位似图形的概念
初中数学 什么是位似
初中数学什么是位似位似是初中数学中的一个重要概念，它是指由两个图形通过平移、旋转、翻转或者这些变换的组合而得到的相似图形。
在本文中，我们将详细介绍位似的定义、性质以及一些例子来帮助理解这个概念。
首先，让我们来定义位似。
如果有两个图形，它们的形状和大小是相似的，但位置可能不同，那么我们可以说这两个图形是位似的。
换句话说，位似是指通过平移、旋转、翻转或者这些变换的组合，将一个图形变换为另一个图形。
接下来，我们来讨论位似的性质。
位似具有以下性质：1. 形状相似：位似图形的形状是相似的，即它们的对应角相等，对应边的比例相等。
2. 大小相似：位似图形的大小是相似的，即它们的对应边的比例是相等的。
3. 位置可能不同：位似图形的位置可能不同，它们可以通过平移、旋转、翻转或者这些变换的组合来得到。
4. 变换保持相似性：位似图形之间的变换（如平移、旋转、翻转）保持它们的相似性，即变换前后仍然是位似图形。
让我们来看一些例子来帮助理解位似。
例子1：考虑两个三角形ABC和DEF，其中∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
如果我们通过将三角形ABC沿顺时针方向旋转90度，并将它平移到DEF的位置，那么我们可以说三角形ABC和DEF是位似的。
它们具有相似的形状和大小，但位置可能不同。
例子2：考虑一个正方形和一个矩形，它们的边长比例是相等的，但是它们的形状和位置不同。
通过将正方形进行翻转或者旋转，我们可以得到一个与原正方形位似但位置不同的矩形。
例子3：考虑一个正三角形和一个等腰梯形，它们的形状和位置都不同，但是它们的对应边的比例相等。
通过将正三角形进行翻转或者旋转，我们可以得到一个与原正三角形位似但位置不同的等腰梯形。
通过这些例子，我们可以看到位似的性质和应用。
位似可以帮助我们在研究图形的形状和大小时，通过变换来得到相似的图形，从而简化问题的求解。
此外，位似也可以帮助我们理解和应用其他几何概念，如相似三角形、比例关系等。
《位似》相似(第1课时位似图形的概念及画法)
未来学习和探索的建议
深入学习位似图形的相关 性质和理论，加强对位似 图形的理解和掌握。
通过练习和实践，提高绘 制位似图形的技能和能力 ，熟练掌握各种绘制方法 和技巧。
积极寻找和解决实际问题 ，尝试将位似图形的理论 和方法应用到实际问题中 ，提升实践能力和综合素 质。
谢谢您的聆听
THANKS
4. 连接对应点
将新位置上绘制的对应点用直线连接起来，形成位似图形 。
不同类型的位似图形的画法示例
1. 位似三角形
在绘制位似三角形时，可 以通过确定三个顶点的对 应点来绘制位似三角形。 注意保持三角形的形状和
大小比例。
2. 位似矩形
对于位似矩形，需要确定 矩形对角线上的两个端点 的对应点，然后连接对应
应用优势
位似图形在建筑设计、绘图和工程领域等方面有很大的应用优势。通过位似变换，可以方便地将一个图形按照一 定比例进行放大或缩小，从而适应不同的需求和场景。同时，位似图形的性质也使得在计算距离、角度等几何要 素时更加简便和高效。
04
练习题与实例分析
针对位似图形画法的练习题
01
02
03
练习1
已知一个三角形，利用位 似图形的概念，画出与其 相似且位似中心在指定点 的三角形。
《位似》相似(第1课时位似图 形的概念及画法)
汇报人：文小库
2023-11-17
CONTENTS
• 位似图形概念引入 • 位似图形的画法 • 位似图形的性质与特点 • 练习题与实例分析 • 总结与延伸思考
01
位似图形概念引入
定义和基本概念
定义
位似图形是指两个图形对应点连线交于一 点，且对应线段长度的比相同的图形。
点即可绘制位似矩形。
位似图形
议一议☞
观察下图中的五个图，回答下列问题：
（1）在各图中，位似图形的位似中心与这两个图形有什么位置关 系？
位似中心可以在两个图形的同侧，或两个图形之间，或 图形内还可以在一个图形的边上或顶点.
