全等三角形在生活中的应用
2019苏科版八上数学专题 三角形全等的简单应用
三角形全等的简单应用【学习目标】1．感受三角形全等在生活中的应用；2．能够用三角形全等解决一些实际问题及运动型问题．【典型例题】一．生活中的应用例题1．如图所示的A、B是两根呈南北方向排列的电线杆，A、B之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了20步到达一棵大树C处，接着又向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当他看到电线杆B、大树C和他自己现在所处的位置E恰在同一条直线上时，他从D位置走到E处恰好走了100步，利用上述数据，小刚测出了A、B两根电线杆之间的距离．（1）请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图；（2）如果小刚一步大约60厘米，请你求A、B两根电线杆之间的距离．小河北BA例题2如图，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由．DB二．运动型问题中的应用例题3 如图，AB ＝6cm ，AC ＝BD ＝4cm ．∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为t （s ）．设点Q 的运动速度为x cm/s ，若使得△ACP 与△BPQ 全等，则x 的值为 ．QPDCBA三．全等应用的几个重要模型 (1)中线型例题4 （1）阅读理解：如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8．求AC 边上的中线BD 的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长BD 至E 使DE ＝BD ，连结CE.利用全等将边AB 转化到CE ，在△BCE 中利用三角形三边关系即可求出中线BD 的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD 的取值范围是 ．（2）问题解决：如图2，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在BC 边上，若DM ⊥DN ．求证：AM +CN ＞MN ．图1E DCBA图2N M D CBA(2)角平分线型例题5 如图，已知OC 平分∠AOB ，点E 、F 分别在边OA 、OB 上，且EC =FC ．若∠AOB =60°，求∠ECF 的度数；OF E CBA(3)K 型全等例题6王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC ＝BC ，∠ACB ＝90°），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．变式：如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD 上，转轴B 到地面的距离BD ＝3m ．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A 时，测得点A 到BD 的距离AC ＝2m ，点A 到地面的距离AE ＝1.8m ；当他从A 处摆动到A ′处时，有A 'B ⊥AB ． （1）求A ′到BD 的距离； （2）求A ′到地面的距离．A '地面ED CB A32HF 1A '地面EDC BA拓展提升：例题7（1）如图1：在四边形ABC 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF ＝60°．探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系并证明． （提示：延长CD 到G ，使得DG ＝BE ）（2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12 ∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；图１GDFECBA图2DFE CBAO图3N FEB A（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西20°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东60°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．（可利用（2）的结论）【课后练习】 一、选择题1．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M 、N 重合，过角尺顶点C 作射线OC 由此作法便可得△NOC ≌△MOC ，其依据是（ ）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS2．某实验室有一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，胡老师想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，胡老师要带的玻璃编号是（）A．1B．2C．3D．43．如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且都与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处．如果小强同学站在平安路与新兴大街交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为（）A．300m B．400m C．500m D．700m二、填空题4．如图所示，将两根钢条AA′、BB′的中点O连在一起，使AA′、BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A'B'的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌OA'B'的理由是．5. 如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降40cm时，这时小明离地面的高度是90cm．