北师大版七年级数学下册 第三章 三角形 3、探索三角形全等的条件(四)
(直角三角形的两个锐角互余)
∴∠ABC+∠DFE=90°
2. 如图，∠B=∠D=90°，要证明△ABC 与△ADC全等，
还需要补充的条件是
A D
。
B
答案： AB=AD 或 BC=DC 或
∠BAC=∠DAC 或 ∠ACB=∠ACD。
C
一定要注意直角三角形不是只能用HL证明全等， 但HL只能用于证明直角三角形的全等。
旧知回顾
判断两个三角形全等的方法 我们已经学了哪些呢？
SSS AAS
ASA SAS
假冒产品：“SSA”
FC A 40° D B
E
情境问题:
舞台背景的形状是两个直角三角形，为 了美观，工作人员想知道这两个直角三角 形是否全等，但每个三角形都有一条直角 边被花盆遮住无法测量。工作人员只带了 一条尺，他能完成这项任务吗？ A D
一、判断两个直角三角形全等的方法有：
(1)： SSS ； (2)： SAS ；
(3)： ASA ； (4)： AAS ；
(5)： HL ；
问题：老师想测量教室的高度，可是只有 一根竹竿和一把长40厘米的短尺，且竹竿 长度大于教室的高度，你能设计一个方案 利用现有的工具测出教室的高度吗？ A
O
C
1 1 AB CE AB DF 2 2
灵活运用三角形面积相等也 可以证明两条线段相等哦！
∴CE=DF
A
（南宁中考）如图，在ΔABC中，D是BC的中点， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且BE＝CF。 （1）图中有几对全等的三角形？请一一列出。 E （2）选择一对你认为全等的三角形进行论证。 B
作法: ⑴ 作∠MCN=∠α=90°; ⑵ 在射线CM上截取线段CB=a;
c
α
⑶ 以B为圆心,C为半径画弧，交 射线CN于点A; ⑷ 连接AB. M △ABC即为所求作的三角形. B c a C A N
直角三角形全等的判定方法 斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等. 简写：“斜边、直角边”或 “HL” A 数学表达式： 在Rt△ABC Rt△ DEF中 A B=DE A C= DF
B
C
E
F
情境问题:
数学问题
工作人员是这样做的，他测量了每个三角 形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分 对于两个直角三角形，若满足 别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角 一条直角边和一条斜边对应相等时， 形是全等的”。你相信他的结论吗？ 这两个直角三角形全等吗？ A
D
B
C
E
F
a
ห้องสมุดไป่ตู้
已知线段a， c(a﹤c)和一个直角α ，利用尺 规作一个Rt△ABC,使∠C= ∠α ，CB=a， AB=c.
答：两个木桩离旗杆底部的距离相等。
如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述 条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
C
解：BC=BD ∵在Rt△ACB和Rt△ADB中
B
A
AB=AB, AC=AD. ∴Rt△ACB≌Rt△ADB(HL)
D
∴BC=BD
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与 右边滑梯水平方向的长度DF相等，
B
P180-P181 习题5.12 余下 《探究在线》 5.7
C
D
5.如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD， AD＝BC， CE⊥AB，DF⊥AB， 垂足分别为E、F，试说明CE＝DF。
A
E
F
B
证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴ ∠ACB = ∠ADB = 90°。 ∵在Rt△ABC和Rt△BAD中 BC=AD AB=BA（公共边） ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL) ∴AC=BD， ∠CAB = ∠DBA (全等三角形对应边、对应角相等) 又∵CE⊥AB于E，DF⊥AB于F， ∴ ∠AEC = ∠BFD = 90° 。 ∵在△CAE和Rt△DBF中 ∠AEC = ∠BFD ∠CAB = ∠DBA AC=BD ∴△CAE≌△DBF(AAS) ∴CE=DF(全等三角形对应边相等).
∴Rt△ABC≌Rt△
C D F
B
DEF(H L)
E
你现在能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
SSS
AAS HL
SAS ASA
前四个判定方法都需要三个条件，而“HL” 只有两个条件，你怎么看？
“HL” 只适合判定直角三角形全等。
A
AC=DF (1) _______,∠A=∠D ( ASA )
BC=EF (2) AC=DF,________ (SAS) (3) AB=DE,BC=EF ( HL ) AB=DE (4) AC=DF, ______ ( HL ) (5) ∠A=∠D, BC=EF ( AAS ) ∠B=∠E (6) ________,AC=DF ( AAS ) F
F D C
解：（1）图中共有三对全等的三角形，分别是： △BDE≌△CDF， △ADE≌△ADF， △ABD≌△ACD。 （2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴ ∠BED = ∠CFD = 90°。 ∵D是BC的中点，∴BD=CD 在Rt△BDE和Rt△CDF中 BD=CD 选最简单的一组证明哦！ BE=CF ∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
E
C D
B
例1.如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆 上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩 离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
解：BD=CD，理由如下：
∵在Rt△ABD与Rt△ACD中
AB=AC
AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
∴BD=CD(全等三角形对应边相等).
