第一讲-坐标系
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坐标系(极坐标系)
例1 说出下图 中各点的极坐标 标出(2, π/6), (4, 3π/4), (3.5, 5π/3) 所在位置。
2
4
C
5 6
4 3
E
D O
B
A X
F
G
5 3
练习: 在图中标出点
5 H ( 3, ), P (4, ), Q(6, ) 6 2 3
2
5 6
P
C E D B A
5 7 A(5, ), B (8, ), C (3, ) 2 6 6
判断ΔABC的形状. 9 在极坐标系中,已知 A(2,
6 ), B(4, 5 ), 求A,B两点的距离 6
极坐标与直角坐标的区别:
平面直角坐系 定位 方式 点与 坐标 要素 本质 横坐标、纵坐标 极坐标系 角度和距离
点与坐标 点与极坐标不 一一对应 一一对应 原点，x，y 极点，极轴，长 轴长度单位和正 度单位；角度单位和 方向 正方向 两直线相交定点 圆与射线相交定点
练习
四个坐标中能表示点M的坐标是（ ）
1 2 5 即( x 1) ( y ) 2 4
2
1 5 这是以点(1, )为圆心，半径为 的圆。 2 2
5 极坐标方程 sin 2 2 cos 0 表示的曲线是___
抛物线
6 极坐标方程 4 sin2 3 所表示的曲线是（ B ）
A.两条射线 B.两条相交直线 C.圆 D.抛物线
在同一极坐标系中, 有如下极坐标：
5 11 7 (6, ), (6, ), (6, ), (6, ) 3 3 3 3
这些极坐标之间有何异同？
极径相同，极角不同。 这些极角有何关系？ 极角的始边相同，终边也相同， 即:它们是终边相同的角。 这些极坐标所表示的点有什么关系? 它们表示同一个点。
第一讲.极坐标
第一讲：坐标系 1.坐标系的种类（直角坐标系、空间直角坐标系、极坐标系）2.直角坐标系的运用（实现了数形结合，用坐标法研究几何位置形状等问题）【例1（课本）】一炮弹在某处爆炸,在A 处听到爆炸的时间比在B 处晚2s,已知A 、B 两地相距800米，并且此时的声速为340m/s,求曲线的方程【练习】用两种以上的方法证明：三角形的三条高线交于一点。
3.平面直角坐标系中的伸缩变换定义：_____________________________________________________________.【例2（课本）】在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换''23x x y y⎧=⎨=⎩后的图形。
（1）2x+3y=0; (2) 221x y +=【练习】 1、在同一平面坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧='='yy x x ,3后，曲线C 变为曲线9922='+'y x ，求曲线C 的方程并画出图象。
2、把圆2216x y +=变成椭圆22116y x ''+=的伸缩变换为 3、在同一坐标系中将直线321x y +=变成直线''22x y +=的伸缩变换为4.极坐标系：（1）实用背景（2）极坐标系定义__________________________________________(3)相关概念：__________________叫极径_______________极角____________极坐标考点一：由点的位置确定极坐标例1 写出下图中各点的极坐标（见教材14页）A （4，0）B （2 ）C （ ）D （ ）E （ ）F （ ）G （ ）① 平面上一点的极坐标是否唯一？② 若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？③ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角。
第一讲 坐标系 知识归纳 课件(人教A选修4-4)
π ＋(y－2) ＝4，圆心为(0,2)．将 θ＝ (ρ∈R)化成直角坐标方 6
2
程为 x－ 3y＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的 |0－2 3| 距离 d＝ ＝ 3. 2
答案： 3
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2.(2012· 上海高考)如图，在极坐标系中， π 过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 α＝ . 6 若将 l 的极坐标方程写成 ρ＝f(θ)的形式， 则 f(θ)＝________.
