集合知识点总结及典型例题

集 合一．【课标要求】1．集合的含义与表示（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二．【命题走向】有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn 图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。

考试形式多以一道选择题为主。

预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。

具体三．【要点精讲】1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合 （1）集合中的对象称元素，若a 是集合A 的元素，记作；若b 不是集合A 的元素，记作；（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N ；正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R 。

2．集合的包含关系：（1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A B （或）；A a ∈A b ∉⊆B A ⊂集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

若A B 且B A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ； （2）简单性质：1）A A ；2）A ；3）若A B ，B C ，则A C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集：（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ；（2）若S 是一个集合，A S ，则，=称S 中子集A 的补集； （3）简单性质：1）()=A ；2）S=，=S4．交集与并集：（1）一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集。

交集。

（2）一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集。

注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

5．集合的简单性质：（1） （2） （3）（4）；（5）（A ∩B ）=（A ）∪（B ），（A ∪B ）=（A ）∩（B ）。

四．【典例解析】 题型1：集合的概念(2009湖南卷理)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为_12__ 答案 ：12解析 设两者都喜欢的人数为人，则只喜爱篮球的有人，只喜爱乒乓球的有人，由此可得，解得，所以，即 所求人数为12人。

例1．已知全集，集合和⊆⊇⊆⊆Φ⊆⊆⊆⊆⊆S C }|{A x S x x ∉∈且S C S C S C ΦΦS C }|{B x A x x B A ∈∈=⋂且}|{B x A x x B A ∈∈=⋃或并集;,,A B B A A A A A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂;,A B B A A A ⋃=⋃=Φ⋃);()(B A B A ⋃⊆⋂B B A B A A B A B A =⋃⇔⊆=⋂⇔⊆;S C S C S C S C S C S C x (15)x -(10)x -(15)(10)830x x x -+-++=3x =1512x -=U R ={212}M x x =-≤-≤的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有( )A. 3个B. 2个C. 1个D. 无穷多个 答案 B解析 由得，则，有2个，选B.例2．集合,,若,则的值为( )A.0B.1C.2D.4 答案 D解析 ∵,,∴∴,故选D.【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.题型2：集合的性质例3．集合,,若,则的值为( )A.0B.1C.2D.4 答案 D解析 ∵,,∴∴,故选D.【命题立意】:本题考查了集合的并集运算,并用观察法得到相对应的元素,从而求得答案,本题属于容易题.随堂练习1.设全集U=R ，A={x ∈N ︱1≤x ≤10}，B={ x ∈R ︱x 2+ x －6=0}，则下图中阴影表示的集合为 （ ）A ．{2}B ．{3}C ．{－3，2}D ．{－2，3}2. 已知集合A={y|y 2-(a 2+a+1)y+a(a 2+1)>0},B={y|y 2-6y+8≤0}，若A ∩B ≠φ，则实数a 的取值范围为（ ）．{21,1,2,}N x x k k ==-={212}M x x =-≤-≤31≤≤-x {}3,1=⋂N M {}0,2,A a ={}21,B a ={}0,1,2,4,16AB =a {}0,2,A a ={}21,B a ={}0,1,2,4,16A B =2164a a ⎧=⎨=⎩4a ={}0,2,A a ={}21,B a ={}0,1,2,4,16AB =a {}0,2,A a ={}21,B a ={}0,1,2,4,16A B =2164a a ⎧=⎨=⎩4a=分析：解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．从反面考虑问题在集合中的运用主要就是运用补集思想．本题若直接求解，情形较复杂，也不容易得到正确结果，若我们先考虑其反面，再求其补集，就比较容易得到正确的解答．解：由题知可解得A={y|y>a 2+1或y<a}, B={y|2≤y ≤4},我们不妨先考虑当A ∩B ＝φ时a 的范围．如图由，得∴或.即A ∩B ＝φ时a 的范围为或.而A ∩B ≠φ时a 的范围显然是其补集,从而所求范围为.评注：一般地，我们在解时，若正面情形较为复杂，我们就可以先考虑其反面，再利用其补集，求得其解，这就是“补集思想”．例4．已知全集，A ={1,}如果，则这样的实数是否存在？若存在，求出，若不存在，说明理由解：∵；∴，即＝0，解得当时，，为A 中元素； 当时， 当时，∴这样的实数x 存在，是或。

