201306安工线性代数复习题
线性代数期末复习题及参考答案
线性代数期末复习题及参考答案复习题之判断题(√)1. 若行列式的每一行元素之和全为零，则行列式的值等于零. ( )2. 设A ，B 为n 阶矩阵，则22))((B A B A B A −=−+. (√)3. 方阵A 可逆的充要条件是A E ~.( )4. 若n 阶矩阵A 相似于对角矩阵，则A 必有n 个互不相同的特征值. (√)5. 二次型222123123(,,)4f x x x x x x =++是正定二次型. (√ )6. 若B A 、为n 阶方阵，则AB BA =. ( )7. 设A 为任意n 阶矩阵，则A —A T 为对称阵. ( )8. 若n 阶矩阵A 能对角化, 则A 必有n 个不同的特征值. (√)9. 实对称矩阵A 对应不同特征值的特征向量必正交. (√)10. 设AB=0，若A 为列满秩矩阵，则B=0.( )11. 对于任何矩阵Amxn ，不能经过有限次初等列变换把它变为列阶梯形矩阵和列最简形矩阵.( )12. 奇排列变成标准排列的对换次数为偶数.( )13. 在秩是r 的矩阵中，存在等于0的r-1阶子式，但是不存在等于0的r+1阶子式.复习题之填空题1．设向量()1,0,3,Tαλ=−，()4,2,0,1Tβ=−−，若α与β正交，则λ= - 4 ． 2. 当A 为任意的n 阶矩阵时，下列矩阵A A T +;T A A −;T AA ;A A T 中, 对称矩阵是T T T A A AA A A +，，，反对称矩阵是T A A −. 3. 设00B A C⎛⎫=⎪⎝⎭，B ，C 均为可逆矩阵，则1A −=1100C B−−⎛⎫⎪⎝⎭.4．设A 是n 阶矩阵（2n ≥），且A 的行列式det 2A =, 则它的伴随矩阵*A 的行列式*det A =12n −5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−=466353331A 的所有特征值之和等于0.6. 设,A B 为n 阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件AB=BA.7．设向量11,,0,132Tα⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，()3,2,1,1T β=−−，则α与β的内积为 1 ．8．设方阵A 满足2240A A E −+=，且A E +可逆，则1()A E −+＝37A E−−. 9. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，若0A =，则*A =0.10．设向量()1,2,0,1T α=−，()3,1,1,2Tβ=−−，则α与β的内积为 -1 ． 11．设方阵A 满足220A A E −−=，且A 可逆，则1A −＝2A E−.12．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−=269643932A 的所有特征值之和等于0 ．13.2103111113423122−−−−的代数余子式之和31323334-2A A A A ++= -33 ___ .14. 设n 阶矩阵A 满足0322=+−E A A ，则()12−−E A=3A −15. 若4阶方阵A 的行列式A =3, *A 是A 的伴随矩阵，则*A = 27 ___ . 16 向量α=()1,1,1,5T−−−与()4,2,1,Tβλ=−−正交，则λ=-1.17. 二次型2221231231223(,,)4324f x x x x x x x x x x =−+−+−对应的对称矩阵是110142023A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−−⎝⎭_________________．18.3023111110560122−−−−−的代数余子式之和31323334A A A A +++= 0 .19. 设n 阶矩阵A 满足02A 2=−−E A ，则1)3(A −−E =2A E +−.20. 设A 是4阶方阵，4A =−，则*A =-64.21. 向量(2,2,3),(3,3,)T T t αβ=−=−−与正交，则t = 0 .22. 二次型22123131223(,,)224f x x x x x x x x x =++−对应的对称矩阵是110102022A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭．复习题之计算题1a ．设3111131111311113A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 122212221B ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭．（1）计算矩阵A 的行列式．（2）求矩阵B 的逆． 1a.(1)解：=D 31111311113111136111631161316113=11111311611311113=11110200600200002==48.(2).解：()122100************A E ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭122100036210063201⎛⎫⎪→−−− ⎪ ⎪−−−⎝⎭122100036210009221⎛⎫ ⎪→−−− ⎪ ⎪−⎝⎭12211021012033221001999⎛⎫ ⎪⎪→− ⎪⎪ ⎪−⎝⎭122100999212010999221001999⎛⎫⎪ ⎪→− ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭ 从而有112212129221A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭。
(完整word版)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ）.（A) 24315 （B) 14325 （C ） 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）. (A ）k (B ）k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项。
(A) 0 （B ）2-n （C ） )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ）。
(A ） 0 (B)1- (C) 1 （D) 25. =0001100000100100( ）.(A) 0 (B)1- (C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ）.(A) 0 （B ）1- (C) 1 （D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ）. (A ） 4 (B) 4- (C) 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ）。
（A)ka (B)ka - (C ）a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-， 则=x （ )。
（A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A ）1- (B ）2- (C ）3- （D ）011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ）。
2013年西安工业大学线性代数考试试题及答案评分标准(A卷)