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解析：在直线 l 上任取点 P(ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定 OM OP 2 ρ 理得 ＝ ，即 ＝ ，化简得 ρ π 5π sin∠OPM sin∠OMP sin －θ sin 6 6 1 1 ＝ ，故 f(θ)＝ . π π sin －θ sin －θ 6 6
1 答案： π sin －θ 6
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在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，
θ)＝0 如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的， 则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程． 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线 的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上 的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足
(2)点 M 的直角坐标为(1， 3)，直线 l 过点 M 和原点， ∴直线 l 的直角坐标方程为 y＝ 3x. 曲线 C 的圆心坐标为(1,1)，半径 r＝ 2，圆心到直线 l 的 3－1 距离为 d＝ ，∴|AB|＝ 3＋1. 2
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方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为
________．
[解析] 将 ρ＝2cos θ 化为 ρ2＝2ρcos θ，即有
2
程为 x－ 3y＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的 |0－2 3| 距离 d＝ ＝ 3. 2
答案： 3
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2.(2012· 上海高考)如图，在极坐标系中， π 过点 M(2,0)的直线 l 与极轴的夹角 α＝ . 6 若将 l 的极坐标方程写成 ρ＝f(θ)的形式， 则 f(θ)＝________.
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解析：在直线 l 上任取点 P(ρ，θ)，在△OPM 中，由正弦定 OM OP 2 ρ 理得 ＝ ，即 ＝ ，化简得 ρ π 5π sin∠OPM sin∠OMP sin －θ sin 6 6 1 1 ＝ ，故 f(θ)＝ . π π sin －θ sin －θ 6 6
1 答案： π sin －θ 6
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在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，
θ)＝0 如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的， 则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程． 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线 的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上 的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足
(2)点 M 的直角坐标为(1， 3)，直线 l 过点 M 和原点， ∴直线 l 的直角坐标方程为 y＝ 3x. 曲线 C 的圆心坐标为(1,1)，半径 r＝ 2，圆心到直线 l 的 3－1 距离为 d＝ ，∴|AB|＝ 3＋1. 2
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方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为
________．
[解析] 将 ρ＝2cos θ 化为 ρ2＝2ρcos θ，即有
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-4第一讲-坐标系
3．点的空间坐标的互相转化公式 设空间一点 P 的直角坐标为(x，y，z)，柱坐标为(ρ，θ，z)，球 坐标为(r，φ，θ)，则 空间直角坐标(x，y，z) x＝ y＝ z＝ x＝ y＝ z＝ 转换公式 ， ，
柱坐标(ρ，θ，z)
球坐标(r，φ，θ)
， ，
1.(ρ，θ，z) 空间的点 自我 校对 2.正向 标系 逆时针 球坐标 ρsinθ z
(3)在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0 为不等于 0 的常数)表示圆心在 极点，半径为 ρ0 的圆，方程 θ＝θ0(θ0 为常数)表示与极轴成 θ0 角的 射线．而在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0 表示中心轴为 z 轴，底 半径为 ρ0 的圆柱面， 它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的． 方 程 θ＝θ0 表示与 Oxz 坐标面成 θ0 角的半平面．方程 z＝z0 表示平行 于 Oxy 坐标面的平面． 常把上述的圆柱面、 半平面和平面称为柱坐 标系的三族坐标面．
π π 2，6，4，则点 M 的柱坐
)
π π 2，4， 6 B. 2，4， 6 π π 2，6，2 2 D. 2，6， 2
解析 因为点 M
的球坐标为2
π π π 2，6，4，即 r＝2 2，φ＝ ， 6
π θ＝ ，故点 M 的直角坐标为 4 π π x＝rsinφcosθ＝2 2sin cos ＝1， 6 4 π π y＝rsinφsinθ＝2 2sin sin ＝1， 6 4 π z＝rcosφ＝2 2cos ＝ 6. 6
2．球坐标系与球坐标
一般地，如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.设 P 是空间任 意一点，连接 OP，记|OP|＝r，OP 与 Oz 轴________所夹的角为 φ. 设 P 在 Oxy 平面上的射影为 Q，Ox 轴按________方向旋转到 OQ 时所转过的 ________ 为 θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组 ________表示．这样空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种 对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做 ________(或空间极 坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做 P 的________，记作 P(r，φ，θ)， 其中 r≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π.
