集合论与图论试卷4

哈工大 2007 年 秋季学期

本试卷满分90分

（06级计算机、信息安全专业、实验学院）

一、判断对错（本题满分10分，每小题各1分）

（ 正确画“√”，错误画“×”）

1．对每个集合A ，A A 2}{∈。 （ ）

2．对集合Q P ,，若∅==Q P Q Q P ,，则P =∅。 （ ）

3．设,,:X A Y X f ⊆→若)()(A f x f ∈，则A x ∈。 （ ）

4．设,,:Y B Y X f ⊆→则有B B f f ⊇-))((1。 ( )

5．若R 是集合X 上的等价关系，则2R 也是集合X 上的等价关系。 （ ）

6．若:f X Y →且f 是满射，则只要X 是可数的，那么Y 是至多可数的。 （ ）

7．设G 是有10个顶点的无向图，对于G 中任意两个不邻接的顶点u 和v, 均有9deg deg ≥+v u ，则G 是哈密顿图。 （ ）

8．设)(ij

a A =是p 个顶点的无向图G 的邻接矩阵，则对于G 的顶点i v , 有∑==p

j ij i a v 1deg 成立。 （ ）

9. 设G 是一个),(q p 图，若1-≥p q ，则]/2[)(q p G ≤χ。 （ ）

10．图G 和1G 同构当且仅当G 和1G 的顶点和边分别存在一一对应关系。( ）

二.填空(本题40分，每空各2分)

1．设}},{,{φφ=S 则=S 2 。

2．设B A ,是任意集合，若B B A =\，则A 与B 关系为 。

3．设1)(,0)()(,:};3,2{},1,0{},,,{===→===c f b f a f Y X f Z Y c b a X , 3)1(,2)0(,:==→g g Z Y g ,则)()(c f g a f g ，分别为 。 4．设X 和Y 是集合且X m =，Y n =，若n m ≤，则从X 到Y 的单射的

个数为 。

5．设}2,1{},,,2,1{==B n X ，则从X 到Y 的满射的个数为 。

6．设)}2,4(),1,3(),3,2{()},4,3(),2,2(),2,1{(},4,3,2,1{===S R X ，则

=)(R S R 。

7． 设⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=5123454321,415235432121σσ，则 =21σσ 。

8. 设)},(),,(),,{(},,,,{a c c b b a R d c b a X ==，则 =+R 。

9. 设X 为集合且X n =，则X 上不同的自反或对称的二元关系的个数

为 。

10．设}}{},{},,{{},,,,{d c b a A d c b a X ==是X 的一个划分，则由A 确定的

X 上的等价关系为 。 11．}10,,2,1{ =S ，在偏序关系“整除”下的极大元为 。

12．给出一个初等函数)(x f ，使得它是从)1,0(到实数集合R 的一一对应，

这个函数为 。 13. 设G 是),(p p 连通图，则G 的生成树的个数至多为 。

14．含5个顶点、3条边的不同构的无向图个数为 。

15．设无向图G 有12条边，有6个3度顶点，其余顶点度数均小于3，则G 中

顶点数至少为 。

16．由6个顶点，12条边构成的平面连通图G 中，每个面由 条边围成。

17．若p K 为平面图，则p 的取值为 。

18．包含完全图p K 作为子图的无向图的顶点色数至少为 。

19．有向图的可达矩阵)(ij r R =中，若1==ji ij r r ,则顶点i v 与j v 之间是 。

20．高为h 的)2(≥r r 元正则树至多有 片树叶。

三、证明和计算（本题40分，每小题各5分）

1.设,,A B C 是三个任意集合，证明：(\)()\()A B C A B A C ⨯=⨯⨯。

2.设N n N N g f N ∈∀→=,:,},,2,1,0{ ，()(){}1,max 0,1f n n g n n =+=-。证明：

(1)f 是单射而不是满射；(2)g 是满射而不是单射；(3)N g f I = ，但N f g I ≠ ；

3．设R 是A 上的一个自反关系，证明：

R 是等价关系⇔若(,)a b R ∈且(,)a c R ∈，则(,)b c R ∈。

4．设G 是一个),(q p 图，证明：G 是树⇔G 连通且1+=q p 。

5．设G 是一个),(q p 无向图，证明:（1）若]2

[)(p G ≥δ，则G 是连通的； （2）若G 是连通的，则是否一定有]2

[)(p G ≥δ成立？请说明理由。

6．证明：每个自补图必有n4或1

n个顶点(n为正整数)。

4+

7．设T是一棵树且k

(，证明：T中至少有k个顶点的度为1。

∆)

T≥

8．证明：一个没有有向回路（圈）的有向图中至少有一个入度为零的顶点。