C
D
5.如图，已知AC⊥BC，AD⊥BD， AD＝BC， CE⊥AB，DF⊥AB， 垂足分别为E、F，试说明CE＝DF。
A
E
F
B
证法2：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴ ∠ACB = ∠ADB = 90°。 ∵在Rt△ABC和Rt△BAD中 BC=AD AB=BA（公共边） ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL) ∴S△ABC = S△BAD
(1) △ABC≌△DEF吗？
(2)两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？
E
解：
(1)∵在R t△ABC和Rt△DEF中
BC=EF（已知）
C
AC=DF （已知） B A D F ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL) (2) ∵Rt△ABC≌Rt△DEF ∴∠ABC=∠DEF ° (全等三角形对应角相等) 又∵∠DEF+∠DFE=90°
（动点问题）如图在Rt△ABC中 ，∠C=90°,AC=10cm,BC=5cm， 一条线段PQ=BA，点P、Q分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX 上运动，问点P运动到什么位置时，才能使ΔABC与ΔAPQ全等？
X Q B
C
P
A
动点问题的关键在于：以静制动！
探索三角形全等的条件课件北师大版七年级数学下册
∴∠DAB=∠EAC
在ΔABD与ΔACE中
∠DAB=∠EAC
AB=AC
B
C
∠ABD=∠ACE
∴ΔABD≌ΔACE
∴BD=CE
三 角
01 三角形全等判定——SSS
形
全 02 三角形全等判定——SAS
等
的 判
03 三角形全等判定——AAS
定
条 件
04 三角形全等判定——SAS
判定两个三角形全等的思路：
针对练习：如图，已知OA=OC，OB=OD，∠AOC=∠BOD， 试说明：ΔAOB≌ΔCOD
D C
解：ΔAOB≌ΔCOD,理由如下：
∴∠AOC=∠BOD
∴∠AOC-∠AOD=∠BOD-∠AOD
∴∠COD=∠AOB
在ΔAOB与ΔCOD中
OA=OC
∠COD=∠AOB
OB=OD
O
∴ΔAOB≌ΔCOD
A B
A
全等判定——ASA
F
E
D
B
C
三角形全等的性质
全等判定——SSS
全等判定——SAS
选题背景
全等判定——AAS
针对练习：如图，AC=DC，AB=DE,CB=CE.
试说明：∠1=∠2
A
全等判定——ASA
解：∠1=∠2,理由如下： E 在ΔABC与ΔDEC中
AC=DC
AB=DE
CB=CE
B
∴ΔABC≌ΔDEC
E C
D
A
B
三角形全等的性质
全等判定——SSS
全等判定——SAS
选题背景
全等判定——AAS 全等判定——ASA
判定方法四： 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 （ 简写成“边角边”或“ASA”）
北师大版数学七年级下册4.3探索三角形全等的条件优秀教学案例
四、教学过程
1.导入新课：通过复习三角形的基本概念，引导学生回顾已学知识，为新课的学习做好铺垫。
2.自主学习：让学生自主阅读教材，了解三角形全等的定义和四种判定方法。
3.课堂讲解：结合具体例题，讲解SSS、SAS、ASA和AAS四种判定方法，引导学生积极参与，互动交流。
2.培养学生勇于挑战、克服困难的意志，增强学生的自信心和自尊心。
3.使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的数学应用意识和实践能力。
4.通过对本节课的学习，使学生感受到数学的美丽和神奇，培养学生的数学审美观念。
三、教学重点与难点
重点：三角形全等的定义，SSS、SAS、ASA和AAS四种三角形全等的判定方法。
3.学生能够积极参与课堂活动，表现出良好的合作意识和团队精神。
4.学生对数学学科产生浓厚的兴趣，形成积极的学习态度和良好的学习习惯。
三、教学策略
（一）情景创设
1.生活情境：通过展示实际生活中的三角形全等问题，如房屋设计、道路规划等，引发学生的兴趣，激发学生思考。
2.故事情境：讲述与三角形全等相关的故事，如古希腊数学家毕达哥拉斯的传奇故事，增强学生对数学学科的认同感。
1.创设生活情境：展示一个房屋设计图，其中一个三角形的全等问题需要解决。让学生观察并思考：“如何判断这个三角形的全等呢？”
2.引导学生回顾：回顾已学过的三角形相关知识，如三角形的边、角等概念，以及之前学过的几何判定方法。
3.提问：让学生提出关于三角形全等的问题，激发学生的学习兴趣和形全等的定义、SSS全等判定法、SAS全等判定法、ASA全等判定法和AAS全等判定法。在教学过程中，我将结合具体例题，引导学生运用这些判定方法判断两个三角形是否全等，并培养学生独立解决问题的能力。同时，通过小组合作、讨论交流等方式，激发学生的学习兴趣，提高学生的合作意识和团队精神。