2012级线性代数考试试题（A 卷）2012－2013学年第2学期5小题，每小题4分，总计20分）1、设n 阶方阵,,A B C 满足关系式ABC E =，其中E 为n 阶单位矩阵，则必有（ ）. (A) ACB E =； (B) CBA E =； （C ）BAC E =； （D ）BCA E =.2、设A 、B 均是3阶矩阵，且2, 2A B ==-，则112A B *-=（ ） （A ）2-； （B ）1-； （C ）21-； （D ）41-. 3、设向量组321,,ααα线性无关，向量1β能由321,,ααα线性表出，向量2β不能由321,,ααα线性表出，则必有（ ）（A ）121,,βαα线性相关； （B ）121,,βαα线性无关； （C ）221,,βαα线性相关； （D ）221,,βαα线性无关. 4、设线性方程组(Ⅰ) b Ax =,其导出组(Ⅱ) 0=Ax ,则必有( ).（A ）(Ⅰ)有无穷多解,则(Ⅱ)仅有零解； （B ）(Ⅰ)仅有唯一解,则(Ⅱ)仅有零解； （C ）若(Ⅱ)有非零解,则(Ⅰ)有无穷多解；（D ）若(Ⅱ)仅有零解,则(Ⅰ)有唯一解.5、设1111111111111111A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，4000000000000000B ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则A 与B （ ）.(A) 合同且相似； (B) 合同但不相似；(C) 不合同但相似； (D) 不合同且不相似. 5小题，每小题4分，总计20分）1. 已知414243123452221127, 312451112243150D A A A ==++=则 ，=+4544A A ;2. 已知A 21401134⎛⎫= ⎪-⎝⎭，131012131402B ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭，则()TAB =___________; 3. 设01000010********A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为______; 4. 设三阶方阵A 的特征值分别为1, 2, 3-，则2A A E +-= ____; 5. 已知2221231231223(,,)22f x x x x x x x x tx x =++++为正定的，则参数t 的取值范围是 .三、（12分）设423110,123A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭且2,AX A X =+ 求X ．四、（10分）求向量组()T3,0,1,21-=α，()T4,2,3,12-=α，()T 1,2,0,33-=α，()T 6,4,2,24-=α的秩及一个极大无关组，并将其余的向量（如果有的话）.用此极大无关组线性表出.五、（12分）求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++++=++++=++++2275532155432722543215432154321x x x x x x x x x x x x x x x 的通解.六、（14分）设211121112A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，判断A 能否对角化，若能，求可逆阵P ，使1P AP -为对角阵，并求20A .12分，其中（1）题5分，（2）题7分)（1）设B A ,是n 阶方阵，且B 可逆，满足O B AB A =++22，证明：A 和AB +都是可逆矩阵； (5分)（2）设向量组,,αβγ线性无关,证明: 向量组,,αββγγα+++也线性无关. (7分)2012~2013学年第2学期期末考试《线性代数》试卷（A ）标准答案和评分标准一、选 择 题（5二、填 空 题（5×4分）1. 9, 18-;2. 6207586⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭; 3. 1 ; 4. 11 ; 5. 22<<-t三、解：由2AX A X =+，得(2)A E X A -=…………………………………1分由于2232110,210,121A E A E ⎛⎫ ⎪-=--=-≠ ⎪ ⎪-⎝⎭所以2A E -可逆；于是1(2)X A E A -=-………………………………………………………4分()132231001210012110010110010121001223100~r r A E E ↔-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭因为211123132(1)226121001121001101021~011011~011011~011011065102065102001164r r r r r r r r r+⨯-++-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭13233(1)100143~010*********r r r r r ++⨯---⎛⎫ ⎪-- ⎪⎪-⎝⎭，1143(2)153164A E ---⎛⎫ ⎪-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭…………………8分 1143423386(2)1531102961641232129X A E A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=-=--=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭故 ………12分四、解：以每个向量作为列构造一个矩阵，对该矩阵施以初等行变换.设()432,,,αααα=A 2132130202243416-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦……………………..…………2分 1302011200110000⎡⎤⎢⎥⎢⎥−−−→⎢⎥⎢⎥⎣⎦行变换－－⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−→−0000110010101001行变换…………………………4分 故()3=A r ……………………………………………………………………6分321,ααα，为向量组4321,αα,α,α的一个极大无关组…………………………………8分3214αααα++=……………………………………………………………10分五、解：将该方程组表示为：Ax b =，其中112121234523557A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12345x x x x x x ⎛⎫⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭，71522b ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭()3132112127112127123451512345152355722000000r r r r A A b --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪==−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2112112127101211011338011338000000000000r r r r -----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭………………………4分 得同解方程组⎩⎨⎧=+++-=--+8331254325431x x x x x x x x移项得 ⎩⎨⎧+---=-++-=8331254325431x x x x x x x x …………………………………………6分取3450x