议一议☞
观察下图中的五个图，回答下列问题：
（2）在各图中，任意一对对应点到位似中心的距离比与位似比有 什么关系？
( 4 , 6 ) 或（-4 ，-6） ( 4 , 2)或（-4，-2）
点B的对应点B′的坐标为____________
( 12 , 4 )或（-12，-4） 点C的对应点C′的坐标为____________
例题.在平面直角坐标系中, 四边形ABCD的四个顶点的坐标
分别为A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),画出它的一个 以原点O为位似中心,相似比为1/2的位似图形. y
若△ABC∽△DEF， 那么，它们位似吗？ 位似中心在哪儿呢？
E B
A D F C
你能得到的是正立放大的“像”、 正立缩小的“像”、倒立缩小的“像” 吗？
P
得到的是倒立放大的“像”
思考：位似图形有何性质？
判断下面的正方形是不是位似图形？
A D
不是
E （1） B C F G
显然，位似图形是相似图形的特殊情形.相 似图形不一定是位似图形，可位似图形一定 是相似图形
下面请欣赏如下图形的变换
☞ 观察与思考
下列图形中，每个图中的四边形ABCD和四边形 A′B′C′D′都是相似图形.分别观察这五个图，你发现每个图中的两个四边 形各对应点的连线有什么特征？对应边有何位置关系？
概念与性质
1．位似图形的概念
如果两个图形不仅相似，而且每组对应点所在的
位似图形的定义及性质
位似图形的定义及性质什么是位似图形？位似图形（IsomorphicGraphs）是由同一类图形组成的图，它们的全部节点及边都相同，但是它们的外形可能不太一样。
位似图形的定义主要指的是一种同构的连通图，它们之间的节点和边都是相似的。
准确来说，这些图形之间的数量和结构是相同的，只是它们的外形不同。
位似图形的研究可以追溯到1890年，当时首先由荷兰数学家安德森威尔金斯提出。
它是一种独特的结构，可以通过某种形式从一个图中转换到另一个图，而且，只要这两个图是位似图形，它就能够完全保持它们之间的联系。
从数学上来看，位似图形可以被表示为一对有向图。
它们中可能包含一个或多个节点和一个或多个边，这些边可以有不同的方向。
两个位似图形的关系可以用一个分析函数来表示，这个函数的输入是一对图，而输出是一个布尔值，如果给定的两个图形是位似图形，它就会返回一个真值，反之亦然。
位似图形的性质是相当有用的，特别是在研究图论的早期，位似图形的研究有助于数学家们理解图论中的基本概念以及图结构之间的联系。
它也帮助人们发现更多有关任意给定图结构的细节，例如有关它的节点数量、边数量、节点之间的关系等等。
位似图形的研究也是一个重要的工具，它帮助数学家们研究不同图论结构之间的关系。
例如，研究人员可以比较两个不同的图形，看看它们之间有何不同，从而发现它们之间的联系，从而给出更深入的结论。
另外，位似图形在算法和机器学习方面也有很多应用，它们可以帮助计算机程序发现图形之间的关系，并找出有用的特征以及对它们进行分类。
有时，它们甚至可以帮助计算机解决复杂的问题，比如解决最短路径问题。
总的来说，位似图形的定义和性质有助于数学家们更好地理解图结构之间的联系，从而发现更多有用的信息。
它们也有许多应用，例如在计算机程序，机器学习，以及算法研究方面。
第24课 图形的位似(教师版)
第24课 图形的位似学习目标1.了解位似图形的概念.2.了解位似图形的性质和以坐标原点为位似中心的图形位似的性质.3.能利用位似将一个图形放大或缩小.知识点01 位似图形的概念如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心. 这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比。
知识点02 位似图形的性质1.性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.2.当以坐标原点为位似中心时，若原图形上点的坐标为（y x ,），位似图形与原图形的位似比为k ，则位似图形上的对应点的坐标为()ky kx ,或()ky kx --,考点01 位似图形的概念【典例1】如图四个图中，△ABC 均与△A′B′C ′相似，且对应点交于一点，则△ABC 与△A ′B ′C ′成位似图形的有（ ）能力拓展A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】根据位似图形的概念判断即可．【解析】解：图1、图3、图4是位似图形，图2的对应边不平行，不是位似图形，故选：C．【点睛】本题考查的是位似图形的概念，两个图形是相似形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行，则两个图形是位似图形．【即学即练1】下列图形中，不是位似图形的是（ ）下列图形中，不是位似图形的是（ ）A．B．C．D．