高二数学放缩法
(完整版)高二数学归纳法经典例题
例1．用数学归纳法证明： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?n n n n Λ． 请读者分析下面的证法： 证明：①n =1时，左边31311=?=，右边3 1121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即： ()()12121217 51531311+=+-++?+?+?k k k k Λ． 那么当n =k +1时，有： ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ????????? ??+-++??? ??+--++??? ??-+??? ??-+??? ? ?-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++?=??? ??+-= k k k ()1 121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立． 由①、②可知，对一切自然数n 等式成立． 评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求． 正确方法是：当n =k +1时． ()()()()32121121217 51531311++++-++?+?+?k k k k Λ ()() 3212112++++=k k k k ()()()()()() 321211232121322++++=++++=k k k k k k k k
()1 121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立， 例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式： a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2) 都成立，并证明你的结论． 分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组． ?????=++=+=603224 26321 211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3． 故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立． 下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式 a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 因为起始值已证，可证第二步骤． 假设n =k 时，等式成立，即 a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2) 那么当n =k +1时， a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1 = k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3] =(k +1)(k 2+2k +3k +6) =(k +1)(k +2)(k +3) =(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2] 这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立． 例3．证明不等式n n 21 31 21 1<++++Λ (n ∈N)． 证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．
高中数列放缩法技巧大全
高中数列放缩法技巧大全 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 121 42的值; (2)求证:2 1153n k k =<∑ . 解析:(1)因为 1 21 121)12)(12(21422+- -=+-= -n n n n n ,所以1 2212111 42 1 2 += +- =-∑=n n n k n k (2)因为22211411214121214 n n n n n ??<==- ?--+??- , 所以35321121121513121112 =+
高中数学归纳法大全数列不等式精华版
§数学归纳法 1．数学归纳法的概念及基本步骤 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)验证：n＝n0 时，命题成立； (2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立． 2．归纳推理与数学归纳法的关系 数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时， 需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1. 2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在 由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题 形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法． 3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数 有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须 依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确． 4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力．
5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确． 6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n 都成立； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题． 证明：12＋122＋123＋…＋12 n －1＋12n ＝1－1 2n (其中n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝1 2，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时， 左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋1 2k ＋1 ＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－1 2k ＋1＝右边． 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立． 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－ 1 2n
