意义进行求解. 9．A 【分析】作出曲线y =，直线10kx y k -+-=过定点(1,1)--，求出图中两条的斜率可得所求范围． 【详解】解：曲线y =22(2)1(0)x y y -+=≥，则该曲线表示圆心为(2,0)，半径为1的圆的上半部分，直线10kx y k -+-=过定点(1,1)--，如图，当[)12,k k k ∈时，曲线与直线有两个不同的交点，1=，得34k =或0k =，所以234k =， 1101112k --==--， 所以实数k 的取值范围是13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：A ．【点睛】方法点睛：本题考查直线与曲线的位置关系，解题方法是数形结合思想，即作出曲线（半圆），而直线是过定点的动直线，由直线与半圆的交点个数可得直线的位置，求出临界点直线的斜率后可得结论． 10．C 【分析】依据函数在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，可知2ω≤，计算出函数的对称轴，然后根据函数在所给区间存在极值点可知76ππω≥，最后计算可知结果. 【详解】因为()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以T π≥，则2ππω≥，由此可得2ω≤. 因为当32x k ππωπ+=+，即()6k x k Z ππω+=∈时，函数取得极值，欲满足在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值点，因为周期T π≥，故在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值， 故第一个极值点63x ππω=<，得12ω>.又第二个极值点776122x πππω=≥>，要使()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，必须76ππω≥，得76ω≤. 综上可得，ω的取值范围是17,26⎛⎤⎥⎝⎦.故选：C 【点睛】思路点点睛：第一步：先根据函数在所给区间单调判断ω；第二步：计算对称轴；第三步：依据函数在所给区间存在极值点可得63ππω<，76ππω≥即可. 11．B 【分析】由题意可知，点P 在ABC 所在平面内的轨迹为椭圆，且该椭圆的焦点为A 、B ，长轴长为AB 的中点O 为坐标原点，直线AB 所在直线为x 轴，以CO 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，求出椭圆的方程，利用二次函数的基本性质可求得PD 的最大值. 【详解】如图所示，在平面ABC 内，4323PA PB +=>， 所以点P 在平面ABC 内的轨迹为椭圆，取AB 的中点为点O ，连接CO ，以直线AB 为x 轴，直线OC 为y 建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，则椭圆的半焦距1c =，长半轴a =b =所以，椭圆方程为()2233104x y z +==.点D 在底面的投影设为点E ，则点E 为ABC 的中心，1133OE OC ===故点E 正好为椭圆短轴的一个端点，23CE OC ==DE =因为222PD DE EP =+，故只需计算EP 的最大值. 设(),,0P x y，则E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则22222241543333EP x y y y y y y ⎛=+=-++=-+ ⎝⎭，当y ⎡=⎢⎣⎦时，2EP 取最大值，即22max516339EP ⎛⎛=-⨯+= ⎝⎭⎝⎭， 因此可得2241640999PD ≤+=，故PD故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查线段长度最值的求解，根据椭圆的定义得知点P 的轨迹是椭圆，并结合二次函数的基本性质求解EP 的最大值是解题的关键，在求解时也要注意椭圆有界性的应用. 12．C 【分析】先写出直线AF 的方程与直线l 方程联立，求出A 点坐标，由2BF AB =，即2BF AB =，求出点B 坐标，代入双曲线方程，可得答案. 【详解】解析设双曲线的焦距为2c .由⊥AF l 知，直线AF 的方程为()a y x c b=--，由()a y x c b b y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 可得2a x cab y c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2,a ab A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭设()00,B x y ，则()00,=--BF c x y ，200,a ab AB x y c c ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.由2BF AB =可得2BF AB =，故2002a c x x c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，002ab y y c ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得22023c a x c+=，023ab y c =，将B 点坐标代入到双曲线方程中可得()222222224199c a a a c c+-=，化简得225c a =，故e =故选：C13．15【分析】计算出两种兴趣班都选择的学生人数，利用古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】由题意可知，两种兴趣班都选择的人数为21395010+-=人，所以所求概率为101505=. 故答案为：15.14．4 【分析】先由球的表面积为100π，求出球的半径，再利用勾股定理可求得结果 【详解】解：设球的半径为r ，由题可知24100r ππ=，=5r .4=.故答案为：4 15．2 【分析】本题首先可设等差数列{}n a 的公差为d ，然后根据60S =得出1250a d +=，根据77a =得出167a d +=，两式联立，即可得出27n a n =-，再然后令23m t -=，则1286m m m a a t a t++=+-，根据t 为8的约数以及t 是奇数得出t 的可能取值为±1，最后分为1t =、1t =-两种情况进行讨论，即可得出结果. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为60S =，所以16602a a +⨯=，即160a a +=，1250a d +=，因为77a =，所以167a d +=，联立1125067a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得15a =-，2d =，27n a n =-，()()12272523m m m m m a a a m ++--=-， 令23m t -=，则()()124286m m m t t a a t a t t++--==+-，t 为8的约数， 因为t 是奇数，所以t 的可能取值为±1， 当1t =时，2m =，2343257a a a ==⨯-，是数列{}n a 中的第5项； 当1t =-时，1m =，()12315247a a a =-=⨯--，不是数列{}n a 中的项， 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题考查判断数是否是数列中的项，考查等差数列通项公式的求法，能够根据1286m m m a a t a t ++=+-判断出t 的可能取值为±1是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题. 16．①②③ 【分析】根据()()0f x f x '+<构造函数，再利用导数工具处理函数不等式问题. 【详解】设()e ()x F x f x =，则[]()e()()0xF x f x f x ''=+<，由此可得()F x 单调递减，所以()()1212e e x x f x f x >，即()()2112e x x f x f x ->，故①正确；因为()0f x >，()()0f x f x '+<，所以()0f x '<，所以() f x 单调递减，所以()()()22111x f x f x f x x <<，所以()()1221x f x x f x <，故②正确； 对于③，由①分析可知()()2112e x xf x f x ->，欲使()()1122x f x x f x >，且121=x x ，即()()2122f x x f x >成立，只需满足22122x x ex ->即可，即证222212ln (1)x x x x ->>，设()12ln m x x x x =--，则22212(1)()10x m x x x x-'=+-=>，则()m x 单调递增，所以()2(1)0m x m >=，故③正确；对于④，假设()()()2111f x x f x >-成立，因为()()1212e e x xf x f x >，所以()()11112e x x f x f x ->，所以1111e1x x x ->-，取112x =，则3212e ->，所以322e <，矛盾，故④不正确. 故答案为：①②③. 【点睛】关键点睛：本题的关键是通过构造函数并利用函数的单调分析不等式，根据()()0f x f x '+<，构造()e ()x F x f x =，是解决本题的关键. 17．（I ）3π；（Ⅱ）【分析】（I ）先由正弦定理，将所给条件化为222bc b c a =+-，再由余弦定理，即可得出结果； （Ⅱ）根据题中条件，得到cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，推出22244a b =-，再由余弦定理得到2242a b b =-+，两式联立求出b ，进而可求出a . 【详解】（I ）根据正弦定理，由sin sin sin sin b C a A b B c C +=+可得222bc a b c +=+， 即222bc b c a =+-，由余弦定理可得，2221cos 22b c a A bc +-==， 因为A 为三角形内角，所以3A π=； （Ⅱ）因为D 是线段BC 的中点，2c =，AD = 所以ADB ADC π∠+∠=，则cos cos 0ADB ADC ∠+∠=， 所以222222022AD BD AB AD DC AC AD BD AD DC+-+-+=⋅⋅，即22221321344022a a b a a +-+-+=，整理得22244a b =-； 又22222cos 42a b c bc A b b =+-=+-，所以2242244b b b +-=-，解得6b =或8b =-（舍）， 因此2224428a b =-=，所以a =【点睛】 思路点睛：求解三角形中的边长或面积等问题时，一般需要根据正弦定理，或余弦定理，将题中条件进行转化，得出对应的方程求解即可. 18．（1）证明见解析；（2）34. 【分析】（1）利用等腰梯形的性质，判断角度，得AC BC ⊥，然后根据四边形ACEF 是矩形，得AC EC ⊥，即可证明AC ⊥平面ECB ，所以证出AC EB ⊥；（2）设2CE BC ==，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，计算平面FBD 的法向量，再利用向量的夹角公式代入计算. 