有限元教案_薄板问题(2014)
有限元教案_壳单元2014
薄壳问题有限元法的基本思路 薄壳单元节点的自由度 薄壳问题的位移约束
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薄壳问题有限元法的基本思路
薄壳中面为曲面, 受载荷作用时，既产生平行 于中面的变形，还产生弯曲变形。（与拱相类似） 薄壳的中面曲面可以用足够小平面拼接而成的 折曲面替代（类似于以折线代替曲线）。平行于中 面的变形分析属于平面应力问题，弯曲变形分析属 于薄板弯曲问题 。 在有限元方法中，复杂的薄壳问题可以分解为 平面应力问题和薄板弯曲问题的组合。
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作业
作业：分别给出xoy坐标面为对称面和反对称 面时，薄壳问题在xoy 面上的位移约束，并辅 以简要说明。
8
整体坐标系中节点位移向量为：
U ,V ,W ,
i i i
Xi
, Yi , Zi
6
T
薄壳问题的位移约束 薄壳问题的约束总是在整体坐标系下给出的。
1、对称性约束 以xoz坐标面为对称面。
V i 0, Xi 0, Zi 0
2、反对称性约束
以xoz坐标面为反对称面。
U i 0,W i 0, Yi 0
2
薄壳单元节点的自由度
1、在单元局部坐标系中节点的自由度 (a)平行于中面的变形部分（平面应力） 薄壳中面内 x方向位移u i 和y方向位移vi ,
两个线位移自由度。
(b)弯曲变形部分（薄板弯曲） 垂直于中面的挠度 w i，绕x轴转角 xi 和绕y轴转角 yi，
一个线位移和两个角位 移
3
4
薄壳单元节点的自由度
单元局部坐标系中节点位移向量
u , v , w ,
e i i i i
, xi yi
T
5
薄壳单元节点的自由度
第五章 薄板弯曲问题有限元讲义
第五章薄板弯曲问题有限元法第一节薄板弯曲问题的有关概念一、基本概念1．薄板的定义：薄板是由上下两个平行的表面所构成的片状结构，其间距称为板厚。
同时，定义等分板厚的面为中面，当中面为平面时，称为平板，当中面为曲面时则称为壳体。
2．挠度; 板结构在承受横向载荷（弯矩、扭矩和横向剪力）作用下，发生弯扭而使薄板中面上各个点沿垂直中面方向发生的横向变形称为挠度，记为w。
3．薄板的两类问题：（1）平面应力板问题，载荷作用于板面内—（薄膜单元）；在拉、压力和面内切力作用下，板内将产生薄膜内力，从而使板产生面内变形。
（2）薄板弯曲问题：其特点为：a) 几何尺寸：板的厚度远较长与宽的几何尺寸为小(一般厚度与板面最小尺寸之比小于1/5-1/10)；（否则称为厚板）b) 载荷条件：结构仅承受垂直于板中面的横向载荷作用。
c) 小挠度条件；即挠度与板厚之比值较小，一般为w/t ≤1/5。
研究薄板弯曲问题时，通常以未变形的板的中面为xoy平面，厚度方向为z轴方向，3．板的一般问题：一般情况下，板既可承受横向载荷作用，也可同时承受平行于板中面的膜载荷作用。
(1) 薄板：在小挠度情况下，当两种载荷同时作用时，可认为两种变形互不影响，因此膜载荷的作用可按平面应力问题进行处理，而横向载荷的作用则按薄板弯曲问题来分析，两种问题引起的薄膜内力和弯曲内力的叠加便是一般载荷综合作用的结果。
（2）厚板：当1<w／t<5时为大挠度板,w／t≥5时为特大挠度板。
在大挠度情况下，薄板面内变形和弯扭变形之间将相互影响，即横向载荷也可能产生膜内力和面内变形，而膜载荷也可能产生弯曲内力和弯曲变形。
这时描述薄板变形的数学方程是非线性的，应采用更复杂的理论分析方法。
二．薄板弯曲问题求解的假设：（克希霍夫假设）1．法线假设垂直板中面的法线在板变形后仍垂直于弯曲的挠曲面，且法线线段没有伸缩，板的厚度无变化。
这样，垂直于中面的正应变便可忽略，即εz=0根据几何方程，可得因此挠度只是x,y的函数，表示为w=w(x,y)，也即薄板中面上法线的各点都有相同位移。
有限元(平面问题)2014版
平面问题的基本概念与基本方程 平衡的普适表达方法—虚功原理 平面问题有限元位移插值函数 单元刚度矩阵 约束处理 载荷处理
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平面问题基本概念与基本方程
平面问题的分类：平面应力问题和平面应变问题。
1、平面应力问题 一个例子：薄板平行板中面
均匀承受载荷 特点：只有与板中面平行的
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平面问题有限元位移插值函数 单元位移插值函数一般可以用多项式表示:
u a1 + a2 x + a3 y + a4 x2 + a5 xy + a6 y2 + ...
