点集拓扑学第二章拓扑空间与连续映射2-3.4介绍
拓扑学第2章拓扑空间连续映射
第二章 拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念: 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.教材中先介绍度量空间概念，由于刚刚结束泛函分析课程，所以此节不讲，而补充如下内容。
§ 2-1 数学分析中对连续性的刻画由于映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念，所以，我们先回顾一下数学分析中函数的连续性是如何刻画的。
设11:f E E →是一个函数，10x E ∈，则f 在0x 处连续的定义有如下几种描述方法：（1）序列语言若序列1,2,{}n n x = 收敛于0x ，则序列1,2,{()}n n f x = 收敛于0()f x ；（2）εδ-语言对于0ε∀>，总可以找到0δ>，使当0x x δ-<时，有0()()f x f x ε-<（3）邻域语言若V 是包含0()f x 的邻域（开集），则存在包含0x 的邻域U ，使得()f U V ⊂。
解释：（1）和（2）中用到距离的概念，可用于度量空间映射连续性的描述； 对于没有度量的场合，可以用（3）来描述；所谓拓扑空间就是具有邻域（开集）结构的空间。
§ 2-2 拓扑空间的定义一、 拓扑的定义注：这是关于拓扑结构性的定义定义1 设X 是一非空集，X 的一个子集族2Xτ⊆称为X 的一个拓扑，若它满足（1）,X τ∅∈；（2）τ中任意多个元素（即X 的子集）的并仍属于τ；(3) τ中有限多个元素的交仍属于τ。
集合X 和它的一个拓扑τ一起称为一个拓扑空间，记(,)X τ。
τ中的元素称为这个拓扑空间的一个开集。
下面我们解释三个问题：(1)拓扑公理定义的理由； (2) 为什么τ中的元素称为开集；(3) 开集定义的完备性。
● 先解释拓扑定义的理由:① 从εδ-语言看：0x x δ-<和0()()f x f x ε-<分别为1E 上的开区间；② 从邻域语言看：,U V 是邻域，而()f U 是0()f x 的邻域，连续的条件是()f U V ⊂，即一个邻域包含了另一个邻域，也就是说，0()f x 是V 的内点，有内点构成的集合为开集。
点集拓扑学
点集拓扑学的基本概念参考文献:熊金城, 点集拓扑讲义(第二版), 第二章.1.度量空间与连续映射首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义，一个函数R R f →:被称为在点R x ∈0处是连续的，如果对于任意实数0>ε，存在实数0>δ，使得对于任何R x ∈，当δ<-0x x 时，恒有ε<-)()(0x f x f .在这个定义中只涉及两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，而与实数的其它性质无关．关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下我们从这一考察出发，抽象出度量和度量空间的概念．定义 1.1 设X 是一个集合，R X X →⨯:ρ是映射．如果对于任何X z y x ∈,,，有(1)正定性，0),(≥y x ρ，并且0),(=y x ρ当且仅当y x =； (2)对称性，),(),(x y y x ρρ=； (3) 三角不等式，),(),(),(z y y x z x ρρρ+≤.则称ρ是X 上的一个度量。
若ρ是集合X 上的一个度量，则称偶对),(ρX 是一个度量空间，或称X 是一个具有度量ρ的度量空间．当度量ρ早有约定时，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们就称X 是一个度量空间．此外，对于任意两点X y x ∈,，实数),(y x ρ称为点x 和点y 之间的距离．例1.2 实数空间R .对于实数集合R ，定义R R R →⨯:ρ如下：对于任意R y x ∈,,令y x y x -=),(ρ容易验证ρ是R 的一个度量，因此偶对),(ρX 是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或实直线，这里定义的度量ρ称为R 的通常度量，并且常常略而不写ρ，简称R 为实数空间． 例1.3 n 维欧式空间n R .对于实数集合R 的n 重笛卡尔集R R R R n ⨯⨯⨯= ，定义R R R n n →⨯:ρ如下：对于任意的n n n R y y y y x x x x ∈==),,,(),,,,(2121 ，令∑=-=n i i i y xy x 12)(),(ρ.容易验证ρ是n R 的一个度量，因此偶对),(ρn R 是一个度量空间．这个度量空间特别地称为n 维欧氏空间．这里定义的度量ρ称为n R 的通常度量，并且常常略而不写ρ，而称n R 为n 维欧氏空间．2维欧氏空间通常称为欧氏平面或平面．例1.4 Hilbert 空间记H 为平方收敛的所有实数序列构成的集合，即：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞<∈∈==∑∞=1221,,),,(i i i x N i R x x x x H定义R H H →⨯:ρ如下：对任意的H y y y x x x ∈==),,(),,(21,21 ，∑∞=-=12)(),(i i i y xy x ρ容易验证ρ是H 的一个度量，偶对（H ，ρ）是一个度量空间，这个度量空间称为Hilbert 空间。
2.2 拓扑空间和连续映射
