有限元教案_壳问题

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板壳弯曲问题的有限单元法幻灯片

第6章薄板弯曲问题的有限单元法
1. 薄板弯曲问题的基本方程 2. 薄板弯曲问题的非协调矩形单元 3. 非协调三角形板单元 4. 薄板弯曲问题的协调元
1
6.1 薄板弯曲问题的基本方程
1 弹性薄板的基本假设（克希霍夫假设）无挤压薄板弯曲时，平行于中面的各层面之间无挤压。这意
味着薄板弯曲后厚度保持不变，因此可取 zw/z0。显
(u )z 0 0 , (v )z 0 0
结合几何方程可知，中面内形变分量均为零,即
(x ) z 0 0 ,(y ) z 0 0 ,(x) z y 0 0 .
从上述的附加假设出发，可以将位移u、v用w表示。推导得
uwz, vwz
x
y
(2 )
这就是薄板弯曲问题的克希霍夫(Kirchhoff)假设，使用克希霍夫假设计算的板称为克希霍夫板。
{}zh/2
6{M} h2
5
2 弹性薄板的几点简化应力分量的减少
z 0
应变分量的减少
zx0，yz0
位移之间有了附加关系
w
w
w w (x ,y ),u xzy z , v yz x z
应力应变关系的简化
xxyy1E2
1
0
1 0
1002xxyy
6
6.2 矩形薄板单元
1 薄板弯曲问题节点位移参数的选择
A1 A2 x A3 x2 A4 x3
w(d , y) 1 2d 3 y 4d 2 5dy 6 y 2 7d 3 8d 2 y 9dy 2 10 y3 11d 3 y 12dy3
B1 B2 y B3 y 2 B4 y3
9
位移连续性问题。在 ij 边上，y=const，
2x2wyT

有限元分析基础教案(武汉理工)

有限元分析基础第一章有限元法概述在机械设计中，人们常常运用材料力学、结构力学等理论知识分析机械零构件的强度、刚度和稳定性问题。

但对一些复杂的零构件，这种分析常常就必须对其受力状态和边界条件进行简化。

否则力学分析将无法进行。

但这种简化的处理常常导致计算结果与实际相差甚远，有时甚至失去了分析的意义。

所以过去设计经验和类比占有较大比重。

因为这个原因，人们也常常在设计中选择较大的安全系数。

如此也就造成所设计的机械结构整体尺寸和重量偏大，而局部薄弱环节强度和刚度又不足的设计缺陷。

近年来，数值计算机在工程分析上的成功运用，产生了一门全新、高效的工程计算分析学科——有限元分析方法。

该方法彻底改变了传统工程分析中的做法。

使计算精度和计算领域大大改善。

§1.1 有限元方法的发展历史、现状和将来一，历史有限元法的起源应追溯到上世纪40年代（20世纪40年代）。

1943年R.Courant从数学的角度提出了有限元法的基本观点。

50年代中期在对飞机结构的分析中，诞生了结构分析的矩阵方法。

1960年R.W.Clough在分析弹性力学平面问题时引入了“Finite Element Method”这一术语，从而标志着有限元法的思想在力学分析中的广泛推广。

60、70年代计算机技术的发展，极大地促进了有限元法的发展。

具体表现在：1）由弹性力学的平面问题扩展到空间、板壳问题。

2）由静力平衡问题——稳定性和动力学分析问题。

3）由弹性问题——弹塑性、粘弹性等问题。

二，现状现在有限元分析法的应用领域已经由开始时的固体力学，扩展到流体力学、传热学和电磁力学等多个传统的领域。

已经形成了一种非常成熟的数值分析计算方法。

大型的商业化有限元分析软件也是层出不穷，如：SAP系列的代表SAP2000（Structure Analysis Program）美国安世软件公司的ANSYS大型综合有限元分析软件美国航天航空局的NASTRAN系列软件除此以外，还有MASTER、ALGO、ABIQUES、ADINA、COSMOS等。

