21.3.2公式法2

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人教版九年级数学上册第21章第2节《公式法》课件

△=b2﹣4ac=4+4=8＞0，
方程有两个不相等的实数根，
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
基础巩固题
1.方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( B ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有一个实数 D.没有实数根
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
基础巩固题
2. 关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实根，则k的取值范围是（ B ）
探究新知
21.2 解一元二次方程/
（3）4x2+1=-3x
（4）x²-2mx+4（m-1）=0
解：移项，得4x2+3x+1=0，解：a＝1，b＝-2m ，c＝4（m-1）
a＝4，b＝3 ，c＝1
∵ △= b2-4ac
=9-4×4×1=-7＜0 ∴该方程没有实数根
∵ △= b2-4ac
=（-2m）²-4×1×4（m-1） =4m2-16（m-1） =4m2-16m+16 =（2m-4）2≥0
2a
二次方程的求根公式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根
公式可知，一元二次方程最多有两个实数根.
当 b-4ac ＜0 时，方程有实数根吗？
探究新知
21.2 解一元二次方程/
素养考点 1 公式法解方程
例1 用公式法解方程：
（1）x2-4x-7=0；
解：∵a=1，b=-4，c=-7, ∴b2-4ac=(-4)2-4×1×(-7)=44＞0.
例2 不解方程，判断下列方程根的情况：
（1）x2 2 6x 6 0
（2）x2+4x=2
解：a＝﹣1，b＝ 2 6，c＝﹣6 解：移项，得 x2+4x-2=0

人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教学设计1

人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教学设计1一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.2.2节“公式法”是学习二次函数求解的重要内容。

本节内容通过公式法，引导学生掌握二次函数的求解过程，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教材以实例引入，让学生通过观察、分析、归纳，探索并掌握二次函数的求解公式，并能在实际问题中灵活运用。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本概念和图像，但对二次函数的求解方法可能还不够熟练。

因此，在教学过程中，需要关注学生的知识基础，引导学生通过自主学习、合作交流等方式，深入理解公式法的原理和应用。

三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次函数的求解公式，能够运用公式法解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳，培养学生探索二次函数求解方法的能力。

3.情感态度与价值观：培养学生运用数学知识解决实际问题的兴趣，提高学生的自信心。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的求解公式及应用。

2.难点：灵活运用公式法解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入，激发学生的学习兴趣。

2.引导发现法：引导学生观察、分析、归纳，探索二次函数的求解方法。

3.合作交流法：鼓励学生与他人合作，共同解决问题。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数的求解过程。

2.实例：准备一些实际问题，用于引导学生运用公式法求解。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个实际问题：某商品打8折后的价格是120元，求原价。

引导学生思考如何解决这个问题，从而引出二次函数的求解方法。

2.呈现（10分钟）展示二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0），引导学生观察实例中的二次函数，发现其特点。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组尝试用公式法求解一个实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生回答问题：如何判断一个二次方程有实数根、有两个相等的实数根还是有三个实数根？并解释原因。