x x ===，得线性方程组的一个特解：0(18000)T η=-……………………………………………………8分在对应的齐次线性方程组134********x x x x x x x x =-++⎧⎨=---⎩中，取345100x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭及001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭得基础解系为：111100ξ-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，223010ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，313001ξ⎛⎫ ⎪- ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭………………………10分于是所求的通解为：1231234512111338100001000010x x x x k k k x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（123,,k k k ∈ℜ）. ………………………………………………………………………………………12分六、解：令()()2211121410112A E λλλλλλ--=-=---=-得的特征值为14λ=，231λλ==………………………………..…….3分1 对应14λ=，解方程组()40A E x -=由2111014121011112000r A E --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭得基础解系 1111p ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ………………….………………………………5分2 对应132==λλ，解方程组()0=-X E A由111111111000111000r A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-=−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得基础解系 2110p -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3101p -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， ……………………………………7分因此，三阶矩阵A 有三个线性无关的特征向量，所以它可相似对角化…………..8分.令()123111,,110101P p p p --⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则1411P AP -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是1411A P P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 20201411A P P -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭……………………………10分计算得 111111213112P -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭………………………………………………12分所以2020202020120202020202044241411141424131414142A P P -⎛⎫⎛⎫+--⎪ ⎪==-+-⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭…………….……14分七、(1) 证明: 由O B AB A =++22,得2)(B B A A -=+, ………………1分 两边取行列式,由方阵行列式性质及B 可逆,有()012≠-=+B B A A n, ………………………………………3分从而 0,0≠+≠B A A 且.故 B A A +和都是可逆矩阵 …………………………………… 5分（2）证明：方法一（定义法）设 123()()()0k k k αββγγα+++++=，……………………………1分 必有 131232()()()0k k k k k k αβγ+++++= （*） …………… 2分 已知,,αβγ线性无关，所以（*）式的系数全为零，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+.0,0,0232131k k k k k k ……………4分其系数行列式02110011101≠=， ……………5分 所以上述关于321,,k k k 的方程组只有零解，即0321===k k k ， ………6分故向量组,,αββγγα+++也线性无关 …………………………………7分方法二（利用矩阵的秩）因为()()101,,,,110011αββγγααβγ⎛⎫ ⎪+++= ⎪ ⎪⎝⎭…………2分由于10111020011=≠，故101110011⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭可逆，………………………………4分所以()(),,,,3R R αββγγααβγ+++==，…………………………6分 故,,αββγγα+++线性无关………………………………………7分编辑：张永锋2013/6/9。
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A为3阶方阵，且|A|=2，则矩阵A的伴随矩阵的行列式|adj(A)|等于（）。
A. 6B. 12C. 24D. 48答案：C2. 若非零向量α和β满足α⊥β，则α和β的内积α·β等于（）。
A. 0B. 1C. -1D. 无法确定答案：A3. 设A和B是两个n阶方阵，若AB=BA，则称A和B是可交换的。
若A和B可交换，则下列说法正确的是（）。
A. A+B也是可交换的B. A-B也是可交换的C. A^2和B^2也是可交换的D. 所有选项都正确答案：D4. 线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则该线性方程组（）。
A. 有唯一解B. 无解C. 有无穷多解D. 可能无解答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 若矩阵A的行列式等于0，则矩阵A的______是可逆的。
答案：逆矩阵6. 设向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则向量组α1+α2,α2+α3, ..., αn+α1也是______的。
答案：线性无关7. 若线性变换T: R^n → R^m，且T(α)=β，则T(kα)=______，其中k为任意实数。
答案：kβ8. 设A是3阶方阵，若A^2=0，则称A是______矩阵。
答案：幂零三、简答题（每题10分，共30分）9. 证明：若矩阵A可逆，则A的转置矩阵也是可逆的。
答案：设A是可逆矩阵，存在逆矩阵A^(-1)使得AA^(-1)=A^(-1)A=I。
考虑A的转置矩阵A^T，我们有(A^T)^T=A，且(A^T)(A^(-1))^T=(A^(-1))^TA^T=I。
因此，A^(-1)^T是A^T的逆矩阵，证明A^T是可逆的。
10. 给定线性方程组：\[\begin{cases}x + 2y - z = 1 \\3x - y + 4z = 2 \\x + y + z = 3\end{cases}\]求该方程组的解。
线性代数复习题及答案
设 是 的一个基础解系， 不是 的解，即 ，
讨论：向量组 线性相关还是线性无关？.