【思路点拨】根据位似图形的概念判断即可．【解析】解：A、△ACB与△FCE是位似图形，不符合题意；B、△ABC与△DEF是位似图形，不符合题意；C、△ABC与△EDF是位似图形，不符合题意；D、△ACB与△ECD不是位似图形，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是位似图形的概念，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．考点02 位似图形的性质【典例2】如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD＝1：3，且△ABC的面积为2，则△DEF的面积为（ ）A．6B．9C．18D．27【思路点拨】根据位似图形的概念得到AB∥DE，证明△OAB∽△ODE，根据相似三角形的性质得到＝＝，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解析】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴△OAB∽△ODE，∴＝＝，∴＝（）2＝，∵△ABC的面积为2，∴△DEF的面积为18，故选：C．【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．【即学即练2】如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则＝（ ）A．B．C．D．【思路点拨】根据位似图形的概念得到EH∥AD，证明△OEH∽△OAD，根据相似三角形的性质计算即可．【解析】解：∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，∴EH∥AD，∴△OEH ∽△OAD ，∴＝＝，故选：A ．【点睛】本题考查的是位似变换、掌握位似图形是相似形是解题的关键．题组A 基础过关练1.下列图形中位似中心在图形上的是（ ）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】直接利用位似图形的性质分别得出位似中心位置即可．【解析】解：A 、，位似中点在图形内部，不合题意；B 、，位似中点在图形上，符合题意；C 、，位似中点在图形外部，不合题意；D 、，位似中点在图形外部，不合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．2.如图，△ABC 外任取一点O ，连接AO 、BO 、CO ，并取它们的中点D 、E 、F ，得△DEF ．下列说法正确的个数是（ ）①△ABC 与△DEF 是位似图形；②△ABC 与△DEF 是相似图形；③△ABC 与△DEF 周长之比为2：1；④△ABC 与△DEF 的面积之比为9：1．分层提分A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】根据位似的定义，以及相似的性质：周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，即可作出判断．【解析】解：根据位似的定义可得：△ABC与△DEF是位似图形，也是相似图形，位似比是2：1，则周长的比是2：1，因而面积的比是4：1，故①②③正确，④错误．故选：C．【点睛】本题主要考查了位似的定义，位似是特殊的相似，以及相似三角形的性质．3.如图，在直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，则位似中心为（ ）A．点M B．点N C．点O D．点P【思路点拨】连接BB′，交AA′于点P，根据位似中心的概念解答即可．【解析】解：连接BB′，交AA′于点P，则点P为位似中心，故选：D．【点睛】本题考查的是位似变换，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似4.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC与△ODE是位似图形，则它们的位似中心的坐标是（ ）A．（4，4）B．（4，3）C．（4，2）D．（3，4）【思路点拨】连接DB、OA并延长交于点P，根据位似中心的概念得到点P为位似中心，根据平面直角坐标系解答即可．【解析】解：连接DB、OA并延长交于点P，则点P为位似中心，由平面直角坐标系可知，点P的坐标为（4，2），故选：C．【点睛】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的对应顶点的连线相交于一点是解题的关键．5.如图，在直角坐标系中，△ABC的各顶点坐标为A（﹣1，1），B（2，3），C（0，3）．现以坐标原点为位似中心，作△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的位似比为．