2022年暑期奥数教案 五升六《1 因数和倍数》教案(打印版)
小学五年级数学《因数和倍数》授课教案
小学五年级数学《因数和倍数》授课教案授课教案一、教学目标1.知识目标：掌握因数和倍数的概念；能够正确计算因数和倍数。
2.技能目标：能够运用因数和倍数的知识解决实际问题。
3.情感目标：培养学生的数学兴趣和自信心，促进学生的创新思维和团队协作。
二、教学重点1.理解因数和倍数的概念。
2.掌握计算因数和倍数的方法。
三、教学难点1.运用因数和倍数的知识解决实际问题。
2.提高学生的口算和思维能力。
四、教学过程1.导入（5分钟）教师出示一张数学策略图，学生根据提示说出与因数和倍数相关的词汇，如数列、质数、倍数等，从而引出本课主题。
2.概念讲解（10分钟）解释因数和倍数的概念，并以具体的例子进行说明，例如：因数：一个数能够整除另一个数，则前一个数是后一个数的因数。
倍数：一个数是另一个数的倍数，则后一个数能被前一个数整除。
3.计算方法（15分钟）以一个例子进行讲解，如：求 36 的因数1.× 36=36 2 × 18=36 3 × 12=36 4 × 9=36 6× 6=36因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36计算 18 的倍数18 × 1=1818 × 2=36 18 × 3=54 18 × 4=72 18 × 5=90计算得出，18 的倍数有：18，36，54，72，904. 练习（20分钟）让学生根据所学知识，完成一些因数和倍数的计算题。
例如：1.求 12 的因数。
2.计算 30 的倍数。
3.4 和 5 的最小公倍数是多少？4.6 和 8 的最大公因数是多少？5.知识拓展（10分钟）引导学生进一步思考，例如：1.数学中有哪些常用的倍数？2.如何求一个数的最大公因数和最小公倍数？6. 课堂总结（5分钟）教师针对本课教学内容进行总结，概括学习方法和技巧，重申学生应牢记的重点和难点，为下一堂课做好铺垫。
五年级因数与倍数教案
五年级因数与倍数教案教案标题：五年级因数与倍数教案教案目标：1. 学生能够理解并正确使用因数和倍数的概念。
2. 学生能够找到一个数的所有因数和倍数。
3. 学生能够运用因数和倍数的概念解决实际问题。
教学重点：1. 因数的概念及其性质。
2. 倍数的概念及其性质。
3. 因数和倍数之间的关系。
教学难点：1. 运用因数和倍数的概念解决实际问题。
2. 培养学生的逻辑思维和推理能力。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、黑板、白板笔、教学素材。
2. 学生准备：教材、练习册、铅笔、橡皮擦。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师出示一个数，例如24，并询问学生24的因数有哪些。
2. 学生回答后，教师引导学生总结因数的概念，并解释因数的性质。
二、概念讲解（15分钟）1. 教师使用教学课件或黑板，通过示意图和具体例子，向学生介绍因数和倍数的概念。
2. 教师讲解因数和倍数的定义，并与学生一起讨论因数和倍数的特点和性质。
三、因数与倍数的关系（10分钟）1. 教师出示一个数，例如36，并引导学生找出36的所有因数和倍数。
2. 学生回答后，教师与学生一起总结因数和倍数之间的关系。
四、练习与巩固（15分钟）1. 学生个人完成练习册上的相关练习题，巩固因数和倍数的概念和运用能力。
2. 学生互相交流答案，并与教师一起讨论解题方法和思路。
五、拓展与应用（15分钟）1. 教师设计一些实际问题，要求学生运用因数和倍数的概念解决。