七、（10分）设 ，问A能否对角化？若能对角化，则求出可逆矩阵 ，使得 为对角阵.
八、（共14分）证明题：
1、（6分）若 为 阶幂等阵（ ），求证： ＝ .
2、（8分）设 是 实矩阵, 是 维实列向量，
证明：（1）秩 ； （2）非齐次线性方程组 有解.
七、解：由 ，
得全部特征值为： ，………………………………………4分
将 代入 得ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ程组
解之得基础解系 …………6分
同理将 代入 得方程组的基础解系 ………7分
由于 ，所以 线性无关，
令 ，则有： ………10分
八、(14分)
1、证明： ，
…………………………………………3分
又
故 …………………………………………6分
2、证明：（1）因为若 ，则 ；
而当 时，由
，得 。
因此齐次线性方程组 与 ，同解，
故秩 。…………………………………………4分
（2）因为秩
因此 ，故非齐次线性方程组 有解。
………………………………………8分
3、若非齐次线性方程组 中方程个数少于未知数个数，那么( ).
(A) 必有无穷多解；(B) 必有非零解；
(C) 仅有零解；(D) 一定无解.
4、设有向量组 ， ， ， 与 ，则向量组的极大线性无关组是（）
（A） ；(B) ；
(C) ；(D) .
5、设 、 为n阶实对称可逆矩阵，则下面命题错误的是（）
（A）有可逆矩阵 、 使得 （B）有可逆矩阵 使得
（C）有可逆矩阵 使得 （D）有正交矩阵 使得
线性代数考试题及答案
线性代数考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 矩阵A的行列式为0，则矩阵A是：A. 可逆的B. 不可逆的C. 正定的D. 负定的答案：B2. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性相关，则：A. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n = 0 \)B. 所有向量都为零向量C. 存在不全为0的实数k1, k2, ..., kn，使得k1\( \alpha_1 +k2\alpha_2 + \ldots + k_n\alpha_n \)是零向量D. 所有向量都为非零向量答案：A3. 矩阵A和B的乘积AB等于零矩阵，则：A. A和B都是零矩阵B. A和B中至少有一个是零矩阵C. A和B的秩之和小于A的列数D. A和B的秩之和小于B的行数答案：C4. 向量组\( \beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_m \)可以由向量组\( \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \)线性表示，则：A. m > nB. m ≤ nC. m ≥ nD. m < n答案：B5. 若矩阵A和B合同，则：A. A和B具有相同的行列式B. A和B具有相同的秩C. A和B具有相同的特征值D. A和B具有相同的迹答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 若矩阵A的特征值为λ，则矩阵A^T的特征值为______。
答案：λ2. 若矩阵A可逆，则矩阵A的行列式|A|与矩阵A^-1的行列式|A^-1|满足关系|A^-1|=______。
答案：1/|A|3. 若向量组\( \alpha_1, \alpha_2 \)线性无关，则由这两个向量构成的矩阵的秩为______。
答案：24. 矩阵A的秩为r，则矩阵A的零空间的维数为______。
线性代数练习题库及答案
线性代数练习册答案第五章 相似矩阵及二次型51ξ- 内积52ξ- 方阵的特征值与特征向量一．填空题：1.A 是正交矩阵，则A1A =± . 2.已知n 阶方阵A 的特征值为12,,,n λλλ⋅⋅⋅， 则E A λ-= ()()()12n λλλλλλ--⋅⋅⋅- .3.已知3阶方阵A 的特征值为1,1,2-，则232B A A =-的特征值为 1,5,8 ；A = 2- ；A 的对角元之和为 2 .4.若0是A 的特征值，则A 不可逆 （可逆，不可逆）.5.A 是n 阶方阵，A d =，则AA *的特征值是 ,,,d d d ⋅⋅⋅（共n 个） . 二．用施密特法把下列向量组规范正交化123111(,,)124139ααα⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解：()111,1,1Tβα==[]()()()2122121,61,2,31,1,11,0,13TT Tαββαββ=-=-=- [][]313233122212,,αβαββαββββ=--()()()1481211,4,91,1,11,0,1,,32333TTTT⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭故)1111,1,1T b ββ==，)2221,0,1T b ββ==-，)3331,2,1Tb ββ==-.三．求下列矩阵的特征值和特征向量1. 1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭2. 100020012B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解：1. A 的特征多项式为12(3)(1)21A E λλλλλ--==-+-故A 的特征值为123,1λλ==-.当13λ=时，解方程()30A E x -=.由221132200rA E --⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭:得基础解系111P ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故1(0)kPk ≠是对应于13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:得基础解系211P -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2(0)kP k ≠是对应于21λ=-的全部特征向量.2. B 的特征多项式为2100020(1)(2)012B E λλλλλλ--=-=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===.当11λ=时，解方程()0B E x -=.由000011010010011000r B E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:得基础解系1100P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故1(0)kP k ≠是对应于11λ=的全部特征向量. 当232λλ==时，解方程()20B E x -=.由1001002000000010010r B E -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:得基础解系2001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故2(0)kP k ≠是对应于232λλ==的全部特征向量.四．