各种数学归纳法
1.5 归纳法原理与反归纳法 数学归纳法是中学教学中经常使用的方法．中学教材中的数学归纳法是这样叙述的：如果一个命题与自然数有关，命题对n =1正确；若假设此命题对n －1正确，就能推出命题对n 也正确，则命题对所有自然数都正确．通俗的说法：命题对n =1正确，因而命题对n =2也正确，然后命题对n =3也正确，如此类推，命题对所有自然数都正确．对于中学生来说，这样形象地说明就足够了；但是毕竟自然数是无限的，因而上述描述是不够严格的，有了皮阿罗公理后，我们就能给出归纳法的严格证明． 定理1.19 如果某个命题Ｔ，它的叙述含有自然数，如果命题Ｔ对n =1是正确的，而且假定如果命题Ｔ对n 的正确性就能推出命题Ｔ对n +1也正确，则命题Ｔ对一切自然数都成立．（第一数学归纳法） 证明 设Ｍ是使所讨论的例题Ｔ正确的自然数集合，则 (1) M ∈1． 设M n ∈，则命题Ｔ对n 正确，这时命题对n n '=+1也正确，即 (2) M n ∈' 所以由归纳公理Ｄ，Ｍ含有所有自然数，即命题Ｔ对所有自然数都成立． 下面我们给出一个应用数学归纳法的命题． 例１ 求证 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 证明 (1)当n =1时，有 16 ) 112()11(112 =+?++?= 所以n =1，公式正确． (2)假设当k =n 时，公式正确，即 6 ) 12)(1(212 2 2 ++= +++n n n n 那么当k =n ＋１时，有 =+++++=+++++2 2222222)1()21()1(21n n n n =++++2 ) 1(6 ) 12)(1(n n n n =++++6 ) 1(6)12)(1(2 n n n n =++++6 )] 1(6)12()[1(n n n n =+++6 ) 672)(1(2 n n n =+++6) 32)(2)(1(n n n =+++++6 ) 1)1(2)(1)1)((1(n n n 所以公式对n +1也正确．
高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题
用放缩法处理数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1 2010高考数学备考之放缩技巧 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+-?>-?>?-=?=+ (14) ! )2(1!)1(1)!2()!1(!2+- +=+++++k k k k k k (15) )2(1)1(1 ≥--<+n n n n n (15) 11 1) 11)((1122222 222<++++= ++ +--= -+-+j i j i j i j i j i j i j i 例2.(1)求证:)2()12(2167) 12(1513112 22≥-->-++++n n n (2)求证:n n 412141361161412 -<++++ (3)求证:1122642)12(531642531423121-+< ????-????++????+??+n n n (4) 求证：)112(213 12 11)11(2-+<++++<-+n n n 专题十三 推理与证明 第三十九讲 数学归纳法 解答题 1．（2017浙江）已知数列{}n x 满足：11x =，11ln(1)n n n x x x ++=++()n ∈* N ． 证明：当n ∈* N 时 （Ⅰ）10n n x x +<<； （Ⅱ）1 122 n n n n x x x x ++-≤ ； （Ⅲ）1211 22 n n n x --≤≤． 2．(2015湖北) 已知数列{}n a 的各项均为正数，1 (1)()n n n b n a n n +=+∈N ，e 为自然对数的 底数． （Ⅰ）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1 (1)n n +与e 的大小； （Ⅱ）计算 11b a ，1212 b b a a ，123123 b b b a a a ，由此推测计算12 12n n b b b a a a 的公式，并给出证明； （Ⅲ）令112()n n n c a a a =，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：e n n T S <． 3．(2014江苏)已知函数0sin ()(0) x f x x x =>，设()n f x 为1()n f x -的导数，n *∈N ． （Ⅰ）求()() 122222 f f πππ+的值； （2）证明：对任意的n *∈N ，等式()( ) 1444n n nf f -πππ+=成立． 4．（2014安徽）设实数0>c ，整数1>p ，*N n ∈． （Ⅰ）证明：当1->x 且0≠x 时，px x p +>+1)1(； （Ⅱ）数列{}n a 满足p c a 11>，p n n n a p c a p p a -++-= 111， 证明：p n n c a a 1 1>>+． 5．（2014 重庆）设1 11,(*)n a a b n N +==+∈ 1、数学归纳法的理论基础 数学归纳法，人类天才的思维、巧妙的方法、精致的工具，解决无限的问题。它体现的是利用有限解决无限问题的思想，这一思想凝结了数学家们无限的想象力和创造力，这无疑形成了数学证明中一道绚丽多彩的风景线。它的巧妙让人回味无穷，这一思想的发现为后来数学的发展开辟了道路，如用有限维空间代替无限维空间（多项式逼近连续函数）用有限过程代替无限过程（积分和无穷级数用有限项和答题，导数用差分代替）。 1.1数学归纳法的发展历史 自古以来，人们就会想到问题的推广，由特殊到一般、由有限到无限，可人类对无限的把握不顺利。在对无穷思考的过程中，古希腊出现了许多悖论，如芝诺悖论，在数列中为了确保结论的正确，则必须考虑无限。还有生活中一些现象，如烽火的传递，鞭炮的燃放等，触动了人类的思想。 安提丰用圆周内接正多边形无穷地逼近圆的方法解决化圆为方；刘徽、祖冲之用圆内接正多边形去无穷地逼迫圆，无穷的问题层出不穷，后来古希腊欧几里得对命题“素数的个数是无穷的”的证明，通过了有限去实现无限，体现了数学归纳法递推思想。