6．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝8厘米，如果动点P 在线段AB 上以2厘米/秒的速度由A 点向B 点运动，同时动点Q 在以1厘米/秒的速度线段BC 上由C 点向B 点运动，当点P 到达B 点时整个运动过程停止．设运动时间为t 秒，当AQ ⊥DP 时，t 的值为 秒．QP DCBA三、解答题7．为了测量一幢高楼高AB ，在旗杆CD 与楼之间选定一点P ．测得旗杆顶C 视线PC 与地面夹角∠DPC ＝38°，测楼顶A 视线P A 与地面夹角∠APB ＝52°，量得P 到楼底距离PB 与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB ＝33米，计算楼高AB 是多少米？P D B8．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B 点，选对岸正对的一棵树A ； ②沿河岸直走20m 有一树C ，继续前行20m 到达D 处；③从D 处沿河岸垂直的方向行走，当到达A 树正好被C 树遮挡住的E 处停止行走；④测得DE 的长为5米． 求：（1）河的宽度是多少米？（2）请你证明他们做法的正确性．9．如图，点C 、E 分别在直线AB 、DF 上，小华想知道∠ACE 和∠DEC 是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF ，再找出CF 的中点O ，然后连结EO 并延长EO 和直线AB 相交于点B ，经过测量，他发现EO ＝BO ，因此他得出结论：∠ACE 和∠DEC 互补，而且他还发现BC ＝EF ．小华的想法对吗？为什么？OFED C BA10．如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形． （1）若固定三根木条AB ，BC ，AD 不动，AB ＝AD ＝2cm ，BC ＝5cm ，如图，量得第四根木条CD ＝5cm ，判断此时∠B 与∠D 是否相等，并说明理由． （2）若固定一根木条AB 不动，AB ＝2cm ，量得木条CD ＝5cm ，如果木条AD ，BC 的长度不变，当点D 移到BA 的延长线上时，点C 也在BA 的延长线上；当点C 移到AB 的延长线上时，点A 、C 、D 能构成周长为30cm 的三角形，求出木条AD ，BC 的长度．DCBA【典型例题】一．生活中的应用例题1．如图所示的A、B是两根呈南北方向排列的电线杆，A、B之间有一条小河，小刚想估测这两根电线杆之间的距离，于是小刚从A点开始向正西方向走了20步到达一棵大树C处，接着又向前走了20步到达D处，然后他左转90°直行，当他看到电线杆B、大树C和他自己现在所处的位置E恰在同一条直线上时，他从D位置走到E处恰好走了100步，利用上述数据，小刚测出了A、B两根电线杆之间的距离．（1）请你根据上述的测量方法在原图上画出示意图；（2）如果小刚一步大约60厘米，请你求A、B两根电线杆之间的距离．小河北BA【解答】解：（1）根据题意画出图形，如图所示．ED C（2）由题可知∠BAC＝∠EDC＝90°，60cm＝0.6m，AC＝20×0.6＝12m，DC＝20×0.6＝12m，DE＝100×0.6＝60m，∵点E、C、B在一条直线上，∴∠DCE＝∠ACB．在△ABC 和△DEC 中，＝＝＝BAC EDC AC DCDCE ACB ∠∠∠∠⎧⎪⎨⎪⎩∴△ABC ≌△DEC ， ∴AB ＝DE ． ∵DE ＝60m ， ∴AB ＝60m ，答：A 、B 两根电线杆之间的距离大约为60m ．例题2如图，两根长12m 的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现在只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由．B【解答】解：用卷尺测量出BD 、CD ，看它们是否相等，若BD ＝CD ，则AD ⊥BC ．理由如下：∵在△ABD 和△ACD 中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△ACD （SSS ）， ∴∠ADB ＝∠ADC ，又∵∠ADB +∠ADC ＝180°，∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°， 即AD ⊥BC ．二．运动型问题中的应用例题3 如图，AB ＝6cm ，AC ＝BD ＝4cm ．∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以2cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．它们运动的时间为t （s ）．设点Q 的运动速度为x cm/s ，若使得△ACP 与△BPQ 全等，则x 的值为 ．QPDCBA【解答】解：当△ACP ≌△BPQ ， ∴AP ＝BQ ， ∵运动时间相同，∴P ，Q 的运动速度也相同， ∴x ＝2（s ）．当△ACP ≌△BQP 时， AC ＝BQ ＝4，P A ＝PB ， ∴t ＝1.5， ∴x ＝41.5＝83（s ） ∴综上所述，x 的值为2或83s ．三．全等应用的几个重要模型 (1)中线型例题4 （1）阅读理解：如图1，在△ABC 中，若AB ＝10，BC ＝8．求AC 边上的中线BD 的取值范围．小聪同学是这样思考的：延长BD 至E 使DE ＝BD ，连结CE.利用全等将边AB 转化到CE ，在△BCE 中利用三角形三边关系即可求出中线BD 的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是 ；中线BD 的取值范围是 ．（2）问题解决：如图2，在△ABC 中，点D 是AC 的中点，点M 在AB 边上，点N 在BC 边上，若DM ⊥DN ．求证：AM +CN ＞MN ．