证明下列各题1. x 为n 维列向量，且1T x x =，求证：2T H E xx =-是对称的正交阵.2. 设A 、B 为同阶正交阵，证明：AB 也是正交阵. 证明：1. ()()222TTTTT TT T H E xx H E xxE xx H =-⇒=-=-=故H 为对称阵.又()()()224444T T T T T T T T H H E xx E xx E xx x x x x E xx xx E =--=-+=-+=故H 为正交阵.2. 因,A B 为同阶正交阵，故,T T A A E B B E ==. 又()()TT T T T AB AB B A AB B EB B B E ====，故AB 为正交阵.五．A 是n 阶方阵，命题P 为：A 的特征值均不为0.请尽量多的列举与P 等价的命题.（如A 可逆.至少列举3个） 解：等价命题：1P ：A 的列（行）向量组线性无关 2P ：0A ≠3P ：齐次线性方程组0Ax =只有0解 4P ：A 的秩为n53ξ- 相似矩阵54ξ- 实对称矩阵的相似矩阵一．填空题：1.若ξ是A 的特征向量，则 1P ξ- 是1P AP -的特征向量.2.若A 与B 相似，则A.3.20000101A x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与20000001B y ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则x = 0 ，y = 1 .4.若λ是A 的k 重特征根，则必有k 个相应于λ的线性无关的特征向量， 不对 （对，不对），若A 是实对称的呢？ 对 （对，不对）.二．多项选择题（选出全部正确的选项，可能不只一个）1.n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件是A 有n 个（ C ） （A ）互不相同的特征值； （B ）互不相同的特征向量； （C ）线性无关的特征向量； （D ）两两正交的特征向量；2.方阵A 与B 相似，则必有（ BD ）（A ）E A E B λλ-=-； （B ）A 与B 有相同的特征值； （C ）A 与B 有相同的特征向量； （D ）A 与B 有相同的秩； 3.A 为n 阶实对称矩阵，则（ ACD ）（A ）属于不同特征值的特征向量必定正交； （B ）0A >；（C ）A 必定有n 个两两正交的特征向量； （D ）A 的特征值均为实数；三．100021012A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，试求一个可逆矩阵P 使得1P AP -为对角阵，并求m A .解：先求A 的特征值和特征向量.2100021(1)(3)012E A λλλλλλ--=-=--- 故A 的所有特征值为1233,1λλλ===.当13λ=时，解方程()30A E x -=.2001003011011011000rA E -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭:令1011P ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则1P 即为对应于13λ=的特征向量. 当231λλ==时，解方程()0A E x -=.000000011011011000r A E ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:令23100,101P P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则23,P P 即为对应于231λλ==的特征向量.显然，123,,P P P 线性无关.令()123010,,101101P P P P ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭，则11110031313102211313022mm m m mm P AP A P P A P P ---⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪+-+ ⎪⎪Λ==⇒=Λ⇒=Λ= ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭-++ ⎪⎪⎝⎭四．三阶实对称矩阵A 的特征值为0,2,2，又相应于特征值0的特征向量为1111P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求出相应于2的全部特征向量.解：因为A 为三阶实对称矩阵，故A 有三个线性无关的特征向量，且对应于不同特征值的 特征向量两两正交.已知对应于10λ=的特征向量为1P ，设对应于232λλ==的特征向量为23,P P ，则12130,0T T P P P P ==.即23,P P 为齐次线性方程组10T P x =的两个线性无关的解.由10T P x =得1230x x x ++=.令2310,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则11,1x =--.取23111,001P P --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则23,P P 即为对应于232λλ==的特征向量.令2233k P k P ξ=+（23,k k 不全为零），则ξ为对应于232λλ==的全部特征向量. 五．设3阶方阵A 的特征值为1231,0,1λλλ===-，对应的特征向量分别依次为1231222,2,1212P P P -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，求A .解：因为123λλλ≠≠，故A 可对角化，且123,,λλλ所对应的特征向量123,,P P P 线性无关.显然()()112312323,,,,A P P P P P P λλλ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，令()123,,P PP P =， 故1112311021001231220A P P P P λλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.55ξ- 二次型及其标准形56ξ- 用配方法化二次型为标准形57ξ- 正定二次型一．填空题：1. 22(,)22f x y x xy y x =+++是不是二次型？答： 不是 .2. 123121323(,,)422f x x x x x x x x x =-++的秩是 3 ；秩表示标准形中 平方项 的个数．3．21101000A k k ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,A 为正定矩阵,则k 满足 大于1 .二．A 为实对称矩阵，选出全部的A 为正定矩阵的充分必要条件（ 12346 ） 1.对任意的列向量0x ≠，0x Ax '> 2.存在可逆方阵C ，使得A C C '= 3.A 的顺序主子式全部大于零 4.A 的主子式全部大于零 5.A 的行列式大于零 6.A 的特征值全部大于零三．212312331001(,,)(,,)300430x f x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1.