数学中的参数方程与曲线绘制技巧
第二讲：曲线的参数方程
1．第二讲：曲线的参数方程参数方程的概念1．参数方程的概念(1)定义：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t的函数：＝f （t ）＝g （t ）①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x ，y 的变数t 叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．(2)参数的意义：参数是联系变数x ，y 的桥梁，可以是有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数．2．参数方程与普通方程的区别与联系(1)区别：普通方程F (x ，y )＝0，直接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有x ，y＝f （t ）＝g （t ）(t 为参数)间接给出了曲线上点的坐标x ，y 之间的关系，它含有三个变量t ，x ，y ，其中x 和y 都是参数t 的函数．(2)联系：普通方程中自变量有一个，而且给定其中任意一个变量的值，可以确定另一个变量的值；参数方程中自变量也只有一个，而且给定参数t 的一个值，就可以求出唯一对应的x ，y 的值．这两种方程之间可以进行互化，通过消去参数可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方程．2．圆的参数方程1．圆心在坐标原点，半径为r 的圆的参数方程如图圆O 与x 轴正半轴交点M 0(r ，0)．(1)设M (x ，y )为圆O 上任一点，以OM 为终边的角设为θ，则以θ为参数的圆O的参数其中参数θ的几何意义是OM 0绕O 点逆时针旋转到OM 的位置时转过的角度．(2)设动点M 在圆上从M 0点开始逆时针旋转作匀速圆周运动，角速度为ω，则OM 0经过时间t 转过的角θ＝ωt ，则以t 为参数的圆O 其中参数t 的物理意义是质点做匀速圆周运动的时间．2．圆心为C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程圆心为(a ，b )，半径为r 的圆的参数方程可以看成将圆心在原点，半径为r 的圆通过坐3．参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是在同一平面直角坐标系中表示曲线的方程的两种不同形式，两种方程是等价的可以互相转化．(2)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线的类型．参数方程通过消去参数就可得到普通方程．(3)普通方程化参数方程，首先确定变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，其次将x ＝f (t )代入普通方程解出y ＝g (t )(4)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．二圆锥曲线的参数方程1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．(3)中心在(h ，k )的椭圆普通方程为（x －h ）2a 2＋（y －k ）2b 2＝1，则其参数方程为φ是参数)．2．双曲线的参数方程和抛物线的参数方程1．双曲线的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1规定参数φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠3π2．(2)中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线y 2a 2－x 2b 2＝12．抛物线的参数方程(1)抛物线y 2＝2px (2)参数t 的几何意义是抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数．三直线的参数方程1．直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l t 为参数)．2．直线的参数方程中参数t 的几何意义(1)参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离．(2)当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数．当M 0M →与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0．3．直线参数方程的其他形式对于同一条直线的普通方程，选取的参数不同，会得到不同的参数方程．我们把过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线，选取参数t ＝M 0M ＝x 0＋t cos α＝y 0＋t sin α(t 为参数)称为直线参数方程的标准形式，此时的参数t 有明确的几何意义．一般地，过点M 0(x 0，y 0)，斜率k ＝ba (a ，b 为常数)＝x 0＋at ＝y 0＋bt(t 为参数)，称为直线参数方程的一般形式，此时的参数t 不具有标准式中参数的几何意义．四渐开线与摆线（了解）1．渐开线的概念及参数方程(1)渐开线的产生过程及定义把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切，逐渐展开，铅笔画出的曲线叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆．(2)圆的渐开线的参数方程以基圆圆心O 为原点，直线OA 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设基圆的半径为r ，绳子外端M 的坐标为(x ，y )φ是参数)．这就是圆的渐开线的参数方程．2．摆线的概念及参数方程(1)摆线的产生过程及定义平面内，一个动圆沿着一条定直线无滑动地滚动时圆周上一个固定点所经过的轨迹，叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线．(2)半径为r的圆所产生摆线的参数方程为φ是参数)．。
掌握参数方程的基本原理
掌握参数方程的基本原理参数方程是一种描述曲线的方法，通过给出曲线上每个点的坐标与某个参数之间的关系来定义曲线。
参数方程在数学、物理等领域有广泛的应用，掌握其基本原理对于理解和解决相关问题具有重要意义。
1. 参数方程的定义参数方程由两个或多个参数组成的函数表达式所组成。
常见的参数方程形式为：$x = f(t)$$y = g(t)$其中，$x$和$y$分别表示曲线上某点的$x$坐标和$y$坐标，$t$为参数。
2. 参数方程的优势相对于直角坐标方程，参数方程有以下优势：- 灵活性：参数方程可以描述复杂的曲线形状，包括曲线弯曲和自交等特点。
- 直观性：通过参数方程，可以直观地理解曲线上每个点与参数之间的关系。
- 精确性：参数方程可以表示无法通过直角坐标方程表示的曲线，如椭圆、双曲线等。
3. 参数方程的绘制为了绘制参数方程所描述的曲线，可以采取如下步骤：1. 选择参数范围：确定参数$t$的取值范围，一般需要根据曲线的形状和要求进行选择。
2. 计算坐标值：根据参数方程中的函数表达式，计算出曲线上每个点的坐标值。
3. 绘制曲线：根据计算所得的坐标值，在坐标系中绘制曲线。
4. 参数方程的应用参数方程在科学研究和工程应用中得到广泛的应用，如：- 物理学：参数方程可以描述粒子的运动轨迹，如抛物线运动、圆周运动等。
- 图形学：参数方程可用于绘制各种复杂的曲线和曲面，如贝塞尔曲线、球面等。
- 工程建模：参数方程可以描述建筑物、机械零件等的形状，有助于工程设计和分析。
5. 参数方程的拓展除了描述二维曲线外，参数方程还可以拓展到三维曲线和多维曲线的描述，为更复杂的几何问题提供了解决方法。
综上所述，参数方程是一种描述曲线的方法，具有灵活性、直观性和精确性等优势。
掌握参数方程的基本原理对于理解和运用数学、物理等领域的知识具有重要意义。
曲线的参数方程 课件
= 2sin
故点M的轨迹是以点(6,0)为圆心、2为半径的圆.
