第一章命题与逻辑

例 1.3.5 证明﹁P∧(P∨Q )⇒Q。
证明 ﹁P∧(P∨Q ) →Q⇔﹁(﹁P∧(P∨Q ))∨Q ⇔ ﹁((﹁P∧ P)∨(﹁P∧Q ))∨Q ⇔ (P∨﹁Q ))∨Q ⇔P∨1 ⇔1 由此 ﹁P∧(P∨Q ) →Q 为重言式, 即 ﹁P∧(P∨Q )⇒Q。
下表列举了一些常用的蕴涵关系，它们都可以类似 地证得。
P ( P Q ) Q ( P Q) (Q R) P R
( P Q) (Q R) P R ( P R) (Q R) ( P Q) R
( P Q) ( P R) (Q R) ( P Q) ( P R) (Q R)
定理1.3.9 设A和B为命题公式， A⇒B 。 (1) 如果A为重言式，那么B也为重言式。 (2) 如果B为矛盾式，那么A也为矛盾式。
例1.3.6 证明P∧(P→Q)⇒Q和﹁Q∧(P→Q) ⇒﹁P。
证明 假设P∧(P→Q)为真，那么P和P→Q都为真， 所以Q为真，因而P∧(P→Q)⇒Q 。 假设﹁P为假, 那么P为真。如果Q为假, 那么P→Q 为 假，所以﹁Q ∧(P→Q)为假；如果Q为真，那么 ﹁Q为假，所以﹁Q∧(P→Q)也为假。因而﹁Q ∧(P→Q) ⇒﹁P。 。
根据定义，在的任一真值指派下， A和B的取值都 相同。
常用的等价关系见表
( E1 ) P Q Q P, P Q Q P ( E2 ) P (Q R) ( P Q) R P (Q R) ( P Q) R ( E3 ) P (Q R) ( P Q) ( P R) P (Q R) ( P Q) ( P R) ( E4 ) P 0 P, P 1 P ( E5 ) P 1 1, P 0 0 ( E6 ) P P 1, P P 0 ( E7 ) P P
例 1.3.4 证明：(P→Q)→Q ⇔ P∨Q
证明: (P→Q)→Q ⇔ ¬ (¬ P∨Q) ∨Q ⇔ (P∧¬ Q) ∨Q ⇔ (P∨Q)∧(¬ Q∨Q) ⇔ (P∨Q)∧1 ⇔ P ∨Q
(两次置换规则) (置换规则) (E3, 代入规则) (置换规则) (E4, 代入规则)
四、蕴涵关系
定义1.3.5 设A和B为命题公式，如果A→B为重言式， 那么称A蕴涵B，记作A⇒B 。
利用蕴涵关系的定义，容易得到下面的代入规则的 重要应用。 定理1.3.8 设A1和A2为两个命题公式，P1,P2, …,Pn为 A1和A2中的所有命题变元，B1,B2, …,Bn为n个命题 公式。对所有的i, 在公式A1和A2中Bi出现的每一处 用Pi代入, 这样分别得到的公式记为A1*和A2*。如 果A1⇒A2, 那么A1* ⇒ A2*。 由定理1.3.8，和上面表中的每一个蕴涵关系都可以 得到无穷多个新的蕴涵关系。
定义1.3.4 设A1为命题公式A中的一个连续的部分， 且A1本身也是一个命题公式， 那么称A1为A的一 个子公式。
例1.3.3 设A=(P→Q)∧(P∨(Q∧R))， 那么A，P→Q 和Q∧R都是A的子公式， 而(P→，)∧(P∨和
∨(Q∧R等都不是A的子公式。
定理1.3.5 (置换规则) 设A1为A的一个子公式， B1为 一个与A1等价的命题公式。在A中将A1置换成B1得 到的新的命题公式B，那么A⇔B 。
交换律
结合律 分配律 同一律 零一律 互补律 重补律
( E8 ) P P P, P P P ( E9 ) P ( P Q ) P P ( P Q) P ( E10 ) ( P Q) P Q ( P Q) P Q ( E11 ) P Q P Q P Q Q P
等幂律 吸收律
德.摩根律 条件等价式
P Q ( P Q ) (Q P ) ( E12 ) P Q (P Q ) ( P Q ) 双条件等价式 P Q ( P Q ) ( P Q ) ( P Q) P Q P Q
化简式 附加式 化简式变形 附加式变形 假言推理 拒取式 析取三段论 条件三段论 双条件三段论 二难推理 前后件附加
P Q P, P Q Q P P Q, Q P Q ( P Q) P, ( P Q) Q P P Q, Q P Q P ( P Q) Q Q ( P Q) P
