复杂网络研究的一些进展与思考
复杂网络理论的发展与应用
复杂网络理论的发展与应用随着人们对社会、生态、交通、生物等各类复杂系统的深入研究，人们开始逐渐认识到，很多系统都可以看做是由许多相互关联的个体组成的复杂网络。
复杂网络是由许多节点和链接组成的图形结构，每个节点代表一个个体，链接代表节点之间的相互作用关系。
复杂网络理论是研究复杂网络结构、动力学、统计力学等方面的一门交叉学科，旨在探究节点间的关系给整个系统的性质和行为带来的影响，为人类社会的可持续发展提供理论指导和应用基础。
1. 复杂网络理论的发展复杂网络理论的起源可以追溯到20世纪50年代，当时研究人员就开始探索图形结构的特性和性质，尤其注意到某些网络的规模很大，但是节点之间的链接相对较少，因而不同于传统网络。
这些节点间链接关系的非均匀性，给传统图形结构考虑网络规模和复杂性带来了新的挑战。
直到1998年，Barabasi和Albert两位研究员发现图形结构中的一种重要模型——无标度网络模型，成为复杂网络理论中的里程碑，引起了学术界和产业界的广泛关注。
随着科学技术和社会经济的发展，复杂网络理论逐渐发展成为一个跨学科领域。
不少领域都通过复杂网络理论研究了相应系统的不同特点和规律。
例如，社交网络研究发现，人际关系的网络结构呈现集聚性、反射性和对称性，个体行为和信息传播受限于物理距离和社会影响，而不同类型的人际关系可通过构建多重网络结构分别加以考虑。
生态学家们应用复杂网络理论分析生态系统的物种相互作用关系，发现生态系统中某些物种之间存在紧密依赖的关系，而这些生命共同存在的元素共同构成了稳定的生态系统。
另外，复杂网络理论还在流行病学、金融市场、交通运输、能源系统等诸多领域被广泛应用。
2. 复杂网络的特点复杂网络之所以被称为复杂，是因为它们表现出了许多非平凡的行为和性质。
复杂网络的特点可以描述为：1）无标度：复杂网络在节点度数分布上呈现出幂律分布，少数节点拥有极高的度数，而大多数节点的度数相对较低。
2）小世界：复杂网络中相邻节点之间的平均长度比较短，可以用“六度分离”和“小世界效应”来描述，即“任何两个人之间的距离最多只隔着五个人”。
网络科学中的复杂网络研究
网络科学中的复杂网络研究随着互联网技术的不断发展，人们的生活方式和工作方式也在发生着巨大的变化。
同时，人们对于互联网的极度依赖也使得网络科学变得越来越重要。
网络科学是一门研究网络结构、行为和演化的学科，其中复杂网络研究是网络科学中的重要方向之一。
本文将探讨网络科学中的复杂网络研究。
一、复杂网络的定义复杂网络是指由大量节点（node）和连接（link）构成的一种网络结构。
在复杂网络中，节点可以代表不同的事物，如人、公司、物品等，而连接则代表节点之间的关系，如交互、联系、传递等。
复杂网络的结构往往是非常复杂的，节点和连接数量很大，而且连接关系存在着很多的变化和不确定性。
二、复杂网络的特征复杂网络具有许多独特的特征，其中比较重要的特征包括：1.小世界性：复杂网络的节点之间往往会形成一些短路径，这些短路径将整个网络连接在了一起。
这种现象称为小世界性。
小世界性意味着网络的信息传递能力很强。
2.无标度性：复杂网络中的节点往往分布不均匀，只有少数节点连接了大量的其他节点，而大多数节点只连接了少量的节点。
这种现象称为无标度性。
无标度性意味着网络的节点之间存在着重要的枢纽节点。
3.聚集性：复杂网络中的节点往往呈现出聚集集中的现象，这些节点之间存在着很多的三角形连接关系。
这种现象称为聚集性。
聚集性意味着网络的节点之间存在着很多的社区结构。
三、复杂网络的研究方法复杂网络的研究方法主要包括两类，一类是基于统计物理学的方法，另一类是基于图论的方法。
基于统计物理学的方法通常用于描述网络中的相变现象，如网络的阈值、相等温转变等。
而基于图论的方法通常用于描述网络中节点之间的联系和关系，如节点之间的距离、聚集系数等。
四、复杂网络的应用复杂网络的应用非常广泛，其中比较重要的应用包括：1.社交网络分析：通过对社交网络进行复杂网络分析，可以深入了解社交网络中的节点之间的关系、信息传播和社区结构等。
