2018-2019学年广东省深圳市南山区高二(下)期末数学试卷(理科)
2018-2019学年广东省深圳市南山区高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．1．（5分）复平面内，复数z＝对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）若（2﹣x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则实数a的值为（）A．﹣2B．2C．﹣1D．13．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2﹣ax+b＝0至多有一个实根”时，则下列假设中正确的是（）A．方程x2﹣ax+b＝0没有实根B．方程x2﹣ax+b＝0至多有一个实根C．方程x2﹣ax+b＝0恰好有两个实数根D．方程x2﹣ax+b＝0至多有两个实根4．（5分）己知某产品的销售额y与广告费用x之间的关系如表：若求得其线性回归方程为＝6.5x+，其中＝﹣，则预计当广告费用为6万元时的销售额是（）A．42万元B．45万元C．48万元D．51万元5．（5分）已知函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的倾斜角为（）A．B．C．D．6．（5分）已知某随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜ξ＜1）＝0.3，则P（ξ＜2）＝（）A．0.8B．0.75C．0.7D．0.67．（5分）已知x＝是函数f（x）＝x（lnax+1）的极值点，则实数a的值为（）A．B．C．1D．e8．（5分）已知随机变量x的分布列表如表，且随机变量y＝2x+3，则y的期望是（）A．B．C．﹣D．39．（5分）某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（）A．60B．48C．36D．2410．（5分）已知函数f（x）的图象如图，设f′（x）是f（x）的导函数，则（）A．f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）B．f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）C．f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）D．f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）11．（5分）大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）对∀x∈R有f（x）+f（﹣x）＝2cos x，且f′（x）+sin x＜0，若角α满足不等式f（π+α）+f（α）≥0，则α的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，π]C．[﹣，]D．[0，]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）定积分dx的值等于．14．（5分）已知cos＝，cos cos＝，cos cos cos＝，…，根据上述等式的规律，可猜想出一般性的结论是．15．（5分）已知a∈[0，3]，若（x2+）6展开式的常数项的值不大于15，则a取值范围为16．（5分）若2xlnx＞﹣x2+ax﹣3对一切x∈（0，+∞）恒成立，则a的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知i为虚数单位，m为实数，复数z＝（m+i）（1﹣2i）．（Ⅰ）m为何值时，z是纯虚数；（Ⅱ）若|z|≤5，求|z﹣1|的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）＝lnx+，k∈R．（Ⅰ）若k＝2，求函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）若不等式f（x）≥3﹣恒成立，求实数k的取值范围．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a n≥1，且4S n＝（a n+1）2，n∈N*．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法予以证明．20．（12分）2019年6月13日，三届奥运亚军，羽坛传奇，马来西亚名将李宗伟宣布退役，当大有大量网友关注此事件，某网上论坛从关注此事件跟帖中，随机抽取了100名网友进行调查统计，先分别统计他们在跟帖中的留言条数，再把网友人数按留言条数分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到如图所示的频率分布直方图：并将其中留言不低于40条的规定为“强烈关注”，否则为一般关注”，对这100名网友进一步统计，得到部分数据如下的列联表．．（I）在答题卡上补全2×2列联表中数据，并判断能否有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关？（Ⅱ）论坛欲在上述“强烈关注的网友中按性别进行分层抽样，共抽取5人，并在此5人中随机抽取两名接受访谈，记女性访谈者的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．参考公式与数据：K2＝，其中n＝a+b+c+d．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣axlnx，g（x）＝（1﹣）x．（Ⅰ）若函数f（x）恰有一个极值点，求实数a的取值范围：（Ⅱ）当a∈（﹣1，0），且x∈（0，+∞）时，证明：≤g（x）＜，（常数e＝2.718…，e是自然对数的底数）请考生在第22、23题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1：y＝，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin（α﹣）．（Ⅰ）若点P（x0，y0）在曲线C1上，求﹣x0+y0的取值范围；（Ⅱ）设直线l与曲线C2交于M、N两点，点Q的直角坐标为（﹣2，1），求||QM|﹣|QN||的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝3|x|+|3﹣x|．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若不等式f（x）＜5的解集为M，且a，b∈M，证明：ab＞a+b﹣1．2018-2019学年广东省深圳市南山区高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题有且只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上．1．（5分）复平面内，复数z＝对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】用两个复数代数形式的乘除法法则，化简复数得到a+bi的形式，从而得到复数在复平面内的对应点的坐标，得到位置．【解答】解：复数＝＝1+i∴复数的在复平面内的对应点（1，1）．在复平面内，复数对应的点位于第一象限．故选：A．【点评】本题考查两个复数代数形式的乘除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，考查复数与复平面内对应点之间的关系，是一个基础题．2．（5分）若（2﹣x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则实数a的值为（）A．﹣2B．2C．﹣1D．1【分析】根据题意，用特殊值法，在（2﹣x3）（x+a）5中，令x＝1可得（2﹣1）（1+a）5＝32，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，（2﹣x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，令x＝1可得：（2﹣1）（1+a）5＝32，解可得：a＝1，故选：D．【点评】本题考查二项式定理的应用，注意特殊值的应用．3．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2﹣ax+b＝0至多有一个实根”时，则下列假设中正确的是（）A．方程x2﹣ax+b＝0没有实根B．方程x2﹣ax+b＝0至多有一个实根C．方程x2﹣ax+b＝0恰好有两个实数根D．方程x2﹣ax+b＝0至多有两个实根【分析】由二次方程实根的分布，可设方程x2﹣ax+b＝0恰好有两个实根．【解答】解：证明“设a，b为实数，则方程x2﹣ax+b＝0至多有一个实根”，由反证法的步骤可得第一步假设方程x2﹣ax+b＝0恰好有两个实根，故选：C．【点评】本题考查反证法的运用，注意解题步骤，以及假设及否定的叙述，考查推理能力，属于基础题．4．（5分）己知某产品的销售额y与广告费用x之间的关系如表：若求得其线性回归方程为＝6.5x+，其中＝﹣，则预计当广告费用为6万元时的销售额是（）A．42万元B．45万元C．48万元D．51万元【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得，则线性回归方程可求，取x＝6求得y值即可．【解答】解：，，样本点的中心的坐标为（2，22），代入＝﹣，得．∴y关于x得线性回归方程为y＝6.5x+9．取x＝6，可得y＝6.5×6+9＝48（万元）．故选：C．【点评】本题考查线性回归方程的求法，考查计算能力，是基础题．5．（5分）已知函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在x＝1处的切线的倾斜角为（）A．B．C．D．【分析】求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由直线的斜率公式，可得所求倾斜角．【解答】解：函数f（x）＝的导数为f′（x）＝﹣，可得y＝f（x）在x＝1处的切线的斜率为k＝﹣1，即tanα＝﹣1，α为倾斜角，可得α＝．故选：B．【点评】运用导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，是解题的关键．6．（5分）已知某随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（0＜ξ＜1）＝0.3，则P（ξ＜2）＝（）A．0.8B．0.75C．0.7D．0.6【分析】直接利用正态分布曲线的对称性求解．【解答】解：∵ξ～N（1，σ2），且P（0＜ξ＜1）＝0.3，∴P（ξ≥2）＝P（ξ≤0）＝P（ξ＜1）﹣P（0＜ξ＜1）＝0.5﹣0.3＝0.2．∴P（ξ＜2）＝1﹣P（ξ≥2）＝1﹣0.2＝0.8．故选：A．【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．7．（5分）已知x＝是函数f（x）＝x（lnax+1）的极值点，则实数a的值为（）A．B．C．1D．e【分析】利用函数的导数和函数f（x）＝x（lnax+1）取极值点x＝时导函数为0可求得a的值．【解答】解：函数f（x）＝x（lnax+1）的极值点，所以：f′（x）＝（lnax+1）+1＝2+lnax；因为x＝是函数f（x）＝x（lnax+1）的极值点，则：f′（）＝2+lna＝0；所以：lna＝﹣2；解得：a＝；则实数a的值为；故选：B．【点评】考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题8．（5分）已知随机变量x的分布列表如表，且随机变量y＝2x+3，则y的期望是（）A．B．C．﹣D．3【分析】由随机变量X的分布列求出a，求出E（X），由Y＝2X+3，得E（Y）＝2E（X）+3，由此能求出结果．【解答】解：由随机变量X的分布列得：++a＝1，解得a＝，∴E（X）＝﹣1×+0×+1×＝﹣，∵Y＝2X+3，∴E（Y）＝2E（X）+3＝﹣+3＝．故选：B．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．9．（5分）某班某天上午有五节课，需安排的科目有语文，数学，英语，物理，化学，其中语文和英语必须连续安排，数学和物理不得连续安排，则不同的排课方法数为（）A．60B．48C．36D．24【分析】由排列组合中的相邻问题与不相邻问题得：不同的排课方法数为＝24，得解．【解答】解：先将语文和英语捆绑在一起，作为一个新元素处理，再将此新元素与化学全排，再在3个空中选2个空将数学和物理插入即可，即不同的排课方法数为＝24，故选：D．【点评】本题考查了排列组合中的相邻问题与不相邻问题，属中档题．10．（5分）已知函数f（x）的图象如图，设f′（x）是f（x）的导函数，则（）A．f′（2）＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）B．f′（3）＜f′（2）＜f（3）﹣f（2）C．f（3）﹣f（2）＜f′（2）＜f′（3）D．f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2）【分析】由题意，分析f′（3）、f（3）﹣f（2）、f′（2）所表示的几何意义，结合图形分析可得答案．【解答】解：根据题意，由导数的几何意义：f′（3）表示函数在x＝3处切线的斜率，f′（2）表示函数在x＝2处切线的斜率，f（3）﹣f（2）＝，为点（2，f（2））和点（3，f（2））连线的斜率，结合图象可得：0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2），故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义，涉及直线的斜率比较，属于基础题．11．（5分）大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，若每个村小学至少分配1名大学生，则小明恰好分配到甲村小学的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝＝36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m ＝＝12，由此能求出小明恰好分配到甲村小学的概率．【解答】解：大学生小明与另外3名大学生一起分配到某乡镇甲、乙、丙3个村小学进行支教，每个村小学至少分配1名大学生，基本事件总数n＝＝36，小明恰好分配到甲村小学包含的基本事件个数m＝＝12，∴小明恰好分配到甲村小学的概率为p＝＝．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．（5分）已知函数f（x）对∀x∈R有f（x）+f（﹣x）＝2cos x，且f′（x）+sin x＜0，若角α满足不等式f（π+α）+f（α）≥0，则α的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，π]C．[﹣，]D．[0，]【分析】构造函数g（x）＝f（x）﹣cos x，x∈R．角α满足不等式f（π+α）+f（α）≥0，即f（π+α）﹣cos（π+α）≥﹣[f（α）﹣cosα]，即g（π+α）≥﹣g（α）＝g（﹣α），利用已知可得其奇偶性与单调性，即可得出．【解答】解：构造函数g（x）＝f（x）﹣cos x，x∈R．由f（x）+f（﹣x）＝2cos x，化为：f（x）﹣cos x＝﹣[f（﹣x）﹣cos（﹣x）]，∴g（﹣x）＝﹣g（x），∴函数g（x）为R上的奇函数．则g′（x）＝f'（x）+sin x＜0，∴g（x）在R上单调递减．若角α满足不等式f（π+α）+f（α）≥0，即f（π+α）﹣cos（π+α）≥﹣[f（α）﹣cosα]，即g（π+α）≥﹣g（α）＝g（﹣α），∴π+α≤﹣α，解得α≤﹣．故选：A．【点评】本题考查了构造法、利用导数研究函数的单调性奇偶性、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）定积分dx的值等于ln2．【分析】直接根据定积分的计算法则计算即可．【解答】解：＝＝ln2，故答案为：ln2．【点评】本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．14．（5分）已知cos＝，cos cos＝，cos cos cos＝，…，根据上述等式的规律，可猜想出一般性的结论是cos cos…cos＝．【分析】根据题意，分析所给的等式可得：对于第n个等式，等式左边为n个余弦连乘的形式，且角部分为分式，分子从π到nπ，分母为（2n+1），右式为；将规律表示出来可得答案．【解答】解：根据题意，分析所给的等式可得：cos＝，可化为cos＝cos cos＝，可化为cos cos＝cos cos cos＝，可化为cos cos cos＝；则一般的结论为cos cos…cos＝；故答案为cos cos…cos＝．【点评】本题考查归纳推理的运用，解题的关键在于发现3个等式的变化的规律．15．（5分）已知a∈[0，3]，若（x2+）6展开式的常数项的值不大于15，则a取值范围为（0，1]【分析】由二项式定理及展开式通项得：15a4≤15，又a∈[0，3]，所以0≤a≤1，又a＝0时，展开式无常数项，即a取值范围为0＜a≤1，得解．【解答】解：由二项式定理可得：（x2+）6展开式的常数项为（x2）2（）4＝15a4，又（x2+）6展开式的常数项的值不大于15，则15a4≤15，又a∈[0，3]，所以0≤a≤1，又a＝0时，展开式无常数项，即a取值范围为0＜a≤1，故答案为：（0，1]．【点评】本题考查了二项式定理及展开式通项，属中档题．16．（5分）若2xlnx＞﹣x2+ax﹣3对一切x∈（0，+∞）恒成立，则a的取值范围为（﹣∞，4）．【分析】由题意可得a＜2lnx+x+恒成立，设g（x）＝2lnx+x+，求得导数和单调性、极值和最值，即有a小于最小值．【解答】解：2xlnx＞﹣x2+ax﹣3对一切x∈（0，+∞）恒成立，可得a＜2lnx+x+恒成立，设g（x）＝+1﹣＝，x＞0，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增；0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）递减，可得x＝1处g（x）取得极小值，且为最小值4，可得a＜4．故答案为：（﹣∞，4）．