锐角三角函数的分类汇编

锐角三角函数的分类汇编

一、选择题

1．如图，在菱形ABCD 中，按以下步骤作图：①分别以点C 和点D 为圆心，大于12

CD 为半径作弧，两弧交于点M ，N ；②作直线MN ，且MN 恰好经过点A ，与CD 交于点E ，连接BE ，则下列说法错误的是（ ）

A ．60ABC ∠=?

B ．2ABE ADE S S ?=V

C ．若AB=4，则7BE =

D ．21sin 14

CBE ∠= 【答案】C

【解析】

【分析】 由作法得AE 垂直平分CD ，则∠AED=90°，CE=DE ，于是可判断∠DAE=30°，∠D=60°，从而得到∠ABC=60°；利用AB=2DE 得到S △ABE =2S △ADE ；作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，则可计算出CH=12

CE=1，337 ；利用正弦的定义得sin ∠CBE=

21EH BE =． 【详解】

解：由作法得AE 垂直平分CD ，

∴∠AED=90°，CE=DE ，

∵四边形ABCD 为菱形，

∴AD=2DE ，

∴∠DAE=30°，∠D=60°，

∴∠ABC=60°，所以A 选项的说法正确；

∵AB=2DE ，

∴S △ABE =2S △ADE ，所以B 选项的说法正确；

作EH ⊥BC 于H ，如图，若AB=4，

在Rt△ECH中，∵∠ECH=60°，

CH=1

2

CE=1，EH=3CH=3，

在Rt△BEH中，BE=22

(3)527

+=，所以C选项的说法错误；

sin∠CBE=

321

14

27

EH

BE

==，所以D选项的说法正确．

故选C．

【点睛】

本题考查了基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了菱形的性质和解直角三角形．

2．同学们参加综合实践活动时，看到木工师傅用“三弧法”在板材边角处作直角，其作法是：如图：

（1）作线段AB，分别以点A，B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点C；

（2）以点C为圆心，仍以AB长为半径作弧交AC的延长线于点D；

（3）连接BD，BC．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）

A．∠ABD＝90°B．CA＝CB＝CD C．sinA＝

3

2

D．cosD＝

1

2

【答案】D

【解析】

【分析】

由作法得CA＝CB＝CD＝AB，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，点C是△ABD的外心，根据三角函数的定义计算出∠D＝30°，则∠A＝60°，利用特殊角的三角函数值即可得到结论．

【详解】

由作法得CA＝CB＝CD＝AB，故B正确；∴点B在以AD为直径的圆上，

∴∠ABD＝90°，故A正确；

∴点C是△ABD的外心，

在Rt△ABC中，sin∠D＝AB

AD

＝

1

2

，

∴∠D＝30°，∠A＝60°，

∴sinA＝3

，故C正确；cosD＝

3

，故D错误，

故选：D．

【点睛】

本题考查了解直角三角形，三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理和解直角三角形．

3．某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目．项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度．其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12米，CD＝8米，∠D＝36°，（其中点A、B、C、D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（）米．（精确到0.1米，参考数据：

tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）

A．5.6 B．6.9 C．11.4 D．13.9

【答案】C

【解析】

【分析】

根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案．

【详解】

解:如图,延长DC、AB交于点E，

，

由斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得

BE：CE＝1：2．

设BE＝xm，CE＝2xm．

在Rt△BCE中，由勾股定理，得

BE2+CE2＝BC2，

即x2+（2x）2＝（12）2，

解得x＝12，

BE＝12m，CE＝24m，

DE＝DC+CE＝8+24＝32m，

由tan36°≈0.73，得

＝0.73，

解得AB＝0.73×32＝23.36m．

由线段的和差，得

AB＝AE﹣BE＝23.36﹣12＝11.36≈11.4m，

故选：C．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，利用勾股定理得出CE，BE的长是解题关键，又利用了正切函数，线段的和差．

4．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为( )

A．60海里B．45海里C．3D．3

【答案】D

【解析】

【分析】

根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．

【详解】

解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，

故AB=2AP=60（海里），

则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：22303

-=

AB AP

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．

5．如图，ABC ?是一张顶角是120?的三角形纸片，,6AB AC BC ==现将ABC ?折叠，使点B 与点A 重合，折痕DE ，则DE 的长为（ ）

A ．1

B ．2

C ．2

D ．3

【答案】A

【解析】

【分析】 作AH ⊥BC 于H ，根据等腰三角形的性质求出BH ，根据翻折变换的性质求出BD ，根据正切的定义解答即可． 【详解】

解：作AH ⊥BC 于H ，

∵AB=AC ，AH ⊥BC ，

BH=12

BC=3， ∵∠BAC=120°，AB=AC ，

∴∠B=30°，

∴AB=30BH cos ?