v b1 + b2 x + b3 y + b4 x2 + b5 xy + b6 y 2 + ...
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平面三角形单元及其位移插值函数 1、三节点三角形单元
y k
为三角形面积
注意：为保证Ａ＞０，在右手系中ｉ，ｊ，ｋ编号 按逆时针方向．
同理可以推导出其他三个系数．
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平面三角形单元及其位移插值函数
将系数带入式（4-3）得单元任一点位移u，v的表达式 ：
u
1 2A
[(ai
+
bi
x
+
ci
y)ui
+
(a
j
+
bj
x
+
c
j
y)u j
+
(ak
+
bk
x
+
ck
y)uk
Xu + Yv dxdy + pxu + pyv ds
x
x
+
薄板弯曲问题有限元法
T
wl xl yl
Fzl M zl M yl T
j
xj
yj
wj
7
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薄板弯曲时，只有w(x,y)是薄板变形的未知基本函数，而其它量，如u,v 等都是w(x,y)的函数，故薄板矩形单元的位移函数的选择实际就是w(x,y) 的选取。注意单元有12个自由度，则
w(x, y) 1 2x 3 y 4x2 5xy 6 y2
1 2
(w,
Ljj
w, Ljm
),
a5
1 2
(w,Lii
w, Lim
),
6
1 2
(w,Lii
w, Lij
w, Lji
w,Ljj
),
7
wj
wm
1 2 (w,Ljj
w, Ljm
)
8
wi
wm
1 2
(w,Lii
w, Lim
)
w,Lij 表示w对Li的 偏导数在j点的值。
9
wi
wj
1 2
(w,Lii
角形和矩形。为了使相邻单元间同时可传递力和力矩，节点当作刚性节点
，即节点处同时有节点力和节点力矩作用。每个节点有三个自由度，即一
个扰度和分别绕x，y轴的转角。 1.设位移函数
l
xl
yl wl
m
xm ym wm
节点位移分量和节点力分量
i
xi
yi
wi
q e wi xi yi F e Fzi M xi M yi
w(x, y) c1 c2 x c3x2 c4 x3
四个系数刚好通过i，j两个端点的扰度值和绕y轴的两个转角值唯一确定 ；同时，相邻单元在此边界上也能通过i，j的值唯一确定，故连续。
实验四薄板圆孔的有限元分析
（2） 生成一个圆孔 Main Menu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Circle>Solid Circle，弹出如图所示的 【Solid Circular Area】对话框。分别在【WP X】、【WP Y】和【Radius】文本框中输入“0”、 “0”、“5”。单击 OK 按钮，生成结果如下左图所示。 （3） 执行面相减操作 Main Menu>Preprocessor>Modeling>Operate>Booleans>Subtract>Areas，弹出一个拾取 框。拾取编号为 A1 的面，单击 OK 按钮。然后拾取编号为 A2 的圆面，单击 OK 按钮。生 成结果如下右图所示。
泊松比=0.3 拉伸载荷：
P=1000Pa 几何参数：
平板厚度 t=0.1m。 单元类型：
Structural Solid Quad 8node 82 1. 定义工作文件名和工作标题 （1） 定义工作文件名 Utility Menu>File>Change Jobname，输入文件名，选择【New log and error files】复选框， 单击 OK 按钮。 （2） 定义工作标题 Utility Menu>File>Change Title，输入工作标题，单击 OK。 （3） 重新显示 Utility Menu>Plot>Replot （4） 关闭三角坐标符号 Utility Menu>PlotCtrls>Window Controls>Window Options，弹出【Windows Options】对
单击 Add 按钮，弹出如图所示的【Library of Element Types】对话框。选择“Structural Solid” 和“Quad 8node 82”选项，单击 OK 按钮，然后单击 Close 按钮。
ANSYS 有限元分析 平面薄板