人教版高中数学选修4-4--第一讲-坐标系-1.4--柱坐标系与球坐标系简介ppt课件
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ 之间的变换关系为：____x_2_＋__y2_＋__z_2＝__r_2，___.
x＝rsin φcos θ ， y＝rsin φsin θ ， z＝rcos φ
预习 思考
(1,1,1)
1．设
P
点
柱
坐
标
为
2，π4，1 . 则 它 的 直 角 坐 标 为
____________．
2．设点 M 的球坐标为2，34π，34π，它的直角坐标为 ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
(－1,1，－ 2)
题型1 柱坐标、球坐标的确定
例1 如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB 6 3，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点 以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱 标、球坐标．
变式 训练
1．建立如下图所示的柱坐标系，写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标．
变式 训练
变式 训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M
的
柱
坐
标
为
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ 之间的变换关系为：____x_2_＋__y2_＋__z_2＝__r_2，___.
x＝rsin φcos θ ， y＝rsin φsin θ ， z＝rcos φ
预习 思考
(1,1,1)
1．设
P
点
柱
坐
标
为
2，π4，1 . 则 它 的 直 角 坐 标 为
____________．
2．设点 M 的球坐标为2，34π，34π，它的直角坐标为 ____ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ_______．
(－1,1，－ 2)
题型1 柱坐标、球坐标的确定
例1 如图所示，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长 AB 6 3，AD＝6，AA1＝12，以这个长方体的顶点 A 为坐标原点 以射线 AB、AD、AA1 分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴， 立空间直角坐标系，求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱 标、球坐标．
变式 训练
1．建立如下图所示的柱坐标系，写出棱长为 1 的正方
各顶点的柱坐标．
变式 训练
变式 训练
题型2 柱、球坐标与直角坐标的互化
例2
已知点
M
的
柱
坐
标
为
第1讲坐标系种类及坐标转换
第1讲坐标系种类及坐标转换在数学和物理学中，坐标系是用于表示和定位点的一组数学规则。
它可以帮助我们在平面或空间中精确地描述和测量位置、方向和距离。
坐标系通常由坐标轴和原点组成，坐标轴是一条直线，它们与原点形成直角。
有多种类型的坐标系，每一种都有特定的用途和应用。
以下是常见的几种坐标系：1.直角坐标系：直角坐标系也称为笛卡尔坐标系，是最常见的坐标系。
它由两条垂直的坐标轴和一个原点组成。
坐标轴可以是水平的x轴和垂直的y轴，或者在三维空间中可以加上一个垂直的z轴。
直角坐标系使用(x,y,z)来表示点的坐标，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置，z表示点在z轴上的位置。
2.极坐标系：极坐标系用于描述平面上的点，它由一个原点和一个角度和距离组成。
极坐标系以原点为中心，用一个角度（通常用弧度表示）表示点与参考线（通常是x轴）之间的角度，用一个距离表示点与原点之间的距离。
极坐标系使用(r,θ)来表示点的坐标，其中r表示点与原点的距离，θ表示点与参考线之间的角度。
3.柱坐标系：柱坐标系是三维空间中的一种坐标系，它由一个原点、一个角度、一个距离和一个高度组成。
柱坐标系类似于极坐标系，但增加了一个垂直的z轴来表示高度。
柱坐标系使用(r,θ,z)来表示点的坐标，其中r表示点与原点的水平距离，θ表示点与参考线（通常是x轴）之间的角度，z表示点的高度。
4.球坐标系：球坐标系也是三维空间中的一种坐标系，它由一个原点、一个纬度、一个经度和一个距离组成。
球坐标系使用(r,θ,φ)来表示点的坐标，其中r表示点与原点的距离，θ表示点与参考线（通常是z轴）之间的纬度，φ表示点在参考平面上的经度。
在不同的坐标系之间进行转换时，我们需要使用特定的转换公式。
以直角坐标系和极坐标系为例，我们可以使用以下公式进行转换：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)r = sqrt(x^2 + y^2)θ = atan2(y, x)这些公式使我们能够在不同坐标系之间相互转换，并确保保持位置的准确性。
人教版高中数学选修4-4课件：第一讲二极坐标
4．写出下图中各点的极坐标：
A________，B________，C________． 答案：(4，0) 2，π4 3，π2
5．极坐标系中，与点3，－π3关于极轴所在直线对 称的点的极坐标是________．
答案：3，π3
类型 1 极坐标系与点的极坐标(自主研析) [典例 1] (1)写出下图中各点的极坐标(ρ>0，0≤ θ<2π，且各线之间间距相等)．
法二 将点 A 化为直角坐标为( 3，1)，点 B 化为直 角坐标为( 3，－1)．所以 A、B 两点间的距离
d＝ （ 3－ 3）2＋[1－（－1）]2＝2. (2)如下图所示：
关于极轴的对称点为 B2，－π3. 关于直线 l 的对称点为 C2，23π. 关于极点 O 的对称点为 D2，－23π.
