初三数学正多边形和圆解析
初三数学正多边形和圆、弧长公式及有关计算知识一. 本周教学内容：正多边形和圆、弧长公式及有关计算［学习目标］1. 正多边形的有关概念；正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角。
正n边形的半径，边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。
2. 正多边形和圆的关系定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆，因此可采用作辅助圆的办法，解决一些问题。
3. 边数相同的正多边形是相似多边形，具有以下性质：（1）半径（或边心距）的比等于相似比。
（2）面积的比等于边心距（或半径）的比的平方，即相似比的平方。
4. 由于正n边形的n个顶点n等分它的外接圆，因此画正n边形实际就是等分圆周。
（1）画正n边形的步骤：将一个圆n等分，顺次连接各分点。
（2）用量角器等分圆先用量角器画一个等于360︒n的圆心角，这个角所对的弧就是圆的1n，然后在圆上依次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等分点，连结各分点即得此圆的内接正n边形。
5. 对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图。
6. 圆周长公式：C R=2π，其中C为圆周长，R为圆的半径，把圆周长与直径的比值π叫做圆周率。
7. n°的圆心角所对的弧的弧长：ln R =π180n表示1°的圆心角的度数，不带单位。
8. 正n边形的每个内角都等于()nn-︒2180，每个外角为360︒n，等于中心角。
二. 重点、难点：1. 学习重点：正多边形和圆关系，弧长公式及应用。
正多边形的计算可转化为解直角三角形的问题。
只有正五边形、正四边形对角线相等。
2. 学习难点：解决有关正多边形和圆的计算，应用弧长公式。
例1. 正六边形两条对边之间的距离是2，则它的边长是（）A.33B.233C.23D.223解：如图所示，BF＝2，过点A作AG⊥BF于G，则FG＝1D又∵∠FAG ＝60° ∴=∠==AF FG FAG sin 132233 故选B点拨：正六边形是正多边形中最重要的多边形，要注意正六边形的一些特殊性质。
例2. 正三角形的边心距、半径和高的比是（ ） A. 1∶2∶3B. 123∶∶C. 123∶∶D. 123∶∶解：如图所示，OD 是正三角形的边心距，OA 是半径，AD 是高设OD r =，则AO ＝2r ，AD ＝3r∴OD ∶AO ∶AD ＝r ∶2r ∶3r ＝1∶2∶3 故选A点拨：正三角形的内心也是重心，所以内心到对边的距离等于到顶点距离的12。
通过这个定理可以使问题得到解决。
例3. 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S S S 346、、之间的大小关系是（ ） A. S S S 346>> B. S S S 643>> C. S S S 634>>D. S S S 463>>解析：设它们的周长为l ，则正三角形的边长是a l 313=，正四边形的边长为a l 414=，正六边形的边长为a l 616=∴=︒=⨯⨯=S a l l 332221260121932336sinS a l S a l l44226622211661260612136323372===⨯︒=⨯⨯⨯=sin∴>>S S S 643故选B点拨：一定要注意三个正多边形的周长相等这一重要条件，否则容易得出错误结论。
例4. 如图所示，正五边形的对角线AC 和BE 相交于点M ，求证： （1）ME AB =； （2）ME BE BM 2=·点悟：若作出外接圆可以轻易解决问题。
证明：（1）正五边形必有外接圆，作出这个辅助圆，则AB ⋂=⨯︒=︒1536072∴∠BEA ＝36°EC ⋂=⨯︒=︒25360144∴∠=⨯︒=︒∴∠=︒-︒-︒=︒=∠∴==EAC EMA EAM ME AE AB1214472180367272（2） BC AB CAB BEA ⋂=⋂∴∠=∠，又∵公共角∠ABM ＝∠EBA ∴△ABM ∽△EBA∴=∴=AB BE BMABAB BE BM2·例5. 已知正六边形ABCDEF 的半径为2cm ，求这个正六边形的边长、周长和面积。
解：∵正六边形的半径等于边长 ∴正六边形的边长a cm =2正六边形的周长l acm ==612 正六边形的面积S cm =⨯⨯⨯⨯=6122232632 点拨：本题的关键是正六边形的边长等于半径。
例6. 已知正方形的边长为2cm ，求它的外接圆的外切正三角形的边长和面积。