v1.0 可编辑可修改《有限元基础教程》作业二：平面薄板的有限元分析班级：机自101202班 姓名：韩晓峰 学号：0210一．问题描述：P Ph1mm R1mm10m m 10mm条件：上图所示为一个承受拉伸的正方形板，长度和宽度均为10mm ，厚度为h 为1mm ，中心圆的半径R 为1mm 。
已知材料属性为弹性模量E=1MPa ，泊松比为，拉伸的均布载荷q ＝1N/mm 2。
根据平板结构的对称性，只需分析其中的二分之一即可，简化模型如上右图所示。
二．求解过程：1 进入ANSYS程序 →ANSYS →ANSYS Product Launcher →File management →input job name: ZY2→Run2设置计算类型ANSYS Main Menu: Preferences →select Structural → OK3选择单元类型ANSYS Main Menu: Preprocessor →Element Type →Add/Edit/Delete →Add →selectSolid Quad 4node 42 →OK → Options… →select K3: Plane Strs w/thk →OK →Close 4定义材料参数ANSYS Main Menu: Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural→Linear →Elastic →Isotropic →input EX: 1e6, PRXY: → OK5定义实常数以及确定平面问题的厚度ANSYS Main Menu: Preprocessor →Real Constants …→Add/Edit/Delete →Add →Type 1→OK →Real Constant Set ,THK:1→OK →Close6生成几何模型a 生成平面方板ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Areas →Rectangle →By 2 Corners →WP X:0,WP Y:0,Width:5,Height:5→OKb 生成圆孔平面ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling →Create →Areas →Circle →Solid Circle→WPX=0,WPY=0,RADIUS=1→OKb 生成带孔板ANSYS Main Menu: Preprocessor →Modeling→Operate →Booleans → Subtract →Areas →点击area1→OK→点击area2→OK7 网格划分ANSYS Main Menu: Preprocessor →Meshing →Mesh Tool→(Size Controls) Global: Set →SIZE: →OK →iMesh →Pick All → Close8 模型施加约束a 分别给左边施加x和y方向的约束ANSYS Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Displacement → On lines →拾取左侧边→OK →select UX,UY→ OKb 给斜边施加x方向均布载荷Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Pressure →On Lines →拾取右侧边；OK →VALUE:-10→OK9 分析计算ANSYS Main Menu: Solution →Solve →Current LS →OK→Close10 结果显示ANSYS Main Menu: General Postproc →Plot Results →Deformed Shape…→ select Def + Undeformed →OK→Contour Plot →Nodal Solu…→select: DOF solution, Displacement vector sum, Def + Undeformed , Stress ,von Mises stress, Def +v1.0 可编辑可修改Undeformed→OK11显示整体效果Utility Menu→PlotCtrls→Style>Symmetry Expansion>Periodic/Cyclic Symmetry Expansion→1/4Dihedral Sym→OK10 退出系统ANSYS Utility Menu: File→Exit…→ Save Everything→OK三．结果分析：图1 建模、网格划分、加载图图2 变形图图3 整体应力。