求二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵A ；2.求正交变换x Py =，将二次型化为标准形.解：1. 2112312331232123001(,,)(,,)300(,,)343043x x f x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭22212233343x x x x x =+++ 故二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵100032023A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.2. 问题可转化为求正交矩阵P ，将A 化为对角形.21032(1)(5)023A E λλλλλλ--=-=--- 故A 的特征值为1231,5λλλ===.当121λλ==时，解方程()0A E x -=.000011022000022000r A E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭:.令1310,01x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得20,1x =-.取12100,101ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,ξξ即为对应于121λλ==的特征向量.显然，12,ξξ正交.将12,ξξ单位化得121212010,0P P ξξξξ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪==== ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭当35λ=时，解方程()50A E x -=.4001005022011022000rA E -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭:.令31x =，得1201x x =⎧⎨=⎩.取3011ξ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则3ξ即为对应于35λ=的特征向量.将3ξ单位化得3330P ξξ⎛⎫⎪ ⎪==. 令()123P P P P =，则1115P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.故123(,,)f x x x 的标准形为2221235y y y ++.四．已知A 和B 都为n 阶正定矩阵，求证A B +的特征值全部大于零. 证明：因为,A B 都为n 阶正定矩阵，则对任意n 维列向量0x ≠， 有()0,00T T T x Ax x Bx x A B x >>⇒+>.即A B +是正定矩阵. 故A B +的特征值全部大于零. 五．已知A 为n 阶正定矩阵，求证1A E +>.证明：因为A 为n 阶正定矩阵，则A 的n 个特征值12,,,n λλλ⋅⋅⋅全大于零且存在正交矩阵P ，使得112211n n P AP A P P λλλλλλ--⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=⇒= ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 由1122111n n A E P P PP P E P λλλλλλ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭121111n P P λλλ-+⎛⎫⎪+⎪= ⎪⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭，得()()()121121111111n n A E PP λλλλλλ-+++==++⋅⋅⋅+>⋅⋅⋅+六.求22:1L x xy y ++=围成的面积.解：设二次型()22112(,),112x f x y x xy y x y y ⎛⎫ ⎪⎛⎫=++=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭. 令112112A ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则A 是对称矩阵且正定.设12,λλ为A 的特征值，可知存在正交矩阵P ，使得11200T P AP P AP λλ-⎛⎫== ⎪⎝⎭.由0E A λ-=，得1213,22λλ==. 因为正交变换不改变向量的长度，故可用正交变换12z x P z y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得1221122T T T T X AX Z P APZ Z P APZ z z λλ-===+，其中12,z x X Z z y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 综上可知，经过正交变换后，221213(,)22f x y z z =+.故L 的面积即为椭圆： 221213122z z +=的面积.面积S =.第五章 复习题三、计算题1、设3阶对称阵A 的特征值为6，3，3，与特征值6对应的特征向量为()11,1,1Tp =，求A解：因为对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是两两正交的，所以求对应于3的特征向量即为求与()1,1,1T正交的特征向量。
线性代数试题(试题与答案)
线性代数试题(试题与答案)一、选择题（每题5分，共25分）1. 设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix} \)，则 \( A^2 \) 的特征值是（）A. 5, 9B. 1, 16C. 5, -5D. 10, -102. 设 \( \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3 \) 是线性无关的向量组，则下列向量组线性无关的是（）A. \( 2\alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3 \)B. \( \alpha_1 + 2\alpha_2 + 3\alpha_3 \)C. \( \alpha_1 - \alpha_2 + \alpha_3 \)D. \( 3\alpha_1 - 2\alpha_2 + \alpha_3 \)3. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶可逆矩阵，则 \( A^{-1} \) 的行列式等于（）A. \( \frac{1}{|A|} \)B. \( |A| \)C. \( |A^{-1}| \)D. \( -|A| \)4. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶实对称矩阵，则下列结论正确的是（）A. \( A \) 的特征值都是实数B. \( A \) 的特征值都是正数C. \( A \) 的特征值都是负数D. \( A \) 的特征值既有正数也有负数5. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶矩阵，且 \( A \) 的秩为\( n \)，则下列结论正确的是（）A. \( A \) 是可逆矩阵B. \( A \) 的行列式不为0C. \( A \) 的特征值不全为0D. \( A \) 的任意一行都可以作为主行二、填空题（每题5分，共25分）6. 若 \( A \) 是一个 \( n \) 阶矩阵，且 \( |A| = 0 \)，则称 \( A \) 为________矩阵。
