2.曲线运动之速度的合成与分解

关联速度问题解析：本类题的关键，是找到物体的实际速度，然后，将物体的速度按实际作用效果加以分解。

比如下面的两个实例：把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．再如：下图中A点的实际速度是绕转轴做圆周运动的。

它的运动可以分解为水平向右和竖直向下的两种运动。

1.如图所示,AB杆水平固定,另一细杆可绕固定轴O转动,O轴在AB杆上方h高处,两杆均被套在光滑圆环P上,当细杆绕O轴以角速度ω顺时针方向转至与竖直方向30°时，环的运动速度为___.2.如图所示,AB绕杆A点以一定的角速度ω由竖直位置开始顺时针匀速旋转,并带动套在水平杆上的光滑小环运动.则小环在水平杆上运动时速度大小的变化情况是( )A.保持不变B.一直增大C.一直减小D.先增大后减小3.如图,正方形滑块高H,它以恒定速度v0匀速向右运动,长为L的轻杆一端固定在地面上且可以自由转动,另一端连接小球搭在正方体上,当杆转动到与水平地面夹角为θ时,那么小球的速度为______4.距离河岸500m 处有一艘静止的船,船上的探照灯以1min r 的转速水平转动.若河岸看成直线,当光束与岸边成60°角时,光束沿岸边移动的速率为( )A. 52.3m sB. 69.8m sC. 666.7m sD.180m s5.如图所示，长为L 的直杆一端可绕固定轴O 无摩擦转动，另一端靠在以水平速度ν匀速向左运动、表面光滑的竖直挡板上，当直杆与竖直方向夹角为θ时，直杆端点A 的线速度为A.sin v θB. sin v θC. cos v θD. cos v θ6如图所示，长为L 的直棒一端可绕固定轴o 转动，另一端搁在升降平台上，平台以速7.如图所示,有两条位于同一竖直平面内的水平轨道,相距为h.轨道上有两个物体A 和B,它们通过一根绕过定滑轮O 的不可伸长的轻绳相连接.物体A 在下面的轨道上以匀速率v 运动.在轨道间的绳子与轨道成30°角的瞬间,绳子BO 段的中点处有一与绳相对静止的小水滴P 与绳子分离,设绳长BO 远大于滑轮直径,求:(1)小水滴P 脱离绳子时速度的大小和方向;(2)小水滴P 离开绳子落到下面轨道所需要的时间.8.如图所示，长为L 的轻杆的下端用铰链固接在水平地面上，上端固定一个质量为m 的小球，轻杆处于竖直位置，同时与一个质量为M 的长方体刚好接触。

由于微小扰动，杆向右侧倒下，当小球与长方体分离时，杆与水平面的夹角为30°，且杆对小球的作用力恰好为零，若不计一切摩擦。

则（ ）A: 长方体与小球的质量比是4：1 B:C: 2D: 长方体对小球做功-mgL49.如图所示,圆心在O点,半径为R=0.24m的圆弧形支架abc竖直固定在水平桌面上,支架最低点a与桌面相切,最高点c与O点的连线Oc与Oa夹角为60°.一轻绳两端系着质量分别为m1和m2的小球A和B(均可视为质点),挂在圆弧边缘c的两边.开始时,A、B均静止,A的位置与c点等高,不计一切摩擦,连线和水平桌面足够长,g=10m/s(1)为使A能沿圆弧下滑到a点,m1与m2之间必须满足什么关系?(2)若m1=3m2，,求A到达圆弧最低点a时,A的速度大小.(3)若m1=3m2,求B能上升的最大高度.10. (2017·江苏连云港模拟)(多选)如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用钉子靠着线的左侧沿与水平方向成30°角的斜面向右上以速度v匀速运动，运动中始终保持悬线竖直，下列说法正确的是()A．橡皮的速度大小为2vB．橡皮的速度大小为3vC．橡皮的速度与水平方向成60°角D．橡皮的速度与水平方向成45°角解析：选BC.橡皮斜向右上方运动，具有沿斜面向上的分速度，与钉子沿斜面向上的速度相等，即为v；橡皮还具有竖直向上的分速度，大小也等于v；其实际速度大小(合速度)是两个分速度的合成，如图所示．故橡皮的实际速度大小(合速度)：v′＝2vcos 30°＝3v，且与水平方向成60°角，A、D错误，B、C正确．难点：为什么物体在竖直方向上的分速度也是V呢？如果物体随着O点向上做运动，如下左图所示，那么物体没有向上的分速度。