反思利用圆的参数方程求动点的轨迹方程是常见的题型,是圆的
参数方程的主要应用之一.
参数方程与普通方程的互化
= 1 + 4cos,
【例 3】 指出参数方程 = -2 + 4sin (为参数)表示什么曲线.
解:(x-1)2+(y+2)2=16cos2t+16sin2t=16,
(2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持
一致.
= 1 + 2cos,
【做一做 3-1】 将参数方程
(为参数)
= 2sin
化为普通方程为
.
-1 = 2cos,
解析:由
= 2sin,
两式平方相加,得(x-1)2+y2=4.
答案:(x-1)2+y2=4
【做一做3-2】 已知圆的方程为x2+y2-6y=0,将它化为参数方程.
解:由x2+y2-6y=0,
得x2+(y-3)2=9.
令x=3cos θ,y-3=3sin θ,
= 3cos,
所以圆的参数方程为
(为参数).
= 3 + 3sin
1.曲线参数方程的特点
剖析曲线的普通方程直接反映了一条曲线上的点的横、纵坐标
之间的联系,而参数方程是通过参数间接反映坐标变量x,y间的联系.
= (),
通方程,求出另一个变数与参数的关系 y=g(t),那么
= ()
就是所求的曲线的参数方程.
(3)消参的常用方法
①代入法.先由一个方程求出参数的表达式(用直角坐标变量表
数学中的参数方程与曲线绘制技巧
数学中的参数方程与曲线绘制技巧数学中，参数方程是描述一条曲线的数学方程形式之一。
与普通的直角坐标系方程（也称为直角坐标系方程）相比，参数方程可以更灵活地描述曲线的形状和运动。
通过掌握参数方程与曲线绘制技巧，我们能够更加深入地理解数学中的曲线概念，并在实际问题中运用到这一技巧。
一、参数方程的基本概念与特点参数方程是一种用参数的形式表示的方程。
一般而言，参数方程由一系列参数表示，通过改变参数的取值范围，可以得到一条或多条曲线。
比如，对于平面上一条曲线，可以用x和y分别表示，参数方程则是将x和y视为参数，用t表示，即x=f(t)，y=g(t)。
参数方程的主要特点在于其表示的曲线可以包含更多的信息。
通过调整参数的取值范围，我们可以绘制出一条曲线上的所有点，从而完整地描述曲线的形状和特征。
另外，参数方程也可以用来表示一些无法用直角坐标系方程表示的曲线，比如螺旋线、星形线等。
二、参数方程与曲线绘制技巧1. 根据问题确定参数的取值范围在使用参数方程绘制曲线时，我们首先需要根据问题的具体要求，确定参数的取值范围。
不同的参数取值范围可能会导致不同的曲线形状，因此在确定参数的取值范围时要慎重选择，以确保绘制出符合需求的曲线。
2. 利用参数方程求得曲线上的点通过参数方程，我们可以确定曲线上的点的坐标，进而绘制出整条曲线。
具体地，我们可以选择一组合适的参数值，代入参数方程，计算得到对应的曲线上的点的坐标。
然后，根据这些点的坐标可以绘制出曲线。
3. 注意特殊曲线与画出的曲线有些参数方程所对应的曲线具有特殊性质，比如对称性、周期性等。
在绘制这类曲线时，我们需要特别留意这些特殊性质，以确保绘制出的曲线能够准确反映出这些特点。
另外，绘制曲线时也需要注意曲线的平滑性和连续性。
当参数取值发生变化时，曲线上的点应该能够顺利过渡，不应该出现突变或间断的情况。
因此，在绘制曲线时，我们需要仔细分析参数方程，确保曲线的连续性和平滑性。
三、参数方程在实际问题中的应用参数方程在实际问题中有着广泛的应用。
高二数学曲线的参数方程
x2 y, x [ 2, 2]. 这是抛物线的一部分。
y
2 o
x
2
例4、求椭圆 x2 y2 1的参数方程 94
（1）设x 3cos,为参数。
（2）设y 2t,t为参数
解：（1）把x 3cos代入椭圆方程，得到
9 cos2 y2 1,
在过去的学习中我们已经掌握了 一些求曲线方程的方法，在求某些曲 线方程时，直接确定曲线上的点的坐 标x,y的关系并不容易，但如果利用某 个参数作为联系它们的桥梁，那么就 可以方便地得出坐标x,y所要适合的条 件，即参数可以帮助我们得出曲线的 方程f(x,y)＝0。
一、曲线的参数方程
1、参数方程的概念
探究：
如图，一架救援飞机在离灾区地面500m 的高处以100m/s的速度作水平直线飞行， 为使投放的救援物资准确落于灾区指定 的地面（不计空气阻力），飞行员应如 何确定投放时机呢？
y A
o
M(x,y)
x
纯天然的壮扭公主！！”Ｌ．了个，团身犀醉后空翻七百二十度外加 傻转七周的惊人招式！接着像灰蓝色的飞臂海湾鹏一样疯喊了一声，突然耍了一套倒立狂跳的特技神功，身上忽然生出了六十只美如木瓜一般的暗黑色鼻子！紧接着 纯黄色花苞耳朵奇特紧缩闪烁起来……笨拙的眼睛喷出浓绿色的飘飘雪气……矮胖的牙齿透出浓黑色的点点神香……最后摆起粗犷的鼻子一叫，萧洒地从里面窜出一 道流光，他抓住流光豪华地一颤，一套明晃晃、凉飕飕的兵器『褐光伞魔滚珠壶』便显露出来，只见这个这件东西儿，一边扭曲，一边发出“咕 ”的美音！…… 猛然间Ｌ．崴敕柯忍者狂鬼般地使了一套盘坐振颤盗的怪异把戏，，只见他活像黄瓜般的屁股中，萧洒地涌出四十串深峡煤角鸟状的漏斗，随着Ｌ．崴敕柯忍者的晃 动，深峡煤角鸟状的漏斗像布条一样在双臂上明丽地调整出朦胧光盔……紧接着 Ｌ．崴敕柯忍者 又使自己威风的腰带耍出青古磁色的叉子味，只见他新奇的金橙色香 槟一样的磨盘海天帽中，酷酷地飞出四十片磁盘状的仙翅枕头号，随着Ｌ．崴敕柯忍者的扭动，磁盘状的仙翅枕头号像皮球一样，朝着壮扭公主圆润光滑的下巴飞劈 过来……紧跟着Ｌ．崴敕柯忍者也旋耍着兵器像痰盂般的怪影一样向壮扭公主飞劈过紫红色的金毛雪原狮一样长嘘了一声，突然来了一出曲身蠕动的特技神功，身上顷刻生出了八十只犹如狮子似的亮红色手掌。