则点A的对应点A′的坐标为 （﹣，）或（，﹣） ．【思路点拨】位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）．【解析】解：∵在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，﹣ky）∴A'的坐标为：（﹣，）或（，﹣）．故答案为：（﹣，）或（，﹣）．【点睛】此题主要考查了位似变换，正确理解位似与相似的关系，记忆关于原点位似的两个图形对应点坐标之间的关系是解题的关键．6.如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．（1）画出位似中心点O；（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标．【思路点拨】（1）连接CC′并延长，连接BB′并延长，两延长线交于点O；（2）由OB＝2OB′，即可得出△ABC与△A′B′C′的位似比为2：1；（3），连接B′O并延长，使OB″＝OB′，延长A′O并延长，使OA″＝OA′，C′O并延长，使OC″＝OC′，连接A″B″，A″C″，B″C″，则△A″B″C″为所求，从网格中即可得出△A″B″C ″各顶点的坐标．【解析】解：（1）图中点O为所求；（2）△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：1；（3）△A″B″C″为所求；A″（6，0）；B″（3，﹣2）；C″（4，﹣4）．【点睛】此题考查了作图﹣位似变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．7.画出线段AB的位似图形．要求：以O为位似中心，各边缩小为原来的．【思路点拨】连接OA，作出OA的中点A′，同法得到B′，A′B′就是所求的位似图形．【解析】解：A′B′就是所求的线段．【点睛】考查位似图形的画法；用到的知识点为：三角形的中位线等于第三边的一半．题组B 能力提升练8.在平面直角坐标系中，已知点E（﹣6，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为，把△EFO缩小，则点F的对应点F'的坐标是（ ）A．（﹣1，﹣1）B．（1，1）C．（﹣4，﹣4）或（4，4）D．（﹣1，﹣1）或（1，1）【思路点拨】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k进行计算即可．【解析】解：∵点F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，相似比为，∴点F的对应点F′的坐标为：（﹣2×，﹣2×）或（﹣2×（﹣），﹣2×（﹣）），即（﹣1，﹣1）或（1，1），故选：D．【点睛】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．9.如图，已知△ABC，任取一点O，连结AO、BO、CO，并取它们的中点D、E、F，得△DEF，则下列说法错误的是（ ）A．△ABC与△DEF是位似图形B．△ABC与△DEF是相似图形C．△ABC与△DEF的面积之比为41D．△ABC与△DEF的周长之比为41【思路点拨】根据位似图形的性质，得出△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出；△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．【解析】解：根据位似性质得出：A．△ABC与△DEF是位似图形，则A选项正确，不合题意；B．△ABC与△DEF是相似图形，则B选项正确，不合题意；∵将△ABC的三边缩小的原来的，∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，故D选项错误，符合题意；根据面积比等于相似比的平方，∴△ABC与△DEF的面积比为4：1，则C选项正确，不合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．10. 如图，在平面直角坐标系中有一个△ABO，其中点A，B的坐标分别为（﹣4，2），（﹣2，4）．（1）以坐标原点O为位似中心，作出△AOB的一个位似△A1OB1，并把△ABO的边长缩小到原来的．（2）点C（﹣2.4，3.6）是边AB上一点，根据你所画图形写出它对应点的坐标．【思路点拨】（1）根据位似图形的性质，分在同侧和异侧两种情形；（2）利用位似图形的性质即可解答．【解析】解（1）如图所示，△A1OB1即为所求；（2）点C的对应点的坐标为：（﹣2，﹣1.8）或（1.2，﹣1.8）．【点睛】本题主要考查了作图﹣位似变换，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键，注意两种情形．