2.互联网搜索引擎：搜索引擎可以通过对互联网进行复杂网络分析，提高搜索的效果和精度。
复杂网络理论研究的现状与未来
复杂网络理论研究的现状与未来网络已经成为了人们生活中不可或缺的一部分。
无论是个人的社交网络还是全球的互联网，网络连接了我们的生活，也改变了我们的生活方式。
随着互联网的不断发展，网络已经从简单的连接工具演变成了复杂的系统。
因此，复杂网络理论的研究成为了当前的热点之一。
本文将探讨复杂网络理论的现状和未来发展方向。
一、复杂网络理论的概念和基本特征复杂网络是指由大量节点和边构成，具有复杂结构、多样性、非线性、动力学特征、自组织性、鲁棒性和鲜明的小世界效应、无标度特性等基本特征的网络。
通常情况下，复杂网络分为三类：随机网络、小世界网络和无标度网络。
随机网络是指所有节点的度数都差不多的网络，其中每个节点与其他节点随机连接。
小世界网络是指带有高度聚集性的连通性网络，即绝大部分节点都连接在一起，少数节点之间存在着远距离的联系。
无标度网络是指网络中有少部分节点拥有大量边缘连接的特性，即一小部分节点拥有着绝大部分的节点连接。
二、复杂网络理论的研究现状复杂网络理论的研究已经成为了跨学科研究的重要领域，包括数学、物理、计算机科学、生物学等。
近年来，随着人们对网络数据的深入研究，社交网络、生物网络、交通运输网络等越来越多的网络数据被发现，这些网络的存在和演变规律与我们生活中的许多重要问题相关。
比如，在社交网络中，人们如何形成朋友圈，如何通过朋友圈传播信息；在生物网络中，多种生物体之间的相互作用方式及其对生物群落演化的影响等等。
在复杂网络理论的研究中，目前主要的研究方向包括网络结构的建模和分析、网络中的动态演化过程、网络的鲁棒性和动力学过程。
在网络结构的建模和分析方面，研究者们主要从拓扑结构及其参数、形成机理、应用场景等方面展开探索。
在动态演化过程的研究中，主要探索网络中的复杂动态行为以及动态行为的建模。
在网络鲁棒性的研究中，主要探讨网络的鲁棒性如何改进和优化。
最后，在网络的动力学过程的研究中，主要是探讨网络的动态演化行为如何对网络中的元素产生影响，以及如何对网络整体产生作用。
复杂网络的性质及研究进展
复杂网络的性质及研究进展随着互联网技术的进步，现代社会中出现了大量复杂网络。
复杂网络是一类由大量节点和连接构成的复杂结构，如社交网络、互联网、物流网络等。
复杂网络中的节点可以是人、机器、城市、物品等，节点间的连接可以是关系、交易、信息传递等。
复杂网络的性质及研究进展成为当前网络科学热门话题。
一、复杂网络的性质复杂网络具有许多独特的性质。
其中最著名的是小世界现象和无尺度性。
小世界现象指的是在相对较少的步数内，两个节点间可以通过少量的中间节点相互连接。
这个现象源于节点个数巨大的复杂网络中所存在的“短路”现象。
无尺度性则指的是复杂网络中存在少数节点拥有极高的度数，这些度数相对较低的节点则占据大多数。
这个现象发生的原因是特定节点的度数与网络结构有关，而网络结构可以不断扩大，使得度数与网络尺寸成幂律分布。
另外，复杂网络还具有同配性和社团结构这些特征。
同配性指的是节点之间存在相似的连接方式。
也就是说，度数大的节点会与度数大的节点相连，而度数小的节点会与度数小的节点相连。
在社交网络中，身份地位相近的人之间也会有相似的交际方式。
社团结构则指的是节点在网络中的归属群体。
网络社团结构不仅有助于分析节点间的关系，而且有助于我们更好地理解复杂网络的拓扑性质。
二、复杂网络研究进展近年来，复杂网络的研究取得了非常显著的进展。
1. 复杂网络模型为了更好地研究复杂网络，科学家提出了一些复杂网络模型。
比较常用的模型有随机图模型、小世界模型、无尺度网络模型等。
这些模型的提出极大地推动了复杂网络的研究，使得我们能够更加深入地理解复杂网络的性质和演化规律。
2. 复杂网络在社会与生命科学中的应用复杂网络不仅被广泛应用于计算机科学领域，而且在社会网络与生命科学领域也有着广泛的应用。
例如，社交网络分析被广泛应用于研究社交关系、信息传播和个人信任等问题；基因调控网络分析被应用于研究生物调控机制和疾病发生机理等重要问题。