但要形成数学归纳法中明确的递推，清晰的步骤确是一件不容易的事，作为自觉运用进行数学证明却是近代的事。 伊本海塞姆（10世纪末）、凯拉吉（11世纪上叶）、伊本穆思依姆（12世纪末）、伊本班纳（13世纪末）等都使用了归纳推理，这表明数学归纳法使用较普遍，尤其是凯拉吉利用数学归纳法证明 22 333 (1)124n n n +++??????+= 这是数学家对数学归纳法的最早证明。 接着,法国数学家莱维.本.热尔松(13世纪末)用"逐步的无限递进"，即归纳推理证明有关整数命题和排列组合命题。他比伊斯兰数学家更清楚地体现数学归纳法证明的基础，递进归纳两个步骤。 到16世纪中叶，意大利数学家毛罗利科对与全体和全体自然数有关的命题的证明作了深入的考察在1575年，毛罗利科证明了 21n n a a n ++= 其中1231,2k a k =+++??????=?????? 他利用了逐步推理铸就了“递归推理”的思路，成为了较早找到数学归纳中“递归推理”的数学家，为无限的把握提供了思维。 17世纪法国数学家帕斯卡为数学归纳法的发明作了巨大贡献，他首先明确而清晰地阐述数学归纳法的运用程序，并完整地使用数学归纳法，证明了他所发 课题：数学归纳法 【三维目标】： 一、知识与技能 1．了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 2．抽象思维和概括能力进一步得到提高． 二、过程与方法 通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明是解决问题的一种重要途径，用数学归纳法进行证明时，“归纳奠基”与“归纳递推”两个步骤缺一不可，而关键的第二步，其本质是证明一个递推关系。 三、情感，态度与价值观 体会数学归纳法是用有限步骤解决无限问题的重要方法，提高归纳、猜想、证明能力。 【教学重点与难点】： 重点：是了解数学归纳法的原理及其应用。 难点：是对数学归纳法的原理的了解，关键是弄清数学归纳法的两个步骤及其作用。 【课时安排】：2课时 第一课时 【教学思路】： （一）、创设情景，揭示课题 问题1：P 71中的例1.在数列｛a n ｝中，a 1＝1，a n+1＝ n n a a +1（n ∈N+），先计算a 2，a 3，a 4的值，再推测通项an 的公式． 生：a 2＝21，a 3＝31，a 4＝41．由此得到：a n ＝n 1（n ∈N +）． 问题2：通过计算下面式子，你能猜出()()121531--++-+-n n 的结果吗？证明你的结论？ ________97531________ 7531_______531_______ 31=-+-+-=+-+-=-+-=+- 生：上面四个式子的结果分别是：2，-3，4，-5，因此猜想： ()()()n n n n 1121531-=--++-+- （*） 怎样证明它呢？ 问题3：我们先从多米诺骨牌游戏说起，这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下。只要推倒第一块骨牌，由于第一块骨牌倒下，就可导致第二块骨牌倒下;而第二块骨牌倒下，就可以导至第三块骨牌倒下……最后，不论有多少块，都能全部倒下。 （二）、研探新知 原理分析：问题3：可以看出，使所有骨牌都倒下的条件有两个： （1） 第一块骨牌倒下； （2） 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下.一定导致后一块倒下。 可以看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k 块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。这样只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下。事实上，无论有多少块骨牌，只要保证（1） “放缩法”证明不等式的基本策略 1、添加或舍弃一些正项（或负项） 例1、已知* 21().n n a n N =-∈求证： *12 231 1...().23n n a a a n n N a a a +-<+++∈ 证明： 111211111111 .,1,2,...,,2122(21)2 3.222232 k k k k k k k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-Q 1222311111111 ...(...)(1),2322223223 n n n n a a a n n n a a a +∴ +++≥-+++=-->- *122311...().232 n n a a a n n n N a a a +∴-<+++<∈ 若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的 值变小。由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。本题在放缩时就舍去了22k -，从而是使和式得到化简. 2、先放缩再求和（或先求和再放缩） 例2、函数f （x ）= x x 414+，求证：f （1）+f （2）+…+f （n ）>n + )(2 1 21*1 N n n ∈-+. 证明：由f (n )= n n 414+=1- 11 11422n n >-+? 得f （1）+f （2）+…+f （n ）>n 2211221122112 1 ?- ++?- +?-Λ )(21 2 1)2141211(41*11N n n n n n ∈-+=++++-=+-Λ. 此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。 3、逐项放大或缩小 高二数学数学归纳法综 合测试题 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT 选修2-2 2. 3 数学归纳法 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1 3．设f (n )＝ 1n ＋1＋1n ＋2 ＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) ＋12n ＋2 －12n ＋2 [答案] D [解析] f (n ＋1)－f (n ) ＝???? ??1(n ＋1)＋1＋1(n ＋1)＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1) －???? ??1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1 ＝12n ＋1－12n ＋2 . 4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得 ( ) A ．当n ＝6时该命题不成立 B ．