解：∵正方形的边长为2cm ∴正方形的外接圆半径为2cm∴外接圆的外切正三角形一边上的高为32cm∴正三角形的边长为3260323226sin ︒==cm∴正三角形的面积为12262632632⨯⨯⨯=cm 点拨：本题的重点是正方形的边长、圆的半径和正三角形的半径之间的关系。
例7. 如图所示，已知⊙O 1和⊙O 2外切于点P ，⊙O 1和⊙O 2的半径分别为r 和3r ，AB 为两圆的外公切线，A 、B 为切点，求AB 与两弧PA PB ⋂⋂、所围的阴影部分的面积。
解：连结O A O B 12、，过点O 1作O C O B 12⊥在Rt O O C ∆12中，O O r r r O C r r r 1223432=+==-=， ∴=-=O C r r r 12216423 ∴梯形O ABO 12的面积为：()12323432r r r r +=· 又∵sin ∠===O O C O C O O r r 212122412∴∠=︒∴∠=︒∠=︒O O C O PO A21213060120，∴扇形O PA 1的面积为：1203601322ππr r = 扇形O PB 2的面积为：6033603222ππ·()r r = ∴阴影部分的面积为： 431332431162222r r r r --=-⎛⎝ ⎫⎭⎪πππ点拨：求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，最后通过面积的加减得出结论。
例8. 如果弧所对的圆心角的度数增加1°，设弧的半径为单位1，则它的弧长增加___________。
解：由弧长公式l n R=π180，得： 当弧所对的圆心角的度数增加1°，则弧长为()n R+1180π()n Rn R +-=⨯=11801801180180ππππ∴弧长增加π180，故填π180点拨：本题主要考查弧长公式l n R=π180。
例9. 如图，大的半圆的弧长为a ，n 个小圆的半径相等，且互相外切，其直径和等于大半圆的直径，若n 个小半圆的总弧长为b ，则a 与b 之间的关系是（ ）A. a b =B. a nb =C. a bn=D. a b =π解：设大半圆的半径为R ，小半圆的半径为r 由题意，得：a R =π ∴=R aπ∴小圆的半径r a n =π∴每个小半圆的弧长为ππ·a n a n=∴n个小半圆的总弧长b nana==·即b a=，故选A。
点拨：本题的关键是大半圆的半径和小半圆的半径之间的关系，然后通过弧长和半径之间的关系求解。
例10. 如图所示，两个同心圆被两条半径截得的AC⋂的长为6πcm，BD⋂的长为10πcm，若AB cm=12，则图中阴影部分的面积为（）A. 192πB. 144πC. 96πD. 48π解：设∠O＝α，由弧长公式得：618010180618010180παππαπαα=︒=︒∴=⨯︒=⨯︒·，·，OA OBOA OB又 AB OB OA=-∴=⨯︒-⨯︒∴=︒∴=⨯︒︒==⨯︒︒=121018061806061806018101806030αααOA OB，∴阴影部分的面积为：()6030360601836030186962222︒︒-︒︒=⨯-=ππππ··故选C点拨：本题主要考查弧长、扇形面积的有关计算，要熟记公式，正确运用。
例11. 如图所示，⊙O的半径OA为R，弦AB将圆周分成弧长之比为3∶7的两段弧，求弦AB的长，如果将3∶7改为m∶n，此时弦AB的长度是多少？点悟：欲求弦长AB，需用弦长公式，需知圆心角的度数，∠AOB可通过两弧长之比3∶7求得，再利用ADRDOA=∠sin求得AD，AB就可求。
解：作OD⊥AB于D，连结OB∵这两段弧之比为3∶7∴这两段弧所对的圆心角之比也为3∶7设这两个圆心角的度数为3x，7x，则37360x x+=︒即AB AmB AOB⋂=︒=︒∠=︒108252108，，⌒∴∠DOA＝54°，又ADR=︒sin54∴AD＝Rsin54°∵AB＝2AD∴=︒AB R254·sin同理可得3∶7改为m∶n时，解得：AB Rmm nn m=+>2·sin()π点拨：有关正多边形的计算，都要作出它的半径和边心距为辅助线，从而将问题转化为解直角三角形的问题。
例12. 已知正六边形边长为a，求它的内切圆的面积。
点悟：欲求内切圆的面积，根据圆面积公式S R=π2，需求内切圆的半径OH，可依据正六边形的性质及边长a求得OH OA AH=-22，代入面积公式，即可。
解：如图所示，设正六边形的边长AB a=，内切圆的圆心为O，连结OA、OB，作OH⊥AB于H，则∠AOH＝30°()∴===∴=-=-⎛⎝⎫⎭⎪=∴==OA AH AB aOH OA AH aaaS OH aO223234222222内切⊙ππ例13. 已知正多边形的周长为12cm，面积为122cm，则内切圆的半径为__________。