图1E DCBA图2N M D CB A【解答】（1）解：∵BD 是AC 边上的中线， ∴AD ＝CD ，在△ABD 和△CED 中，＝ADB CD AD CD BD ED E =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩， ∴△ABD ≌△CED （SAS ）， ∴CE ＝AB ＝10，在△CBE 中，由三角形的三边关系得：CE －BC ＜BE ＜CE －BC ， ∴10－8＜BE ＜10+8，即2＜BE ＜18， ∴1＜BD ＜9；故答案为：SAS ；1＜BD ＜9；（2）证明：延长ND 至点F ，使FD ＝ND ，连接AF 、MF ， 同（1）得：△AFD ≌△CND （SAS ）， ∴AF ＝CN ，FD ＝ND ， ∵DM ⊥DN ，∴MDN MDF ∠=∠＝90° 在△MDN 和△MDF 中，MD MD MDN MDF DN DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MDN ≌△MDF ∴MF ＝MN ，在△AFM 中，由三角形的三边关系得：AM +AF ＞MF ， ∴AM +CN ＞MNF图2N M DCBA(2)角平分线型例题5 如图，已知OC 平分∠AOB ，点E 、F 分别在边OA 、OB 上，且EC =FC ．若∠AOB =60°，求∠ECF 的度数；OF E CBA解：过点C 作CM ⊥OB ，CN ⊥OA ，∵CM ⊥OB ，CN ⊥OA ， ∴CNO CMO ∠=∠ ∵OC 平分∠AOB ， ∴AOC BOC ∠=∠ 在△NOC 和△MOC 中，CNO CMO NOC MOC OC OC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△NOC ≌△MOC ∴CN =CM ，在Rt △ECN 和Rt △FCM 中CN CMCE CF=⎧⎨=⎩ ∴Rt △ECN ≌Rt △FCM ， ∴∠NCE =∠MCF ，∴∠AOB +∠ECF =∠AOB +∠NCM =180°， ∵∠AOB =60°， ∴∠ECF =120°；N M OF E CBA(3)K 型全等例题6王强同学用10块高度都是2cm 的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（AC ＝BC ，∠ACB ＝90°），点C 在DE 上，点A 和B 分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．【解答】解：由题意得：AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD ⊥DE ，BE ⊥DE ， ∴∠ADC ＝∠CEB ＝90°，∴∠ACD +∠BCE ＝90°，∠ACD +∠DAC ＝90°， ∴∠BCE ＝∠DAC ， 在△ADC 和△CEB 中，ADC CEB DAC BCE AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADC ≌△CEB （AAS ）；由题意得：AD ＝EC ＝6cm ，DC ＝BE ＝14cm ， ∴DE ＝DC +CE ＝20（cm ）， 答：两堵木墙之间的距离为20cm ．变式：如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线BD 上，转轴B 到地面的距离BD ＝3m ．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A 时，测得点A 到BD 的距离AC ＝2m ，点A 到地面的距离AE ＝1.8m ；当他从A 处摆动到A ′处时，有A 'B ⊥AB ． （1）求A ′到BD 的距离； （2）求A ′到地面的距离．A '地面EDCB A32HF 1A '地面EDC BA解：（1）作A 'F ⊥BD ，垂足为F ． ∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠A 'FB ＝90°； 在Rt △A 'FB 中，∠1+∠3＝90°； 又∵A 'B ⊥AB ，∴∠1+∠2＝90°， ∴∠2＝∠3；在△ACB 和△BF A '中，23ACB A FB AB A B '∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪'=⎩∴△ACB ≌△BF A '（AAS ）； ∴A 'F ＝BC∵AC ∥DE 且CD ⊥AC ，AE ⊥DE ， ∴CD ＝AE ＝1.8；∴BC ＝BD －CD ＝3－1.8＝1.2， ∴A 'F ＝1.2，即A '到BD 的距离是1.2m ． （2）由（1）知：△ACB ≌△BF A ' ∴BF ＝AC ＝2m ， 作A 'H ⊥DE ，垂足为H ． ∵A 'F ∥DE ， ∴A 'H ＝FD ，∴A 'H ＝BD －BF ＝3－2＝1，即A '到地面的距离是1m ．拓展提升：例题7（1）如图1：在四边形ABC 中，AB ＝AD ，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠ADC ＝90°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点．且∠EAF ＝60°．探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系并证明． （提示：延长CD 到G ，使得DG ＝BE ） （2）如图2，若在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°．E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝12 ∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由；图１GDFECBA图2DFE CBAO图3N FEB A（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O 处）北偏西20°的A 处，舰艇乙在指挥中心南偏东60°的B 处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E ，F 处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．