江西省抚州市高三数学教学质量检测文科试题

高三数学文科试题 第页(共4页)2009年抚州市高三年级教学质量检测数学试卷(文科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4}，则A B )等于 A.{1,3} B.{2,4} C.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5}2.命题p ：|x |≥1，命题q ：x 2＋x －6≥0，则“非p ”是“非q ”成立的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a ≠0)，其导函数的图象过二、三、四象限，则函数f (x )的图象不经过A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.运载“神舟七号”飞船的“长征2号”火箭在点火1分钟内飞行了2 km ，以后每分钟飞行的路程增加2 km,15分钟后，火箭与飞船分离，此时飞船距离发射点大约是A.30 kmB.215kmC.240 kmD.2(215－1)km5.如图在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 、F 分别在棱AD ，CC 1上，若AF ⊥A 1E ，则 A.AE ＝ED B.AE ＝C 1F C.AE ＝CF D.C 1F ＝CF6.如图，A ，B ，C ，D 是四个采矿点，图中的直线和线段均表示公路，四边形ABQP ，BCRQ ，CDSR 近似于正方形，A ，B ，C ，D 采矿量之比为6∶2∶3∶4，且运矿费与路程和采矿量的乘积成正比.现从P ，Q ，R ，S中选一个中转站，使中转费用最少，应选 A.P 点 B.Q 点 C.R 点 D.S 点7.已知直线l 1：x ＋y ＋2＝0和直线l 2：x ＋y ＝0，设点P 到l 1与l 2的距离分别为d 1与d 2，记d ＝max{d 1，d 2}，那么当d ≥2时点P 所在的区域是A B C D8.若AB 是过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)中心的一条弦，M 是椭圆上任意一点，且AM 、BM与坐标轴不平行，k AM 、k BM 分别表示直线AM 、BM 的斜率，则k AM ·k BM 等于A.－c 2a 2B.－b 2a 2C.－c 2b 2D.－a 2b29.若△ABC 三内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知m ＝(a ＋b ，c )，n ＝(a －b ，c －a )，若|m ＋n |＝|m －n |，则角B 的大小A.30°B.60°C.90°D.120°10.将1、2、3、4填入4×4方格中，要求每行、每列都没有重复数字.右图是一种填法.不同的填法共有A.24种B.144种C.216种D.432种11.在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点p (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 关于t 的函数图象可能为12.x 、y 、z 均为正实数，且4xy ＋z 2＋2yz ＋2xz ＝8，则x ＋y ＋z 的最小值为 A.8 B.4 C.2 D.2 2第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案填写在题中横线上.13.已知函数f (x )＝2x －12x ＋1，则f －1(－79)的值是 .14.在(x 2－13x)n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是 .15.给出下列命题：①已知A ，B 是非空数集，若x ∉A ，且x ∉B ，那么A ⊆B ；②一个球与棱长为2的正方体的所有棱都相切，则此球的体积为4π3；③已知函数f (x )＝lg(x 2＋1)，则方程f (x )＝0在(1,2)内必有实根； ④圆(x －2)2＋y 2＝2外的点M 对该圆的视角为90°时，则点M 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝4.其中正确的命题序号是 .16.在实数集R 中定义一种运算“*”，具有性质： ①对任意a ，b ∈R ，a *b ＝b *a ； ②对任意a ∈R ，a *0＝a ；③对任意a ，b ，c ∈R ，(a *b )*c ＝c *(ab )＋(a *c )＋(b *c )－2c .则函数f (x )＝x *1x(x ＞0)的最小值为 .三、解答题：本大题共6小题，满分74分.