3 由翻折变换的性质可知，3

∴DE=BD ?tan30°=1，

故选：A ．

【点睛】

此题考查翻折变换的性质、勾股定理的应用，解题关键在于掌握翻折变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

6．将直尺、有60°角的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60°角与直尺的交点，B 为光盘与直尺的交点，AB =4，则光盘表示的圆的直径是( )

A ．4

B ．83

C ．6

D ．43

【答案】B

【解析】

【分析】 设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，根据切线长定理可得AB=AC=3，∠OAB=60°，然后根据三角函数，即可得出答案.

【详解】

设三角板与圆的切点为C ，连接OA 、OB ，

由切线长定理知，AB =AC =3，AO 平分∠BAC ，

∴∠OAB =60°，

在Rt △ABO 中，OB =AB tan ∠OAB =43，

∴光盘的直径为83．

故选：B ．

【点睛】

本题主要考查了切线的性质，解题的关键是熟练应用切线长定理和锐角三角函数.

7．如图，AB 是垂直于水平面的建筑物．为测量AB 的高度，小红从建筑物底端B 点出发，沿水平方向行走了52米到达点C ，然后沿斜坡CD 前进，到达坡顶D 点处，DC BC =．在点D 处放置测角仪，测角仪支架DE 高度为0.8米，在E 点处测得建筑物顶端A 点的仰角AEF ∠为27?（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内）．斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =，那么建筑物AB 的高度约为（ ）

（参考数据sin 270.45?≈，cos270.89?≈，tan 270.51?≈）

A ．65.8米

B ．71.8米

C ．73.8米

D ．119.8米

【答案】B

【解析】

【分析】

过点E 作EM AB ⊥与点M ，根据斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =可设CD x =，则2.4 CG x =，利用勾股定理求出x 的值，进而可得出CG 与DG 的长，故可得出EG 的长．由矩形的判定定理得出四边形EGBM 是矩形，故可得出EM BG =，BM EG =，再由锐角三角函数的定义求出AM 的长，进而可得出结论．

【详解】

解：过点E 作EM AB ⊥与点M ，延长ED 交BC 于G ，

∵斜坡CD 的坡度（或坡比）1:2.4i =，52BC CD ==米，

∴设DG x =，则 2.4 CG x =．

在Rt CDG ?中，

∵222DG CG DC +=，即222(2.4)52x x +=，解得20x =，

∴20DG =米，48CG =米，

∴200.820.8EG =+=米，5248100BG =+=米．

∵EM AB ⊥，AB BG ⊥，EG BG ⊥，

∴四边形EGBM 是矩形，

∴100EM BG ==米，20.8BM EG ==米．

在Rt AEM ?中，

∵27AEM ?∠=，

∴?tan 271000.5151AM EM ?=≈?=米，

∴5120.871.8AB AM BM =+=+=米．

故选B ．

【点睛】

本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

8．如图，在Rt ABC V 中，90C ∠?＝，30B ∠=?，AD 是BAC ∠的角平分线，6AC ＝，则点D 到AB 的距离为( )

A ．33

B ．3

C ．23

D ．33

【答案】C

【解析】

【分析】

如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据直角三角形两锐角互余的性质可得∠BAC=60°，由AD 为∠BAC 的角平分线可得∠DAC=30°，根据角平分线的性质可得DE=CD ，利用∠DAC 的正切求出CD 的值即可得答案．

【详解】

∵∠B=30°，∠C=90°，

∴∠BAC=60°，

∵AD 平分∠BAC ，

∴∠DAC=30°，DE=CD ，

∵AC=6，

∴CD=AC·tan ∠DAC=6×3=23，即DE=23， ∴点D 到AB 的距离为23，

故选：C ．

【点睛】

本题考查解直角三角形及角平分线的性质，在直角三角形中，锐角的正弦是角的对边比斜边；余弦是邻边比斜边；正切是对边比邻边；余切是邻边比对边；角平分线上的点到角两边的距离相等；熟练掌握三角函数的定义是解题关键．