（可利用（2）的结论） 【解答】解：（1）EF ＝BE +DF ； 证明：如图1，延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连接AG ， 在△ABE 和△ADG 中，＝B ADG DG BE AB AD =⎧∠=∠⎪⎨⎪⎩， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ）， ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ， ∵∠EAF ＝12 ∠BAD ，∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF ＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD －∠EAF ＝∠EAF ，在△AEF 和△AGF 中，＝EAF GA AE AG AF AF F =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ）， ∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ， ∴EF ＝BE +DF ；（2）EF ＝BE +DF 仍然成立．证明：延长FD 到G ，使DG ＝BE ，连接AG ， ∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADG ＝180°， ∴∠B ＝∠ADG ， 在△ABE 和△ADG 中，＝B ADG DG BE AB AD =⎧∠=∠⎪⎨⎪⎩， ∴△ABE ≌△ADG （SAS ）， ∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG ， ∵∠EAF ＝12 ∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG +∠DAF＝∠BAE +∠DAF ＝∠BAD －∠EAF ＝∠EAF ，在△AEF 和△AGF 中，＝EAF GA AE AG AF AF F =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩， ∴△AEF ≌△AGF （SAS ）， ∴EF ＝FG ，∵FG ＝DG +DF ＝BE +DF ， ∴EF ＝BE +DF ；（3）如图3，连接EF ，延长AE 、BF 相交于点C ， ∵∠AOB ＝20°+90°+（90°－60°）＝140°， ∠EOF ＝70°， ∴∠EOF ＝12 ∠AOB ， 又∵OA ＝OB ，∠OAC +∠OBC ＝（90°－20°）+（60°+50°）＝180°， ∴符合探索延伸中的条件， ∴结论EF ＝AE +BF 成立，即EF ＝1×（60+80）＝140（海里）． 答：此时两舰艇之间的距离是140海里．图2GDFECBAO图3N FECB A【课后练习】 一、选择题1．工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同的到刻度分别与点M 、N 重合，过角尺顶点C 作射线OC 由此作法便可得△NOC ≌△MOC ，其依据是（ ）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【解答】解：∵在△ONC和△OMC中ON OM CO CO NC MC=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，故选：A．2．某实验室有一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，胡老师想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，胡老师要带的玻璃编号是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：因为第2块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第2块．故选：B．3．如图，平安路与幸福路是两条平行的道路，且都与新兴大街垂直，老街与小米胡同垂直，书店位于老街与小米胡同的交口处．如果小强同学站在平安路与新兴大街交叉路口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程为（）A ．300mB ．400mC ．500mD ．700m【解答】解：如图所示，设老街与平安路的交点为C ．∵BC ∥AD ，∴∠DAE ＝∠ACB ，又∵BC ⊥AB ，DE ⊥AC ，∴∠ABC ＝∠DEA ＝90°，在△ABC 和△DEA 中ACB DAE CBA AED AB DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEA （AAS ），∴EA ＝BC ＝300m ，AC ＝AD ＝500m ，∴CE ＝AC －AE ＝200m ，从B 到E 有两种走法：①BA +AE ＝700m ；②BC +CE ＝500m ，∴最近的路程是500m ．故选：C ．二、填空题4．如图所示，将两根钢条AA ′、BB ′的中点O 连在一起，使AA ′、BB ′可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工具，则A 'B '的长等于内槽宽AB ，那么判定△OAB ≌OA 'B '的理由是 SAS ．【解答】解：∵OA＝OA′，OB＝OB′，∠AOB＝∠A′OB′，∴△OAB≌△OA′B′（SAS）所以理由是SAS．5. 如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降40cm时，这时小明离地面的高度是90cm．【解答】解：在△OCF与△ODG中，OCF ODGCOF DOGOF OG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△OCF≌△ODG（AAS），∴CF＝DG＝40，∴小明离地面的高度是50+40＝90，故答案为：90．6．如图，在正方形ABCD中，AB＝8厘米，如果动点P在线段AB上以2厘米/秒的速度由A点向B点运动，同时动点Q在以1厘米/秒的速度线段BC上由C点向B点运动，当点P到达B点时整个运动过程停止．设运动时间为t秒，当AQ⊥DP时，t的值为秒．