解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象过点(0,2)，f (x )的最小正周期为4π，且最大值与最小值的差为2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)在△ABC 中，B ＝π3，其对边为b ，若f (B )＝b ，求△ABC 的最大面积.18.(本小题满分12分)某公司通过三次测试来聘用职员，一旦某次测试通过就聘用，否则就一直测试到第三次为止，现有4人前来应聘，假设每位应聘者三次通过测试的概率都依次为15，14，p ，每位应聘者被聘用的概率为p 0.(1)求某应聘者能被聘用的概率(结果用p 表示)；(2)若4位应聘者中要求恰有2人被聘用的概率不低于恰有3位被聘用的概率，求p 的取值范围.19.(本小题满分12分)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝4，Q 是BC 边上的一点，又P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝4，直线PQ 与平面ABCD 所成角的正切值为 2.(1)求二面角Q —PD —A 的大小； (2)求点A 到平面PDQ 的距离.20.(本小题满分12分)已知a 1＝b 1＝1，a n ＋1＝b n ＋n ，b n ＋1＝a n ＋(－1)n ，n ∈N *. (1)求a 3，a 4的值，并求a 2n －1和a 2n ；(2)设S n ＝1a 2＋1a 4＋…＋1a 2n，求S 2009.21.(本小题满分12分)已知点A (－2,0)，B (2,0)，动点P 满足P A ·PB ＝|P A |·|PB |－4. (1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点B 的直线l 与轨迹C 交于M 、N 两点，试问：在x 轴上是否存在定点F ，使FM ·FN 为常数？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由.22.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 4＋ax 3＋2x 2＋b (x ∈R )，其中a ，b ∈R .(1)当a ＝－103时，求f (x )的单调递增区间；(2)若函数f (x )仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围；(3)若对于任意的a ∈[－2,2]，不等式f (x )≤1在x ∈[ －1,1]上恒成立，求b 的取值范围.高三数学文科答案 第页(共3页)抚州市2009届高三统一考试数学试题(文)参考答案1.A2.B3.A4.C5.C6.B7.D8.B9.B 10.D 11.B 12.D 13.－3 14.7 15.②④ 16.317.解：(1)f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋A2＋1.又A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2，∴f (x )的最大值为A ＋1，最小值为1.由f (x )的最大值与最小值的差为2，∴A ＝2.由f (x )过点(0,2)，f (0)＝cos 2φ＋2＝2，∴φ＝π4，则T ＝4π＝2π2ω，∴ω＝14，f (x )＝cos(12x ＋π2)＋2＝2－sin 12x .6分(2)∵B ＝π3，∴b ＝f (B )＝2－sin(12·π3)＝32.设A ，C 所对的边分别为a ，c ，由余弦定理得94＝a 2＋c 2－2ac cos π3，94＋ac ＝a 2＋c 2≥2ac ，ac ≤94，当且仅当a ＝c ＝32时等号成立，△ABC 的面积S ＝12ac sin π3≤9316.12分18.解：(1)某应聘者能被聘用的概率为p 0＝1－(1－15)(1－14)(1－p )＝25＋35p .4分(2)在4位应聘者中恰好有2人被聘用的概率为C 24P 20·(1－P 0)2，恰有3位被聘用的概率为C 34p 30·(1－p 0)1，依题意C 24p 20·(1－p 0)2≥C 34p 30·(1－p 0)1，解得p 0≤35， 即25＋35p ≤35⇒0≤p ≤13.12分19.解：(1)连AQ ，∠PQA 是PQ 与平面ABCD 所成角，AQ ＝22，BQ ＝2，即Q 是BC 的中点，过Q 作QH ⊥AD 于H ，则QH ⊥平面P AD ，过Q 作QM ⊥PD ，连MH ，则∠QMH 为所求二面角的平面角.