北师大版数学七年级下册4.3探索三角形全等的条件教案
4.增强数学交流与合作品质，通过小组讨论、互动交流，提升合作解决问题的能力，培养团队协作精神。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解全等三角形的定义及性质，掌握SSS和SAS两种全等条件；
（2）学会运用SSS和SAS判定两个三角形是否全等；
四教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《探索三角形全等的条件》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要判断两个三角形是否完全相同的情况？”（如拼接图形时需要保证三角形完全一样）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索三角形全等的奥秘。
3.学会使用SSS和SAS判定两个三角形是否全等；
4.能够运用全等三角形的性质解决实际问题。
二、核心素养目标
本章节的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
1.提升空间想象与几何直观能力，通过观察和思考全等三角形的性质，加深对图形的认识；
2.培养逻辑推理与数学论证能力，学会运用SSS和SAS条件进行严密的推理和证明；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解全等三角形的基本概念。全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，它们的对应边和对应角都相等。这个概念在几何学中非常重要，因为它可以帮助我们在解决实际问题中简化复杂的图形。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过这个案例，展示如何使用SSS和SAS条件判断两个三角形是否全等，以及全等三角形在解决实际问题中的应用。
五、教学反思
今天我们在课堂上探索了三角形全等的条件，通过这节课的教学，我发现了一些值得思考的地方。首先，学生在理解全等三角形的定义上并没有太大困难，他们能够很快地掌握两个三角形需要满足哪些条件才能称为全等。然而，当涉及到具体的判定方法，如SSS和SAS时，部分学生就显得有些迷茫。这让我意识到，在讲解这些判定方法时，需要更多的实际例题和直观演示。
初中数学北师大七年级下册第三章三角形-全等三角形
M O
F E
A
C
B
变式1 如图，若将△ACM绕点C按逆时针方向旋转 一定的角度，其它条件不变，AN与BM相等吗？
N
M O
F E
A
C
B
例1 变式（旋转）.gsp
变式2：若将例1中的△ACM、△CBN都是等边三角 形改为都是等腰直角三角形，且∠ACM=∠BCN=90° ，AN与BM相等吗？
N
M
A
C
全等三角形的定义：
C
F
A
BD
E
能够 完全重合 的两个三角形叫做全等三角形。
旋转重合
折叠重合
平移重合
全等三角形的性质：
（1）全等三角形的对应边 相等 ，对应角 相等 ； （2）全等三角形对应边上的中线、高线、对应 角的角平分线分别 相等 。 （3）全等三角形的周长 相等 ，面积 相等 ；
全等三角形的判定方法：
（1）求直线AB的解析式； （2）若点M为直线y=mx在第一象限上一点， △ABM是以AB为底的等腰直角三角形，求m的值 。
直线CD经过∠BCA的顶点C，CA=CB。E、F分别是直线 CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠α。若直线CD经过∠BCA的内 部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题： ①如图1，∠BCA=90°，∠α=90°，则EF |BE-AF|（填 “>”,“<”或“=”号）；
B
变式3：若将上题中的△ACM、△CBN改为都是等腰 三角形，且AC=CM，BC=CN，AN与BM还相等吗？
NMAC NhomakorabeaB
思考：当△ACM、△CBN满足什么条件时，AN=BM?
例2 如图，在等边△ABC中，D、F分别为BC、AB 上的点，且BD=AF，AD和CF交于E点，求∠CED 的度数。
北师大版七年级数学下册课件4.探索三角形全等的条件边边边
不一定全等 不一定全等 不一定全等
3cm
30°
50°
30°
50° 3cm
结论： 有两个条件对应相等不能保证三角形全等.
30° 3cm
30°
3cm
新知探究
探究活动3：三个条件可以吗？ （1）有三个角对应相等的两个三角形；
30°
60°
30°
60°
结论:三个内角对应相等的三角形不一定全等.