Q PDCB A【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形∴AD ＝AB ，∠B ＝∠BAD ＝90°∵AQ ⊥DP∴∠QAD +∠ADP ＝90°，且∠DAQ +∠BAQ ＝90°∴∠BAQ ＝∠ADP ，在△ABQ 和△DAP 中＝＝BAQ ADP AB AD B BAD ⎧∠∠=∠∠⎪⎨⎪⎩∴△ABQ ≌△DAP （ASA ）∴AP ＝CQ∴2t ＝8－t∴t ＝83故答案为：83三、解答题7．为了测量一幢高楼高AB ，在旗杆CD 与楼之间选定一点P ．测得旗杆顶C 视线PC 与地面夹角∠DPC ＝38°，测楼顶A 视线P A 与地面夹角∠APB ＝52°，量得P 到楼底距离PB 与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为DB ＝33米，计算楼高AB 是多少米？PD B【解答】解：∵∠CPD＝38°，∠APB＝52°，∠CDP＝∠ABP＝90°，∴∠DCP＝∠APB＝52°，在△CPD和△P AB中∵CDP ABPDC PBDCP APB∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△CPD≌△P AB（ASA），∴DP＝AB，∵DB＝33，PB＝8，∴AB＝33－8＝25（m），答：楼高AB是25米．8．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20m有一树C，继续前行20m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为5米．求：（1）河的宽度是多少米？（2）请你证明他们做法的正确性．【解答】（1）解：河的宽度是5m ；（2）证明：由作法知，BC ＝DC ，∠ABC ＝∠EDC ＝90°，在△ABC 和△EDC 中，ABC EDC BC DCACB ECD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ABC ≌△EDC （ASA ），∴AB ＝ED ，即他们的做法是正确的．9．如图，点C 、E 分别在直线AB 、DF 上，小华想知道∠ACE 和∠DEC 是否互补，但是他没有带量角器，只带了一副三角板，于是他想了这样一个办法：首先连结CF ，再找出CF 的中点O ，然后连结EO 并延长EO 和直线AB 相交于点B ，经过测量，他发现EO ＝BO ，因此他得出结论：∠ACE 和∠DEC 互补，而且他还发现BC ＝EF ．小华的想法对吗？为什么？O F E D CBA解：∵O 是CF 的中点，∴CO ＝FO （中点的定义）在△COB 和△FOE 中＝COB EO CO FO EO BO F =⎧=∠∠⎪⎨⎪⎩，∴△COB ≌△FOE （SAS ）∴BC ＝EF （对应边相等）∠BCO ＝∠F （对应角相等）∴AB ∥DF （内错角相等，两直线平行）∴∠ACE 和∠DEC 互补（两直线平行，同旁内角互补），10．如果将四根木条首尾相连，在相连处用螺钉连接，就能构成一个平面图形．（1）若固定三根木条AB ，BC ，AD 不动，AB ＝AD ＝2cm ，BC ＝5cm ，如图，量得第四根木条CD ＝5cm ，判断此时∠B 与∠D 是否相等，并说明理由．（2）若固定一根木条AB 不动，AB ＝2cm ，量得木条CD ＝5cm ，如果木条AD ，BC 的长度不变，当点D 移到BA 的延长线上时，点C 也在BA 的延长线上；当点C 移到AB 的延长线上时，点A 、C 、D 能构成周长为30cm 的三角形，求出木条AD ，BC 的长度．D CBA解：（1）相等．理由：连接AC ，在△ACD 和△ACB 中，∵AC AC AD AB CD BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△ACB （SSS ），∴∠B ＝∠D ；D CBA（2）设AD ＝x ，BC ＝y ， 由题意点C 在点D 右侧，可得25(2)530x y x y +=+⎧⎨+++=⎩， 解得1310x y =⎧⎨=⎩；∴AD ＝13cm ，BC ＝10cm ．。
利用三角形全等解决实际问题
利用三角形全等解决实际问题三角形全等是几何学中的一个重要概念，它具有广泛的应用。
通过运用三角形全等，我们可以解决实际生活和工作中的很多问题。
本文将介绍三角形全等的定义与性质，并通过几个实例来说明如何利用三角形全等解决实际问题。
三角形全等定义与性质在几何学中，三角形全等是指两个三角形的对应边和对应角完全相等。
当两个三角形的三个边和三个角分别相等时，我们可以得出这两个三角形全等的结论。
换句话说，如果两个三角形的三个边长度和三个夹角大小分别相等，那么这两个三角形就是全等的。
利用三角形全等解决实际问题的实例例1：测量高楼的高度假设我们在测量一座高楼的高度时，无法直接测量，但我们可以通过测量影子的长度来获得一些有用的信息。
为了解决这个问题，我们可以利用三角形全等的原理。
首先，选择一棵垂直于地面的直杆，使得直杆的长度和影子的长度成等比例。
然后，测量直杆的长度和它的投影长度，以及高楼的投影长度。
由于直杆和高楼的投影都是等比例关系，而直杆和影子之间的三角形是全等的，我们可以通过设置一个方程组来解决问题，从而计算出高楼的高度。
例2：求解行走距离假设我们需要从A点到B点行走，但由于某些原因，我们只能从A 点看到B点的某一侧，不直接看到B点。
为了确定行走的距离，我们可以利用三角形全等原理。
首先，从A点出发，设想一条虚拟的直线使其与B点相连。
然后，选择一个合适的地方设立一个测量点C，使得C点能够和B点连成一条直线。
测量AC的长度和∠C的角度。
由于三角形ABC与实际的三角形ABD是全等的，我们可以通过计算得到BD的长度，进而确定行走的距离。
总结通过本文的介绍，我们了解了三角形全等的定义与性质，并且通过两个实际问题的解决，展示了如何利用三角形全等来解决实际问题。
三角形全等在几何学中发挥着重要的作用，通过合理运用三角形全等的原理，我们可以解决许多实际问题，提升工作和生活的效率。
虽然本文只提供了两个实例，但是通过进一步的学习和实践，我们可以应用三角形全等的原理解决更多的实际问题。
全等三角形六种常见的实际应用
