江苏省淮安市淮阴中学2022高一数学上学期期末考试试题(含解析)

8.函数 的图象可能是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置排除选项即可．
【详解】函数 是奇函数，排除选项A，C；
当 时， ，对应点在x轴下方，排除B；
故选D．
【点睛】本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图象的常用方法．
【详解】画出函数 的图像如下图所示，由图可知 ，由于 ， 关于 对称，即 .所以 .
【点睛】本小题主要考查分段函数的图像与性质，考查指数函数和三角函数图像的画法，考查三角函数的对称性，属于中档题.
四、解答题:本大题共6题，第17题10分，第18~22题每题12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9.已知函数 ，不等式 的解集是
A B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分类讨论x的符号，根据函数的解析式可得函数的单调性和奇偶性，列出不等式，求得x的范围．
【详解】由题意，函数 满足 ，故 为偶函数．
当 时， 单调递增，
当 时， 单调递减，
故由不等式 ，故有 ，
即 ，求得 ，
故选：C．
【点睛】本题主要考查对数函数的性质，函数的单调性和奇偶性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和初等函数的单调性，合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档题．
∴ ，
∴ ，即 ，
∴10是函数 的一个周期，B对；
又∵ 是偶函数，且 ，
∴ ，
∴函数 是奇函数，A错；
∵ ，
，
又 ，
∴ ，故C对；
∵ 是偶函数，且 ，
∴ ，
，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴函数 的图象关于直线 对称，D对；
故选：BCD．
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性、周期性的判断，属于中档题．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分。不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）
先求出 ，再用两角差的正弦公式求出 ．
【详解】解：∵ ，∴ ，
又 ，∴ ，
∴
，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式，考查同角的三角函数关系，注意角的范围，考查整体思想，属于基础题．
15.已知函数 ，则 的对称中心是______.
【答案】
【解析】
【分析】
由 即可求出 的对称中心．
【详解】解：由 得 ，
17.已知集合A={x|x2-7x+6＜0}，B={x|4-t＜x＜t}，R为实数集.
（1）当t=4时，求A∪B及A∩∁RB；
（2）若A B=A，求实数t的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）先求出集合 ，再由 求出集合 ，求出 ，再根据交集、补集的定义求出 ， ；
（2）由 得 ，根据子集 定义求出参数的范围．
（2）方程 ；在 上有且只有一个解，求实数n的取值范围；
（3）是否存在实数m满足对任意x1∈[-1，1]，都存在x2∈R，使得 + +m（ - ）+1＞f（x2）成立．若存在，求m的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ， （2） 或 （3）存在，且m取值范围为
【解析】
【分析】
（1）函数 ， 的最小正周期为 ．可得 ，即可求解 的单调增区间．
（1）若矩形 是正方形，求 的值；
（2）为方便市民观赏绿地景观，从 点处向 修建两条观赏通道 和 （宽度不计），使 ， ，其中 依 而建，为让市民有更多时间观赏，希望 最长，试问：此时点 应在何处？说明你的理由.
【答案】（1）矩形 是正方形时， （2）当 是 的中点时， 最大
【解析】
试题分析：（1）因为四边形 是扇形的内接正方形，所以 ，注意到 ，代入前者就可以求出 .（2）由题设可由 ， ，利用两角差的正弦和辅助角公式把 化成 的形式，从而求出 的最大值.
【分析】
（1）将 两边平方，化简后可求得 的值.（2）利用（1）的结论，求得 以及 的值，代入夹角公式求得 与 夹角的余弦值.
【详解】（1）因为 ，
所以
即 ；
（2）因为 ，
所以 .
.
【点睛】本小题考查向量的运算，考查向量模的运算中常用的方法，即平方的方法，还考查了两个向量的夹角公式，属于中档题.
19.
11.若关于x的一元二次方程 有实数根 ，且 ，则下列结论中正确的说法是（ ）
A.当 时， B.
