专题10.4 圆锥曲线的综合应用-3年高考2年模拟1年原创备战2018高考精品系列之数学(理)(原卷版)
第十章 圆锥曲线专题4 圆锥曲线的综合应用（理科）【三年高考】1. 【2017课标II ，理9】若双曲线C:22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．2332. 【2017山东，理21】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为22，焦距为2.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；学科=网 （Ⅱ）如图，动直线l ：132y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且1224k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.3. 【2017天津，理19】设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程. 4.【2016高考新课标1卷】设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.5．【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y --=，抛物线2:y 2(0)C px p => （1）若直线l 过抛物线C 的焦点，求抛物线C 的方程； （2）已知抛物线C 上存在关于直线l 对称的相异两点P 和Q . ①求证：线段PQ 的中点坐标为(2,).p p --；②求p 的取值范围.6．【2016高考天津理数】设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的l 斜率的取值范围.7．【2016年高考四川理数】已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T . （Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l’平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得2PTPA PB λ=⋅，并求λ的值.8. 【2015高考天津，理6】已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点()2,3 ，且双曲线的一个焦点在抛物线247y x = 的准线上，则双曲线的方程为( )（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -=（C ）22134x y -=（D ）22143x y -= 9.【2015高考山东，理15】平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 .10.【2015高考新课标2，理20】已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由． 【2017考试大纲】 【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 由定义法求曲线的方程、由已知条件直接求曲线的方程、直线与圆锥曲线、圆锥曲线间的综合等是高考的热点，题型大多为解答题，难度为中档题或难题，主要考查求曲线轨迹方程的方法，圆锥曲线的定义与性质应用，各圆锥曲线间的联系，直线与圆锥曲线间的位置关系及弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题等，其中直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系是考查的重点和热点，考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力，分析问题与解决综合问题的能力，是高考中区分度较大的题目.【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式,椭圆、双曲线、抛物线的性质综合问题是高考考试的重点，每年必考，一般是两小一大的布局，试题难度往往是有一道基础题，另一道是提高题，难度中等以上，有时作为把关题．考查方面离心率是重点，其它利用性质求圆锥曲线方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求圆锥曲线中的最值或范围问题，过定点问题，定值问题等．从近三年的高考试题来看，小题中双曲线的定义、标准方程及几何性质是高考的热点，题型大多为选择题、填空题，难度为中等偏低，主要考查双曲线的定义及几何性质，考查基本运算能力及等价转化思想，而椭圆、抛物线的性质一般，一道小题，一道解答题，难度中等，有时作为把关题存在，而且三大曲线几乎年年都考，故预测2018年求曲线的方程和研究曲线的性质、直线与圆锥曲线、圆锥曲线间的综合等仍是高考的热点，题型大多为解答题，难度为仍中档题或难题，仍主要考查求曲线轨迹方程的方法，圆锥曲线的定义与性质应用，各圆锥曲线间的联系，直线与圆锥曲线间的位置关系及弦长问题、最值问题、定点定值的探索问题等，其中直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系仍是考查的重点和热点，考查的知识点仍然较多，能力要求高，尤其是运算变形能力，分析问题与解决综合问题的能力，仍是高考中区分度较大的题目，在备考时，熟练掌握求曲线方程的常用方法，掌握直线与圆锥曲线问题的常见题型与解法，加大练习力度，提高运算能力和综合运用知识分析解决问题能力，要特别关注与向量、导数等知识的结合，关注函数思想、数形结合思想及分类讨论思想等数学思想在解题中的应用．【2018年高考考点定位】高考对圆锥曲线综合问题的考查有三种主要形式：一是考查求曲线方程；二是考查圆锥曲线间的知识运用；三是直线与圆锥曲线的位置关系，这是高考中考查的重点和难点，主要涉及的题型为中点弦问题、最值与取值范围问题、定点与定值问题、探索性问题，从涉及的知识上讲，常与平面向量、函数与导数、方程、不等式等知识相联系，考查知识点多，运算量大，能力要求高，难度大是这种题型的一大特征.【考点1】求轨迹方程【备考知识梳理】1．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程(,)0f x y 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫做这条曲线的方程；这条曲线叫做这个方程的曲线.2．直接法求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系．(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y)．(3)列式——列出动点P所满足的关系式．(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x，y的方程式，并化简．(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．【规律方法技巧】1. 求轨迹方程的常用方法一般分为两大类，一类是已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数——待定系数法；另一类是不知曲线类型常用的方法有： (1)直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0；(2)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； (3)代入法(相关点法)：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可先用x ，y 的代数式表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程；(4)参数法：当动点P (x ，y )坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x ，y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．2. 求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等 【考点针对训练】1. 【湖南省衡阳市2017届高三第三次联考】已知对任意平面向量(),AB x y =，把AB 绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量()cos sin ,sin cos AP x y x y θθθθ=-+，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转θ角得到点P .设平面内曲线C 上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转4π后得到点的轨迹是曲线222x y -=，则原来曲线C 的方程是（ ）A. 1xy =-B. 1xy =C. 222y x -= D. 221y x -=2. 【福建省三明市2017届5月质量检查】已知直线y x m =+与抛物线24x y =相切，且与x 轴的交点为M ，点()1,0N -.若动点P 与两定点,M N 所构成三角形的周长为6． (Ⅰ) 求动点P 的轨迹C 的方程；学科=网 (Ⅱ) 设斜率为12的直线l 交曲线C 于,A B 两点，当PM MN ⊥，且,A B 位于直线PM 的两侧时，证明： APM BPM ∠=∠.【考点2】圆锥曲线间的综合 【备考知识梳理】1.要熟记椭圆的定义、标准方程与几何性质.2.要熟练掌握双曲线的定义、标准方程与几何性质.3.要熟练掌握抛物线的定义、标准方程与几何性质. 【规律方法技巧】1. 解圆锥曲线间的综合问题时，要结合图像进行分析，理清所涉及到圆锥曲线间基本量之间的关系，实现不同曲线间基本量的转化.2.熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、简单几何性质是解题的关键. 【考点针对训练】1. 【2017届四川省资阳市高三一模】已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的右顶点为A ，抛物线2:8C y ax =的焦点为F ．若在E 的渐近线上存在点P ，使得AP FP ⊥，则E 的离心率的取值范围是（ ）A. ()1,2B. 321,4⎛⎤⎥ ⎝⎦ C. 32,4⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭D. ()2,+∞ 2. 【安徽省亳州市2017届高三质量检测】已知抛物线21:8(0)C y ax a =>，直线l 倾斜角是45且过抛物线1C 的焦点，直线l 被抛物线1C 截得的线段长是16，双曲线2C ： 22221x y a b-=的一个焦点在抛物线1C 的准线上，则直线l 与y 轴的交点P 到双曲线2C 的一条渐近线的距离是（ ） A. 2 B.3 C. 2 D. 1【考点3】直线与圆锥曲线位置关系的综合问题 【备考知识梳理】1.将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y 得到关于x 的方程20mx nx p ++=. (1) 若m ≠0，当△＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点.当△=0时，直线与圆锥曲线有且只有一个公共点，此时直线与双曲线相切. 当△＜0时，直线与圆锥曲线无公共点.（2）当m =0时，若圆锥曲线为双曲线，则直线与双曲线只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行；若圆锥曲线为抛物线，则直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线的对称轴平行. （3）设直线与圆锥曲线的交点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），则12n x x m +=-，12px x m=. 2. 直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则弦长|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k 2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2. 【规律方法技巧】1.在处理直线与圆锥曲线的位置关系问题时，常用设而不求法，即常将圆锥曲线与直线联立，消去y （或x ）化为关于x （或y ）的一元二次方程，设出直线与圆锥曲线的交点坐标，则交点的横（纵）坐标即为上述一元二次方程的解，利用根与系数关系，将12x x +，12x x 表示出来，注意判别式大于零不能丢，然后根据问题，再通过配凑将其化为关于12x x +与12x x 的式子，将12x x +，12x x 代入再用有关方法取处理，注意用向量法处理共线问题、垂直问题及平行问题.2.再处理直线与圆锥曲线位置关系问题时，首先确定直线的斜率，若不能确定，则需要分成直线斜率存在与不存在两种情况讨论，也可以将直线方程设为x my n =+，避免分类讨论.3.定点与定值问题处理方法有两种：（1）从特殊入手，求出定点（定值），再证明这个定点（定值）与变量无关. (2)直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）. 4.最值问题常见解法有两种：（1）几何法：若题中的条件与结论有明显的几何特征和意义，则考虑利用图形的几何性质来解决，如三角不等式、圆锥曲线的定义等.(2)代数法：利用相关知识和方法结合题中的条件，建立目标函数，利用函数的性质、不等式或导数知识求出这个函数的最值.5.参数范围问题常见解法有两种：（1）不等式法：利用题意结合图形列出所讨论参数满足的不等式（组），通过解不等式（组）解出参数的范围，注意判别式大于0不能遗漏.(2)函数最值法：利用题中条件和相关知识，将所讨论参数表示为某个变量的函数，通过讨论这个函数的值域求出该参数的范围.6.对探索性问题，先假设存在，依此为基础推理，若推出矛盾，则不存在，求出值，则存在.7. 直线与圆锥曲线位置关系中的中点弦问题常用点差法和参数法. 【考点针对训练】1.【安徽省淮北市2017届高三最后一卷】已知抛物线22(0)y px p =>，过点()4,0C -作抛物线的两条切线,CA CB ， ,A B 为切点，若直线AB 经过抛物线22y px =的焦点， CAB ∆的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线标准方程是（ ）A. 24y x = B. 24y x =- C. 28y x = D. 28y x =-2.【2017届河河南省郑州一中等高三百校联考】已知椭圆C ： 22221x y a b += (0)a b >>的离心率为22，且过点()2,0.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点()1,0M 任作一条直线与椭圆C 相交于P ， Q 两点，试问在x 轴上是否存在定点N ，使得直线PN 与直线QN 关于x 轴对称？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由.【应试技巧点拨】１．求圆锥曲线方程的方法 求曲线方程的常见方法：(1)直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程 (2)定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求(3)相关点法：即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线的方程进行求解根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程(4)参数法：若动点的坐标(,x y )中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标,x y 联系起来，得到用参数表示的方程.