专训1六种常见的实际应用名师点金：利用三角形全等解决实际问题的步骤：(1)明确应用哪些知识来解决实际问题；(2)根据实际问题抽象出几何图形；(3)结合图形和题意分析已知条件；(4)找到已知与未知的联系，寻求恰当的解决途径，并表述清楚．利用三角形全等测量能到两端的距离1．如图，为了测量出池塘两端A，B之间的距离，在地面上找到一点C，连接BC，AC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，那么只要测量出AD的长度就得到了A，B两点之间的距离．你能说明其中的道理吗(第1题)利用三角形全等求两端的距离2．【中考·宜昌】杨阳同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语．其具体信息汇集如下，|如图，AB∥OH∥CD，相邻两平行线间的距离相等．AC，BD相交于O，OD⊥CD垂足为D.已知AB＝20米．请根据上述信息求标语CD的长度．(第2题)利用三角形全等测量物体的内径3．如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，动手制作一个简单的工具，利用三角形全等的知识，求出x.(第3题)利用三角形全等解决工程中的问题4．如图，工人师傅要在墙壁的点O处用钻打孔，要使孔口从墙壁对面的点B处打开，墙壁厚35 cm，点B与点O的垂直距离AB长20 cm，在点O处作一直线平行于地面，再在直线上截取OC＝35 cm，过点C作OC的垂线，在垂线上截取CD＝20 cm，连接OD，然后沿着DO的方向打孔，结果钻头正好从点B处打出，这是什么道理`(第4题)利用三角形全等解决面积问题5．育新中学校园内有一块直角三角形(Rt△ABC，∠BAC＝90°)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了一串红，在△ACD区域内种植了鸡冠花，并量得两直角边AB＝20 m，AC＝10 m，求两种花草的种植面积各是多少．(第5题)利用角平分线的判定和性质设计方案6．如图，湖边的三条公路两两相交于A，B，C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路的距离相等，则可供选择的地方有多少处【导学号：】(第6题)答案1．解：因为∠ACB＝90°，所以∠ACD＝180°－∠ACB＝90°.在△ABC和△ADC中，、⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DC ，∠ACB＝∠ACD，AC ＝AC ，所以△ABC≌△ADC (SAS )． 所以AB ＝AD. 2．解：∵AB∥DC， ∴∠ABO＝∠CDO. 又∵DO⊥CD， ∴∠CDO＝90°，∴∠ABO＝90°，即BO⊥AB， ∵相邻两平行线间的距离相等， ∴BO＝DO.又∵∠AOB＝∠COD， ∴△BOA≌△DOC.{∴CD＝AB ＝20米．(第3题)3．解：可设计如图所示的工具，其中O 为AC ，BD 的中点． 在△AOB 和△COD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AO ＝CO ，∠AOB＝∠COD，BO ＝DO ，所以△AOB≌△COD (SAS )．所以AB ＝CD ，即CD 的长就是A ，B 间的距离． 因为AB ＝a －2x ， 所以x ＝a －AB 2＝a －CD 2.4．解：在△AOB 和△COD 中，!⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ，∠OAB＝∠OCD＝90°，AB ＝CD ，所以△AOB≌△COD (SAS )． 所以∠AOB＝∠COD.又因为∠AOB＋∠BOC＝180°， 所以∠BOC＋∠COD＝180°，即∠BOD＝180°.所以D ，O ，B 三点在同一条直线上． 所以钻头沿着DO 的方向打孔，一定从点B 处打出． 5．解：由已知，AB ＝20 m ，AC ＝10 m .在Rt △ABC 的边AB 上取点E ，使AE ＝AC ＝12AB.连接DE.∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠CAD＝∠BAD.~又∵AD 是△ACD 和△AED 的公共边， ∴△ACD≌△AED (SAS )． ∴S △ACD ＝S △AED .又易得S △AED ＝S △BED ＝12S △ABD .∴S △ACD ＝13S △ABC ＝16×20×10＝1003 m 2.S △ABD ＝2003m 2.答：一串红的种植面积是2003 m 2，鸡冠花的种植面积是1003 m 2.6．解：如图所示．①作出△ABC 的两个内角的平分线，其交点为O 1； ②分别作出△ABC 外角平分线，其交点分别为O 2，O 3. 故满足条件的修建点有三处，即点O 1，O 2，O 3.(第6题)点拨：解题的关键是分情况讨论：分所选位置在三条公路所围三角形的内部和外部两种情况．本章角平分线的性质和判定定理尚未学到，但结合全等三角形的判定及性质，很容易理解角平分线的性质及判定定理．前后呼应相得益彰．。
全等三角形的重要意义及其应用——三角形学习方案二
全等三角形的重要意义及其应用——三角形学习方案二。
全等三角形的重要意义：
1.全等三角形是数学中最基本和最重要的概念之一。
全等三角形的研究是三角形学习的核心，也是建立在三角形学习基础之上的。
2.全等三角形的研究可以帮助学生进一步了解三角形的性质、特征和规律，掌握三角形的分类和判定方法，提高数学思维能力和解决问题的能力。
3.全等三角形的研究也可以帮助学生认识到三角形的基本概念和几何学基本原理，这些基本概念和原理对于后续数学学习和其他学科的学习都具有重要的作用。
全等三角形的应用：
1.在测量工程中，全等三角形可以用于求解长度、角度和面积等量值。
通过全等三角形的基本理论，可以快速且准确地确定不可直接测量的物理量。
2.在建筑工程和城市规划领域中，全等三角形的基本原理也是很重要的。
通过分析和应用全等三角形的基本原理，可以预测建筑物和城市中的各种形状和结构的稳定性，确保它们能够在各种情况下各自保持平衡和稳定。
3.在机械制造、航空航天和船舶工程等领域中，全等三角形
也是很重要的。
在这些领域中，人们需要准确地计算和设计各种机件和结构，而全等三角形的基本原理可以帮助人们快速计算、确定和设计这些结构。
全等三角形是三角形学习和数学学科中最基本的概念之一。
通过研究和应用全等三角形，不仅可以帮助学生加深对三角形的认识和理解，还能让他们更好地掌握数学思维方法和解决问题的能力。