紧接着扁圆的蒜瓣鼻子闪 眼间转化颤动起来……憨厚自然、但却带着田野气息的嘴唇跃出亮青色的缕缕美云……浓密微弯、活像蝌蚪般的粗眉毛跃出深橙色的隐约幽热！最后颤起震地摇天、 夯锤一般的金刚大脚一挥，猛然从里面流出一道玉光，她抓住玉光奇特地一扭，一套亮光光、银晃晃的兵器¤飞轮切月斧→便显露出来，只见这个这件东西儿，一边 膨胀，一边发出“咻咻”的疑声。……猛然间壮扭公主狂鬼般地秀了一个滚地抽动叹蛋黄的怪异把戏，，只见她震地摇天、夯锤一般的金刚大脚中，猛然抖出四十片 甩舞着¤飞轮切月斧→的森林玻璃耳虎状的猪精，随着壮扭公主的抖动，森林玻璃耳虎状的猪精像糖块一样在双臂上明丽地调整出朦胧光盔……紧接着壮扭公主又使 自己涂绘着自娱自乐、充满童趣的梦幻纹身隐出暗白色的鸡妖味，只见她白绿双色条纹包中，轻飘地喷出三十团转舞着¤飞轮切月斧→的漩涡状的仙翅枕头蝇拍，随 着壮扭公主的旋动，漩涡状的仙翅枕头蝇拍
曲线的知识点总结
曲线的知识点总结一、曲线的概念曲线是平面上的点的集合，这些点的位置随时间或其他外部参数的变化而变化。
曲线可以是直线、圆、椭圆、双曲线等，也可以是更加复杂的曲线形状。
二、曲线的表示方式1. 参数方程式：用参数来表示曲线上的点的坐标。
2. 二元方程：通过方程式表示曲线上的点，通常是通过 x 和 y 的关系来表示的。
三、曲线的性质1. 弧长：曲线的长度称为弧长，可以通过积分计算。
2. 切线和法线：切线是曲线某一点的切线方向，法线是垂直于切线的直线。
3. 曲率：曲线在某一点的弯曲程度称为曲率。
4. 弧微分和曲率：用微分方程来描述曲线上的点的运动情况。
5. 等角性和共面性：曲线上的两个向量，如果它们的夹角始终保持不变，则称曲线具有等角性；如果曲线上所有的切线都在同一平面内，则称曲线具有共面性。
四、常见的曲线类型1. 直线：最基本的曲线，其特点是任意两点之间的所有点都在一条直线上。
2. 圆：所有到圆心距离相等的点组成的曲线。
3. 椭圆：平面上到两个给定的点的距离之和等于一个常数的所有点所组成的曲线。
4. 抛物线：平面上到给定点的距离等于到给定直线的距离的所有点所组成的曲线。
5. 双曲线：平面上到两个给定点的距离之差等于一个常数的所有点所组成的曲线。
6. 摆线：平面上一个点绕着另一个不动的点作匀速圆周运动而成的轨迹。
7. 阿基米德螺线：平面上一个点在两个静止点之间作匀速周转运动而成的轨迹。
五、曲线的应用1. 工程领域：曲线的性质和运动规律在工程设计中有着广泛的应用，比如汽车的转弯半径、机械零件的曲线运动等。
2. 经济学：经济学中的需求曲线、供给曲线和边际收益曲线等都是曲线的应用。
3. 物理学：光的传播路径、自然物体的运动轨迹等都可以通过曲线来描述。
4. 数学建模：通过曲线来描述现实世界中的各种变化规律，是数学建模中常用的手段。
六、曲线的拟合与优化1. 最小二乘法：通过最小二乘法可以求得曲线的拟合问题，即通过已知数据点，找到一条曲线使得这些数据点到曲线的距离的平方和最小。
第54讲 参数方程与曲线系
xx x第54讲 参数方程与 曲线系1．参数方程是联系多个变量之间关系的桥梁，在解题过程中引入参数或参数方程，使多个变量单一化，达到简化计算，解决问题的目的．几种常见的参数方程的形式如下：(1)直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos θ，y ＝y 0＋t sin θ，（t 为参数）．其中θ是直线的倾斜角，参数t 表示有向线段AP →的数量（其中点A 、P 的坐标为A (x 0，y 0)，P (x ，y )），如图1所示．(2)圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ，（θ为参数）．其中r 是半径，圆心是(x 0，y 0)，参数θ表示圆心角，如图2所示．(3)椭圆参数方程⎩⎨⎧x ＝x 0＋a cos θ，y ＝y 0＋b sin θ，（θ为参数）．其中椭圆中心是(x 0，y 0)，长半轴长为a ，短半轴长为b (a ＞b )，参数θ表示离心(4)双曲线参数方程⎩⎨⎧x ＝x 0＋a sec θ，y ＝y 0＋b tan θ，（θ为参数）．其中双曲线中心是(x 0，y 0)，实半轴长为a ，虚半轴长为b ，θ是参数．(5)抛物线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt ，（t 为参数）．其中焦点为（p 2，0），准线为x ＝－p 2． 参数或参数方程在求轨迹方程，求极值，求变量取值范围，简化计算或证明方面具有突出的作用．2．常用的直线系方程：(1)过定点(x 0，y 0)的直线系为：λ1(y －y 0)＋λ2(x －x 0)＝0，其中λ1、λ2为参数．(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系为：Ax ＋By ＋λ＝0，其中λ≠C ，λ为参数．(3)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系为：Bx －Ay ＋λ＝0，其中λ为参数．(4)当直线l 1与l 2的一般式分别为f 1(x ，y )＝0，f 2(x ，y )＝0时，曲线系λ1f1(x，y)＋λ2f2(x，y)＝0，其中λ1、λ2为参数①当l1与l2相交时表示通过l1与l2交点的所有直线；②当l1∥l2时，表示与l1平行的一组平行直线．(5)在两坐标轴上截距和为a的直线系为：xλ＋ya－λ＝1，其中λ为参数．(6)与原点距离等于r(r＞0)的直线系为：x cosθ＋y sinθ＝r，其中θ为参数．3．曲线系与圆系：(1)方程f1(x，y)＋ f2(x，y)＝0表示的曲线一定经过两条曲线f1(x，y)＝0与f2(x，y)＝0的交点．(反过来，经过它们交点的曲线不一定能用此方程表示)．