如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程.注意：(1)求曲线的轨迹与求曲线的轨迹方程的区别：求曲线的轨迹是在求出曲线轨迹方程后，再进一步说明轨迹是什么样的曲线.(2)求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.(5)待定系数法：①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为22y ax =或22x ay =(0a ≠)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义．②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为221x y m n += (0,0m n >>)，双曲线方程可设为221x y m n-= (0mn >)．这样可以避免繁琐的计算． 利用以上设法，根据所给圆锥曲线的性质求出参数，即得方程． 2．最值或范围问题的解决方法解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下几种：(1)利用函数，尤其是二次函数求最值；(2)利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值； (3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值； (4)利用判别式求最值；(5)利用数形结合，尤其是切线的性质求最值． 3．求定值问题的方法定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解方法是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题． 4． 有关弦的问题(1)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．①斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则所得弦长1212|||PP x x =-或1221|||P P y y =-，其中求12||x x -与21||y y -时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：12||x x -=21||y y -=.②当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． (2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．5.圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础.因此，对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求1212PF PF F F +>，双曲线的定义中要求1212PF PF F F -<.6.解决直线与圆锥曲线位置关系问题的步骤： (1)设方程及点的坐标；(2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程(注意二次项系数是否为零)； (3)应用根与系数的关系及判别式；(4)结合已知条件、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解 7.解析几何解题的基本方法解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.综合题中常常离不开直线与圆锥曲线的位置，因此，要树立将直线与圆锥曲线方程联立，应用判别式、韦达定理的意识.解析几何应用问题的解题关键是建立适当的坐标系，合理建立曲线模型，然后转化为相应的代数问题作出定量或定性的分析与判断.常用的方法：数形结合法，以形助数，用数定形. 在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.8.避免繁复运算的基本方法可以概括为：回避，选择，寻求.所谓回避，就是根据题设的几何特征，灵活运用曲线的有关定义、性质等，从而避免化简方程、求交点、解方程等繁复的运算.所谓选择，就是选择合适的公式，合适的参变量，合适的坐标系等，一般以直接性和间接性为基本原则.因为对普通方程运算复杂的问题，用参数方程可能会简单；在某一直角坐标系下运算复杂的问题，通过移轴可能会简单；在直角坐标系下运算复杂的问题，在极坐标系下可能会简单“所谓寻求”.9. 解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1）给出直线的方向向量()k u ,1= 或()n m u ,=；（2）给出OB OA +与AB 相交,等于已知OB OA +过AB 的中点; （3）给出0=+PN PM ,等于已知P 是MN 的中点;（4）给出()BQ BP AQ AP +=+λ,等于已知Q P ,与AB 的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一：①AC AB //；②存在实数,AB AC λλ=使；③若存在实数,,1,OC OA OB αβαβαβ+==+且使,等于已知C B A ,,三点共线；（6） 给出λλ++=1OBOA OP ，等于已知P 是AB 的定比分点，λ为定比，即PB AP λ=；（7） 给出0=⋅MB MA ,等于已知MB MA ⊥,即AMB ∠是直角,给出0<=⋅m MB MA ,等于已知AMB ∠是钝角, 给出0>=⋅m MB MA ,等于已知AMB ∠是锐角；（8）给出MP MB MA =⎫⎛,等于已知MP 是AMB ∠的平分线；（9）在平行四边形ABCD 中，给出0)()(=-⋅+AD AB AD AB ，等于已知ABCD 是菱形;（10）在平行四边形ABCD 中，给出||||AB AD AB AD +=-，等于已知ABCD 是矩形;（11）在ABC ∆中，给出222OC OB OA ==，等于已知O 是ABC ∆的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在ABC ∆中，给出0=++OC OB OA ，等于已知O 是ABC ∆的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在ABC ∆中，给出OA OC OC OB OB OA ⋅=⋅=⋅，等于已知O 是ABC ∆的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在ABC ∆中，给出+=OA OP ()||||AB ACAB AC λ+)(+∈R λ等于已知AP 通过ABC ∆的内心； （15）在ABC ∆中，给出,0=⋅+⋅+⋅OC c OB b OA a 等于已知O 是ABC ∆的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）； （16）在ABC ∆中，给出()12AD AB AC =+,等于已知AD 是ABC ∆中BC 边的中线. 10．定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．11．解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函数和建立不等关系，根据目标函数和不等式求最值、范围，因此这类问题的难点，就是如何建立目标函数和不等关系．建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，要根据问题的实际情况灵活处理.1. 【2017届云南省师范大学附中高三适应性（五）】已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，抛物线的对称轴与准线交于点Q ， P 为抛物线上的动点， PF m PQ =，当m 最小时，点P 恰好在以,F Q 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ） A. 322- B. 22 C.32- D. 212. 【江西省南昌市2017届高三三模】已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且124F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ）A.12B. 22C. 1D.23.【河南省新乡市2017届高三三模】在平面直角坐标系xOy 中，双曲线M ： 221x y m-=与圆N ： ()221x y m +-=相切， ()1,0A m -+， ()1,0B m +，若圆N 上存在一点P 满足2PA PB m -=，则点P 到x 轴的距离为（ ） A. 3m B. 2m C. m D.1m4. 【2017届陕西省渭南市高三二模】已知12,F F 分别是双曲线2222:1x y C a b -=的左、右焦点，若点2F 关于直线0bx ay -=的对称点恰好落在以1F 为圆心， 1OF 为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为 （ ）A.2 B. 2 C.3 D. 35.【云南省昆明市2017届高三5月二检】设F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，曲线(0)ky k x=>与C 相交于点A ，直线FA 恰与曲线(0)ky k x =>相切于点A ， FA 交C 的准线于点B ，则FA BA等于（ ） A.14 B. 13 C. 23 D. 346.【河北省石家庄市2017届高三二模】如图，两个椭圆的方程分别为22221(0)x y a b a b+=>>和()()22221x y ma mb +=（0a b >>， 1m >），从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线AC 、BD ，若AC 、BD 的斜率之积恒为1625-，则椭圆的离心率为（ ）A.35 B. 34 C. 45D. 747. 【2017届安徽省宣城市高三二模】如图，已知椭圆E ： 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，A 、B 为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2， P 、Q 为椭圆E 上异于A 、B 的两点，且直线BQ 的斜率等于直线AP 斜率的2倍．（Ⅰ）求证：直线BP 与直线BQ 的斜率乘积为定值； （Ⅱ）求三角形APQ 的面积S 的最大值．8. 【黑龙江省大庆学2017届高三考前得分训练】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为32，四个顶点构成的菱形的面积是4，圆()222:1(01)M x y r r ++=<<过椭圆C 的上顶点A 作圆M 的两条切线分别与椭圆C 相交于,B D 两点（不同于点A ），直线,AB AD 的斜率分别为12,k k .（1）求椭圆C 的方程；（2）当r 变化时，①求12·k k 的值；②试问直线BD 是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由.9. 【2017届山东省济宁市高三3月模拟】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率是32，且直线1l ： 1x ya b+=被椭圆C 5 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线1l 与圆D ： 22640x y x y m +--+=相切： （i ）求圆D 的标准方程；（ii ）若直线2l 过定点()3,0，与椭圆C 交于不同的两点E 、F ，与圆D 交于不同的两点M 、N ，求EF MN ⋅的取值范围．10.【重庆市2017届高三二模】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为22，椭圆C 和抛物线2y x=交于,M N 两点，且直线MN 恰好通过椭圆C 的右焦点F ， （1）求椭圆C 的标准方程；（2）经过F 的直线l 和椭圆C 交于,A B 两点,交抛物线于,C D 两点， P 是抛物线的焦点，是否存在直线l ，使得97OCD PAB S S ∆∆=,若存在，求出直线的方程，若不存在，说明理由。
2018年高考数学三轮冲刺专题圆锥曲线中的综合问题练习题理
圆锥曲线中的综合问题1.已知F 是抛物线2:16C y x =的焦点， M 是C 上一点， O 是坐标原点， FM 的延长线交y 轴于点N ，若2FN OM =，则M 点的纵坐标为__________．2．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ， ()()1122,,,M x y N x y 是抛物线C 上的两个动点，若1222x x MN ++=，则MFN ∠的最大值为__________．3．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，焦距2c ，以右顶点A 为圆心，半径为2a c +的圆过1F 的直线l 相切与点N ，设l 与C 交点为,P Q ，若2PQ PN =，则双曲线C 的离心率为__________．4.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的半焦距为c ，且满足220c b ac -+<，则该椭圆的离心率e 的取值范围是__________．5．已知动点P 在椭圆2213627x y +=上，若点A 的坐标为()3,0，点M 满足1AM =， 0PM AM ⋅=，则PM 的最小值是（ ） 232 D. 36.已知双曲线2222:(0,0)x y C a b a b-=>>的右支与抛物线24x y =交于,A B 两点， F 是抛物线的焦点， O 是坐标原点，且4AF BF OF +=，则双曲线的离心率为（ ）6 B. 32237．已知A B 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右顶点，两个不同动点P Q 、在双曲线上且关于x 轴对称，设直线AP BQ 、的斜率分别为m n 、，则当42ln b a mn a b++取最小值时，双曲线的离心率为（ ） 3526 8.过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点作x 轴的垂线，交C 于,A B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点.若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是（ ）A. 5⎛ ⎝B. 5⎫⎪⎪⎭C. 2⎛ ⎝D. 2⎫⎪⎪⎭9.以0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0)p >为焦点的抛物线C 的准线与双曲线222x y -=相交于,M N 两点，若MNF ∆为正三角形，则抛物线C 的标准方程为（ ）A. 226y x =B. 246y =C. 246x =D. 226x =10.双曲线2221y x b -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为右支上一点，且1||8PF =，120PF PF •=，则双曲线的渐近线方程是（ ）A ．22y x =±B ．26y x =±C ．5y x =±D ．34y x =±11.已知圆922=+y x 的弦过点P （1，2），当弦长最短时，该弦所在直线方程为 （ ）A ．052=-+y xB ．02=-yC ．02=-y xD ．01=-x 12．已知圆()22:1C x a y -+=与抛物线24y x =-的准线相切，则a 的值是( )A. 0B. 2C. 0或1D. 0或213.