有限元第六讲

Rbe
平板型壳单元为以上两方程叠加:
考虑到： i ui
vi
wi
xi
yi
T zi
第五章板壳问题有限单元法
四、用矩形薄板单元进行薄壳分析
3. 矩形平板型壳单元：
4）单元平衡方程：
所以有：
4 k0ijp
0 kibj
0 0
bpjj

a4

L12 L2

1 2
L1L2 L3

a5

L22 L1

1 2
L1L2 L3

a6

L22 L3

1 2
L1L2 L3

a7

L23 L2

1 2
L1L2 L3

a8

L23 L1

1 2
L1L2
L3

a9

L12 L3
四、用矩形薄板单元进行薄壳分析
3. 矩形平板型壳单元：
5）坐标转换问题：所以单元坐标转换矩阵为：
T diag
单元结点位移转换公式：
e T 'e
单元等效结点力转换公式：
Re TR'e
由 kee Re 得 ke[T]'e [T]R'e
第五章板壳问题有限单元法
一、薄板弯曲基本假定和基本方程
2. 薄板弯曲问题的基本假定－克希霍夫假定：
根据假定可得： z = yz = zx ＝0
w w(x, y) u z w
x
3. 薄板弯曲问题的应变：

有限元教案_薄板问题

已知：
对位移函数求导得：
28
因为：
−1 (e ) 所以： {k} = [ Bα ][ A] {δ }
或：
{k} = [ B]{δ }( e )
29
−1 其中： [ B ] = [ Bα ][ A]
四、由弹性方程求内力 {M} 已知：因为：得：或：其中：
{M } = [ D f ]{k}
{k} = [ B]{δ }
将四个结点的坐标值带入位移函数，可得
{δ }
(e )
= [ A](12×12) {α }(12×1)
26
将上式求逆转得：
将上式带入位移函数可得单元内部点的挠度与结点位移之间的转换关系：
形函数
27
三、由几何方程求弯扭变形 {k}
∂ 2ω − 2 k x ∂x ∂ 2ω {k} = k y = − 2 ∂y2 k xy ∂ω −2 ∂x∂y
23
薄板矩形单元的刚度矩阵（单刚）薄板矩形单元的刚度矩阵（单刚）
用虚功原理来推导薄板矩形单元的单刚。
24Biblioteka 薄板矩形单元的刚度矩阵（单刚）薄板矩形单元的刚度矩阵（单刚）
一、虚功原理（Virtual Work Principle）虚功原理（）
由虚功原理知：
{δ∆}T {F } = ∫∫∫Ω {δε }T {σ } dΩ
1
薄板弯曲的基本方程一、基本假设
平分板厚的中间平面，称作板的中面。平分板厚的中间平面，称作板的中面。当板的厚度t远小于中面尺寸时，当板的厚度远小于中面尺寸时，远小于中面尺寸时这种板称为薄板。这种板称为薄板。薄板在垂直中面载荷作用下的变形和受力状态有如下特点：特点：轴方向产生挠度ω。（1）中面上任一点沿轴方向产生挠度。）中面上任一点沿z轴方向产生挠度（2）中间弯成曲面，叫做弹性曲面。弹性曲面发生双向）中间弯成曲面，叫做弹性曲面。弯曲变形，并伴随有扭曲变形。弯曲变形，并伴随有扭曲变形。（3）在板的任一横截面上产生横剪力、弯矩和扭矩。）在板的任一横截面上产生横剪力、弯矩和扭矩。

有限元板壳单元

（8-12）
{M } = [Db ]{χ }
根据 [Db ]与 [D ]之间的关系，不难由（8-13）和（8-10）式求出 12z （8-14） {σ } = 3 {M }
t
板上下表面
t (z = ± ) 2
的应力（8-15）
t 综上所述，薄板的中性面挠度w 是基本的未知量。由w即可计算出位移、应变、应力及内力。
2 L 2 + 2 L3 [H 11 ] = 2 L1 − 2 L3 2 L1 − 2 L3 2 L1 − 2 L3 − 2 L1 0
∂2 ∂L1∂L2 ∂2 ∂L2∂L2 ∂2 ∂L3∂L2
∂2 ∂L1∂L3 ∂2 ∂L2∂L3 ∂2 ∂L3∂L3
2b3 L2 − 2b2 L3 [H 12 ] = 2b3 L1 + 2(b3 − b2 ) L3 1 (b − b ) L − 2b L 2 2 2 1 2 3 2c 3 L2 − 2c 2 L3 [H 13 ] = 2c 3 L1 − 2(c 3 − c 2 ) L3 1 (c − c ) L − 2c L 2 2 2 1 2 3
1
c2
c3 ]
[c
1
c2
c3 ]
b1 b2 b 3 c1 c 2 c 3 b1 b2 b 3