2. 学生个人或小组完成问题，并与教师和同学分享解题思路和答案。
六、总结与反思（5分钟）1. 教师与学生一起总结本节课所学的知识点和技能。
2. 学生回答教师提出的反思问题，如“你觉得因数和倍数的概念难吗？为什么？”教学延伸：1. 学生可以自主寻找更多的数，找出其因数和倍数。
2. 学生可以设计更多的实际问题，运用因数和倍数的概念解决。
教学评价：1. 教师观察学生在课堂上的表现，包括回答问题的准确性和思维的活跃程度。
2. 教师检查学生完成的练习册和问题解答，评价学生对因数和倍数的理解和应用能力。
《因数与倍数》数学教案设计
《因数与倍数》數學教案設計教案名称：《因数与倍数》一、教学目标：1. 学生能够理解并掌握因数和倍数的概念，以及它们之间的关系。
2. 学生能够运用所学知识解决实际问题，提高数学思维能力。
3. 通过探究活动，激发学生的学习兴趣，培养他们的合作意识。
二、教学内容：1. 因数和倍数的基本概念2. 找出一个数的因数和倍数的方法3. 探索因数和倍数的关系三、教学过程：1. 导入新课：教师可以通过一些生活中的例子，如“把8个苹果平均分给4个小朋友，每个小朋友可以得到几个？”引出“倍数”的概念。
然后，再引导学生思考：“如果我把这些苹果平均分给2个小朋友，那么每个小朋友可以得到几个呢？”引出“因数”的概念。
2. 新课讲解：(1) 讲解因数和倍数的概念：如果一个整数能被另一个整数整除，那么这个整数就是另一个整数的因数；反过来，这个整数就是另一个整数的倍数。
(2) 讲解找出一个数的因数和倍数的方法：例如，找出6的因数和倍数，我们可以通过列举法（即从1开始一直列举到该数本身），得出6的因数有1、2、3、6，倍数有6、12、18、24……(3) 探索因数和倍数的关系：引导学生发现一个数的因数的个数是有限的，而倍数的个数是无限的。
3. 实践操作：组织学生进行小组活动，让他们自己动手找出一些数的因数和倍数，并在全班分享他们的结果。
4. 巩固练习：设计一些题目让学生做，以检验他们是否真正掌握了因数和倍数的概念及找因数和倍数的方法。
四、作业布置：设计一些关于因数和倍数的习题，让学生回家独立完成，以此巩固他们在课堂上学到的知识。
五、教学反思：通过这节课的教学，我发现大部分学生都能够理解和掌握因数和倍数的概念，但仍有部分学生对找到一个数的因数和倍数的方法感到困惑。
因此，在以后的教学中，我需要更加注重学生的实践操作，让他们通过自己的实践来加深对知识的理解。
《倍数和因数》教学教案
《倍数和因数》教学教案第一章：倍数和因数的概念介绍1.1 导入：引入倍数和因数的概念，让学生初步了解倍数和因数的关系。
1.2 教学内容：讲解倍数和因数的定义，通过实例让学生理解倍数和因数的概念。
1.3 教学目标：使学生理解倍数和因数的概念，能够区分倍数和因数，并能运用倍数和因数的性质进行简单的计算。
第二章：倍数的性质2.1 导入：引导学生通过观察和思考，发现倍数的性质。
2.2 教学内容：讲解倍数的性质，通过实例让学生理解倍数的性质，如一个数的倍数是无限的，最小的倍数是它本身等。
2.3 教学目标：使学生理解倍数的性质，能够运用倍数的性质进行计算和解决问题。
第三章：因数的性质3.1 导入：引导学生通过观察和思考，发现因数的性质。
3.2 教学内容：讲解因数的性质，通过实例让学生理解因数的性质，如一个数的因数是有限的，最大的因数是它本身等。
3.3 教学目标：使学生理解因数的性质，能够运用因数的性质进行计算和解决问题。
第四章：倍数和因数的关系4.1 导入：引导学生通过观察和思考，发现倍数和因数的关系。
4.2 教学内容：讲解倍数和因数的关系，通过实例让学生理解倍数和因数的关系，如一个数的倍数的个数是无限的，但它的因数的个数是有限的等。