如图，AB 是平面α外固定的斜线段，B 为斜足，若点C 在平面α内运动，且CAB ∠等于直线AB 与平面α所成的角，则动点C 的轨迹为（ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线14.已知抛物线24y x =与圆22:20F x y x +-=，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点,,,A B C D ，则下列关于AB CD ⋅的值的说法中，正确的是( )A. 等于1B. 等于16C. 最小值为4D. 最大值为415．设O 为坐标原点， P 是以F 为焦点的抛物线22y px =（0p >）上任意一点， M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ） 2 B. 23316.设O 为坐标原点，已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>3，抛物线22:C x ay =-的准线方程为12y =． （1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）设过定点()0,2M 的直线t 与椭圆1C 交于不同的两点,P Q ，若O 在以PQ 为直径的圆的外部，求直 线t 的斜率k 的取值范围．17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ， C 上的动点P 到两焦点的距离之和为4，当点P 运动到椭圆C 的上顶点时，直线1PF 恰与以原点O 为圆心，以椭圆C 的离心率为半径的圆相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左右顶点分别为A B 、，若PA PB 、交直线6x =于M N 、两点.问以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.18．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的一个焦点()21,0F ，且过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，右顶点为A ，经过点2F 的动直线l 与椭圆交于,B C 两点.（1）求椭圆E 的方程；（2）31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭是椭圆E 上一点， 12F MF ∠的角平分线交x 轴于N ，求MN 的长； （3）在x 轴上是否存在一点T ，使得点B 关于x 轴的对称点B 落在CT 上？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由.19．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的焦距为2，且经过点()2,1.过点()0,2D -的斜率为k 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，与x 轴交于P 点，点A 关于x 轴的对称点C ，直线BC 交x 轴于点Q .（1）求k 的取值范围；（2）试问： OP OQ ⋅是否为定值？若是，求出定值；否则，说明理由.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点在直线:10l x -=上，且离心率12e =. （1）求该椭圆的方程；（2）若P 与Q 是该椭圆上不同的两点，且线段PQ 的中点T 在直线l 上，试证： x 轴上存在定点R ，对于所有满足条件的P 与Q ，恒有RP RQ =；（3）在（2）的条件下， PQR ∆能否为等腰直角三角形？并证明你的结论.21.已知点()1,0A ，点P 是圆C :()2218x y ++=上的任意一点，线段PA 的垂直平分线与直线C P 交于点E ． （Ⅰ）求点E 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线y kx m =+与点E 的轨迹有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以Q P 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．。
2018年高考数学复习解决方案真题与单元卷重组十四大题冲关__圆锥曲线的综合问题试题文含答案
2
42－
2 k2＋ 1 2＝ 4
4k
2
＋
3
k2＋ 1 .(14 分 )
故四边形 MPNQ的面积
1 S＝ 2| MN|| PQ| ＝ 12
1 1＋ 4k2＋ 3.(15 分)
可得当 l 与 x 轴不垂直时，四边形 MPNQ面积的取值范围为 (12,8 3) ． (17 分 ) 当 l 与 x 轴垂直时，其方程为 x＝ 1， | MN| ＝ 3， | PQ| ＝ 8，四边形 MPNQ的面积为 12.(19 分) 综上，四边形 MPNQ面积的取值范围为 [12,8 3) ． (20 分 ) 6．[2017 ·广州统测 ]( 本小题满分 20 分) 已知动圆 P 的圆心为点 P，圆 P 过点 F(1,0) 且
x2 y2 E 的轨迹方程为 4 ＋ 3 ＝
1( y≠0) ． (8 分)
(2) 当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y＝ k( x－ 1)( k≠0) ， M( x1，y1) ， N( x2， y2 ) ．
y＝ k x－ 1 由 x2 y2
＋ ＝1， 43
得 (4 k2＋3) x2－ 8k2x＋4k2－ 12＝0， (10 分 )
8
由 AB， F1F2 互相平分且 A， B， F1， F2 四点共圆，得 AF2⊥ BF2.
→
→
∵ F2A＝ ( x1－ 3， y1) ， F2B＝ ( x2－ 3， y2) ，
→→ 1
∴ F2A· F2B＝( x1－ 3)( x2－ 3) ＋ y1y2＝ 1＋8 x1x2＋ 9＝ 0，即
－ a2b2
8k 2
4k2－ 12
则 x1＋ x2＝ 4k2＋3， x1x2＝ 4k2＋3 ，
2018年浙江高考：圆锥曲线综合问题(共18张PPT)
令 x＝0，得 yM＝－x02－y02，从而|BM|＝1－yM＝1＋x02－y02.
直线 PB 的方程为 y＝y0x－0 1x＋1.
3分 5分 6分
9分
例题解析：
令 y＝0，得 xN＝－y0x－0 1，从而|AN|＝2－xN＝2＋y0x－0 1. ∴四边形 ABNM 的面积 S＝12|AN|·|BM|
难度 较难 正常 较难 正常 较难
备注
提1+压1椭最 基2+压1椭最
基1+提1+压1 椭范 基1+压1抛最 基1+压2抛范
二、考点解析：
比较5年来的圆锥曲线的题型和分值，浙江高考 的圆锥曲线主要有以下的特点及趋势：1、在高考提 高题与压轴题中一直占有重要的比例；2、计算等级 要求很高、整体换元等需巧妙运算；3、椭圆、抛物 线在综合应用部分出现频率很高，最值问题、求范围 问题出现频率很高。
复习专题 圆锥曲线综合
⊙积极进取
v ⊙勇攀高分
汤家桥 陈建才
一：最近5年浙江高考圆锥曲线综合应用的分析：
2014 2015 2016 2017 2018
圆锥曲线 T16,T21等 T5,T9,T19等 T7,T9,T19等 T2,T21等 T2,T17,T21等
分值 约19分 约25分 约25分 约19分 约23分
2、着重提高分析问题与运算能力。圆锥曲线训练综合题时， 一般鼓励学生“敢算、会算、巧算”！
3、重点关注最值类、取值范围类问题,平时训练注重同类型 方法的演变，不同方法间的总结。
t2＋1·
－2t2t＋4＋122t2＋32，
且 O 到直线 AB 的距离为 d＝ t2＋12 . t2＋1
10 分
设△AOB 的面积为 S(t)，所以 S(t)＝12|AB|·d＝12 －2t2－122＋2≤ 22，
专题16 圆锥曲线的综合应用(教学案)-2018年高考理数二轮复习精品资料(原卷版)
圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考的热点，主要以解答题的形式呈现，往往作为考题的压轴题之一，以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高要求．考点一 圆锥曲线中的最值、范围圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．例1、如图所示，设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，抛物线上的点A 到y 轴的距离等于|AF |－1.(1)求p 的值；(2)若直线AF 交抛物线于另一点B ，过B 与x 轴平行的直线和过F 与AB 垂直的直线交于点N ，AN 与x 轴交于点M ，求M 的横坐标的取值范围．【变式探究】已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 考点二 定点、定值问题探究1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．例2、已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为32，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线P A与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．【方法规律】1．求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得出定值．2．定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的．【变式探究】如图，椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)经过点A(0，－1)，且离心率为2 2.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．例3、已知焦距为22的椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，直线y＝43与椭圆C交于P，Q两点(P在Q的左边)，Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形．(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为k的直线l与椭圆C交于两个不同的点M，N.若M是椭圆的左顶点，D是直线MN上一点，且DA⊥AM.点G是x轴上异于点M的点，且以DN为直径的圆恒过直线AN和DG的交点，求证：点G是定点．【方法规律】1．动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m，0)．2．动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．【变式探究】已知两点A (－2，0)，B (2，0)，动点P 在x 轴上的投影是Q ，且2P A →·PB →＝|PQ →|2. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过F (1，0)作互相垂直的两条直线交轨迹C 于点G ，H ，M ，N ，且E 1，E 2分别是GH ，MN 的中点．求证：直线E 1E 2恒过定点．考点三 圆锥曲线中的存在性问题存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)．(2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在． (3)得出结论．例3、 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，点A ⎝⎛⎭⎫1，22在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线，使得当该直线与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．【方法规律】1．此类问题一般分为探究条件、探究结构两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论．2．求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．【变式探究】已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，且过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，F 为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程；(2)设过点A (4，0)的直线l 与椭圆相交于M ，N 两点(点M 在A ，N 两点之间)，是否存在直线l 使△AMF 与△MFN 的面积相等？若存在，试求直线l 的方程；若不存在，请说明理由．1．(2017·全国卷Ⅱ)设点O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 22＋y 2＝1上，过点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .2.【2017课标1，理20】已知椭圆C ：2222=1x y a b +（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，32），P 4（1，3）中恰有三点在椭圆C 上.（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.3.【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。
18年高考数学复习解决方案真题与模拟单元重组卷重组十四大题冲关——圆锥曲线的综合问题试题文