上面我们介绍了证明和得到蕴涵关系的方法。另外 由A→B的真值的定义，下面的结论是很明显的， 它也可以用来判别A⇒B是否成立, 我们称之为假设 推理法。 (1) 如果在假设前件A为真的情形下(即在任一使A为 真的A→B的真值指派下), 后件B总是真, 那么A⇒B。 反之亦然。 (2) 如果在假设后件B为假的情形下(即在任一使B为 假的A→B的真值指派下), 前件A总是假, 那么A⇒B。 反之亦然。 这样我们可以通过比较A和B关于A→B中命题变元的 真值表来判别A⇒B是否成立。 由以上的性质，容易得到下面的定理：
由以上的例子可知，两个命题公式等价不一定要含 相同的命题变元。
命题公式的等价关系“⇔”有下面的性质：
自反性： 对任意命题公式A， 有A⇔ A 。 对称性： 对任意命题公式A和B，如果A⇔B，那么 B⇔A 。 传递性： 对任意命题公式A，B和C， 如果A⇔B且 B⇔C ，那么式，A⇔B， 则A为重言 式(矛盾式，可满足式)当且仅当B为重言式(矛盾式， 可满足式)。
第一章 命题与逻辑
1.3 命题公式的等价关系和蕴涵关系
一、公式分类
定义1.3.1 设A是命题公式，如果A在任一真值指派 下的值都为1，那么称A为重言式或永真式。 如果A在任一真值指派下的值都为0，那么称A为矛 盾式或永假式。 特别地，公式1为重言式，公式0为矛盾式。 如果A至少在某一真值指派下的值为1，那么A称为 可满足式。
三种公式类型之间的关系为：
(1) A为重言式当且仅当¬ A为矛盾式，A为矛盾式当 且仅当¬ A为重言式。 (2) 重言式是可满足式，A为可满足式当且仅当A不 是矛盾式。 (3) A为重言式(或矛盾式)当且仅当A的真值表的真值 都为1(或0)。
定理1.3.1 设A和B为命题公式，那么 (1) A和B 为重言式的充要条件是A∧B为重言式。 (2) 如果A为重言式，那么A∨B为重言式。
代入规则和置换规则的主要区别：
(1) 代入规则的使用对象是重言式或矛盾式，代换 的结果也是重言式或矛盾式， 推导新的命题公式 等价关系是它的一个应用，下面还会介绍应用它 推导新的命题公式蕴涵关系。而置换规则的使用 对象是任一命题公式，代换的结果是另一个与之 等价的命题公式，推导新的命题公式等价关系是 它的唯一的应用。 (2) 代入规则的代换方式是代入重言式(或矛盾式)中 同一个命题变元出现的每一处，而置换规则的代 换方式是置换同一个子公式出现的若干处或每一 处。
证明 因为A⇒B且 B⇒C, 所以A→B和B→C都为重言 式。又因为 ( A C ) A C ( A C ) ( B B ) ( A C B ) ( A C B ) (( A B ) C ) (A ( B C )) 由定理1.3.1 (( A B) C ) (A ( B C )) 为重言式。再由定理1.3.2, A→C 重言式即A⇒C。
三、代入规则和置换规则
定义1.3.3 设n元命题公式A=A(P1, P2,…,Pn)， B1, B2,…,Bn为n个命题公式。对所有的i，在公式A中 出现Pi的每一处用Bi代入，所得的公式记为A*， 称A*为A的一个代入实例。
例1.3.2 设A=P∨(P→(R∧Q))，那么P用Q↔S代入, 则为A的一个代入实例 A*= (Q↔S )∨((Q↔S)→(R∧Q)) 。 定理1.3.3 (代入规则) 重言式(矛盾式)的任一代入实 例都是重言式(矛盾式)。
二、命题公式的等价关系
定义1.3.2 设A和B为命题公式，如果A↔B为重言式， 那么称A和B是等价的，记作A⇔B 。 特别地，A为重言式当且仅当A⇔1；A为矛盾式当且 仅当A⇔0。
例 1.3.1 (1) (2) (3) (4)
P ⇔ ﹁﹁P， (P∧﹁P)∨Q ⇔ Q ， P∨﹁P ⇔ 1, P∧Q ⇔ Q∧P 。
定理1.3.6 设A和B为命题公式，那么A⇔B的充要条 件是A⇒B且B ⇒A 。 证明 因为A↔B⇔(A→B) ∧(B→A), 所以由定理 1.3.2, A↔B为重言式当且仅当 A→B 和B→A都为 重言式。即A⇔B 当且仅当 A⇒B 且B ⇒A 。
由定理1.3.6可知，一个等价关系等同于两个蕴涵关 系。 定理1.3.7 设A, B和C为命题公式，如果 A⇒B 且 B⇒C 那么A⇒C 。