【详解】（1）在等腰梯形ABCD 中，AD DC =，DAC DCA ∴∠=∠，又//AB CD ，即DCA CAB ∠=∠，所以DAC CAB ∠=∠，且60DAB ABC ∠=∠=︒，30,90CAB BCA ∴∠=︒∴∠=︒，即AC BC ⊥.又四边形ACEF 是矩形，AC EC ∴⊥. 又ECBC C =，AC ∴⊥平面ECB ，又EB ⊂平面ECB ，AC EB ∴⊥.（2）由条件可知,,CA CB CE 两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系，设2CE BC ==，则(0,2,0),1,0),(0,0,2)B D F E -，(3,3,0)BD ∴=-，(23,2,2)BF =-.设平面FBD 的法向量(,,)n x y z=，则有3000220y n BD n BF y z ⎧-=⋅=⎪⇒⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩，令1y =，得x =2z =-，∴平面FBD 的一个法向量为(3,1,2)n =-，设直线EB 与平面FBD 所成角为θ又(0,2,2)EB =-，3sin cos ,4||||EB n EB n EB n θ⋅∴=〈〉==，EB ∴与平面FBD 所成角的正弦值为34.【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理进行证明，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 19．（1）切线方程为1y x =-，证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用导数求出()f x 的图象在点()()1,1A f 处的切线方程为1y x =-，然后构造函数()()()1h x f x x =--，利用导数证明当0x >且1x ≠时，()0h x >即可；（2）求得()14ln sin 2g x x x x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，分析得出()0g x '>对任意的1,2x e π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭恒成立，可得出函数()g x 在区间1,2e π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数，由此可证得结论成立.【详解】 （1）()ln f x x x =，则()1ln f x x '=+，所以，()11f '=，()10f =.所以，函数()f x 的图象在点()()1,1A f 处的切线方程为1y x =-. 设()ln 1h x x x x =-+，则()ln h x x '=，令()0h x '<，可得()0,1x ∈；令()0h x '>，可得()1,x ∈+∞. 所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以，当0x >且1x ≠时，()()10h x h >=，所以()f x 的图象上除点A 以外的所有点都在这条切线的上方；（2）由题可知()()ln 1sin 22ln cos2g x x x x x x =+⋅-，1,2x e π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.则()()sin 22ln 1cos 22ln cos 22cos 24ln sin 2xg x x x x x x x x x x '=++--+ 14ln sin 2x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为1,2x e π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以22,x e π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则sin 20x >，又由（1）知ln 1x x x ≥-，当且仅当1x =时，等号成立，所以()1114ln 414440x x x x x x x +≥+-=+-≥=，当且仅当12x =时，等号成立.所以，上述两个等号不同时成立，则()0g x '>，所以，函数()g x 在区间1,2e π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数，则()122cos g x g e e e ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，原式得证.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.20．（1）24y x =；（2）(0,1)(1,2). 【分析】（1）由焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，求得点,A B 的坐标，然后根据AOB 的面积为2求解；（2）设直线()1:l x t y a =-，联立方程可得()24y xx t y a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，结合韦达定理，利用弦长公式求得MN ，以及焦点F 到直线1l 的距离，求得FMNS，将t 用t -替换，得到FPQS，由FMN FPQ S S =△△，可得t 与a 的关系，然后再结合判别式大于零求解. 【详解】（1）因为焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以点,A B 的坐标分别为,2p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2pp ⎛⎫- ⎪⎝⎭.所以12222AOB pS p =⋅⋅=△，故2p =.故抛物线C 的方程为24y x =.（2）由题意可知直线12,l l 的斜率存在，且不为0，设直线()1:l x t y a =-. 点()11,M x y ，()22,N x y .联立方程可得()24y xx t y a ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，消去x ，可得2440y ty at -+=.则2116160t at ∆=->.因为1212 4,4y y t y y at +==，所以12MN y -==焦点F 到直线1l 的距离d ，所以1|2FMN S ta =⨯=+△. 设直线2:()l x t y a =--，与抛物线方程联立可得2216160t at ∆=+>，将t 用t -替换，可得1FPQ S =-△由FMN FPQ S S =△△可得1ta +=-，11ta ta +-，两边平方并化简可得2212t a =-，所以220a ->，解得0a <<又由10∆>且20∆>得t a <-或t a >，可知22t a >，所以2212a a >-，即()222102a a->-，所以1a ≠， 所以实数a 的取值范围是(0,1)(1,2). 【点睛】方法点睛：（1）解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．（2）解决直线与曲线的弦长时，往往设直线与曲线的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB =(k 为直线斜率)．注意：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零．21．（1）证明见解析；（2）1k k a a +>，证明见解析. 【分析】（1）由题意可知1a 表示打3局比赛甲赢两局或三局的概率，则2232313C (1)32a p p p p p =-+=-，从而可求出1a p的值； （2）k a 表示打21k +局比赛，甲至少赢1k +局的概率，则112212121212121C (1)C (1)C k k k k k k k k k k k k a p p pp p++++-+++++=-+-++，1k a +表示打23k +局比赛，甲至少赢2k +局的概率，分三种情况：①前21k +局甲赢k 局，最后两场甲都胜利，②前21k +局甲赢1k +局，最后两场甲不全输，③前21k +局甲至少赢 2k +局，分别求出概率作差比较即可【详解】解：（1）甲赢得单局比赛的概率为p ，则乙赢得单局比赛的概率为1p -.1a 表示打3局比赛甲赢两局或三局的概率.所以2232313C (1)32a p p p p p =-+=-.所以221399322488a p p p p ⎛⎫=-=--+≤ ⎪⎝⎭.（2）k a 表示打21k +局比赛，甲至少赢1k +局的概率，所以112212121212121C (1)C (1)C k k k k k k k k k k k k a p p p p p++++-+++++=-+-++. 1k a +表示打23k +局比赛，甲至少赢2k +局的概率，分三种情况： ①前21k +局甲赢k 局，最后两场甲都胜利，对应概率122112121(1)(1)k k k k k k k k P C p p p C pp +++++=⋅-⋅=⋅- ②前21k +局甲赢1k +局，最后两场甲不全输，对应概率()211111221212211(1)11(1)(1)k k k k k k k k k k k P C p p p C p p C p p ++++++++++=⋅-⋅⎡--=--⎤⎣⎦-. ③前21k +局甲至少赢 2k +局， 对应概率22133221213212121C (1)C (1)C k k k k k k k k k k k P pp pp p++-++-+++++=-+-++. 所以1123k a P P P +=++.因为11321(1)k k k k k a P C pp +++=+-， 所以1111221(1)k k k k k k a a P P C pp ++++-=+-- 211122121(1)(1)k k k k k k k k C p p C pp +++++++=--- 1121(1)(21)k k k k C pp p +++=--. 因为1,12p ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以10+->k k a a ，即1k k a a +>.【点睛】关键点点睛：此题考查概率求法，解题的关键是由题意正确表示出112212121212121C (1)C (1)C k k k k k k k k k k k k a p p pp p++++-+++++=-+-++，考查分类思想，属于中档题22．（1）4πα=；（2）12⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）曲线C 化为普通方程可得与y 轴负半轴的交点坐标，由直线l 的斜率得tan α可得答案；（2）由tan α得直线l 的普通方程，再利用点到直线的距离公式和三角函数的性质可得答案. 【详解】（1）曲线C 2cos sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩的普通方程为2214x y +=，令0x =，1y =±，所以曲线C 与y 轴负半轴的交点为(0,1)-， 因为直线l 恒过点()1,0，又点(0,1)-在直线l 上，所以直线l 的斜率为10101--=-， 所以tan 1α=，所以4πα=.（2）若tan α=，得直线l的普通方程为1)y x =-，20y -=，C 上的点到l的距离d = 当52()6k k πϕπ=+∈Z 时，d 取最大值，此时12cos 2ϕϕ==，所以所求点的坐标为12⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的转化以及三角恒等变换，解题的关键是要熟练掌握参数方程与普通方程的互化及三角函数的性质，考查了学生的转化能力和计算能力. 23．（1）图象答案见解析；（2）(0,2]. 【分析】（1）根据自变量的范围去掉绝对值，然后分段画出在所给范围的函数图象即可.（2）讨论0a =，0a <，0a >的情况，根据平移知识，以及题干要求简单计算和判断可知结果. 【详解】（1）由条件知33,15 ()1,125311,2x x f x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪=---≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩， ()y f x =的图象如下：本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