重组十四 大题冲关——圆锥曲线的综合问题测试时间：120分钟满分：150分解答题(本题共8小题，共150分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1．[2017·江西临川统测](本小题满分15分)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝6，直线y ＝kx 与椭圆交于A ，B 两点．(1)若△AF 1 F 2的周长为16，求椭圆的标准方程； (2)若k ＝24，且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，求椭圆离心率e 的值． 解 (1)由题意得c ＝3，根据2a ＋2c ＝16，得a ＝5.(3分) 结合a 2＝b 2＋c 2，解得b 2＝16. ∴椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(6分)(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝24x ，得⎝⎛⎭⎪⎫b 2＋18a 2x 2－a 2b 2＝0.(8分)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b2b 2＋18a2，(10分)由AB ，F 1F 2互相平分且A ，B ，F 1，F 2四点共圆，得AF 2⊥BF 2. ∵F 2A →＝(x 1－3，y 1)，F 2B →＝(x 2－3，y 2)，∴F 2A →·F 2B →＝(x 1－3)(x 2－3)＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋18x 1x 2＋9＝0，即x 1x 2＝－8，∴－a 2b 2b 2＋18a2＝－8，(13分)结合b 2＋9＝a 2，得a 2＝12，∴离心率e ＝32.(15分) 2．[2017·东北三省四市统考](本小题满分15分)椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴长等于圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径，且C 1的离心率等于12.直线l 1和l 2是过点M (1,0)，且互相垂直的两条直线，l 1交C 1于A ，B 两点，l 2交C 2于C ，D 两点．(1)求C 1的标准方程；(2)当四边形ACBD 的面积为12714时，求直线l 1的斜率k (k >0)．解 (1)由题意得2a ＝4，∴a ＝2.(1分)∵c a ＝12，∴c ＝1，(3分) ∴b ＝3，(4分)∴椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 23＝1.(5分)(2)直线AB ：y ＝k (x －1)，则直线CD ：y ＝－1k(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，3x 2＋4y 2＝12，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0.(7分) 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝8k 23＋4k2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，(8分)∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝k 2＋3＋4k2.(10分)∵圆心(0,0)到直线CD ：x ＋ky －1＝0的距离d ＝1k 2＋1， 又|CD |24＋d 2＝4，∴|CD |＝24k 2＋3k 2＋1，(12分) ∵AB ⊥CD ，∴S 四边形ACBD ＝12|AB |·|CD |＝12k 2＋14k 2＋3，(13分) 由12k 2＋14k 2＋3＝12147， 解得k ＝1或k ＝－1，(14分) 由k >0，得k ＝1.(15分)3．[2016·合肥质检](本小题满分20分)设A ，B 为抛物线y 2＝x 上相异两点，其纵坐标分别为1，－2，分别以A ，B 为切点作抛物线的切线l 1，l 2，设l 1，l 2相交于点P .(1)求点P 的坐标；(2)M 为A ，B 间抛物线段上任意一点，设PM →＝λPA →＋μPB →，试判断λ＋μ是否为定值？如果为定值，求出该定值；如果不是定值，请说明理由．解 (1)由题知A (1,1)，B (4，－2)，设点P 的坐标为(x P ，y P )，切线l 1：y －1＝k (x －1)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －，y 2＝x ，由抛物线与直线l 1相切，解得k ＝12，(5分)即l 1：y ＝12x ＋12，同理，l 2：y ＝－14x －1.(7分)联立l 1，l 2的方程，可解得⎩⎪⎨⎪⎧x P ＝－2，y P ＝－12，即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，－12.(10分)(2)设M (y 20，y 0)，且－2≤y 0≤1.由PM →＝λPA →＋μPB →，得⎝⎛⎭⎪⎫y 20＋2，y 0＋12＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－32，(14分)即⎩⎪⎨⎪⎧y 20＋2＝3λ＋6μ，y 0＋12＝32λ－μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝y 0＋29，μ＝y 0－29，(18分)则λ＋μ＝y 0＋23＋1－y 03＝1，即λ＋μ为定值1.(20分)4．[2017·成都月考](本小题满分20分)已知点P 是圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16上任意一点(F 1是圆心)，点F 2与点F 1关于原点对称．线段PF 2的中垂线m 分别与PF 1，PF 2交于M ，N 两点．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)直线l 经过F 2，与抛物线y 2＝4x 交于A 1，A 2两点，与C 交于B 1，B 2两点，当以B 1B 2为直径的圆经过F 1时，求|A 1A 2|.解 (1)由题意得F 1(－1,0)，F 2(1,0)，圆F 1的半径为4，且|MF 2|＝|MP |，从而|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝|PF 1|＝4>|F 1F 2|，所以点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆， 其中长轴长2a ＝4，得到a ＝2，焦距2c ＝2，则短半轴长b ＝3，则轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2)当直线l 与x 轴垂直时，可取B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，又F 1(－1,0)，此时B 1F 1→·B 2F 1→≠0，所以以B 1B 2为直径的圆不经过F 1，不满足条件．(8分)当直线l 不与x 轴垂直时，设l ：y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，(10分)因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点． 设B 1(x 1，y 1)，B 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k2，(12分)因为以B 1B 2为直径的圆经过F 1，所以B 1F 1→·B 2F 1→＝0，又F 1(－1,0)，所以(－1－x 1)(－1－x 2)＋y 1y 2＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋(1－k 2)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝0，解得k 2＝97，(15分)由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k x －，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，(17分)因为直线l 与抛物线有两个交点，所以k ≠0.设A 1(x 3，y 3)，A 2(x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝2k 2＋4k 2＝2＋4k2，x 3x 4＝1，(19分)所以|A 1A 2|＝x 3＋x 4＋p ＝2＋4k 2＋2＝649.(20分)5．[2016·全国卷Ⅰ](本小题满分20分)设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．解 (1)证明：因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ，故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC .(2分) 所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |.(4分)又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16，从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.(6分) 由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(8分)(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，(10分)则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝k 2＋4k 2＋3.(12分)过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1，所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1.(14分) 故四边形MPNQ 的面积S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3.(15分) 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)．(17分) 当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12.(19分)综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．(20分)6．[2017·广州统测](本小题满分20分)已知动圆P 的圆心为点P ，圆P 过点F (1,0)且与直线l：x＝－1相切．(1)求点P的轨迹C的方程；(2)若圆P与圆F：(x－1)2＋y2＝1相交于M，N两点，求|MN|的取值范围．解(1)依题意，点P到点F(1,0)的距离等于点P到直线l的距离，(2分) ∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l：x＝－1为准线的抛物线，(4分) ∴曲线C的方程为y2＝4x.(6分)(2)设点P(x0，y0)，则圆P的半径r＝|x0＋1|.(7分)∴圆P的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝(x0＋1)2.①(8分)圆F：(x－1)2＋y2＝1，②①－②得直线MN的方程为2(1－x0)x－2y0y＋y20－2x0－1＝0.(10分)∵点P(x0，y0)在曲线C：y2＝4x上，∴y20＝4x0，且x0≥0.∴点F到直线MN的距离d＝－x0＋y20－2x0－1|－x02＋4y20＝1－x02＋4y20.(12分)∴圆F：(x－1)2＋y2＝1的半径为1，∴|MN|＝21－d2＝21－1－x02＋4y20(13分)＝21－1－x02＋16x0＝21－1x0＋2.(14分)∵x0≥0，∴(x0＋1)2≥1，∴0<1x0＋2≤14，(16分)∴34≤1－1x0＋2<1，(18分)∴3≤|MN|<2，∴|MN|的取值范围为[3，2)．(20分)7．[2016·吉林三调测试](本小题满分20分)已知抛物线C的方程为y2＝2px(p>0)，点R(1,2)在抛物线C上．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点Q (1,1)作直线交抛物线C 于不同于R 的两点A ，B .若直线AR ，BR 分别交直线l ：y ＝2x ＋2于M ，N 两点，求|MN |最小时直线AB 的方程．解 (1)将R (1,2)代入抛物线中，可得p ＝2，所以抛物线方程为y 2＝4x .(6分) (2)设AB 所在直线方程为x ＝m (y －1)＋1(m ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)与抛物线联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my －m ＋1，得y 2－4my ＋4(m －1)＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4(m －1)．(10分) 设AR ：y ＝k 1(x －1)＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x －＋2，y ＝2x ＋2，得x M ＝k 1k 1－2，而k 1＝y 1－2x 1－1＝y 1－2y 214－1＝4y 1＋2， 可得x M ＝－2y 1，同理x N ＝－2y 2，(14分)所以|MN |＝5|x M －x N |＝2 5 m 2－m ＋1|m －1|.令m －1＝t (t ≠0)，则m ＝t ＋1， 所以|MN |＝5|x M －x N | ＝2 5⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122＋34≥15， 此时m ＝－1，AB 所在直线方程为x ＋y －2＝0.(20分)8．[2016·贵阳适应性月考](本小题满分20分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点是抛物线y 2＝4x 的焦点，以原点O 为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆与直线x ＋y －22＝0相切．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且△POQ 的面积为定值3，试判断直线OP 与OQ 的斜率之积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请说明理由．解 (1)由题意知c ＝1，a ＝221＋1＝2， ∴b 2＝a 2－c 2＝3，∴a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(6分)(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，即3＋4k 2－m 2>0， x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝m 2－3＋4k2，(11分) y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 23＋4k2. |PQ |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋k 2k 2－m 2＋3＋4k2， O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋k2，S △POQ ＝3＝12|PQ |·d＝121＋k 2 k 2－m 2＋3＋4k 2·|m |1＋k2，可得2m 2－4k 2＝3.(16分)k OP ·k OQ ＝y 1y 2x 1x 2＝m 2－4k 2m 2－＝－34， ∴k OP ·k OQ 为定值－34.(20分)。
最新高考-2018年高考数学圆锥曲线综合应用专题2 精品