【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和导数的运用，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）已知i为虚数单位，m为实数，复数z＝（m+i）（1﹣2i）．（Ⅰ）m为何值时，z是纯虚数；（Ⅱ）若|z|≤5，求|z﹣1|的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解m的值；（Ⅱ）由题意画出图形，数形结合得答案．【解答】解：（Ⅰ）z＝（m+i）（1﹣2i）＝（m+2）+（1﹣2m）i．当时，即m＝﹣2时，z是纯虚数；（Ⅱ）由|z|≤5，可知z的轨迹为以原点为圆心，以5为半径的圆及其内部，如图，则|z﹣1|的取值范围是[0，6]．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．18．（12分）已知函数f（x）＝lnx+，k∈R．（Ⅰ）若k＝2，求函数f（x）的单调区间．（Ⅱ）若不等式f（x）≥3﹣恒成立，求实数k的取值范围．【分析】（Ⅰ）利用导数求单调区间；（Ⅱ）属于可以分参的类型，所以用分参解题．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝lnx+，f'（x）＝﹣＝．所以当x＞2时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当0＜x＜2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．综上，f（x）的单调递增区间是（2，+∞），单调递减区间是（0，2）．（Ⅱ）f（x）≥3﹣⇔k≥x（3﹣lnx）﹣e2．令g（x）＝x（3﹣lnx）﹣e2，则k≥g（x）在x∈（0，+∞）恒成立．g'（x）＝2﹣lnx，当x＞e2时，g'（x）＜0，g（x）单调递增；当0＜x＜e2时，g'（x）＞0，g（x）单调递减．所以g（x）的最大值在x＝e2时取得，g（e2）＝0．所以k≥0．【点评】（1）是函数导数的应用，（2）是函数恒成立问题，使用分参来解决，属于基础问题基础方法．19．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a n≥1，且4S n＝（a n+1）2，n∈N*．（Ⅰ）求a1，a2，a3的值；（Ⅱ）猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法予以证明．【分析】（Ⅰ）利用4S n＝（a n+1）2代入计算，可得结论；（Ⅱ）猜想a n＝2n﹣1，然后利用归纳法进行证明，检验n＝1时等式成立，假设n＝k时命题成立，证明当n＝k+1时命题也成立．【解答】解：（Ⅰ）∵a n≥1，且4S n＝（a n+1）2，∴当n＝1时，，∴a1＝1，当n＝2时，，∴a2＝3，或a2＝﹣1（舍），当n＝3时，，∴a3＝5，或a3＝﹣3（舍），∴a1＝1，a2＝3，a3＝5；（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想a n＝2n﹣1，下面用数学归纳法证明：（1）当n＝1时，a1＝1，显然成立，（2）假设n＝k时，结论成立，即a k＝2k﹣1，则当n＝k+1时，由4S k＝（a k+1）2，有，∴，∴a k+1＝2k+1，或a k+1＝﹣2k+1（舍），∴n＝k+1时结论成立，由（1）（2）知，当n∈N*，a n＝2n﹣1均成立．【点评】本题考查了归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n＝1成立；（2）假设n＝k成立；（3）利用已知条件证明n＝k+1也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法，属中档题．20．（12分）2019年6月13日，三届奥运亚军，羽坛传奇，马来西亚名将李宗伟宣布退役，当大有大量网友关注此事件，某网上论坛从关注此事件跟帖中，随机抽取了100名网友进行调查统计，先分别统计他们在跟帖中的留言条数，再把网友人数按留言条数分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到如图所示的频率分布直方图：并将其中留言不低于40条的规定为“强烈关注”，否则为一般关注”，对这100名网友进一步统计，得到部分数据如下的列联表．．（I）在答题卡上补全2×2列联表中数据，并判断能否有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关？（Ⅱ）论坛欲在上述“强烈关注的网友中按性别进行分层抽样，共抽取5人，并在此5人中随机抽取两名接受访谈，记女性访谈者的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．参考公式与数据：K2＝，其中n＝a+b+c+d．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图中的频率，计算强烈关注的频率进而得到强烈关注的人数，结合表中的数据即可得到其余数据，补全列联表，根据列联表中的数据计算K2的值，结合临界值表中的数据判断即可．（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望E（ξ）．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图得，网友强烈关注的频率为10×（0.020+0.005）＝0.25，所以强烈关注的人数为100×0.25＝25，因为强烈关注的女行有10人，所以强烈关注的男性有15人，所以一般关注的男性有45﹣15＝30人，一般关注的女性有55﹣10＝45人，所以2×2列联表如下：由2×2列联表中数据可得：K2＝≈3.030＜3.841．所以没有95%的把握认为网友对此事件是否为“强烈关注”与性别有关．（Ⅱ）论坛欲在上述“强烈关注的网友中按性别进行分层抽样，共抽取5人，则抽中女性网友：5×＝2人，抽中男性网友：5×＝3人，在此5人中随机抽取两名接受访谈，记女性访谈者的人数为ξ，则ξ的可能取值为0，1，2，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，∴ξ的分布列为：数学期望E（ξ）＝0×+1×+2×＝．【点评】本题考查独立性检验、根据频率分布直方图求估计数据的中位数、2×2列联表等知识、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣axlnx，g（x）＝（1﹣）x．（Ⅰ）若函数f（x）恰有一个极值点，求实数a的取值范围：（Ⅱ）当a∈（﹣1，0），且x∈（0，+∞）时，证明：≤g（x）＜，（常数e＝2.718…，e是自然对数的底数）【分析】（Ⅰ）f′（x）＝2x﹣a（lnx+1），等价于方程2x﹣a（lnx+1）＝0在（0，+∞）恰有一个变号零点．即在（0，+∞）恰有一个变号零点．令g（x）＝，利用函数g（x）图象即可求解．（Ⅱ）要证明：≤g（x）只需证明alnx≥，即证明lnx．要证明g（x）＜，即证明．利用导数即可证明．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝x2﹣axlnx，（x＞0），∴f′（x）＝2x﹣a（lnx+1），∵函数f（x）恰有一个极值点，∴方程2x﹣a（lnx+1）＝0在（0，+∞）恰有一个变号零点．∴在（0，+∞）恰有一个变号零点．令g（x）＝，则g′（x）＝．可得x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增，x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，函数g（x）单调递减．函数g（x）草图如下，可得，∴a＜0．∴实数a的取值范围为（﹣∞，0）：（Ⅱ）要证明：≤g（x）⇔证明x﹣alnx≤（1﹣）x．⇔证明alnx≥，即证明lnx．令h（x）＝lnx﹣．则h′（x）＝﹣＝，x∈（0，e）时，h′（x）＞0，函数h（x）递增，x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）递减．∴h（x）≤h（e）＝0，即原不等式成立．要证明g（x）＜，即证明．∵a∈（﹣1，0），∴1﹣故只需证明即可．令G（x）＝，则G′（x）＝．x∈（0，2）时，G′（x）＜0，函数G（x）递增，x∈（2，+∞）时，G′（x）＞0，函数G（x）递减．∴，又，故原不等式成立．综上，≤g（x）＜，【点评】本题考查了函数的极值、单调性，考查了函数不等式的证明、分析法证明不等式，属于中档题．请考生在第22、23题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C1：y＝，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin（α﹣）．（Ⅰ）若点P（x0，y0）在曲线C1上，求﹣x0+y0的取值范围；（Ⅱ）设直线l与曲线C2交于M、N两点，点Q的直角坐标为（﹣2，1），求||QM|﹣|QN||的值．【分析】（Ⅰ）根据条件可得﹣x0+y0＝，设，则＝然后求出范围即可；（Ⅱ）利用方程之间的关系式，利用一元二次方程根和系数关系式求出结果．【解答】解：（Ⅰ）∵P（x0，y0）在曲线C1上，∴，∴﹣x0+y0＝，设，∴＝，∵，∴，∴，∴∈∴﹣x0+y0的取值范围；（Ⅱ）曲线C2的直角坐标方程为：（x+2）2+（y﹣2）2＝8直线l的标准参数方程为（t为参数），代入C2得：设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，，t1t2＝﹣7＜0故t1，t2异号，∴||QM|﹣|QN||＝|t1+t2|＝．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属基础题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝3|x|+|3﹣x|．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若不等式f（x）＜5的解集为M，且a，b∈M，证明：ab＞a+b﹣1．【分析】（1）根据题意，由函数的解析式分3种情况讨论，分段求出函数的最小值，综合3种情况即可得答案；（2）根据题意，分3种情况讨论，求出不等式f（x）＜5的解集，又由a，b∈M，可得a ﹣1＜0，b﹣1＜0，分析可得（a﹣1）（b﹣1）＞0，变形即可得结论．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝3|x|+|3﹣x|＝，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴f（x）min＝f（0）＝3．（Ⅱ）若f（x）＜5，则，或，或，∴﹣＜x＜1，∴M ＝（﹣，1），∵a，b∈M，∴a﹣1＜0．b﹣1＜0，∴（a﹣1）（b﹣1）＞0，即ab＞a+b﹣1．【点评】本题考查分段函数的应用和绝对值不等式的解法，考查了转化思想，属中档题．第21页（共21页）。
广东省深圳市南山区2018_2019学年高一数学上学期期末统考试题(含解析)
广东省深圳市南山区2018-2019学年高一数学上学期期末统考试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知全集〔；一；：;，集合总_1 1，2，3，, *-沁卜，贝V 芳一：.‘・A.阳1, h：|B.C. D•恥;3,【答案】C【解析】【分析】可求出集合B,然后进行交集的运算，即可求解，得到答案.【详解】由题意，可得集合匚，又由」1｛：」2和；］,所以「故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合B,熟记集合的交集运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题2. 是“律.m-门虫”成立的「| ;：］条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分又不必要【答案】B【解析】【分析】求出不等式的等价条件，结合不等式的关系以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由不等式“ |（2疋+ 1）口-3）<0 ”，解得- l<x<3, I M则“-”是“”成立的必要不充分条件即“”是“『彖一-刀圧；；：”成立的必要不充分条件，故选：B.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，其中解答中结合不等式的关系是解决本题的关键，着重考查了推理与判断能力，属于基础题3. 若点卩伽討可）在角”的终边上，则恥墮的值为（|）A. 1B.迥C.-1D.121【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，确定角.的终边上点的坐标，再利用三角函数定义，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，点P (曲」何凸在角盘的终边上，即P 已］，则r = \OP\= 1，3 3 2 2由三角函数的定义，可得抽哎=丫 =£.r 2故选：A .【点睛】本题主要考查了三角函数的定义的应用，其中解答中确定出角的终边上点的坐标, 利用三角函数的定义求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题4.已知，则x 等于X =兮B.【答案】A 【解析】 【分析】故选：A .【点睛】本题主要考查了有理指数幕与根式的运算，其中解答中熟记有理指数幕和根式的运 算性质，合理运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题5.设函数— 的部分图象如图，则>1 + a + 卩=(|)把已知等式变形，可得^4,进一步得到宀占，则x 值可求.【详解】由题意，可知，可得，所以，解得64AnA. 3 +b n B. 3 + -3TT3+ -4【答案】A【解析】 【分析】根据函数的图象，求出A,和屈的值，得到函数的解析式，即可得到结论.【详解】由图象知沖二2，］=竽一 £=雲，则=2TT =—，所以制二1，46 J 6tn由五点对应法，得.，即 ，|3 2 6即:-I \ I. .；■ - ■ " ■ _& 6故选：A .【点睛】本题主要考查了由三角函数的图象求解函数的解析式，其中解答中根据条件求出 A和 的值是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题6. 已知集合虫=它卜=血+ 15)1, R = +1},若MR 二®，贝u a 的取值范围是A. |B. ■ •->/■］C. fMlD.【答案】D 【解析】 【分析】化简集合A,根据"P-y ，得出|7印.；且，从而求a 的取值范围，得到答案.【详解】由题意，集合 A = {x\y = lo^2(x 2 - (k + 15)) = {JT |* - + 15 > 旳=冲 < 3 或U 5},// M 證工C.］； 若 W. %贝y且F ；十1-零f ，解得£叫4所以实数只的取值范围为初 故选：D.C. D. TT2 + -【点睛】本题主要考查了对数函数的运算性质，以及集合的运算问题，其中解答中正确求解 集合A ,再根据集合的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题【答案】A 【解析】 【分析】由偶函数的定义，求得 的解析式，再由对数的恒等式，可得所求，得到答案.【详解】由题意，函数 扛町= 为偶函数，可得 时，，，则.；.：；：_「：］_ 厂-■■'， 习 可得兀也帥》二「的二严二2， 故选：A .【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，函数的奇偶性的运用，其中解答中熟练应用对数 的运算性质，正确求解集合A ,再根据集合的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力, 属于基础题.【答案】B 【解析】【分析】 利用函数¥ 一乜还.曲丁鶴加八忖飞小的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案. 【详解】解：将函数厂:駕泳」的图象向左平移「寸个单位长度，得到y = 2sin2（x 十寻）=為函（2工+才，1 A. 2B.c.A. C.8.若将函数卜=沖打洞的图象向左平移 kn nez)个单位长度，则平移后的图象的对称轴为(I I)7.已知函数卜出—，了二；：】为偶函数，则D. 2由N +器血+訓n得："竽+即平移后的图象的对称轴方程为，2 6故选：B.【点睛】本题考查函数歹-心：;民：十专打宀江“ '> u.）的图象的变换规律的应用及正弦函数的对称性质，属于中档题.【分析】直接利用函数的性质奇偶性求出结果.【详解】函数的解析式满足，则函数为奇函数，排除CD选项,故选B.【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用.属中档题利用同角三角函数的基本关系，把要求值的式子化为，即可得到答案•4【详解】由题意，因为——)=—，所以sinxT- £ *甘可知:|盼；|空「•，排除A选项.JT 110.若皿一卫为，则〒sintx - cosa的值为B. C. 2 D. 3【答案】A【解析】【分析】9.函数fO)=【解析】71tana - tan - sina - cosa tana-1 4 TT1------------ ==-- =tdn(a—)=-，xinof + cosa tancc+1 ir 4 21 + tdrtcrtun—4故选：A.【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理化简、运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力11. 若匚=0”4砸，“衍弘訓斗，»=砧°*，则a, b, c的大小关系是(| DA. I：> 卜一〉:B. Rm洞C. (■:：■：■：■■.■：!：D. [■-":;豆"：飞【答案】C【解析】【分析】由题意，根据实数指数函数的性质，可得：，根据对数的运算性质，可得> 如0曲占=1，即可得到答案•【详解】由题意，根据实数指数函数的性质，可得：:品护根据对数的运算性质，可得；汕:“d甌d二I< •:疔二故选：C.