当需要解决“求过两条曲线的交点作的一条曲线”时，常用此曲线系来解题，可以避免解方程组求交点而直接得出结果．(2)圆系：圆系是求圆的方程的一个重要的方法，同时也是证明四点共圆的简捷途径．对于不同圆心的两个圆C i＝x2＋y2＋D i x＋E i y＋F i＝0(i＝1，2)，则C1＋λC2＝0，(λ为参数)表示共轴圆系．当λ≠－1时，表示圆；当λ＝－1时，退化为一条直线(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0，此直线叫两圆的根轴．对于已知圆C1及圆上一点（m，n），则C1＋λ[(x－m)2＋(y－n)2]＝0，(λ为参数)表示与C1相切于点（m，n）的圆系．4．二次曲线系：一般二次曲线的方程由6个参数确定：Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0(A2＋B2＋C2≠0)．但只要5个独立参数即可确定唯一的二次曲线．①给定5个点，如果其中有三点共线，另两点不在此直线上，则经过此5点的二次曲线是唯一的，是二条直线(退化二次曲线)；②给定5个点，无三点共线，则经过此5点的二次曲线是唯一的．③若有两个二次曲线——C1：F1(x，y)＝0；C2：F2(x，y)＝0，且C1与C2交于不共线4点．则λF1(x，y)＋μF2(x，y)＝0表示所有经过此4个交点的二次曲线．5．用直线方程构成二次曲线系：①如果两条直线l i：l i(x，y)＝A i x＋B i y＋C i＝0(i＝1，2)与一条二次曲线：F(x，y)＝0有交点，那么，曲线系λF＋μl1·l2＝0经过这些交点，若它们有四个不共线的交点，则此曲线系包含所有的过此四点的二次曲线．②若有不共线4点P i(i＝1，2，3，4)，记直线P i P i＋1(P5＝P1)为l i(x，y)．则曲线系λl1·l3＋μl2·l4＝0包括了所有过此4点的二次曲线系．③若有不共线3点P i(i＝1，2，3)，记直线P i P i＋1(P4＝P1)为l i(x，y)．则曲线系λl1·l2＋μl2·l3＋ηl3·l1＝0包括了所有过此3点的二次曲线系．④与两条直线l i(x，y)＝A i x＋B i y＋C i＝0(i＝1，2)交于两点M1、M2的二次曲线系为λl1·l2＋μl32＝0．(其中l3为经过M1、M2的直线方程)．6．部分常用的二次曲线系：(1)共焦二次曲线系：x2m2－λ＋y2n2－λ＝1；(2)共顶点二次曲线系：x2a2＋y2λ＝1；(3)共离心率二次曲线系：x2a2＋y2b2＝λ(λ＞0)；(4)共渐近线的双曲线系：x2a2－y2b2＝λ．7．极线方程：从二次曲线外一点引二次曲线的切线，过两个切点的直线．利用曲线系解题实质上是取曲线方程中的特征量(如直线方程中的斜率k、截距b，圆的半径R，二次曲线中的a、b等)作为变量，得到曲线系，根据所给的已知量，采用待定系数法，达到解决问题的目的．常常体现的是参数变换的数学观点和整体处理的解题策略．通常的题型有求点的坐标，求曲线的方程，求图形的性质等等． A 类例题 例1．椭圆x 216＋y 24＝1有两点P 、Q ．O 是原点，若OP 、OQ 斜率之积为－14． 求证：|OP |2＋|OQ |2为定值．证明 设P (4cosα，2sinα)，Q (4cosβ，2sinβ)，因为k OP ·k OQ ＝－14，所以2sinα4cosα·2sinβ4cosβ＝－14，即cos(α－β)＝0，则α－β＝±π2＋2k π，k ∈Z ． 所以|OP |2＋|OQ |2＝16cos 2α＋4sin 2α＋16cos 2β＋4sin 2β＝16cos 2(β±π2)＋4sin 2(β±π2)＋16cos 2β＋4sin 2β ＝20cos 2β＋20sin 2β＝20为定值．得证．例2．求经过两直线2x －3y ＝1，3x ＋2y ＝2的交点，且平行于直线y ＋3x ＝0的直线方程．解 设所求的直线方程为(2x －3y －1)＋λ(3x ＋2y －2)＝0， 整理得 (2＋3λ)x ＋(－3＋2λ)y ＋(－1－2λ)＝0． (1)由于已知直线y ＋3x ＝0的斜率为－3，所以－2＋3λ－3＋2λ＝－3 解得λ＝113．将λ＝113代入(1)化简得39x ＋13y －25＝0． 此即为所求的直线方程．说明 本题还可以采用以下两种思路来求直线方程：思路一：设所求的直线方程为y ＋3x ＋λ＝0．解出直线2x －3y ＝1，3x ＋2y ＝2的交点，代入到y ＋3x ＋λ＝0，解出λ即可．思路二：过直线2x －3y ＝1，3x ＋2y ＝2的交点的直线系为(2x －3y －1)＋λ(3x ＋2y －2)＝0，即(2＋3λ)x ＋(－3＋2λ)y ＋(－1－2λ)＝0．与直线y ＋3x ＝0平行的直线系为y ＋3x ＋μ＝0(μ≠0)．比较系数2＋3λ3＝－3＋2λ1＝－1－2λμ，解出μ即可． 例3．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的内接ΔAOB 的垂心为抛物线的焦点F ，O 为原点，求点A 、B 的坐标．解 由题设条件可知AB 与x 轴垂直．设A (2pt 2，2pt )，则B 的坐标为(2pt 2，－2pt )．由于焦点F 的坐标为F (p 2，0)， 则AF 的斜率为k 1＝2pt2pt 2－p 2＝4t4t 2－1； 而OB 的斜率为k 2＝－1t ． 因为AF 与OB 垂直，则k 1k 2＝－1，即4t 4t 2－1·(－1t )＝－1，解得t＝5 2．所以A的坐标为A(52p，5p)、B的坐标为B(52p，－5p)．情景再现1．已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(－1，1)和(2，2)，若直线l：x＋my＋m＝0与PQ的延长线相交，则m的取值范围是．