复杂网络为社会与生命科学领域的研究提供了一个全新的视角，使得我们能够更加全面地了解问题背后的本质。
复杂网络中的节点动态演化研究
复杂网络中的节点动态演化研究复杂网络是由许多相互作用的节点构成的，这些节点之间的连接方式和作用关系的不同会导致网络的不同特性和演化模式。
因此，对复杂网络中节点的动态演化进行研究是非常重要的。
一、复杂网络的动态演化复杂网络中节点的动态演化可以表现为节点的出现、消失、增加、减少等形式。
从时间维度上看，这些动态变化可能会发生在不同的时间尺度上。
比如，对于社交网络来说，有些用户会新加入网络，有些用户会中途离开，或者从一个社交圈子转移到另一个社交圈子。
这些变化会对整个网络的结构和性质产生影响，因此需要深入研究。
二、动态演化对复杂网络的影响网络上节点的动态演化会对整个网络的各种属性产生影响，比如网络的连通性、鲁棒性、可控性等。
当节点的出现和消失超出了网络的自然增长和消亡范围时，会对整个网络的结构带来重大的变化。
这些变化可能会引发连锁反应，从而改变网络的规模、形态和结构。
因此，动态网络具有许多复杂的规律和现象，值得深入探究。
三、节点动态演化的建模方法为了更好地理解和预测节点的动态演化，研究者提出了不同的建模方法。
其中，最常用的方法是基于网络的扩展和重连模型，这种模型能够模拟节点的出现、消失以及网络的演化过程。
此外，还有基于时间序列和图形理论的动态演化模型。
这些模型可以用于解决实际问题，比如社交网络中的用户流动、物流网络中的物流流动等。
四、应用领域展望目前，动态演化研究已经涉及到很多领域。
例如，在社交网络中，可以用动态演化来研究用户之间的社交行为。
在生态系统中，可以用动态演化来研究生物种群间的相互作用。
此外，动态演化还可以应用于金融市场、物流管理、城市规划等领域。
因此，未来动态演化研究将有着更加广泛的应用。
简而言之，复杂网络中的节点动态演化研究是一个非常重要的领域。
动态变化会影响整个网络的结构和性质，因此需要深入研究。
为了更好地分析和预测节点的动态演化，研究者提出了不同的建模方法。
最终，动态演化研究的应用已经涉及到很多领域，未来将继续发展。
复杂网络理论研究状况综述
ＩＩ
■现代管理科学
ＩＩ ＩＩＩ
一管理创新
ｍ＿
复杂网络理论研究状况综述
●刘晓庆陈仕鸿
摘要：文章首先简要介绍了复杂网络理论；然后重点论述了小世界网络模型的研究背景、基础概念及模型的统计特 性；最后对于小世界网络在各个领域的研究进行了简单的概述． 关键词：复杂网络：小世界网络；无标度网络
络——小世界网络（Ｓｍａｌｌ—ｗｏｄｄ Ｎｅｔｗｏｒｋｓ）。显然，当ｐ＝０
时，相当于各边未动．还是规则网络；当ｐ＝ｌ时就成了’随机 网络。１９９９年．Ｂａｒａｂａｓｉ＆Ａｌｂｅｒｔ在Ｓｃｉｅｎｅｅ上发表文章指 出。许多实际的复杂网络的连接度分布具有幂律函数形
万方数据
一管理创新
■现代管珲科学
１２０１０年第９期
的捷径总数仍近似为拦攀。对于足够小的Ｐ和很大的Ｎ，
Ｚ
改进模型与Ｗ—Ｓ模型基本等价。 小世界网络因为重新布线。虽然平均度仍然为Ｋ．但 每个节点的度数不再保持常数。对于Ｎｅｗｍａｎ＆Ｗ８ｔｔｓ改 进的模型，因为每个节点的度数至少为规则网的度数Ｋ．
而增加的捷径是以概率拿连线，因此小世界网络的度分
州
布形态与随机网的度分布形态相似．都是近似服从对称的 泊松分布。表达式如下：
ｃ莳ｐ＝鲁
二、小世界网络概述 １．小世界网络珲论。 （１）小世界问题的提出。小世界理论最早提出来源于 １９６７年．哈佛大学社会心理学家斯坦利．米尔格拉姆 （Ｓｔａｎｌｅｙ Ｍｉｌｇｒａｍ）作了这样的一个实验．他要求３００多人把 他的一封信寄到某市一个“目标”人。于是形成ｒ发信人的 链条．链上的每个成员都力图把这封信寄给他们的朋友、家 庭成员、商业同事或偶然认识的人．以便尽快到达目标人。 实验结果是．一共６０个链条最终到达目标人．链条中平均 步骤大约为６。人们把这个结果说成“六度分离”并广为传 播。现代版本则是．２００２年Ｗａｔｔｓ和哥伦比亚大学社会学系 合作用Ｅ—ｍａｉｌ进行了同样实验。而且实验规模也扩展到了 全球范围。１６６个国家６万人．