解：设正多边形是正n边形，圆半径为r∵正多边形的周长是12cm∴正多边形的边长是12ncm 又∵正多边形的面积是122cm∴=∴=1212122n nrr cm ···()故应填2cm 。
点拨：要注意内切圆半径等于正多边形的边心距这一重要概念。
（答题时间：30分钟） 一. 判断题。
1. 各边相等的圆外切多边形是正多边形。
（ ）2. 各边相等的圆内接多边形是正多边形。
（ ）3. 各角相等的圆内接多边形是正多边形。
（ ）4. 各角相等的圆外切多边形是正多边形。
（ ）5. 一个四边形不一定有外接圆或内切圆。
（ ）6. 矩形一定有外接圆，菱形一定有内切圆。
（ ）7. 三角形一定有外接圆和内切圆，且两圆是同心圆。
（ ）8. 依次连结正多边形各边中点所得的多边形是正多边形。
（ ）二. 填空题。
9. 若正多边形内角和是540°，那么这个多边形是_________边形。
正多边形和圆教材分析
天津市第四十三中学 何瑛
正多边形与圆的关系 概念 与性 质
正多边形的中心、半径、边心距、中心角
正多边形的对称性、相似性 半径、边心距、中心角的计算
正 多 边 形
计算
边长、面积的计算 量角器等分圆周画正多边形
画法
尺规作正方形、正六边形等 圆的周长、弧长及组合图形周长的计算
四、教法
1、为了充分调动学生的学习积极性，使数学课上的有趣、 生动、高效，教学中引导学生从实践入手，采取提问、猜 测、探索、归纳等教学手段总结正多边形与圆的关系，有 关概念，以及正多边形的画法，采用启发式教学与分层训 练法。用讨论法、阅读法、讲授法为辅助。 2、在教学中采用多媒体教学手段，穿插小组讨论，增强 教学的直观性、趣味性，加大课堂容量，提高教学效率。
应用
圆面积、扇形面积及组合图形面积的计算
圆柱与 圆 锥
基本概念
侧面展开图 侧面积与表面积的计算
一、教材的地位和作用
《正多边形和圆》是新教材九年级（上）第二十四章的内容。 学生已经学习了圆的性质和与圆有关的三种位置关系，这些知 识都将为本节的学习起着铺垫作用。本节正多边形和圆也是今 后进一步研究圆的性质的基础，在教才中有承上启下的重要地 位。在当今的改革大潮中，我们应以《新课标》的眼光来重新 审视它。《新课标》对数学学习内容的要求是：现实的、有意 义的、富有挑战性的。数学作为一种普遍适用的技术，要有助 于人们收集信息、描述信息，建立数学模型，进而解决问题， 直接为社会创造价值。本节内容从定性、定量的两个角度去探 讨，挖掘蕴涵的数学知识，把感性认识转化成理性认识，具体 到抽象，让学生主动参与，亲身体验知识的发生与发展的过程。 利用正多边形和圆的位置关系探究数量关系，把形的问题转化 成了数的问题，体现了数形结合的思想。
初三数学正多边形和圆公式
初三数学正多边形和圆公式
正多边形和圆是中学数学学习中一个重要的课题，其中正多边形和圆的公式是学生必须掌握的知识点。
一、正多边形的公式
1、行心角公式：Σinterior angles = (n - 2 )×180°
其中，Σinterior angles表示角之和，n表示多边形内角的个数。
2、每内角度数公式：interior angle = (n - 2 )×180°/n
3、外角之和公式：Σexterior angles = 360°
其中，Σexterior angles表示外角之和。
4、外角度数公式：exterior angle= 360°/n
5、正多边形的周长公式：P= a × n
二、圆的公式
1、定义公式：圆：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
其中，a和b表示圆心坐标，r表示圆的半径。
2、圆的周长公式：C=2πr
3、圆的面积公式：S=πr^2
4、弦长公式：L=2πr × 角度
5、弦长公式：A=2πR × (1-cosα)
以上就是高中数学关于正多边形和圆的公式，希望可以帮助到大家学习和掌握。
【重点梳理】-初三数学-正多边形和圆
核心知识点一：正多边形的概念
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．
核心知识点二：正多边形与圆
把圆分成()3n n ≥等份：
（1）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n 边形；
（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形；
（3）任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆．
核心知识点三：正多边形的中心、半径、边心距及中心角
（1）正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心；
（2）外接圆的半径叫做正多边形的半径；