当n ＝6时该命题成立 C ．当n ＝4时该命题不成立 D ．当n ＝4时该命题成立 [答案] C [解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C. 5．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( ) A ．假设n ＝k (k ∈N *)，证明n ＝k ＋1时命题也成立 B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1时命题也成立 C ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2时命题也成立 数学归纳法 注意事项：1.考察内容：数学归纳法 2.题目难度：中等难度 3.题型方面：10道选择，4道填空，4道解答。 4.参考答案：有详细答案 5.资源类型：试题/课后练习/单元测试 一、选择题 1.用数学归纳法证明“)1 2...(312))...(2)(1(-???=+++n n n n n n ”从k 到1+k 左端需增乘 的代数式为 （ ） A ．12+k B ．)12(2+k C ． 112++k k D ．1 3 2++k k 2.凸n 边形有()f n 条对角线，则凸1n +边形的对角线的条数(1)f n +为（ ） A ．()1f n n ++ B ．()f n n + C ．()1f n n +- D ．()2f n n +- 3.已知 11 1 ()()12 31 f n n n n n *= +++ ∈++-N ，则(1)f k +=（ ） A ．1 ()3(1)1 f k k + ++ B ．1 ()32f k k + + C ．1111 ()3233341f k k k k k +++- ++++ D ．11 ()341 f k k k +- ++ 4.如果命题()p n 对n k =成立，那么它对2n k =+也成立，又若()p n 对2n =成立，则下列 结论正确的是（ ） A ．()p n 对所有自然数n 成立 B ．()p n 对所有正偶数n 成立 C ．()p n 对所有正奇数n 成立 D ．()p n 对所有大于1的自然数n 成立 5.用数学归纳法证明，“当n 为正奇数时，n n x y +能被x y + 整除”时，第二步归纳假设应写 成（ ） A ．假设21()n k k * =+∈N 时正确，再推证23n k =+正确 数学归纳法 数学归纳法是用于证明与正整数n 有关的数学命题的正确性的一种严格的推理方法．在数学竞赛中占有很重要的地位． （1）第一数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 ① 0n n =（N n ∈01．数学归纳法的基本形式）时，)(n P 成立； ②假设),(0N k n k k n ∈≥=成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立． （2）第二数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 ①当0n n =（N n ∈0）时，)(n P 成立； ②假设),(0N k n k k n ∈≥≤成立，由此推得1+=k n 时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数0n n ≥时，)(n P 成立． 2．数学归纳法的其他形式 （1）跳跃数学归纳法 ①当l n ,,3,2,1Λ=时，)(,),3(),2(),1(l P P P P Λ成立， ②假设k n =时)(k P 成立，由此推得l k n +=时，)(n P 也成立，那么，根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立． （2）反向数学归纳法 设)(n P 是一个与正整数有关的命题，如果 ① )(n P 对无限多个正整数n 成立； ②假设k n =时，命题)(k P 成立，则当1-=k n 时命题)1(-k P 也成立，那么根据①②对一切正整数1≥n 时，)(n P 成立． 例如，用数学归纳法证明： 为非负实数，有 在证明中，由 真，不易证出 真；然而却很容易证出 真，又容易证明不等式对无穷多个 （只要 型的自然数）为真；从而证明 ，不等式成立． （3）螺旋式归纳法 P （n ），Q （n ）为两个与自然数 有关的命题，假如 ①P(n0)成立； ②假设 P(k) (k>n0)成立，能推出Q(k)成立，假设 Q(k)成立，能推出 P(k+1)成立； 综合（1）（2）,对于一切自然数n （>n0），P(n),Q(n)都成立； 7.4 数学归纳法 上海市建平中学李坚 一、教学内容分析 数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机. 数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束. 理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k 时命题成立这个条件. 二、教学目标设计 1. 从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，再到数学归纳法的科学性的认识； 2．对数学归纳法的叙述数学步骤地掌握； 3．形成观察、归纳、推广的意识,提高运用知识解决问题的能力,渗透分类讨论、方程等数学思想方法． 三、教学重点及难点 重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析; 难点：数学归纳法中递推思想的理解． 四、教学用具准备 高中数学方法讲解之放 缩法 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。 放缩法的方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如： 4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3log 2 =<=+k k k k k （程度大） Ⅲ、 )1111(21)1)(1(11 112 2+--=+-=- 2=+++++++< c d d d c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立 例2.当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n ∴ 2 22 2)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ?? ????-=??? ???