4.3 教学目标：使学生理解倍数和因数的关系，能够运用倍数和因数的关系进行计算和解决问题。
第五章：倍数和因数在实际问题中的应用5.1 导入：引入实际问题，引导学生运用倍数和因数的关系进行解决。
5.2 教学内容：讲解倍数和因数在实际问题中的应用，通过实例让学生理解倍数和因数在实际问题中的作用，如计算一个数的最小公倍数和最大公约数等。
5.3 教学目标：使学生能够运用倍数和因数的关系解决实际问题，能够计算一个数的最小公倍数和最大公约数。
第六章：最小公倍数和最大公约数的概念6.1 导入：通过具体例子，引导学生思考两个数的最小公倍数和最大公约数的概念。
6.2 教学内容：讲解最小公倍数和最大公约数的定义，通过实例让学生理解最小公倍数和最大公约数的概念。
五年级数学教案《因数和倍数》
五年级数学教案《因数和倍数》五年级数学教案《因数和倍数》五年级数学教案《因数和倍数》1一、教学内容教材第30～51页的“例1～例12”以及练习五～七。
二、教材分析本单元主要教学因数和倍数，以及公因数和公倍数等内容。
本单元内容大体分三段安排：第一段，认识因数和倍数，学习在1～100的自然数中有序地找出10以内某个数的所有倍数，以及100以内某个数的所有因数；探索2、5、和3的倍数的特征，学习判断一个数是不是2、5或3的倍数，同时认识奇数和偶数。
第二段，认识质数、合数和质因数，学习把一个合数分解质因数。
第三段，认识公因数和最大公因数，探索求两个数的最大公因数的方法；认识公倍数和最小公倍数，探索求两个数的最小公倍数的方法。
最后，安排了全单元内容的整理与练习。
三、学情分析本单元内容是在学生已经认识了亿以内的数，以及学习了整数四则运算的基础上进行教学的。
学习本单元内容，又为后续学习分数的基本性质、约分和通分，以及分数四则运算打下基础。
四、教学目标1.使学生经历探索非0自然数的有关特征的活动，知道因数和倍数的含义；能找出100以内某个自然数的所有因数，能在1～100的自然数中找出10以内某个数的所有倍数；知道2、5和3的倍数的特征，能判断一个数是不是2、5或3的倍数；了解奇数和偶数、质数和合数的含义，会分解质因数。
2.使学生通过具体的操作和交流活动，认识公因数与最大公因数、公倍数与最小公倍数；会求100以内两个数的最大公因数和10以内两个数的最小公倍数。
3.使学生在探索和发现数学知识的过程中，积累数学活动的经验，培养观察、比较、分析和归纳的能力，感受一些简单的数学思想，进一步发展数感。
4.使学生在参与学习活动的过程中，培养主动与他人合作交流的意识，体验数学学习活动的乐趣，增强对数学学习的自信心。
五、教学重、难点教学重点：掌握倍数和倍数、质数和合数、最大公因数和最小公倍数等概念的联系和区别，掌握求两个数最大公因数和最小公倍数的基本方法。
小学五年级上册数学《因数和倍数》教案
小学五年级上册数学《因数和倍数》教案第一篇：小学五年级上册数学《因数和倍数》教案教材分析：以乘、除法知识拓展方式，引入对因数与倍数知识的学习。
有利于沟通新旧知识之间的联系，分散难点，便于学生理解和掌握知识。
教学目标：1、在具体的情境中，借助乘法算式认识因数和倍数。
2、掌握求一个数的因数和倍数的方法，知道一个数的因数及倍数的特点。
重点难点：1、以学生的贴画为素材，通过不同的贴法引出不同的乘法算式，以乘法算式引出因数和倍数的意义。
2、引导学生自主找一个数的因数，以此加深对因数的理解。
3、引导学生自主找一个数的倍数，以此加深对倍数的理解。
教学要点：1、找一个数的因数时，一定要放手，且给学生足够的时间让他们去同位之间、小组内交流，如何能快速且没有遗漏的找全。