天一大联考2020-2021学年高中毕业班阶段性测试(五)数学试卷(新高考版A卷)试题(含答案解析)
天一大联考2020-2021学年高中毕业班阶段性测试（五）数学试卷（新高考版A 卷）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设全集U =R ，集合{A x y ==，{}28xB x =≤，则()R A B =（ ）A ．(),1-∞B ．()1,1-C ．[]1,3D ．(]1,32．满足2340z z +-=的复数z 可以为（ ） A ．2i 11i+- B ．i11i++ C ．2i i 1i+- D ．ii 1i+- 3．2021年某市网络春节晚会节目的协调会上，几位导演对甲、乙、丙、丁、戊、己6个节目是否上春晚犹豫不决，经观众打分，导演们对这6个节目形成以下共识：①甲不上；②乙、丙两个要么都上，要么都不上；③如果丁上，则戊不上；④甲、乙、戊至少有1个上；⑤如果甲不上，则丁一定要上；⑥丙、已只有1个上．据此，可以推出（ ） A ．甲、乙、丙上春晚 B ．乙、丙、丁上春晚 C ．丙、丁、已上春晚D ．丁、戊、己上春晚4．在ABC 中，AN t NC =()0t >，P 是BN 上一点，若1163AP AB AC =+，则实数t 的值为（ ） A ．16B ．13C ．23D ．565．如图为一个组合体，底座为一个长方体，凸起部分由一小长方体和一个半圆柱组成，一只小蚂蚁从A 点出发，沿几何体表面爬行，首先到达C 点，然后沿凸起部分的表面到达B 点，则小蚂蚁走过的最短距离为（ ）A．B．2210π+ C．42D ．12210π+6．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n n S a =-()*N n ∈，则数列221log nn a a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的最大项为（ ） A ．1316B ．1716C ．1D ．547．2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有( )种． A ．120B ．156C ．188D ．2408．已知O 为坐标原点，抛物线C ：22y x =的焦点为F ，抛物线C 的准线与x 轴交于点E ，抛物线C 上一点P 在准线上的投影为Q ，B 点满足4EQ OB =，PB PF =，设以P为圆心，PF 为半径的圆为圆P ，以O 为圆心，OF 为半径的圆为圆O ，圆P 与圆O 的交点分别为M ，F ，则四边形PMOF 的面积为（ ） A ．5 B．C ．1D二、多选题9．下列四个函数，同时满足：①直线12y x b =+()b R ∈能作为函数的图象的切线；②函数()()4y f x f x =+的最小值为4的是（ ） A ．()1f x x=B ．()sin f x x =C ．()e xf x =D ．()2f x x =10．一个体积为8的正方体形状的箱子，在箱子的顶部的中心，安装一个射灯（看成点光源），射灯照光的边际是圆锥面，设圆锥面与箱子的一个侧面的交线为曲线C （双曲线的一部分），若曲线C 的顶点为侧面的中心，曲线C 与正方体侧棱的交点到箱子底部的距离为2 ） A ．该曲线CB ．该曲线C 的虚轴长为2 C ．点光源到曲线CD ．两渐近线的夹角为2π11．已知函数()()()sin ,0cos ,0x a x f x x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩的图象关于y 轴对称，设()πsin 216g x x a b ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()g x 的对称中心为ππ,126k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k ∈ZB ．()g x 在π2π,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2C ．()πcos 216g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭D ．()1g x >+解集为ππ,π3k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，k ∈Z12．如图所示，几何体是由两个全等的直四棱柱组合而成的，且前后、左右、上下均对称，两个四棱柱的侧棱互相垂直，四棱柱的底面是边长为2的正方形，该几何体外接球的体积为，设两个直四棱柱交叉部分为几何体r ，则（ ）A ．几何体r 为四棱锥B ．几何体r 的各侧面为全等的正三角形C ．直四棱柱的高为4D ．几何体r 内切球的体积为4π3三、填空题13．某商家统计，甲产品以往的先进技术投入i x （千元）与月产利润i y （千元）()1,2,3,,8i =⋅⋅⋅的数据可以用函数y a =+且9630y =， 6.8t =，其中i t 8118i i t t ==∑，8118i i y y ==∑，预测先进生产技术投入为64千元时，甲产品的月产利润大约为______千元．14．已知甲、乙两人的投篮命中率都为()01p p <<，丙的投篮命中率为1p -，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率的最小值为______．15．已知正数x ，y 满足111x y +=，试写出一个2()9x y x y x y+++++取不到的正整数值是______．16．已知函数1222x y kx k --=--的两个零点分别为1x ，2x ()12x x >，函数()f x 是定义在R 上的单调递增函数，若对任意的()0,x ∈+∞，不等式()()12ln ln 1x x f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫+->++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，则实数1x 的取值范围是______．四、解答题 17．在①2π3θ=，②C 到OA③sin COD ∠这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．问题：已知圆心角为θππ2θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭的扇形AOB ，C 为弧AB 上一点，D 为线段OB 上一点，且3CD =，2OD =，//CD AO ，______，求AOC △的面积． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．已知数列{}n a 中，2,,,,n n n qa n a a d n +⎧=⎨+⎩为偶数为奇数且19a =，22a =，816a =，1357925a a a a a ++++=．（1）求q 和d 的值；（2）求数列{}n a 的前2n 项和2n S ．19．如图（1），五边形ABCEF 中，ABF 为等腰三角形，120BAF ∠=︒，四边形BCEF为矩形，CE =1EF =，D 为CE 的中点．将四边形ADEF 沿AD 折起，使得平面ADEF ⊥平面ABCD ，如图（2）．（1）试问：在AD 上是否存在一点P ，使得平面//PCE 平面ABF ？若存在，求AP 的长；若不存在，请说明理由．（2）求直线BE 与平面ABF 所成角的正弦值．20．为了调查A 地区200000名学生寒假期间在家的课外阅读时间，研究人员随机抽取了20000名学生作调查，所得结果统计如下表所示：（1）若阅读的时间Z 近似地服从正态分布(),64N μ，其中μ为这20000名学生阅读时间的平均值，试估计这200000名学生中阅读时间在(]6,38的学生人数（同一组数据用该组区间的中点值为代表）；（2）以频率估计概率，若从全体学生中随机抽取5人，记阅读时间在(]30,40中的人数为X ，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）为了调查阅读时间与性别是否具有相关性，研究人员从这20000名学生中再随机抽取500名男生和500名女生作进一步调查，所得数据如下表所示，判断是否有99.9%的把握认为阅读时间与性别具有相关性．附：若()2~,Z N μσ，则()0.6827P Z μσμσ-<≤+=，()220.9545P Z μσμσ-<≤+=，()330.9973P Z μσμσ-<≤+=． ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．21．已知椭圆C ：2214x y +=，直线y kx =与椭圆C 交于1A A ,两点，点()11,A x y 位于第一象限，()22,B x y 是椭圆C 上一点，且1AB AA ⊥，设11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）证明：1,,A D B 三点共线； （2）求1AA B 面积的最大值．22．已知函数()()211ln 2f x ax a x x =-++，当0a =时，()f x 的最大值为M ．（1）讨论函数()f x 的单调性，并求M 的值；xe x x211e e e e x--≥++对任意的x∈R恒成立．（2）证明：不等式()()参考答案1．D 【分析】求出函数y =A ，解指数不等式求出集合B ，再求出RA ，最后按集合交集的概念进行运算即可. 【详解】由题意，可得{{}1A x y x x ===≤，{}3B x x =≤， ∴RA {}1x x =>，∴()(]R 1,3AB ⋂=．故选：D 2．A 【分析】先求出复数z ，再由复数的运算法则化简每一选项中的复数，再验证其模长是否满足条件，从而得出答案. 【详解】由2340z z +-=，得4z =-（舍）或1z =选项A.()()()()212121111112i i i ii i i i +-+=+=+=--+,满足1z =，故A 正确.选项B.()()()1311111122i i i i i i i -+=+=+++-, 此时1z ==≠，故不正确.选项C.()()()21212111i i ii i i i i i ++=+=-+--+,此时1z =，故不正确.选项D.()()()11311122i i i i i i i i i ++=+=-+-+-，此时1z ==≠，故不正确. 故选：A. 3．B 【分析】由①②③④⑤⑥分别推理判断. 【详解】由①⑤知甲不上，则丁一定上，由③知戊不上，由④知乙上，由②知丙上，由⑥知己不上，所以乙、丙、丁上春晚. 