因此，我们在讨论其向上的运动时，应该考虑物体到悬挂点的距离。

本题，绳子总的长度是不变的，物体向上提拉的长度，等于OQ的长度。

所以，相对于悬挂点，物体速度等于Q点向斜上方移动的速度。

课后小练1．在距河面高度h＝20 m的岸上有人用长绳拴住一条小船，开始时绳与水面的夹角为30°.人以恒定的速率v＝3 m/s拉绳，使小船靠岸，那么()A．5 s时绳与水面的夹角为60°B．5 s后小船前进了15 mC．5 s时小船的速率为4 m/sD．5 s时小船到岸边的距离为15 m13. 如图所示，A、B两物体系在跨过光滑定滑轮的一根轻绳的两端，当A物体以速度v 向左运动时，系A、B的绳分别与水平方向成α、β角，此时B物体的速度大小为()A．vsin α/sin βB．vcos α/sin βC．vsin α/cos β D．vcos α/cos β6．如图所示，人沿平直的河岸以速度v行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行．当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为()A．vsin α B.vsin αC．vcos α D.vcos α7．如图所示，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连．由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至与定滑轮的连线水平时，其上升速度v1≠0，若这时B的速度为v2，则()A．v2＝0 B．v2＞v1C．v2≠0 D．v2＝v1答案解析：选C.人的速度为合速度，当人沿平直的河岸以速度v 行走时，可将人的速度分解为沿绳方向的分速度和垂直于绳方向的分速度，沿绳方向的分速度即为船行驶的速度，故船的速度为vcos α，选项C 正确．解析：选A.环A 在虚线位置时，环A 的速度沿虚线方向的分速度为零，故物体B 的速度v2＝0，A 正确．解析：选D.根据A 、B 两物体的运动情况，将两物体此时的速度v 和vB 分别分解为两个分速度v1(沿绳的分量)和v2(垂直绳的分量)以及vB1(沿绳的分量)和vB2(垂直绳的分量)，由于两物体沿绳的速度分量相等，v1＝vB1，即vcos α＝vBcos β，则B 物体的速度方向水平向右，其大小为vB ＝cos αcos βv ，D 正确．P 环水平运动，可分解为沿杆OP 方向分量和垂直于OP 方向分量。

其中，垂直于OP 方向分速度正为P 点绕O 轴转动速度。

30∘时,P 点转动速度为v =ω×h cos30∘. Vp ×cos30∘=ω×h cos30∘. Vp =ω×h ×4/3=4/3ωh ； 故答案为：4/3ωh ； 答案B解:经过时间t,角OAB 为ωt,则AM 的长度为,则AB 杆上M 点绕A 点的线速度.将小环M 的速度沿AB 杆方向和垂直于AB 杆方向分解,垂直于AB 杆上分速度等于M 点绕A点的线速度v,则小环M 的速度,当随着时间的延长,则小环的速度的大小不断变大.所以B 选项是正确的,A 、C 、D 错误. 所以B 选项是正确的.答案物块与杆的接触点与物块的速度相同,为V0.这是接触点的合运动.现在可以将合运动分解为沿着杆的运动和垂直于杆的运动.而垂直于杆的速度v 即是杆的转动速度,分解后由几何关系可得v=v0×sinθ,然后可得杆转动的角速度ω=v/r=v/（H/sinθ） ,而小球的角速度与杆转动角速度相同都为ω,转动半径则为L,则小球得速度v'=ωL,联立可解得：v'=v0L(sinθ)2/H 答案解:(1)A 、B 两球组成的系统机械能守恒,有:计算得出.(2)若,设A滑动最低点a时的速度为,B的速度为.根据系统机械能守恒定律得,计算得出.(3)当A的速度减为零,B上升的高度最高.根据系统机械能守恒定律得,计算得出.答:(1)为使A能沿圆弧下滑到a点,与之间必须满足.(2)A的速度大小为.(3)B能上升的最大高度为.答案详解AD解析:选项分析：A、B、C项，如图所示，杆与水平面的夹角为，且杆对小球的作用力恰好为零，故小球的重力沿杆轴方向的分量提供小球的向心力，，，故分离时小球的速率为，小球沿水平方向速度分量为，分离时刻小球沿水平方向的速度与长方体的速度相等，根据动能定理，，解得，故A项正确，B、C项错误。

D项，小球在倾斜倒下过程中，重力做正功，杆对小球不做功，长方体对小球做负功，根据动能定理，，解得，故D项正确。

综上所述，本题正确答案为AD。

答案C解析本题考查了运动合成与分解的内容，意在考查考生的理解能力。

由题意得A点的速度沿垂直于杆的方向，将A点的速度分解为水平向左的分速度和竖直向下的分速度，如图所示：由几何关系得，即直杆端点A的线速度为，选项C正确、ABD错误。

综上本题选C。

答案详解解:将B点的速度分解如右图所示,则有:,.此时绳子BO段一方面向O点以速度v收缩,另一方面绕O点逆时针转动,其角速度,于是P点既有沿绳子斜向下的速度v,又有垂直于绳子斜向上的转动的线速度,P点的速度应为.沿绳子斜向下的速度v的竖直分量为,垂直于绳子斜向上的转动线速度v'的竖直分量为,所以小水滴在竖直方向上以初速度做竖直下抛运动,则有:,即,可计算得出.答:(1)小水滴脱离绳子的速度大小为.(2)小水滴P离开绳子落到下面轨道所需要的时间答案B解:光点移动的速度v可分解为两个速度,一个速度垂直于光束,另一个速度沿光束方向. 分速度,此时转动半径,转动角速度,联立以上各式计算得出;所以B选项是正确的.解析：选D.设开始时小船距岸边为L，则L＝htan 30°＝20 3 m，5 s后绳端沿岸位移为x＝vt＝3×5 m＝15 m，设5 s后小船前进了x′，绳与水平面的夹角为θ，由几何关系得sin θ＝h2h－x＝202×20－15＝0.8，解得θ＝53°，选项A错误；由tan θ＝hL－x′，解得x′＝19.64 m，选项B错误；由v船cos θ＝v可得此时小船的速率为v船＝5 m/s，选项C错误；5 s时小船到岸边的距离为L－x′＝20 3 m－19.64 m＝15 m，选项D正确．。