2．椭圆x2＋2y2＝2与直线x＋2y－1＝0交于B、C两点，求经过B、C及A(2，2)的圆的方程．3．若动点P(x，y)以等角速度ω在单位圆上逆时针运动，则点Q(－2xy，y2－x2)的运动方式是（）A．以角速度ω在单位圆上顺时针运动B．以角速度ω在单位圆上逆时针运动C．以角速度2ω在单位圆上顺时针运动D．以角速度2ω在单位圆上逆时针运动(1984年全国高中数学联赛)B类例题例4．斜率为3的动直线l和两抛物线y＝x2，y＝2x2－3x＋3交于四个不同的点，设这四个点顺次为A、B、C、D(如图)．求证：|AB|与|CD|之差为定值．证明 设AD 的中点为M (x 0，y 0)，因为直线l 的斜率为3，所以直线l 的参数方程为 ⎩⎨⎧x 0＝x 0＋12t ，y ＝y 0＋32t ．(t 为参数) ① 设MA ＝t 1，MD ＝t 2，MB ＝t 3，MC ＝t 4，则t 1＜t 2＜t 3＜t 4，因而|AB |－|CD |＝(t 3－t 1)－(t 2－t 4)＝(t 3＋t 4)－(t 1＋t 2) ②将①式代入y ＝x 2，整理得t 2＋4(x 0－32)t ＋4(x20－y 0)＝0， 由t 1＋t 2＝0，得x 0＝32． 将①式代入y ＝2x 2－3x ＋3，整理得t 2＋(4x 0－3－3)t ＋4(x 20－6x 0－2y 0＋6)＝0，所以t 3＋t 4＝－4x 0＋3＋3，因为x 0＝32，所以t 3＋t 4＝3－3， 代入②得：|AB |－|CD |＝3－3是定值．例5．设直线ax ＋by ＋c ＝0与抛物线y 2＝4px 相交于A 、B 两点，F 是抛物线的焦点，直线AF 、BF 交抛物线(异于A 、B 两点)于C、D两点(异于A、B两点)．求直线CD的方程．解设A(pt21，2pt1)、B(pt22，2pt2)、C(pt23，2pt3)、D(pt24，2pt3)．直线AC的方程为：y－2pt1＝2p(t1－t3)p(t21－t23))(x－pt21)，即2x－(t1＋t3)y＋2pt1t3＝0．因为AC经过焦点F(p，0)，所以t3＝－1t1；同理，t4＝－1t2．①因为点A、B在直线ax＋by＋c＝0上，则apt21＋2pbt1＋c＝0，apt22＋2pbt2＋c＝0，即t1、t2是方程apt2＋2pbt＋c＝0的两根．根据根与系数关系，得t1＋t2＝－2ba，t1t2＝cap．设CD的方程为ex＋fy＋g＝0 ②同理有t3＋t4＝－2fe，t1t2＝gep．所以－2fe＝－(1t1＋1t2)＝－t1＋t2t1t2＝2bpc，则f＝－bpec；gep＝1t1t2＝apc，则g＝ep2ac．把f＝－bpec，g＝ep2ac代入②，并整理得CD的方程为：x－bpy＋ap2＝0．例6．给定曲线族2(2sinθ－cosθ＋3)x2－(8sinθ＋cosθ＋1)y＝0，θ为参数，求该曲线在直线y＝2x上所截得的弦长的最大值．(1995年全国高中数学联赛)解显然，该曲线族恒过原点，而直线y＝2x也过原点，所以曲线族在y＝2x上所截得的弦长仅取决于曲线族与y＝2x的另一个交点的坐标．把y＝2x代入曲线族方程得(2sinθ－cosθ＋3)x2－(8sinθ＋cosθ＋1)x＝0，又2sinθ－cosθ＋3＝5sin(θ－arctan 12)＋3≠0，当x≠0时，就有x＝8sinθ＋cosθ＋12sinθ－cosθ＋3，(1)令sinθ＝2u1＋u2，cosθ＝1－u21＋u2，则x＝8u＋12u2＋2u＋1，得2xu2＋2(x－4)u＋(x－1)＝0．由u∈R知，当x≠0时Δ＝[2(x－4)]2－8x(x－1)＝4(－x2－6x ＋16)≥0，即x2＋6x－16≤0且x≠0，故－8≤x≤2且x≠0，则|x|max＝8由y ＝2x 得|y |max ＝16，所以所求弦长的最大值为82＋162＝85．说明 对于式(1)还可以这样处理：整理得(2x －8)sinθ－(x ＋1)cosθ＝1－3x ，于是只有当(2x －8)2＋(x ＋1)2≥(1－3x )2时方程才有解，即x 2＋6x －16≤0．以下同题中解法．情景再现4．在曲线y ＝51－x 29(－3≤x ≤3)上取一点，使它到直线x ＋y －10＝0的距离最远，并求出这个最远点．5．设a ，b 是两个已知正数，且a >b ，点P 、Q 在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，若连结点A (－a ，0)与Q 的直线平行于直线OP ，且与y 轴交于点R ，则|AQ |·|AR ||OP |2＝ ；(O 为坐标原点)(上海市1992年高中数学竞赛)6．已知MN 是圆O 的一条弦，R 是MN 的中点，过R 作两弦AB 和CD ，过A 、B 、C 、D 四点的二次曲线MN 于P 、Q ．求证：R 是PQ 的中点． C 类例题例7．自点P 1向椭圆引两条切线，切点为Q 1、R 1，又自点P 2向这椭圆引两条切线，切点为Q 2、R 2．证明：P 1、Q 1、R 1、P 2、Q 2、R2六点在一条二次曲线上．解设椭圆方程为ax2＋by2＝1(a＞0，b＞0)，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．过切点Q1、R1的直线方程为ax1x＋by1y－1＝0，过切点Q2、R2的直线方程为ax2x＋by2y－1＝0，所以经过Q1、R1、Q2、R2的二次曲线方程可设为(ax1x＋by1y－1)(ax2x＋by2y－1)＋λ(ax2＋by2－1)＝0．令λ＝－(ax1x2＋by1y2－1)，得方程(ax1x＋by1y－1)(ax2x＋by2y－1)－(ax1x2＋by1y2－1)(ax2＋by2－1)＝0．