故选：B 4．C 【分析】由平面向量的线性运算法则和向量的基本定理，化简得1163t AP AB AN t+=+，根据B ，P ，N 三点共线，列出方程，即可求解．【详解】由平面向量的线性运算法则和向量的基本定理， 可得：()11111111163636363t AP AB AC AB AN NC AB AN AN AB AN t t +⎛⎫=+=++=++=+ ⎪⎝⎭， 因为B ，P ，N 三点共线，所以11163t t ++=，解得23t =． 故选：C. 5．A 【分析】将A 点所在的侧面沿交线展开，分别求得A 点到C 点的最短距离和C 点到B 点的最短距离，进而求得小蚂蚁走过的最短距离． 【详解】将A 点所在的侧面沿交线展开，如图所示，则A 到C =故从A 点到C 点的最短距离为C 点到B 点的最短距离为BC =故小蚂蚁走过的最短距离为 故选：A.【点睛】对于求解几何体表面上的“折线”或“曲线”的最值问题，通常完成几何体的表面展开，构造成平面图形，结合解三角形的知识求解，但不少学生不会构造平面，因此失分． 6．D 【分析】通过n S 与n a 的关系可得数列{}n a 是等比数列，进而得12n n a ，求出得{}n c 的通项公式，利用作差法判断{}n c 的单调性，进而可得结果. 【详解】当1n =时，1121S a =-，11a =．当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---， 即12nn a a -=，所以数列{}n a 是以11a =为首项，2为公比的等比数列， 所以12n na ，22211log 222nn n n a n n c a -+-+==， 所以()()()()22112112122422222n n n n n n n n n n n c c -------+---+-=-=-， 所以123456c c c c c c =<=>>>⋅⋅⋅，故n c 的最大值为2343482524c c -+===， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：求出数列{}n c 的通项公式，利用作差法判断出数列{}n c 的单调性. 7．A 【分析】解决问题有类办法：京剧排第一，排在一起的两个算一个与余下三个元素作全排列，京剧排二三之一，排在一起的两个只有三个位置可选，再排余下三个得解.【详解】完成排戏曲节目演出顺序这件事，可以有两类办法：京剧排第一，越剧、粤剧排在一起作一个元素与余下三个作全排列有44A ，越剧、粤剧有前后22A ，共有：2424A A 种；京剧排二三之一有12C ，越剧、粤剧排在一起只有三个位置并且它们有先后，有1232C A ，余下三个有33A ，共有：12231332A C C A 种；由分类计数原理知，所有演出顺序有：411242323223A A C C A A 120＝+(种) 故选：A 【点睛】解决排列、组合综合问题的方法：(1)仔细审题，判断是组合问题还是排列问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步；(2)以元素为主时，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以位置为主时，先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置． 8．C 【分析】先设出()00,P x y 根据条件得出点B 的坐标，结合抛物线的定可得PB PQ =，由两点间的距离公式结合抛物线的方程得出点P 坐标，从而得出圆圆P ，圆O 的方程，将两圆方程相减得到公共弦的方程，从而可求出答案. 【详解】抛物线C ：22y x =的焦点102F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，准线方程为12x =-，则1,02E ⎫⎛- ⎪⎝⎭ 设()00,P x y ，则01,2Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭．由4EQ OB =得00,4y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭．由抛物线的定义，可知PQ PF =，所以PB PQ =，所以2220000142y x y x ⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20091164y x =+，又202y x =，所以02x =，不妨取()2,2P ，所以52QP ==，则圆P 的方程为()()2225224x y -+-=．因为圆O 的方程为2214x y +=，两式相减可得MF 所在的直线方程为2210x y +-=，则圆心O 到直线MF MF =．又OP =PMOF 的面积为112MF OP ⋅=． 故选：C 【点睛】关键点睛：本题考查抛物线的定义的应用，圆的方程以及两圆的的位置关系，解答本题的关键是当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即为两圆公共弦所在的直线方程．数形结合思想的应用，灵活运用抛物线上一点(),P x y 到焦点F 的距离2PF p x =+（或2py +）求解．属于中档题. 9．CD 【分析】由定义，分别考查目标本题主要考查导数的几何意义以及函数的最值就可以判断． 【详解】 对于A ：()21f x x '=-，对于任意0x ≠，2112x -=无解，所以直线12y x b =+不能作为切线； 对于B ：()1cos 2f x x '==，有解，但()()44f x f x +≥，当且仅当()2f x =时取等号，又sin 1x ≤，所以不符合题意；对于C ：()12xf x e '==，有解，()()444x x f x e f x e +=+≥=，当且仅当2x e =时，等号成立，故C 正确；对于D ：()122f x x '==，14x =，又2244x x +≥，当且仅当x =立，故D 正确． 故选：CD. 10．ABD 【分析】作出图形，然后以棱AB 所在的直线为y 轴，以过点光源且与侧面垂直的直线为z 轴，过曲线C 的顶点且垂直AB 的直线为x 轴，坐标原点O 为AB 的中点，建立空间直角坐标系，在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，根据已知条件求出a 、b 、c 的值，即可判断各选项的正误.【详解】由题意可知，射灯（看成点光源）照射时，射灯照光的边际形成两个共顶点的全等圆锥面，圆锥的顶点即为射灯，正方体的侧面与圆锥面的交线就是双曲线的一支，以棱AB 所在的直线为y 轴，以过点光源且与侧面垂直的直线为z 轴，过曲线C 的顶点且垂直AB 的直线为x 轴，坐标原点O 为AB 的中点，建立空间直角坐标系，如图，在平面直角坐标系xOy 中，设曲线C 的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，由题意，1a =，且曲线C 经过正方体侧棱上的一个交点)，所以2121b-=，则21b =，所以c =e =AB 正确；在空间直角坐标系O xyz -中，双曲线的焦点坐标为()，点光源的坐标为()0,0,1=C 错误；在平面直角坐标系xOy 中，渐近线方程为y x =±，所以两渐近线的夹角为2π，故D 正确．故选：ABD. 【点睛】思路点睛：求双曲线的方程时，将已知条件中的双曲线的几何性质和几何关系转化为关于a 、b 、c 的关系式，结合222c a b =+，列出未知参数的方程，解方程后即可求出双曲线的方程．11．AC 【分析】由()f x 的图象关于y 轴对称，得出()f x 是偶函数，进而得出π2π2a b k +=+()k ∈Z ，再对四个选项逐一判断即可. 【详解】因为函数()()()sin ,0,cos ,0x a x f x x b x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩的图象关于y 轴对称，所以()()f x f x -=，令0x >，则()()πsin cos sin 2x a x b x b ⎛⎫-+=+=-- ⎪⎝⎭，所以π2π2a b k +=+()k ∈Z ，所以()ππππsin 21sin 21cos 216236g x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；当π2π,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π5π5π2,363x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当π5π236x +=，即π4x =时，()g x 取得最大值，为32，故B 错误； 令π2π3x k +=，k ∈Z ，得ππ26k x =-，k ∈Z ，故()g x 的对称中心为ππ,126k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，k ∈Z ，故A 正确；令πsin 23x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭ππ2π2π22π333k x k +<+<+，k ∈Z ，所以πππ6k x k <<+，k ∈Z ，故D 错误． 故选：AC. 【点睛】研究()sin y A x ωϕ=+的性质时可将x ωϕ+视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． 12．CD 【分析】分析该几何体的结构特征，几何体r 由两个全等的四棱锥组成，A 错误；根据已知条件求出几何体r 的侧面三角形边长结合对称性可判断B 选项；利用直四棱柱的外接球半径公式可求出直四棱柱的高判断C 选项；几何体r 可以看成两个全等的四棱锥或八个全等的三棱锥组成，等体积法求出其内切球的半径即可代入球的体积公式判断D 选项. 【详解】该几何体的直观图如图所示，几何体r 为两个全等的四棱锥S ABCD -和P ABCD -组成，故A 错误； 由题意，这两个直四棱柱的中心既是外接球的球心，也是内切球的球心，设外接球的半径为R ，直四棱柱的高为h ，则R ==4h =，故C 正确；在等腰三角形ABS 中，SB =SB 边上的高为2，则SA =由该几何体前后、左右、上下均对称，知四边形ABCD 的菱形．侧面均为全等，底边为B 错误；设AC 的中点为H ，连接BH ，SH ，易证SH 即为四棱锥S ABCD -的高，在Rt ABH △中，2BH =．又AC SB ==1222ABCD S =⨯⨯=又BH SH =，所以112333S ABCD ABCD V SH S -=⋅=⨯⨯=．设内切球的半径为r ，因为八个侧面的面积均为1823r ⋅=1r =，故几何体r 内切球的体积为4π3，故D 正确．故选：CD 【点睛】解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思路是：1、定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；2、作截面：选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素间的关系），达到空间问题平面化的目的；3、求半径、下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球半径的方程并求解. 13．9690 【分析】根据,y t 的值计算出a 的值，然后将64x =代入函数y a =+. 