归纳升华 1．点(ρ，θ)关于极轴的对称点是(ρ，－θ)或(ρ，2π－ θ)，关于极点的对称点是(ρ，π＋θ)，关于过极点且垂直 于极轴的直线的对称点是(ρ，π－θ)．
2．求极坐标系中两点间的距离应通过由这两点和极 点 O 构成的三角形求解，也可以运用两点间距离公式|AB| ＝ ρ21＋ρ22－2ρ1ρ2cos（θ1－θ2）求解，其中 A(ρ1，θ1)， B(ρ2，θ2)．注意当 θ1＋θ2＝2kπ(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1－ρ2|； 当 θ1＋θ2＝2kπ＋π(k∈Z)时，|AB|＝|ρ1＋ρ2|.
2．点的极坐标
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一 个点．特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．和直角坐 标不同，平面内一个点的极坐标有无数种表示方法．
如果规定 ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的 点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表 示的点也是唯一确定的．
--坐标系ppt(共38张PPT)
角.
高考总复习·数学理科（RJ）
第十四章 系列4选讲
（2）极坐标与直角坐标的互化
设 M 为平面内的一点，它的直角坐标为（x，y），极坐标为
（ρ，θ）.由图可知下面关系式成立：
x＝ρcos
y＝ρsin
θ， ρ2＝x2＋y2，
θ
或 tan
θ＝yx（x≠0）.
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第十四章 系列4选讲 这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
即 ρ＝4sin
3
θ－2cos
θ.
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第十四章 系列4选讲
【思维升华】 求曲线的极坐标方程的步骤：（1）建立适
当的极坐标系，设P（ρ， θ ）是曲线上任意一点；（2）由曲线
上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ
之间的关系式；（3）将列出的关系式进行整理、化简，得出曲 线的极坐标方程.
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第十四章 系列4选讲
【解析】 （1）设（x1，y1）为圆上的点，在已知变换下变 为曲线 C 上的点（x，y），依题意，得xy＝＝x21y，1.
由 x21＋y21＝1 得 x2＋2y2＝1， 即曲线 C 的方程为 x2＋y42＝1.
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第十四章 系列4选讲
第十四章 系列4选讲
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第十四章 系列4选讲
坐标系与参数方程 第1课时 坐标系
1.平面直角坐标系
设点 P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：
x′＝λ·x y′＝μ·y
（λ>0）， （μ>0） 的作用下，点 P（x，y）对应到点 P（ ′ x′，
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第十四章 系列4选讲
（2）极坐标与直角坐标的互化
设 M 为平面内的一点，它的直角坐标为（x，y），极坐标为
（ρ，θ）.由图可知下面关系式成立：
x＝ρcos
y＝ρsin
θ， ρ2＝x2＋y2，
θ
或 tan
θ＝yx（x≠0）.
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第十四章 系列4选讲 这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
即 ρ＝4sin
3
θ－2cos
θ.
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第十四章 系列4选讲
【思维升华】 求曲线的极坐标方程的步骤：（1）建立适
当的极坐标系，设P（ρ， θ ）是曲线上任意一点；（2）由曲线
上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ
之间的关系式；（3）将列出的关系式进行整理、化简，得出曲 线的极坐标方程.
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第十四章 系列4选讲
【解析】 （1）设（x1，y1）为圆上的点，在已知变换下变 为曲线 C 上的点（x，y），依题意，得xy＝＝x21y，1.
由 x21＋y21＝1 得 x2＋2y2＝1， 即曲线 C 的方程为 x2＋y42＝1.