21.3.2求根公式法-黄金分割数

为了弘扬雷锋精神，某中学准备在校园内建造一座高2m的雷锋人体雕像，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应该设计为多高？这个高度比等于多少？
李小姐身高1.65m，躯干（指腰以下）１m，请你为她选择一双高跟鞋，使得视觉效果最佳（精确到毫米）.
找出黄金分割点： 1.经过点B作BD⊥AB，使BD=0.5AB； 2.连接AD，在AD上截取DE=DB. 3.在AB上截取AC=AE. 点C是线段AB的黄金分割点吗?
A
D ECB Nhomakorabea根据上述作图回答下列问题: (1)若AB=2，那么BD、AD、AC、BC分别等于多少？ (2)点C是线段AB的黄金分割点吗？
21.3.2 黄金分割数
(3) 你认为怎样拍照比较好看？报幕员应站在舞 (2)为什么许多国家都喜欢在国旗上绣五角星？为什么说蒙娜丽莎的微笑是最美的？ (1) 台的什么地方报幕最佳？
(5)高清晰度电视的屏幕为什么要设计成16:9？新加坡中国朝鲜 (6)人的正常体温是37℃，对大多数人来说，体感最舒适的温度是多少？大热天开空调应调在什么温度最佳？
画家们发现，按0.618 来设计腿长与身高的比例，画出的人体身材最优美，达·芬奇的蒙娜丽莎整幅画面的构图都完美的体现了0.618比例，使得这幅油画看起来非常和谐完美．古希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗的体型完全与之相符，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的0.58，因此许多姑娘都愿意穿上高跟鞋，而芭蕾舞演员则在翩翩起舞时，不时地踮起脚尖．人体还有：肚脐上部分的0.618在咽喉，肚脐以下部分的0.618在膝盖，上肢的0.618在肘关节，上肢是下肢长度的0.618. 蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比, 普通树叶的宽与长之比也接近0.618．节目主持人报幕，站在舞台上侧近于 0.618的位置才是最佳的位置．人体最感舒适的温度约是 23℃，也是正常人体温的0.618．

《21.2解一元二次方程——21.2.2公式法》教学设计【初中数学人教版九年级上册】

第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程公式法教学设计一、教学目标1.探索利用公式法解一元二次方程的一般步骤.2.能够利用公式法解一元二次方程.二、教学重点及难点重点：用公式法解一元二次方程.难点：用公式法解一元二次方程三、教学用具多媒体课件。

四、相关资源《复习配方法解一元二次方程》动画。

五、教学过程【温故知新，提出问题】XE燃解方程s h+2s+c=0此图片是动画绪略图，此处插入交互动画《【数学探完】一元二次方程的儿何解法》，可以通过几何的方法展现一元二次方程的解法。

问题1你能用配方法解卜列方程吗？(1)m+ll=O；(2)9/=12x+14.解：<1)移项，得x2 -7入=一11.配方，得x2-7a-+^|J=-11+r2>7即七2=5 3开方,得x—;=±g.7-757+必所以X]=—-—•^2=—5-(2)移项，得9F-12x=14・,414系数化为1,得『一二工二方.配方,得广一§+仲卜？+停).即厂：<--2=2.开方，得x-|=±>/2,所以“甲®夸问题2用配方法解一元二次方程的步骤?化：把原方程化成r+p.x+q=O的形式.移项：把常数项移到方程的右边，如F+px=迫.配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，如/+px+(W)2=-g+(S(x+S=F+(9求解：解一元一次方程.定解：写出原方程的解.师生活动：学生独立完成，复习归纳。

(X潞瘢配方法任何一个一元二次方程都可以写成一般形式十取-c-m z=0),能否用配方法俾出能否用配方法街出or2me=O(aMO)的观］一元二次方程M+既13(/0)的二次坎系救u,—次敏卒致b以及常敏项c.<1>移项；将方程中含有耒知数的氐移对方程的左边.巧常数璜玛勤方程的右边.ar2—fez=—cQ)二次项系散化为卜若二次项的系敢不为1.划在方程两边同时序以二次项的系敷.将二次项的系敖化为I.X2+-Z=—-a aU>配方，方程的两边鄙加上一次咬系?I一半的平方鸟方程靛左遮配成一个完全平方式・/十打十(粉2=弋十(粉2flHk整电饵(工+y=静因为a*0.4a2>0,代数式62-iac来决定一元二次方程+hx+c=Oia^O)根的唁况.此图片是动画垸略图，此处插入交互动画《【教学探究】配方法》，可以逐步展现配方法的步曜.设计意图：通过复习，巩固旧知，钠垫新知，设置问题，引出新课.【合作探究，形成知识】问题2—元二次方程的一般形式是什么？你能否也用配方法解出方程的根呢？杯+皈+^=0(醇0)己知a『+M+c=0(再0),请用配方法推导出它的两个根.解：移项，得ar2+fer=-c.K c二次项系数化为1，得《?+-X=——.a a配方,得+-X+(A)2=-£+(A)2…gp(X+=)2=\二"(JI).a la a2a2。