【详解】由题意，50963050 6.89290a y t =-=-⨯=，所以回归方程为9290y =+当64x =时，月产利润y 的预报值ˆ92905089690y=+⨯=千元． 故答案为：9690. 14．2327【分析】利用对立事件概率公式可求得()()211P A p p =--，利用导数可求得()P A 的最小值.【详解】设事件A 为“三人每人投篮一次，至少一人命中”，则()()21P A p p =-，()()211P A p p ∴=--，设()()211f p p p =--，01p <<，则()()()()()2121311f p p p p p p '=--+-=---， ∴当103p <<时，()0f p '<；当113p <<时，()0f p '>；()f p ∴在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，()min 11423133927f p f ⎛⎫∴==-⨯= ⎪⎝⎭， 即三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率的最小值为2327. 故答案为：2327. 【点睛】思路点睛：利用相互独立事件求复杂事件概率的求解思路为：（1）将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和；（2）将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知（易求）概率的相互独立事件的积事件；（3）代入概率的积、和公式求解．15．7（设满足条件的正整数为m ，则满足294m < 且m Z ∈） 【分析】 将目标化为91x y x y ++++，先由均值不等式x y +的范围，再由函数()91h t t t=++的单调性求出91x y x y++++的最值，从而可得答案. 【详解】()2991x y x y x y x y x y++++=+++++由()11224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++≥+= ⎝⎭=+⎪+ 当且仅当2x y ==时，等号成立．设t x y =+，则4t ≥，易知()91h t t t =++在[)4,+∞上单调递增，所以()()min 2944h t h ==， 故()2992914x y x y x y x y x y ++++=+++≥++． 所以2()9x y x y x y +++++取不到的正整数m 满足294m <且m Z ∈ 故答案为：7（设满足条件的正整数为m ，则满足294m < 且m Z ∈） 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.16．11,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【分析】根据函数图象关于12x =对称，结合2y kx k =-，122x y --=图象的交点可确定121x x =+，将不等式化为()()11ln ln 1111x x f x f x f f x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-->+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，构造函数()()()1g x f x f x =--，利用导数可确定()g x 单调性，得到1ln 1xx x>+，利用导数可求得()ln 1x h x x =+的最大值，由此可得1x 的取值范围. 【详解】函数1222x y kx k --=--的图象关于直线12x =对称，结合函数2y kx k =-，122x y --=的图象知两函数有且仅有两个交点， 故函数1222x y kx k --=--有且仅有两个零点，且121x x =+，则不等式()()12ln ln 1x x f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫+->++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，可化为()()11ln ln 11x x f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫+->-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即()()11ln ln 1111x x f x f x f f x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-->+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．设函数()()()1g x f x f x =--，()f x 为R 上的增函数，()()()10g x f x f x '''∴=+->，则函数()g x 单调递增，所以()1ln 1x g x g x ⎛⎫∴>+⎪⎝⎭，即1ln 1x x x >+． 令()ln 1x h x x=+，则()21ln xh x x -'=，∴当()0,x e ∈时，()0h x '>；当(),x e ∈+∞时，()0h x '<，则()h x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，()()max 11h x h e e∴==+，111e x ∴>+，即1x 的取值范围为11,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数不等式求解参数范围的问题，解题关键是能够根据函数图象的对称性，将不等式转化为同一函数的函数值之间大小关系的比较，由此构造函数，通过单调性确定自变量的大小关系.17． 【分析】选择条件①：由余弦定理解得扇形的半径r ，由正弦定理求得sin 7AOC ∠=，利用面积公式求出AOC △的面积；选择条件②：先求出CDO ∠，由余弦定理解得扇形的半径r ，由正弦定理求得sin 7AOC ∠=利用面积公式求出AOC △的面积； 选择条件③：设该扇形的半径为r ．在CDO 中，由正弦定理，求得 sin OCD ∠． 在CDO 中，由余弦定理，解得r ，利用面积公式求出AOC △的面积； 【详解】 选择条件①： 设该扇形的半径为r ．因为//CD AO ，所以ππ3CDO θ∠=-=． 在CDO 中，由余弦定理，得222π2cos3CD OD CD OD OC +-⋅=，即2221322322r +-⨯⨯⨯=，解得r =在CDO 中，由正弦定理，得sin sin OC OD CDO OCD =∠∠，2sin AOC =∠，得sin AOC ∠=所以AOC △的面积为2211sin 22r AOC ∠=⨯=选择条件②：因为//CD AO ，所以C 到OA 的距离等于O 到CD 的距离，所以sin CDO ∠= 因为ππ2θ<<，所以CDO ∠为锐角，所以π3CDO ∠=． 设该扇形的半径为r ，在CDO 中，由余弦定理，得222π2cos3CD OD CD OD OC +-⋅=，即2221322322r +-⨯⨯⨯=，解得r =在CDO 中，由正弦定理，得sin sin OC OD CDO OCD =∠∠，2sin AOC =∠，得sin AOC ∠=所以AOC △的面积为2211sin 22r AOC ∠=⨯=选择条件③：设该扇形的半径为r ．在CDO 中，由正弦定理，得sin sin CD ODCDO OCD=∠∠，即2sin OCD =∠，所以sin OCD ∠．因为OD CD <，所以OCD ∠为锐角，则cos OCD =∠=． 在CDO 中，由余弦定理，得2222cos OD CD OC CD OC OCD =+-⋅⋅∠，即222236r r =+-r =2<，所以r =所以AOC △的面积为22111sin sin 7222r AOC OCD ∠=⨯⨯∠=⨯=． 【点睛】正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素． 18．（1）2q ；2d =-；（2）211022n n n +-++-．【分析】（1）对n 的奇偶性进行讨论，分别利用等差数列和等比数列求出d 和q ； （2）利用分组求和法求和. 【详解】（1）依题意，当n 为偶数时，2n n a qa +=，所以222n n a qa +=． 又220a =≠，8160a =≠，所以0q ≠，20n a ≠，则222n na q a +=， 所以数列{}2n a 是以22a =为首项，q 为公比的等比数列，所以38216a a q ==，所以38q =，所以2q．当n 为奇数时，2n n a a d +=+，则2121n n a a d +-=+， 所以数列{}21n a -是以19a =为首项，d 为公差的等差数列， 所以9992939425d d d d ++++++++=，所以2d =-．（2）由（1），可知()21921211n a n n -=--=-+，22nn a =，所以()()21221297211242n n n n S a a a a n -=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅⋅+⎡⎤⎣⎦ ()()2129211212nn n --+=+- 211022n n n +=-++-．【点睛】 方法点睛：（1）等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质；（2）分组求和法进行数列求和适用于：①{}n n a b +,分组后对{}n a 和{}n b 分别求和；②对项数n 进行分类讨论的题目. 19．（1）存在；1AP =；（2【分析】（1）若要使平面//PCE 平面ABF 平行，根据面面平行性质定理可知必有//PC AB ，故应考虑在AD 上取一点P ，使得1AP =，连接PC ，PE ，再证明即可；（2）先证ED ，DC ，AD 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面ABF 的法向量，根据sin n BE n BEθ⋅=⋅可得结果.【详解】（1）在AD 上存在点P ，且1AP =，使得平面//PCE 平面ABF ．理由如下：在AD 上取一点P ，使得1AP =，连接PC ，PE ． 因为//AP BC ，AP BC =，所以ABCP 为平行四边形，所以//PC AB ． 因为PC ⊄平面ABF ，AB平面ABF ，所以//PC 平面ABF ．又//AP EF ，AP EF =，所以APEF 为平行四边形，则//PE AF ． 又PE ⊄平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以//PE 平面ABF ． 因为PEPC P =，所以平面//PCE 平面ABF ．（2）在图（1）中，AD CE ⊥，所以在图（2）中，AD DE ⊥，AD CD ⊥． 又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，所以CD ⊥平面ADEF ，所以CD DE ⊥，则ED ，DC ，AD 两两垂直，所以以D 为原点，DA 、DC ，DE 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标D xyz -，则()0,0,0D ，()2,0,0A ，(E ，()B ，(F ，所以()AB =-，(AF =-，(1,BE =-．设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,AB n AF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩所以0,0.x x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩令x =1y =，1z =．