2.2 拓扑空间2.2.1 拓扑空间的基本概念定义2.2.1 设X 是一非空集，τ是X 的某些子集组成的一个集类，若τ满足：(1),X ττ∅∈∈；(2) 若,1,2,,i A i n τ∈= , 则1ni i A τ=∈ ；(3) 若,A I ατα∈∈，则IA αατ∈∈ , 其中指标集I 可以是有限集、可数集或不可数集； 则称τ为X 上的一个拓扑（结构）。
并称(,)X τ为拓扑空间，有时简写(,)X τ为X .τ中的元素称为X 的τ-开集，简称开集。
空间X 中的元素称为点。
若开集A （即：A τ∈）含有点x ，则称A 为x 的邻域，任何开集E （即：E τ∈）的余集c E X E =-称为闭集。
若拓扑空间(,)X τ又满足如下条件 (4) 若对,x y X ∀∈，当x y ≠时，必存在,x y 的邻域,U V ，使U V =∅ ，则称(,)X τ是Hausdorff 空间.注 在度量空间中，我们总是把按定义2.2.1的方法定义的开集全体作为拓扑,因此，度量空间自然地成为一个拓扑空间，而且是Hausdorff 空间。
例2.2.1 设τ是1R 中所有开的实数集构成的集族，则τ是1R 上的一个拓扑，并称之为1R上的通常拓扑或标准拓扑(usual topology ).类似地， 2R 平面上所有开集构成的集族τ是2R 上的一个拓扑，也称之为2R 上的通常拓扑或标准拓扑(usual topology ).例2.2.2 设{,,,,}Xa b c d e =，考察X 的子集族123{,,{},{,},{,,},{,,,}},{,,{},{,},{,,},{,,}},{,,{},{,},{,,},{,,,}}X a c d a c d b c d e X a c d a c d b c d X a c d a c d a b d e τττ=∅=∅=∅ 则1τ是X 上的一个拓扑，但2τ和3τ都不是X 上的拓扑。
点集拓扑学第二章拓扑空间与连续映射234
➢ 回答: 不是
定理2.14. 设X是一个拓扑空间．记F为所有闭集 构成的族．则：
➢ (1)
➢ (2) 若A, B∈ . 则A∪B∈
➢ (3) 若
.则 ∈
➢ 有限个开集的交是开集，任意个开集的并是开 ➢集．其余情形不一定． ➢ 有限个闭集的并闭集，任意个闭集的交是闭 ➢集．其余情形不一定．
➢ 3. 闭 包
定义2.13. 设X是一个拓扑空间，
,集合A
与A的导集d(A)的并A∪d(A)称为集合A的闭包,记
作:
定理2.15 拓扑空间X的子集A是闭集的充要 条件是 证明: 集合A为闭集当且仅当d(A)
而这又当且仅当A=A∪d(A)
定理2.16 设X是一个拓扑空间,则对于任意 A,B∈X,有：
包含于A的象的闭包，即 (4) 对于Y中的任何一个子集B， B的原象的闭
包含于B的闭包的原象，即
证明 (1)蕴涵(2)．设
是闭集
则 是一个开集，因此根据 (1)
是X中的一个开集，因此 是X中的一个闭集．
(2)蕴涵(3). 设
,
由于f(A)
根据(2)，
成立．
(3)蕴涵(4)设 应用(3)即得:
集合
定理2.13 设X是一个拓扑空间，
则A是一个闭集，当且仅当A的补集 是开集.
证明必要性：设A是一个闭集 充分性：设：
即A是一个闭集．
例2.6 实数空间R中作为闭集的区间． 设a,b∈R，a＜b．闭区间[a,b]是实数空间R 中的一个闭集. (-∞,a]，[b,∞)都是闭集，(-∞,∞)＝R显然更 是一个闭集．
§2.4 拓扑基与邻域基
定义2.16. 设 为拓扑空间, B
点集拓扑讲义.ppt
称 (X , ) 是一个度量空间. 在不至引
起混淆的前提下，迳称 X 是一个度量
空间； (x, y) 称为点 x 到 y 的距离.
3
常见度量空间
➢➢➢实实实数数数空集空间间R RR
设设 ::RRRRRR ,,对对于于任任意意xx,,yy∈∈RR,, 令令((xx,,yy))||xxyy||,,容容易易验验证证 是是 RR 的的
间间，，ff :: XX YY，，xx00 XX 则则下下述述条条件件
((11))和和((22))分分别别等等价价于于条条件件((11)) **和和((22))**：：
((11)) ff 在在点点 xx00 处处是是连连续续的的；；
((11))** ff ((xx00))的的每每一一个个邻邻域域的的原原象象是是
由由由于于于
AAA000AA是是A是一一一个个个使使使开开开得得得集集集xxx，，，从从从AAA而而而000 ,,存存,存在在在
AA
BBB(((xxx,,,))) 满满满足足足
BBB(((xxx,,,))) AAA000 UUU AAAAAA AAA
故故故AAUUUAA AAA是是是开开开集集集... AA 18
一一个个度度量量..
(R, )称为实数空间或直线.这
个度量称为 R 的通常度量，并且常常
迳称 R 为实数空间．
4
常见度量空间
➢➢➢nnn维重 重重欧笛 笛笛氏卡 卡卡空儿 儿儿间积 积积RRRnRnnn 定 定定义 义义 :::RRRnnn RRRnnn RRR
能对 对对够任 任任验意 意意证xxx(((xxx为111,,,xxx22R2,,,LLnL的,,,xxx度nnn)))， ，量，xxx，((称(yyy111,,,(yyyR222,,n,LLL, ,,,)yyynnn)))
第二章 拓扑空间与连续映射
-1
2.3 邻域
定义2 定义2.3.1 设(X, T)是拓扑空间. x∈X, UX称为x 的邻域, 如果存在V∈T使x∈VU; 若U是开的, U称 为x的开邻域. 定理2.3.1 设UX. U是X的开集U是它的每一 定理2 点的邻域. 证 由定义得“”; 利用开集之并为开得 “” . x在X的所有邻域构成的族称为x的邻域系, 记为 Ux.