9．如图，矩形纸片ABCD ，4AB =，3BC =，点P 在BC 边上，将CDP ?沿DP 折叠，点C 落在点E 处，PE 、DE 分别交AB 于点O 、F ，且OP OF =，则cos ADF ∠的值为（ ）

A．11

13

B．

13

15

C．

15

17

D．

17

19

【答案】C

【解析】

【分析】

根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP= OF可得出△OEF≌AOBP(AAS)根据全等三角形的性质可得出0E=OB、EF=BP，设EF=x，则BP=x、DF=4-x、

BF=PC=3-x，进而可得出AF=1+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理可求出x的值，再利用余弦的定义即可求出cos∠ADF的值．

【详解】

解：∵矩形纸片ABCD，点P在BC边上，将CDP

?沿DP折叠，点C落在点E处，

根据折叠性质，可得：△DCP≌△DEP ，

∴.DC=DE=4， CP= EP，

在△OEF和△OBP中

90

EOF BOP

B E

OP OF

∠=∠

?

?

∠=∠=?

?

?=

?

∴△OEF≌△OBP(AAS)

∴ОE=OB， EF= ВР.

设EF=x,则BP=x，DF= DE-EF=4-X，

又∵ BF=OB+OF=OE+ OP=PE=PC, РС=ВC-BP=3-x,

∴AF=AB-BF=1+x.

在Rt△DAF中，AF2+AD2= DF2，即(1+x) 2+32= (4-x)2

解得: x=

3

5

∴DF=4-x=

17

5

∴cos∠ADF=

15

17

AD

DF

=

故选: C.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合AF=1+x，求出AF的长度是解题的关键．

10．如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边CD ，AD 上，BE 与CF 交于点G .若4BC =，1DE AF ==，则GF 的长为（ ）

A ．135

B ．125

C ．195

D ．165

【答案】A

【解析】

【分析】

根据正方形的性质以及勾股定理求得5BE CF ==，证明BCE CDF ???，根据全等三角形的性质可得CBE DCF ∠=∠，继而根据cos cos BC CG CBE ECG BE CE

∠=∠=

=，可求得CG 的长，进而根据GF CF CG =-即可求得答案.

【详解】

∵四边形ABCD 是正方形，4BC =，

∴4BC CD AD ===，90BCE CDF ∠=∠=?，

∵1AF DE ==，

∴3DF CE ==， ∴22345BE CF =+=，

在BCE ?和CDF ?中， BC CD BCE CDF CE DF =??∠=∠??=?

，

∴()BCE CDF SAS ???，

∴CBE DCF ∠=∠，

∵90CBE CEB ECG CEB CGE ∠+∠=∠+∠=?=∠，

cos cos BC CG CBE ECG BE CE ∠=∠=

=， ∴453CG =，125

CG =， ∴1213555

GF CF CG =-=-

=， 故选A.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，综合性较强，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的运用.

11．某同学利用数学知识测量建筑物DEFG 的高度．他从点A 出发沿着坡度为1:2.4i =的斜坡AB 步行26米到达点B 处，用测角仪测得建筑物顶端D 的仰角为37°，建筑物底端E 的俯角为30°，若AF 为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE 约为(精确到0.1米，参考数据：3 1.73370.60sin ≈?≈,，

370.80370.75cos tan ?≈?≈,)（ ）

A ．23.0米

B ．23.6米

C ．26.7米

D ．28.9米

【答案】C

【解析】

【分析】 如图，设CB ⊥AF 于N ，过点C 作CM ⊥DE 于M ，根据坡度及AB 的长可求出BN 的长，进而可求出CN 的长，即可得出ME 的长，利用∠MBE 的正切可求出CM 的长，利用∠DCM 的正切可求出DM 的长，根据DE=DM+ME 即可得答案．

【详解】

如图，设CB ⊥AF 于N ，过点C 作CM ⊥DE 于M ，

∵沿着坡度为1:2.4i =的斜坡AB 步行26米到达点B 处，

∴

BN 1AN 2.4

=， ∴AN=2.4BN ， ∴BN 2+（2.4BN ）2=262，

解得：BN=10（负值舍去），

∴CN=BN+BC=11.6，

∴ME=11.6，

∵∠MCE=30°，

∴CM=

ME tan 30?3 ∵∠DCM=37°， ∴DM=CM·

tan37°3， ∴3（米），

故选：C．

【点睛】

本题考查解直角三角形的应用，正确构造直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及特殊角的三角函数值是解题关键．