【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的运算性质的应用，其中解答中合理运用指数函数和对数函数的运算性质，合理得到的取值范围是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题•12. 已知函数送二-込’，则函数■■-:'的零点个数是：I；A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】设’二，则函数等价为•二.：心；「I，由y二U •二「；，转化为二-，利用数形结合或者分段函数进行求解，即可得到答案.【详解】由题意，如图所示，设］，则函数等价为汽-『「|由，得二-..若Hl,贝则」,即：二］，不满足条件.若;•:* :］，则/\'i — - ■,则厂-，满足条件，当x<o时，令一x + i ，解得1—（舍去）；1 1 I'当X >0时，令lnx = ~,解得二即卩7是函数丿= f［f（x｝］ + 1的零点, e x = e x = <? -1」所以函数.•訂:. 1的零点个数只有1个，故选：A.【点睛】本题主要考查了函数零点问题的应用，其中解答中利用换元法结合分段函数的表达式以及数形结合是解决本题的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）25w 25JT ,13. + ta?r（——）= u 3 4【答案】（'1【解析】【分析】25TT n 25n rr25 旺ii利用三角函数的诱导公式sin—— = sin-= cos-= -口吩，然后根据特殊角的三角函数值求出结果.【详解】由题意，根据三角函数的诱导公式，可得25JT25/r 25rr n n nil口?i ---- 十cos------ +tdnf---------- ) = sin—+ cos—tan—= 一+ —1=0,6 3 4 6 3 4 2 2 '故答案为0.【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及特殊角的三角函数值的求解，其中熟练掌握三角函数的诱导公式，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题•14-已知函数心〕=；_；U詛0，则不等式的解集为__________________________________ -【答案】.I I【解析】【分析】分X小于等于0和x大于0两种情况根据分段函数分别得到 f (x)的解析式，把得到的f (x)的解析式分别代入不等式得到两个一元二次不等式，分别求出各自的解集，求出两解集的并集即可得到原不等式的解集.【详解】解：当X W0时，f ( x) =x+2，代入不等式得：x+2>x 2,即(x-2 ) (x+1)< 0,解得-Kx w2,所以原不等式的解集为[-1,0];当x>0时，f (x) =-x+2 ,代入不等式得：-x+2»2, 即(x+2) ( x-1 )w 0,解得-2<x< 1,所以原不等式的解集为[0 , 1]，综上原不等式的解集为[-1 , 1].故答案为：[-1,1]【点睛】此题考查了不等式的解法，考查了转化思想和分类讨论的思想，是一道基础题.【答案】【解析】【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的定义域求出函数值域，进一步求出函数的最小值.【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数恒等变换的公式，求得函数的解析式是解答的关键，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型•即：兀話(片€石时，函数的最小值为J. E故答案为:16. 已知随疑是定义在上的奇函数，当时，，函数肌龙）=卫_ 2x + m如果对比丫［€ ［ - 2忆||，1勺匚［- 2,可，使得丿（xj 趴叼），则实数m的取值范围为___________ .【答案】丽■ -1；【解析】【分析】先求出处［-22|时，”工U』，风町问，然后解不等式f⑴“^以砂“就，即可求解，得到答案.【详解】由题意，可知紂E〔0,2］|时，$（兀）=2*-1为增函数，所以ACT = 4 - 1 = 3 ,又是上的奇函数，所以"「茶:］时，「宀厂二又由.¥：「：_：•_』•「：•_.在| - 2 ；上的最大值为卜:；-工二■•:所以和严卜兀三，：；二匸-■<<,使得,所以> -匚故答案为：*；."「【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定与应用，以及函数的最值的应用，其中解答中转化为，工杓严飙览是解答的关键，着重考查了转化思想，推理与运算能力，属于基础题三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 设全集是实数集R 1 - ：<| ' <、*r，技一：黒［金—■<：：:］当，时，求■和，‘;若，求实数a的取值范围.1 11【答案】⑴=茂抵吕<2}，= JfW：3};（2）口比—亍【解析】【分析】|〔-丄扌巴乃■丄■-石代入集合B,求出集合B的解集，再根据交集和并集的定义进行求解；因为慎盘沁匸圧」论可知4匚:亭，求出，再根据子集的性质进行求解；【详解】（1）由题意，可得A=x\^<x<I3^ = x\x2^a<^，当时，M -二］一7叮八,则AC \B = {X ^<X <?}, \A U U = [X \-2<X ^3}(2)特(E R A) C A = N ，则卄匚匸牡A = (xlx > H 或尢 v —},「、当go 时，B 二。
广东省2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试卷 Word版含解析
宝安区2018-2019学年高二下学期期末考试数学理试卷一、选择题。
1.已知集合{A x y ==，{}12B x x =-<<，则A B =（ ）A. ()1,1-B. (]1,1-C. [)1,2D. ()1,2【答案】C 【解析】 【分析】集合A 和集合B 的公共元素构成集合AB ，由此利用集合A={}1x x ≥ ,{}12B x x =-<<，即可求出A B 。
【详解】因为{A x y ==={}10x x -≥={}1x x ≥。
集合{}12B x x =-<<，所以AB ={}12x x ≤<=[)1,2。
【点睛】本题考查交集及其运算，是基础题，解题时要认真审题。
2.()12z i i +=（i 为虚数单位），则复数z 对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】通过21iz i=+ 求出z ，然后得到复数z 对应的点的坐标。
【详解】由()12z i i +=得22(1)1.1(1)(1)i i i z i i i i -===+++- 所以复数z 在复平面对应的点在第一象限。
【点睛】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的除法，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题。
3.已知顶点在x 轴上的双曲线实轴长为4，其两条渐近线方程为20x y ±=，该双曲线的焦点A. ()±B. ()±C. ()±D.()±【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线实轴长为4可知 2.a = 由渐近线方程20x y ±=，可得到2.ba= 然后利用222,c a b =+ 即可得到焦点坐标。
【详解】由双曲线实轴长为4可知 2.a = 由渐近线方程20x y ±=，可得到2.ba=即 4.b =所以22220.c a b =+= 又双曲线顶点在x 轴上，所以焦点坐标为()±。
南山区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学(1)
南山区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学一、选择题1． 已知PD ⊥矩形ABCD 所在的平面，图中相互垂直的平面有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对2． 下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况，其中有一个数字模糊不清，在图中以m 表示．若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分，那么m 的可能取值集合为（ ）A ．B ．C ．D ．3． 已知点F 是抛物线y 2=4x 的焦点，点P 在该抛物线上，且点P 的横坐标是2，则|PF|=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4． 已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--，{|||3,}B y y x x A ==-∈，则A B =（ ）A ．{2,1,0}--B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1,0}--D ．{1,,0,1}-【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力． 5． 已知集合M={0，1，2}，则下列关系式正确的是（ ） A ．{0}∈M B ．{0}∉M C ．0∈MD ．0⊆M6． 若A （3，﹣6），B （﹣5，2），C （6，y ）三点共线，则y=（ ）A ．13B ．﹣13C ．9D ．﹣97． 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别为（ ）A ．10 13B ．12.5 12C ．12.5 13D ．10 158． 已知x ＞0，y ＞0，+=1，不等式x+y ≥2m ﹣1恒成立，则m 的取值范围（ ） A ．（﹣∞，] B ．（﹣∞，] C ．（﹣∞，] D ．（﹣∞，]9． 下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ）班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________A ．B ．y=x 2C ．y=﹣x|x|D ．y=x ﹣210．设n S 是等比数列{}n a 的前项和，425S S =，则此数列的公比q =（ ）A ．-2或-1B ．1或2 C.1±或2 D ．2±或-1 11．在数列{a n }中，a 1=3，a n+1a n +2=2a n+1+2a n （n ∈N +），则该数列的前2015项的和是（ ） A ．7049 B ．7052C ．14098D ．1410112．集合A={x|﹣1≤x ≤2}，B={x|x ＜1}，则A ∩B=（ ） A ．{x|x ＜1} B ．{x|﹣1≤x ≤2} C ．{x|﹣1≤x ≤1} D ．{x|﹣1≤x ＜1}二、填空题13．设p ：∃x ∈使函数有意义，若¬p 为假命题，则t 的取值范围为 ．14．已知是圆为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 ．15．已知f （x ）＝x （e x ＋a e －x ）为偶函数，则a ＝________．16．如图所示，圆C 中，弦AB 的长度为4，则AB AC ×的值为_______．【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想．17．下列命题：①函数y=sinx 和y=tanx 在第一象限都是增函数；②若函数f （x ）在[a ，b]上满足f （a ）f （b ）＜0，函数f （x ）在（a ，b ）上至少有一个零点； ③数列{a n }为等差数列，设数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＞0，S 11＜0，S n 最大值为S 5； ④在△ABC 中，A ＞B 的充要条件是cos2A ＜cos2B ；⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强．其中正确命题的序号是 （把所有正确命题的序号都写上）．18．已知函数y=f （x ），x ∈I ，若存在x 0∈I ，使得f （x 0）=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的不动点；若存在x 0∈I ，使得f （f （x 0））=x 0，则称x 0为函数y=f （x ）的稳定点．则下列结论中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号）①﹣，1是函数g （x ）=2x 2﹣1有两个不动点；②若x 0为函数y=f （x ）的不动点，则x 0必为函数y=f （x ）的稳定点； ③若x 0为函数y=f （x ）的稳定点，则x 0必为函数y=f （x ）的不动点； ④函数g （x ）=2x 2﹣1共有三个稳定点；⑤若函数y=f （x ）在定义域I 上单调递增，则它的不动点与稳定点是完全相同．三、解答题19．（本小题满分10分）直线l 的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R ，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1＋sin t （t 为参数），圆C 2的普通方程为x 2＋y 2＋23x ＝0.（1）求C 1，C 2的极坐标方程；（2）若l 与C 1交于点A ，l 与C 2交于点B ，当|AB |＝2时，求△ABC 2的面积．20．设p ：关于x 的不等式a x ＞1的解集是{x|x ＜0}；q ：函数的定义域为R ．若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x （α为参数），过点)0,1(P 的直线交曲线C 于B A 、两点.（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程； （2）求||||PB PA ⋅的最值.22．已知函数f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣）（1）当x∈[2，4]时，求该函数的值域；（2）若f（x）＞mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m的取值范围．23．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为e=，直线l：y=x+2与以原点为圆心，以椭圆C1的短半轴长为半径的圆O相切．（1）求椭圆C1的方程；（2）抛物线C2：y2=2px（p＞0）与椭圆C1有公共焦点，设C2与x轴交于点Q，不同的两点R，S在C2上（R，S与Q不重合），且满足•=0，求||的取值范围．24．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=，AC=3，BC=2，P是△ABC内一点．（1）若P是等腰三角形PBC的直角顶角，求PA的长；（2）若∠BPC=，设∠PCB=θ，求△PBC的面积S（θ）的解析式，并求S（θ）的最大值．25．如图，在边长为a 的菱形ABCD 中，∠ABC=60°，PC ⊥面ABCD ，E ，F 是PA 和AB 的中点． （1）求证：EF ∥平面PBC ； （2）求E 到平面PBC 的距离．26．（本题满分15分）如图AB 是圆O 的直径，C 是弧AB 上一点，VC 垂直圆O 所在平面，D ，E 分别为VA ，VC 的中点. （1）求证：DE ⊥平面VBC ；（2）若6VC CA ==，圆O 的半径为5，求BE 与平面BCD 所成角的正弦值.【命题意图】本题考查空间点、线、面位置关系，线面等基础知识，意在考查空间想象能力和运算求解能力．南山区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】D【解析】解：∵PD ⊥矩形ABCD 所在的平面且PD ⊆面PDA ，PD ⊆面PDC ， ∴面PDA ⊥面ABCD ，面PDC ⊥面ABCD ， 又∵四边形ABCD 为矩形 ∴BC ⊥CD ，CD ⊥AD ∵PD ⊥矩形ABCD 所在的平面 ∴PD ⊥BC ，PD ⊥CD ∵PD ∩AD=D ，PD ∩CD=D∴CD ⊥面PAD ，BC ⊥面PDC ，AB ⊥面PAD ， ∵CD ⊆面PDC ，BC ⊆面PBC ，AB ⊆面PAB ，∴面PDC ⊥面PAD ，面PBC ⊥面PCD ，面PAB ⊥面PAD 综上相互垂直的平面有5对 故答案选D2． 【答案】C【解析】【知识点】样本的数据特征茎叶图 【试题解析】由题知：所以m 可以取：0，1，2． 故答案为：C 3． 【答案】B【解析】解：抛物线y 2=4x 的准线方程为：x=﹣1， ∵P 到焦点F 的距离等于P 到准线的距离，P 的横坐标是2，∴|PF|=2+1=3． 故选：B ．【点评】本题考查抛物线的性质，利用抛物线定义是解题的关键，属于基础题．4． 【答案】C【解析】当{2,1,0,1,2,3}x ∈--时，||3{3,2,1,0}y x =-∈---，所以A B ={2,1,0}--，故选C ．5． 【答案】C【解析】解：对于A 、B ，是两个集合的关系，不能用元素与集合的关系表示，所以不正确； 对于C ，0是集合中的一个元素，表述正确．对于D ，是元素与集合的关系，错用集合的关系，所以不正确． 故选C【点评】本题考查运算与集合的关系，集合与集合的关系，考查基本知识的应用6．【答案】D【解析】解：由题意，=（﹣8，8），=（3，y+6）．∵∥，∴﹣8（y+6）﹣24=0，∴y=﹣9，故选D．【点评】本题考查三点共线，考查向量知识的运用，三点共线转化为具有公共点的向量共线是关键．7．【答案】C【解析】解：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标，∴中间的一个矩形最高，故10与15的中点是12.5，众数是12.5而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3：2即可∴中位数是13故选：C．【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．8．【答案】D【解析】解：x＞0，y＞0，+=1，不等式x+y≥2m﹣1恒成立，所以（x+y）（+）=10+≥10=16，当且仅当时等号成立，所以2m﹣1≤16，解得m；故m的取值范围是（﹣]；故选D．