（3）中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距（内切圆的半径）；
（4）正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．
核心知识点四：正多边形的有关计算公式
（1）每个内角=()
1802360=180n n n
︒-︒-，每个外角360n ︒=； （2）正n 边形边长a ，半径R ，边心距r 之间的关系可以结合垂径定理计算；
（3）正n 边形周长C n a =⋅；面积1122
S n r a C r =⋅⋅⋅=⋅．
正多边形和圆
一、基础知识梳理 O 中心角 半径R 边心距r。
鲁教版初三(上)数学：正多边形与圆,带答案
正多边形与圆1.三角形的内心、外心、重心、垂心(1)三角形的内心：是三角形__________的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示．(2)三角形的外心：是三角形__________的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．2.三角形的内切圆、外接圆三角形的内切圆：对比三角形的外接圆来学习三角形的内切圆三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆叫三角形的外接圆三角形外接圆的圆心叫三角形的外心三角形的外心到三角形______________相等三角形的外心是三角形三边中垂线的交点三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆三角形内切圆的圆心叫三角形的内心三角形的内心到_________的距离相等三角形的内心是三角形三角平分线的交点3.圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角________，外角等于内对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形______________．4.正多边形与圆在正多边形的有关计算中，如果分别以αn、a n、r n、R n、P n和S n表示正n(n≥3,n为整数)边形的中心角、边长、边心距、半径、周长和面积，则有：①αn=；②a n=2R n·sin；③r n=R n·cos；④+；⑤P n=na n；⑥S n=P n r n；⑦S n=n sin.（因为一个三角形的面积为：h·OB）注意两点：1.构造直角三角形（弦心距、边长的一半、半径组成的）求线段之间的关系等；2.准确记忆相关公式。
初三数学《正多边形和圆》课时练习(附答案)
《正多边形和圆》课时练习(附答案）一、本节学习指导本节我们重点了解正多边形的各种概念和性质,在命题中正多边形经常和三角形、圆联合命题，部分地区也会以这部分综合题作为压轴题。
二、知识要点1、正多边形（1）、正多边形的定义各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.如:正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。
(2）、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
（3）、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
(4)、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
（5）、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
（6)、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
2、正多边形的对称性（1)、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。
一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
(2）、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
(3）、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形.一、课前预习 (5分钟训练)1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍 D 。
没有变化2。
正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为（ ）A.3∶2∶1 B 。
