【高中数学】秒杀秘诀MS12抛物线切线2

抛物线切线的性质2例1：过点P （3，4）作抛物线x 2=2y 的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的斜率为．解：根据定理1的公式得，AB 直线方程为：()4300+=⇒+=y x y y p xx ，故斜率为3。

秒杀秘籍：切点弦性质定理1：设过点P 与抛物线对称轴平行的直线交抛物线于M ，交切点弦于点Q ，则Q 点平分切点弦AB 。

（无论点P 在曲线的什么位置，上述结论均成立）。

且M 处的切线平行于抛物线的切点弦。

（图1,3）定理2：直线:l y kx m =+上一动点Q 引抛物线两切线,QA QB ，则过两切点的直线AB 必过定点G （图2,4）如图1，点()00,y x P 为抛物线py x 22=外任意一点，过点P 作抛物线两条切线分别切于A 、B 两点，AB 的中点为Q ，直线PQ 交抛物线于点M ，求证：（1）()轴上的截距在为直线，y AB m m y x x G -==00；且直线AB 方程为()00y y p xx +=；（2）设点M 处的切线l ，求证AB //l 。

证明：（1） 点()11,y x A ()22,y x B 在抛物线上∴2221212;2py x py x ==求导得p x p x y =='22；在点()11,y x A ()22,y x B 的切线方程为：()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-222111x x p x y y x x p x y y 即()()()()⎩⎨⎧+=+=212211y y p xx y y p xx ()()12-得：()1212)(y y p x x x -=-，即222)(12212212x x x p x p x p x x x +=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∴Q x x x x =+=2120将点Q ),2(012y x x +代入切线方程得：()021*******py x x y y p x x x =⇒+=+令AB 方程为y kx m =+，代入22x py =得：0222=--pm pkx x 02122py pm x x =-=∴所以直线AB 过定点（0，0y -）；故AB方程为()()0000x y x y xx p y y p =+-⇒=+（2）p x k pk x x x pm pkx x 012022022=⇒=+=⇒=--，M 点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛p x x 2,200，以M 点为切点的切线斜率为px p x y 0022=='，故AB //l 。

如图2，点()00,y x Q 为直线:l y kx m =+上一动点，过点Q 引抛物线py x 22=两条切线,QA QB ，则过两切点的直线AB 必过定点G ()m pk -,。

证明：由定理1结论可知AB ：()00xx p y y =+，又Q 在直线l 上，故00y kx m =+，将两式联立得：()()()()()0000000000=+--⇒++=⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⇒+=mx kpy kp x y m x y y p k y m kx y x y y p x y y p xx ，由于0y 为任意数，故⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-m y kp x Cx kpy kp x 00。

（图4也可以推导，:l x ky m =+过直线AB 定点G ()kp m ,-）例2：在平面直角坐标系xOy 中,动点P 到定点1(0,4F 的距离比点P 到x 轴的距离大14,设动点P 的轨迹为曲线C ,直线:1l y kx =+交曲线C 于,A B 两点,M 是线段AB 的中点,过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N .(Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)证明:曲线C 在点N 处的切线与AB 平行;(Ⅲ)若曲线C 上存在关于直解：(Ⅰ)y x y y x =⇒=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2224141(Ⅱ) 点()11,y x A ()22,y x B 在抛物线上∴222121;y x y x ==求导得x y 2='；在点()11,y x A ()22,y x B 的切线方程为：()()⎩⎨⎧-=--=-2221112x x x y y x x x y y 即()()⎩⎨⎧+=+=22122211y y xx y y xx ()()12-得：1212)(2y y x x x -=-，即1221222x x x x x --=212x x x +=故∴N M x x x x =+=212令AB 方程为1y kx =+，代入2x y =得：2201122k x x kx x =+⇒=--N x k 2=⇒，N 点坐标为()2,N N x x ，以N 点为切点的切线斜率为N x y 2='，故AB //N 处的切线；(Ⅲ)若存在两点PQ 关于直线:1l y kx =+对称，则k k PQ 1-=，令PQ 中点()00,y x E ，令PQ 方程为m x k y +-=1，由于E 在直线:1l y kx =+上，固有001y kx =+，根据(Ⅱ)结论可知021x k =-，即011122y k k =+=-，故2212121121k m m k k -=⇒+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，将直线PQ ：⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=221211k x k y 与抛物线y x =2联立得：2222210021211222>-<⇒<⇒>∆=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+k k k k x k x 或。