（8-28）
式中 [H ] 为二阶微分算子。
∂2 ∂L1∂L1 2 [H ] = ∂ ∂L ∂L 22 1 ∂ ∂L ∂L 3 1

（8-29）

6板壳有限元

N x1 i 1 0 (1) N x1 1 N x1 y b N x1 x 0
i 4,1
b2 c2 d 2 0 0 (2) a2 e2 i 2
(3) , (4)
最后利用本点1，确定a2=b/8，代回
弹性薄板矩形（R12）单元
薄板弯曲问题
平面应力： 0 z xz yz
y
z
x
与平面应力问题不同，薄板弯曲问题是具有图示几何特征的结构在横向荷载作用下的分析。
弹性薄板基本知识
弹性薄板基本概念所谓薄板是指板厚h比板最小尺寸b在如下范围的平 y 1 1 h 1 1 板 ~ ~
100 80 b 8 5
N i N i N N 1
N xi
N yi

My1
x3 y3

4
N 4
则薄板的挠度场可由结点位移表示为
w N i d i N d
i 1

e
4) 单元间位移的协调性可以证明,上述w在边线上任意一点的挠度和转角都是三次多项式。
弹性薄板矩形（R12）单元
对于转角yi相关的形函数，可推导得，
z
N xi b i (1 0 )(1 0 )(1 - )/8
2
N yi a i (1 0 )(1 0 )(1 - 2 )/8
弹性薄板矩形（R12）单元
3) 薄板的挠度场有了每一结点的形函数,记
Q1 1 Mx1 4 x w3 2 y z 3
M y zdzdx
M xy zdzdy
' xy - h/2
- h/2 h/2
- h/2 h/2

第7章薄板弯曲问题的有限元法

u z 0 0 v z 0 0
分别表示薄板弯曲曲面在x，y方向的曲率
w u z x v z w y
绕x轴转角
表示薄板弯曲曲面在x，y方向的扭率
2w x 2 x 2w y 2 y 2w xy xy
3
2）厚度不变假设：即忽略板厚变化。即 z 0 。由于板内各点的挠度与 z 坐标无关，只是x，y的函数，即 w w( x, y) 3）中面上正应力远小于其它应力分量假设：平行于中面的各层相互不挤压，不拉伸，沿z向的正应力可忽略，即 z 0
4）中面无伸缩假设：弯曲过程中，中面无伸缩，（薄板中面内的各点都没有平行中面的位移）即 u z 0 0 v z 0 0
2
三、矩形薄板单元分析用有限元法求解薄板弯曲问题，常在板中面进行离散，常用的单元有三角形和矩形。为了使相邻单元间同时可传递力和力矩，节点当作刚性节点，即节点处同时有节点力和节点力矩作用。每个节点有三个自由度，即一个扰度和分别绕x，y轴的转角。 m l 1.设位移函数 xl
yl wl

图中力矩双箭头方向表示是力矩的法线方向，列平衡方程：
(M ) y 0 (M ) x 0 Fz 0
M xy M y FSy F FSy 0 FSy dx ( FSy dy)dx FSx dy ( FSx Sx dx)dy qdxdy 0 y y x x M xy M x 由应力的正负方向的规定得出： FSx 0 y x 正的应力合成的主矢量为正， 2 2 2 2 F F w w 正的应力乘以正的矩臂合成的 Sx Sy q 0 D 2 2 2 2 q y y x 主矩为正；反之为负。 x y x 2 2 或者D w q, 式中， = 2 2 表示拉普拉斯算子。 x y