4∶3∶2 C.4∶2∶1 D.6∶4∶33。
正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.4.中心角是45°的正多边形的边数是__________.5。
已知△ABC 的周长为20，△ABC 的内切圆与边AB 相切于点D ，AD=4，那么BC=__________.二、课中强化(10分钟训练)1.若正n 边形的一个外角是一个内角的32时,此时该正n 边形有_________条对称轴。
中考数学圆的复习
中考数学圆的复习人生处处是考场，本日各为中考忙。
斗智斗勇齐亮相，得失成败走一场。
考场潇洒不虚枉，多年以后话沧桑!下面是作者给大家带来的中考数学圆的考点总结，欢迎大家浏览参考，我们一起来看看吧!中考数学圆的考点总结一、考点分析考点一、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d r点p在⊙o内; p=d=r点P在⊙O上;d r点P在⊙O外。
考点二、过三点的圆1、过三点的圆不在同一直线上的三个点肯定一个圆。
2、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
3、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。
4、圆内接四边形性质(四点共圆的判定条件)圆内接四边形对角互补。
考点三、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体以下：(1)相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点;(2)相切：直线和圆有唯独公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，(3)相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。
如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交d p=直线l与⊙O相切d=r;直线l与⊙O相离d考点四、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可2、性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心;②过切点;③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就可以推出最后一个。
考点五、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心连线平分两条切线的夹角。
考点六、三角形的内切圆和外接圆1、三角形的内切圆与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
5.7 正多边形和圆(1)课件
360 n n
C
D
探究
四、 如图，一个正六边形和它的外 接圆： A F
B
C
O D
E
探究
正多边形对称性
交流：你认为正多边形都是对称性
归纳：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形 共有n条对称轴，每条对称轴都通过n边形 的中心。
边数是偶数的正多边形还是中心 对称图形，它的中心就是对称中心。
范例 例1、如图，有一个亭子，它的地基是 半径为4cm的正六边形，求地基的周长 和面积(精确到0.1cm2)。 A F
B C
O P
D
巩固
1、如图，正六边形ABCDEF的半径为 8cm，求这个正六边形的边长。 A F O E D
B
C
巩固
2、正三角形的半径为R，则边长为 边心距为 ，面积为 。
，
3、正三角形的边长a，则其半径为
。
范例
例2、已知圆内接正方形的面积为8，求 圆内接正六边形的面积。 A B C O D
初中数学九年级上册 （苏科版）
正多边形和圆
导入 观察下列图案：
导入 观察下列图案：
探究
一、 什么叫正多边形？
边相等，角相等的多边形叫正多边形。
探究
二、 正多边形有没有外接圆？
正多边形和圆有什么关系？
探究
三、 怎样由圆得到一个正五边形？ 1、五等分圆周； 2、顺次连接五个 分点。 B O D A E
C 怎样证明它是正五边形？
探究
四、 如图，一个正六边形和它的外 接圆： A F 1、一个正多边形的 外接圆的圆心叫做 E B O 正多边形的中心。 C D
探究
四、 如图，一个正六边形和它的外 接圆： A F 2、外接圆的半径叫 做正多边形的半径。 E B O C D