11.如图，在9×9网格中，每个小方格的边长看作单位1，每个小方格的顶点叫作格点，△ABC的顶点都在格点上．（1）请在网格中画出△ABC的一个位似图形△A1B1C，使两个图形以点C为位似中心，且所画图形与△ABC的相似比为2：1；（2）将△A1B1C绕着点C顺时针旋转90°得△A2B2C，画出图形，并在如图所示的坐标系中分别写出△A2B2C三个顶点的坐标．【思路点拨】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．【解析】解：（1）如图所示；（2）如图所示：△A2B2C的三个顶点的坐标分别为：A2（7，﹣1），B2（7，5），C（3，3）．【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置解题关键．12.如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图．（1）在图1中以O为位似中心，作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的．（2）在图2中画▱ABEF，使得它与△ABC的面积相等，且E，F在格点上．【思路点拨】（1）连接OA、OB、OC，分别取它们的中点即可；（2）取BC的中点E，把AB平移使B点落在E点，则A点的对应点为F点．【解析】解：（1）如图1，△A′B′C′为所作；（2）如图2，平行四边形ABEF为所作．【点睛】本题考查了作图﹣位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了平行四边形的性质题组C 培优拔尖练13.在如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边形，其中位似图形的个数为（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】根据位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．【解析】解：如图，根据位似图形的定义可知第1、2、4个图形是位似图形，而第3个图形对应点的连线不能交于一点，故位似图形有3个．故选：C．【点睛】本题考查了位似图形的定义，解题的关键是牢记位似图形的性质：位似图形一定相似，对应点的连线交于一点，对应边互相平行．14.如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，请按要求在方格纸内作图．（1）在图1中以点B为位似中心，作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长缩小到原来的．（2）在图2中画格点线段EF（端点在格点上），把△ABC的面积分为1：2两部分，其中点E，F均落在△ABC的边上且不与点A，B，C重合．【思路点拨】（1）分别取AB、BC的中点即可；（2）根据△ABC的面积为×6×4＝12，则线段EF将△ABC面积分成4和8两部分，构造面积为4的三角形即可．【解析】解：（1）如图所示：（2）∵△ABC的面积为×6×4＝12，∴线段EF将△ABC面积分成4和8两部分，如图所示：【点睛】本题主要了作图﹣位似变换：先确定位似中心，再根据位似比，分别确定关键点的对应点，即可得到放大或缩小的图形，也考查了图形面积的计算．15.如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是 ﹣（a+3） ．【思路点拨】设点B的横坐标为x，然后表示出BC、B′C的横坐标的距离，再根据位似比列式计算即可得解．【解析】解：设点B的横坐标为x，则B、C间的横坐标的长度为﹣1﹣x，B′、C间的横坐标的长度为a+1，∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，∴2（﹣1﹣x）＝a+1，解得x＝﹣（a+3）．故答案为：﹣（a+3）．【点睛】本题考查了位似变换，坐标与图形的性质，根据位似比的定义，利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键．16.如图，在平面直角坐标系中，以P（0，﹣1）为位似中心，在y轴右侧作△ABP放大2倍后的位似图形△DCP，若点B的坐标为（﹣2，﹣4），则点B的对应点C的坐标为（ ）A．（4，5）B．（4，6）C．（2，4）D．（2，6）【思路点拨】建立新的平面直角坐标系，根据位似变换的性质解答即可．【解析】解：以点P为坐标原点，原y轴为y轴建立新的平面直角坐标系，则点B在新坐标系中的坐标为（﹣2，﹣3），∵△ABP与△DCP的位似比为1：2，∴点C在新坐标系中的坐标为（4，6），则点C在原坐标系中的坐标为（4，5），故选：A．【点睛】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．