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线性代数复习题一1．行列式具有哪些性质？2．两个等价矩阵的秩有什么关系？3．=---381141102。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121的逆矩阵为 。
5．矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----11433013221253332311的行最简形为 。
6．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系为 。
7．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=++-0)4(20)6(2022)5(z a x y a x z y x a 有非零解，则=a 。
8．设A 为3阶矩阵，21=A ，则()=--*152A A ．9．设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛132,121,32a 的线性相关，则=a ．10．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA ，=10A ． 11．设四元线性非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+432132ηη，则该方程组的通解可表示为 ．12．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=113112211A ，求A 的所有特征值．13．求行列式的值xaaaa x a a a a x a a a a xD =14．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A ，B A AB 2+=，求B 15．λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλλx x x x x x x x x（1）有唯一解 （2）无解 （3）有无穷解？16．已知向量组,1032,2103,3210:121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααA ,3144,1120,2112:321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=βββB （1）B 组能否由A 组线性表示？（2）A 组能否由B 组线性表示？17．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=21034011aA ，2是A 的一个特征值， （1）求a 的值；（2）求A 的其它特征值；（3）求A 的属于特征值2的特征向量。
18．热传导研究中的一个重要问题是，已知金属薄片边界附近的温度，确定其上稳态温度的分布。
假设下图所示的金属片表示一根金属柱的横截面，并且忽略与盘片垂直方向上的热量传递。
设4321,,,t t t t 表示图中4个内部网格节点的温度（单位：°C ）。
一个节点的温度等于四个相邻节点（上、下、左、右）的平均温度。
求4321,,,t t t t 的值。
1t 2t 3t 4t 1010202030304040线性代数复习题二1．矩阵的乘法具有哪些性质？2．若矩阵AC AB =，B A ,的秩有什么关系？3．=b aca c bcb a。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--145243121的逆矩阵为 。
5．矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11463013421256332321的行最简形为 。
6．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=++-0683042028432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系为 。
7．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解，则=λ 。
8．设A 为3阶矩阵，31=A ，则()=--*152A A ．9．设向量组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛132,352,12x 的线性相关，则=x ．10．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101a A ，=-10A ． 11．设三元线性非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，已知321,,ηηη是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=3211η，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+43232ηη，则该方程组的通解可表示为 ．12．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211131211A ，求A 的所有特征值． 13．求行列式的值aa a aD 111111111111=14．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A ，B A AB 2-=，求B 15．λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x（1）有唯一解 （2）无解 （3）有无穷解？16．已知向量组,1012,2102,2110:121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααA ,4134,5232,3122:321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=βββB（1）B 组能否由A 组线性表示？（2）A 组能否由B 组线性表示？17．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=20134011λA ，2是A 的一个特征值， （1）求λ的值；（2）求A 的其它特征值；（3）求A 的不属于特征值2的特征向量。
18．在风洞试验中，射弹的推动力取决于在不同的速度v 下测量到的空气阻力F 。