新知探究
（2）三边对应相等的两个三角形会全等吗？
七年级数学北师版·下册
第四章 三角形
4.3.1 边边边
教学目标 1.探索三角形全等条件.（重点） 2.“边边边”判定方法和应用.（难点）
新课导入
为了庆祝国庆节，老师要求同学们回家制作三角形彩旗（如图），那么，老师应 提供多少个数据，才能保证同学们制作出来的三角形彩旗全等呢？一定要知道所有 的边长和所有的角度吗？
课堂小测
3.如图 ，AB=AE，AC=AD，BD=CE，求证：△ABC ≌△AED.
证明：因为BD=CE，
所以BD－CD=CE－CD，
所以BC=ED .
在△ABC和△AED中，
AC=AD（已知）， AB=AE（已知）， BC=ED（已证），
所以△ABC≌△AED（SSS）.
=×
×=
课堂小测
4. 如图，AC=FE，AD=FB，BC=DE. 求证：(1)△ABC≌△FDE ; (2)∠C= ∠E.
证明：(1)因为 AD=FB，
所以 AB=FD（等式性质）.
在△ABC 和△FDE 中，
AC=FE（已知）， BC=DE（已知）， AB=FD（已证），
A。 ?CD=源自E?=。B
F
北师大版七年级下册数学教案-第4章 三角形-3 探索三角形全等的条件
3探索三角形全等的条件第1课时“边边边(SSS)”和三角形的稳定性教学目标一、基本目标1．掌握三角形全等的“边边边”条件，了解三角形的稳定性．2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用画图、操作、归纳获得数学结论的过程，初步形成解决问题的基本策略．二、重难点目标【教学重点】利用三角形全等的“边边边”条件证明两个三角形全等；三角形的稳定性．【教学难点】利用“SSS”说明三角形全等的思考和推理过程．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P97～P99的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．(教材P97“做一做”)只给一个条件(一条边或一个角)画三角形时，画出的三角形一定全等吗？略2．(教材P97“做一做”)给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按照下面的条件做一做．(1)三角形的一个内角为30°，一条边为3 cm；(2)三角形的两个内角分别为30°和50°；(3)三角形的两条边分别为4 cm,6 cm.略3．(教材P97“议一议”)如果给出三个条件画三角形，你能说出有哪几种可能的情况？解：三条边；三个角；两条边和一个角；两个角和一条边．4．(教材P98“做一做”)(1)已知一个三角形的三个内角分别为40°，60°和80°，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？(2)已知一个三角形的三条边分别为4 cm,5 cm和7 cm，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画出的进行比较，它们一定全等吗？解：(1)三个内角对应相等的两个三角形不一定全等．(2)三边分别相等的两个三角形全等，简称为“边边边”或“SSS”．通常写成下面的格式： 在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝DF ，AB ＝DE ，BC ＝EF ，所以△ABC ≌△DEF (SSS)．5．2017年11月5日19时45分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”的方式成功发射第二十四、二十五颗北斗导航卫星．这两颗卫星属于中国地球轨道卫星，是我国北斗三号第一、二颗组网卫星，开启了北斗卫星导航系统全球组网的新时代．如图所示，在发射运载火箭时，运载火箭的发射架被焊接成了许多的三角形，这样做的原因是：三角形具有稳定性.环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，已知AB ＝DE ，AC ＝DF ，点E 、C 在直线BF 上，且BE ＝CF .求证：△ABC ≌△DEF .【互动探索】(引发学生思考)已知两个三角形有两组对边相等，同一直线上的一组边相等，可考虑用“SSS ”证明△ABC ≌△DEF .【证明】因为BE ＝CF ，所以BE ＋EC ＝CF ＋EC ，即BC ＝EF . 在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，BC ＝EF ，AC ＝DF ，所以△ABC ≌△DEF (SSS)．【互动总结】(学生总结，老师点评)判定两个三角形全等，先根据已知条件或易证的结论确定判定三角形全等的方法，然后再根据判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．【例2】如图，已知AB ＝AD ，DC ＝BC ，∠B 与∠D 相等吗？为什么？【互动探索】(引发学生思考)要判断角相等，可考虑用三角形全等证明，需添加辅助线AC 构造三角形进行证明．【解答】∠B ＝∠D ．理由如下：连结AC ． 