北师大版 九年级数学下册 第三章 圆 专题课讲义 正多边形与圆的相关计算(解析版)
正多边形与圆的相关计算课前测试【题目】课前测试如图正方形ABCD内接于⊙O，E为CD任意一点，连接DE、AE．（1）求∠AED的度数．（2）如图2，过点B作BF∥DE交⊙O于点F，连接AF，AF=1，AE=4，求DE的长度．【答案】∠AED=45°；DE =。
【解析】（1）如图1中，连接OA、OD．∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOD=90°，∴∠AED=∠AOD=45°．（2）如图2中，连接CF、CE、CA，作DH⊥AE于H．∵BF∥DE，AB∥CD，∴∠ABF=∠CDE，∵∠CFA=∠AEC=90°，∴∠DEC=∠AFB=135°，∵CD=AB，∴△CDE≌△ABF，∴AF=CE=1，∴AC==，∴AD=AC=，∵∠DHE=90°，∴∠HDE=∠HED=45°，∴DH=HE，设DH=EH=x，在Rt△ADH中，∵AD2=AH2+DH2，∴=（4﹣x）2+x2，解得x=或（舍弃），∴DE=DH=总结：本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型。
【难度】4【题目】课前测试如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA=2cm，∠AOB=120°．（1）求tan∠OAB的值；（2）计算S△AOB；（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动，当S△POA=S△AOB时，求P点所经过的弧长．（不考虑点P与点B重合的情形）【答案】tan∠OAB=；S△AOB=（cm2）；的长度==（cm）．【解析】（1）作OC⊥AB．∵∠AOB=120°，∴∠AOC=60°．∴OC=1，AC=．∴tan∠OAB=．（2）AC=，∴AB=2．∴S△AOB=2×1÷2=（cm2）．（3）如图，延长BO交⊙O于点P1，∵点O是直径BP1的中点，S△AP1O=AD×P1O，S△AOB=AD×BO，∵P1O=BO，∴S△P1OA=S△AOB，∠AOP1=60°．∴的长度为（cm）．作点A关于直径BP1的对称点P2，连接AP2，OP2，AP3，易得S△P2OA=S△AOB，∠AOP2=120°．∴的长度为（cm）．过点B作BP3∥OA交⊙O于点P3，则P2P3直径，易得S△P3OA=S△AOB，∴的长度==（cm）．总结：本题综合考查了解直角三角形，及三角形的面积公式及弧长公式．【难度】4知识定位适用范围：北师大版，初三年级，成绩中等以及中等以下知识点概述：正多边形与圆的相关计算是九年级下册第三章的内容，主要讲解了正多边形的相关概念、圆内接正多边形与外切正多边形定义与相关计算、弧长和扇形面积的计算公式。
沪教版-九年级(初三)数学-圆与正多边形讲义-圆与圆的位置关系(2)复习讲义教案
一、圆与圆位置关系的性质【例1】 如图，正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，以E 为圆心．EC 为半径的半圆与以A 为圆心，AB为半径的圆弧外切，则sin EAB ∠的值为 ．【巩固】如图，ABC ∆是正三角形，点C 在矩形ABDE 的边DE 上，ABC ∆的内切圆半径是1．则矩形ABDE的外接圆直径是 ．图 3BADCE【例2】 在直线的同侧画三个圆：切于直线的一圆半径为4，另两圆相等，且各切于直线及其它两圆，则两等圆的半径为__________．【巩固】设1O ⊙和2O ⊙是同一平面上两个相切的半径为1的圆，在这个平面上同时与1O ⊙和2O ⊙相切的半径为3的圆的个数是_____________．例题精讲中考要求圆与圆的位置关系（2）【例3】 如图，3PQ =，以PQ 为直径的圆与一个以5为半径的圆相切于点P ，正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD 切于点Q ．则AB = ．P【巩固】如图，10PQ =，以PQ 为直径的圆与一个以20为半径的圆相切于点P ，正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与CD 切于Q ，若A B m =+其中，m ，n 是正数，求m n+的值．P【例4】 如图，已知圆心为A B C 、、的三个圆彼此相切，且均与直线l 相切．若A B C 、、⊙⊙⊙的半径分别为()0a b c c a b <<<、、，则a b c 、、一定满足的关系式为 ( ) A ．2b a c =+BC ．111c a b =+D=【巩固】如图，P 为半圆弧上任意一点，圆⊙1O 、⊙2O 都与ABP ∆的一边和半圆相切的最大圆，⊙3O 是ABP ∆的内切圆，其中⊙1O 、⊙2O 、⊙3O 和半圆的半径分别1r 、2r 、3r 、R ，12r =，21r =，则3r 为 ．