2、及时的练习巩固也是很有必要的，在多个练习的基础之上让学生发现一个数因数的特点。
3、找一个数的因数也反映出学生的口算水平的高低。
4、找一个数的倍数时，以找2、3、5的倍数为主，让学生发现一个数倍数的特征。
第二篇：小学数学北师版五年级上册《倍数和因数》教案小学数学北师版五年级上册倍数和因数一、大家好！今天，我说课的题目是《倍数和因数》《倍数和因数》是九年制义务教育教材人教版小学数学五年级下册第二单元第一小节的内容。
下面我将从以下教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、说教发、教学程序等方面来展开我的说课：教材分析：《倍数和因数》是九年制义务教育教材人教版小学数学五年级下册第二单元的第一节的内容。
“倍数和因数”这堂课的内容，主要包括倍数和因数的含义以及找一个数的倍数和因数的方法。
它是学习2、5和3的倍数特征以及学习素数和合数的重要基础，又是今后进一步学习公倍数和公因数、约分和通分，以及分数四则运算的重要基础。
教材充分利用学生已有的知识，引出倍数和因数的概念，探索找一个数的倍数和因数的方法。
二、学情分析：“倍数和因数”建立在学生已经掌握了许多自然数的知识之后，五年级数学水平比较好，在教学中我争取充分调动学生主观能动性，鼓励自主探索。
《倍数与因数》教案
《倍数与因数》教案一、教学目标1.理解倍数和因数的概念，能够准确地解释它们之间的关系；2.能够找出一个数的所有因数，并判断一个数是否是另一个数的因数；3.能够找出一个数的所有倍数，并判断一个数是否是另一个数的倍数；4.综合运用倍数和因数的概念，解决实际问题。
二、教学内容1.倍数的概念：–介绍倍数的定义，即一个数是另一个数的倍数，当且仅当它能够被另一个数整除；–通过实例引导学生理解和运用倍数的概念，如找出10的倍数、判断某个数是否是另一个数的倍数等。
2.因数的概念：–介绍因数的定义，即一个数能够被另一个数整除，那么这个数就是另一个数的因数；–通过实例引导学生理解和运用因数的概念，如找出某个数的所有因数、判断某个数是否是另一个数的因数等。
3.倍数与因数之间的关系：–通过比较倍数和因数的定义，引导学生理解倍数与因数之间的关系，即一个数的倍数一定包含这个数的所有因数。
4.综合运用：–给出一些实际问题，要求学生运用倍数和因数的概念进行解答，如找出某个数的最大公约数、最小公倍数等。
1.导入（5分钟）–利用示例问题引发学生对倍数和因数的思考，如“如何判断一个数是否是另一个数的倍数？”、“如何找出一个数的所有因数？”等。
2.讲授概念（15分钟）–分别介绍倍数和因数的概念，并通过实际例子进行解释和演示。
3.练习与巩固（20分钟）–分组进行练习，要求学生找出某个数的所有因数，并判断一个数是否是另一个数的倍数。
–老师巡回指导，纠正学生可能存在的错误并进行讲解。
4.探究与拓展（20分钟）–引导学生思考倍数与因数之间的关系，并通过实例进行解释和演示。
–提出实际问题，要求学生运用倍数与因数的概念进行解答。
5.综合运用与拓展（20分钟）–给出一些与倍数和因数相关的综合问题，要求学生通过分析问题、运用概念解决问题。
6.归纳总结（10分钟）–对学生进行归纳总结，强调倍数与因数的重要性以及在实际问题中的应用。
四、教学评估1.教师观察：观察学生在练习中的表现，包括找出因数、判断倍数等能力的表现情况。
《因数与倍数》教案
1.理论介绍：首先，我们要了解因数与倍数的基本概念。因数是能够整除一个数的数，而倍数是一个数的整数倍。它们在数学运算和问题解决中起着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。例如，找出24的所有因数，并计算12的的前几个倍数。这个案例展示了因数与倍数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