所以()3,1,1n =．设直线BE 与平面ABF 所成的角为θ，则sin 5n BE n BEθ⋅-===⋅故直线BE 与平面ABF 【点睛】直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为ϕ，向量e 与n 的夹角为θ，则有||sin cos e n e n ϕθ⋅==．20．（1）168000；（2）分布列见解析；期望为2；（3）有99.9%的把握认为阅读时间与性别具有相关性． 【分析】（1）由题意，计算μ的值，然后根据正态分布的3σ原则求解()638<≤P Z ，从而利用总体计算人数；（2）计算得阅读时间在(]30,40的人数所占的频率为80002200005=，则服从二项分布，利用二项分布求解分布列与期望；（3）补全列联表，计算卡方，然后与临界值比较大小. 【详解】 （1）依题意，5200153700255300358000452300555003020000μ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==，则()230,8ZN ，故()()0.68270.997363830.842P Z P Z μσμσ+<≤=-<≤+==，故所求人数约为2000000.84168000⨯=人．（2）由题意，可得阅读时间在(]30,40的人数所占的频率为80002200005=， 所以2~5,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，X 的可能取值为0,1,2,3,4,5.所以()53243053125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()4152********C 553125625P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()23252310802162C 553125625P X ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3235237201443553125625P X C ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()24523240484C 553125625P X ⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()5232553125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， 故X 的分布列为：故()2525EX =⨯=． （3）完善列联表如下： 由于()221000300400200100166.6710.828500500400600K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有99.9%的把握认为阅读时间与性别具有相关性． 【点睛】独立性检验的一般步骤： ①根据样本数据制成22⨯列联表；②根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++计算2K 的值；③查表比较2K 与临界值的大小关系，作出统计判断． 21．（1）证明见解析；（2）4825． 【分析】（1）将()11,A x y ，()22,B x y 代入椭圆方程，作差可求得114AB A B k k ⋅=-，结合1AB AA ⊥可求得1114A B y k x =；利用两点连线斜率公式可求得11114D A A B y k k x ==，由此得到结论； （2）由（1）可得直线AB 方程，代入椭圆方程可得韦达定理的形式，结合韦达定理可表示出()12211111122211631224AA Bx y x y y Sx x x y +⨯⨯+=+=，结合()11,A x y 满足椭圆方程化简可得1111122112211244417AA Bx y y x Sx y y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=++，利用11112y x t x y +=≥得12494AA BS t t=+，由94y t t=+单调性可求得最大值. 【详解】（1）由题意知：点1A A ,关于原点对称，()111,A x y ∴--．()11,A x y ，()22,B x y 都在C 上，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：()2222212104x x y y -+-=．即()()2121212114y y y y x x x x ---⋅=----． 又2121AB y y k x x -=-，()()12121A B y y k x x --=--，114AB A B k k ∴⋅=-，则114A B AB k k =-． 又1AB AA ⊥，1111AB AA x k k y ∴=-=-，11111144A B y k x x y ∴=-=⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()()111111124A Dy y y kx x x ---==--，故11A D A B k k =，1,,A D B ∴三点共线． （2）由（1）得：直线AB 的方程为()22111111111x x x x y y x x y y y y +=--+=-+，将直线AB 的方程代入椭圆C 的方程，消去y 整理得：()()()2222222221111111148440xy x x x y x x y y +-+++-=，()2211112221184x x y x x x y +∴+=+．()()122111112112221163112224AA Bx y x y y SAD x x x x x y +∴=⨯⨯--=⨯⨯+=+， 221114x y +=，()()()1112211111122222211111122112424444417AA Bx y x y x y y x S x y x y x y y x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭∴==++++．令1111y x t x y +=，则2t ≥，（当且仅当11x y =时等号成立）． 1224249494AA Bt St t t∴==++．函数94y t t =+在[)2,+∞上单调递增，∴当2t =时，94y t t =+取得最小值252，故1AA B 面积的最大值为248242525⨯=． 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的最值问题主要有两种方法：（1）几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解； （2）代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数、不等式等方法进行求解． 22．（1）见解析；1M =-；（2）证明见解析． 【分析】（1）首先求出函数()f x 的导函数，通过讨论实数a ，解一元二次不等式，进而得到函数()f x 的单调性；将0a =代入函数()f x 求其最大值；（2）根据条件首先令x t e =，则原不等式等价于()(2)ln 11te e t t t --≥++，再进行变形可得(2)1ln 1t e e t t t ---≥+，根据（1）可得()ln 1f x x x =-≤-，故ln 1t t +≤，所以只需证明2(2)1t e e t t ---≥即可，可设函数2()(2)1t h t e e t t =----，通过对()h t 进行求导讨论单调性，证明()0h t ≥在()0+∞，上恒成立即可. 【详解】（1）由题意得，函数()f x 的定义域为0,，()()()()()2111111ax a x ax x f x ax a x x x -++--'=-++==()0x >， (i)当0a =时，()1xf x x-'=()0x >，0f x ，得01x <<；0fx，得1x >．所以()f x 在0,1上单调递增，在1,上单调递减，故()f x 的极大值为()11f =-，所以最大值1M =-．(ii)当0a <时，10ax ，0f x ，得01x <<；0f x ，得1x >．(iii)当0a >时，()()11a x x a f x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=()0x >， ①当01a <<时，令0f x，得01x <<或1x a>；0f x ，得11x a<<． ②当1a =时，0f x 在0,上恒成立．③当1a >时，令0fx，得10x a<<或1x >；令0f x ，得11x a<<． 综上所述，当0a ≤时，()f x 在0,1上单调递增，在1,上单调递减；当01a <<时，()f x 在0,1，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()f x 在0,上单调递增；当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，1,上单调递增，在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．（2）令x t e =，则0t >，原不等式等价于()()2ln 11te e t t t --≥++，即()21ln 1t e e t t t---≥+．首先证明()221t e e t t ---≥．设()()221t h t e e t t =----，则()22t h t e e t '=-+-，令()22t g t e e t =-+-，则()2tg t e '=-，则()h t '在()0,ln 2上单调递减，在()ln 2,+∞上单调递增． 又()03e 0h '=->，()10h '=，0ln 21<<，所以()ln 20h '<． 所以存在()00,ln 2t ∈使得()00h t '=，所以当()00,t t ∈时，()0h t '>，当()0,1t t ∈时，()0h t '<，当()1,t ∈+∞时，()0h t '>， 所以()h t 在()00,t ，1,上单调递增，在()0,1t 上单调递减．又()()010h h ==，所以()0h t ≥在0,上恒成立，即()221t e e t t ---≥对任意的()0,t ∈+∞恒成立，即()21t e e t tt ---≥；由（1）知当0a =时，()ln 1f x x x =-≤-，则ln 1t t ≥+， 所以()21ln 1t te e t t ---≥+，故()()2ln 11te e t t t --≥++，故不等式()()211xe x x e e e e x --≥++对任意的x ∈R 恒成立． 【点睛】证明不等式时，若不等式无法转化为一个函数的最值问题，可以借助两个函数的最值进行证明：第一类：想要证明()()f x g x ≥成立；只需证明()()f x h x ≥成立且()()h x g x ≥成立； 第二类：想要证明()()f x g x ≥成立，只需证明()()min max f x g x ≥成立即可.。
河南省天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试二理科数学试题
∴ ，
∴ 与 所成角的余弦值为 .