C.当 时， D.当 时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】
取 解一元二次方程可判断A，由根的判别式可判断B，由函数的图象可判断C、D．
【详解】解：当 时， ，∴ ，故A对；
方程 化为 ，
由方程有两个不等实根得 ，∴ ，故B对；
7.函数 的零点所在区间
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析】
通过计算 的函数，并判断符号，由零点存在性定理，即可得到答案．
【详解】由题意，可得函数在定义域上为增函数， ， ，
所以 ，根据零点存在性定理， 的零点所在区间为
故选B．
【点睛】本题考查了函数零点的判定定理的应用，其中解答中准确计算 的值，合理利用零点的存在定理是解答本题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．
13.已知向量 ， ，则 与 的夹角为______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用向量的夹角公式直接求值．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 与 的夹角为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查利用向量的数量积求向量的夹角，属于基础题．
14.已知 ，且 ，则 =______.
【答案】
【解析】
【分析】
已知 ．
（Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的值．
【答案】(Ⅰ) cos (Ⅱ)
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由二倍角公式求解即可；（Ⅱ）先求sin ，cos（ ），再配凑角sin =sin( )展开求解即可
【详解】（Ⅰ）∵cos
= ,又∵
∴ cos
（Ⅱ）由(Ⅰ)知：sin ＝
由 、 得 （ ）
cos（ ）=－
sin =sin( )＝sin( )cos －cos( )sin
2. 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由诱导公式以及特殊角所对应的三角函数值计算即可.
【详解】
【点睛】本题主要考查诱导公式，以及特殊角所对应的三角函数值，只需熟记公式即可解题，属于基础题型.
3.已知幂函数 过点 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
设幂函数 ，∵ 过点 ，∴ ，
∴ ，故选B.
4.已知角 的终边经过点 ，则 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接由三角函数的定义求值．
【详解】解：∵角 的终边经过点 ，
∴ ，
，
∴ ，
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，属于基础题．
5.下列函数中，即不是奇函数也不是偶函数的是
A. B.
C. D.
6.将函数 的图象向右平移 个单位长度得到 图象，则函数的解析式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．
【详解】由题意，将函数 的图象向右平移 个单位长度，
可得 .
故选C．
【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.
综上可得，存在m，可知m的取值范围是（ ， ）．
∴ ，
此时 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，牢记正弦、余弦、正切曲线是解题的关键，属于基础题．
16.函数 ，若方程 恰有三个不同的解，记为 ， ， ，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
画出函数 的图像，根据图像与 有三个不同的交点，判断出 的位置，由此求得 的取值范围.
【答案】B
【解析】
【分析】
对四个选项逐一分析，从而得出正确选项.
【详解】对于A选项， ，故函数为偶函数.对于C选项， ，故为奇函数.对于D选项，正切函数是奇函数，排除A,C,D三个选项，则B选项符合题意.对于B选项由 ，解得 ，定义域不关于原点对称，即不是奇函数也不是偶函数.故选B.
【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性的定义以及函数奇偶性的判断，属于基础题.
∵x1∈[﹣1，1]，
∴t∈[ ， ]，
可得t2+mt+5＞0在t∈[ ， ]上成立．
令g（t）＝t2+mt+5＞0，
其对称轴t
∵t∈[ ， ]上，
∴①当 时，即m≥3时，g（t）min＝g（ ） ，＝g（ ） 0，解得﹣3＜m＜3；
③当 ，即m≤﹣3时，g（t）min＝g（ ） 0，解得 m≤﹣3；
B. 10是函数 的一个周期
C. 对任意的 ，都有
D. 函数 的图象关于直线 对称
【答案】BCD
【解析】
【分析】
采用排除法，先根据已知推出函数 为奇函数，可判断A；根据 是偶函数及 推出 ，可判断B；再根据已知条件求出 、 ，可判断C；求出 ，说明 的图象关于直线 对称，可判断D．
【详解】解：∵函数 是偶函数，且 ，
解析：（1）在 中， ， ，在 中， ， 所以 ，因为矩形 是正方形， ，所以 ，所以 ，所以 ．