17.如图，已知平行四边形ABCD的面积为24，以B为位似中心，作平行四边形ABCD的位似图形平行四边形EBFG，位似图形与原图形的位似比为，连接AG、DG．则△ADG的面积为 4 ．【思路点拨】延长EG交CD于点H，由题意可得四边形AEHD是平行四边形，则可得此平行四边形的面积为8，从而可得△ADG的面积．【解析】解：延长EG交CD于点H，如图，∵四边形ABCD是平行四边形，四边形EBFG是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC；BF∥EG，∴AD∥EG，∴四边形AEHD是平行四边形，∴．∵位似图形与原图形的位似比为，∴，即，∴，∴．故答案为：4．【点睛】本题考查了位似图形的性质，平行四边形的性质与判定，掌握这些性质是解题的关键．18.在如图所示的直角坐标系中A（﹣2，3），B（﹣5，1）．（1）作出图形ABCD关于x轴对称的图形A1B1C1D1；（2）求出图形A1B1C1D1的面积；（3）以图中E（﹣1，1）为位似中心，将图形ABCD放大2倍，并在点E的右侧作出放大后的图形A2B2C2D2，并写出点C2的坐标．【思路点拨】（1）根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点作图；（2）将不规则图形转化为规则图形的和差计算其面积；（3）根据位似的坐标特点作图．【解析】解：（1）如图；（2）图形A1B1C1D1的面积为3；（2）如图所示，点C2的坐标为（1，3）【点睛】本题考查了关于x轴对称的图形、位似图形的作法，及不规则图形的面积计算，有一定的难度．。
图形的位似课件
03
位似的判定
依据定义判定位似
定义
如果两个图形不仅是相似图形， 而且每组对应顶点间的距离都相 等，则称这两个图形为位似图形 。
判定方法
判断两个图形是否为位似图形， 需要满足两个条件：一是相似， 二是对应顶点间的距离相等。
依据性质判定位似
性质1
位似图形对应边长之比是一个常数，记作k。
性质2
位似图形对应角相等。
室内空间布局
在室内设计中，位似原理可以帮助设计师复制家具、灯具 或其他装饰元素，以实现整个空间的统一感和和谐感。
位似在机械设计中的应用
01 02
机械零件设计
在机械设计中，位似原理常用于创建具有特定功能的机械零件。通过复 制和调整现有零件的形状和尺寸，工程师可以快速设计出满足特定需求 的零件。
装配线设计
位似与等腰三角形
总结词
等腰三角形是一种具有两边长度相等且对应的角相等的三角 形。位似可以用来描述等腰三角形的形状和大小关系。
详细描述
等腰三角形具有两个相等的角和两条相等的边。在位似变换 下，一个等腰三角形可以变为另一个大小不同的等腰三角形 ，但它们的形状和角的大小保持不变。这种特性在几何证明 和实际问题中具有广泛应用。
04
位似的作图方法
ห้องสมุดไป่ตู้
依据定义作位似图
定义
位似图形是相似图形的一种特殊情况 ，当两个图形不仅是相似图形，而且 每对对应顶点连接后都经过同一个点 时，这两个图形称为位似图形。
描述
依据位似的定义，我们可以确定位似 图形的作图方法。首先，确定相似比 和相似中心，然后根据相似中心和相 似比绘制出位似图形。
依据性质作位似图
位似与等腰梯形
总结词
什么是位似图形
什么是位似图形?
疑点：什么是位似图形?
解析：当相似的两个图形的对应顶点的连线相交于一点时，就说这两个图形位似。
这个概念中包括两个条件，这两个条件缺一不可。
1.两图形相似;2.对应点的连线所在直线都经过同一点.
如图：上图中，△ABC与△A'B'C'相似，且对应顶点的连线交于点0，故△ABC与△A'B'C'是位似图形，O点为“位似中心”
通过上图还可以发现，两个三角形的对应边平行，由此得出重要性质：位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上。
位似图形是相似图形的一种特殊情况，位似图形的相似比称为位似比。
结论：当相似的两个图形的对应顶点的连线相交于一点时，就说这两个图形位似。
此时的相似比称为位似比，交点称为位似中心。
本文由索罗学院整理。
位似图形的定义及性质
位似图形的定义及性质
位似图形是一种强大的几何图形，由它可以刻画出许多几何概念，从而使得几何知识更加容易理解和运用。
它已经被广泛应用于许多领域，如研究物理学，以及一些工程领域。
那么，位似图形究竟是什么？以及位似图形的性质有哪些？
一、位似图形的定义
位似图形是一种可以用来描述几何形状的图形。
它被称为位似图形，是因为它由一系列的位置感知的图案组成，它们几乎可以完全重叠，而不会改变它们的形状，大小以及位置。
例如，圆形是一个最常见的位似图形，它是一个由很多小的圆点组成，而这些小圆点几乎可以重叠并且完全相同。
二、位似图形的性质
1、符号化：位似图形能将复杂的空间状态用简单的符号来表示，从而使得几何知识更加容易理解和运用。