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宁德师范高等专科学校
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2.2 拓扑空间与连续映射(3)
定义2 定义2.2.3 可度量化空间. 离散空间是可度量化空间. 多于一点的平庸空间不是可 度量化空间. 度量化问题是点集拓扑学研究的中心问题之 一. 本书将在§6.6中给出该问题的一个经典的解. 定义2 定义2.2.4 X, Y是两拓扑空间. f: X→Y. 称f连续, 若Y中每 -1 一开集U的原象f (U)是X中的开集. 定理2 定理2.2.1 恒同映射连续. 连续函数的复合是连续的. 定义2.2.5 f: X→Y称为同胚或同胚映射, 若f是一一映射且 定义2 -1 f及f 均连续.
设f是包含a的所有闭集之交20121027宁德师范高等专科学校2224定理249对度量空间x20121027宁德师范高等专科学校232420121027宁德师范高等专科学校2425定义251a的所有内点的集合称为a的内部记为a20121027宁德师范高等专科学校2525是a所包含的所有开集之并是含于a内的最大开集
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2.3 邻域(3)
利用邻域与开集的关系(定理2.3.1)导出开集, 从Ux(x∈X) 具有定理2.3.2的性质的(1)-(4)出发, 定义 T={UX|x∈U, U∈Ux}, 则(X, T)是拓扑空间, 且这空间中每一点x的邻域系 恰是Ux. 详见定理2.3.3. 定义2.3.2(点连续) 映射f: X→Y称为在点x∈X连续, 如果U 定义2 -1 是f(x)在Y中的邻域, 则f (U)是x在X中的邻域. 定理2.1.4保证了在度量空间中点的连续性与由度量导出 的拓扑空间中的点的连续性的一致. 另一方面, 关于点的连 续性, 易验证(定理2.3.4), 恒等映射在每一点连续, 两点连续 的函数之复合仍是点连续的.
《点集拓扑学》第二章 拓扑空间与连续映射 学习笔记
第2章度量空间与连续映射从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数，它们的定义域和值域都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中我们首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射（参见§2.1）．然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射（参见§2.2）．随后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等．§2.1度量空间与连续映射本节重点：掌握拓扑学中度量的概念及度量空间中的连续映射的概念．注意区别：数学分析中度量、连续映射的概念与本节中度量、连续映射的概念．注意，在本节的证明中,应细细体会证明的方法．首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义．函数f：R→R 称为在点∈R处是连续的，如果对于任意实数ε＞0，存在实数δ＞0，使得对于任何x∈R，当|x-|<δ时,有|f(x)-f()|<ε.在这个定义中只涉及两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，而与实数的1其它性质无关，关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下，我们从这一考察出发，抽象出度量和度量空间的概念.定义2.1.1 设X是一个集合，ρ：X×X→R．如果对于任何x，y，z∈X，有（1）（正定性），ρ(x,y)≥0并且ρ(x,y)＝0当且仅当x=y；（2）(对称性)ρ(x,y)=ρ(y,x)；（3）（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z)则称ρ是集合X的一个度量．如果ρ是集合X的一个度量，称（X，ρ）是一个度量空间，或称X是一个对于ρ而言的度量空间．有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们称X是一个度量空间．此外，对于任意两点x，y∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离．着重理解：度量的本质是什么？例2.1.1 实数空间R．对于实数集合R，定义ρ：R×R→R如下：对于任意x，y∈R，令ρ（x，y）=|x-y|．容易验证ρ是R的一个度量，因此偶对（R，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或直线．这里定义的度量ρ，称为R的通常度量，并且常常略而不提，迳称R为实数空间．（今后我们说实数空间，均指具有通常度量的实数空间．）例2.1.2 n维欧氏空间．对于实数集合R的n重笛卡儿积＝R×R×…×R定义ρ：×→R如下：对于任意x=（）,y=，令ρ（x，y ）＝容易验证（详见课本本节最后部分的附录）ρ是的一个度量，因此偶对(，ρ)是一个度量空间．这个度量空间特别地称为n维欧氏空间．这里定义的度量ρ，称为的通常度量，并且常常略而不提，迳称为n维欧氏空间．2维欧氏空间通常称为欧氏平面或平面．（今后说通常度量，均指满足这种公式的度量）例2.1.3 Hilbert空间H．记H为平方收敛的所有实数序列构成的集合，即H＝{x=()|<∞}定义ρ如下：对于任意x ＝（），y ＝（）∈H令ρ(x,y)=说明这个定义是合理的（即验证<∞）以及验证ρ是H的一个度量，均请参见课本本节最后部分的附录．偶对（H，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为Hilbert空间．这里定义的度量ρ称为H的通常度量，并且常常略而不提，迳称H为Hilbert空间．3例2.1.4 离散的度量空间．设（X，ρ）是一个度量空间．称（X，ρ）是离散的，或者称ρ是X的一个离散度量，如果对于每一个x∈X，存在一个实数＞0使得ρ（x，y）＞对于任何y∈X，x≠y，成立．例如我们假定X是一个集合，定义ρ：X×X→R使得对于任何x，y∈X，有ρ(x,y)=容易验证ρ是X的一个离散的度量，因此度量空间（X，ρ）是离散的．通过这几个例子，可知，度量也是一种映射，但它的象空间是实数．