圆锥曲线综合应用专题二1．已知椭圆1C 的方程为2214x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别是1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线:l y kx =+C2恒有两个不同的交点A 和B ，且2O A O B ⋅>（其中O 为原点），求k 的范围.2．如图,过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)(0)P m m >作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P⑴．设点P 满足AP PB λ=（λ为实数）， 证明：()QP QA QB λ⊥-；⑵．设直线AB 的方程是2120x y -+=，过A 、B 两点 的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程．3．一束光线从点)0,1(1-F 出发，经直线032:=+-y x l 上一点P 反射后，恰好穿过点2． （Ⅰ）求点1F 关于直线l 的对称点1F '的坐标； （Ⅱ）求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；（Ⅲ）设直线l 与椭圆C 的两条准线分别交于A 、B 两点，点Q 为线段AB 上的动点，求点Q 到2F 的距离与到椭圆C 右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q 的坐标．4．已知平面上一定点(1,0)C -和一定直线: 4.l x =-Ｐ为该平面上一动点，作,PQ l ⊥垂足为Q ，0)2()2(=-⋅+→→→→PC PQ PC PQ .(1) 问点Ｐ在什么曲线上？并求出该曲线方程；点Ｏ是坐标原点，A B 、两点在点Ｐ的轨迹上，若1OA OB OC λλ+=+（），求λ的取值范围．5．如图，已知E 、F 为平面上的两个定点6||=EF ，10||=FG ，且EG EH =2，HP ·0=GE ，（G 为动点，P 是HP 和GF 的交点）（1）建立适当的平面直角坐标系求出点P 的轨迹方程；G（2）若点P 的轨迹上存在两个不同的点A 、B ，且线段AB 的中垂线与EF（或EF 的延长线）相交于一点C ，则||OC ＜59（O 为EF 的中点）．6．已知动圆过定点()1,0，且与直线1x =-相切.(1) 求动圆的圆心轨迹C 的方程；(2) 是否存在直线l ，使l 过点（0，1），并与轨迹C 交于,P Q 两点，且满足0OP OQ ⋅=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.7．已知)0,1(),0,4(N M 若动点P 满足||6= （1）求动点P 的轨迹方C 的方程；（2）设Q 是曲线C 上任意一点，求Q 到直线0122:=-+y x l 的距离的最小值.8已知抛物线x 2=2py(p>0)，过动点M(0,a)，且斜率为1的直线L 与该抛物线交于不同两点A 、B ，|AB|≤2p, （1）求a 的取值范围；（2）若p=2，a=3，求直线L 与抛物线所围成的区域的面积；BC=219．如图，直角梯形ABCD 中，∠︒=90DAB ，AD ∥BC ，AB=2，AD=23，椭圆F 以A 、B 为焦点且过点D ，（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求椭圆的方程；（Ⅱ）若点E 满足21=,是否存在斜率与的直线l k 0≠M 、F 交于椭圆N 两点，且||||NE ME =，若存在，求K 的取值范围；若不存在，说明理由. 10．已知()00,P x y 是函数()ln f x x =图象上一点，过点P 的切线与x 轴交于B ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为A .（1）求点B 坐标； （2）若()00, 1x ∈，求PAB ∆的面积S 的最大值，并求此时0x 的值.C BD参考答案1．解：（1）设双曲线2C 的方程为22221,x y a b -= （1分）则2413a =-=，再由222a b c +=得21b =， （3分）故2C 的方程为2213x y -= （4分） （2）将y kx =2213x y -=得22(13)90k x ---= （5分） 由直线l 与双曲线C2交于不同的两点得：2222130)36(13)36(1)0k k k ∆⎧-≠⎪⎨=+-=->⎪⎩ （7分）213k ∴≠且21k <① （8分）设1122(,),(,)A x y B x y，则1212229,1313x x x x k k -+==--12121212(x x y y x x kx kx ∴+=+221212237(1)()231k k x x x x k +=++++=- （10分）又2OA OB ⋅>，得12122x x y y +>2237231k k +∴>-即2239031k k -+>-，解得：213,3k <<② （12分）由①、②得：2113k <<，故k的取值范围为3(1,(,1)33--. （14分） 2．解⑴．依题意,可设直线AB 的方程为m kx y +=,代入抛物线方程y x 42=，得：2440x k x m --= ① …………………………………………………………… ２分 设A 、B 两点的坐标分别是11(,)x y 、22(,)x y ，则12,x x 是方程①的两根，所以，124x x m =-． ……………………………………………………………………… ３分由点P 满足AP PB λ=（λ为实数，1λ≠-），得0121=++λλx x ， 即12x x λ=-．又点Q 是点P 关于原点的以称点，故点Q 的坐标是(0,)m -，从而(0,2)QP m =．1122(,)(,)QA QB x y m x y m λλ-⋅=+-+1212(,(1)).x x y y m λλλ=--+- 12()2[(1)]QP QA QB m y y m λλλ⋅-=-+- =])1(44[221222121m x x x x x x m ++⋅+ =2212144)(2x mx x x x m +⋅+=221444)(2x m m x x m +-⋅+ =0 ………………………… 6分所以，()QP QA QB λ⊥-． ………………………………………………………………… 7分⑵．由221204x y x y⎧-+=⎨=⎩得点A 、B 的坐标分别是(6,9)、(4,4)-．由y x 42=得241x y =，1,2y x '=所以，抛物线y x 42=在点A 处切线的斜率为63x y ='=． …………………………………… 9分设圆C 的方程是222)()(r b y a x =-+-，则22229163(6)(9)(4)(4)b a a b a b -⎧=-⎪-⎨⎪-+-=++-⎩ ……………………………………… 11分解得：222323125,,(4)(4)222a b r a b =-==++-=．……………………………………… 13分所以，圆C 的方程是2125)223()23(22=-++y x ． ……………………………………… 14分 3．解：（Ⅰ）设1F '的坐标为),(n m ，则211-=+m n 且032212=+--⋅nm ．……2分解得52,59=-=n m ， 因此，点 1F '的坐标为)52,59(-． …………………4分（Ⅱ）11PF F P =' ，根据椭圆定义，得||||||22121F F PF F P a '=+'=22)052()159(22=-+--=，……………5分2=∴a ，112=-=b ．∴所求椭圆方程为1222=+y x ． ………………………………7分 （Ⅲ）22=c a ，∴椭圆的准线方程为2±=x ． …………………………8分设点Q 的坐标为)32,(+t t )22(<<-t ,1d 表示点Q 到2F 的距离，2d 表示点Q 到椭圆的右准线的距离．则10105)32()1(2221++=++-=t t t t d ，22-=t d ．22221)2(225210105-++⋅=-++=t t t t t t d d ， ……………………………10分令22)2(22)(-++=t t t t f )22(<<-t ，则3422)2()86()2()2(2)22()2()22()(-+-=--⋅++--⋅+='t t t t t t t t t f ，当)(,342<'-<<-t f t ，0)(,234>'<<-t f t ，34-=t ，0)(='t f ．∴ )(t f 在34-=t 时取得最小值． ………………………………13分因此，21d d 最小值＝22)34(5=-⋅f ，此时点Q 的坐标为)31,34(-．…………14分 注：)(t f 的最小值还可以用判别式法、换元法等其它方法求得．说明：求得的点Q )31,34(-即为切点P ，21d d 的最小值即为椭圆的离心率． 4．解:(1)由(2)(2)0PQ PC PQ PC +∙-=,得:2240PQ PC -=,………（2分）设(,)P x y ,则222(4)4(1)0x x y ⎡⎤+-++=⎣⎦,化简得: 22143x y +=,………（4分） 点P 在椭圆上,其方程为22143x y +=.………（6分）(2)设11(,)A x y 、22(,)B x y ，由(1)OA OB OC λλ+=+得：0CA CB λ+=，所以，A 、B 、C 三点共线.且0λ>,得:1122(1,)(1,)0x y x y λ+++=,即: 12121x x y y λλλ=---⎧⎨=-⎩…（8分）因为2211143x y +=,所以222(1)()143x y λλλ----+= ①………（9分） 又因为2222143x y +=,所以22222()()43x y λλλ+= ②………（10分）由①-②得: 2222(1)(1)14x λλλλ+++=- ,化简得:2352x λλ-=,………（12分） 因为222x -≤≤,所以35222λλ--≤≤.解得: 133λ≤≤所以λ的取值范围为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ………（1４分） 5．解：（1）如图1，以EF 所在的直线为x 轴，EF 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系.----------------------------------------1分 由题设EG EH =2，0=∙EG HP∴||||PE PG =，而a PG PE PF 2||||||==+-------------3分 ∴点P 是以E 、F 为焦点、长轴长为10的椭圆，故点P 的轨迹方程是：1162522=+y x -----------------4分（2）如图2 ，设),(11y x A ，),(22y x B ，)0,(0x C ，∴21x x ≠，且||||CB CA =，--------------------------------6分即=+-21201)(y x x 22202)(y x x +-又A 、B 在轨迹上，∴116252121=+y x ，116252222=+yx 即2121251616x y -=，2222251616x y -=---------------8分代入整理得：)(259)(22122012x x x x x -=⋅-∵21x x ≠，∴50)(9210x x x +=．---------------------10分∵551≤≤-x ，552≤≤-x ，∴101021≤+≤-x x ． ∵21x x ≠，∴101021<+<-x x∴59590<<-x ，即||OC ＜59．---------------14分 6．（1）如图，设M 为动圆圆心， F()1,0，过点M 作直线1x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN=， ………………………………………………2分即动点M 到定点F 与定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中()1,0F 为焦点，1x =-为准线， ∴ 动点R 的轨迹方程为x y 42= ………………………5分 （2）由题可设直线l 的方程为(1)(0)x k y k =-≠，由2(1)4x k y y x =-⎧⎨=⎩得2440y ky k -+=△216160k =->，11k k <->或 …………………………………7分设),(11y x P ，),(22y x Q ，则124y y k +=，124y y k =…………9分由0OP OQ ⋅=，即()11,OP x y =，()22,OQ x y =，图2x =于是12120x x y y +=，……11分即()()21212110k y y y y --+=，2221212(1)()0k y y k y y k +-++=， 2224(1)40k k k k k +-+=，解得4k =-或0k =（舍去），…………………………………13分又41k =-<-， ∴ 直线l 存在，其方程为440x y +-= ………………………………………14分 17．解：（1）设动点P （x ，y ），则),1(),0,3(),,4(y x PN MN y x MP --=-=-由已知得1243,)()1(6)4(32222=+-+-=--y x y x x 化简得，13422=+y x 即∴点P 的轨迹方程是椭圆C ：13422=+y x（2）解一：由几何性质意义知，椭圆C 与平行的切线其中一条l ‘和l 的距离等于Q 与l 的距离的最小值.设02:'=++D y x l ，入椭圆方程消去x 化简得：0)4(3121622=-++D Dy y 5585|412|40)4(192144'22距离的最小值为与距离的最小值为与l Q l l D D D ∴±±=⇒=--=∆∴解二：由集合意义知，椭圆C 与平行的切线其中一条l ‘和l 的距离等于Q 与l 的距离的最小值.设切点为134,134:),,(202000'00=+=+y x y y x x l y x R 且则，214300-=-=y x k ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⎪⎩⎪⎨⎧==2312310000y x y x 或 042'=±+∴y x l 为， 5585|412|'距离的最小值为与距离的最小值为与l Q l l ∴±解三：由椭圆参数方程设θθsin 3,cos 2(Q ）则Q 与l 距离5)30sin(4125|12sin 32cos 2|︒+-=-+=θθθd55854121)30sin(min =-==︒+∴d 时θ解四：设134),,(202000=+y x y x Q ，且Q 与l 距离5|122|00-+=y x d由柯西不等式2002002020)2()32322()124)(34(16y x yx y x +=⋅+⋅≥++=4|2|00≤+∴y x ，5585412min =-=∴d18．解：(1)设直线L 方程为：y=x+a 与抛物线联立方程组得⎩⎨⎧=+=py x a x y 22⇒x 2-2px-2ap=0∴∆=4p 2+8ap>0 a>-2px 1+x 2=2p x 1⨯x 2=-2apAB=21k + 21x x -=2212214)(x x x x -+=2ap p 842+p2≤解得a ≤-4p ， ∴ -2p <a ≤-4p(2)若p=2，a=3，则直线L 方程为：y=x+3 抛物线方程为x 2=4y⎩⎨⎧=+=y x x y 432⇒x 2-4x-12=0 ∴方程两根为-2和6 ∴ 直线与抛物线所围成区域的面积为： S=⎰--+6224)3(x x =21x 2+3x-123x 26-=368 19．（Ⅰ）以AB 中点为原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，如图则A （-1,0） B(1,0) D(-1,23) (1分) 设椭圆F 的方程为)0(12222>>=+b a b y a x （2分）得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1123)1(222222b a b a（4分）得3410417422224==∴>=+-b a a a a所求椭圆F 方程 13422=+y x （6分）（Ⅱ）由)21,0(21E 得=，显然)0(≠+=⊥k m kx y l AB l 方程设时不合条件代入1248)43(13422222=-+++=+m kmx x k y x 得 （7分）l 与椭圆F 有两不同公共点的充要条件是0)124)(43(4)8(222>-+-=∆m k km (8分)即03422>+-m k设、y x M ),(11),(),(0022y x P ，MN y x N 中点，MN PE NE ME ⊥=等价于||||2022104344382k kmx k km x x x +-=∴+-=+= (9分)200436k mm kx y +=+= （10分）kx y MN PE 12100-=-⊥得（11分）得 k k km k m 14342143622-=+--+ 得 2432k m +-= （12分）代入0234340222>⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+>∆k k 得41434022<<+<k k 得 （13分）又)21,0()0,21(0⋃-∈≠k k k 取值范围为故 （14分）解法2， 设),(),(2211y x 、N y x M ，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+13413422222121y x y x①—② 得0)(31)(4122212221=-+-y y x x212121212143y y x x x x y y x x ++⨯-=--≠得设0043),(y xk y x P MN ⨯-=得中点 得043x ky -= ③ （9分） MN PE NE ME ⊥=即||||得k x y 12100-=-得200kx ky +-= ④ （11分）由③、④得23,200-==y k x且P （x0,y0）在椭圆F 内部得4113494422<<+k k 得 （13分） 又)21,0()0,21(0⋃-∈∴≠k k k 取值范围为 （14分）20．解: （1）∵'1()f x x =，2分∴ 过点P 的切线方成为()0001ln y x x x x -=-4分令0y =，得000ln x x x x =-，即点B 的坐标为()000ln ,0x x x -6分（2）000000ln ln AB x x x x x x =--=-，00()ln PA f x x ==-①②∴()20011ln 22S AB PA x x =⋅=⋅9分()'20000001111ln 2ln ln 2222S x x x x x x =+⋅⋅=+11分由'0S <得，211x e <<，∴210,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，S 单调递增；21,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时S 单调递减；13分∴2max 22221112ln 2S S e e e e ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.∴ 当021x e =，面积S 的最大值为22e .14分。