显然点P1、P2的坐标满足此方程，而此方程是二次方程，即：P1、Q1、R1、P2、Q2、R2六点在一条二次曲线上．得证！例8．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，动圆Γ：x2＋y2＝R2，其中b＜R＜a，若A是椭圆上的点，B是动圆Γ上的点，且使直线AB与椭圆和动圆Γ均相切，求A、B两点距离|AB|的最大值．(四川省2004年全国高中数学联赛预赛题)解设A(a cosθ，b sinθ)，则直线AB方程为(b2a cosθ)x＋(a2b sinθ)y＝a2b2即l：(b cosθ)x＋(a sinθ)y＝ab．l也是圆Γ的切线，故OB⊥l，故直线OB的方程为(a sinθ)x－(b cosθ)y＝0．于是点B坐标为B(ab2cosθb2cos2θ＋a2sin2θ，a2b sinθb2cos2θ＋a2sin2θ)．故|AB|2＝(a cosθ－ab2cosθb2cos2θ＋a2sin2θ)2＋(b sinθ－a2b sinθb2cos2θ＋a2sin2θ)2＝a2cos2θ(b2cos2θ+a2sin2θ－b2)2(b2cos2θ+a2sin2θ)2＋b2sin2θ(b2cos2θ+a2sin2θ－a2)2(b2cos2θ+a2sin2θ)2＝(a2－b2)2cos2θsin2θb2cos2θ+a2sin2θ＝(a－b)2·(a+b)2cos2θsin2θb2cos2θ+a2sin2θ．而b2cos2θ＋a2sin2θ≥(a+b)2cos2θsin2θ，等价于b2cos2θ－b2cos2θsin2θ+a2sin2θ－a2sin2θcos2θ≥2ab cos2θsin2θ，即b2cos4θ+a2sin4θ≥2ab cos2θsin2θ．最后一式显然成立．故|AB|2≤(a－b)2，即|AB|≤a－b．当且仅当tan2θ＝ba时等号成立，此时R＝|OB|＝ab．说明本题也可以这样考虑：设AB的斜率为k，由直线AB是椭圆E的切线，则AB方程为y＝kx±a2k2+b2．x 由AB 是圆Γ的切线，则AB 方程为y ＝kx ±R k 2+1．切点A 的横坐标x 1＝－ka 2m ；B 的横坐标x 2＝－kR 2m． 由a 2k 2+b 2＝R k 2+1，得k 2＝R 2－b 2a 2－R 2， 故|AB |2＝k 2m 2(a 2－R 2)2(1＋k 2)＝R 2－b 2a 2－R 2 (a 2－R 2)2R 2 ＝1R2(a 2－R 2)(R 2－b 2) ＝a 2＋b 2－R 2－a 2b 2R 2＝(a －b )2－(R －ab R )2≤(a －b )2． 从而可得上述结果．情景再现7．设P 、Q 为给定二次曲线ax 2＋bxy ＋cy 2＋dx ＋ey ＋f ＝0上任二点，过P 、Q 任作一圆，该圆与所给二次曲线交于另外两点M 、N ，求证：直线MN 有定向．(1978年上海市赛题) 8．如图，过点A (－2，m )作直线l 交椭圆x 22＋y 2＝1于B 、C ．点Q 在弦BC 上，且满足BQ QC ＝AB AC． (1)求m ＝0时，点Q 的轨迹方程；(2)若M 变动，则证明不论m 为何实数，点Q的轨迹恒过一个定点．习题541．设P是抛物线y2＝2x上的点，Q是圆(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PQ|的最小值是；(上海市2001高中数学竞赛)2．与双曲线x29－y216=1有共同的渐近线，且经过点(－3，23)的双曲线方程是．(湖南省2001年高中数学竞赛)3．已知：双曲线的两条渐近线的方程为x＋y＝0和x－y＝0，两顶点间的距离为2，试求此双曲线方程．(1979年全国高中数学竞赛)4．当s和t取遍所有实数时，则(s＋5－3|cos t|)2＋(s－2|sin t|)2所能达到的最小值为．(1989年全国高中数学联赛) 5．求证：若轴垂直的两条抛物线如果有4个交点，则此四个交点共圆．(1979年河北省赛题)6．设AB、CD是椭圆x2a2＋y2b2＝1的两条弦，若它们的倾斜角互补，求证：A、B、C、D四点共圆．7．已知二次曲线C：Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0与两条直线l1x＋m1y＋n1＝0，l2x＋m2y＋n2＝0有4个不同的交点．求证：Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＋λ(l1x＋m1y＋n1)(l2x＋m2y＋n2)＝0（*）是过四个交点的曲线系．8．过不在圆锥圆锥上的一定点一定点P引已知圆锥曲线的任意相互垂直的两弦AB与CD．求证：1P A·PB＋1PC·PD是定值．本节“情景再现”解答：1．－3＜m＜－23．2．圆的方程为6x2＋6y2－9x－14y－2＝0．3．C．4．d max＝722，最远点为（－3，0）．5．2．6．以R为原点，MN为x轴，建立平面直角坐标系．设圆心O的坐标为(0，a)，圆半径为r，则原方程为x2＋(y－a)2＝r2①．设AB、CD的方程分别为y＝k1x和y＝k2x．将它们合成为(y－k1x)(y－k2x)＝0 ②．于是，过①与②的四个交点A、B、C、D的曲线系方程为(y－k1x)(y－k2x)＋λ[x2＋(y－a)2－r2]＝0③．令③中y＝0得，(λ＋k1k2)x2＋λ(a2－r2)＝0④．④的两个根是二次曲线与MN交点P、Q的横坐标．因为x P＋x Q＝0，x 即R 是PQ 的中点．7．以P 为原点，PQ 方向为x 轴正方向建立平面直角坐标系，且设Q (l ，0)，则所给二次曲线在此坐标系内的方程可以写为x 2＋b 'xy ＋c 'y 2－lx ＋e 'y ＝0．而过PQ 两点的圆方程为x 2＋y 2－lx ＋ky ＝0．