（2）求一个数的倍数：难点在于如何列出有规律的倍数序列。
方法：通过理解倍数的定义，以一个数为基数，依次乘以自然数，得到它的倍数序列。
（3）判断质数与合数：难点在于如何避免遗漏地找出一个数的所有因数，从而正确判断它是质数还是合数。
方法：通过上述求因数的方法，如果找到一个数的因数超过两个，即可判断为合数。
五、教学反思
在《因数与倍数》这节课的教学过程中，我发现学生们对于因数和倍数的概念掌握得比较快，但在具体的求解和运用上还存在一些问题。首先，我在讲授因数的求解方法时，可能需要更加细化步骤，让学生们能够更清晰地理解和操作。例如，我可以用更多的例子来展示如何从1到平方根逐个试除，以便找出所有的因数。
在讲解质数和合数的判断时，我注意到部分学生容易混淆，特别是在处理一些特殊的数时，如2和3这样的小质数。我考虑在下一节课中，通过设计一些互动的小游戏，让学生在实践中加深对质数和合数的认识。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“因数与倍数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
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《数学思维训练教程》教案教材版本：实验版 . 学校： .第一课时第二课时292÷〔2÷0.5〕=73〔桶〕280÷〔2.5÷0.5〕=56〔桶〕答：“江海牌〞是红色的，“前进牌〞是黄色的，“乐士牌〞是白色的。
〔五〕教学大胆闯关5☆5.〔选做题〕如果六位数2021□□是105的倍数，那么这个六位数是多少？1.指名同学读题目。
2.分组讨论。
师：你获得了那些信息？你能将这个数是105的倍数进行转化吗？怎样转化？生：这道题和例1的拓展提高类似。
可以先对105分解质因数105=3×5×7,3、5与7彼此互质，所以这个六位数能同时被3、5和7整除。
3.独立完成。
答案：结合3、5和7的倍数特征可知这个六位数为202175。
四、拓展延伸〔一〕拓展延伸11.两个数的最大公因数是60，最小公倍数是720，其中一个数是180，另一个数是多少？答案：解：设另一个数为x。
题干“最小公倍数是720〞闪一闪变蓝色后，出示文字：[180，x]＝60×3×＝720解得：x＝240答：另一个数是240。
〔二〕拓展延伸2课本及练习册答案自主探究答案：例题1：12180 12480 12780 12285 12585 12885例题2：不对〔不是4的倍数〕例题3: 367.92元例题4: 31100913例题5: 159 160 161大胆闯关：1．第二筐2．1450203．ABABAB4．红色的是“江海牌〞，黄色的是“前进牌〞，白色的是“乐士牌〞。
5．202175练习册：1、根据题意可知，四位数8AAB是2,3,5的公倍数，所以B＝0,；且它是3的倍数，所以8＋A＋A＝8＋2A的和是3的倍数，经验证，A＝2,5,8满足条件。
所以这个四位数可能是：8220或8550或8880。