BA【例5】 某人用如下方法测一钢管的内径：将一小段钢管竖直放在平台上，向内放入两个半径为5cm 的钢球，测得上面一个钢球顶部高16cm DC =（钢管的轴截面如图所示），则钢管的内直径AD 的长为________cm ．【巩固】如图，矩形内放置8个半径为1的圆，其中相邻两个圆都相切，并且左上角和右下角的两个圆和矩形的一边相切，则该矩形的面积为 ．【例6】 如图，11PQ PO O Q 、、分别是以123O O O 、、为圆心的半圆123C C C 、、的直径，圆4C 内切于半圆1C 及外切于半圆23C C 、．若24PQ =，求圆4C 的面积．123【巩固】如图，大圆O ⊙的直径cm AB a =，分别以OA OB 、为直径作1O ⊙和2O ⊙，并在O ⊙与1O ⊙和2O ⊙的空隙间作两个等圆3O ⊙和4O ⊙，这些圆互相内切或外切，则四边形1423O O O O 的面积为___________2cm ．【例7】 已知A 为O ⊙上一点，B 为A ⊙与OA 的交点，A ⊙与O ⊙的半径分别为r R 、，且r R <．（1）如图1，过点B 作A ⊙的切线与O ⊙交于M N 、两点．求证：2AM AN Rr ⋅=；（2）如图2，若A ⊙与O ⊙的交点为E F 、，C 是EBF 上任意一点，过点C 作A ⊙的切线与O ⊙交于P Q 、两点，试问2AP AQ Rr ⋅=是否成立？并证明你的结论．【巩固】如图，90CAB ABD AB AC BD ∠=∠=︒=+，，AD 交BC 于P ，作P ⊙使其与AB 相切．试判断以AB 为直径的O ⊙与P ⊙的位置关系，并加以证明．B【例8】 两个圆相交于点A 和B ，由点A 作两个圆的切线，分别与两个圆相交于点M 和N ．直线BM 和BN 分别与两个圆交于另外两点P 和Q （P 在BM 上，Q 在BN 上）．求证：MP NQ =． QMPB A【巩固】如图，1O ，2O 交于A B ，两点，直线MN 垂直于AB 于点A ，分别与12O O ，交于点N M ，，P 为MN 中点，1122AO Q AO Q ∠=∠，求证：12PQ PQ =．Q 2Q 1O 2O 1P N MB A【例9】 半径为R 的两圆之一过平行四边形ABCD 的顶点A 和B ，而另一圆过顶点D 和C ，点M 是两圆除B 外的另一个交点，求证：AMD ∆的外接圆半径长也为R ．D【巩固】如图，已知ABC ∆的高AD BE 、交于H ，ABC ABH ∆∆、的外接圆分别为O ⊙和O ⊙′．求证：O⊙与O ⊙′的半径相等．【例10】 如图，ABC △的三边满足关系1()2BC AB AC =+，O 、I 分别为ABC ∆的外心、内心，BAC ∠的外角平分线交⊙O 于E ，AI 的延长线交⊙O 于D ，DE 交BC 于H ；求证：（1）ED 是⊙O 的直径；（2）AI BD =；（3）12OI AE =．D【巩固】在ABC ∆中，AB AC =，圆1O 与ABC ∆的外接圆内切于D ，与AB 、AC 分别相切于P 、Q ．求证：PQ 的中点O 是ABC ∆的内切圆圆心．【例11】 已知圆1O 、2O 外切于P ，过圆1O 上一点A 作圆2O 的切线AC ，交圆1O 于B ，C 为切点．求证：PA ACPB BC=．【巩固】两圆交于A B，，过A任作直线PAQ，求证：BPBQ为定值．【例12】A是O上一点，O的半径为R，以A为圆心，r 为半径()r R<作圆，设O的弦PQ与A切于点M，求证：不论PQ的位置如何，PA QA⋅为定值．【巩固】过定圆的圆心O作A，设A与O的一个交点为B，过B 作A的直径BC，BC与O交于点D，求证BD BC⋅为定值．【例13】如图，圆O与圆D相交于A B，两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且AB BC=．（1）证明：点O在圆D的圆周上．（2）设ABC∆的面积为S，求圆D的半径r的最小值．ODCBA【巩固】如图1，1O ⊙和2O ⊙都是半径为4的等圆，1214O O =，A B ，为1O ⊙上两点，且190AO B ∠=︒，过2O 分别作平行于11O A O B ，的半径22O D O C ，，连接AD BC ，，当A B ，在1O ⊙上运动时，C D ，也随之运动，问：四边形ABCD 的周长是否是定值，如果是定值，请求出这个定值，如果不是定值则是否存在最大值或最小值，如果有求出这个最值．图1【例14】 如图所示，过O ⊙上的一点C 作直径AB 的垂线，垂足为D ，'O ⊙切AB 于点E ，切CD 于点F ，内切半圆O 于点G ，证明：AC AE =．