12．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E ＝30°，∠A＝45°，AC＝122，则CD的长为（）

A．3B．12﹣3C．12﹣3D．3

【答案】B

【解析】

【分析】

过点B作BM⊥FD于点M，根据题意可求出BC的长度，然后在△EFD中可求出∠EDF＝60°，进而可得出答案．

【详解】

解：过点B作BM⊥FD于点M，

在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝2，

∴BC＝AC＝2．

∵AB∥CF，

∴BM＝BC×sin45°＝

2 12212

2

=

CM＝BM＝12，

在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，

∴MD＝BM÷tan60°＝43

∴CD＝CM﹣MD＝12﹣43

故选B．

【点睛】

本题考查了解直角三角形，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形利用所学的三角函数的关系进行解答．

13．如图，已知△A 1B 1C 1的顶点C 1与平面直角坐标系的原点O 重合，顶点A 1、B 1分别位于x 轴与y 轴上，且C 1A 1＝1，∠C 1A 1B 1＝60°，将△A 1B 1C 1沿着x 轴做翻转运动，依次可得到△A 2B 2C 2，△A 3B 3C 3等等，则C 2019的坐标为（ ）

A ．（30）

B ．（3，0）

C ．（4035233

D ．（30） 【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意可知三角形在x 轴上的位置每三次为一个循环，又因为20193673÷=，那么2019C 相当于第一个循环体的3673C 个即可算出.

【详解】

由题意知，111C A =，11160C A B ?∠=，

则11130C B A ?∠=，11222A B A B ==，1122333C B C B C B ===

结合图形可知，三角形在x 轴上的位置每三次为一个循环，

Q 20193673÷=， ∴2019673(123)20196733OC =+=+， ∴2019C (20196733,0)+，

故选B .

【点睛】

考查解直角三角形，平面直角坐标系中点的特征，结合找规律.理解题目中每三次是一个循环是解题关键.

14．如图，在正方形ABCD 中，3AB =，点M 在CD 的边上，且1DM =，AEM ?与ADM ?关于AM 所在直线对称，将ADM ?按顺时针方向绕点A 旋转90°得到ABF ?，连接EF ，则cos EFC ∠的值是 （ ）

A 171365

B 61365

C 71525

D ．617

【答案】A

【解析】

【分析】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，首先证明

AEH EMG V :V ，则有13

EH AE MG EM == ，设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+， 在Rt AEH V 中利用勾股定理求出x 的值，进而可求

,,,EH BN CG EN 的长度，进而可求FN ，再利用勾股定理求出EF 的长度，最后利用cos FN EFC EF

∠=

即可求解． 【详解】 过点E 作//HG AD ，交AB 于H ，交CD 于G ，作EN BC ⊥于N ，则

90AHG MGE ∠=∠=?，

∵四边形ABCD 是正方形，

∴3,90AD AB ABC C D ==∠=∠=∠=? ，

∴四边形AHGD,BHEN,ENCG 都是矩形．

由折叠可得，90,3,1AEM D AE AD DM EM ∠=∠=?====，

90AEH MEG EMG MEG ∴∠+∠=∠+∠=? ，

AEH EMG ∴∠=∠，

AEH EMG ∴V :V ，

13

EH AE MG EM ∴== ． 设MG x =，则3EH x =，1DG AH x ==+

在Rt AEH V 中，

222AH EH AE +=Q ，

222(1)(3)3x x ∴++= ， 解得45

x =或1x =-（舍去）， 125EH BN ∴==，65

CG CD DG EN =-== ． 1BF DM ==Q 175FN BF BN ∴=+=

． 在Rt EFN △ 中， 由勾股定理得，2213EF EN FN =+=，

17cos 1365

FN EFC EF ∴∠=

=． 故选：A ．

【点睛】

本题主要考查正方形，矩形的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，锐角三角函数，能够作出辅助线是解题的关键．

15．如图，两根竹竿AB 和AD 斜靠在墙CE 上，量得60BAC ∠=?，70DAC ∠=?，则竹竿AB 与AD 的长度之比为（ ）．

A ．2sin70?