离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过的一类空间，但今后会发现它的性质是简单的．定义 2.1.2 设（X，ρ）是一个度量空间，x∈X．对于任意给定的实数ε＞0，集合{y∈X|ρ（x，y）<ε}记作B（x，ε），或，称为一个以x为中心以ε为半径的球形邻域,简称为x的一个球形邻域，有时也称为x的一个ε邻域．此处的球形邻域是球状的吗？定理2.1.1 度量空间（X，ρ）的球形邻域具有以下基本性质：（1）每一点x∈X,至少有一个球形邻域，并且点x属于它的每一个球形邻域；（2）对于点x∈X的任意两个球形邻域，存在x的一个球形邻域同时包含于两者；(3) 如果y∈X属于x∈X的某一个球形邻域，则y有一个球形邻域包含于x的那个球形邻域．证明:（1）设x∈X．对于每一个实数ε＞0，B（x，ε）是x的一个球形邻域，所以x至少有一个球形邻域；由于ρ（x，x）=0，所以x属于它的每一个球形邻域．(2)如果B（x ，）和B（x ，）是x∈X的两个球形邻域，任意选取实数ε＞0，使得ε＜min{ }，则易见有B（x，ε）B（x ，）∩B（x ，）即B（x，ε）满足要求．（3）设y∈B（x，ε）．令＝ε-ρ（x，y ）．显然．＞0．如果z∈B （y ，），则ρ（z，x）≤ρ（z，y）+ρ（y，x ）＜+ρ（y，x）=ε所以z∈B（x，ε）．这证明B（y ，）B（x，ε）．定义2.1.3 设A是度量空间X的一个子集．如果A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A（即对于每一个a∈A，存在实数ε＞0使得B（a，ε）A，则称A是度量空间X中的一个开集．注意：此处的开集仅是度量空间的开集．例2.1.5 实数空间R中的开区间都是开集．设a，b∈R，a＜b．我们说开区间（a，b）={x∈R|a＜x＜b}是R中的一个开集．这是因为如果x∈（a，b），若令ε＝min{x-a，b-x}，5则有B（x，ε）（a，b）．也同样容易证明无限的开区间（a，∞）＝{x∈R|x＞a}，（-∞，b）={x∈R|x＜b}（-∞,∞）＝R都是R中的开集．然而闭区间[a，b]={x∈R|a≤x≤b}却不是R中的开集．因为对于a∈[a，b]而言，任何ε＞0，B（x，ε）[a,b]都不成立．类似地，半开半闭的区间（a，b]={x∈R|a＜x≤b}，[a，b)＝{x∈R|a≤x＜b}无限的闭区问[a，∞)={x∈R|x≥a},（－∞，b]={x∈R|x≤b}都不是R中的开集．定理2.1.2 度量空间X中的开集具有以下性质：（1）集合X本身和空集都是开集；（2）任意两个开集的交是一个开集；（3）任意一个开集族（即由开集构成的族）的并是一个开集．证明根据定理2.1.1（1）X中的每一个元素x都有一个球形邻域，这个球形邻域当然包含在X 中，所以X满足开集的条件；空集中不包含任何一个点，也自然地可以认为它满足开集的条件．（2）设U和V是X中的两个开集．如果x∈U∩V，则存在x的一个球形邻域B（x，）包含于U，也存在x的一个球形邻域B（x，）包含于V．根据定理，x有一个球形邻域B（x，ε）同时包含于B（x，）和B（x，），因此B（x，ε）B（x，）∩B（x，）U∩V由于U∩V中的每一点都有一个球形邻域包含于U∩V，因此U∩V是一个开集．（3）设*Α是一个由X 中的开集构成的子集族．如果，则存在∈*A使得x∈由于是一个开集，所以x 有一个球形邻域包含于，显然这个球形邻域也包含于．这证明是X中的一个开集．此外，根据定理，每一个球形邻域都是开集．球形邻域与开集有何联系？为了讨论问题的方便，我们将球形邻域的概念稍稍作一点推广．定义2.1.4 设x是度量空间X中的一个点，U是X的一个子集．如果存在一个开集V满足条件：x∈V U，则称U是点x的一个邻域．下面这个定理为邻域的定义提供了一个等价的说法，并且表明从球形邻域推广为邻域是自然的事情．定理2.1.3 设x是度量空间X中的一个点．则X的子集U是x的一个邻域的充分必要条件是x有某一个球形邻域包含于U．证明如果U是点x的一个邻域，根据邻域的定义存在开集V使得x∈V U，又根据开集的定义，x有一个球形邻域包含于V，从而这个球形邻域也就包含于U．这证明U满足定理的条件．反之，如果U满足定理中的条件，由于球形邻域都是开集，因此U是x的邻域．现在我们把数学分析中的连续函数的概念推广为度量空间之间的连续映射．7定义2.1.5 设X和Y是两个度量空间，f:X→Y，以及∈X如果对于f()的任何一个球形邻域B（f(),ε），存在的某一个球形邻域B（，δ），使得f(B（，δ）)B（f（），ε），则称映射在点处是连续的．如果映射f在X的每一个点x∈X处连续，则称f是一个连续映射．以上的这个定义是数学分析中函数连续性定义的纯粹形式推广．因为如果设ρ和分别是度量空间X和Y中的度量，则f在点处连续，可以说成：对于任意给定的实数ε＞0，存在实数δ＞0使得对于任何x∈X只要ρ（x，）＜δ（即x∈B（,δ）便有(f(x),f())＜ε.（即f(x)∈B（f()，ε））．下面的这个定理是把度量空间和度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的出发点．定理2.1.4 设X和Y是两个度量空间，f：X→Y以及∈X．则下述条件（1）和（2）分别等价于条件（1）*和（2）*：（1）f在点处是连续的；（1）*f()的每一个邻域的原象是的一个邻域；（2）f是连续的；（2）*Y中的每一个开集的原象是X中的一个开集．证明条件（1）蕴涵（1）*：设（1）成立．令U为f（）的一个邻域．根据定理2.1.3，f（）有一个球形邻域B（f（），ε）包含于U．由于f 在点处是连续的，所以有一个球形邻域B（，δ）使得f（B（，δ））B（f（），ε）．然而，（B（f9（），ε）（U ），所以 B （，δ）（U ），这证明（U ）是的一个邻域．条件（1）*蕴涵（1）．设条件（1）*成立．任意给定f （）的一个邻域B （f(),ε），则（B （f()，ε）是的一个邻域．根据定理2.1.3，有一个球形邻域B （，δ）包含于（B （f （），ε）．因此f （B （，δ））B （f （），ε）．这证明f 在点处连续．条件（2）蕴涵（2）*．设条件（2）成立．令V 为Y 中的一个开集， U ＝（V ）．对于每一个x∈U，我们有f （x ）∈V．由于V 是一个开集，所以V 是f （x ）的一个邻域．由于f 在每一点处都连续，故根据（1）*，U 是x 的一个邻域．于是有包含x 的某一个开集Ux 使得UxU ．易见U ＝∪x∈UUx．由于每一个Ux 都是开集，根据定理2.1.2，U 是一个开集．条件（2）*蕴涵（2）．设（2）*成立，对于任意x∈X，设U 是f （x ）的一个邻域，即存在包含f （x ）的一个开集V U ．从而x∈（V ）（U ）．