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第十四章 系列4选讲
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第十四章 系列4选讲
坐标系与参数方程 第1课时 坐标系
1.平面直角坐标系
设点 P（x，y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 φ：
x′＝λ·x y′＝μ·y
（λ>0）， （μ>0） 的作用下，点 P（x，y）对应到点 P（ ′ x′，
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因为 x y c BE ( c, ), CF ( x, y ), 2 2 2 2 x c y 所以BE CF ( c)( x) 0. 2 2 2
所以2x2+2y2+2c2-5cx=0.
=-(2x2+2y2+2c2-5cx)/4=0
因此，BE与CF互相垂直.
4
4 3
HO
G
X
F
5 Q3
一般地，不作特别说明，我们认为≥0，可以取 任意实数。 约定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。
0, R
建立了极坐标后，给定ρ、，就可以在平面内惟一 确定点M， 反过来，给定平面内任意一点，也可以找到它的 极坐标(，)。
点与它的极坐标是否一一对应？
x' x 1 D y' y 1
2 2 x y 2 x 0 变成曲线 x'2 16 y'2 4 x' 0 4 曲线
的伸缩变换是
.
x' 2 x x' 2 x 与伸缩变换 y' 2 y 的作用下， 5 在伸缩变换 y' y
同理，PN = ( x 2) y 1
2 2
2 2 2 2 ( x 2 ) 则PM =PO1 -MO1 = 2 2 2
y2 1
( x 2)2 y 2 1 2[( x 2)2 y 2 1]
x 12x y 3 0, ( x 6) y 33,
第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
观测点
声响定位问题
某中心接到其正东、 正西、正北方向三个观测 观测点 信息中心 点的报告：正西、正北两 y 个观测点同时听到一声巨 响，正东观测点听到巨响 C 的时间比其他两个观测点 晚4s，已知各观测点到中 P 心的距离都是1020m，试 确定该巨响的位置。(假定 当时声音传播的速度为 O 340m/s，各相关点均在同 B 一平面上). 观测点
分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从教学楼向北偏西400走50米！ 出发点
方向 （角度）
距离
在生活中人们经常用一个基点、参照方向和距离 来表示一点的位置
——它直观、方便
这种用一个基点、参照方向和距离表示平面上一点 的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
极坐标系的概念： 在平面内取一个定点O，叫做极点。 自极点引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和角度单位（一般用弧度制） 及它的正方向（通常取逆时针方向）。
x
即在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，若设点P(x,y) 经变换得到点为P’(x’, y’)，坐标对应关系为: 1 x x 2 ③ y 3 y 把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换
定义: 设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换:
2 2
二 平面直角坐标系 中的伸缩变换
思考： 怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
y
O
2
x
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x, y)，保持纵坐标不 变，将横坐标x缩为原来的1/2，就得到正弦曲线y=sin2x。 上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换 即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点， 保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到点 P’(x’, y’)，坐标对应关系为： 1 我们把①式叫做平面直角坐 x x 2 ① 标系中的一个坐标压缩变换。 y y
x2 y2 1( x 0) 所以双曲线的方程为： 2 2 680 5 340
用y=－x代入上式，得 x 680 5 , y 680 5 ,
坐标法
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系， 注意以下原则： (1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
x' x : y' y ( 0) ( 0)
的作用下，点P(x, y) 对应P’(x’, y’). 称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。 上述①②③都是坐标伸缩变换，在它们的作用下, 可以实现平面图形的伸缩。