同时，全等三角形也被广泛地应用于各个领域，为我们的生活和工作提供了良好的支持和帮助。
在生活中应用全等三角形测距离
在生活中应用全等三角形测距离在现实生活中，有很多问题需要用全等三角形的知识来解决。
下面，我们举例谈谈怎样构造全等三角形，测量两地的距离，看看在实际生活中的应用。
例1：有一池塘，要测池塘两端A、B间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连结AC并延长到D，使CD=CA，连结BC并延长到E，使CE=CB，连结DE，量出DE的长，这个长就是A、B之间的距离。
（1）按题中要求画图。
（2）说明DE=AB的理由，并试着把说明的过程写出来。
解：（1）如图1。
（2）因为在△ABC和△DEC中，CA CDACB DCECB CE所以△ABC≌△DEC所以DE=AB例2、如图2，某同学把一块三角形的玻璃摔成了三块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以（）A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去。
析解：怎样做一个三角形与已知三角形全等，可以依据全等三角形的判定方法进行具体分析，题目中的一块三角形的玻璃被摔成三块，其中①仅留一个角，仅凭一个角无法做出全等三角形；而②没边没角；③存在两角和夹边，于是根据“ASA”不难做出与原三角形全等的三角形。
故应选C。
例3、如图3、小红和小亮两家分别位于A、B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案。
分析：本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，使一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，就可求出两家的距离。
方案：如图3，在点B所在的河岸上取点C，连结BC并延长到D，使CD=CB，利用测角仪器使得∠B=∠D，A、C、E三点在同一直线上。
测量出DE的长，就是AB的长。
因为∠B=∠D，CD=CB，∠ACB=∠ECD，所以△ACB≌△ECD所以AB=DE。
例4、如图4，点C是路段AB的中点，两人从C点同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到过D、E两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D、E到路段AB 的距离相等吗？为什么？分析：因为两人是以相同的速度从点C同时出发，且同时到达D、E两点，所以CD=CE。
相似三角形和全等三角形
相似三角形和全等三角形相似三角形和全等三角形是初中数学中的重要知识点，本文将分别介绍相似三角形和全等三角形的定义、性质以及应用。
一、相似三角形1. 定义相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
即两个三角形的对应角度相等，但对应边长不相等。
2. 性质相似三角形有一些重要的性质：(1) 相似三角形的对应边成比例。
(2) 相似三角形的对应高线、中线、角平分线也成比例。
(3) 相似三角形的面积成比例的平方。
(4) 相似三角形的周长成比例。
(5) 相似三角形的内角和相等。
3. 应用相似三角形在实际应用中有着广泛的用途。
比如：(1) 制图时，可以利用相似三角形的性质，根据已知图形的大小比例绘制出所需图形。
(2) 在建筑工程中，可以通过相似三角形的性质，测量出高度、距离等。
(3) 在计算机图形学中，利用相似三角形的性质，可以将一个图形放大或缩小。
二、全等三角形1. 定义全等三角形是指具有相同大小和形状的三角形。
即两个三角形的对应边长相等，对应角度也相等。
2. 性质全等三角形有一些重要的性质：(1) 全等三角形的对应角度相等。
(2) 全等三角形的对应边相等。
(3) 全等三角形的对应高线、中线、角平分线也相等。
(4) 全等三角形的面积相等。
(5) 全等三角形的周长相等。
3. 应用全等三角形在实际应用中也有着广泛的用途。
比如：(1) 在建筑工程中，可以利用全等三角形的性质，确定角度、距离等。
(2) 在制图时，可以利用全等三角形的性质，绘制出所需图形。
(3) 在计算机图形学中，利用全等三角形的性质，可以进行图形变换，如旋转、平移等。
相似三角形和全等三角形在数学和实际应用中有着广泛的用途。
掌握它们的定义、性质和应用，对于提高数学水平和解决实际问题都具有重要意义。
全等三角形在生活中应用
活动二
提供活动材料： 吸管 曲别针 剪刀 打火机 铁丝 针 胶条 卷尺 纸条 圆规 A4纸 水彩笔
活动二
小组方法展示
活动二
答案揭晓
23.5cm
1号
23.5cm
3号
25.5cm
2号
25.5cm
4号
25.5cm
5号
活动二
组内交流
收获分享
这节课你有什么体会和收获吗？ 与大家一起分享吧！
课外 体验
脚长 23. 23.5 24.0 24.5 25.0 25.5 26.0 26.5 27.0 27.5 （cm) 0
鞋号
23. 23.5 24.0 24.5 25.0 25.5 26.0 26.5 27.0 27.5 0
脚码号 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45
活动一
欧码 中国鞋码
(EUR） （CHIN） （厘米）
34
22
35
22.5
36
23
37
23.5
38
24
39
24.5
40
25
4你1 看到了2什5么.5？
42
26
美码 (US)
2 2.5 3.5 4 5 6 7 7.5
8
鞋的内长怎 样来测呢？
活动一
活动二
测量鞋的内长
活动二
提示： 1、每一组用一种方法测出结果，
在A4纸上写清：组号+鞋号+测量数值， 将纸贴到展板上。 有几种方法，可以贴几张。 2、活动中一定注意安全。
1、请同学们根据今天这节内容，写一篇 数学小论文，题目自拟。
2、请同学们回家测一测父母的鞋子内长， 用照片或小视频记录下活动过程。
生活中全等图形的例子
生活中全等图形的例子
现代生活中，全等图形无处不在，存在于我们手中的各种电子产品、家里的家具以及外面的建筑等等，它们扮演着极其重要的角色，他们在空间变换中为我们提供了许多方便。
全等图形的最常见的例子就是三角形。