在△ADC 和△ABC 中，因为⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AB ，AC ＝AC ，DC ＝BC ，所以△ADC ≌△ABC (SSS)， 所以∠B ＝∠D ．【互动总结】(学生总结，老师点评)要证∠B 与∠D 相等，可证这两个角所在的三角形全等，而现有的条件并不满足，可以考虑添加辅助线证明．【例3】要使下列木架稳定，可以在任意两个点之间钉上木棍，各图至少需要钉上多少根木棍？【互动探索】(引发学生思考)三角形具有稳定性，怎样添加木棍才能使多边形具有稳定性呢？【解答】如图1，四边形木架至少需要钉上1根木棍； 如图2，五边形木架至少需要钉上2根木棍； 如图3，六边形木架至少需要钉上3根木棍．图1 图2 图3【互动总结】(学生总结，老师点评)n 边形沿一个顶点的对角线添加(n －3)条木棍后就具有稳定性．活动2 巩固练习(学生独学)1．下列实际情景运用了三角形稳定性的是( C ) A ．人能直立在地面上 B ．校门口的自动伸缩栅栏门 C ．古建筑中的三角形屋架D ．三轮车能在地面上运动而不会倒2．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M 、N 重合，过角尺顶点C 作射线OC ．由做法得△MOC ≌△NOC 的依据是SSS.3．如图，AC 与BD 交于点O ，AD ＝CB ，E 、F 是BD 上两点，且AE ＝CF ，DE ＝BF . 求证：(1)∠D ＝∠B ； (2)AE ∥CF .证明：(1)在△ADE 和△CBF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝CF ，AD ＝BC ，DE ＝BF ，所以△ADE ≌△CBF (SSS)， 所以∠D ＝∠B ． (2)因为△ADE ≌△CBF ， 所以∠AED ＝∠CFB ．因为∠AED ＋∠AEO ＝180°，∠CFB ＋∠CFO ＝180°， 所以∠AEO ＝∠CFO ， 所以AE ∥CF .环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．“边边边(SSS)”：三边分别相等的两个三角形全等． 2．三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性．练习设计请完成本课时对应练习！第2课时 “角边角(ASA)”和“角角边(AAS)”教学目标一、基本目标1．掌握三角形全等的“ASA”“AAS”条件，并会进行简单的应用．2．经历探索三角形全等“两角一边”的过程，体会通过操作、归纳获得数学结论的趣味． 二、重难点目标 【教学重点】应用三角形全等的“ASA”“AAS”条件． 【教学难点】探索三角形全等条件“两角一边”．教学过程环节1 自学提纲，生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P100～P101的内容，完成下面练习． 【3 min 反馈】1．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA ”．通常写成下面的格式：在△ABC 与△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，所以△ABC ≌△DEF .2．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS ”．通常写成下面的格式：在△ABC 与△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，所以△ABC ≌△DEF .3．能确定△ABC ≌△DEF 的条件是( D ) A ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠A ＝∠E B ．AB ＝DE ，BC ＝EF ，∠C ＝∠E C ．∠A ＝∠E ，AB ＝EF ，∠B ＝∠D D ．∠A ＝∠D ，AB ＝DE ，∠B ＝∠E4．如图，已知点F 、E 分别在AB 、AC 上，且AE ＝AF ，请你补充一个条件：∠B ＝∠C ，使得△ABE ≌△ACF .(只需填写一种情况即可)教师点拨：此题答案不唯一，还可以填AB ＝AC 或∠AEB ＝∠AFC ． 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，已知AD ∥BC ，BE ∥DF ，AE ＝CF ，求证：△ADF ≌△CBE .【互动探索】(引发学生思考)回忆我们学过的判定三角形全等的条件，结合已知中的平行线段，可考虑利用“ASA ”证明△ADF ≌△CBE .【证明】因为AD ∥BC ，BE ∥DF ， 所以∠A ＝∠C ，∠DF A ＝∠BEC ． 因为AE ＝CF ，所以AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE . 在△ADF 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠C ，AF ＝CE ，∠DF A ＝∠BEC ，所以△ADF ≌△CBE (ASA)．【互动总结】(学生总结，老师点评)在“ASA ”中，包含“边”和“角”两种元素，是两角夹一边而不是两角及一角的对边对应相等，应用时要注意区分．