有限元_4-薄板弯曲问题
第4章
弹性薄板弯曲问题的有限元法
板和壳是指厚度比其他尺寸要小得多的平面或曲面构件。由于它的这种几何特点，三维单 元并不适合用来分析它们的变形。因为三维单元在三个方向的尺寸应尽量接近，否则求解精度 由于“剪切自锁”(shear locking)或系统矩阵病态而大大降低，甚至得到错误的结果。所以 必须采用很细密的网格来适应板和壳的几何特征，但是这将导致有限元模型的自由度疯狂地增 长。 仿照根据梁理论建立梁单元的思路，自然想到根据板理论建立板单元。这里讨论两种板理 论，一是薄板理论，也被称为Kirchhoff 板理论，它忽略了板的横向剪切变形；另一种是Mindlin 板理论，它考虑了板的横向剪切变形的影响，适合于板的厚跨比较大的情形。后者也常被称为 Reissner 板理论[8]或中厚板理论。根据这两种理论可以建立不同的板单元。 薄板弯曲问题在理论上和应用上都具有重要意义,并有专门著作加以论述（如杨耀乾《平 板理论》）。象其它弹性力学问题一样，用微分方程、差分法等经典方法所能求解的薄板问题 很有限，一般只能解决等厚、小孔口、支承情况较简单的单跨板。故工程设计中以往多采用简 化、近似、图表等方法来解决板的设计问题。 在板的分析中，常取板的中面为xoy平面(如图)。平板结构按其厚度t与短边a的比值大小 而分为: 厚板（Thick plate）和 薄板（Thin plate)两种。
阵
[S]的显式：
五、单元刚度矩阵
由一般公式得:[K]=
t[B] [D] [B]dxdy。将几何矩阵[B]和弹性矩阵[D]的表达式代入，积分可
a b T -a -b
得薄板弯曲问题矩形单元的单元刚度矩阵的显示：
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《有限元》讲义
六、荷载等效变换
由荷载等效变换的一般公式可得
四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析
四边固支矩形薄板固有振动的理论计算和有限元分析四边固支矩形薄板是一种典型的结构，其固有振动特性的计算对于结构的稳定性以及对外载荷的响应有着重要的影响。
本文将从理论计算和有限元分析两个方面来探讨四边固支矩形薄板的固有振动特性。
一、理论计算在理论计算中，四边固支矩形薄板的固有振动频率可以通过以下公式进行计算：f_n = (C_n^2 + D_n^2)^0.5 / (2πt)^0.5 * (EH^3/12ρ(1-μ^2))，其中，f_n为第n阶固有频率；C_n和D_n分别为第n阶水平和竖直模态振型的振幅比；t为薄板厚度；E为材料的弹性模量；H为矩形薄板的一侧长度；ρ为材料的密度；μ为材料的泊松比。
根据上述公式，我们可以对四边固支矩形薄板进行理论计算，得出其固有振动频率，并根据振动模型分析结构的稳定性以及响应能力。
二、有限元分析在有限元分析中，我们可以通过建立合适的有限元模型，利用求解振型特征值和振型模态来得出四边固支矩形薄板的固有振动特性。
有限元分析的主要步骤包括：1.建立有限元模型：根据实际结构情况，选择合适的有限元支撑和单元类型，对结构进行离散化网格化处理，建立结构有限元模型。
2.确定边界条件：对于固支矩形薄板，边界条件为四边界固定支撑。
3.求解特征值和振型：对于固有振动频率，我们可以通过求解振型特征值和振型模态来得出。
4.分析特征值和振型：得出固有振动频率，我们可以进一步分析与理论计算结果的一致性，同时还可以分析振型特征值与振型模态，进一步了解结构的稳定性和响应能力。
通过有限元分析，我们可以更加精确地了解四边固支矩形薄板的固有振动特性，为结构设计和应用提供更加实际的参考依据。
总之，四边固支矩形薄板的固有振动特性对于结构稳定性和响应能力有着重要的影响。
通过理论计算和有限元分析两个方面的探讨，我们可以更好地理解并应用这一结构特性。
为了更加深入地了解四边固支矩形薄板的固有振动特性，我们可以从以下几个方面进行数据的收集和分析：1. 材料弹性模量与密度：材料的弹性模量和密度直接影响到四边固支矩形薄板的固有振动频率。
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薄板弯曲的基本方程 4. 弹性曲面的曲率和扭率
2w 2 x