另法：∵ ∴，∴＝0且⎩⎨⎧≥+≤4122a a ⎩⎨⎧-≤≥≤332a a a 或3-≤a 23≤≤a 3-≤a 23≤≤a {}332|<<->a a a 或32{1,3,2}S x x x =--21x -}0{=A C S x x }0{=A C S A S ∉∈00且322x x x --1230,1,2x x x ==-=0=x 112=-x 1-=x S x ∈=-3122x =213x S -=∈1x =-2x =}0{=A C S A S ∉∈00且3A ∈322x x x --213x -=∴或。

点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。

分类讨论的过程中“当时，”不能满足集合中元素的互异性。

此题的关键是理解符号是两层含义：。

变式题：已知集合，,,求的值。

解：由可知，（1），或（2） 解（1）得， 解（2）得， 又因为当时，与题意不符， 所以，。

题型3：集合的运算 例5已知函数A ,函数的定义域集合是B （1）求集合A 、B （2）若A B =B ,求实数的取值范围．解 （1）A ＝ B ＝（2）由A B ＝B 得A B ，因此所以,所以实数的取值范围是例6．已知集合,则( ) A. B. C. D. 答案 A1x =-2x =0=x 112=-x }0{=A C S A S ∉∈00且2{,,2},{,,}A m m d m d B m mq mq =++=0m ≠其中A B =且q B A =⎩⎨⎧=+=+22mq d m mq d m ⎩⎨⎧=+=+mqd m mq d m 221=q 21,1-==q q 或1=q 2mq mq m ==21-=q ()f x =22()lg[(21)]g x x a x a a =-+++ a {}|12x x x ≤->或{}|1x x a x a <>+或 ⊂112a a >-⎧⎨+≤⎩11a -<≤a (]1,1-}{{}1,3,5,7,9,0,3,6,9,12A B ==N A C B =I }{1,5,7}{3,5,7}{1,3,9}{1,2,3解析 易有，选A点评：该题考察了集合的交、补运算。

题型4：图解法解集合问题例7．（广西北海九中训练）已知集合M =，N =，则 （ ）A ．B ．C ．D ．答案 C例8．1.设全集，函数的定义域为A ，集合，若恰好有2个元素，求a 的取值集合。

解：时， ∴∴，∴∴当时，在此区间上恰有2个偶数。

2、，其中，由中的元素构成两个相应的集合：，．其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和．若对于任意的，总有，则称集合具有性质． （I ）对任何具有性质的集合，证明：； （II ）判断和的大小关系，并证明你的结论．N AC B =}{1,5,7⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+149|22y x x ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+123|y x y =N M ∅)}0,2(),0,3{([]3,3-{}2,3R =⋃)1)(1|1lg(|)(<-++=a a x x f }1cos |{==x x B πB A C ⋂⋃)(a x a x ->+⇔>-++1|1|01|1|1<a 01>-a 2-<->a x a x 或),()2,(+∞-⋃--∞=a a A πππk x x 2,1cos ==)(2z k k x ∈=},2|{z k k x x B ∈==1<a ],2[a a A C --=⋃0222421≤<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≤-<-<-≤<a a a a a {}12(2)k A a a a k =，，，≥(12)i a i k ∈=Z ，，，A {}()S a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，()a b ，S T m n a A ∈a A -∉A P P A (1)2k k n -≤m n解：（I ）证明：首先，由中元素构成的有序数对共有个．因为，所以；又因为当时，时，，所以当时，．从而，集合中元素的个数最多为， 即． （II ）解：，证明如下：（1）对于，根据定义，，，且，从而． 如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也至少有一个不成立．故与也是的不同元素．可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即，（2）对于，根据定义，，，且，从而．如果与是的不同元素，那么与中至少有一个不成立，从而与中也不至少有一个不成立，故与也是的不同元素．可见，中元素的个数不多于中元素的个数，即， 由（1）（2）可知，．例9．向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果 赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人。