B ．2cos70?

C ．2tan70?

D ．2tan 70?

【答案】B

【解析】

【分析】 直接利用锐角三角函数关系分别表示出AB ，AD 的长，即可得出答案．

【详解】

解：∵∠BAC=60°，∠DAC=70°，

∴cos60°=

12

AC AB =， 则AB=2AC ， ∴cos70°=AC AD

， ∴AC=AD ?cos70°， AD=cos70AC ?

， ∴2cos70AC AC AB AD

=?

=2cos70°． 故选：B ．

【点睛】

此题主要考查了解直角三角形的应用，正确表示出各边长是解题关键．

16．已知在 Rt ABC 中， ∠C = 90°，AC = 8, BC = 15 ，那么下列等式正确的是（ ）

A ．8sin 17

A =

B ．cosA=815

C ．tan A =817

D ．cot A=815

【答案】D

【解析】

【分析】

根据锐角三角函数的定义进行作答.

【详解】

由勾股定理知，AB=17；A.15sin 17BC A AB == ,所以A 错误；B.8cos 17AC A AB ==，所以，B 错误；C.15tan 8BC A AC =

=，所以，C 错误；D.cot AC A BC ==815，所以选D. 【点睛】

本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是本题解题关键.

17．如图，一架飞机在点A 处测得水平地面上一个标志物P 的俯角为α，水平飞行m 千米后到达点B 处，又测得标志物P 的俯角为β，那么此时飞机离地面的高度为( )

A ．cot cot m αβ-千米

B ．cot cot m βα-千米

C ．tan tan m αβ

-千米 D ．tan tan m βα-千米

【答案】A

【解析】

【分析】

根据锐角三角函数的概念进行作答.

【详解】

在P 点做一条直线垂直于直线AB 且交于点O ，由锐角三角函数知，AO=PO cot α，BO=PO cot β，又AB=m=AO-BO= PO cot α- PO cot β=

cot cot m αβ

-. 所以答案选A. 【点睛】

本题考查了锐角三角函数的概念，熟练掌握锐角三角函数是本题解题关键.

18．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，若AD =CD = 23?BC

的长为( )

A ．3π

B ．23π

C ．33π

D ．233

π 【答案】B

【解析】

【分析】 根据垂径定理得到3CE DE ==

，??BC BD = ，∠A=30°，再利用三角函数求出OD=2，即可利用弧长公式计算解答.

【详解】

如图：连接OD ，

∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E 点，AD =CD = 23，

∴3CE DE ==

，??BC BD = ，∠A=30°， ∴∠DOE=60°，

∴OD=2sin 60

DE =o ， ∴?BC

的长=?BD 的长=60221803ππ?=， 故选：B.

【点睛】

此题考查垂径定理，三角函数，弧长公式，圆周角定理，是一道圆的综合题.

19．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosA 的值是（ ）

A ．45

B ．35

C ．43

D ．34

【答案】B

【解析】

【分析】

根据勾股定理，可得AB 的长，根据锐角的余弦等于邻边比斜边，可得答案．

【详解】

解：在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，

由勾股定理，得AB=22AC BC =5

cosA=

AC AB =35

故选：B ．

【点睛】 本题考查锐角三角函数的定义，在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

20．如图，△ABC 的外接圆是⊙O ，半径AO=5，sinB=25

，则线段AC 的长为（ ）

A ．1

B ．2

C ．4

D ．5

【答案】C

【解析】

【分析】 首先连接CO 并延长交⊙O 于点D ，连接AD ，由CD 是⊙O 的直径，可得∠CAD=90°，又由⊙O 的半径是5，sinB=

25

，即可求得答案． 【详解】

解：连接CO 并延长交⊙O 于点D ，连接AD ，

由CD 是⊙O 的直径，可得∠CAD=90°，

∵∠B 和∠D 所对的弧都为弧AC ，

∴∠B=∠D ，即sinB=sinD=

25

， ∵半径AO=5，

∴CD=10，

∴

2 sin

105

AC AC

D

CD

===，

∴AC=4，

故选：C.

【点睛】

本题考查了同弧所对的圆周角相等，以及三角函数的内容，注意到直径所对的圆周角是直角是解题的关键.