——弹性曲面在x方向的曲率kx ——弹性曲面在y方向的曲率ky
2w 2 y
2w 2 xy
——弹性曲面在x和y方向的扭率kxy
Z平面的应变可以表示为：{ } z{k}
其中：
k x {k} k y k xy
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薄板弯曲的基本方程 二、薄板问题中位移与应变的关系——几何方程 挠度是薄板运动的基本参数。 1. 弹性曲面沿x，y方向的倾角 弹性曲面沿x方向的倾角：
w x
弹性曲面沿y方向的倾角：
微小矩形ABCD变形前后
w y
4
薄板弯曲的基本方程 2. 沿x，y方向的位移分量u、v
w u z x
T T
应用于板单元，节点力作为外力，以节点位移 （虚位移）表示式中有关量并整理即可。
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薄板位移约束
1、几种典型约束（设约束边平行于x轴） (a)简支型约束 (b)固支型约束
w 0， x不受限制； ( y如何？ )
2、对称性约束（设对称轴平行于y轴） (a)对称性约束 (b)反对称性约束
w 0, x 0
位移函数
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（2）位移函数中的二次项代表单元的均匀变形状态。
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（3）位移函数能够保证相邻单元在公共边界上挠度的连续 性。 （4）位移函数不能保证相邻单元在公共边界上法线转角的 连续性。 （5）关于有限元解的收敛性。
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薄板单元刚度矩阵 由虚功原理知：
F d
每一节点有三 个自由度：
挠度w 绕x轴的转角 x 绕y轴的转角 y
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2．节点力
垂向力Wi (对应挠度wi ) 绕x轴的力偶Txi (对应转角 xi ) 绕y轴的力偶T (对应转角 ) yi yi
节点力与节点位移 按做功方式对应。
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二．位移函数的选择 基本未知量是板中面挠度w。
7
薄板应用弹性方程求薄板的应力。
D
{ } z{k}
zDk
弹性矩阵
表明正应力和剪应力沿板的厚度为直线分布。
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薄板弯曲的基本方程
微小六面体上的应力分布情况
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薄板矩形单元位移插值函数 一、节点位移与节点力 １、单元的自由度 （比较梁）
w 1 2 x 3 y 4 x 5 xy 6 y
2
7 x 8 x y 9 xy 10 y 11 x y 12 xy
3 2 2 3 3
2
3
w x y w y x
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平面三角形单元及其位移函数 位移函数的性质
y 0
w0
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作业
作业：设板的对称边平行x轴，分别就对称和 反对称情况写出对称边上的位移约束。
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薄板问题的有限元法
薄板弯曲的基本方程 薄板矩形单元位移插值函数 薄板的单元刚度矩阵
薄板位移约束
1
薄板弯曲的基本方程
一、基本假设
平分板厚的中间面为平面，称作板的中面。
板厚远小于中面尺寸— 薄板。
2
薄板弯曲的基本方程 薄板小挠度问题，主要采用以下假设（对比梁）： （1）直法线假设——变形前的中面法线在变形后仍 然是弹性曲面的法线。 （2）板弯曲时，中面不产生应变。也就是说，中面 是板的中性层。
w v z y
5
薄板弯曲的基本方程 3. Z平面的应变分量： 薄板中与中面相距为 Z的平行面，称为z平面。 由几何方程可知
u w x z 2 x x 2 v w y z 2 y y
2
xy
u v w 2 z y x xy