2018年高考数学专题10.4圆锥曲线的综合应用试题文
圆锥曲线的综合应用【三年高考】1. 【2017山东，文21】在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C :22221x y a b+=(a >b >0)的离心率为2,椭圆C 截直线y =1所得线段的长度为(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)动直线l :y =kx +m (m ≠0)交椭圆C 于A ,B 两点,交y 轴于点M .点N 是M 关于O 的对称点,圆N 的半径为|NO |. 设D 为AB 的中点,DE ,DF 与圆N 分别相切于点E ,F ,求∠EDF 的最小值.【解析】2222()a a b =-，又当1y =时，2222a x a b =-，得2222a a b -=，所以224,2a b ==，因此椭圆方程为22142x y +=. （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程2224y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，得222(21)4240k x k m x m +++-=，由0∆> 得2242m k <+ （*）且122421km x x k +=+ ，因此122221m y y k +=+ ，所以222(,)2121km mD k k -++ ，又(0,)N m - ，所以222222()()2121km m ND m k k =-++++ ，整理得：2242224(13)(21)m k k ND k ++=+ ，因为NF m = ，所以2422222224(31)831(21)(21)NDk k k k k NF+++==+++ ，令283,3t k t =+≥ ，故21214t k ++= ，所以2221616111(1)2ND t t NF t t=+=++++ .令1y t t =+ ，所以211y t '=- .当3t ≥时，0y '>,从而1y t t =+在[3,)+∞上单调递增，因此1103t t +≥ ，等号当且仅当3t =时成立，此时0k =，所以22134ND NF≤+=，由（*）得m <<且0m ≠，故12ND NF≥，设2EDF θ∠=，则1s i n 2NF ND θ=≥ ，所以得最小值为6π.从而EDF ∠的最小值为3π，此时直线的斜率时.综上所述：当0k =，(m ∈⋃时，EDF ∠取得最小值为3π.2. 【2017天津，文20】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为,()0F c -，右顶点为A ，点E 的坐标为(0,)c ，EFA △的面积为22b .（I ）求椭圆的离心率；（II ）设点Q 在线段AE 上，3||2FQ c =，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在轴上，PM QN ∥，且直线PM 与直线QN 间的距离为，四边形PQNM 的面积为3c . （i ）求直线FP 的斜率； （ii ）求椭圆的方程.（ii ）解：由2a c =，可得b =，故椭圆方程可以表示为2222143x y c c+=.由（i ）得直线FP 的方程为3430x y c -+=，与椭圆方程联立22223430,1,43x y c x y c c-+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得2276130x cx c +-=，解得137c x =-（舍去），或x c =.因此可得点3(,)2cP c，进而可得5|2|c FP ==，所以53||||||22c cFP FQ Q c P -=-==.由已知，线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离，故直线PM 和QN 都垂直于直线FP .因为QN FP ⊥，所以339||||tan 248c cQN FQ QFN =⋅∠=⨯=，所以FQN △的面积为2127||||232c FQ QN =，同理FPM △的面积等于27532c ，由四边形PQNM 的面积为3c ，得22752733232c c c -=，整理得22c c =，又由0c >，得2c =.所以，椭圆的方程为2211612x y +=. 3 . 【2016高考山东文数】已知椭圆C :（a >b >0）的长轴长为4，焦距为2.（I ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B .(i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k'，证明为定值. (ii)求直线AB 的斜率的最小值.【解析】(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，由题意知24,2a c ==2,a b ===C 的方程为22142x y +=. (Ⅱ)(i)设()()0000,0,0P x y x y >>，由()0,M m ，可得()()00,2,,2.P x m Q x m - 所以 直线PM 的斜率002m m m k x x -== ，直线QM 的斜率0023'm m mk x x --==-.此时'3k k =-，所以'k k为定值3-. (ii)设()()1122,,,A x y B x y ，直线PA 的方程为y kx m =+，直线QB 的方程为3y kx m =-+.联立 22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，整理得()222214240k x mkx m +++-=.由20122421m x x k -=+可得()()2122221m x k x -=+ ，所以()()21122221k m y kx m m k x -=+=++，同理()()()()2222222262,181181m k m x y m k x k x ---==+++.所以()()()()()()()222221222222223221812118121m m k m x x k x k x k k x -----=-=++++，()()()()()()()()2222212222622286121812118121k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++ ，所以2212161116.44ABy y k k k x x k k -+⎛⎫===+ ⎪-⎝⎭由00,0m x >>，可知0k >，所以16k k +≥，等号当且仅当k =时取得.=即7m =符号题意.所以直线AB 的4．【2016高考四川文科】已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点1)2P 在椭圆E 上. (Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设不过原点O 且斜率为12 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆E 交于C ，D ，证明：MA MB MC MD ⋅=⋅．【解析】（I ）由已知，a =2b .又椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点1)2P ，故2213414b b +=，解得21b =.所以椭圆E 的方程是2214x y +=. （II ）设直线l 的方程为1(0)2y x m m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，由方程组221,41,2x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得222220x mx m ++-=，① 方程①的判别式为24(2)m ∆=-，由∆>0，即220m ->，解得m <<由①得212122,22x x m x x m +=-=-.所以M 点坐标为(,)2mm -，直线OM 方程为12y x =-，由方程组221,41,2x y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得(),)22C D -.所以25)(2)4MC MD m m m ⋅=-=-.又222212121212115[()()][()4]4416MA MB AB x x y y x x x x ⋅==-+-=+-22255[44(22)](2)164m m m =--=-.所以=MA MB MC MD ⋅⋅. 5．【2016高考上海文科】有一块正方形菜地EFGH ,EH 所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F 点或河边运走。
2018届人教A版真题模拟演练之解析几何圆锥曲线的综合应用(二)
圆锥曲线的综合应用(二)1.(2016·四川)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |，并求λ的值.2.(2016·山东)平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是32，抛物线E ：x 2＝2y 的焦点F 是C 的一个顶点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D .直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . ①求证：点M 在定直线上；②直线l 与y 轴交于点G ，记△PFG 的面积为S 1，△PDM 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值及取得最大值时点P 的坐标.考点 圆锥曲线中的探索问题1.(2015·新课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 24与直线l ：y ＝kx ＋a (a >0)交于M ，N 两点，(1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；(2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由.2.(2015·四川)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1. (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点.是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.3.(2014·北京)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论.4.(2014·山东)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|F A |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形. (1)求C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E . ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.1. (2015·山东烟台一模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点F (1，0)，过点F 且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于P ，Q 两点，当直线PQ 经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60°. (1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，线段OF 上是否存在点T (t ，0)，使得OP →·TP →＝PQ →·TQ →？若存在，求出实数t 的取值范围；若不存在，说明理由.2.(2015·湖北七市模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1，F 1、F 2为椭圆的左、右焦点，A 、B 为椭圆的左、右顶点，点P 为椭圆上异于A 、B 的动点，且直线P A 、PB 的斜率之积为－12. (1)求椭圆C 的方程；(2)若动直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，试问：在x 轴上是否存在两个定点，使得这两个定点到直线l 的距离之积为4？若存在，求出两个定点的坐标；若不存在，请说明理由.3.(2016·安徽合肥一模)设A ，B 为抛物线y 2＝x 上相异两点，其纵坐标分别为1，－2，分别以A ，B 为切点作抛物线的切线l 1，l 2，设l 1，l 2相交于点P . (1)求点P 的坐标；(2)M 为A ，B 间抛物线线段上任意一点，设PM →＝λP A →＋μPB →，试判断λ＋μ是否为定值，如果为定值，求出该定值，如果不是定值，请说明理由.4.(2015·山东青岛模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为12，且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆C 相切，点M ，N 是直线l 上的两点，且F 1M ⊥l ，F 2N ⊥l . 求四边形F 1MNF 2的面积；(3)过椭圆C 内一点T (t ，0)作两条直线分别交椭圆C 于点A ，C 和B ，D ，设直线AC 与BD 的斜率分别为k 1、k 2，若|AT |·|TC |＝|BT |·|TD |，试问k 1＋k 2是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.圆锥曲线的综合应用(二)【三年高考真题演练】 [2016年高考真题]1.(1)解 由已知，a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22b 2＋y 2b 2＝1，y ＝－x ＋3，得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2－3)，由Δ＝0，得b 2＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 23＝1.