有限元教案_第三章 ANSYS

May. 2008 ANSYS Software 25
网格划分 (续)
对同一模型，采用不同的智能网格级别进行网格划分时所得到的网格
May. 2008
ANSYS Software
26
网格划分 (续)
人工调整网格控制
Objective
由于结构形状的多样性，在许多情况下，由缺省单元尺寸或智能尺寸使产生的网格并不合适？例如：应力集中和奇异点的模型或者梯度变化大的部位
ANSYS Software
9
单元属性(续)
常用单元的形状
单元种类
点 (质量)
.
. . . .
线性
面 (薄壳, 二维实体, 轴对称实体)
.. . .. ...
二次
. .. . . . ..
线性 ANSYS Software
线(弹簧，梁，杆)
体(三维实体)
. . . ..... . .. . . . .. .
材料性质
要定义材料属性 : Main Menu: Preprocessor > Material Properties > -Structural>Linear>Isotropic
May. 2008
ANSYS Software
7
单元属性(续)
1. ..... 2. ..... 3. ..... Procedure
2.设定网格密度控制.
3.保存 DB, 然后执行网格划分.
May. 2008
ANSYS Software
22
网格划分 (续)
单元尺寸.
Objective
ANSYS网格划分中有许多不同的单元尺寸控制方式: • • • • “Smart Sizing”-智能网格; 总体（“Global”）单元尺寸; 指定的线/面上的单元分割数及间距控制; 层网格划分 - 在壁面附近划分较密的的网格 (适于模拟 CFD 边界层及电磁分析中的 skin effects); • 网格细化 - 在制定区域细化网格 (并不清除已经划好的).

第8章_膜、板、壳结构的有限元法

（81）
该点沿 x 方向的变形（位移）为(假设梁的深度 t 符合浅梁的规定）：
u y y
（82）
西安工程大学
计算机辅助工程 CAE 讲稿第 8 章膜、板、壳结构的有限元法
王益轩编著 2005 年 8 月
94
8.2.2 板的弯曲变形和梁的变形一样，薄板的变形仍然按平面假设来推导，板的中性层平面弯曲变形的挠曲面方程为
王益轩编著 2005 年 8 月
96
轴与 y 轴的旋转角 x 与 y ，x 方向和 y 方向的变形 u 和 v 忽略不计，板单元如图 83 所示，3 个节点，每个节点具有 3 个自由度，共 9 个自由度，节点分别为 i, j , k ，因为 9 个位移分量为未知，因而假设的位移模式中应包含 9 个任意常数，位移模式假设如下：
8.2 板结构单元基础理论
8.2.1 梁的弯曲变形当一梁受一弯曲力矩作用时，如图 81 所示，梁的中性层弯曲变形的挠曲线方程为 f(x), 根据梁变形的平面假设，梁上任意点（x，y）的横截面将转动，变形后仍然保持为平面，旋转角等于该点处的挠曲线的斜率。即

f ( x ) f ( x) x f ( x ) x
西安工程大学
计算机辅助工程 CAE 讲稿第 8 章膜、板、壳结构的有限元法
王益轩编著 2005 年 8 月
93
第8章膜、板、壳结构的有限元法
本章的主要目的是介绍膜、板、壳结构有限元分析的基本概念和基础理论。并简要介绍 ANSYS 结构分析中的相关单元。主要讨论内容如下：概述膜、板、壳结构有限元的基础理论 ANSYS 结构分析中的板壳单元 ANSYS 板壳单元浏览膜、板、壳结构分析时的注意事项