① 0, 0 ②把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换 可以用坐标伸缩变换得到； ③在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直 角坐标系下进行伸缩变换。
例3 在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形 经过伸缩变换: x 2 x y 3 y 后的图形。 (2) x2+y2=1 (1) 2x+3y=0;
x x 2 x 解：(1)由伸缩变换 得到 y 3y y；
1 x x 2 (2)将 1 y y 3
在同一极坐标系中, 有如下极坐标：
5 11 7 (6, ), (6, ), (6, ), (6, ) 3 3 3 3
这些极坐标之间有何异同？
极径相同，极角不同。 这些极角有何关系？ 极角的始边相同，终边也相同， 即:它们是终边相同的角。 这些极坐标所表示的点有什么关系? 它们表示同一个点。
例1.已知△ABC的三边a, b, c满足b2+c2=5a2,BE,CF 分别为边AC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系 y 探究BE与CF的位置关系。 C 解：以△ABC的顶点Ａ为原 点Ｏ,边AB所在的直线x轴，建立 E 直角坐标系，由已知，点A、B、 F的坐标分别为 A(0, 0) , B(c, 0) , F(c/2, 0). O (A) F Bx 设C点坐标为(x,y)，则点E的坐标为(x/2,y/2)， 由b2+c2=5a2，|AC|2+|AB|2=5|BC|2， 即x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2]，
后的曲线方程是 . ）
4 x'2 9 y'2 36 则曲线C的方程是
3 将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（
x' A y' 2 x 3 3 y 2
x' B y' 3 x 2 2 y 3
x' y C y' x
例1 说出下图 中各点的极坐标 标出(2, π/6), (4, 3π/4), (3.5, 5π/3) 所在位置。
2
4
C
5 6
4 3
E
D O
B
A X
F
G
5 3
练习: 在图中标出点
5 H ( 3, ), P (4, ), Q(6, ) 6 2 3
2
5 6
P
C E D B A
点的极坐标的统一表达式: 一般地： 极坐标 , 与 , 2k k Z 表示同一个点。 平面内点的极坐标有无数种表示。 点的直角坐标呢？ 当极角的取值范围 是[0,2π)时,
M
O
X
平面上的点(除去极点)就与极坐标(，)建立 一一对应的关系.我们约定,极点的极坐标是极径 =0,极角是任意角。
极坐标与直角坐标的区别:
平面直角坐系 定位 方式 点与 坐标 要素 本质 横坐标、纵坐标 极坐标系 角度和距离
点与坐标 点与极坐标不 一一对应 一一对应 原点，x，y 极点，极轴，长 轴长度单位和正 度单位；角度单位和 方向 正方向 两直线相交定点 圆与射线相交定点
练习
四个坐标中能表示点M的坐标是（ ）
由|PA|=|PB|得 x 6 y 5 0
2
第一讲 坐标系
极坐标系
如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。 (1)他向东偏600方向走 (2)如果有人打听体 120m后到达什么位置？该 育馆和办公楼的位置，他 位置惟一确定吗？ 应如何描述？
实验楼
图书馆
120m 办公楼 40度 60度 50m 教学楼 60m 体育馆
单位圆x 2 y 2 1 分别变成什么图形？
6. 已知点A为定点，线段BC在定直线 l 上滑动，已知 |BC|=4，点A到直线 l 的距离为3，求∆ABC的外心的 轨迹方程。
以 l 为X轴，过定点A垂直于X轴的直线为Y轴建 立直角坐标系， 设∆ABC外心为P（x,y）, 则A（0，3）B（x-2, 0）C(x+2, 0),
直线仍然变成直线， 而圆可以变成椭圆， 那么椭圆可以变成圆吗？ 抛物线、双曲线变成什么曲线？
练习：
x' 2 x 1 求下列点经过伸缩变换 后的点的坐标： y' 3 y
①（1，2）； ②（-2，-1）.
2 曲线C经过伸缩变换
x' y'
1 x 3 1 y 2
1 已知点M的极坐标为 5， ，下列所给出的 3
A. C.
5， 3
2 5， 3
B.
D.
4 5， 3 5 5， 3
2 在极坐标系中,已知三点 M ( 2, ), N (1,0), P ( 2 3 , ) 3 6 判断M, N, P三点是否在一条直线x轴，建立直角 坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点， 则 A(1020, 0), B(－1020, 0), C(0, 1020) 设P（x, y）为巨响声点， y 由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|， C P 故P在BC的垂直平分线PO上， PO 的方程为 － x5 ， 即P (680 5y= ,680 ), 故PO 680 10 B 因 A点比B点晚4s听到爆炸声，450, 距中心 680 o A m x 10 答: 巨响发生在信息中心的西偏北 故|PA|－ |PB|=340×4=1360 x2 y2 由双曲线定义P点在以A, B为焦点的双曲线 2 2 1 上 a b a=680, c=1020, b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.
所以2x2+2y2+2c2-5cx=0.