点T 的坐标为(2，1). (2)证明 由已知可设直线l ′的方程为y ＝12x ＋m (m ≠0)， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，y ＝－x ＋3，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2m3，y ＝1＋2m 3.所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3，1＋2m 3.|PT |2＝89m 2.设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 26＋y 23＝1，y ＝12x ＋m ，可得3x 2＋4mx ＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2)，由Δ>0，解得－322<m <322.由②得x 1＋x 2＝－4m3，x 1x 2＝4m 2－123.所以|P A |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2m 3－y 12＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 2.所以|P A |·|PB |＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 2＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m3（x 1＋x 2）＋x 1x 2＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 32－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m 3＋4m 2－123＝109m 2. 故存在常数λ＝45，使得|PT |2＝λ|P A |·|PB |.2.(1)解 由题意知a 2－b 2a ＝32，可得a 2＝4b 2，因为抛物线E 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以b ＝12，a ＝1，所以椭圆C 的方程为x 2＋4y 2＝1.(2)①证明 设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22(m >0)，由x 2＝2y ，可得y ′＝x ，所以直线l 的斜率为m ，因此直线l 的方程为y －m 22＝m (x －m ). 即y ＝mx －m 22.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0). 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝1，y ＝mx －m 22，得(4m 2＋1)x 2－4m 3x ＋m 4－1＝0.由Δ>0，得0<m <2＋5(或0<m 2<2＋5).(*)且x 1＋x 2＝4m 34m 2＋1，因此x 0＝2m 34m 2＋1，将其代入y ＝mx －m 22，得y 0＝－m 22（4m 2＋1），因为y 0x 0＝－14m .所以直线OD 方程为y ＝－14m x ，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14m x ，x ＝m ，得点M 的纵坐标y M ＝－14，所以点M 在定直线y ＝－14上.②解 由①知直线l 的方程为y ＝mx －m 22，令x ＝0，得y ＝－m 22，所以G ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－m 22，又P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 22，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 34m 2＋1，－m 22（4m 2＋1），所以S 1＝12·|GF |·m ＝（m 2＋1）m 4，S 2＝12·|PM |·|m －x 0|＝12×2m 2＋14×2m 3＋m 4m 2＋1＝m （2m 2＋1）28（4m 2＋1）.所以S 1S 2＝2（4m 2＋1）（m 2＋1）（2m 2＋1）2. 设t ＝2m 2＋1，则S 1S 2＝（2t －1）（t ＋1）t 2＝2t 2＋t －1t 2＝－1t 2＋1t ＋2，当1t ＝12， 即t ＝2时，S 1S 2取到最大值94，此时m ＝22，满足(*)式，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14.因此S 1S 2的最大值为94，此时点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，14.[两年经典高考真题]1.解 (1)由题设可得M (2a ，a )，N (－2a ，a )，或M (－2a ，a )，N (2a ，a ). 又y ′＝x 2，故y ＝x 24在x ＝2a 处的导数值为a ，C 在点(2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 24在x ＝－2a 处的导数值为－a ，C 在点(－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )， 即ax ＋y ＋a ＝0.故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点，证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2－4kx －4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a . 从而k 1＋k 2＝y 1－b x 1＋y 2－bx 2＝2kx 1x 2＋（a －b ）（x 1＋x 2）x 1x 2＝k （a ＋b ）a. 当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补， 故∠OPM ＝∠OPN ，所以点p (0，－a )符合题意.2.解 (1)由已知，点C 、D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )， 又点P 的坐标为(0，1)，且PC→·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0， 所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1，从而，OA →·OB →＋λP A →·PB→＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝（－2λ－4）k 2＋（－2λ－1）2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3， 此时OA →·OB →＋λP A →·PB→＝－3为定值. 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－3.3.解 (1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1. 所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切.证明如下：设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t ，2)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x.当x 0＝t 时，y 0＝－t 22，代入椭圆C 的方程，得t ＝±2， 故直线AB 的方程为x ＝±2，圆心O 到直线AB 的距离d ＝2，此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切. 当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2x 0－t (x －t )，即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离d ＝|2x 0－ty 0|（y 0－2）2＋（x 0－t ）2. 又x 20＋2y 20＝4，t ＝－2y 0x 0，故d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋2y 20x 0x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 20＋162x 20＝ 2. 此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切. 4.解 (1)由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设D (t ，0)(t ＞0)，则FD 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋2t 4，0.因为|F A |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去). 由p ＋2t4＝3，解得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)①由(1)知F (1，0).设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D ，0)(x D ＞0)， 因为|F A |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1. 由x D ＞0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2，0). 故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02.因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ， 代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8by 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 20≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4，可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)， 由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)， 直线AE 恒过点F (1，0).当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1，0).所以直线AE 过定点F (1，0). ②由①知直线AE 过焦点F (1，0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0＋1＝x 0＋1x 0＋2.设直线AE 的方程为x ＝my ＋1，因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0. 设B (x 1，y 1)，直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)，由于y 0≠0，可得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0， 代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0. 所以y 0＋y 1＝－8y 0， 可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4. 所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋8y 0－11＋m 2＝4（x 0＋1）x 0＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0. 则△ABE 的面积S ＝12×4⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0＋2≥16， 当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时等号成立. 所以△ABE 的面积的最小值为16.【两年模拟试题精练】1.解 (1)由题意知c ＝1，又b c＝tan 60°＝3，所以b 2＝3， a 2＝b 2＋c 2＝4，所以椭圆的方程为：x 24＋y 23＝1. (2)设直线PQ 的方程为：y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入x 24＋y 23＝1，得：(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点为R (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝4k 23＋4k 2，y 0＝k (x 0－1)＝－3k 3＋4k 2， 由QP→·TP →＝PQ →·TP →得：PQ →·(TQ →＋TP →)＝PQ →·(2TR →)＝0， 所以直线TR 为直线PQ 的垂直平分线，直线TR 的方程为：y ＋3k 3＋4k 2＝－1k (x －4k 23＋4k 2)， 令y ＝0得：T 点的横坐标t ＝k 23＋4k 2＝13k 2＋4， 因为k 2∈(0，＋∞)，所以3k 2＋4∈(4，＋∞)，所以t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. 所以线段OF 上存在点T (t ，0)，使得QP →·TP →＝PQ →·TQ →，其中t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14. 2.解 (1)A (－a ，0)，B (a ，0)，设P (x 0，y 0)，则x 20a 2＋y 204＝1，依题意y 0x 0＋a ·y 0x 0－a＝－12，得a 2＝8， ∴椭圆标准方程为x 28＋y 24＝1. (2)①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋p ，代入椭圆方程得 (1＋2k 2)x 2＋4kpx ＋2p 2－8＝0因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以Δ＝16k 2p 2－4(1＋ 2k 2)(2p 2－8)＝8(4＋8k 2－p 2)＝0，即4＋8k 2＝p 2.设x 轴上存在两个定点(s ，0)，(t ，0)，使得这两个定点到直线l 的距离之积为4， 则|ks ＋p |k 2＋1·|kt ＋p |k 2＋1＝|k 2st ＋kp （s ＋t ）＋p 2|k 2＋1＝4. 即 (st ＋ 4)k ＋p (s ＋t )＝0(*)，或(st ＋ 12)k 2＋(s ＋t )kp ＋8＝0 (**)由(*)恒成立，得⎩⎨⎧st ＋4＝0s ＋t ＝0，解得⎩⎨⎧s ＝2t ＝－2或⎩⎨⎧s ＝－2t ＝2(**)不恒成立. ②当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝±22时，定点(－2，0)、F 2(2，0)到直线l 的距离之积(22－2)(22＋2)＝4.综上，存在两个定点(2，0)、(－2，0)，使得这两个定点到直线l 的距离之积为定值4.3.