根据条件（2）*，（V ）是一个开集，所以（U ）是x 的一个邻域，对于x而言，条件（1）*成立，于是f 在点x 处连续．由于点x 是任意选取的，所以f 是一个连续映射．从这个定理可以看出：度量空间之间的一个映射是否是连续的，或者在某一点处是否是连续的，本质上只与度量空间中的开集有关（注意，邻域是通过开集定义的）．这就导致我们甩开度量这个概念，参照度量空间中开集的基本性质（定理作业： P47§2.2拓扑空间与连续映射本节重点:拓扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映射的概念.注意区别:拓扑空间的开集与度量空间开集的异同；连续映射概念的异同.现在我们遵循前一节末尾提到的思路，即从开集及其基本性质（定理定义2.2.1 设X是一个集合，τ是X的一个子集族．如果τ满足如下条件：（l）X，∈τ；（2）若A，B∈T，则A∩B∈τ；（3）若则称τ是X的一个拓扑．如果τ是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，τ）是一个拓扑空间，或称集合X是一个相对于拓扑τ而言的拓扑空间；此外T的每一个元素都叫做拓扑空间（X，τ）或（X）中的一个开集．即：A∈τA是开集.（此定义与度量空间的开集的性质一样吗？留给大家思考）经过简单的归纳立即可见，以上定义中的条件（2）蕴涵着：有限多个开集的交仍是开集，条件（3）蕴涵着：任意多个开集的并仍是开集．现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴．定义2.2.2 设（X，ρ）是一个度量空间·令为由X 中的所有开集构成的集族．根据定理2.1.2，（X，）是X的一个拓扑．我们称为X的由度量ρ诱导出来的拓扑．此外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度量空间（X，ρ）的拓扑时，指的就是拓扑；在称度量空间（X，ρ）为拓扑空间时，指的就是拓扑空间（X ，）因此，实数空间R，n维欧氏空间（特别，欧氏平面），Hilbert空间H都可以叫做拓扑空间，它们各自的拓扑便是由例2.1.1，例例2.2.1 平庸空间．设X是一个集合．令T={X，}．容易验证，T是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑；并且我们称拓扑空间（X，T）为一个平庸空间．在平庸空间（X，T）中，有且仅有两个开集，即X本身和空集．例2.2.2 离散空间．设X是一个集合．令T=P（X），即由X的所有子集构成的族．容易验证，T是X的一个拓扑，称之为X的离散拓扑；并且我们称拓扑空间（X，T）为一个离散空间.在离散空间（X，T）中，X的每一个子集都是开集．例2.2.3 设X＝{a，b，c}．令T ={，{a}，{a，b}，{a，b，c}}．容易验证，T是X的一个拓扑，因此（X，T）是一个拓扑空间．这个拓扑空间既不是平庸空间又不是离散空间．例2.2.4 有限补空间．11设X是一个集合．首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础集自明时，我们并不每次提起．因此在后文中对于X的每一个子集A，它的补集X－A我们写为．令T ={U X|是X的一个有限子集}∪{}先验证T是X的一个拓扑：（1）X∈T (因为=)；另外，根据定义便有∈T．（2）设A，B∈T如果A和B之中有一个是空集，则A∩B∈T,假定A和B都不是空集．这时是X的一个有限子集，所以A∩B∈T ．（3）设．令,显然有如果，则设任意选取．这时是X 的一个有限子集，所以根据上述（1），（2）和（3），P是X的一个拓扑，称之为X的有限补拓扑．拓扑空间（X，P）称为一个有限补空间．例2.2.5 可数补空间．设X是一个集合．令T ={U X|是X的一个可数子集}∪{}通过与例是X的一个拓扑，称之为X的可数补拓扑．拓扑空间（X，T ）称为一个可数补空间．一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围更广一点？换句话就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度量诱导出来？定义2.2.3 设（X，P）是一个拓扑空间．如果存在X的一个度量ρ使得拓扑P即是由度量ρ诱导出来的拓扑，则称（X，P）是一个可度量化空间．根据这个定义，前述问题即是：是否每一个拓扑空间都是可度量化空间？从§2．1中的习题2和3可以看出，每一个只含有限个点的度量空间作为拓扑空间都是离散空间．然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话，它肯定不是离散空间，因此它不是可度量化的；例，但不是离散空间，也不是可度量化的．由此可见，拓扑空间是比可度量空间的范围要广泛．进一步的问题是满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？这是点集拓扑学中的重要问题之一，以后我们将专门讨论．现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射．定义2.2.4 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．如果Y 中每一个开集U 的原象（U）是X中的一个开集，则称f是X到Y的一个连续映射，或简称映射f连续．按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，明显是受到了§2．1中的定理，如果f:X→Y是从度量空间X到度量空间Y的一个连续映射，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个连续映射，反之亦然．（按照约定，涉及的拓扑当然都是指诱导拓扑）13下面的这个定理尽管证明十分容易，但所指出的却是连续映射的最重要的性质．定理2.2.1 设X，Y和Z都是拓扑空间．则（1）恒同映射：:X→X是一个连续映射；（2）如果f:X→Y和g:Y→Z都是连续映射，则gof:X→Z也是连续映射．证明（l），所以连续．（2）设f:X→Y,g:Y→Z都是连续映射这证明gof连续．在数学科学的许多学科中都要涉及两类基本对象．如在线性代数中我们考虑线性空间和线性变换，在群论中我们考虑群和同态，在集合论中我们考虑集合和映射，在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等等．并且对于后者都要提出一类来予以重视，例如线性代数中的（线性）同构，群论中的同构，集合论中的—一映射，以及初等几何学中的刚体运动（即平移加旋转）等等．