9．【答案】D【解析】解：函数为非奇非偶函数，不满足条件；函数y=x2为偶函数，但在区间（0，+∞）上单调递增，不满足条件；函数y=﹣x|x|为奇函数，不满足条件；函数y=x﹣2为偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，满足条件；故选：D【点评】本题考查的知识点是函数的单调性与函数的奇偶性，是函数图象和性质的综合应用，难度不大，属于基础题．10．【答案】D【解析】试题分析：当公比1-=q 时，0524==S S ，成立.当1-≠q 时，24,S S 都不等于，所以42224==-q S S S , 2±=∴q ,故选D.考点：等比数列的性质. 11．【答案】B【解析】解：∵a n+1a n +2=2a n+1+2a n （n ∈N +），∴（a n+1﹣2）（a n ﹣2）=2，当n ≥2时，（a n ﹣2）（a n ﹣1﹣2）=2，∴，可得a n+1=a n ﹣1，因此数列{a n }是周期为2的周期数列． a 1=3，∴3a 2+2=2a 2+2×3，解得a 2=4， ∴S 2015=1007（3+4）+3=7052．【点评】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．12．【答案】D【解析】解：A ∩B={x|﹣1≤x ≤2}∩{x|x ＜1}={x|﹣1≤x ≤2，且x ＜1}={x|﹣1≤x ＜1}． 故选D ．【点评】本题考查了交集，关键是理解交集的定义及会使用数轴求其公共部分．二、填空题13．【答案】 ．【解析】解：若￢P 为假命题，则p 为真命题．不等式tx 2+2x ﹣2＞0有属于（1，）的解，即有属于（1，）的解，又时，，所以．故t ＞﹣．故答案为t ＞﹣．14．【答案】．【解析】解：依题意可知|BP|+|PF|=2，|PB|=|PA| ∴|AP|+|PF|=2根据椭圆的定义可知，点P 的轨迹为以A ，F 为焦点的椭圆，a=1，c=，则有b=故点P的轨迹方程为故答案为【点评】本题主要考查了用定义法求轨迹方程的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．15．【答案】【解析】解析：∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x）恒成立，即（－x）（e－x＋a e x）＝x（e x＋a e－x），∴a（e x＋e－x）＝－（e x＋e－x），∴a＝－1.答案：－116．【答案】817．【答案】②③④⑤【解析】解：①函数y=sinx和y=tanx在第一象限都是增函数，不正确，取x=，，但是，，因此不是单调递增函数；②若函数f（x）在[a，b]上满足f（a）f（b）＜0，函数f（x）在（a，b）上至少有一个零点，正确；③数列{a n}为等差数列，设数列{a n}的前n项和为S n，S10＞0，S11＜0，∴=5（a6+a5）＞0，=11a6＜0，∴a5+a6＞0，a6＜0，∴a5＞0．因此S n最大值为S5，正确；④在△ABC中，cos2A﹣cos2B=﹣2sin（A+B）sin（A﹣B）=2sin（A+B）sin（B﹣A）＜0⇔A＞B，因此正确；⑤在线性回归分析中，线性相关系数越大，说明两个量线性相关性就越强，正确． 其中正确命题的序号是 ②③④⑤．【点评】本题综合考查了三角函数的单调性、函数零点存在判定定理、等差数列的性质、两角和差化积公式、线性回归分析，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18．【答案】 ①②⑤【解析】解：对于①，令g （x ）=x ，可得x=或x=1，故①正确；对于②，因为f （x 0）=x 0，所以f （f （x 0））=f （x 0）=x 0，即f （f （x 0））=x 0，故x 0也是函数y=f （x ）的稳定点，故②正确；对于③④，g （x ）=2x 2﹣1，令2（2x 2﹣1）2﹣1=x ，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解x=﹣，1，由此因式分解，可得（x ﹣1）（2x+1）（4x 2+2x ﹣1）=0还有另外两解，故函数g （x ）的稳定点有﹣，1，，其中是稳定点，但不是不动点，故③④错误；对于⑤，若函数y=f （x ）有不动点x 0，显然它也有稳定点x 0；若函数y=f （x ）有稳定点x 0，即f （f （x 0））=x 0，设f （x 0）=y 0，则f （y 0）=x 0 即（x 0，y 0）和（y 0，x 0）都在函数y=f （x ）的图象上，假设x 0＞y 0，因为y=f （x ）是增函数，则f （x 0）＞f （y 0），即y 0＞x 0，与假设矛盾； 假设x 0＜y 0，因为y=f （x ）是增函数，则f （x 0）＜f （y 0），即y 0＜x 0，与假设矛盾； 故x 0=y 0，即f （x 0）=x 0，y=f （x ）有不动点x 0，故⑤正确． 故答案为：①②⑤．【点评】本题考查命题的真假的判断，新定义的应用，考查分析问题解决问题的能力．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）由C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos ty ＝1＋sin t（t 为参数）得x 2＋（y －1）2＝1， 即x 2＋y 2－2y ＝0，∴ρ2－2ρsin θ＝0，即ρ＝2sin θ为C 1的极坐标方程， 由圆C 2：x 2＋y 2＋23x ＝0得ρ2＋23ρcos θ＝0，即ρ＝－23cos θ为C 2的极坐标方程． （2）由题意得A ，B 的极坐标分别为 A （2sin α，α），B （－23cos α，α）． ∴|AB |＝|2sin α＋23cos α| ＝4|sin （α＋π3）|，α∈[0，π），由|AB |＝2得|sin （α＋π3）|＝12，∴α＝π2或α＝5π6.当α＝π2时，B 点极坐标（0，π2）与ρ≠0矛盾，∴α＝5π6，此时l 的方程为y ＝x ·tan 5π6（x ＜0），即3x ＋3y ＝0，由圆C 2：x 2＋y 2＋23x ＝0知圆心C 2的直角坐标为（－3，0）， ∴C 2到l 的距离d ＝|3×（－3）|（3）2＋32＝32，∴△ABC 2的面积为S ＝12|AB |·d＝12×2×32＝32. 即△ABC 2的面积为32.20．【答案】【解析】解：∵关于x 的不等式a x＞1的解集是{x|x ＜0}，∴0＜a ＜1；故命题p 为真时，0＜a ＜1；∵函数的定义域为R ，∴⇒a ≥，由复合命题真值表知：若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，则命题p 、q 一真一假，当p 真q 假时，则⇒0＜a ＜；当q 真p 假时，则⇒a ≥1，综上实数a 的取值范围是（0，）∪[1，+∞）．21．【答案】（1）1222=+y x .（2）||||PB PA ⋅的最大值为，最小值为21.【解析】试题解析：解：（1）曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos 2y x （α为参数），消去参数α得曲线C 的普通方程为1222=+y x （3分） （2）由题意知，直线的参数方程为⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x （为参数），将⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1t y t x 代入1222=+y x 得01cos 2)sin 2(cos 222=-++θθθt t （6分）设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则]1,21[sin 11sin 2cos 1||||||22221∈+=+==⋅θθθt t PB PA .∴||||PB PA ⋅的最大值为，最小值为21. （10分）考点：参数方程化成普通方程． 22．【答案】【解析】解：（1）f （x ）=（log 2x ﹣2）（log 4x ﹣）=（log 2x ）2﹣log 2x+1，2≤x ≤4令t=log 2x ，则y=t 2﹣t+1=（t ﹣）2﹣，∵2≤x ≤4， ∴1≤t ≤2．当t=时，y min =﹣，当t=1，或t=2时，y max =0．∴函数的值域是[﹣，0]．（2）令t=log 2x ，得t 2﹣t+1＞mt 对于2≤t ≤4恒成立．∴m ＜t+﹣对于t ∈[2，4]恒成立，设g （t ）=t+﹣，t ∈[2，4]，∴g（t）=t+﹣=（t+）﹣，∵g（t）=t+﹣在[2，4]上为增函数，∴当t=2时，g（t）min=g（2）=0，∴m＜0．23．【答案】【解析】解：（1）由直线l：y=x+2与圆x2+y2=b2相切，∴=b，解得b=．联立解得a=，c=1．∴椭圆的方程是C1：．（2）由椭圆的右焦点（1，0），抛物线y2=2px的焦点，∵有公共的焦点，∴，解得p=2，故抛物线C2的方程为：y2=4x．易知Q（0，0），设R（，y1），S（，y2），∴=（，y1），=，由•=0，得，∵y1≠y2，∴，∴=64，当且仅当，即y1=±4时等号成立．又||===，当=64，即y=±8时，||min=8，2故||的取值范围是[8，+∞）．【点评】本题考查了椭圆与抛物线的标准方程及其性质、向量的数量积运算和基本不等式的性质、点到直线的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．24．【答案】【解析】解：（1）∵P为等腰直角三角形PBC的直角顶点，且BC=2，∴∠PCB=，PC=，∵∠ACB=，∴∠ACP=，在△PAC 中，由余弦定理得：PA 2=AC 2+PC 2﹣2AC •PC •cos =5，整理得：PA=；（2）在△PBC 中，∠BPC=，∠PCB=θ，∴∠PBC=﹣θ，由正弦定理得： ==，∴PB=sin θ，PC=sin （﹣θ），∴△PBC 的面积S （θ）=PB •PCsin =sin （﹣θ）sin θ=sin （2θ+）﹣，θ∈（0，），则当θ=时，△PBC 面积的最大值为．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．25．【答案】【解析】（1）证明：∵AE=PE ，AF=BF ， ∴EF ∥PB又EF ⊄平面PBC ，PB ⊂平面PBC ， 故EF ∥平面PBC ；（2）解：在面ABCD 内作过F 作FH ⊥BC 于H ∵PC ⊥面ABCD ，PC ⊂面PBC ∴面PBC ⊥面ABCD又面PBC ∩面ABCD=BC ，FH ⊥BC ，FH ⊂面ABCD ∴FH ⊥面PBC又EF||平面PBC ，故点E 到平面PBC 的距离等于点F 到平面PBC 的距离FH ．在直角三角形FBH 中，∠FBC=60°，FB=，FH=FBsin ∠FBC=a ，故点E 到平面PBC 的距离等于点F 到平面PBC 的距离，等于a ．26．【答案】（1）详见解析；（2）146. 【解析】（1）∵D ，E 分别为VA ，VC 的中点，∴//DE AC ，…………2分 ∵AB 为圆O 的直径，∴AC BC ⊥，…………4分 又∵VC ⊥圆O ，∴VC AC ⊥，…………6分∴DE BC ⊥，DE VC ⊥，又∵VC BC C =，∴DE VBC ⊥面；…………7分（2）设点E 平面BCD 的距离为d ，由D BCE E BCD V V --=得1133BCE BCD DE S d S ∆∆⨯⨯=⨯⨯，解得2d =，…………12分 设BE 与平面BCD 所成角为θ，∵8BC ==，BE =，则sin d BE θ==.…………15分。
南山区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学
南山区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学一、选择题1． 如图是七位评委为甲，乙两名参赛歌手打出的分数的茎叶图（其中m ，n 为数字0～9中的一个），则甲歌手得分的众数和乙歌手得分的中位数分别为a 和b ，则一定有（ ）A ．a ＞bB ．a ＜bC ．a=bD ．a ，b 的大小与m ，n 的值有关2． 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sinB=2sinC ，a 2﹣c 2=3bc ，则A 等于（ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°3． 命题“∃x ∈R ，使得x 2＜1”的否定是（ ）A ．∀x ∈R ，都有x 2＜1B ．∃x ∈R ，使得x 2＞1C ．∃x ∈R ，使得x 2≥1D ．∀x ∈R ，都有x ≤﹣1或x ≥14．如图，已知双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，|F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上一点，直线PF 2交y 轴于点A ，△AF 1P 的内切圆切边PF 1于点Q ，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y=±x B ．y=±3x C ．y=±x D ．y=±x5． 3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（ ） A ．90种 B ．180种C ．270种D ．540种6． 函数2()45f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ） A ．[2,)+∞ B ．[]2,4 C ．(,2]-∞ D ．[]0,2 7． 已知d 为常数，p ：对于任意n ∈N *，a n+2﹣a n+1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列，则￢p 是￢q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________8．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.159．执行如图所示的程序，若输入的3x=，则输出的所有x的值的和为（）A．243B．363C．729D．1092【命题意图】本题考查程序框图的识别和运算，意在考查识图能力、简单的计算能力．10．已知函数(5)2()e22()2xf x xf x xf x x+>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩，则(2016)f-=（）A ．2e B ．e C ．1 D ．1e【命题意图】本题考查分段函数的求值，意在考查分类讨论思想与计算能力． 11．经过点()1,1M 且在两轴上截距相等的直线是（ ） A ．20x y +-= B ．10x y +-=C ．1x =或1y =D ．20x y +-=或0x y -= 12．正方体的内切球与外接球的半径之比为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．命题“∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣1＞0”的否定形式是 ．14．已知向量、满足，则|+|= ．15．已知向量(1,),(1,1),a x b x ==-若(2)a b a -⊥，则|2|a b -=（ ）A ．2B ．3C ．2 D【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算、数量积与模等基础知识，意在考查转化思想、方程思想、逻辑思维能力与计算能力．16．若正方形P 1P 2P 3P 4的边长为1，集合M={x|x=且i ，j ∈{1，2，3，4}}，则对于下列命题：①当i=1，j=3时，x=2； ②当i=3，j=1时，x=0；③当x=1时，（i ，j ）有4种不同取值； ④当x=﹣1时，（i ，j ）有2种不同取值； ⑤M 中的元素之和为0．其中正确的结论序号为 ．（填上所有正确结论的序号）17．设双曲线﹣=1，F 1，F 2是其两个焦点，点M 在双曲线上．若∠F 1MF 2=90°，则△F 1MF 2的面积是 ．18．已知函数21()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6x π=，则函数()f x 的最大值为___________．【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．三、解答题19．已知数列{a n }满足a 1=，a n+1=a n +（n ∈N *）．证明：对一切n ∈N *，有（Ⅰ）＜；（Ⅱ）0＜a n＜1．20．若已知，求sinx的值．21．设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，等比数列{b n}的公比为q，已知b1=a1，b2=2，q=d，S10=100．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．22．全集U=R，若集合A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}，（1）求A∪B，（∁U A）∩（∁U B）；（2）若集合C={x|x＞a}，A⊆C，求a的取值范围．23．已知函数f（x）=|x﹣2|．（1）解不等式f（x）+f（x+1）≤2（2）若a＜0，求证：f（ax）﹣af（x）≥f（2a）24．（本小题满分12分）某校为了解高一新生对文理科的选择，对1 000名高一新生发放文理科选择调查表，统计知，有600名学生选择理科，400名学生选择文科．分别从选择理科和文科的学生随机各抽取20名学生的数学成绩得如下累计表：（1率分布直方图．（2）根据你绘制的频率分布直方图，估计意向选择理科的学生的数学成绩的中位数与平均分．南山区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】解：根据茎叶图中的数据，得；甲得分的众数为a=85，乙得分的中位数是b=85；所以a=b．故选：C．2．【答案】C【解析】解：由sinB=2sinC，由正弦定理可知：b=2c，代入a2﹣c2=3bc，可得a2=7c2，所以cosA===﹣，∵0＜A＜180°，∴A=120°．故选：C．【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基本知识的考查．