2、1～100的和－9的倍数的和＝不是9的倍数的数的和1～100的和：1＋2＋3＋…＋100＝50509的倍数的和〔等产数列求和〕：9＋18＋27＋…＋99＝〔9＋99〕×11÷2＝594 不是9的倍数的数的和：5050-594=44563、〔1〕填入第1个数字使得1234□是6的倍数，6＝2×3,且〔2,3〕＝1所以1234□是2，3的公倍数，□中可能是2或8；〔2〕填入第2个数字使得1234□是10的倍数，10＝2×5,且〔2,5〕＝1所以1234□是2，5的公倍数，□中只能是0；〔3〕填入第3个数字使得1234□是15的倍数，15＝3×5,且〔3,5〕＝1所以1234□是3，5的公倍数，□中填5；李老师先后填入的3个数字的和可能是：2＋0＋5＝7或8＋0＋5＝134、因为7A是6的倍数，所以A＝2或A＝8假设A＝2，那么8A87A为82872,8＋2＋8＋7＋2＝27，满足条件；假设A＝8，那么8A87A为88878,8＋8＋8＋7＋8＝39，不满足条件；所以这个五位数是82872。
5、根据“一个顾客买的货物的重量是另一位顾客的2倍〞可知，两位顾客买走的质量之和是3的倍数。
剩下的情况有五种，对应的买走的质量和也是五种，其中只有买走质量和是3的倍数的满足题意。
直接求几个数的和比较麻烦，计算“总质量－买走质量〞是3的倍数比较简单。
总质量：15＋19＋16＋18＋20＋31＝119119－15＝104，不满足条件； 119－19＝100，不满足条件；119－16＝103，不满足条件； 119－18＝101，不满足条件；119－20＝99，符合题意；119－31＝88，不满足条件。
所以剩下的一箱货物是20千克。
《数学思维训练教程》教案教材版本：实验版 . 学校： .第一课时第二课时〔二〕大胆闯关22. 门票价目表从门票价目表可以知道，门票分两种：个人票每人15元；满30人就可以购置团体票，团体票每人12元。
一个28人的旅游团，怎样购票最省钱呢？1.学生读题，获取信息。
2. 学生讨论交流。
师：现在只有28个人该怎么买票啊？大家都来说说你们自己是怎么想的？老师急需你们给老师出谋划策！生1：老师人数不够30人，只能买个人票！至少需要：15×28＝420〔元〕生2：买30张票的话，就可以当作12元/张的团体票来买了。
12×30＝360〔元〕，虽然张数多买了2张，但是每张票的单价却少了。
所以通过计算我们发现现在的总钱数比420元节省了60元钱。
3.学生独立完成。
答案：个人票：15×28=420〔元〕团体票：30×12=360〔元〕答：购置团体票更省钱。
4.拓展延伸。
师：相信大家现在都能明白怎么一回事了吧。
那老师再考考大家一下，如果50人的旅游团呢？怎么最省钱？给大家2分钟时间独立思考？第一个举手并答复正确的同学可以拿到一颗星。
生：〔思考并举手〕满30人就可以买团体票，那50个人都买12元/张的团体票，一共花去50×12＝600〔元〕钱。
师：这位同学反响真的很快。
大家掌声送给他。
〔三〕大胆闯关33. 小明骑在牛背上赶牛过河，共有甲乙丙丁四头牛，甲牛过河需1分钟，乙牛过河需2分钟，丙牛过河需5分钟，丁牛过河需6分钟，每次只能赶两头牛过河(包括所骑的一头)，那么小明把四头牛全部赶过河，最少要用多少分钟？1.复习师：这类问题应怎么考虑？生：要时间最少，一定要让时间比较接近的两头牛一起过河。
回来时骑最快的牛。
2.学生根据原那么设计方案。
师：你能设计出最省时间的方案吗？过河过程如下：小明骑着过河时间为1分钟和2分钟的两只牛先过河，然后其中一只牛把小明从河对面送回来，接着小明骑着过河时间为5分钟和6分钟的两只牛同时过河，再由已过河的三只牛中速度最快的一只把小明从河对面送回来，最后骑剩下的两只牛同时过桥。
3.学生独立完成。
时间：2＋1＋6＋2＋2＝13〔分钟〕过渡语：刚刚听同学们说的3题，我真正的感觉到同学的学习能力真的很强。
会学、会做，而且讲的都讲的那么好。
如果大家对学习能抱有像这样的热情，我们还怕有什么会学不好的吗？〔四〕大胆闯关4☆4.〔选做题〕如下列图，在公路上，每隔100千米有一个仓库，共有5个仓库。