在“ASA ”中，“边”必须是“两角的夹边”．【例2】如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，AD 与BE 交于点F .若BF ＝AC ，求证：△ADC ≌△BDF .【互动探索】(引发学生思考)观察图形，要证△ADC ≌△BDF ，只需∠DAC ＝∠DBF 即可．由在Rt △ADC 与Rt △BDF 中，利用等角的余角相等即可得∠DAC ＝∠DBF .【证明】因为AD ⊥BC ，BE ⊥AC ， 所以∠ADC ＝∠BDF ＝∠BEA ＝∠BEC ＝90°. 又因为∠AFE ＝∠BFD ， 所以∠DAC ＝∠DBF .在△ADC 和△BDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAC ＝∠DBF ，∠ADC ＝∠BDF ，AC ＝BF ，所以△ADC ≌△BDF (AAS)．【互动总结】(学生总结，老师点评)在解决三角形全等的问题时，要注意挖掘题中的隐含条件，如：对顶角、公共边、公共角等．活动2 巩固练习(学生独学)1．完成教材P102“习题4.7”第1～3题． 略2．如图，点B 在线段AD 上，BC ∥DE ，AB ＝ED ，∠A ＝∠E .求证：BC ＝DB ．证明：因为BC ∥DE ， 所以∠ABC ＝∠EDB ．在△ABC 和△EDB 中，⎩⎨⎧∠A ＝∠E ，AB ＝ED ，∠ABC ＝∠EDB ，所以△ABC ≌△EDB (ASA)， 所以BC ＝BD ．环节3 课堂小结，当堂达标 (学生总结，老师点评)1．“角边角(ASA)”：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等．2．“角角边(AAS)”：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．练习设计请完成本课时对应练习！第3课时“边角边(SAS)”教学目标一、基本目标1．经历画图比较，得出判定三角形全等的“SAS”条件．2．能够利用“SAS”判定两个三角形全等并会用数学语言说明理由．3．在探索三角形全等及其应用的过程中，能够进行有条理地思考并进行简单推理．二、重难点目标【教学重点】通过画图比较，得出“SAS”结论的过程及应用．【教学难点】探索“边边角”能否用于判定全等．教学过程环节1自学提纲，生成问题【5 min阅读】阅读教材P102～P104的内容，完成下面练习．【3 min反馈】1．(1)两边及夹角，三角形两边分别为2.5 cm,3.5 cm，它们所夹的角为40°，你能画出这个三角形吗？你画的三角形与同桌画的一定全等吗？(2)以2.5 cm,3.5 cm为三角形的两边，长度为2.5 cm的边所对的角为40°，情况又怎样？动手画一画，你发现了什么？解：(1)与同桌画的是全等的(如图1)．(2)与同桌画的不一定全等(如图2)．图1图2总结：(1)两边及其一边所对的角对应相等，两个三角形不一定全等；(2)三角形全等的判定方法4：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．通常写成下面的格式：在△ABC 与△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF ，所以△ABC ≌△DEF .2．如图，已知BD ＝CD ，要根据“SAS”判定△ABD ≌△ACD ，则还需添加的条件是∠ADB ＝∠ADC .环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD ＝BF ，AE ＝BC ，且AE ∥BC ．求证：△AEF ≌△BCD ．【互动探索】(引发学生思考)由题意可知，如果∠A ＝∠B 就可证△AEF ≌△BCD ．由AE ∥BC 可得∠A ＝∠B ．【证明】因为AE ∥BC ，所以∠A ＝∠B ．因为AD ＝BF ，所以AD ＋DF ＝DF ＋FB ，即AF ＝BD ． 在△AEF 和△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝BC ，∠A ＝∠B ，AF ＝BD ，所以△AEF ≌△BCD (SAS)．【互动总结】(学生总结，老师点评)判定两个三角形全等时，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．【例2】如图，BC ∥EF ，BC ＝BE ，AB ＝FB ，∠1＝∠2，若∠1＝60°，求∠C 的度数．【互动探索】(引发学生思考)已知两组边对应相等，可考虑证明△ABC ≌△FBE ，从而得出∠C ＝∠BEF .又由BC ∥EF 可得∠BEF ＝∠1，进而解决问题．【解答】因为∠1＝∠2，所以∠1＋∠ABE ＝∠2＋∠ABE ，即∠ABC ＝∠FBE . 在△ABC 和△FBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝BE ，∠ABC ＝∠FBE ，AB ＝FB ，所以△ABC ≌△FBE (SAS)， 所以∠C ＝∠BEF . 又因为BC ∥EF ，所以∠C ＝∠BEF ＝∠1＝60°.