发ｅｍａｉｌ给１８个目标人。有 科学家甚至从这个现象推演出一个可以评估的数学模型。 你也许不认识奥巴马．但是在优化的情况下．你只需要通过 六个人就可以结识他。“六度分隔”说明了社会中普遍存在 一些“弱链接”关系．但是却发挥着非常强大的作用。 这个玄妙理论表明“世界真小啊！”．“小世界”由此得 名。它引来ｎｒ数学家、物理学家和电脑科学家纷纷投入研 究。结果发现，世界上许多其他的网络也有极相似的结构。 比如，人际网络和ＷＷＷ的架构几乎完全一样．通过超文 本链接的网络、经济活动中的商业联系网络、甚至人类脑 神经元、以及细胞内的分子交互作用网络．有着完全相同 的组织结构。科学家们把这种现象称为小世界效应。 （２）小世界原理及网络模型。小世界效应的精确定义 还在讨论中，目前有一个较为合理的解释是：若网络中任 意两者间的平均距离Ｌ随网络节点数Ｎ的增加呈对数增 长，即Ｌ．ＩｎＮ，当网络中结点数增加很快时。Ｌ变化相对缓 慢，则称该网络具有小世界效应。 １９９８年Ｗａｔｔｓ＆Ｓｔｒｏｇａｔｚ提出了“小世界”网络模型 （Ｗ—Ｓ模型）。小世界网络既具有与规则网络类似的分簇特 性，又具有与随机网络类似的较小的平均路径长度，刻画 了真实网络所有的大聚簇和短平均路径长度的特性。小世 界网络的基本模型是Ｗ—Ｓ模型，算法描述如下： （１）给定规则网：假如我们有～个节点总数为Ｎ．每个 节点与它最近邻的节点Ｋ＝２ｋ相连线的一维有限规则网． 通常要求Ｎ＞＞Ｋ＞＞ｌ。 （２）改写旧连线：以概率Ｐ为规则网的每条旧连线重 新布线．方法是将该连线的一个端点随机地放到一个新位 置上，但需要排除自身到自身的连线和重复连线。
复杂网络链路预测研究现状与展望
复杂网络链路预测研究现状与展望复杂网络链路预测研究已经成为网络科学的热点领域之一、在复杂网络中，链路预测是指通过已知网络的一部分链接信息，来推测未知链接的过程。
链路预测技术对于社交网络、生物信息学、蛋白质网络等领域具有重要意义。
本文将介绍复杂网络链路预测的研究现状和展望。
目前，链路预测的研究已经取得了一些成果。
最早的链路预测方法是基于网络的拓扑结构，通过计算节点之间的相似度来进行预测。
其中，最经典的方法是基于共同邻居的链路预测方法。
该方法认为，如果两个节点有很多共同的邻居节点，那么它们之间的链接的可能性就很高。
除了共同邻居方法外，还有许多其他基于拓扑结构的链路预测方法，如Adamic-Adar指数、Jaccard系数等。
然而，基于拓扑结构的链路预测方法并不能很好地处理复杂网络中存在的动态变化和噪声干扰等问题。
因此，研究者们提出了一系列新的链路预测方法。
例如，基于图嵌入的链路预测方法可以将网络的结构信息映射到低维空间中，从而更好地捕捉网络的特征。
此外，一些基于机器学习的方法，如支持向量机、随机森林等，也被应用于链路预测，取得了不错的效果。
除了方法的创新，研究者们还提出了一些新的评价指标来评估链路预测的效果。
最常用的指标是精确率、召回率和F1值。
此外，还有一些基于信息论的指标，如平均相对信息增益和信息熵等。
这些指标可以帮助研究者更准确地评估链路预测方法的性能。
未来，复杂网络链路预测仍然存在一些挑战和机遇。
首先，复杂网络往往具有重叠社区结构，即节点可能同时属于多个社区。
如何在这种网络中进行准确的链路预测是一个有待解决的问题。
其次，目前大多数链路预测方法还是基于静态网络的，缺乏对网络动态变化的建模能力。
因此，如何将链路预测方法与动态网络模型结合起来，将是未来的研究方向。
此外，由于现实网络中存在大量的噪声和缺失数据，如何处理噪声和缺失数据对链路预测的影响也是一个重要的研究方向。
总之，复杂网络链路预测研究已经取得了一些重要的进展，但仍然存在一些挑战和机遇。
大规模复杂网络的研究与应用
大规模复杂网络的研究与应用随着互联网的普及和数字化时代的到来，网络已经成为我们日常生活中不可或缺的一部分。
大规模复杂网络作为一种网络形态，近年来受到了广泛的研究和应用。
本文将对大规模复杂网络的研究和应用进行探讨。
一、大规模复杂网络的定义大规模复杂网络是指由大量节点和连接组成的网络系统，节点之间的连接关系较为复杂，其结构具有复杂性、随机性和自组织性等特点。