3．【答案】D【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x∈R，都有x≤﹣1或x≥1，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．【答案】D【解析】解：设内切圆与AP切于点M，与AF1切于点N，|PF1|=m，|QF1|=n，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有m﹣（n﹣1）=2a，①由切线的性质可得|AM|=|AN|，|NF1|=|QF1|=n，|MP|=|PQ|=1，|MF2|=|NF1|=n，即有m﹣1=n，②由①②解得a=1，由|F1F2|=4，则c=2，b==，由双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，即有渐近线方程为y=x．故选D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查切线的性质，运用对称性和双曲线的定义是解题的关键．5．【答案】D【解析】解：三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：C31C62C21C42=540种．故选D．6．【答案】B【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示，要取得最小值为，由图可知m需从开始，要取得最大值为，由图可知m 的右端点为，故m的取值范围是[]2,4.考点：二次函数图象与性质．7．【答案】A【解析】解：p：对于任意n∈N*，a n+2﹣a n+1=d；q：数列{a n}是公差为d的等差数列，则￢p：∃n∈N*，a n+2﹣a n+1≠d；￢q：数列{a n}不是公差为d的等差数列，由￢p⇒￢q，即a n+2﹣a n+1不是常数，则数列{a n}就不是等差数列，若数列{a n}不是公差为d的等差数列，则不存在n∈N*，使得a n+2﹣a n+1≠d，即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件，即后者可以推不出前者，故选：A．【点评】本题考查等差数列的定义，是以条件问题为载体的，这种问题注意要从两个方面入手，看是不是都能够成立．8． 【答案】B【解析】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数， 在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：191、271、932、812、393，共5组随机数，∴所求概率为．故选B ．9． 【答案】D【解析】当3x =时，y 是整数；当23x =时，y 是整数；依次类推可知当3(*)nx n N =∈时，y 是整数，则由31000nx =≥，得7n ≥，所以输出的所有x 的值为3，9，27，81，243，729，其和为1092，故选D ．10．【答案】B【解析】(2016)(2016)(54031)(1)f f f f e -==⨯+==，故选B ． 11．【答案】D 【解析】考点：直线的方程. 12．【答案】C【解析】解：正方体的内切球的直径为，正方体的棱长，外接球的直径为，正方体的对角线长， 设正方体的棱长为：2a ，所以内切球的半径为：a ；外接球的直径为2a ，半径为：a ，所以，正方体的内切球与外接球的半径之比为：故选C二、填空题13．【答案】．【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题所以，命题“∀x ∈R ，x 2﹣2x ﹣1＞0”的否定形式是：．故答案为：．14．【答案】 5 ．【解析】解：∵=（1，0）+（2，4）=（3，4）．∴==5．故答案为：5．【点评】本题考查了向量的运算法则和模的计算公式，属于基础题．15．【答案】A【解析】16．【答案】①③⑤【解析】解：建立直角坐标系如图：则P1（0，1），P2（0，0），P3（1，0），P4（1，1）．∵集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，对于①，当i=1，j=3时，x==（1，﹣1）•（1，﹣1）=1+1=2，故①正确；对于②，当i=3，j=1时，x==（1，﹣1）•（﹣1，1）=﹣2，故②错误；对于③，∵集合M={x|x=且i，j∈{1，2，3，4}}，∴=（1，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0），∴•=1；•=1；•=1；•=1；∴当x=1时，（i，j）有4种不同取值，故③正确；④同理可得，当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，故④错误；⑤由以上分析，可知，当x=1时，（i，j）有4种不同取值；当x=﹣1时，（i，j）有4种不同取值，当i=1，j=3时，x=2时，当i=3，j=1时，x=﹣2；当i=2，j=4，或i=4，j=2时，x=0，∴M中的元素之和为0，故⑤正确．综上所述，正确的序号为：①③⑤，故答案为：①③⑤．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的坐标运算，建立直角坐标系，求得=（1，﹣1），==（0，﹣1），==（1，0）是关键，考查分析、化归与运算求解能力，属于难题．17．【答案】9．【解析】解：双曲线﹣=1的a=2，b=3，可得c2=a2+b2=13，又||MF|﹣|MF2||=2a=4，|F1F2|=2c=2，∠F1MF2=90°，1在△F1AF2中，由勾股定理得：|F1F2|2=|MF1|2+|MF2|2=（|MF1|﹣|MF2|）2+2|MF1||MF2|，即4c2=4a2+2|MF1||MF2|，可得|MF1||MF2|=2b2=18，即有△F1MF2的面积S=|MF1||MF2|sin∠F1MF2=×18×1=9．故答案为：9．【点评】本题考查双曲线的简单性质，着重考查双曲线的定义与a、b、c之间的关系式的应用，考查三角形的面积公式，考查转化思想与运算能力，属于中档题．18．【答案】1【解析】三、解答题19．【答案】【解析】证明：（Ⅰ）∵数列{a n}满足a1=，a n+1=a n+（n∈N*），∴a n＞0，a n+1=a n+＞0（n∈N*），a n+1﹣a n=＞0，∴，∴对一切n∈N*，＜．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对一切k∈N*，＜，∴，∴当n≥2时，=＞3﹣[1+]=3﹣[1+]=3﹣（1+1﹣）=，∴a n＜1，又，∴对一切n∈N*，0＜a n＜1．【点评】本题考查不等式的证明，是中档题，解题时要注意裂项求和法和放缩法的合理运用，注意不等式性质的灵活运用．20．【答案】【解析】解：∵，∴＜＜2π，∴sin（）=﹣=﹣．∴sinx=sin[（x+）﹣]=sin（）cos﹣cos（）sin=﹣﹣=﹣．【点评】本题考查了两角和差的余弦函数公式，属于基础题．21．【答案】【解析】解：（1）设a1=a，由题意可得，解得，或，当时，a n=2n﹣1，b n=2n﹣1；当时，a n=（2n+79），b n=9•；（2）当d＞1时，由（1）知a n=2n﹣1，b n=2n﹣1，∴c n==，∴T n=1+3•+5•+7•+9•+…+（2n﹣1）•，∴T n=1•+3•+5•+7•+…+（2n﹣3）•+（2n﹣1）•，∴T n=2+++++…+﹣（2n﹣1）•=3﹣，∴T n=6﹣．22．【答案】【解析】解：（1）∵A={x|3≤x＜10}，B={x|2＜x≤7}，∴A∩B=[3，7]；A∪B=（2，10）；（C U A）∩（C U B）=（﹣∞，3）∪[10，+∞）；（2）∵集合C={x|x＞a}，∴若A⊆C，则a＜3，即a的取值范围是{a|a＜3}．23．【答案】【解析】（1）解：不等式f（x）+f（x+1）≤2，即|x﹣1|+|x﹣2|≤2．|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的点x到1、2对应点的距离之和，而2.5 和0.5对应点到1、2对应点的距离之和正好等于2，∴不等式的解集为[0.5，2.5]．（2）证明：∵a＜0，f（ax）﹣af（x）=|ax﹣2|﹣a|x﹣2|=|ax﹣2|+|2﹣ax|≥|ax﹣2+2a﹣ax|=|2a﹣2|=f（2a﹣2），∴f（ax）﹣af（x）≥f（2a）成立．24．【答案】【解析】解：（1）从统计表看出选择理科的学生的数学平均成绩高于选择文科的学生的数学平均成绩，反映了数学成绩对学生选择文理科有一定的影响，频率分布直方图如下．（2）从频率分布直方图知，数学成绩有50%小于或等于80分，50%大于或等于80分，所以中位数为80分．平均分为（55×0.005＋65×0.015＋75×0.030＋85×0.030＋95×0.020）×10＝79.5，即估计选择理科的学生的平均分为79.5分．。
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南山区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学一、选择题1． 在等差数列{a n }中，3（a 3+a 5）+2（a 7+a 10+a 13）=24，则此数列前13项的和是（ ）A ．13B ．26C ．52D ．562． 已知全集为R ，且集合}2)1(log |{2<+=x x A ，}012|{≥--=x x x B ，则)(B C A R 等于（ ） A ．)1,1(- B ．]1,1(- C ．)2,1[ D ．]2,1[【命题意图】本题考查集合的交集、补集运算，同时也考查了简单对数不等式、分式不等式的解法及数形结合的思想方法，属于容易题.3． 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，12,F F 分别在其左、右焦点，点P 为双曲线的右支上的一点，圆M 为三角形12PF F 的内切圆，PM 所在直线与轴的交点坐标为(1,0)，与双曲线的一条渐近线平行且距离为2，则双曲线C 的离心率是（ ） AB ．2 CD．24． 数列{a n }满足a n+2=2a n+1﹣a n ，且a 2014，a 2016是函数f （x ）=+6x ﹣1的极值点，则log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）的值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55． 若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．(][),4064,-∞+∞ B ．[40,64] C ．(],40-∞ D ．[)64,+∞6． 已知f （x ）在R 上是奇函数，且f （x+4）=f （x ），当x ∈（0，2）时，f （x ）=2x 2，则f （7）=（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．﹣98 D ．987． 如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作两个半圆．在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．1﹣ B．﹣ C． D．8． 函数f （x ）=tan （2x+），则（ ）A ．函数最小正周期为π，且在（﹣，）是增函数班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________B ．函数最小正周期为，且在（﹣，）是减函数C ．函数最小正周期为π，且在（，）是减函数D ．函数最小正周期为，且在（，）是增函数9． 已知向量，，其中．则“”是“”成立的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 10．已知是虚数单位，若复数22aiZ i+=+在复平面内对应的点在第四象限，则实数的值可以是（ ） A ．-2 B ．1 C ．2 D ．311．为了得到函数y=sin3x 的图象，可以将函数y=sin （3x+）的图象（ ）A ．向右平移个单位 B ．向右平移个单位C ．向左平移个单位D ．向左平移个单位 12．设f （x ）=e x +x ﹣4，则函数f （x ）的零点所在区间为（ ） A ．（﹣1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）二、填空题13．已知||=1，||=2，与的夹角为，那么|+||﹣|= ．14．在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 3:5:7A B C =，则此三角形的最大内角的度数等 于__________.15．下列四个命题申是真命题的是 （填所有真命题的序号） ①“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件；②空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，则这两个角相等； ③在侧棱长为2，底面边长为3的正三棱锥中，侧棱与底面成30°的角；④动圆P 过定点A （﹣2，0），且在定圆B ：（x ﹣2）2+y 2=36的内部与其相内切，则动圆圆心P 的轨迹为一个椭圆．16．考察正三角形三边中点及3个顶点，从中任意选4个点，则这4个点顺次连成平行四边形的概率等于 ．17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1．若C=，则= ．18．已知（x 2﹣）n）的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是 ．三、解答题19．已知函数，．（Ⅰ）求函数的最大值；（Ⅱ）若，求函数的单调递增区间．20．现有5名男生和3名女生．（1）若3名女生必须相邻排在一起，则这8人站成一排，共有多少种不同的排法？（2）若从中选5人，且要求女生只有2名，站成一排，共有多少种不同的排法？21．已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．22．若数列{a n}的前n项和为S n，点（a n，S n）在y=x的图象上（n∈N*），（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若c1=0，且对任意正整数n都有，求证：对任意正整数n≥2，总有．23．在平面直角坐标系XOY中，圆C：（x﹣a）2+y2=a2，圆心为C，圆C与直线l1：y=﹣x的一个交点的横坐标为2．（1）求圆C的标准方程；（2）直线l2与l1垂直，且与圆C交于不同两点A、B，若S△ABC=2，求直线l2的方程．24．如图，已知AC，BD为圆O的任意两条直径，直线AE，CF是圆O所在平面的两条垂线，且线段AE=CF=，AC=2．（Ⅰ）证明AD⊥BE；（Ⅱ）求多面体EF﹣ABCD体积的最大值．25．圆锥底面半径为1cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长．26．已知函数y=f（x）的图象与g（x）=log a x（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称，且g（x）的图象过（4，2）点．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x﹣1）＞f（5﹣x），求x的取值范围．南山区高中2018-2019学年高二下学期第一次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】B【解析】解：由等差数列的性质可得：a 3+a 5=2a 4，a 7+a 13=2a 10，代入已知可得3×2a 4+2×3a 10=24，即a 4+a 10=4，故数列的前13项之和S 13====26故选B【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，涉及整体代入的思想，属中档题．2． 【答案】C3． 【答案】C 【解析】试题分析：由题意知()1,0到直线0bx ay -=2=，得a b =，则为等轴双曲.故本题答案选C. 1 考点：双曲线的标准方程与几何性质．【方法点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质.求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造,,a b c 的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中,,a b c 与椭圆中,,a b c 的关系不同.求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出,a c 的值,可得；（2）建立,,a b c 的齐次关系式,将用,a c 表示,令两边同除以或2a 化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围.4． 【答案】C【解析】解：函数f （x ）=+6x ﹣1，可得f ′（x ）=x 2﹣8x+6，∵a 2014，a 2016是函数f （x ）=+6x ﹣1的极值点，∴a 2014，a 2016是方程x 2﹣8x+6=0的两实数根，则a 2014+a 2016=8．数列{a n }中，满足a n+2=2a n+1﹣a n ， 可知{a n }为等差数列，∴a 2014+a 2016=a 2000+a 2030，即a 2000+a 2012+a 2018+a 2030=16， 从而log 2（a 2000+a 2012+a 2018+a 2030）=log 216=4． 故选：C ．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的极值、等差数列的性质及其对数的运算法则是解题的关键．5． 【答案】A 【解析】试题分析：根据()248f x x kx =--可知，函数图象为开口向上的抛物线，对称轴为8kx =，所以若函数()f x 在区间[]5,8上为单调函数，则应满足：58k ≤或88k≥，所以40k ≤或64k ≥。
南山区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析