【互动总结】(学生总结，老师点评)(1)全等三角形是证明线段和角相等的重要工具；(2)学会挖掘题中的已知条件，如“公共边”“公共角”等．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，欲证△ABD ≌△ACE ，可补充条件( A )A ．∠1＝∠2B ．∠B ＝∠C C ．∠D ＝∠ED ．∠BAE ＝∠CAD2．下列条件中，不能证明△ABC ≌△DEF 的是( C )A ．AB ＝DE ，∠B ＝∠E ，BC ＝EF B ．AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AC ＝DF C ．BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，AC ＝DF D ．BC ＝EF ，∠C ＝∠F ，AC ＝DF3．如图，已知AB ＝AD ，若AC 平分∠BAD ，问AC 是否平分∠BCD ？为什么？解：AC 平分∠BCD ．理由如下：因为AC 平分∠BAD ，所以∠BAC ＝∠DAC ．在△ABC 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AB ＝AD ，∠BAC ＝∠DAC ，AC ＝AC ，所以△ABC ≌ADC (SAS)，所以∠ACB ＝∠ACD ，所以AC 平分∠BCD ．活动3 拓展延伸(学生对学)【例3】如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连结AE 、CG .求证：(1)AE ＝CG ；(2)AE ⊥CG .【互动探索】(1)观察图形，证明△ADE ≌△CDG ，即可得出AE ＝CG ；(2)结合全等三角形的性质和正方形的性质即可得AE ⊥CG .【证明】(1)因为四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，所以AD ＝CD ，GD ＝ED ，∠CDA ＝∠GDE ＝90°.因为∠CDG ＝90°＋∠ADG ，∠ADE ＝90°＋∠ADG ，所以∠CDG ＝∠ADE .在△ADE 和△CDG 中，⎩⎪⎨⎪⎧ AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDG ，DE ＝GD ，所以△ADE ≌△CDG (SAS)，所以AE ＝CG .(2)设AE 与DG 相交于点M ，与CG 相交于点N .由(1)得△ADE ≌△CDG ，所以∠CGD ＝∠AED ．因为∠GMN ＝∠DME ，∠DEM ＋∠DME ＝90°，所以∠CGD ＋∠GMN ＝90°，所以∠GNM ＝90°，所以AE ⊥CG .【互动总结】(学生总结，老师点评)正方形的四条边相等，四个角都等于90°，利用正方形的性质结合全等三角形的判定与性质即可解决问题．环节3课堂小结，当堂达标(学生总结，老师点评)1．“边角边(SAS)”：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等．2．利用全等三角形的判定和性质可以证明角或线段相等．练习设计请完成本课时对应练习！。
北师大版七年级数学下册教学课件4.3探索三角形全等的条件——角边角和角角边
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
仿例2.已知：如图,在△MPN中,H是高MQ和NR的交点,且MQ＝NQ. 求证：HN＝PM.
解：∵MQ和NR是高, ∴∠MRN＝∠MQP＝90°. ∴∠PMQ＋∠P＝∠P＋∠PNR, ∴∠PMQ＝∠PNR. ∵MQ＝NQ, ∴△MQP≌△NQH. ∴HN＝PM.
练习
活动2 合作探究1 范例1.如图,AD∥BC, BE∥DF, AE＝CF,试说明：△ADF≌△CBF.
证明：∵AD∥BC, BE∥DF, ∴∠A＝∠C,∠DFE＝∠BEC. ∵AE＝CF, ∴AE＋EF＝CF＋EF,即AF＝CE.
∠A＝∠C，
在△ADF和△CBE中,∵AF＝CE，
∠DFA＝∠BEC，
阅读教材P100—101,完成下列问题：
∴△ABC≌△A′B′C′(ASA).
所以AB=A'B'（全等三角形对应边相等），∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形对应角相等）.
③∠FAN＝∠EAM；
在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69° ，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么这两个三角形（ ）
练习
3. 如图，已知∠ACB=∠DBC，∠ABC=∠CDB，判别下面的两个三角形
是否全等，并说明理由.
A
不全等，因为BC虽然是公共边，但
不是对应边.
C B
D
练习
4.如图∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么应补充一个条件 △ABC≌△DEF （写出一个即可）.
AB=DE可以吗？×
AB∥DE
∠B=∠E （ASA）
掌解握：三 因解角为形△：全AB等因C条≌△为件A“′△BA′CSA′A，”B“ACAS”≌,并能△应A用′它B们′C来′判，定两个三角形是否全等.