2略解：（I ）将坐标系向上移一个单位，得过的动点()1-'，a A 引抛物线y=x 2两切线Q A P A '''',，切点为Q P '',,根据定理1，可得：Q A P A '''',方程为()()221121,21xx y y xx y y =+=+，易知Q P ''方程为()121-=y ax ；再将坐标系向下平移一个单位，得PQ 的方程为22+=ax y ；（Ⅱ）定点（0,2）。

（具体步骤参考定理1证明）1.过点作直线交抛物线x =2py （p ＞0）于A 、B 且M 为A 、B 中点，过A 、B 分别作抛物线切线，两切线交于点N ，若N 在直线y=﹣2p 上，则p=．2.过点P（﹣2，1）引抛物线y 2=4x 的两条切线，切点分别为A、B，F 是抛物线的焦点，则直线PF 与直线AB 的斜率之和为．3.已知抛物线C ：y=2x 2，直线：y=kx+2交抛物线C 于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行．4.如图，设抛物线x 2=2py （p ＞0），M 为直线y=﹣2p 上任意一点，过M 引抛物线的切线，切点分别为A ，B ．求证：A ，M ，B 三点的横坐标成等差数列．5.过x 轴上动点A （a ，0），引抛物线y=x 2+3的两条切线AP 、AQ ，切点分别为P 、Q ．（Ⅰ）若a =﹣1，求直线PQ 的方程；（Ⅱ）探究直线PQ 是否经过定点，若有，请求出定点的坐标；否则，请说明理由．6.(深圳一模)在四边形ABCD 中，已知(0,0),(0,4)A D ，点B 在x 轴上，//BC AD ，且对角线AC BD ⊥．（Ⅰ)求点C 的轨迹T 的方程；(Ⅱ)若点P 是直线52-=x y 上任意一点，过点P 作点C 的轨迹T 的两切线PA 、PB ，A 、B 为切点，M 为AB 的中点．求证：PM //y 轴或PM 与y 轴重合；(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，直线AB 是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．7.（2008•陕西）已知抛物线C：y=2x2，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x 轴的垂线交C于点N．（1）写出抛物线的焦点坐标及准线方程；（2）证明：抛物线C在点N处的切线与直线AB平行；（3）是否存在实数k使=0，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．8.已知抛物线C：y2=2px（p＞0）上的点M到直线l：y=x+1的最小距离为．点N在直线l上，过点N作直线与抛物线相切，切点分别为A、B．（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）当原点O到直线AB的距离最大时，求三角形OAB的面积．9.已知抛物线C：y2=4x和直线l：y=x+4．（Ⅰ）求抛物线C上一点到直线l的最短距离；（Ⅱ）设M为l上任意一点，过M作两条不平行于x轴的直线．若这两条直线与抛物线C都只有一个公共点，这两个公共点分别记为A，B，证明：直线AB过定点．10.过点A（﹣，0）和抛物线x2=2py焦点F的直线与抛物线相交于点B，且=2．（1）求抛物线的方程；（2）M，N为抛物线上两点，O为原点，•=﹣1，过M，N分别作抛物线的两条切线，相交于P点，求△PMN面积的最小值．11.已知直线l的方程是y=x﹣1和抛物线C：x2=y，自l上任意一点P作抛物线的两条切线，设切点分别为A，B，（Ⅰ）求证：直线AB恒过定点．（Ⅱ）求△PAB面积的最小值．12.点P是在平面直角坐标系中不在x轴上的一个动点，满足：过点P可作抛物线x2=y的两条切线，切点分别为A，B．（Ⅰ）设点A（x1，y1），求证：切线PA的方程为y=2x1x﹣x12；（Ⅱ）若直线AB交y轴于R，OP⊥AB于Q点，求证：R是定点并求的最小值．13.已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，且过点（1，）．抛物线C2：x2=﹣2py（p＞0）的焦点坐标为（0，﹣）．（Ⅰ）求椭圆C1和抛物线C2的方程；（Ⅱ）若点M是直线l：2x﹣4y+3=0上的动点，过点M作抛物线C2的两条切线，切点分别为A，B，直线AB交椭圆C1于P，Q两点．（i）求证直线AB过定点，并求出该定点坐标；（ii）当△OPQ的面积取最大值时，求直线AB的方程．14.已知A，B是抛物线W：y=x2上的两个点，点A的坐标为（1，1），直线AB的斜率为k（k＞0）．设抛物线W的焦点在直线AB的下方．（Ⅰ）求k的取值范围；（Ⅱ）设C为W上一点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作W的切线，记两切线的交点为D．判断四边形ABDC是否为梯形，并说明理由．15.如图所示，已知抛物线y=x2的动弦AB所在直线与圆x2+y2=1相切，分别过点A、B的抛物线的两条切线相交于点M，求点M的轨迹方程．。