南山区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 如图所示，已知四边形ABCD 的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长为（ ）A ．B ． C. D ． 2． 已知集合P={x|﹣1＜x ＜b ，b ∈N}，Q={x|x 2﹣3x ＜0，x ∈Z}，若P ∩Q ≠∅，则b 的最小值等于（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3 3． 满足集合M ⊆{1，2，3，4}，且M ∩{1，2，4}={1，4}的集合M 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44． 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，.若,f(x-1)≤f(x),则实数a 的取值范围为A[] B[]C[]D[] 5． 复数满足2＋2z1－i ＝i z ，则z 等于（ ）A ．1＋iB ．－1＋iC ．1－iD ．－1－i6． 如果双曲线经过点P （2，），且它的一条渐近线方程为y=x ，那么该双曲线的方程是（ ）A ．x 2﹣=1 B ．﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=17． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ） A ．4 B ．8 C ．12 D ．20【命题意图】本题考查三视图、几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 8． 若直线:1l y kx =-与曲线C ：1()1e xf x x =-+没有公共点，则实数k 的最大值为（ ）A ．－1B ．12C ．1D 【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力．9． 圆222(2)x y r -+=（0r >）与双曲线2213y x -=的渐近线相切，则r 的值为（ ）A B ．2 C D ．【命题意图】本题考查圆的一般方程、直线和圆的位置关系、双曲线的标准方程和简单几何性质等基础知识，意在考查基本运算能力．10．如图Rt △O ′A ′B ′是一平面图形的直观图，斜边O ′B ′=2，则这个平面图形的面积是（ ）A ．B ．1C ．D ．11．某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（ ）A ．4320B ．2400C ．2160D ．132012．三个实数a 、b 、c 成等比数列，且a+b+c=6，则b 的取值范围是（ ） A ．[﹣6，2] B ．[﹣6，0）∪（ 0，2] C ．[﹣2，0）∪（ 0，6] D ．（0，2]二、填空题13．已知平面上两点M （﹣5，0）和N （5，0），若直线上存在点P 使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中：①y=x+1 ②y=2 ③y=x ④y=2x+1是“单曲型直线”的是 ．14．将一张坐标纸折叠一次，使点()0,2与点()4,0重合，且点()7,3与点(),m n 重合，则m n +的 值是 ．15．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是．已知样本中平均气温不大于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为 ．16．如图：直三棱柱ABC ﹣A ′B ′C ′的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA ′和CC ′上，AP=C ′Q ，则四棱锥B ﹣APQC 的体积为 ．17．若非零向量，满足|+|=|﹣|，则与所成角的大小为 ．18．满足关系式{2，3}⊆A ⊆{1，2，3，4}的集合A 的个数是 ．三、解答题19．已知命题p：方程表示焦点在x轴上的双曲线．命题q：曲线y=x2+（2m﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数m的取值范围．20．已知命题p：不等式|x﹣1|＞m﹣1的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．215（Ⅱ）若同一次考试成绩之差的绝对值不超过5分，则称该次考试两人“水平相当”．由上述5次摸底考试成绩统计，任意抽查两次摸底考试，求恰有一次摸底考试两人“水平相当”的概率．22．为了培养学生的安全意识，某中学举行了一次安全自救的知识竞赛活动，共有800 名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100 分）进行统计，得到如下的频率分布表，请你根据频率分布表解答下列问题：（1）求出频率分布表中①、②、③、④、⑤的值；（2）为鼓励更多的学生了解“安全自救”知识，成绩不低于85分的学生能获奖，请估计在参加的800名学生中大约有多少名学生获奖？（3）在上述统计数据的分析中，有一项指标计算的程序框图如图所示，则该程序的功能是什么？求输出的S 合计23．（本小题满分10分）直线l 的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R ，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1＋sin t （t 为参数），圆C 2的普通方程为x 2＋y 2＋23x ＝0.（1）求C 1，C 2的极坐标方程；（2）若l 与C 1交于点A ，l 与C 2交于点B ，当|AB |＝2时，求△ABC 2的面积．24．已知数列{a n }满足a 1=，a n+1=a n +（n ∈N *）．证明：对一切n ∈N *，有（Ⅰ）＜；（Ⅱ）0＜a n ＜1．南山区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】C【解析】考点：平面图形的直观图.2．【答案】C【解析】解：集合P={x|﹣1＜x＜b，b∈N}，Q={x|x2﹣3x＜0，x∈Z}={1，2}，P∩Q≠∅，可得b的最小值为：2．故选：C．【点评】本题考查集合的基本运算，交集的意义，是基础题．3．【答案】B【解析】解：∵M∩{1，2，4}={1，4}，∴1，4是M中的元素，2不是M中的元素．∵M⊆{1，2，3，4}，∴M={1，4}或M={1，3，4}．故选：B．4．【答案】B【解析】当x≥0时，f（x）=，由f（x）=x﹣3a2，x＞2a2，得f（x）＞﹣a2；当a2＜x＜2a2时，f（x）=﹣a2；由f（x）=﹣x，0≤x≤a2，得f（x）≥﹣a2。
广东省深圳市南山区2018-2019学年高二下学期质量监测数学(文科)试题
适用年级：高二 试卷类型：期末 试题总数：22 浏览次数：525 上传日期：2019/6/6
1 . “ ”是“ A．充分不必要
”的( )条件. B．必要不充分
【知识点】判断命题的必要不充分条件
C．充要
D．既不充分也不必要
难度：0.85 组卷：274 题型：单选题 更新：2019/6/6
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5.设
，
，若
，则
的最小值为( )
A．4
B．
C．5
D．
【知识点】基本不等式求和的最小值
难度：0.65 组卷：422 题型：单选题 更新：2017/7/13
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6 . 若x、y满足约束条件
，则2x+y的最小值为( )
A．3
B．4
【知识点】根据线性规划求最值或范围
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16 . 已知函数
在(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围是______.
【知识点】由函数在区间上的单调性求参数
难度：0.65 组卷：418 题型：填空题 更新：2019/6/6
17 . 设命题p:
，
值范围.
；命题q:
，
【知识点】根据或且非的真假求参数
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11 . 已知函数 A．
的导函数为
，且 B．
【知识点】基本初等函数的导数公式
，则
的值为( )
C．-1
D．-2
难度：0.65 组卷：588 题型：单选题 更新：2019/6/6
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2018-2019学年广东省深圳高中高二(下)期末数学试卷(理科)
2018-2019学年广东省深圳高中高二（下）期末数学试卷（理科）12小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求1.（ 5 分）已知集合 M 二{x|x 2 - 2x :：: 0} , N 二{_2 , -1 , 0, 1 , 2}，则 M 「^N =（）A . .一B . {1}C . {0 , 1}D . {-1 , 0, 1}2. （ 5分）设（2订）（3 -xi ） =3・（y • 5）i （i 为虚数单位），其中x , y 是实数，则|x yi |等于（ ）3. （ 5分）某高校调查了 320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5 , 30]，样本数据分组为[17.5 , 20） , [20 ,22.5） , [22.5 , 25） , [25 , 27.5） , [27.5 , 30].根据直方图，这 320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（）4. （5分）七人并排站成一行，如果甲、乙两人必需不相邻，那么不同的排法的种数是（、选择题：本题共B . .13C . 2「2D . 2C . 76D . 80A . 1440B . 3600C . 4320D . 48005. （ 5分）如图，正方形 ABCD 中，点 E , F 分别是DC , 1 r 1・ 1 —f 1 T 1 —1 * B .--AD C . AB —ADD . -AB --AD 222 2 2 26. （ 5分）等比例数列 A . 68B . 72第1页（共18页）C .52 27. （ 5分）设双曲线 笃-爲=1（a 0,b 0）的一条渐近线为 y=2x ，且一个焦点与抛物线a by 2 =4x 的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）5 2 2 2 5 225 2 5 22A . — x _5y 二 1B . 5y 一― x 二 1C . 5x y 二 1D . — y _5x 二 14 4 4 43仃8.（5分）将函数y =sinx 的图象向左平移 个单位，得到函数 y = f （x ）的函数图象，则2下列说法正确的是（ ）A . y =f （x ）是奇函数B . y = f （x ）的周期是二C . y = f （x ）的图象关于直线x 对称 2D . y =f （x ）的图象关于（-二,0）对称29.（ 5分）设a , b 是两条不同的直线，：•，一：是两个不同的平面，则 ://'-的一个充分条件是（）A .存在一条直线 a , all:, all -B .存在一条直线a ,a ：一 ：；a/厂C .存在两条平行直线 a 、b ,a ：一用b 二： ,all '■, bl l: D .存在两条异面直线 a 、 b , a J.b 二： ,a/厂，b 11:-710. （5分）已知F 是抛物线C:y =2x 的焦点,11. （5分）关于圆周率 二，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计二的值，先请120名同学每人随机写下一个都小于 1的正实数对（x,y ），再统计两数能与1构成钝角三角形三 边的数对（x,y ）的个数m ;最后在根据统计数 m 估计二的值，假设统计结果是 m = 34，那么可以估计二的值为（）N 是x轴上一FN 与抛物线C 相交于点M ，若2FM=MN ,则 | FN | =(f(x) =|ln( • x 21 - x) |，设 a 二 f (log 3 0.2),第2页(共18页)22 7B . 47151653 17-0.21.1b = f(3 ) ,c =f(—3 ),12. （ 5分）已知函数则（ ）A . a b cB . b . a cC . c .b .aD . c . a . b.填空题：本题共 4小题，每小题5分，共 20分..（5分）已知x 5的最小值为44x —514.（5 分）在 ABC 中，乙ABC , AB = •. 2 , BC=3，则sin /BAC 二 . 415.（5分）设｛aj 是公差不为零的等差数列， S n为其前n 项和.已知0 , S ? , S 4成等比数 列，且爲=5，则数列｛a n ｝的通项公式为 _ .16. （5分）在三棱锥 A-BCD 中，底面为Rt △，且BC_CD ，斜边BD 上的高为1,三棱 锥A — BCD 的外接球的直径是 AB ,若该外接球的表面积为16二，则三棱锥A _ BCD 的体 积的最大值为 三.解答题：共70分•解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 第17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答•第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.(1)求角A ;（2）若 ABC 的外接圆半径为1，求 ABC 的面积S 的最大值.18. （12分）如图，三棱锥 P-ABC 中，PC _平面ABC,PC =3,. ACB ' D, E 分别为线段2AB , BC 上的点，且 CD 二 DE = 2,CE =2EB =2 .（1）证明：DE _平面PCD第3页（共18页）17. （12分）已知.'ABC 的内角A , B , C 满足sin A 「sin B sin Csi nCsin Bsin A sin B —sin C（2）求二面角 A-PD -C 的余弦值.1 第6页(共18页)为一_ ,记动点M 的轨迹为曲线C . 9(I)求曲线C 的方程；(H) 过点T(1,0)的直线I 与曲线C 交于p 、Q 两点，是否存在定点S(s,O),使得直线SP 与 SQ 斜率之积为定值，若存在求出S 坐标；若不存在请说明理由.220. (12 分)设函数 f(x) =21 n(x-1)_(x_1). (I) 求函数f (x)的单调递增区间；(2)若关于x 的方程f (x)，x 2 -3x -a =0在区间［2 , 4］内恰有两个相异的实根，求实数 a 的取值范围.21. (12分)某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买 质保期后两年内的延保维修优惠方案： 方案一：交纳延保金 7000元，在延保的两年内可免费维修 2000 元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费 1000 元.某医院准备一次性购买 2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案， 为此搜集并整理了 50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替 1台机器维修次数发生的概率. 记X 表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数.(I)求X 的分布列；(n)以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？(二)选考题：共10分.请考生在第2、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第 一题计分.答题时请在答题卷中写清题号并将相应信息点涂黑. ［选修4-4 :坐标系与参数方程］f X 二 t22. (10分)在直角坐标系 xOy 中，曲线G 的参数方程为(t 为参数).在以坐标原［_y =3 —t点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2的极坐标方程为 》=4cos n .2台机器的客户，推出两种超过2次，超过2次每次收取维修费第7页(共18页)(1)写出G的普通方程和C2的直角坐标方程；(2 )若G与C2相交于A、B两点，求OAB的面积.［选修4-5:不等式选讲］23. 已知f (x)彳x 1| | ax - a 1| .(1 )当a =1时，求不等式f(x)…3的解集.(2)若x---1时，不等式f(x)・・x 2恒成立，求a的取值范围.第8页（共18页）2018-2019学年广东省深圳高中高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求. 1.（ 5 分）已知集合 M 二{x|x 2 - 2x :：: 0}， N 二{—2，-1，0，1，2}，则 M^N =（）A . .一B . {1}C . {0 , 1}D . {-1 , 0, 1}【解答】 解：；M ={x|0 :：:x ：：:2} , N ={_2 , -1 , 0, 1, 2}, .M={1}.故选：B .2. （ 5分）设（2订）（3 -xi ） =3・（y • 5）i （i 为虚数单位），其中x , y 是实数，则|x yi |等于（ ） A . 5B .13C . 2 2D . 2【解答】 解：；（2 i ）（3-xi ） =6 x （3 -2x ）i =3 （y 5）i ,则 |x - yi 冃-3 4y^ （-3）2 / 5. 故选：A .3 . （ 5分）某高校调查了 320名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5 , 30]，样本数据分组为[17.5 , 20） , [20 ,22.5） , [22.5 , 25） , [25 , 27.5） , [27.5 , 30].根据直方图，这 320名学生中每周的自习时间不足22.5小时的人数是（）- ---1\5 20 21.5 23 27J 30 自习时|司/小时16订町202&O.