一次试验中测得的数据如下：若假设F 与v 之间的关系可用函数332210v a v a v a a F +++=表示， （1）求系数3210,,,a a a a ；（2）当射弹以400米/秒的速度飞行时，遇到的空气阻力为多少？线性代数复习题三1．逆矩阵具有哪些性质？2．两个等价向量组的秩有什么关系？3．=+++yx yx y y x x y x y x。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---125223111的逆矩阵为 。
5．矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----13855013221253364622的行最简形为 。
6．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-026830540210432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系为 。
7．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+-+0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解，则=λ 。
8．设A 为4阶矩阵，21=A ，则()=--*12A A ．9．设向量组⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛132,12,352,μ的线性相关，则=μ ．10．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011aA ，=8A ． 11设四元线性齐次线性方程组的系数矩阵的秩为2，已知21,ηη是它的两个线性无关的解向量，则该方程组的通解可表示为 ．12．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211101211A ，求A 的所有特征值．13．求行列式的值xa aa x a a a xD=14．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321011330A ，B A AB 3+=，求B 15．λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++λλλλλλ321321321x x x x x x x x x（1）有唯一解 （2）无解 （3）有无穷解？16．已知向量组,1021,2101,1210:121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααA ,4143,5223,3122:321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=βββB（1）B 组能否由A 组线性表示？（2）A 组能否由B 组线性表示？17．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=20134011λA ，1是A 的一个特征值， （1）求λ的值；（2）求A 的其它特征值；（3）求A 的属于特征值1的特征向量。
18．化学方程式表示化学反应中消耗和产生的物质的量。
当磷酸钠溶液和硝酸钡溶液混合后，产生磷酸钡和硝酸钠。
其方程式为：342433232431)()(NaNO x PO Ba x NO Ba x PO Na x +→+方程式两端的钠原子)(Na 、磷原子)(P 、钡原子)(Ba 、氮原子)(N 和氧原子)(O 的总数应相等。
用尽可能小的整数来配平该方程式。
线性代数复习题四1．往一个线性相关的向量组中添加或减去向量，其线性相关（无关）性会有什么变化？ 2．两个等价向量组的向量个数之间有什么关系？3．=--381141302。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----125223111的逆矩阵为 。
5．矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11473013521258332341的行最简形为 。
6．线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=++-0268303202432143214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系为 。
7．齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=++-0)6(20)4(2022)5(z a x y a x z y x a 有非零解，则=a 。
8．设A 为4阶矩阵，21=A ，则()=--*13A A ．9．设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛132,21,132y 线性相关，则=y ．10．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101xA ，=200A ． 11．四元线性非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知321,,ηηη是它的三个解向量，且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=54321η，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+4321232ηη，则该方程组的通解可表示为 ．30050010012．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211123201A ，求A 的所有特征值． 13．求行列式的值111111111111xx x x D =14．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A ，B A AB 3-=，求B 15．λ取何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=-+λλλλλλ321321321x x x x x x x x x（1）有唯一解 （2）无解 （3）有无穷解？16．已知向量组,2011,2101,1220:121⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=αααA ,4451,5242,3231:321⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=βββB（1）B 组能否由A 组线性表示？（2）A 组能否由B 组线性表示？17．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=31402112λA ，1-是A 的一个特征值， （1）求λ的值；（2）求A 的其它特征值；（3）求A 的属于特征值1-的特征向量。
18．某城市一些单行道路的交通流量（以每小时经过的汽车数量来表示）如下图所示：其中D C B A ,,,为四个路口，每个路口流入和流出的总量相等。
求未知流量4321,,,x x x x 。
线性代数复习题五1．往一个线性无关的向量组中添加或减去向量，其线性相关（无关）性会有什么变化？ 2．两个同解方程组的系数矩阵的秩之间有什么关系？3．=++bc b ba a cb cb a。