1号仓库存有10吨货物，2号仓库存有20吨货物，5号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的。
现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，假设每吨货物运输一千米需0.5元运输费，那么最少要花费多少元运费才行？1.学生读题，获取信息。
师：题目要做什么？生：现在想把所有的货物集中存放在一个仓库里，要使花费最少。
库没有存粮。
现在要调整存放数，每个仓库存粮各20吨。
每吨粮运1千米需要6元，那么完成上述调运方案，最节省的方案运费需要多少元？1.学生读题，理解题意。
师：题目要做什么？生：现在要调整存放数，每个仓库存粮各20吨。
求最节省的方案运费。
师：怎样才能最节省运费？生：要想节省运费，应尽量少走路，把粮食运费相对较近的仓库。
2.学生小组讨论，找出最优方案。
答案：由D调给E15吨，A调给E5吨，A调给B15吨，A调给C10吨，这样会比较节省运费。
〔15×2+5×3+15×2+10×3〕×6=630〔元〕答：最节省的方案运费需要630元。
四、小结1.统筹安排好处：统筹安排可以让我们在生活中省时、省钱、省力。
2.省钱方案问题：科学列举出诸种方案，最后选择最优解。
3.手电筒过桥问题：要使时间尽可能短，那么传送手电筒的人过桥用时越短越好。
本讲教材及练习册答案：教材：探究类型1：买3张5人一组的团体票，1张儿童票；最少要花65元。
探究类型2：租6辆大车最廉价，租金为3000元。
探究类型3：甲组：赵〔18〕→钱〔20〕→王〔32〕乙组：孙〔23〕→李〔28〕最少要花200分钟。
〔注：此题解法多样，时间都为200分钟。
其中钱和孙、王和李的位置都可以调换〕。
探究类型4：17分大胆闯关：1.〔1〕方案一：1条/4人和 8条/6人方案二：4条/4人和 6条/6人方案三：7条/4人和 4条/6人方案四：10条/4人和 2条/6人方案五：13条/4人〔2〕方案一最节省只要70元。
2.购置团体票更省钱。
3.2＋1＋6＋2＋2＝13〔分〕4.全存在仓库1：0.5×20×100＋0.5×40×400＝9000〔元〕全存在仓库2：0.5×10×100＋0.5×40×300＝6500〔元〕全存在仓库3：0.5×10×200＋0.5×20×100＋0.5×40×200＝6000〔元〕全存在仓库4：0.5×10×300＋0.5×20×200＋0.5×40×100＝5500〔元〕全存在仓库5：0.5×10×400＋0.5×20×300＝5000〔元〕通过计算可知：全存在仓库5运费最少。
练习册：1.租5辆大车，1辆小车。
需要租金：900×5＋600×1＝5100〔元〕答：租5辆大车，1辆小车最合算，最少需要租金5100元。
2. 第一步：3分钟的灰马和4分钟的黑马先过河；第二步：3分钟的灰马回来；第三步：6分钟的白马和9分钟的棕马过河；第四步：4分钟的黑马回来；第五步：3分钟的灰马和4分钟的黑马过河。
所需时间4+3+9+4+4=24〔分〕3. 〔1〕45÷10＝4〔组〕……5〔人〕甲单位买4张10人一张的团体票，买5张个人票最省钱。
最少需要：4×30＋5×5＝145〔元〕答：甲单位最少需要145元。
〔2〕208÷10＝20〔组〕……8〔人〕买21张团体票。
需要：21×〔30－3〕＝567〔元〕答：乙单位买21张团体票，最少需要567元。
4.杭州的3吨鱼全部运到乙县，再从宁波运2吨的鱼到乙县，宁波剩下的4吨鱼全部运到甲县。
500×4＋500×3＋700×2=4900〔元〕。