我们现在已经提出了两类基本对象，即拓扑空间和连续映射．下面将从连续映射中挑出重要的一类来给予特别的关注．定义2.2.5 设X和Y是两个拓扑空间．如果f：X→Y是一个—一映射，并且f和：Y→X都是连续的，则称f是一个同胚映射或同胚．定理2.2.2 设X，Y和Z都是拓扑空间．则（1）恒同映射：X→X是一个同胚；（2）如果f：X→Y是一个同胚，则：Y→X也是一个同胚；（3）如果f：X→Y和g：Y→Z都是同胚，则gof：X→Z也是一个同胚．证明以下证明中所涉及的根据，可参见定理2.2.1，定理l．5．3和定理1．5．4．（l ）是一个—一映射，并且，都是连续的，从而是同胚．（2）设f：X→Y是一个同胚．因此f是一个—一映射，并且f和都是连续的．于是也是一个—一映射并且和也都是连续的，所以也是一个同胚．（3）设f：X→Y和g：Y→Z都是同胚．因此f和g都是—一映射，并且f，，g和都是连续的．因此gof也是—一映射，并且gof和都是连续的．所以gof是一个同胚．定义2.2.6 设X和Y是两个拓扑空间．如果存在一个同胚f：X→Y，则称拓扑空间X与拓扑空间Y是同胚的，或称X与Y同胚，或称X同胚于Y．粗略地说，同胚的两个空间实际上便是两个具有相同拓扑结构的空间．定理2.2.3 设X，Y和Z都是拓扑空间．则（1）X与X同胚；（2）如来X与Y同胚，则Y与X同胚；（3）如果X与Y同胚，Y与Z同胚，则X与Z同胚．证明从定理根据定理2.2.3，我们可以说：在任意给定的一个由拓扑空间组成的族中，两个拓扑空间是否同胚这一关系是一个等价关系．因而同胚关系将这个拓扑空间族分为互不相交的等价类，使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚，属于不同类的拓扑空间彼此不同胚．15拓扑空间的某种性质P，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是一个拓扑不变性质．换言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质．拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质．至此我们已经做完了将数学分析中我们熟知的欧氏空间和欧氏空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间之间的连续映射，一直抽象为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射这样一个在数学的历史上经过了很长的一段时期才完成的工作．在数学的发展过程中对所研究的问题不断地加以抽象这种做法是屡见不鲜的，但每一次的抽象都是把握住旧的研究对象（或其中的某一个方面）的精粹而进行的一次提升，是一个去粗取精的过程．也正因为如此，新的概念和理论往往有更多的包容．拓扑学无疑也是如此，一方面它使我们对“空间”和“连续”有更为纯正的认识，另一方面也包含了无法列入以往的理论中的新的研究对象（特别是许多无法作为度量空间处理的映射空间）．这一切读者在学习的过程中必然会不断地加深体会．作业：P55 2,5,6,8,9,10§2.3邻域与邻域系本节重点：掌握邻域的概念及邻域的性质；掌握连续映射的两种定义；掌握证明开集与邻域的证明方法（今后证明开集常用定理我们在数学分析中定义映射的连续性是从“局部”到“整体”的，也就是说先定义映射在某一点处的连续性，然后再定义这个映射本身的连续性．然而对于拓扑空间的映射而言，先定义映射本身的连续性更为方便，所以我们先在§2.2中做好了；现在轮到给出映射在某一点处的连续性的定义了．在定理，为此只要有一个适当的称之为“邻域”的概念，而在§2.1中定义度量空间的邻域时又只用到“开集”．因此我们先在拓扑空间中建立邻域的概念然后再给出映射在某一点处的连续性的概念，这些概念的给出一点也不会使我们感到突然．定义2.3.1 设（X，P)是一个拓扑空间，x∈X．如果U是X的一个子集，满足条件：存在一个开集V∈P使得x∈V U，则称U是点x的一个邻域．点x 的所有邻域构成的x的子集族称为点x的邻域系．易见，如果U是包含着点x 的一个开集，那么它一定是x的一个邻域，于是我们称U是点x的一个开邻域．首先注意，当我们把一个度量空间看作拓扑空间时（这时，空间的拓扑是由度量诱导出来的拓扑），一个集合是否是某一个点的邻域，无论是按§2.1中的定义或者是按这里的定义，都是一回事．定理2.3.1 拓扑空间X的一个子集U是开集的充分必要条件是U是它的每一点的邻域，即只要x∈U，U便是x的一个邻域．证明定理中条件的必要性是明显的．以下证明充分性．如果U 是空集，当然U是一个开集．下设U≠．根据定理中的条件，使得故U=，根据拓扑的定义，U是一个开集．定理17定理2.3.2 设X是一个拓扑空间．记为点x∈X的邻域系．则：（1）对于任何x∈X，≠；并且如果U∈，则x∈U；（2）如果U，V∈，则U∩V∈；（3）如果U∈并且U V，则V∈；（4）如果U∈，则存在V∈满足条件：(a)V U和(b)对于任何y∈V，有V∈．证明（1）X,X∈P,∴X∈,∴≠且由定义,如果U∈，则x∈U（2）设U，V∈．则存在U．∈P和∈P使得和成立．从而我们有,T,∴U∩V∈（3）设U∈，并且（4）设U∈．令V∈P满足条件．V已经满足条件（a），根据定理2.3.1，它也满足条件（b）．以下定理表明，我们完全可以从邻域系的概念出发来建立拓扑空间理论，这种做法在点集拓扑发展的早期常被采用．这种做法也许显得自然一点，但不如现在流行的从开集概念出发定义拓扑来得简洁．定理2.3.3 设X是一个集合．又设对于每一点x∈X指定了x的一个子集族，并且它们满足定理，子集族恰是点x在拓扑空间（X，P)中的邻域系．(证明略)现在我们来将度量空间之间的连续映射在一点处的连续性的概念推广到拓扑空间之间的映射中去．定义2.3.2 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y，x∈X．如果f（x）∈Y的每一个邻域U 的原象（U）是x∈X的一个邻域，则称映射f 是一个在点x处连续的映射，或简称映射f在点x处连续．与连续映射的情形一样，按这种方式定义拓扑空间之间的映射在某一点处的连续性也明显地是受到了§2.1中的定理，如果f: X→Y是从度量空间X到度量空间Y的一个映射，它在某一点x∈X处连续，那么它也是从拓扑空间X 到拓扑空间Y的一个在点x处连续的映射；反之亦然．这里我们也有与定理定理2.3.4 设X，Y和Z都是拓扑空间．则（1）恒同映射：X→X在每一点x∈X处连续；（2）如果f：X→Y在点x∈X处连续，g：Y→Z在点f（x）处连续，则gof：X→Z在x处连续．