故选：B
点睛：求空间两条异面直线所成角的大小是立体几何中最为常见的基本题型之一。这类问题的求解一般有两条途径：其一是平移其中的一条直线或两条直线，将其转化为共面直线所成角，然后再构造三角形，通过解三角形来获得答案；其二是建立空间直角坐标系，借助空间向量的数量积公式，求出两向量的夹角的大小来获解.
对于D选项，特称命题的否定，需要该存在量词为全称量词，并否定结论，正确.
故选D
3．C
【解析】
若 ，由 可得 ,故A错误；
若 ， ，则 ，但 ，故B错误；
由 可得： ,若 则 ，所以D错误；
故选：C
4．A
【解析】
.
故选：A
5图），平移直线 ，易知直线经过可行域上的点 ， 取得最大值为1.
故选：B
点睛：本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.
6．C
河南省天一大联考2020-2021学年高二年级阶段性测试二理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．下列叙述正确的是（ ）
A．若 ，则
B．方程 表示的曲线是椭圆
8．B
【解析】
由 可得 ， .由 可得 ，整理可得 ，解得： 或 （舍去），
2020-2021学年河南省天一大联考高二阶段性测试(一)数学(理)试题及答案
2020－2021学年高二年级阶段性测试(一)数学(理科)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在△ABC 中，BC ＝10，sinA ＝31，则△ABC 的外接圆半径为 A.30 3 C.20 D.152.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋6，则a 5＝A.25B.30C.32D.643.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2－1013bc ，则cosA ＝ A.726 B.513 C.1726 D.12134.已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2a －20sinA ＝0，sinC ＝110，则c ＝ 2 2 2 2 5.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3＋a 8＝m ，S 10＝pm ，则p ＝A.3B.5C.6D.106.音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的“三分损益法”：以“宫”为基本音“宫”经过一次“损”，频率变为原来的32，得到“徵”，“徵”经过一次“益”，频率变为原来的34，得到“商”……依此规律损益交替变化，获得了“宫”“徵”“商”“羽”“角”五个音阶。
据此可推得A.“商”“羽”“角”的频率成公比为34的等比数列 B.“宫”“徵”“商”的频率成公比为32的等比数列 C.“宫”“商”“角”的频率成公比为98的等比数列 D.“角”“商”“宫”的频率成公比为12的等比数列 7.已知等比数列{a n }的首项a 1＝e ，公比q ＝e ，则数列{ln a n }的前10项和S 10＝A.45B.55C.110D.2108.已知等差数列{a n}的首项是2，公差为d(d∈Z)，且{a n}中有一项是14，则d的取值的个数为A.3B.4C.6D.79.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若coscosa Bb A=，sinA>sinB，则△ABC的形状一定是A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形10.一艘轮船按照北偏东42°方向，以18海里/时的速度沿直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东18°方向上，经过10分钟的航行，则灯塔与轮船原来的距离为A.5海里B.4海里C.3海里D.2海里11.已知数列{a n}满足a n＝()n62p n2n6p n6-⎧--≤⎪⎨>⎪⎩，，，(n∈N*)，且对任意的n∈N*都有a n＋1>a n，则实数p的取值范围是A.(1，74) B.(1，107) C.(1，2) D.(107，2)12.在钝角三角形ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且其面积为12(a2＋b2－c2)，则ba的取值范围是A.(0，2)∪(3，＋∞) B.(0，2)∪)C.(0，12)∪，＋∞) D.(0，12)∪，＋∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
天一大联考2020-2021学年高三阶段性测试(二)数学试题(含答案解析)
试卷类型:断高两版天一大联考2020-2021学年高中毕业班阶段性测试（二）考生注炼；1 .茶黑前,考生务必将由己的姓名、得生号附将在试总和答题卡上，畀将考生号备沙马格贴在卷题卡上 妁指定拉工.2 .回答选株越时，选出毋小题答第后,用能比把茶题卡对应始口的冬拿标号涂黑•如£改动，用他戌擦 干号后,再选涂其他答案标号.叫等非选舞题时，将答案写在芥题卡上・将在本试落上无效・3 .才被结束后，将本试落和在会卡L 外交囱.一,余项洁播超:本题共8小第，每小22 s 分，共40分.在每小册给出的四个洁项中■只有一项是符合题目要 求的. 1.已知集合 A 二卜12-»<8| ,B = {3]>51,财 4U& = A.（5,8）B.（2,8）C. [2f ♦«）D.（ -8,8）2・若发数中铝f 网周=3 .已知i 。
」是公差为-2的等差数列.且5 ,明，勾成等比数列J1，1 A. -1 B.3C.250.494 .已知△48C 是边长为2的等边三角形•其中M 为8c 边的中点，乙招C 的平分线交线段AM 于点M 则AM •前之 A.B. -5C 一 本D, -14 3 w5 .若函数式*） = cos x-^sin x #（ -a,a ）上有最大值,用。
的取值苞陶足A,信，fB.侍“） C 信用D.（普）6 .已知定义在R 上的儡函数/“）在（-,0）上单词递增，明 A./（2--） vf （l 崛6）（人岫 y ） BH2"*） </（1% </0叫6） C0吗6） <42"号）y ） D,/Q 隰6> /） <式2 +）7在三梭他/ -88中,AC =。
,点E 是4）的中点，则“平面雨口平面月CD”是“月6 = 6。
”的A.充分不必要条件 B,必要不充分条件 C,充要条件D.既不充分也不必要条件8 .已知定义在R 上的曲数/（"满足/"） =4 -/（2 -G,若函数Y 与函数了 =〃幻的图象的交点为 .（*（ ,夕J,（孙必），…■（&，九），则工（与*7*）= A. nB.争C.3nt>.6n二、多项选择题;本题共4小题,将小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分,9 .将函数y = 86 2名的图象上所有点向左平移上个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数y 二人动 的图绝容★启用前象，则⑷的图象的对称轴方程为刀二-泰+竽(A w Z)B J0)的图象的对称中心坐标为(竽+赤0)a W为C.汽乃的单调递增区间为［-碧+。
天一大联考2020—2021 学年高中毕业班阶段性测试(二)数学试卷(WORD版)
l 绝密★启用前试卷类型：新高考版天一大联考2020—2021 学年高中毕业班阶段性测试（二）数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单项选择题：本题共8小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合A ={x |2≤x < 8 } ,B={x | x> 5} , 则A U B =A.(5,8)B.[2,8)C.[2,+∞)D. (-∞ ,8)2.若复数z=4(1i)34iz+=+,则|z|＝A.45B.35C.253.已知{a n}是公差为-2 的等差数列，且a1,a11, a13成等比数列，则a12 =A.-1B. 3C. 25D. 494.已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，其中M为BC边的中点，∠ABC的平分线交线段AM于点N , 则AM BN=A.14- B.13- C.23- D. -15.若函数()cosf x x x=在( -a , a)上有最大值，则a的取值范围是A. (π6, +∞) B. (π3, +∞) C. (π6,5π6) D.π2π(,)336.