大规模复杂网络是一种抽象的数学模型，可以用来描述现实生活中的许多网络形态，如社交网络、交通网络、通讯网络等。
二、大规模复杂网络的特点1.复杂性大规模复杂网络的节点数量很大，连接关系也较为复杂，具有非线性、不连续、不可预测等特点，因此其分析和研究相对较为困难。
2.随机性大规模复杂网络的节点连接关系具有一定的随机性，可能出现一些非常规的行为模式。
3.自组织性大规模复杂网络的结构和性质是由网络中各个节点的自组织行为所决定的，具有自发性和非线性的动态演化特征。
三、大规模复杂网络的研究内容1.复杂网络的结构和演化复杂网络的结构和演化是复杂网络研究的核心内容之一。
研究复杂网络的结构和演化规律，可以揭示网络的发展和变化趋势，为网络设计和优化提供理论基础。
2.复杂网络的动力学和控制复杂网络的动力学和控制是针对网络的各个节点之间的非线性关系，以及整个网络的自组织特性进行研究。
通过研究复杂网络的动力学模型和变化规律，可以有效地控制网络的行为和发展方向。
3.复杂网络的信息处理和传输复杂网络的信息处理和传输是指在复杂网络中实现信息传输和处理的方法和技术。
研究复杂网络的信息处理和传输技术，可以为网络应用及其安全、性能、可靠性提供支持。
四、大规模复杂网络的应用1.社交网络随着社交网络的兴起，大规模复杂网络已经成为社交网络研究的重要方向。
通过深入研究社交网络的结构和性质，可以更好地理解人类社会和行为模式，并为社会政策和商业运营提供支持。
2.交通网络交通网络是现代城市的重要组成部分，其高效运作对城市的发展和经济的增长起着重要作用。
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考虑以下牵制控制算法：
其中牵制增益定义如下：
29
令 x0 s ，可得到由N+1个节点构成的复杂网络
令
为网络（7）的邻接矩阵，可得
30
设网络（3）和（7）的Laplacian矩阵分别为L 和 L~ ，考虑(1)和(8)，可得
社会也是一个网络，它由友情、家庭和职业 关系彼此连结。
在更大的尺度上，食物链和生态系统可以看 作由物种所构成的网络。
科技领域的网络更是随处可见:因特网、电力 网和运输系统都是实例。
4
Internet
5
Power Grid USA
6
9.11 Terrorists web
7
复杂网络简而言之即呈现高度复杂性的网
IEEE Trans Circuits Syst.-I: Regular Papers, 2012, in press (with Qiang Song, Fan Liu, Wenwu Yu)
26
无延时复杂网络牵制控制的稳定条件
由N个节点构成的复杂网络可描述如下：
其中
c0 为耦合强度；
为节点i的状态变量；
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时滞复杂网络牵制控制的稳定条件
由N个节点构成的时滞复杂网络描述如下：
0 其中
为时滞，网络初始值由下式给定
网络（20）的孤立节点为：
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考虑以下牵制控制算法：
假设(A2)： 对于复杂网络(23)中的非线性函数f，存在两个定常矩阵
K (kij )NN 和 M (mij )NN ，使下式成立：
35
定义以下参数
定理2： 复杂网络（23）满足假设A2，若孤立节点（22）到其它任意节点都存 在一条有向路径且以下条件成立：
则复杂网络（23）可渐近同步至孤立节点（22）， 其中
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复杂网络的牵制节点选取
命题：对于具有N个节点的复杂网络，假设Laplacian矩阵零特征值 的代数重数为m，则网络的拓扑可以分割为m个子图，且每个子图都 含有一条有向树。那么，只有m个子图的根节点都被牵制时，复杂网 络的牵制控制才能实现，也就是说牵制节点的最小个数为m。
24
有向复杂网络的牵制控制研究进展