解 (1)知A (1，1)，B (4，－2)，设点P 坐标为(x P ，y P )切线l 1：y －1＝k (x －1)，联立⎩⎨⎧y －1＝k （x －1），y 2＝x ，由抛物线与直线l 1相切，解得k ＝12，即l 1：y ＝12x ＋12，同理，l 2：y ＝－14x －1，联立l 1，l 2的方程，可解得⎩⎪⎨⎪⎧x P＝－2，y P＝－12， 即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12. (2)设M (y 20，y 0)，且－2≤y 0≤1，由PM →＝λP A →＋μPB→得， ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 20＋2，y 0＋12＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32＋μ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，－32. 即⎩⎪⎨⎪⎧y 20＋2＝3λ＋6μ，y 0＋12＝32（λ－μ）解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝（y 0＋2）29，μ＝（y 0－1）29. 则λ＋μ＝y 0＋23＋1－y 03＝1，即λ＋μ为定值1.4.解 (1)依题意，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0).离心率e ＝c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝34a 2，点⎝⎛⎭⎪⎫1，32在该椭圆C 上，所以1a 2＋94b 2＝1， 解得a 2＝4，b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)将直线的方程y ＝x ＋m 代入椭圆C 的方程3x 2＋4y 2＝12中，得7x 2＋8mx ＋4m 2－12＝0.由直线与椭圆C 仅有一个公共点知，Δ＝64m 2－28(4m 2－12)＝0， 化简得：m 2＝7.设d 1＝|F 1M |＝|－1＋m |2，d 2＝|F 2N |＝|1＋m |2， 又因为|d 1－d 2|＝|MN |，所以S ＝12|d 1－d 2|(d 1＋d 2)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪d 21－d 222＝|m |＝7， (3)由T (t ，0)，则直线AC 的方程y ＝k 1(x －t )，设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立直线与椭圆方程得(3＋4k 21)x 2－8k 21tx ＋4k 21t 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 21t 3＋4k 21，x 1·x 2＝4k 21t 2－123＋4k 21， 则|AT |＝（x 1－t ）2＋y 21＝1＋k 21|x 1－t |所以|AT |·|TC |＝(1＋k 21)|(x 1－t )(x 2－t )|＝(1＋k 21)|x 1x 2－t (x 1＋x 2)＋t 2|＝(1＋k 21)⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 21t 2－123＋4k 21－8k 21t 23＋4k 21＋t 2 ＝(1＋k 21)·|3t 2－12|3＋4k 21，又T (t ，0)为椭圆C 内一点， 所以t 24＜1即t 2＜4，所以3t 2－12＜0，所以|AT |·|TC |＝（1＋k 21）·（12－3t 2）3＋4k 21； 同理|BT |·|TD |＝（1＋k 22）·（12－3t 2）3＋4k 22所以1＋k 213＋4k 21＝1＋k 223＋4k 22，解得k 21＝k 22， 又直线AC 与BD 不重合，所以k 1＋k 2＝0为定值.。
2013-2018年圆锥曲线高考题汇总-附答案
2013-2018年圆锥曲线高考题汇总角度问题1、（18文）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN =∠∠．解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--． （2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0． 由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4． 直线BM ，BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222y x k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k ++-++++===． 所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ．综上，∠ABM =∠ABN ．2、（18理）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0). （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1.由已知可得，点A 的坐标为(1,2或(1,)2-.所以AM 的方程为y x =y =-（2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y y k k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x k k k -+++=--. 将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=. 所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++. 则3131322244128423()4021k k k k k k k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.综上，OMA OMB ∠=∠.3、（15理卷一）在直角坐标系xOy 中,曲线C:y= 与直线l:y=kx+a(a>0)交于M,N 两点.(Ⅰ)当k=0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;(Ⅱ)y 轴上是否存在点P,使得当k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.解析 (Ⅰ)由题设可得M(2 ,a),N(-2 ,a)或M(-2 ,a),N(2 ,a).又y'= ,故y= 在x=2 处的导数值为 ,C 在点(2 ,a)处的切线方程为y-a= (x-2 ),即 x-y-a=0.y= 在x=-2 处的导数值为- ,C 在点(-2 ,a)处的切线方程为y-a=- (x+2 ),即 x+y+a=0. 故所求切线方程为 x-y-a=0和 x+y+a=0.(5分)(Ⅱ)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),直线PM,PN 的斜率分别为k 1,k 2.将y=kx+a 代入C 的方程得x 2-4kx-4a=0.故x 1+x 2=4k,x 1x 2=-4a.从而k 1+k 2= - + - = = .当b=-a 时,有k 1+k 2=0,则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.(12分)定点问题1、（17理卷2）已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1），P 4（1中恰有三点在椭圆C 上.（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m km k m k k --+⋅+-⋅=++. 解得12m k +=-. 当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）2、（17理卷二）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.(1) 求点P 的轨迹方程；设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .【解析】（1）设(,)P x y ，(,)M x y ''，(,0)N x '即0x x x x y y '=⎧'-=⎧⎪⎪⇒⎨⎨'='=⎪⎩⎪⎩代入椭圆方程2212x y ''+=，得到222x y += ∴点P 的轨迹方程222x y +=。
2018年高考数学三轮冲刺专题圆锥曲线几何性质的应用练习题理
圆锥曲线几何性质的应用1.已知双曲线22:145x y C -=的焦点为1F ， 2F ， P 为双曲线C 上的一点且12F PF 的内切圆半径为1，则12F PF 的面积为________.2.点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上的一点，其右焦点为2F ，若直线2PF 的斜率为3，M 为线段2PF 的中点，且M F OF 22=，则该双曲线的离心率为______．3.双曲线C ： 22142x y -=的左、右焦点1F ， 2F ，过1F 的直线交双曲线左支于A ， B 两点，则22AF BF +的最小值为__________．4.已知椭圆221167x y +=的右焦点为F ， P 是椭圆上一点，点()0,33A ，当APF ∆的周长最大时， APF ∆的面积为__________．5.如图，已知抛物线282y x =的焦点为F ，直线l 过点F 且依次交抛物线及圆()22222x y -+=于,,,A B C D四点，则4AB CD +的最小值为（ ）A. 32521321826. 已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为,A B ， F 为椭圆C 的右焦点，圆224x y +=上有一动点P ， P不同于,A B 两点，直线PA 与椭圆C 交于点Q ，则PBQFk k 的取值范围是（ ） A. 33,0,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()3,00,4⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭C. ()(),10,1-∞-⋃D. ()(),00,1-∞⋃7.双曲线221x y -=的左右顶点分别为12,A A ，右支上存在点P 满足5βα=（其中,αβ分别为直线12,A P A P 的倾斜角），则α=（ ） A.36πB.24πC.18πD.12π8.已知双曲线2221(0)x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ， 2F 23 P 为双曲线右支上一点，且满足2212415PF PF -=，则12PF F ∆的周长为（ ）A. 25252 C. 254 D. 234+9.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点()1,0P -的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若23FQ =，则AB =（ ）32333 D. 4310.已知M 是抛物线()2:20C y px p =>上一点， F 是抛物线C 的焦点，若MF p =， k 是抛物线C 的准线与x 轴的交点，则MKF ∠=（ ）A. 45°B. 30°C. 15°D. 60°11.过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作斜率大于0的直线l 交抛物线于A ， B 两点（A 在B 的上方），且与准线交于点C ，若4CB BF =，则AF BF=（ ）A.53 B. 52C. 3D. 2 12.已知抛物线C ：)40(22<<=p px y 的焦点为F ，点P 为C 上一动点，)0,4(A ，)2,(p p B ，且||PA 的最小值为15，则||BF 等于（ ）A ．4B ．29 C ．5 D ．211 13.设点P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若21212F IF IPF IPF S S S ∆∆∆=+，则该椭圆的离心率是（ ）A ．41 B ．22 C ．21D ．2314. 在等腰梯形中，，其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意都有不等式()2128e e t +<恒成立，则t 的最大值为（ ） A.74 B. 38 C. 58 D. 5415.已知椭圆和双曲线有共同焦点12,F F , P 是它们的一个交点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则121e e 的最大值为（ ）234316.已知双曲线2221y x b-=的左右焦点分别为12F F 、，过点2F 的直线交双曲线右支于A B 、两点，若1ABF ∆是等腰三角形， 120A ∠=︒.则1ABF ∆的周长为（ ） A. )221-434+834838+ 17.已知椭圆C ： 22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为32，短轴端点到焦点的距离为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ， B 为椭圆C 上任意两点， O 为坐标原点，且OA OB ⊥.求证：原点O 到直线AB 的距离为定值，并求出该定值.18.如图，已知点(1,0)F ，点A ，B 分别在x 轴、y 轴上运动，且满足AB AF ⊥，2AD AB =，设点D 的轨迹为C ．（1）求轨迹C 的方程； （2）若斜率为12的直线l 与轨迹C 交于不同两点P ，Q (位于x 轴上方)，记直线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k +的取值范围．19.已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>经过点21,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝，且离心率为22.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ： y x m =+与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，求OAB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）． 20.已知抛物线()2:20E x px p =>上一点P 的纵坐标为4，且点P 到焦点F 的距离为5.（1）求抛物线E 的方程；（2）设斜率为k 的两条平行直线12,l l 分别经过点F 和()0,1H -，如图. 1l 与抛物线E 交于,A B 两点， 2l 与抛 物线E 交,C D 两点.问：是否存在实数k ，使得四边形ABCD 的面积为434？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.21.已知点C 的坐标为()1,0，,A B 是抛物线2y x =上不同于原点O 的相异的两个动点，且0OA OB =．（1）求证：点,,A C B 共线；（2）若()AQ QB R λλ=∈，当0OQ AB =时，求动点Q 的轨迹方程．22．在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点12,F F ，交y 轴于点12,B B .以12,B B 为顶点， 12,F F 分别为左、右焦点的椭圆E ，恰好经过点2⎛ ⎝.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设经过点()2,0-的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，求2F MN ∆面积的最大值.。