已知定义在 R上的偶函数f ( x) 在(-∞ ,0 ) 上单调递增，则A.341441(2)(log6)(log)5f f f-<< B.344141(2)(log)(log6)5f f f-<<C.341441(log6)(2)(log)5f f f-<<D.341441(log6)(log)(2)5f f f-<<7.在三棱锥A-BCD中，AC=CD, 点E是AD的中点,则“平面BCE⊥平面ACD”是“AB = BD”的A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知定义在 R 上的函数f ( x ) 满足f ( x ) = 4 - f (2 -x ) , 若函数211x y x -=-与函数 y =f ( x ) 的图 象的交点为(x 1，y 1) , (x 2，y 2),…, (x n ，y n )，则 1()nk k k x y =+∑=A.nB. 3n2C.3nD.6n 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分 在每小题给出的四个选项中 ，有多项符合题目要求全部选对的得5 分，部分选对的得3 分，有选错的得0 分9. 将函数 y = cos 2x 的图象上所有点向左平移π6个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到函数 y =f (x )的图象，则A. f ( x ) 的图象的对称轴方程为ππ()62k x k =-+∈Z B.f ( x ) 的图象的对称中心坐标为ππ(,0)()212k k +∈ZC.f ( x ) 的单调递增区间为2ππ[π,π)()36k k k -+-+∈ZD.f ( x ) 的单调递减区间为 π2π[π,π]()63k k k ++∈Z10. 设实数a , b , c 满足 e a = ln b =1-c , 则下列不等式可能成立的有 A. a <b <c B. a <c <b C. c <a < b D. c <b < a 11. 巳知圆锥的底面半径为1, 其侧面展开图是一个半圆，设圆锥的顶点为 V , A , B 是底面圆周上的两个动点，则 A.圆锥的侧面积为4πB.VA 与圆锥底面所成角的大小为60 °C. △VAB 可能为等腰直角三角形D.△VAB 面积的最大值为 312. 德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中，首次定义了取整函数[ x ], 表示“ 不超过 x的最大整数” ，后来我们又把函数[ x ] 称为“高斯函数” ，关于[ x ] 下列说法正确的是 A ．对任意 x , y ∈R , 都有[ x + y ]≥[ x ] +[y ] B ．函数y ＝[x +2x ] 的值域为{y ∈Z| y ≤-2 或 y ≥2}C. 函数 y = x －[x ]在区间[ k , k + l ) ( k ∈ Z ) 上单调递增D. 20201[lg ]4953()k k k ==∈∑Z三、填空题：本题共4 小题 ，每小题 5 分，共20 分13. 函数f ( x ) = 212log (23)x x --+的单调递增区间为 .14. 已知△ABC 中， 角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,A = 60 ° , B = 45 ° , a = 6 , 则∠.ABC 的面积为 .15. “可数集”是现代集合理论中的一个基本概念，可以理解为满足如下条件的一类集合：存在一个数列，包含了集合中的所有元素，且任意元素在该数列中都至少有一个确定的位置．例如，正有理数集是一个可数集，且被包含在如下数列中：1213214321,,,,,,,,,,1121231234，依照此规律，则该数列前100项中有 项的值等于l.16. 设单位向量a , b 的夹角为α , 向量c = c o s 2α2a + si n 2α2b , 则 |c | 的最小值为．四、解答题：共 70 分 解 答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. ( 10 分})已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ,a 2a 4 =21,S 7 =49. ( I )求{a n }的通项公式( II ) 从①11n n n b a a +=,②2log 0n n a b +=两个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．数列{b n }满足 ，其前 n 项和为T n ,求使得T n <M 恒成立的实数M 的最小值.注：若选择两个条件分别解答，则按笫一个解答计分．18. (12 分）设△ABC 中， 角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c . ( I ) 证明：a = b cos C + c cos B ; ( II ) 若 a =8 ,c =7 , 且2cos cos a b cB C-=，求△ABC 的周长19. ( 12 分）从某市的一次高三模拟考试中，抽取3 000 名考生的数学成绩（单位：分），并按[ 75 , 85) , [ 85, 105) , [105, 115 ) , [115, 125 ) , [125, 135) , [135,145 ]分成7 组，制成频率分布直方图，如图所示．( I ) 估计这3 000 名考生数学成绩的平均数x 和方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；( II ) 由直方图可认为该市考生数学成绩X 服从正态分布 N (µ，σ2)，其中µ , σ2分别 为( I) 中的x 和方差s 2，据此估计该市10 000 名考生中数学成绩不低于 122 分的人数（结果精确到整数）．附：6≈2. 4. 若X ~ N (µ，σ2)，则 P (µ-σ < X <(µ+σ) =0.6827.20. (12 分）如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD中CD//AB，AB⊥BC，侧面ABE⊥平面ABCD, 且AB=AE= BE =2BC=2CD =4, 点M在棱AE上，且MA=2EM.( I ) 证明：CE//平面BDM;( II ) 求二面角E- BD- M的余弦值21. (1 2 分）已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的离心率为3，且4 , a , b成等比数列( I ) 求E的标准方程；( II ) 过点P (0,35-)的直线l与椭圆E交于A, B两点，证明：以线段AB为直径的圆过定点.22. (1 2 分）已知函数f ( x) =2x–e x·( I )求函数f ( x )的图象在点( 0 ,f ( 0 ) ) 处的切线方程；( II) 若存在两个不相等的数x1, x2,满足f (x1)= f (x2) , 求证：x1+ x2<2ln2.。
河南省天一大联考2020-2021学年高二上学期阶段性测试(二)数学(理)试题
【分析】
根据含量词的命题的否定，即可求出答案.
【详解】
命题“ ， ”的否定为：
， ，
故选：B
【点睛】
本题主要考查了含量词命题的否定，属于容易题.
4．B
【分析】
根据指数函数的性质以及充分必要条件的定义判断即可．
【详解】
是增函数，需满足 ，
“函数 是增函数”是“ ”的必要不充分条件，
故选B．
【点睛】
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
化简集合A，求A，B交集即可.
【详解】
， ，
所以 .
故选：A
【点睛】
本题考查一元二次不等式的解法以及集合的运算,属于容易题.
2．C
【分析】
根据不等式的性质，结合条件分析，即可求出答案.
【详解】
由不等式性质知，当 时，
有 ， ， ， 成立，
故选：C.
【点睛】
本题考查不等式的基本性质及对数函数、指数函数的单调性，属于容易题.
A．1B． C．2D．
7．在 中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若 且 ，则 （）
A． B． C． D．
8．已知抛物线 的焦点为F，准线为l，点 在抛物线C上， 与直线l相切于点E，且 ，则 的半径为（）
A． B． C．2D．
9．设椭圆 与双曲线 有公共焦点，过它们的右焦点F作x轴的垂线与曲线 ， 在第一象限分别交于点M，N，若 （O为坐标原点），则 与 的离心率之比为（）
A． B． C． D．
10．如图，在三棱锥 中， 平面ABC， ， ， .以点B为原点，分别以 ， ， 的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，设平面PAB和PBC的法向量分别为 和 ，则下面选项中正确的是（）