& &6 x =3 3 -2x = y 5ix = -3解得.心A . 68B . 72 C. 76 D. 80 【解答】解：由频率分布直方图得每周的自习时间不足22.5小时的频率为：63第9页（共18页）第10页（共18页）若 S 6 =9S 3，则a1（—q ）=9 也加，解可得 q 3=8，则 q =2 ,1 -q 1 -q(0.02 0.07) 2.5 =0.225, .这320名学生中每周的自习时间不足 22.5小时的人数是：0.225 320 =72 .故选:分）七人并排站成一行，如果甲、乙两人必需不相邻，那么不同的排法的种数是1440 B . 3600 C . 4320D . 4800【解答】 解：T 甲、乙两人必需不相邻,.先排列其它5个人，共有 A 种结果, 再在五个人形成的 6个空中选2个位置排列,共有 A ?种结果,.不同的排法的种数是 5 2A 5 A 6= 3600故选：B .5. （ 5分）如图，正方形ABCD 中，点 E , F 分别是DC , BC 的中点，那么EF =（C . --AB AD2 2【解答】解：因为点 E 是CD 的中点，所以EC 点得F 是BC 的中点， 所以 EF 二EC - CF 二-AB -^AD ,2故选:分）等比例数列｛a n ｝的前n 项和为 s ，公比为q ，若S 6 =95 , Q =62，贝U a-(【解答】解：根据题意, C .5等比例数列｛a n ｝中，若S 6 =9S 3，则q =二1, 2 26 3第11页（共18页）故选：C .3 IT&（ 5分）将函数y =sin x 的图象向左平移 —个单位，得到函数 y = f （x ）的函数图象，则2 下列说法正确的是（ ）A . y =f （x ）是奇函数B . y = f （x ）的周期是二C . y =f （x ）的图象关于直线x 对称 2D . y = f （x ）的图象关于（-一,0）对称23TT【解答】 解：将函数y =s in x 的图象向左平移 —个单位，得到函数 y = f （x ）的函数图象，2 则f （x ） =sin （x ―） = -cosx ，其图象关于（，0）对称，2 2 故选：D .又由S s =62，则有 =62 ,解可得a =2 ； 故选：B .7. （ 5分）设双曲线 2 2—2=1（a 、0,b 、0）的一条渐近线为a by =2x ，且一个焦点与抛物线y 2 =4x 的焦点相同，则此双曲线的方程为 （ A . 5x 2_5y 2=1 B . 5y4一 5x2=1 4C . 5x 2_5y 2=1D . — y^ 5x^ 14 4【解答】解: 因为抛物线的焦点为 (1,0)，f c 二 1l b 所以b=2|a 2 2c ab 2 丄21i a =5解得 5,b^- 双曲线方程为5x2斗.第12页（共18页）9. （5分）设a , b是两条不同的直线，〉，一：是两个不同的平面，则://'■的一个充分条件是（）A .存在一条直线a , a//二,a/ /:B .存在一条直线a , a二:i , a/ /■C.存在两条平行直线a、b , a二:J b - , a// ■ , b//：D .存在两条异面直线a、b , a二卅，b二；，a//：, b//：.【解答】解：对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行•故A不对；对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对；对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对；对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确.故选：D .10. （5分）已知F是抛物线C:y=2x2的焦点，N是x轴上一点，线段FN与抛物线C相交于点M，若2F M，贝U | FN |=（）【解答】解：如图：抛物线 C :x^1y ,21F（0,：）,8■■■2F M二M N , |OF 1=-8.|MA|=2|OF | =丄3 12.|MB |=| MF ^―24.| FN |=3| FM l=5 .8故选：D .11. （5分）关于圆周率 二，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的普丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计 二的值，先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对（x,y ），再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x,y ）的个数m ;最后在根据统计数m 估计二的值，假设统计结果是m = 34，那么可以估计二的值为（）【解答】解：由题意，120对都小于I 的正实数对（x, y ），满足0, X ：：1，面积为1， 卫，yd两个数能与1构成钝角三角形三边的数对（x, y ），满足x 2 y 2 ::1且0, X：：： 1，X y 1，面o, yv1积为.1，4 2因为统计两数能与I 构成钝角三角形三边的数对（x, y ）的个数m=34，34 1 47 所以，所以専=1204 215故选：B .12. （ 5 分）已知函数 f （x ）=|l n （.x 2 1—x ）|，设 ^f （log 3 0.2），^f （3^'2），c =f （-31.1），C . c b a.y=f （x ）是偶函数，且x 0时，函数f （x ）单调递增._Q.21.1■ ^f (log 35) , b=f(3), c = f(3 ),1.1_0.23 log 3 5 3 ,.c a b , 故选：D .二. 填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分. 51 13. （5分）已知x ，则函数y=4x的最小值为 7 .44x —5【解答】 解：y =4x + — =4x —5+—1—+5・・・2」（4x —5）—1—+5=722 7B . 47151653【解答】解: f(x)屮n( x 21 -x) |=|ln厂1J 如厂x|，第15页（共18页）4x—5 4x—5 Y 4x—5第11页(共18页)函数y =4x • —1一的最小值为74x —5 故答案为714. (5 分)在 ABC 中，.ABC , AB = 2 , BC=3，则 sin .BAC4 — 10【解答】 解：T 在 ABC 中，.ABC ' , AB =C =.2 , BC =a =：3 ,4二a 2 c 2 —2accosZABC =9 2「6 =5，即 b = 5 ,42 「得: sinNBAC-TZ-迥 sin ./BAC sin ZABC. 510故答案为：3竺1015.(5分)设｛a n ｝是公差不为零的等差数列， S 为其前n 项和.已知S i ，S 2，S 4成等比数列，且a 3 =5，则数列｛a .｝的通项公式为 —a n =2n_1—.【解答】解：设等差数列｛a n ｝的公差为d(d H0),则S =5—2d , S =10—3d , S 4 =20 —2d , 因为 S 2 二SLS 4，所以(10 -3d)2 =(5 -2d)(20 -2d)，整理得 5d 2 -10d =0，=0 ,d =2 ,a n =a 3 (n -3)d =5 2(n -3) =2n -1 .故答案为：a n =2n -116. (5分)在三棱锥 A-BCD 中，底面为Rt △，且BC_CD ，斜边BD 上的高为1,三棱 锥A - BCD 的外接球的直径是 AB ,若该外接球的表面积为16二，则三棱锥A- BCD 的体 积的最大值为4._3 —由外接球的表面积为16二，可得外接球的半径为 2,则AB=4 . 设 AD =x ，则 BD =€16 -x 2 ,.由余弦定理得：b则由正弦定理第17页（共18页）又BD 边上的高CH =1 ,.当CH —平面ABD 时，棱锥A —BCD 体积最大, 此时 V - X - 16 _x ' = . _x 4 16x 2 .3 2 一6 24 .当x =8时，V 有最大值为一. 3故答案为：一.3三.解答题：共70分•解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 第17〜21题为必考题, 每个试题考生都必须作答•第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.2 2=b c -be ，…（2 分）17. （12分）已知 ABC 的内角A , B , C 满足sin人“nB sinCsin Bsi nCsin A 亠 sin B —sin C第18页（共18页）（1）求角A ;又 0 ：：: A ：：:二，.a =2RsinA=2sin 3，…（8 分）3由余弦定理得 3 =b 2 • c 2 —be …2bc —be =bc ，…（10分）ABC 的面积为 S =lbcsinA, 13 — =3_32 -（当且仅当b =c 时取等号）JCP -ABC 中，PC _平面ABC,PC =3,・ACB D, E 分别为线段2.cosA =b2「a 2bc 1 ...（ 4 分）2bc（2 ）若ABC 的外接圆半径为1，求 ABC 的面积S 的最大值.【解答】解：（1）设内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,根据 sin A 「sin B sin Csin B可得sin Ca —b csin A sin B —sin C（2）由正弦定理得 sin A a=2R ,■ ' ABC 面积S 的最大值为口…（12分） 418. （12分）如图，三棱锥第19页（共18页）AB , BC 上的点，且 CD =DE =p'2,CE =2EB =2 .(1) 证明：DE _平面PCD【解答】 证明：（1 ） ； PC _平面ABC , DE 平面ABC ,. PC _ DECD =DE =「2, CE =2EB =2 , . .: CDE 为等腰直角三角形，.CD _ DE .：PC 「|CD =C , DE 垂直于平面PCD 内两条相交直线， .DE _ 平面 PCD .解：（2）由（1）知，.：CDE 为等腰直角三角形，.ZDCE =一4 如图，过 D 作DF 垂直CE 于F ，贝U DF = FC 由.ACB ,得 DF//AC , D!二皂=2,2AC BC 3由（1）可知DE _平面PCD ，故平面PCD 的法向量mLn 、3cos : m,n ：|m|Ln| 6=FE =1,又已知 EB=1,故 FB=2 . 故 AC =^DF =二2以C 为坐标原点，分别以 CA,CB,CP 的方向为z 轴的正方向系,则 C(0 , 0, 0) , P(0 , 0, 3), A(|, 0 , 0) , E(0 , 2 ,0) , D(1 , 1, 0), ED =(1 , -1 , 0) , DP 十1 , 3) , DA 詔, 0).设平面PAD 的法向量为n =（x ,,乙£A =0，得 1尹=0=2 , 得 n =(2 , 1 , 1).m = BD = (1 , -1 , 0),(2) 求二面角 A_PD _C 的余弦值.—8 第20页(共18页)设 P(x , yj , Q(X 2 , y 2)，则y 1讨22mm 2 9直线SP 与SQ 斜率分别为kSPy iy 2y 2,k sQ =—,x 1-s m% 1 - sx 2- s my 21 - sy i y 2-8k sp k sQ ■22222(my 1 +1—s)(my 2 +1—s) m y 1y 2+m(1—s)(y 1+y 2)+(1—s) (s -9)m +9(1—s)当-3 时，gj-s)2 2 ■ 8 ；当 s - -3 时，k sp k sQ 29 9(1—s) 18故所求二面角A _PD _C 的余弦值为—3619. (12分)已知定点 A(：,0)、B(3,0)，直线AM 、BM 相交于点 M ，且它们的斜率之积1为-9，记动点M 的轨迹为曲线C .(I)求曲线C 的方程;化简得：y 2 =1，由已知x 二3，故曲线C 的方程为y 2=1(x =二3).9(I)由已知直线I 过点T(1,0),消去 x 得(m 2 9) y 2 2 my —8 = 0 ,(II)过点T(1,0)的直线I 与曲线C 交于P 、 Q 两点，是否存在定点S(s,O),使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在求出 S 坐标;若不存在请说明理由. 【解答】解：(I)设动点M(x,y)，则k MA:x+3—(x =二3), x - 3-k MA kMBx 3 x -3 9设I 的方程为X 二my ・1，则联立方程组x = my 1x 2 9y 2 二 9y所以存在定点S( -3,0)，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值.220. (12 分)设函数 f(x) =21 n(x_1)_(x_1). (1)求函数f (x)的单调递增区间;(2)若关于x 的方程f (x)，x 2 -3x —a =0在区间［2 , 4］内恰有两个相异的实根，求实数 a的取值范围.【解答】解：(1)函数f(x)的定义域为(1,;), 1.f (x) =2［ ---------- (x -1)］二x —1 :x1，则使f (X ).0的x 的取值范围为(1,2),故函数f(x)的单调递增区间为(1,2). (2)方法 1："： f (x) =21 n(x -1) -(x -1)2, 2.f(x) x —3x —a =0= X a 1 —21 n(x -1) =0 . 令 g(x) =x a 1-21 n(x —1), Tg(X )=12口，且 x 1 ,X —1 x -1由 g (x) . 0 得 x 3 , g (x) ::: 0 得 1 ：：：x ：：：3 . .g(x)在区间［2 , 3］内单调递减，在区间［3 , 4］内单调递增，P(2)故f(x) x 2 -3x -a =0在区间［2 , 4］内恰有两个相异实根 =g( 3) ：：： 0 ［g(4)--0.J a 3--0即 a 4-21 n2 ：：0解得：2ln3-5, a ：：2In2-4 .a 5-21 n3・・O.综上所述，a 的取值范围是［21n3-5 , 2ln2-4).2方法 2:, f(x) =21 n(x -1) -(x -1), 2.f(x) x -3x -a =0= X a 1 -21 n(x -1) =0 .即 a =21 n(x —1) —x —1，令 h(x) =21 n(x —1) —x -1 ,Th (x) = —21 = _-，且 x 1 ,x -1 x —12x(x -2) x —1由h (x) 0 得1 ：：x ：：：3 , h (x) ::: 0 得x 3 ..h(x)在区间［2 , 3］内单调递增，在区间［3 , 4］内单调递减.\'h (2) - -3 , h (3) =21 n2_4 , h (4) =21 n3_5，又 h (2) ：：： h (4),2故f(x) x —3x_a =0在区间［2 , 4］内恰有两个相异实根 u h (4) , a :：: h ( 3). 即 2ln3—5 a <21 n2 —4 .综上所述，a 的取值范围是［2ln3_5 , 2ln2 _4）.21. （12分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买 质保期后两年内的延保维修优惠方案： 方案一：交纳延保金 7000元，在延保的两年内可免费维修 2000 元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费 1000 元.某医院准备一次性购买 2台这种机器.现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案， 为此搜集并整理了 50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：以这50台机器维修次数的频率代替 1台机器维修次数发生的概率. 记X 表示这2台机器超 过质保期后延保的两年内共需维修的次数.（I ）求X 的分布列；（n ）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算?【解答】（本小题满分12分）解：（I ） X 所有可能的取值为 0, 1 , 2, 3, 4, 5, 6.P(X =1)1 12 二丄,10 525 11213P(X7 5 5 W 2 抵， P(X =3) 1 32 1 Z 2』10 105 5 50 2 231 =4)25 510 5P(X =5) =? — 2=—,5 10 25p （x =6）33— 10 10 1002台机器的客户，推出两种超过2次，超过2次每次收取维修费P(X=0)-- 10 101100 P(X25，17 11 7 6 QEY 7000 9000 11000 13000 15000 =10720 （元）.100 50 25 25 10067 6 9EY2 10000 11000 12000 =10420 （元）.100 25 100IE* .EY?，•该医院选择延保方案二较合算.（二）选考题：共10分•请考生在第2、23题中任选一题作答•如果多做，则按所做的第一题计分•答题时请在答题卷中写清题号并将相应信息点涂黑. ［选修4-4 :坐标系与参数方程］f x -122. （10分）在直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为（t为参数）•在以坐标原卜=3-1点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为T= 4cosr .（1）写出G的普通方程和C2的直角坐标方程；（2 ）若G与C2相交于A、B两点，求OAB的面积.（x — t【解答】解：（1）：曲线G的参数方程为（t为参数），ly =3 -1G的普通方程为x • y -3 =0,■曲线C2的极坐标方程为?= 4si，即評=4 ^sinn ,2 2-C2的直角坐标方程为x y -4y =0 ；(2)原点O 到直线x • y _3 =0的距离为d =1 , 亚 22 2C 2的标准方程为x ・(y —2) =4，表示圆心为C 2 (0,2)，半径r =2的圆, C 2到直线x y -^0的距离d 2-, 2S OAB 却」A B T 帀F二乎［选修4-5:不等式选讲］ 23.已知 f (x) » 1|| ax —a 1| .(1 )当a =1时，求不等式f(x)…3的解集.(2)若x---1时，不等式f(x)・・x 2恒成立，求a 的取值范围.x-0x 1 x ・・3' 解得：x, -2或xT ,所以不等式f (x)…3的解集为{x |x, -2或x …1}(2) xT 时，不等式 f (x)・・x - 2 恒成立二 | x 1| • |ax —a 1| 厖x - 2：= | ax 「a T| 1 恒成立 二 ax —a+1T 或 ax —a+1, -1 , .a(x-1)・・0或a(x -1), -2恒成立，.a-0 .【解答】解：(1 )当a =1时，f (x)--3可化为| x 1| • | x|…彳:二x ，_1 或_x _ 1 _ x ・• 3 一仁x ：：： 0或 x 1 -x ・・3。