三角形的一个基本性质就是它的三边长度相等，在实际应用中有广泛的用途，比如家具的拼接，两个三角形的相接点处刚好可以形成一个应用的连接，并且更加牢固。
另外，三角形也常见于建筑设计中，它们可以用来组成一些会牢固耐用的框架，比如以三角形为主要结构的建筑屋顶，尽管用三角形建一个完整的房屋可能比较困难，但是在建筑物的架子构造上三角形仍然是一种常用的结构。
除了三角形，正方形也是一种全等图形，它的每条边都具有相同的长度和宽度，在我们的日常生活中，正方形也经常被用来建构一些实用性很强的物件，比如桌子和椅子，他们能提供足够的空间使我们能够使用，而且正方形由于每条边相等，可以更容易的拼接。
此外，圆形也是一种全等图形，它最常用于建筑设计，比如用圆形建造的大厅等等，它可以提供舒适的使用空间，而且由于圆形的特殊性，可以更容易的进行结构的设计，工程师也可以更加精准的进行计算。
而在电子产品中也广泛存在着各种圆形外形的零件，比如智能手机里的按键，他们圆润柔和的曲线能够更舒适的被人摸抚，使得产品体验更高级。
总之，全等图形在我们的日常生活中有着非常广泛的应用，它们
既可以为建筑结构带来更多的新的可能，又可以使用在电子产品的设计中，这些图形的共同特点就是他们的每条边都具有相同的长度，它们能为我们的生活提供无限的可能性。
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全等三角形在生活中的应用
在全等图形中，全等三角形是最基本，应用最广泛的一类图形，利用全等三角形的有关知识，不仅可以帮助我们进行决策，还可以帮助我们制作一些仪器，现举例说明这个问题，供同学们学习时参考．
一、仪器我也会做
例1 如图1是小亮做的一个平分角的仪器，其中AB=AD ，BC=DC ，
将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线
AE ，AE 就是角平分线．你能说明其中的道理吗？
分析：由已知条件易得△ABC 和△ADC 全等，由全等三角形的对应
角相等，可知∠BAC=∠DAC ，即AE 是角平分线．
解：已知AB=AD ，BC=DC ，
又因为AC 是公共边，所以△ABC ≌△ADC ，
所以∠BAC=∠DAC ．
所以AE 是角平分线．
评析：利用三角形全等的知识，常常可以说明两个角相等的问题．
二、巧测内口直径
例2 小红家有一个小口瓶（如图2所示），她很想知道它的内径是多少？但是尺子不能伸在里边直接测，于是她想了想，唉！有办法了．
她拿来了两根长度相同的细木条，并且把两根长木条的中点固定在一起，木条可以绕中点转动，这样只要量出AB 的长，就可以知道玻璃瓶的内径是多少．你知道这是为什么吗？请说明理由．（木条的厚度不计）
分析：只要量出AB 的长，就知道内径是多少？显然只需要说明AB 和CD 相等就行． 解：连结AB ，CD ，
因为AO=DO ，BO=CO ， 图 1
图2
又因为∠AOB=∠DOC，
所以△ABO≌△DCO（SAS）．
所以AB=CD，也就是AB的长等于内径CD的长．
评析：利用三角形全等的知识，可以说明线段长相等的问题．
三、距离相等的解释
例3 如图3，从小丽家（C处）到学校A和菜市场B的夹角∠C是锐角，又知道从小丽家到学校、菜市场的距离相等，小丽说学校到路段BC的距离AD与菜市场
到路段AC的距离BE相等，你认为她说的有道理吗？请说明理由．
分析：只要能说明AD与BE相等，就说明她说的有道理．
解：小丽说的有道理，理由如下：
图3 已知AC=BC，
因为∠ADC=∠BEC=90°，
又因为∠C是公共角，
所以△ACD≌△BCE，
所以AD=BE．
即学校到路段BC的距离与菜市场到路段AC的距离相等．
你还知道全等三角形有哪些应用，说出来和同学们交流交流！
应把握的两种模型
利用三角形全等测距离，主要有以下两种模型：
一、视线模型
当需要测量距离的两个点中有一个点无法接近时，常采用这种方法. 视线法简便易行，但有一定的误差，一般在仅适应于目测的情况下使用. 如：
例1如图1所示，在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为用炮火实施定点轰炸，需要测量我军阵地与敌军碉堡隔的距离，在不能过河测量又没有任何测量工具的
情况下，一个战士想出来一个办法，他面向碉堡方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐，正好落在碉堡的底部，然后转过一个角度，身体保持刚才的姿势，使视线落在我军一岸的某一点上，接着他用步测法测出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡之间的距离.你能解释其中的道理吗？
解：这个战士实际上是运用了全等三角形的知识. 要说明其中的道理，首先要根据实际情景建立数学模型，将情景中示意图抽象为几何图形.如图2所示，我军阵地与敌军碉堡之间的距离无法测量，即AC不可测量，但线段FD的长度可以测得，又因为战士与地面是垂直的，也就是∠BCA＝∠EFD＝90°，另外战士的身高与姿态是不变的，所以BC＝EF，
∠ABC＝∠FED.依据“SAS”可知△ABC≌△DEF，所以AC＝FD.所以只要测得FD的距离，就可得到AC的距离.
这就是“视线法”的基本模型与解题原理.
二、构图模型
当需要测量距离的两点均可到达，但两点之间不能通过直接测得距离时，可通过构造两个全等的三角形，进行间接的测量.构图法间接测量的结果比较准确.如：例2如图3所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量这两点之间的距离，但绳子不够长，老师为他出了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B 两点的点C，连接AC并延长到点D，使DC＝AC；连接BC并延长BC到点E，使CE＝CB，连接DE并测出它的长度，DE的长度就是A，B之间的距离.你能说明其中的道理吗？
解：池塘两端的A点和B点不好直接测量，取一个可以直接到达A，B两点的点C，连接AC并延长的D，使DC＝AC；连接BC并延长BC到点E，使CE＝CB，这样在△ABC 与△DEC中，有CA＝CD，CB＝CE，且∠ACB＝∠ECD，则依据“SAS”可得△ABC≌△DEC，从而DE＝AB，因为DE是可直接测得的，这样即可得到AB的距离.
这就是“构图法”的基本模型与解题原理.。