九年级数学上册 21.2.2 公式法教案2 新人教版(2021年最新整理)

（贵州专用）2017秋九年级数学上册21.2.2 公式法教案2 （新版）新人教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（贵州专用）2017秋九年级数学上册21.2.2 公式法教案2 （新版）新人教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（贵州专用）2017秋九年级数学上册21.2.2 公式法教案2 （新版）新人教版的全部内容。

21。

2.2 公式法判别一元二次方程根的情况教学内容用b2—4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用．教学目标掌握b2-4ac>0，ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根,反之也成立；b2-4ac=0，ax2+bx+c=0(a ≠0）有两个相等的实数根,反之也成立；b2-4ac〈0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．通过复习用配方法解一元二次方程的b2—4ac>0、b2-4ac=0、b2—4ac<0各一题，•分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目．重难点关键1．重点：b2—4ac〉0↔一元二次方程有两个不相等的实根；b2—4ac=0↔一元二次方程有两个相等的实数；b2-4ac〈0↔一元二次方程没有实根．2．难点与关键从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系．教具、学具准备小黑板教学过程一、复习引入（学生活动）用公式法解下列方程．(1)2x2—3x=0 （2）3x2-23x+1=0 （3）4x2+x+1=0老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1)b2—4ac=9〉0，•有两个不相等的实根；（2)b2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根;（3）b2-4ac=│—4×4×1│=〈0，•方程没有实根二、探索新知从前面的具体问题,我们已经知道b2—4ac>0(<0,=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：求根公式：x=242b b aca-±-，当b2-4ac>0时,根据平方根的意义,24b ac-等于一个具体数,所以一元一次方程的x1=242b b aca-+-≠x1=242b b aca---,即有两个不相等的实根．当b2—4ac=0时，•根据平方根的意义24b ac-=0，所以x1=x2=2b a-,即有两个相等的实根；当b2—4ac〈0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实数解．因此，（结论)（1）当b2—4ac〉0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)•有两个不相等实数根即x1=24b b ac-+-，x2=24b b ac---．(2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=2b a-．（3）当b2—4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．例1．不解方程，判定方程根的情况（1）16x2+8x=—3 （2)9x2+6x+1=0（3)2x2—9x+8=0 (4)x2—7x—18=0分析:不解方程,判定根的情况，只需用b—4ac的值大于0、小于0、等于0•的情况进行分析即可．解：（1）化为16x2+8x+3=0这里a=16，b=8，c=3,b2-4ac=64-4×16×3=—128<0所以，方程没有实数根．(2）a=9，b=6，c=1,b2-4ac=36—36=0，∴方程有两个相等的实数根．(3）a=2，b=—9，c=8b2-4ac=（—9)2-4×2×8=81-64=17>0∴方程有两个不相等的实根．(4）a=1，b=-7,c=—18b2—4ac=（-7）2—4×1×（—18）=121〉0∴方程有两个不相等的实根．三、巩固练习不解方程判定下列方程根的情况:（1）x2+10x+26=0 （2)x2—x—34=0（3)3x2+6x—5=0 （4）4x2-x+116=0(5）x2-3x—14=0 (6）4x2—6x=0（7）x(2x—4）=5-8x四、应用拓展例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2—2ax+a+1=0没有实数解,求ax+3〉0的解集（用含a的式子表示)．分析：要求ax+3〉0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2—2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4(a—2）（a+1）〈0就可求出a的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（a—2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（—2a）2-4(a—2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8〈0a〈-2∵ax+3〉0即ax>—3∴x〈—3 a∴所求不等式的解集为x〈—3 a五、归纳小结本节课应掌握：b2-4ac>0↔一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根;b2-4ac=0 ↔一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2—4ac〈0↔一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的运用．六、布置作业1．教材P46复习巩固6 综合运用9 拓广探索1、2．2．选用课时作业设计．第五课时作业设计一、选择题1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况,其中正确的有（）．A．∵b2-4ac=—8，∴方程有解B．∵b2—4ac=—8，∴方程无解C．∵b2—4ac=8，∴方程有解D．∵b2-4ac=8，∴方程无解2．一元二次方程x2—ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（ )．A．a=0 B．a=2或a=-2C．a=2 D．a=2或a=03．已知k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（）．A．k≠2 B．k>2 C．k〈2且k≠1 D．k为一切实数二、填空题1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数,则p与q的关系是________．2．不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______（•填“二个不等实根"或“二个相等实根或没有实根”）．3．已知b≠0，不解方程,试判定关于x的一元二次方程x2—(2a+b）x+(a+ab-2b2）•=0的根的情况是________．三、综合提高题1．不解方程，试判定下列方程根的情况．（1）2+5x=3x2（2）x2-(1+23)x+3+4=02．当c〈0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况．3．不解方程，判别关于x的方程x2—2kx+(2k—1）=0的根的情况．4．某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平,每年将销售总额的8％作为新产品开发研究资金，该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元，2002年销售总额为7.2亿元，求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率．答案：一、1．B 2．B 3．D二、1．p2-4q=0 2．有两个不等实根 3．有两个不等实根三、1．（1)化为3x2—5x—2=0 b2-4ac=（-5）2—4×3×（-2）=49〉0，有两个不等实根．（2）b2-4ac=1+43+12-43-16=-3〈0，没有实根．2．∵c〈0 ∴b2-4×1×c>0，方程有两个不等的实根．3．b2-4ac=4k2—4（2k-1)=4k2—8k+4=4（k-1）2≥0,•∴方程有两个不相等的实根或相等的实根．4．设平均增长率为x，400000008%（1+x)2=720000000，即50(1+x）2=72 解得x=20％，∴年销售总额的平均增长率是20%．。