• T. Chen等（ IEEE Transactions on Circuits and Systems–I, 54,1317–1326, 2007 ）指出如果耦合强度足够大的话，牵制 一个根节点便可实现整个网络的同步；
• J. Zhou等（Automatica, 44, 996–1003, 2008）通过矩阵分 解，估计了耦合强度有限时实现网络同步所需牵制节点的个 数；
4. 动力学复杂性：节点可能属于非线性动力学系统，例如节点状 态随时间发生复杂变化。
5. 节点多样性：复杂网络中的节点可以代表任何事物，例如，人 际关系构成的复杂网络节点代表单独个体, 万维网组成的复杂 网络节点可以表示不同网页。
6. 多重复杂性融合：即以上多重复杂性相互影响，导致更为难以 预料的结果。例如，设计一个电力供应网络需要考虑此网络的 进化过程，其进化过程决定网络的拓扑结构。当两个节点之间 频繁进行能量传输时，他们之间的连接权重会随之增加，通过 不断的学习与记忆逐步改善网络性能。
20
例2：u<1时的状态误差
21
三
网络控制方面：复杂网络的牵引控制能力：M矩阵方法
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为什么需要牵引控制
• 前面提到的复杂网络同步均是通过节点之间的局部连接达 到的，没有外界的强力干扰。因此，最终的同步状态很难 估计；
• 而在许多物理、生物及社会动态网络中，却经常需要对其 进行调控使得其网络的最终状态满足一定要求；
引理：Laplacian 矩阵具有单个零特征值的充要条件是网络拓扑图含有一条有 向生成树。
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引理：方程（9）定义的L+D 矩阵为M矩阵的充分必要条件是 网络(7)的拓扑图含有一条向生成树。
定理1：复杂网络（5）满足假设A1，若孤立节点（4）到其它 节点都存在一条有向路径且以下条件成立
则复杂网络（5）可渐近同步至孤立节点（4）。
• 2004年X. Li,X.F. Wang,G. Chen（IEEE Transactions on Circuits Systems–I: Regular Papers, 51, 2074–2087, 2004 ）提出了“虚拟控制”的概念，深刻论述了复杂网络牵制 控制的机理
• Sorrentino等（Physical Review E, 75, art no. 046103, 2007）定义了“牵制可控性”（pinning controllability）作为 评估网络牵制控制性能的指标
16
此前结果 • 研究desynchronizing impulses时对脉冲间隔的下界有严格要求; • 而研究synchronizing impulses时对脉冲间隔的上界有严格要求; 给研究结果带来了很大的保守性. 因此有必要给出一个统一判据,并且降低其保守性. 借用切换系统中的Average Dwell Time的概念，给出下面定义：
• Q. Song, J. Cao（IEEE Transactions on Circuits and Systems–I, 57, 672–680, 2010）综合考虑了网络节点的入度 及出度，研究了那些出度大于入度的节点需要优先牵制；
• Y.Y. Liu, J.J. Slotine, A. Barabasi (Nature 473, 167–173, 2011) 寻找最小的控制节点数，得到两个有趣的结果：一是 复杂网络中的驱动节点一般不是网络的hub；二是稀疏的异 质网络是最难控制的，而致密的同质网络是比较容易控制 的。
络。
其复杂性主要表现在以下几个方面：
1. 结构复杂：表现在节点数目巨大，网络结构呈现多种不同特 征。
2. 网络进化：表现在节点或连接的产生与消失。例如world-wideweb network，网页或链接随时可能出现或断开，导致网络结 构不断发生变化。
3. 连接多样性：节点之间的连接权重存在差异，且有可能存在方 向性。
为内部耦合矩阵且为正定矩阵。