O'O G FED C BA【例15】 如图，已知1O ⊙和2O ⊙外切于点O ，以直线12O O 为x 轴，点O 为坐标原点建立直角坐标系，直线AB 切1O ⊙于点B ，切2O ⊙于点A ，交y 轴于点C (0,2)，交x 轴于M ，BO 的延长线交2O ⊙于点D ，且13OB OD =∶∶． （1）求2O ⊙的半径长； （2）求直线AB 的解析式；（3）在直线AB 上是否存在点P ，使2MO P ∆与MBO ∆相似？求出点P 坐标；若不能说明理由．1.如图，已知半圆O 的直径为AB ，半径长为254，点D 在AB 上，74OD =，CD AB ⊥，CD 交半圆'O 于D ．那么与半圆相切，且与BC ，CD 相切的'O ⊙的半径长为． 课后作业2.小强师傅要在长为25cm ，宽为18cm 的薄铁板上裁出一个最大的圆和两个尽可能大的小圆．他先画出草图（如图），但他在求小圆半径时遇到了困难，请你帮助小强师傅计算出这两个小圆的半径．3.把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上，使它们两两外切，若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于________．4.已知多边形ABDEC 是由边长为2的等边三角形ABC 和正方形BDEC 组成，一圆过A 、D 、E 三点，求该圆半径的长．A5.如图（1），两半径为r 的等圆1O ⊙和2O ⊙相交于M N ，两点，且2O ⊙过点1O ．过M 点作直线AB 垂直于MN ，分别交1O ⊙和2O ⊙于A B ，两点，连结NA NB ，． （1）猜想点2O 与1O 有什么位置关系，并给出证明；（2）猜想NAB 的形状，并给出证明； （3）如图（2），若过M 的点所在的直线AB 不垂直于MN ，且点A B ，在点M 的两侧，那么⑵中的结论是否成立，若成立请给出证明．图1图26.设圆O、圆P外切于A，外公切线BC分别切两圆于B、C，BC与OP的交点为Q，过Q引MN BC⊥交BA、AC于S、R，求证：QS QR=．NM SR QP A CB O。
初三下学期数学 圆内接正多边形 知识点精讲 教案 教学设计 课件
初三下学期数学圆内接正多边形知识点精讲知识点总结知识点1 圆内接正多边形及相关定义顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.把一个圆n等分()，依次连接各分点，我们就可以作出一一个圆内接正多边形.如图，五边形ABCDE是0的内接正五边形，圆心O 叫做这个正五边形的中心;OA是这个正五边形的半径;∠AOB是这个正五边形的中心角;OM BC,垂足为M，OM是这个正五边形圆心距。
1.圆内接正多边形:顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆.2.与正多边形有关的概念:(1)正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，(2)正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，(3)正多边形每-边所对的圆心角叫做这个正多边形的中心角.(4)正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距.要点精析:边心距与弦心距的关系:边心距是圆心到正多边形一边的距离，此时的边心距也可以看作正多边形的外接圆中，圆心到多边形的边(即外接圆的弦)的距离，即边心距也是弦心距;但弦心距不一定是边心距).知识点<2> 圆内接正多边形的画法利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.由于正六边形的中心角为60°,因此它的边长就是其外接圆的半径R.所以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正六边形，为了减少累积误差，通常像如图那样，作00的任意一一条直径FC,分别以F，C为圆心，以00的半径R为半径作弧，与0相交于点E,A和D,B则A,B,C,D,E,F 是O0的六等分点，顺次连接AB,BC,CD，DE,EF,FA,便得到正六边形ABCDEF.1.用量角器等分圆:由于同圆中相等的圆心角所对的弧相等，因此作相等的圆心角可360°以等分圆周，从而得到正多边形，采用“先用量角器画一个的圆心角，然后在圆上依次截取这个圆心角所对弧的等弧”，这种方法简便，误差小，且可以画任意正多边形.2.用尺规等分圆:用尺规作图的方法等分圆周，然后依次连接圆上各分点得到正多边形，这种方法有局限性，不是任意正多边形都能用此法作图，从理论上讲这是一种准确方法，但在作图时较复杂，同样存在作图的误差，3,易错警示:作图时由于忽视累积误差的影响，导致作图不准，应减少累积误差。