槽钢加筋板的板壳有限元分析PPT16页

09-槽钢加筋板的板壳有限元分析
算例来源：《ANSYS Workbench有限元分析实例详解》（周炬、苏金英著）算例制作：孟志华算例校核：关键词：槽钢、板壳单元、静力分析、
1
© 2018 ANSYS, Inc.
November 23, 2020
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摘要
• 本例题对一个加筋的槽钢板进行有限元分析，槽钢板被简化为板壳组成的结构。在有限元分析中，对于厚度方向上远小于其长度和宽度的薄板类结构，非常推荐使用板壳单元来建模并求解分析。相对于实体单元模拟薄板，板壳单元将极大地减少计算资源，并且一般其计算精度更好于实体单元。
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November 23, 2020
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分析小结
• 本例题对一个加筋的槽钢板进行有限元分析。荷载为槽钢上部有1Mpa均布压力，约束为槽钢两端固定。因为槽钢板的厚度尺寸远小于长度及宽度尺寸，因此可以用板壳单元来模拟。并且，通过几何建模时即考虑了“共享拓扑”的处理，因此保证了槽钢各个板的交接部位在网格划分时能够共节点，读者应特别注意该问题。
16
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November 23, 2020
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提示：选择边线时，使用顶部快捷工具栏的选择工具，即在点、线、面、体的选择按钮中切换为 “线”，再进行选择操作。
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November 23, 2020
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3.5. 静力分析求解
• 本例题虽然使用了板壳模型，但仍为常规的静力、线性问题，因此无需进行更多的求解控制。在左边目录树【Outlines】【Static Structural】或者【Solution】位置，点鼠标右键，弹出菜单选Solve，进行求解。

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2
薄壳单元节点的自由度 1、在单元局部坐标系中节点的自由度 (a)平行于中面的变形部分（平面应力） (a)平行于中面的变形部分（平面应力）平行于中面的变形部分薄壳中面内 x 方向位移 u i 和 y 方向位移 v i ,
两个线位移自由度。
(b)弯曲变形部分（薄板弯曲） (b)弯曲变形部分（薄板弯曲）弯曲变形部分垂直于中面的挠度 w i，绕 x轴转角 θ xi 和绕 y轴转角 θ yi，
薄壳问题的有限元法
薄壳问题有限元法的基本思路薄壳单元节点的自由度薄壳问题的位移约束
1
薄壳问题有限元法的基本思路
薄壳中面为曲面, 荷作用时薄壳中面为曲面, 受载荷作用时，既产生平行中面的变形变形，产生弯曲变形。与拱相类似）于中面的变形，还产生弯曲变形。（与拱相类似）薄壳的中面曲面可以用足够小平面拼接而成的折曲面替代（类似于以折线代替曲线）。平行于中）。平行于折曲面替代（类似于以折线代替曲线）。平行于中面的变形分析属于平面应力问题弯曲变形分析属变形分析属于平面应力问题，面的变形分析属于平面应力问题，弯曲变形分析属板弯曲问题于薄板弯曲问题。在有限元方法中，复杂的薄壳问题薄壳问题可以分解为在有限元方法中，复杂的薄壳问题可以分解为平面应力问题和薄板弯曲问题的组合。平面应力问题和薄板弯曲问题的组合。
一个线位移和两个角位移
3
4
薄壳单元节点的自由度
单元局部坐标系中节点位移向量
{∆ }= {u , v , w ,θ
e i i i i
,θyi} xi
T
5
薄壳单元节点的自由度 2、在整体坐标系中节点的自由度整体坐标系与单元局部坐标系的坐标轴之间存在夹角，一般整体坐标系中节点的三个角间存在夹角，一般整体坐标系中节点的三个角位移在局部坐标系的任何一个坐标轴上都会有分量，分量，也即整体坐标系中三个角位移都对局部坐标系中的单元变形有贡献。因而，坐标系中的单元变形有贡献。因而，在整体坐标系中，三个角位移均视为有效的自由度。标系中，三个角位移均视为有效的自由度。
整体坐标系中节点位移向量为：整体坐标系中节点位移向量为：
{∆}= {U ,V ,W ,θ
i i i
Xi
, θ Yi , θ Zi
6
}
T
薄壳问题的位移约束薄壳问题的约束总是在整体坐标系下给出的。薄壳问题的约束总是在整体坐标系下给出的。 1、对称性约束 xoz坐标面为对称面坐标面为对称面。以xoz坐标面为对称面。ຫໍສະໝຸດ V i = 0,θXi
= 0,θ
Zi
=0
2、反对称性约束 xoz坐标面为反对称面坐标面为反对称面。以xoz坐标面为反对称面。
U
i
= 0,W
i
= 0,θ
Yi
= 0
7
作业作业：分别给出xoy xoy坐标面为对称面和反对称作业：分别给出xoy坐标面为对称面和反对称面时，薄壳问题在xoy 面上的位移约束，面时，薄壳问题在xoy 面上的位移约束，并辅以简要说明。以简要说明。
8