北师大版数学七年级下册4.3.3探索三角形全等的条件优秀教学案例
在教学设计上，我遵循由浅入深、循序渐进的原则，将教学内容分为三个部分：一是回顾三角形的基本概念和性质，为学习三角形全等奠定基础；二是通过实物模型和几何画板软件，引导学生发现三角形全等的条件；三是运用三角形全等的判定方法解决实际问题，巩固所学知识。
2.通过对三角形全等条件的探索，使学生加深对三角形性质的理解，提高他们的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.培养学生运用数学知识解决生活中的问题，提高他们的实践能力。
（二）过程与方法
1.引导学生通过观察、操作、交流和思考，发现三角形全等的条件，培养他们的探究精神和合作能力。
2.利用实物模型、几何画板软件等教学辅助工具，直观地展示三角形全等的判定过程，提高学生的空间想象力。
2.通过归纳总结，使学生明确三角形全等的重要性和应用价值。
3.强调三角形全等在实际生活中的应用，激发学生学习的兴趣和积极性。
（五）作业小结
1.布置具有针对性、层次性的作业，让学生巩固所学知识，提高他们的实践能力。
2.要求学生在作业中运用三角形全等的判定方法解决问题，培养他们的应用能力。
3.鼓励学生对作业进行自我检查和反思，及时发现自身的不足，制定改进措施。
3.教师对学生的学习过程和结果进行综合评价，关注他们的进步和成长，激发他们的学习动力。
在教学过程中，我将关注学生的个体差异，充分尊重他们的独立思考和探究精神。通过启发式教学和小组合作学习，激发学生的思维，培养他们的合作精神和团队意识。同时，我注重联系生活实际，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发他们的学习兴趣和积极性。在教学过程中，我还将引导学生进行积极的反思与评价，培养他们自主学习的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ力和批判性思维。
北师大版七年级数学下册探索三角形全等的条件
BD=CE
10
练一练
如图，AB∥CD，AD∥BC，那么
AB=CD吗？为什么？
AD与BC呢？
D
Cபைடு நூலகம்
A
B
重要思路：两直线平行，可以找到等角.
11
练一练
如图，D在AB上，DF交AC于点E，DE＝FE， FC∥AB，若AB＝4，CF＝3， 则BD的长是( ) A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
D
9
练一练 如图，AD=AE，∠B=∠C，
请证明：BD=CE.
D B
A 证明:∵在△ABE和△ACD中，
∠B=∠C （已知）
E
∠A=∠A （公共角）
AE=AD （已知）
C ∴ △ABE≌△ACD（AAS）
∴ BD=CE （全等三角形对应边相等）
不是三角 形的边 ∴ AD=AE（全等三角形对应边相等）
北师大版七年级下册
第四章 三角形
1
复习
两个三角形全等的判定方法1：
三边对应相等的两个三角形全等．简写为“边边边”或“SSS”.
用符号表达：
指明范围
A
在△ABC和△A′B′C′中，
三个条件
AB＝A′B′， AC＝A′C′，BC＝B′C′
B
∴△ABC≌△A′B′C′ (SSS)
写出结论
C A'
B'
C'
∴ △AOC≌△BOD ( ASA )
8
练一练 图中的两个三角形全等吗?
请说明理由.
A
在△ABC和△DBC中，
110
_∠__A_B__C_=_∠__DBC（已知）B ∠__A__=_∠__D__（__已知）
北师大版七年级下册数学《探索三角形全等的条件》三角形研讨说课复习课件巩固
解：因为AB∥DE,
所以∠B＝∠DEF, 因为BE＝CF, 所以BC＝EF. 因为∠ACB＝∠F, 所以△ABC≌△DEF .（ASA ）
探究新知
知识点 2 三角形全等的条件（“角角边” ）
如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边， 情况会怎样呢？你能将它转化为具体的条件吗？ 若三角形的两个内角分别是60°和40°，且40°所对的边 为2cm，你能画出这个三角形吗?
所以∠BAC=∠DAC. 在△ABC和△ADC中，
∠ABD=∠A'B'D'（已证），AB=AB（已证），
所以△ABD≌△A'B'D'（AAS）.所以AD=A'D'.
课堂小结
内容
角边角和 角角边
内容 应用
有两角及夹边对应相等的两个 三角形全等（简写成 “ASA”)
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的 两个三角形全等，（简写成 “AAS ” ） 为证明线段和角相等提供了新的证法
探究新知
素养考点 1利用“角边角”说明三角形全等
例 已知：∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝ ∠DBC，
试说明：△ABC≌△DCB．
A
D
解： 在△ABC和△DCB中，
∠ABC＝∠DCB(已知），
BC＝CB（公共边）， B
C
∠ACB＝∠DBC（已知），
所以△ABC≌△DCB（ASA ）.
巩固练习
变式训练
中全等的三角形有 ( C )
A．1对
C
B．2对
C．3对
D．4对
连接中考