=-(2x2+2y2+2c2-5cx)/4=0
因此，BE与CF互相垂直.
4
4 3
HO
G
X
F
5 Q3
一般地，不作特别说明，我们认为≥0，可以取 任意实数。 约定：极点的极坐标是=0，可以取任意角。
0, R
建立了极坐标后，给定ρ、，就可以在平面内惟一 确定点M， 反过来，给定平面内任意一点，也可以找到它的 极坐标(，)。
点与它的极坐标是否一一对应？
x' x 1 D y' y 1
2 2 x y 2 x 0 变成曲线 x'2 16 y'2 4 x' 0 4 曲线
的伸缩变换是
.
x' 2 x x' 2 x 与伸缩变换 y' 2 y 的作用下， 5 在伸缩变换 y' y
同理，PN = ( x 2) y 1
2 2
2 2 2 2 ( x 2 ) 则PM =PO1 -MO1 = 2 2 2
y2 1
( x 2)2 y 2 1 2[( x 2)2 y 2 1]
x 12x y 3 0, ( x 6) y 33,
第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
观测点
声响定位问题
某中心接到其正东、 正西、正北方向三个观测 观测点 信息中心 点的报告：正西、正北两 y 个观测点同时听到一声巨 响，正东观测点听到巨响 C 的时间比其他两个观测点 晚4s，已知各观测点到中 P 心的距离都是1020m，试 确定该巨响的位置。(假定 当时声音传播的速度为 O 340m/s，各相关点均在同 B 一平面上). 观测点
分析上面这句话，他告诉了问路人什么？
从教学楼向北偏西400走50米！ 出发点
方向 （角度）
距离
在生活中人们经常用一个基点、参照方向和距离 来表示一点的位置
——它直观、方便
这种用一个基点、参照方向和距离表示平面上一点 的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
极坐标系的概念： 在平面内取一个定点O，叫做极点。 自极点引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和角度单位（一般用弧度制） 及它的正方向（通常取逆时针方向）。
x
即在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x,y)，若设点P(x,y) 经变换得到点为P’(x’, y’)，坐标对应关系为: 1 x x 2 ③ y 3 y 把这样的变换叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换
定义: 设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换:
2 2
二 平面直角坐标系 中的伸缩变换
思考： 怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=sin2x?
y
O
2
x
在正弦曲线y=sinx上任取一点P(x, y)，保持纵坐标不 变，将横坐标x缩为原来的1/2，就得到正弦曲线y=sin2x。 上述变换实质上就是一个坐标的压缩变换 即：设P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点， 保持纵坐标y不变，将横坐标x缩为原来1/2，得到点 P’(x’, y’)，坐标对应关系为： 1 我们把①式叫做平面直角坐 x x 2 ① 标系中的一个坐标压缩变换。 y y
x2 y2 1( x 0) 所以双曲线的方程为： 2 2 680 5 340
用y=－x代入上式，得 x 680 5 , y 680 5 ,
坐标法
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系， 注意以下原则： (1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
x' x : y' y ( 0) ( 0)
的作用下，点P(x, y) 对应P’(x’, y’). 称 为平面直角坐标系中的伸缩变换。 上述①②③都是坐标伸缩变换，在它们的作用下, 可以实现平面图形的伸缩。
① 0, 0 ②把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换 可以用坐标伸缩变换得到； ③在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直 角坐标系下进行伸缩变换。
例3 在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形 经过伸缩变换: x 2 x y 3 y 后的图形。 (2) x2+y2=1 (1) 2x+3y=0;