在Rt △P AD 中，MH P A ＝DH PD ⇒MH ＝P A ·DH PD ＝4×242＝2，所以tan ∠QMH ＝HQ PD ＝22＝2，从而所求二面角的大小为arctan 2.6分(2)由于Q 是BC 的中点，可得DQ ⊥PQ ，⎭⎪⎬⎪⎫DQ ⊥PQ DQ ⊥P A ⇒⎭⎪⎬⎪⎫DQ ⊥面P AQ DQ ⊥面PDQ ⇒面P AQ ⊥面PDQ ，过A 作AG ⊥PQ 于G ，则AG 为点A 到平面PQD 的距离. AG ＝AP ·AQ PQ ＝4×2216＋8＝433.12分另解：分别以AD ，AB ，AP 为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系， 由条件知Q 是BC 的中点，面P AD 的一个法向量是AB ＝(0,2,0). 又D (4,0,0)，Q (2,2,0)，P (0,0,4)， 故DQ ＝(0,2,0)，DP ＝(－4,0,4)，设面PDQ 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·DQ ＝0，n ·DP ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2y ＝0，－4x ＋4z ＝0，由此可取n ＝(1,1,1)，从而(1)cos 〈AB ，n 〉＝AB ·n|AB |·|n |＝223＝33.(2)面PDQ 的一个法向量为n ＝(1,1,1)，AQ ＝(2,2,0)， 故点A 到平面PDQ 的距离d ＝|AQ ·n ||n |＝2＋23＝433.20.解：(1)a n ＋1＝a n －1＋(－1)n －1＋n ，于是a 3＝a 1＋2－1＝2，a 2n －1＝a 2n －3－1＋2n －2(n ≥2)， ∴a 2n －1＝a 2n －3＋2n －3(n ≥2). ………… a 3＝a 1＋1a 2n －1＝a 1＋(2n ＋1－3)(n －1)2＝n 2－2n ＋2.2分而a 2＝b 1＋1＝2 a 4＝b 3＋3＝a 2＋4 …………a 2n ＝a 2n －2＋2n ∴a 2n ＝a 2n －2＋2n∴a 2n ＝a 2＋(4＋2n )(n －1)2＝n 2＋n .8分(2)S n ＝1a 2＋1a 4＋…＋1a 2n＝11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1∴S 2009＝1－12010＝20092010.12分21.解：(1)设P (x ，y )，则P A ＝(－2－x ，－y )，PB ＝(2－x ，－y )，依题意有(－2－x )(2－x )＋y 2＝(－2－x )2＋y 2·(2－x )2＋y 2，化简得x 2－y 2＝2.4分(2)假设存在定点F (m,0)，使FM ·FN 为常数. 当直线l 与x 轴不垂直时，设l ：y ＝k (x －2)， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 2－y 2＝2⇒(1－k 2)x 2＋4k 2x －4k 2－2＝0， 依题意k 2≠1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝4k 2k 2－1，x 1x 2＝4k 2＋2k 2－1，于是FM ·FN ＝(x 1－m ，y 1)(x 2－m ，y 2)＝(k 2＋1)x 1x 2－(2k 2＋m )(x 1＋x 2)＋4k 2＋m 2 ＝4(1－m )k 2－1＋m 2－4m ＋2.8分 要使FM ·FN 是与k 无关的常数，当且仅当m ＝1，此时FM ·FN ＝－1.当直线l ⊥x 轴时，可得M (2，2)，N (2，－2)，若m ＝1，则FM ·FN ＝(1，2)(1，－2)＝－1.所以在x 轴上存在定点F (1,0)，使FM ·FN 为常数.12分22.解：f ′(x )＝4x 3＋3ax 2＋4x ＝x (4x 2＋3ax ＋4).(1)当a ＝－103时，f ′(x )＝4x 3＋3ax 2＋4x ＝2x (2x －1)(x －2)，令f ′(x )≥0，得0≤x ≤12或x ≥2，所以f (x )的增区间为[0，12]与[2，＋∞).4分(2)f ′(x )＝x (4x 2＋3ax ＋4)，显然x ＝0不是方程4x 2＋3ax ＋4＝0的根，为使f (x )仅在x ＝0处有极值，4x 2＋3ax ＋4≥0必须恒成立，即有Δ＝9a 3－64≤0，解得a ∈[－83，83].8分(3)由条件a ∈[－2,2]知Δ＝9a 2－64＜0，从而4x 2＋3ax ＋4＞0恒成立. 当x ＜0时f ′(x )＜0；当x ＞0时，f ′(x )＞0.因此f (x )在区间[－1,1]上的最大值为max{f (－1)，f (1)}.为使对任意a ∈[－2,2]，f (x )≤1在x ∈[－1,1]上恒成立，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧f (1)≤1，f (－1)≤1⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ≤－2－a ，b ≤－2＋a在a ∈[－2,2]上恒成立，解得b ≤－4，故b 的取值范围是(－∞，－4].。