于是曲线x 2＋b 'xy ＋c 'y 2－lx ＋e 'y ＋λ(x 2＋y 2－lx ＋ky )＝0过此二曲线交点．故必过另两个交点M 、N ．取λ＝－1代入得，b 'xy ＋(c '－1)y 2＋(e '－k )y ＝0，即y ＝0表示直线PQ ．方程b 'x ＋(c '－1)y ＋(e '－k )＝0表示直线MN ，由于b '、c '－有定向．8．设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋t cosαy ＝m ＋t sinα，（t 为参数）．①代入椭圆方程，并整理得，(2sin 2α＋cos 2α)t 2＋4(m sinα－cosα)t ＋2(m 2＋1)＝0．所以，t 1＋t 2＝－4(m sinα－cosα)2sin 2α＋cos 2α，t 1t 2＝2(m 2＋1)2sin 2α＋cos 2α②． 设AB ＝t 1，AC ＝t 2，AQ ＝t ，则由BQ QC ＝AB AC ，得t －t 1t 1－t ＝t 1t 2，整理得，t (t 1＋t 2)＝2t 1t 2 ③，②代入③，得－t (m sinα－cosα)＝m 2＋1．t ＝m 2＋1cosα－m sinα④．将④代入①，得点Q 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋(m 2＋1)cosαcosα－m sinα，y ＝m ＋(m 2＋1)sinαcosα－m sinα，(α为参数)．消去α，得ym －(x ＋1)＝0． (1)当m ＝0时，所求轨迹是x ＝－1(过左焦点)被椭圆截下的弦；(2)当m 变动时，点Q 的轨迹恒过定点F 1(－1，0)．本节“习题4”解答：1．2． 2．x 29－y 216＝14． 3．双曲线方程为x 2－y 2＝±1． 4．2．5．设两条抛物线的方程分别为y 2＝2p (x －m )及x 2＝2q (y －n )．则曲线y 2－2p (x －m )＋λ[x 2－2q (y －n )]＝0必经过两条抛物线的交点，取λ＝1，即得一圆方程，由已知，此圆经过两条抛物线的四个交点．即此四个交点共圆．6．设AB 、CD 的倾斜角分别为θ与π－θ，直线AB 、CD 的交点坐标为P (x 0，y 0)，则AB 方程可写为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cosθ，y ＝y 0＋t sinθ．(θ为参数) 代入方程得：(b 2cos 2θ＋a 2sin 2θ)t 2＋2(b 2x 0cos θ＋a 2y 0sin θ)t ＋b 2x 02＋a 2y 02－a 2b 2＝0．由韦达定理知|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝|b 2x 20＋a 2y 20－a 2b 2|b 2cos 2θ＋a 2sin 2θ．以π－θ代替θ，即可得|PC |·|PD |＝|b 2x 20＋a 2y 20－a 2b 2|b 2cos 2θ＋a 2sin 2θ，即|P A |·|PB |＝|PC |·|PD |，故A 、B 、C 、D 共圆．7．设P i (x i ，y i )（i ＝1，2，3，4）为二次曲线C 与两条直线的四个交点，则Ax i 2＋Bx i y i ＋Cy i 2＋Dx i ＋Ey i ＋F ＝0（i ＝1，2，3，4），同时也有，l 1x i ＋m 1y i ＋n 1＝0，或l 2x i ＋m 2y i ＋n 2＝0．因此，这四个点的坐标满足（*），即（*）表示的曲线过曲线C 与直线的四个交点；在过已知四点P 1，P 2，P 3，P 4的任意一条二次曲线上取一点Q (x 0，y 0)，Q 与已知四点不同（它不在两已知直线上）．令λ0＝－Ax 02＋Bx 0y 0＋Cy 02＋Dx 0＋Ey 0＋F (l 1x 0＋m 1y 0＋n 1)(l 2x 0＋m 2y 0＋n 2)，方程（*）变形为Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ0(l 1x ＋m 1y ＋n 1)(l 2x ＋m 2y ＋n 2)＝0．这个方程表示过P 1，P 2，P 3，P 4，Q 五个点的曲线，故可用方程（*）表示已知二次曲线和两条直线交点的二次曲线系．8．以P 为原点建立直角坐标系，在此坐标系内圆锥曲线的方程为 Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0． (1)P AB 的方程⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cosθ，y ＝y 0＋t sinθ．(θ为参数)， 代入⑴得：t 2(A sin 2θ＋B sin θcos θ＋C cos 2θ)＋t (D sin θ＋E cos θ)＋F ＝0，由于P 不在圆锥曲线上，故F ≠0．则1P A ·PB ＝A sin 2θ＋B sin θcos θ＋C cos 2θF． PCD 的方程⎩⎨⎧x ＝－t sinθ，y ＝t cosθ．(θ为参数)， 代入(1)得：t 2(A cos 2θ－B sin θcos θ＋C sin 2θ)＋t (－D cos θ＋E sinθ)＋F＝0，同理，得，1PC·PD＝A cos2θ－B sinθcosθ＋C sin2θF．从而可得1P A·PB＋1PC·PD＝A＋CF为定值．第21 页共21 页。
曲线的参数方程PPT
x y
x0 y0
t t
cos sin
（t为参数）
(*)
t的几何意义：|t|=|M0M|
探究
直线与曲线y
f
(
x)交于M1,
M
两点，对应的参数
2
分别为t1 , t2 .