++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=?? ? ??? 13.4 数学归纳法 一、填空题 1．用数学归纳法证明1＋12＋13…＋1 2n －1＜n (n ∈N ，且n ＞1)，第一步要证的不 等式是________． 解析 n ＝2时，左边＝1＋12＋122－1＝1＋12＋1 3，右边＝2. 答案 1＋12＋1 3＜2 2.用数学归纳法证明： 121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n(n ＋1)2(2n ＋1)；当推证当n ＝k ＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 . 解析 当n ＝k ＋1时，121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2 (2k ＋1)(2k ＋3) 故只需证明k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2) 2(2k ＋3)即可. 答案 k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)＝(k ＋1)(k ＋2) 2(2k ＋3) 3．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是________． 解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2， ∴f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2； ∴f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2. 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)23．若存在正整数m ，使得f (n )＝ (2n －7)3n ＋9(n ∈N *)能被m 整除，则m ＝________. 解析 f (1)＝－6，f (2)＝－18，f (3)＝－18，猜想：m ＝－6. 答案 6 4．用数学归纳法证明“n 3＋(n ＋1)3＋(n ＋2)3(n ∈N *)能被9整除”，要利用归纳 数学归纳法 知识点数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立． (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．7 易误提醒运用数学归纳法应注意： (1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值． (2)由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． 1．利用数学归纳法证明问题时有哪些注意事项？ 剖析：(1)用数学归纳法证明有关命题的关键在第二步，即n＝k＋1时命题为什么成立？n＝k＋1时命题成立是利用假设n＝k时命题成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出来的，而不是直接代入，否则n＝k＋1时命题成立也成假设了，命题并没有得到证明． (2)用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都能用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析． 2．运用数学归纳法时易犯的错误有哪些？ 剖析：(1)对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错． (2)没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的．假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了． (3)关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”是数学归纳法的关键一步，也是证明问题中最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性． 【自主练习】 1．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1 n 2，则( ) A ．f (n )中共有n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1 3 B ．f (n )中共有n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1 4 C ．f (n )中共有n 2－n 项，当n ＝2时，f (2)＝12＋1 3 D ．f (n )中共有n 2－n ＋1项，当n ＝2时，f (2)＝12＋13＋1 4 2．(2016·黄山质检)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1 n ＋1＝ 2? ???1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝( )时等式成立( ) A ．k ＋1 B ．k ＋2 C ．2k ＋2 D ．2(k ＋2) 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 放缩法 将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。 放缩法的方法有： ⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶ 利用基本不等式，如： 4lg 16lg 15lg )2 5lg 3lg ( 5lg 3log 2 =<=+k k k k k （程度大） Ⅲ、)1 1 11(21)1)(1(11112 2+--=+-=-< k k k k k k ； （程度小） 例1.若a , b , c , d ∈R +，求证： 21<+++++++++++< c a d d b d c c a c b b d b a a 【巧证】：记m =c a d d b d c c a c b b d b a a +++ ++++++++ ∵a , b , c , d ∈R + ∴ 1=+++++++++++++++> c b a d d b a d c c a c b a b d c b a a m 2=+++++++高中数学放缩法技巧全总结材料
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