证明请读者自己补上．以下定理则建立了“局部的”连续性概念和“整体的”连续性概念之间的联系．定理2.3.5 设X和Y是两个拓扑空间，f：X→Y．则映射f连续当且仅当对于每一点x∈X，映射f在点x处连续．证明必要性：设映射f连续，这证明f在点X处连续．充分性：设对于每一点x∈X，映射f在点x处连续．19这就证明了f连续．作业:掌握证明一个子集是邻域的方法,掌握证明一个映射是否连续的方法．§2.4导集，闭集，闭包本节重点：熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念；区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同；掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件；掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件．如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理．定义2.4.1 设X是一个拓扑空间，A X．如果点x∈X的每一个邻域U 中都有A中异于x的点，即U∩（A-{x}）≠，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）．如果x∈A并且x不是A的凝聚点，即存在x的一个邻域U使得U∩（A-{x}）＝，则称x为A的一个孤立点．即:(牢记)在上述定义之中，凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑．因此，当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到某个凝聚点时，你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言，不容许产生任何混淆．由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑的，因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生，我们不每次都作类似的注释，而请读者自己留心．某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念，但绝不要以为对欧氏空间有效的性质，例如欧氏空间中凝聚点的性质，对一般的拓扑空间都有效．以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象．例2.4.1 离散空间中集合的凝聚点和导集．设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集．由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x∈X，则X有一个邻域{x}，使得，以上论证说明，集合A没有任何一个凝聚点，从而A的导集是空集，即d（A ）＝．例2.4.2 平庸空间中集合的凝聚点和导集．设X是一个平庸空间，A是X中的一个任意子集．我们分三种情形讨论：第1种情形：A=．这时A显然没有任何一个凝聚点，亦即d（A）=．（可以参见定理第2种情形：A是一个单点集，令 A＝{}如果x∈X，x≠，点x只有惟一的一个邻域X，这时，所以；因此x是A的一个凝聚点，即x∈d（A）．然而对于的惟一邻域X有：所以d（A）=X-A．21。
拓扑空间与连续映射
拓扑空间与连续映射拓扑空间是数学中一个重要的概念，它描述了集合中的点如何聚集在一起，以及它们之间的关系。
拓扑空间的研究可以帮助我们理解各种数学和物理问题，同时也具有广泛的应用。
而连续映射则是在拓扑空间中描述点之间的映射关系的工具。
一、拓扑空间的基本定义在介绍拓扑空间之前，我们先给出集合和子集的定义。
定义1：集合是由元素组成的一个整体。
定义2：如果一个集合A的所有元素都是另一个集合B的元素，那么称A是B的子集。
在集合的基础上，我们可以定义拓扑空间。
定义3：拓扑空间是一个集合X，它的子集族T满足以下条件：（a）空集∅和整个集合X都是T的元素。
（b）T的任意有限个元素的交集仍然是T的元素。
（c）T的任意多个元素的并集仍然是T的元素。
拓扑空间的定义使得我们可以通过T族定义拓扑空间里的开集。
定义4：集合X的一个子集U是开集，如果U属于T。
定义5：设X是一个拓扑空间，P是X的一个点，邻域是包含P的开集的集合。
二、连续映射的定义在了解了拓扑空间后，我们可以引入连续映射的概念。
定义6：设X和Y是两个拓扑空间，函数f：X→Y是一个映射。
如果对于任意Y的开集V，f的原像f^(-1)(V)是X的开集，那么称f是一个连续映射。
连续映射的定义表明了映射在两个拓扑空间中的关系。
如果一个映射满足原像开集是定义域拓扑的开集，则该映射被称为连续映射。
三、连续映射的性质连续映射具有一些重要的性质，我们来介绍其中两个性质。
性质1：设X、Y、Z是三个拓扑空间，f：X→Y和g：Y→Z是两个连续映射，则复合函数g∘f：X→Z也是连续映射。
这个性质说明了连续映射的复合仍然是连续映射。
如果我们有多个连续映射进行复合，其结果仍然是连续映射。
性质2：设X和Y是两个拓扑空间，f：X→Y是一个连续双射，且f和f^(-1)都是连续映射，则f是一个同胚映射。
这个性质描述了连续双射和同胚映射的关系。
如果一个连续双射的逆映射也是连续映射，则该映射称为同胚映射。
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f (U ) f (U ) f (U ) f (U )
c c c c
1 c 1 c
1
1
1
1
f (U ) ( f (U )) FX f 1 (U ) X
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二. 内部与边界
V 定义2.14. 设X是一个拓扑空间， A X ,称含于 VA A的所有开集的并称为集合A的内部,记为: A
成立．
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1 B Y , f ( B) X (3)蕴涵(4)设 集合
应用(3)即得:
(4)蕴涵(l)．设U是Y中的一个开集．
c U 则 是Y中的一个闭集．对此集合应用(4)
可见: f 1 (U c ) f 1 (U c ) f 1 (U c ) 而:
闭集
A X 定理2.13 设X是一个拓扑空间，
则A是一个闭集，当且仅当A的补集 A c是开集.