(1)曲线的弦M1M
的长是多少？
2
（2）线段 1：设直线的参数方程：
A、一个定点
B、一个椭圆
C、一条抛物线
D、一条直线
4．设质点沿以原点为圆心，半径为 2 的圆做匀角速运动，
角速度为 rad / s .试以时间 t 为参数，建立质点运动轨
60
迹的参数方程。
直线的参数方程
问题：已知一条直线过点M0(x0,y0 )，
倾斜角，求这条直线的方程.
所以，该直线的参数方程为
那么方程(1)就叫做这条曲线的参数方程，其中变
量t叫做参数．
练习1：
以初速度v0发射炮弹，炮弹的发射角为，不
计空气阻力，试写出炮弹曲线的参数方程。
y v0
o
x
例1、已知曲线C的参数方程{ y
x
3t 2t 2
(t为参数) 1
(1)、判断点M1(0,1), M 2 (5,4)与曲线C的位置关系 (2)、已知点M3(6, a)在曲线C上，求a的值。
y
A
M(x,y)
o
x
一、方程组有3个变量，其中的x,y表示点的 坐标，变量t叫做参变量，而且x,y分别是t的
函数。
二、由物理知识可知，物体的位置由时间t唯
一决定，从数学角度看，这就是点M的坐标
x,y由t唯一确定，这样当t在允许值范围内连 续变化时，x,y的值也随之连续地变化，于是
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数学中的参数方程与曲线绘制技巧数学中的参数方程是描述曲线的一种常用方法，通过给定参数的取值范围来确定曲线上的点。
在数学与工程学科中，参数方程被广泛应
用于曲线绘制、物理模型建立等领域。
本文将介绍数学中的参数方程
以及相关的曲线绘制技巧。
一、参数方程的基本概念
参数方程是一种用参数来表示自变量与因变量之间关系的方程。
一般形式为：
x = f(t)
y = g(t)
其中，x和y分别表示平面直角坐标系中的横纵坐标，t为参数，f(t)和g(t)为参数的函数。
二、参数方程的绘制方法
1. 确定参数范围
在进行曲线绘制之前，首先要确定参数t的取值范围。
根据具体情况，选择使得曲线完整呈现的参数范围。
2. 计算曲线上的点坐标
根据给定的参数方程，计算参数t对应的x和y的值，得到曲线上的点坐标。
3. 绘制曲线
将计算得到的点依次连接起来，并绘制出曲线。
可以使用数学绘图工具、图形软件或者编程语言来完成曲线绘制。
三、常见的参数方程和曲线类型
1. 抛物线
参数方程：x = t, y = t^2
2. 圆
参数方程：x = r*cos(t), y = r*sin(t)
3. 椭圆
参数方程：x = a*cos(t), y = b*sin(t)
4. 螺旋线
参数方程：x = cos(t)*t, y = sin(t)*t
5. 心形线
参数方程：x = 16*sin^3(t), y = 13*cos(t) - 5*cos(2*t) - 2*cos(3*t) - cos(4*t)
四、曲线绘制技巧
1. 参数范围选择
根据需要绘制的曲线形状，选择适当的参数取值范围，保证曲线的
完整性。
2. 曲线平滑处理
如果参数方程得到的曲线有锯齿状或较为粗糙，可以通过增加参数
的步长或者增加计算点的数量来获得更加平滑的曲线。
3. 参数方程与直角坐标系之间的转换
有些情况下，给定的曲线是由直角坐标系方程得到的，需要将其转
换为参数方程进行绘制。
这时可以通过直角坐标与参数方程之间的关
系进行转换。
五、应用领域
参数方程在数学和科学工程领域有着广泛的应用。
例如在物理模型
建立中，利用参数方程可以描述复杂的曲线和轨迹；在计算机图形学中，参数方程被用来绘制各种曲线和曲面；在工程仿真中，参数方程
可以描述物体的运动轨迹等等。
六、总结
参数方程是描述曲线的一种常用方法，通过给定参数的取值范围来
确定曲线上的点。
参数方程在数学和工程学科中被广泛应用于曲线绘
制和物理模型建立等方面。
掌握参数方程的概念和绘制技巧，对于深
入理解曲线的特性以及解决实际问题具有重要意义。
通过对参数方程
与曲线绘制技巧的学习，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题，拓展数学的应用领域。