南山区高中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 高考资料
10．在 ABC 中， b A． 3
3 ， c 3 ， B 30 ，则等于（
B． 12 3
） C． 3 或 2 3 D．2 ）
11．一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为 12π，则该几何体的体积是（
A．4π
B．12π
C．16π ） D．
D．48π
12．与函数 y=x 有相同的图象的函数是（ A． B． C．
三、解答题
19．（本题满分 12 分）如图 1 在直角三角形 ABC 中，∠A=90°，AB=2，AC=4，D，E 分别是 AC，BC 边上 的中点，M 为 CD 的中点，现将△CDE 沿 DE 折起，使点 A 在平面 CDE 内的射影恰好为 M． （I）求 AM 的长； （Ⅱ）求面 DCE 与面 BCE 夹角的余弦值．
二、填空题
13．【答案】 【解析】解：对于①，把函数 y=sin（x﹣ 到函数 y=sin（2x﹣ ），故①正确． ，故②错 ）图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得
对于②，当 α，β 是第一象限角且 α＜β，如 α=30°，β=390°，则此时有 cosα=cosβ= 误． 对于③，当 x=﹣ 数 y=cos（2x+ 时，2x+ π=π，函数 y=cos（2x+ π）=﹣1，为函数的最小值，故 x=﹣
是函
π）的一条对称轴，故③正确． ）=4cos[ ﹣（2x+ ）]=4cos（ ﹣2）=4cos（2x﹣ ），
对于④，函数 y=4sin（2x+ 故函数 y=4sin（2x+ 对于⑤，在上，2x﹣ 故答案为：①③④． 14．【答案】 4 ．
）与函数 y=4cos（2x﹣ ∈，函数 y=2sin（2x﹣
【最新】2019秋广东省深圳市南山区高二上册期末数学试卷(有答案)
广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题P：∀∈R，2+2＞0．则￢P为（）A．B．C．D．∀∈R，2+2≤02．（5分）等差数列{a n}前n项和为S n，公差d=﹣2，S3=21，则a1的值为（）A．10 B．9 C．6 D．53．（5分）“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．不充分也不必要条件4．（5分）已知向量=（2，1，4），=（1，0，2），且+与﹣互相垂直，则的值是（）A．1 B．C．D．5．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．7．（5分）若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lga•lgb的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．8．（5分）已知数列{a n}：a1=1，，则a n=（）A．2n+1﹣3 B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n+2﹣79．（5分）若直线2a+by﹣2=0（a＞0，b＞0）平分圆2+y2﹣2﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（）A．2﹣B．﹣1 C．3+2D．3﹣210．（5分）设，y满足约束条件，则=﹣2y的取值范围为（）A．（﹣3，3）B．[﹣3，3]C．[﹣3，3）D．[﹣2，2]11．（5分）如图过拋物线y2=2p（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）A．y2=B．y2=3 C．y2=D．y2=912．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若△ABC中，AC=，A=45°，C=75°，则BC=．14．（5分）已知数列{a n}满足：，且a2+a4+a6=9，则的值为．15．（5分）设不等式（﹣a）（+a﹣2）＜0的解集为N，若∈N是的必要条件，则a的取值范围为．16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若=2，则椭圆的离心率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知正项数列{a n}的前n项的和为S n，且满足：，（n∈N+）（1）求a1，a2，a3的值（2）求数列{a n}的通项公式．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．（1）求角B的值；（2）若a，b，c成等差数列，且b=3，求ABB1A1面积．19．（12分）已知递增的等比数列{a n}满足：a2•a3=8，a1+a4=9（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列，求数列{b n}的前n项的和T n．20．（12分）已知点A（﹣，0），B（，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB交于点P，且它们的斜率之积是﹣．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：y=+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线+2y=0上时，求直线l的方程．21．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（1）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（2）证明：CD∥EF（3）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．22．（12分）已知O是坐标系的原点，F是抛物线C：2=4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，△OAB的重心为G．（Ⅰ）求动点G的轨迹方程；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程．广东省深圳市南山区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中．有且只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设命题P：∀∈R，2+2＞0．则￢P为（）A．B．C．D．∀∈R，2+2≤0【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即￢P：，故选：B2．（5分）等差数列{a n}前n项和为S n，公差d=﹣2，S3=21，则a1的值为（）A．10 B．9 C．6 D．5【解答】解：公差d=﹣2，S3=21，可得3a1+×3×2×（﹣2）=21，解得a1=9，故选：B．3．（5分）“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．不充分也不必要条件【解答】解：当+2π时，满足但不一定成立，即充分性不成立，当时，成立，即必要性成立，则“”是“”的必要不充分条件，故选：C4．（5分）已知向量=（2，1，4），=（1，0，2），且+与﹣互相垂直，则的值是（）A．1 B．C．D．【解答】解：+=（3，1，6），﹣=（2﹣1，，4﹣2），∵+与﹣互相垂直，∴3（2﹣1）++6（4﹣2）=0，解得=，故选：D．5．（5分）在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcosC，可得：13=9+AC2+3AC，解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．故选：A．6．（5分）若双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），则此双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线﹣=1的一条渐近线经过点（3，﹣4），可得3b=4a，即9（c2﹣a2）=16a2，解得=．故选：D．7．（5分）若a，b均为大于1的正数，且ab=100，则lga•lgb的最大值是（）A．0 B．1 C．2 D．【解答】解：∵a＞1，b＞1，∴lga＞0，lgb＞0∴lga•lgb≤（）2=（）2=1当且仅当a=b=10时等号成立即lga•lgb的最大值是1故选B．8．（5分）已知数列{a n}：a1=1，，则a n=（）A．2n+1﹣3 B．2n﹣1 C．2n+1 D．2n+2﹣7【解答】解：由，+3=2（a n+3），得a n+1∵a1+3=4≠0，∴数列{a n+3}是以4为首项，以2为公比的等比数列，则，∴．故选：A．9．（5分）若直线2a+by﹣2=0（a＞0，b＞0）平分圆2+y2﹣2﹣4y﹣6=0，则+的最小值是（）A．2﹣B．﹣1 C．3+2D．3﹣2【解答】解：由题意可得直线2a+by﹣2=0（a＞0，b＞0）经过圆2+y2﹣2﹣4y﹣6=0的圆心（1，2），故有2a+2b=2，即a+b=1．再根据+=+=3++≥3+2=2+2，当且仅当=时，取等号，故+的最小值是3+2，故选：C．10．（5分）设，y满足约束条件，则=﹣2y的取值范围为（）A．（﹣3，3）B．[﹣3，3]C．[﹣3，3）D．[﹣2，2]【解答】解：由=﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点C（3，0）时，直线y=的截距最小，此时最大，代入目标函数=﹣2y，得=3，∴目标函数=﹣2y的最大值是3．当直线y=，过点B时，直线y=的截距最大，此时最小，由，得，即B（1，2）代入目标函数=﹣2y，得=1﹣2×2=﹣3∴目标函数=﹣2y的最小值是﹣3．故﹣3≤≤3，故选：B11．（5分）如图过拋物线y2=2p（p＞0）的焦点F的直线依次交拋物线及准线于点A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，则拋物线的方程为（）A．y2=B．y2=3 C．y2=D．y2=9【解答】解：如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设|BF|=a，则由已知得：|BC|=2a，由定义得：|BD|=a，故∠BCD=30°，在直角三角形ACE中，∵|AF|=3，|AC|=3+3a，∴2|AE|=|AC|∴3+3a=6，从而得a=1，∵BD∥FG，∴，求得p=，因此抛物线方程为y2=3，故选：B12．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵在锐角△ABC中，sinA=，S=，△ABC∴bcsinA=bc=，∴bc=3，①又a=2，A是锐角，∴cosA==，∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即（b+c）2=a2+2bc（1+cosA）=4+6（1+）=12，∴b+c=2②由①②得：，解得b=c=．故选A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若△ABC中，AC=，A=45°，C=75°，则BC=．【解答】解：∵AC=，A=45°，C=75°，B=180°﹣A﹣C=60°，∴由正弦定理，可得：BC===．故答案为：．14．（5分）已知数列{a n}满足：，且a2+a4+a6=9，则的值为﹣5．【解答】解：由，得log3（3a n）=log3a n+1，∴a n=3a n，且a n＞0，+1∴数列{a n}是公比为3的等比数列，又a2+a4+a6=9，∴=35．∴=．故答案为：﹣5．15．（5分）设不等式（﹣a）（+a﹣2）＜0的解集为N，若∈N是的必要条件，则a的取值范围为．【解答】解：若∈N是的必要条件，则M⊆N，若a=1时，不等式（﹣a）（+a﹣2）＜0的解集N=∅，此时不满足条件．若a＜1，则N=（a，2﹣a），则满足，得，此时a≤﹣，若a＞1，则N=（2﹣a，a），则满足，得，此时a≥，综上，故答案为：16．（5分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若=2，则椭圆的离心率为．【解答】解：如图，由题意，A（﹣c，），∵=2，∴，且C﹣c=c，得C=2c．∴C（2c，），代入椭圆，得，即5c2=a2，解得e=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知正项数列{a n}的前n项的和为S n，且满足：，（n∈N+）（1）求a1，a2，a3的值（2）求数列{a n}的通项公式．【解答】解：（1）由，取n=1，得，∵a n＞0，得a1=1，取n=2，得，解得a2=2，取n=3，得，解a3=3；（2）∵+a n，①∴，②②﹣①得（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）=0，∵a n＞0，∴a n+1+a n＞0，则a n+1﹣a n=1，∴{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴a n=1+（n﹣1）×1=n．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC=（2a﹣c）cosB．（1）求角B的值；（2）若a，b，c成等差数列，且b=3，求ABB1A1面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵bcosC=（2a﹣c）cosB，∴由正弦定理sinBcosC=（2sinA﹣sinC）cosB，∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，…（2分）∴sin（B+C）=2sinAcosB，…（3分）又A+B+C=π，∴sinA=2sinAcosB，…（4分）∴，又B为三角形内角…（5分）∴…（6分）（2）由题意得2b=a+c=6，…（7分）又，∴…（9分）∴ac=9…（10分）∴…（12分）19．（12分）已知递增的等比数列{a n}满足：a2•a3=8，a1+a4=9（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列，求数列{b n}的前n项的和T n．【解答】解：（1）由题意，得a2a3=a1a4=8，又a1+a4=9，所以a1=1，a4=8，或a1=8，a4=1，由{a n}是递增的等比数列，知q＞1所以a1=1，a4=8，且q=2，∴，即a n=2n﹣1；（2）由（1）得，所以所以，两式相减，得，得．20．（12分）已知点A（﹣，0），B（，0），P是平面内的一个动点，直线PA与PB交于点P，且它们的斜率之积是﹣．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设直线l：y=+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线+2y=0上时，求直线l的方程．【解答】解：（1）设，由，整理得+y2=1，≠（2）设MN的中点坐标为（0，y0），联立得（22+1）2+4=0，所以，由0+2y0=0，得=1，所以直线的方程为：y=+121．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D﹣AF﹣E与二面角C﹣BE﹣F都是60°．（1）证明平面ABEF⊥平面EFDC；（2）证明：CD∥EF（3）求二面角E﹣BC﹣A的余弦值．【解答】证明：（1）∵ABEF为正方形，∴AF⊥EF．∵∠AFD=90°，∴AF⊥DF，∵DF∩EF=F，∴AF⊥平面EFDC，∵AF⊂平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面EFDC．（2）由AF⊥DF，AF⊥EF，可得∠DFE为二面角D﹣AF﹣E的平面角，由CE⊥BE，BE⊥EF，可得∠CEF为二面角C﹣BE﹣F的平面角．可得∠DFE=∠CEF=60°．∵AB∥EF，AB⊄平面EFDC，EF⊂平面EFDC，∴AB∥平面EFDC，∵平面EFDC∩平面ABCD=CD，AB⊂平面ABCD，∴AB∥CD，∴CD∥EF．解：（3）以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，），A（2a，2a，0），∴=（0，2a，0），=（，﹣2a，），=（﹣2a，0，0），设平面BEC的法向量=（1，y1，1），则，取1=，则=（），设平面ABC的法向量为=（，y，），则，取y=，得，设二面角E﹣BC﹣A的平面角为θ．则cosθ===﹣，∴二面角E﹣BC﹣A的余弦值为﹣．22．（12分）已知O是坐标系的原点，F是抛物线C：2=4y的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，弦AB的中点为M，△OAB的重心为G．（Ⅰ）求动点G的轨迹方程；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的轨迹与y轴的交点为D，当直线AB与轴相交时，令交点为E，求四边形DEMG的面积最小时直线AB的方程．【解答】解：（Ⅰ）焦点F（0，1），显然直线AB的斜率存在，设AB：y=+1，联立2=4y，消去y得，2﹣4﹣4=0，设A（1，y1），B（2，y2），G（，y），则1+2=4，12=﹣4，所以，所以，消去，得重心G的轨迹方程为；（Ⅱ）由已知及（Ⅰ）知，，因为，所以DG∥ME，（注：也可根据斜率相等得到），，D点到直线AB的距离，所以四边形DEMG的面积，当且仅当，即时取等号，此时四边形DEMG的面积最小，所求的直线AB的方程为．。