假设(A1)： 对于复杂网络(5)中的非线性函数f，存在一个正数 ，使得
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网络（3）的孤立节点（也可称为领导者）：
我们的控制目标是设计合适的控制器，把网络（3）同步到孤立节点（4），为减 少控制器的个数，需要采用牵制控制的策略，令
{1,2, , N} 为网络所有节点集合，
注： 如果耦合强度有限，我们可首先把有向图进行分解，牵制m个子 图的根节点，如果牵制同步条件（12）或（26）不满足，可把其余Nm个节点按出度与入度差进行排列，优先牵制那些出度大于入度的节 点【参见Q. Song, J. Cao, IEEE Trans Circuits Syst.–I, 57, 672–680, 2010】，增加牵制节点数目，直到牵制同步条件成立。
• 对于大规模的网络，我们却不可能控制其每个节点；因 此，很有必要设计控制器，通过控制部分节点，以达到控 制整个网络的目的；
• 牵制控制的基本思想是仅对网络中的少数关键节点进行控 制，通过节点间的相互耦合，从而达到控制整个网络的目 的。
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无向复杂网络的牵制控制研究进展
• 2002年X.F. Wang,G. Chen（Physica A, 310, 521–531, 2002）首次把牵制控制应用于复杂网络，研究了随机及特定 两种牵制控制策略，指出特定牵制控制一般比随机牵制控制 的性能要好，且度大的节点需优先控制；
u<1 表示synchronizing impulses; u=1 则意味着没有增益; • 此前的文献均是对desynchronizing impulses和synchronizing impulses 分别讨论;
Automatica 46 (2010) 1215-1221(with Jianquan Lu, Daniel W.C. Ho)
二
动态分析方面：一个统一的脉冲网络同步判据
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网络系统中的脉冲现象
作为表征自然界中一种瞬时突变行为，很多时候，脉 冲现象往往能更深刻、精确地反映系统的动态演化规 律
脉冲动力系统已成功应用于大型航天器的减震装置、 卫星轨道的转换、移动通讯中传输信号切换
生物神经实验表明：在生物的神经系统中神经元之间 的传递方式是以电脉冲的过程进行的，从而实现神经 信息的产生、整合和传递
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复杂网络的牵引控制能力：M矩阵方法
利用M矩阵分析了复杂网络的全局牵制可控性，而以前的 文献主要是利用主稳定函数分析网络的局部牵制可控性。
证明了由牵制控制增益矩阵及网络Laplacian矩阵共同构 成的矩阵特征值的最小实部可以用来分析牵制控制的稳定 性。
把网络的拓扑结构分割为最小数目的子图，其中每个子图 都含有一条有向树，然后提出了一种选择牵制节点的有效 策略，并分析了网络节点在牵制控制中的不同角色。
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反馈强度的适度选择
• 虽然增大反馈控制的强度会提高牵引控制效果，但是却没 有必要无限制的增大。
• 我们严格证明了“随着反馈强度(d_i)增大到无穷，受控 Laplacian矩阵L+D的最小特征值会趋于一个有限的正数”；
• 这一观点在文章Y. Zou and G. Chen, Chin. Phys. B, 18, 3337–3346, 2009. 和L. F. R. Turci and E. E. N. Macau, Phys. Rev. E, 84, art no. 011120, 2011中数 值模拟说明。
•• 多多刚刚体体网网络络系系统统镇镇定定同同步步问问题题：：多多个个旋旋转转式式探探测测卫卫星星或或 水水下下探探测测器器系系统统