2、视觉感知：位似图形的形状和大小可以在视觉上进行感知，
可以更加直观地感受几何状态。
3、精确度高：位似图形可以很好地反映几何形状的精确度，它
可以准确地反映几何的形状和大小，使得几何知识更加有效。
4、信息量大：位似图形能够精确表达出几何形状的详细信息，
能够体现出几何形状的复杂性并反映出它在特定空间位置的信息。
由以上性质可知，位似图形是一种获取几何信息的有效工具，能够较为准确地描述出几何形状的精细细节。
它既适用于描述几何图形，
也可以用来描述物理、空间等属性。
位似图形性质的学习，可以帮助我们更好地理解几何知识，更好地应用几何知识。
综上所述，位似图形是一种具有符号化、视觉感知、精确度高、信息量大等性质的一种几何图形。
它为学习和应用几何知识提供了一个良好的视角，可以让我们更加清晰地感受到几何形状的变化，辅助我们更好地理解和应用几何知识。
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27.3 位似
第1课时位似图形的概念及画法
1.正确理解位似图形等有关概念，能够按照要求利用位似将图形进行放大或缩小以及能够正确地作出位似图形的位似中心.
2.在实际操作和探究活动中，让学生感受、体会到几何图形之美，提高对数学美的认识层次，陶冶美育情操，激发学习热情.
阅读教材P47-48，自学“思考”与“探究”，理解位似的概念，会找出位似图形的位似中心，并能按要求将图形进行放大或缩小的位似变换.
自学反馈学生独立完成后集体订正
①两个多边形不仅，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做.
②下列说法正确的是( )
A.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定全等
B.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形不一定相似
C.两个图形如果是相似图形，那么这两个图形一定位似
D.两个图形如果是位似图形，那么这两个图形一定相似
③用作位似图形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可能在( )
A.原图形的外部
B.原图形的内部
C.原图形的边上
D.任意位置
位似的三要素即是判定位似的依据，也是位似图形的性质.
活动1 小组讨论
例1如图，作出一个新图形，使新图形与原图形对应线段的比为2∶1.
解:1.在原图形上取A、B、C、D、E、F、G，在图形外任取一点P；
2.作射线AP、BP、CP、DP、EP、FP、GP；
3.在这些射线上依次取A′、B′、C′、D′、E′、F′、G′,使PA′=2PA,PB′=2PB,PC′=2PC,PD′=2PD,PE′=2PE,PF′=2PF,PG′=2PG；
4.顺次连接点A′、B′、C′、D′、E′、F′、G′、A′.
所得到的图形就是符合要求的图形.
在作位似图形时，按要求作出各点的对应点后，注意对应点之间的连线，不要错连.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
1.例1中的位似中心为点,如果把位似中心选在原图形的内部，那么所得图形是怎样的？如果点A′、B′、C′、D′、E′、F′、G′取在AP、BP、CP、DP、EP、FP、GP的延长线上时，所得的图形又是怎样的？(试着画一画)
当位似中心在原图形的外部时，两个图形可能在位似中心的两侧或同侧.
2.如图，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？为什么？
3.如图，以O为位似中心，将△ABC放大为原来的两倍.
第2小题可根据位似的三要素得出对应线段平行；第3小题可有两种情况，画出其中一种即可.
4.如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，点O是位似中心，若OA=2AA′,S△ABC=8,则S△A′B′C′= .
活动1 小组讨论
例2请画出如图所示两个图形的位似中心.
解:如图所示的点O1,就是图1的位似中心.
如图所示的点O2，就是图2的位似中心.
正确地作出位似中心，是解位似图形的关键，可以根据位似中心的定义，位似图形的对应点连线
的交点就是位似中心.
活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)
如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都是在小正方形的顶点上.
①画出位似中心点O；
②求出△ABC与△A1B1C1的相似比；
③以点O为位似中心，再画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比等于1.5
活动3 课堂小结
学生试述:这节课你学到了些什么？
参看课件位似图形部分的有关习题。