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证明必要性：设A是一个闭集
充分性：设：
即A是一个闭集．
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例2.6 实数空间R中作为闭集的区间． 设a,b∈R，a＜b．闭区间[a,b]是实数空间R
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x d ( A) U U x , U ( A { x}) x d ( A) U U x , U ( A { x})
例2.4.
离散空间中集合的凝聚点和导集． d(A)＝
例2.5.
平庸空间中集合的凝聚点和导集．
(4) d ((d ( A)) A d ( A) x d ( A) 证明(3)必要性: 如果 x d ( A) d ( B) x d ( B)
综上所述，可见(3)必要性成立．
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(4) d (( d ( A)) A d ( A)
作: A
定理2.15
拓扑空间X的子集A是闭集的充要
条件是 A A
证明: 集合A为闭集当且仅当d(A) A
而这又当且仅当A=A∪d(A)
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定理2.16
设X是一个拓扑空间,则对于任意
A,B∈X,有：
(1) ,
(2) A A
(3) A B A B , (4) A A
证明(4)设：
由此(4)成立
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2. 闭集
A X ,如果A 定义2.12. 设X是一个拓扑空间，
的每一个凝聚点都属于A，即: d ( A) A,则称 A是拓扑空间X中的一个闭集． 说明 离散空间中的任何一个子集都是闭集 平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是
d ( A) X A X
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A A { x0 } A的元素多于一个
A X则: 定理2.12 设X是一个拓扑空间， (1 d ( A B) d ( A) d ( B)
定理2.17 拓扑空间X的任何一个子集A的闭 包 A 都是闭集. 定理2.18 设X是一个拓扑空间，F是由空间X 中所有包含A的闭集构成的族，则对于X的每一
个子集A，有
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A
BF . A B
B
定理2.19
设X和Y是两个拓扑空间，f :X→Y．
则以下条件等价：
概念. 重点：拓扑空间,同胚映射,拓扑的建立和证明. 难点：拓扑空间,同胚映射
§2.3 拓扑空间的其他概念 一. 导集，闭集，闭包 1. 导集
定义2.11. 设 ( X , )为拓扑空间, A X ,如果点
x∈X的每一个邻域U中都有A中异于x的点，则称 点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所 有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d(A)． 说明 凝聚点可以属于A,也可以不属于A 如果x∈A并且x不是A的凝聚点，则称x为A 的一个孤立点．
BF1
B ∈F
有限个开集的交是开集，任意个开集的并是开
集．其余情形不一定． 有限个闭集的并是闭集，任意个闭集的交是闭
集．其余情形不一定．
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3. 闭包
A X ,集合A 定义2.13. 设X是一个拓扑空间，
与A的导集d(A)的并A∪d(A)称为集合A的闭包,记
(l) f 是一个连续映射
1 f (2) Y中的任何一个闭集B的原象 ( B) 是闭集
(3) 对于X中的任何一个子集A，A的闭包的象 包含于A的象的闭包，即 f ( A ) f ( A) (4) 对于Y中的任何一个子集B， B的原象的闭 包含于B的闭包的原象，即 f 1 ( B) f 1 ( B )
中的一个闭集.
(-∞,a]，[b,∞)都是闭集，(-∞,∞)＝R显然更
是一个闭集．
（a，b]，[a，b）是否闭集? 回答: 不是
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定理2.14.
设X是一个拓扑空间．记F为所有闭集
构成的族．则：
(1) X , F (2) 若A, B∈F. 则A∪B∈ F (3) 若 F1 F . 则
点 集 拓 扑 学
-哈尔滨工程大学-理 学 院 -林 锰 -
第二章 拓扑空间与连续映射
本章教学基本要求
掌握度量空间及度量空间的连续映射的概念掌握拓 扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映
射,同胚的概念，熟悉几个拓扑空间的例子掌握邻域与
邻域系的概念及性质；掌握连续映射的两种定义；掌 握证明开集与邻域的证明方法 掌握闭集和闭包等相关
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证明
(1)蕴涵(2)．设 B Y 是闭集
则 B c 是一个开集，因此根据 (1)
f 1 ( Bc ) ( f 1 ( B))c 是X中的一个开集，因此
f 1 ( B) 是X中的一个闭集．
(2)蕴涵(3). 设 A X , 由于f(A) 根据(2)，