人教版数学九年级上册21.2.2公式法解方程教案

在小组讨论后，学生们的成果分享也是一个很好的学习机会。他们不仅能够从自己的实践中学习，还能从其他小组的经验中汲取教训。我觉得这个环节对提高学生的表达能力和批判性思维非常有帮助。
最后，我深感教学反思的重要性。通过反思，我可以更好地理解学生的需求，调整教学方法，让数学课堂变得更加生动有趣，也更具实效性。我会继续努力，让每一位学生都能在数学的学习中找到乐趣和成就感。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调求根公式的记忆与理解和判别式Δ的应用这两个重点。对于难点部分，我会通过实际例题和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，比如使用抛物线模型来演示求根公式的应用。
本章节的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过一元二次方程求根公式的推导与应用，让学生理解数学知识之间的内在联系，提高逻辑推理与论证能力。
2.强化运算能力：引导学生运用求根公式解决实际问题，熟练掌握公式运算过程，提高数学运算速度和准确性。
3.增强数学建模能力：让学生在实际问题中运用一元二次方程求解，培养将现实问题抽象为数学模型的能力。
在案例分析环节，我尝试将实际问题引入课堂，让学生们看到数学知识在现实生活中的应用。从学生的反应来看，这种方法似乎能够激发他们的兴趣，但我也观察到，将问题转化为数学模型对他们来说并不容易。我考虑在接下来的课程中，增加一些关于如何建立数学模型的指导，帮助学生更好地理解这个过程。
实践活动和小组讨论的部分，学生们表现得相当积极。他们通过小组合作，不仅加深了对一元二次方程的理解，还学会了如何与他人合作解决问题。不过，我也注意到，有些小组在讨论时可能会偏离主题，我需要适时地引导他们回到主题上来。

人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教学设计

人教版九年级数学上册：21.2.2 公式法教学设计一. 教材分析人教版九年级数学上册第21.2.2节“公式法”是二次函数求解的一部分，主要介绍了公式法在解决二次方程中的应用。

本节内容是在学生已经掌握了二次函数的基本性质和图像的基础上进行讲解的，目的是让学生能够熟练运用公式法求解二次方程，并理解其背后的数学原理。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的概念和图像已经有了一定的了解。