x x 2 x 解：(1)由伸缩变换 得到 y 3y y；
1 x x 2 (2)将 1 y y 3
在同一极坐标系中, 有如下极坐标：
5 11 7 (6, ), (6, ), (6, ), (6, ) 3 3 3 3
这些极坐标之间有何异同？
极径相同，极角不同。 这些极角有何关系？ 极角的始边相同，终边也相同， 即:它们是终边相同的角。 这些极坐标所表示的点有什么关系? 它们表示同一个点。
例1.已知△ABC的三边a, b, c满足b2+c2=5a2,BE,CF 分别为边AC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系 y 探究BE与CF的位置关系。 C 解：以△ABC的顶点Ａ为原 点Ｏ,边AB所在的直线x轴，建立 E 直角坐标系，由已知，点A、B、 F的坐标分别为 A(0, 0) , B(c, 0) , F(c/2, 0). O (A) F Bx 设C点坐标为(x,y)，则点E的坐标为(x/2,y/2)， 由b2+c2=5a2，|AC|2+|AB|2=5|BC|2， 即x2+y2+c2=5[(x-c)2+y2]，
后的曲线方程是 . ）
4 x'2 9 y'2 36 则曲线C的方程是
3 将点（2，3）变成点（3，2）的伸缩变换是（
x' A y' 2 x 3 3 y 2
x' B y' 3 x 2 2 y 3
x' y C y' x
例1 说出下图 中各点的极坐标 标出(2, π/6), (4, 3π/4), (3.5, 5π/3) 所在位置。
2
4
C
5 6
4 3
E
D O
B
A X
F
G
5 3
练习: 在图中标出点
5 H ( 3, ), P (4, ), Q(6, ) 6 2 3
2
5 6
P
C E D B A
点的极坐标的统一表达式: 一般地： 极坐标 , 与 , 2k k Z 表示同一个点。 平面内点的极坐标有无数种表示。 点的直角坐标呢？ 当极角的取值范围 是[0,2π)时,
M
O
X
平面上的点(除去极点)就与极坐标(，)建立 一一对应的关系.我们约定,极点的极坐标是极径 =0,极角是任意角。
极坐标与直角坐标的区别:
平面直角坐系 定位 方式 点与 坐标 要素 本质 横坐标、纵坐标 极坐标系 角度和距离
点与坐标 点与极坐标不 一一对应 一一对应 原点，x，y 极点，极轴，长 轴长度单位和正 度单位；角度单位和 方向 正方向 两直线相交定点 圆与射线相交定点
练习
四个坐标中能表示点M的坐标是（ ）
由|PA|=|PB|得 x 6 y 5 0
2
第一讲 坐标系
极坐标系
如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。 (1)他向东偏600方向走 (2)如果有人打听体 120m后到达什么位置？该 育馆和办公楼的位置，他 位置惟一确定吗？ 应如何描述？
实验楼
图书馆
120m 办公楼 40度 60度 50m 教学楼 60m 体育馆
单位圆x 2 y 2 1 分别变成什么图形？
6. 已知点A为定点，线段BC在定直线 l 上滑动，已知 |BC|=4，点A到直线 l 的距离为3，求∆ABC的外心的 轨迹方程。
以 l 为X轴，过定点A垂直于X轴的直线为Y轴建 立直角坐标系， 设∆ABC外心为P（x,y）, 则A（0，3）B（x-2, 0）C(x+2, 0),
直线仍然变成直线， 而圆可以变成椭圆， 那么椭圆可以变成圆吗？ 抛物线、双曲线变成什么曲线？
练习：
x' 2 x 1 求下列点经过伸缩变换 后的点的坐标： y' 3 y
①（1，2）； ②（-2，-1）.
2 曲线C经过伸缩变换
x' y'
1 x 3 1 y 2
1 已知点M的极坐标为 5， ，下列所给出的 3
A. C.
5， 3
2 5， 3
B.
D.
4 5， 3 5 5， 3
2 在极坐标系中,已知三点 M ( 2, ), N (1,0), P ( 2 3 , ) 3 6 判断M, N, P三点是否在一条直线x轴，建立直角 坐标系.设A、B、C分别是西、东、北观测点， 则 A(1020, 0), B(－1020, 0), C(0, 1020) 设P（x, y）为巨响声点， y 由B、C同时听到巨响声，得|PC|=|PB|， C P 故P在BC的垂直平分线PO上， PO 的方程为 － x5 ， 即P (680 5y= ,680 ), 故PO 680 10 B 因 A点比B点晚4s听到爆炸声，450, 距中心 680 o A m x 10 答: 巨响发生在信息中心的西偏北 故|PA|－ |PB|=340×4=1360 x2 y2 由双曲线定义P点在以A, B为焦点的双曲线 2 2 1 上 a b a=680, c=1020, b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.