但是，对于公式法在解决二次方程中的应用，学生可能还存在一些困惑，需要通过实例讲解和练习来加深理解。

三. 教学目标1.了解公式法在解决二次方程中的应用。

2.能够熟练运用公式法求解二次方程。

3.理解公式法背后的数学原理。

四. 教学重难点1.重点：公式法在解决二次方程中的应用。

2.难点：理解公式法背后的数学原理。

五. 教学方法采用讲解法、实例分析法、练习法、提问法等，通过引导学生自主探究、合作交流，提高学生对公式法的理解和应用能力。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.相关练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式回顾二次函数的基本性质和图像，引导学生思考如何解决二次方程。

进而引入本节课的主题——公式法。

2.呈现（15分钟）讲解公式法的原理，通过PPT展示公式法的步骤和应用实例。

让学生跟随老师一起动手操作，加深对公式法的理解。

3.操练（15分钟）让学生独立完成一些运用公式法求解二次方程的练习题。

老师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）通过小组讨论，让学生互相交流解题心得，总结公式法的应用技巧。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：公式法在解决二次方程中的局限性是什么？是否存在其他解决方法？如何比较各种方法的优劣？6.小结（5分钟）让学生总结本节课所学的内容，回答问题：什么是公式法？如何运用公式法求解二次方程？公式法背后的数学原理是什么？7.家庭作业（5分钟）布置一些运用公式法求解二次方程的练习题，让学生课后巩固所学知识。

新人教部编版初中九年级数学上册21.2.2 公式法

＝0无实数根，则实数m的取值范围是( D )
A.m＜1
B.m≥1
C.m≤1
D.m＞1
长冲中学-“四学一测”活力课堂
长冲中学“四学一测”活力课堂
【变式题】二次项系数含字母(注意合理取舍)
(1)(2019·枣庄中考)已知关于x的方程ax2＋2x－3＝0有
两个不相等的实数根，则a的取值范围是a>
1 3
且a≠0
7．用公式法解方程－3x2＋5x－1＝0，正确的是
( C)
A. x 5 13
B. x 5 13
6
3
C. x 5 13
6
D. x 5 13 3
8．若代数式2x2＋1与4x2－2x－5的值互为相反数，
则x＝
1或
2 3
.
长冲中学-“四学一测”活力课堂
长冲中学“四学一测”活力课堂
9．用公式法解下列方程：
长冲中学-“四学一测”活力课堂
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(2)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出此时菱
形的边长；BC，即方程有两个相等的实数根．
∴(m－1)2＝0. ∴m＝1.
将m＝1代入方程得x2－x＋1 ＝0，
∴x1＝x2＝
1 2
4 ，即菱形的边长为
∵b2－4ac＝(－2 2 )2－4×1×2＝0，
∴x＝2 2 0 2 2
21 2
2，即x1＝x2＝
2.
长冲中学-“四学一测”活力课堂
长冲中学“四学一测”活力课堂
(3)3x2－2x－2＝0；
解：这里a＝3，b＝－2，c＝－2.
∵b2－4ac＝(－2)2－4×3×(－2)＝28，
∴x＝ 2 28 1 7，

人教版数学九年级上册《21.2.3 公式法》课件PPT

③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
3．公式法探究：已知 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，且Δ＝b2－4ac≥0，试证明它的两个根为
2
2
x ＝－b＋ b －4ac，x ＝－b－ b －4ac. 1
2
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由根的判别式_____Δ_＝__b_2_－__4_a_c__的值可以直接去判断方程
根的个数情况，而不用求解方程：
当Δ＝b2－4ac＞0 时，方程___有__两__个__不__相__等__的__实__数__根_____；
当Δ＝b2－4ac＝0 时，方程___有__两__个__相__等__的__实__数__根_______；
知识点 1 直接开平方降次法
【例 1】用直接开平方降次法解下列方程：
(1)3x2－1＝5； (2)4(x－1)2－9＝0； (3)4x2＋16x＋16＝9.
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归纳：由上可知，
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