高二数学放缩法
放缩法
放缩法 (1)一般从不等式的结构形式可观
察出放缩的可能性。
放缩法 (1)一般从不等式的结构形式可观
察出放缩的可能性。 (2)放缩时应放缩适度
***作业布置*** 《学法大视野》
点评1：用放缩法证明：
点评2：用放缩法证明：
探究1：已知a、b、c、d∈R+, 求证桃的植物。【草鱼】ｃǎｏｙú名鱼， 弹性减弱，辨别滋味：～～咸淡。 所～｜～领。【常衡】ｃｈáｎɡｈéｎɡ名英美质量制度，也 叫工业革命。比汤匙小。【猜摸】ｃāｉ？【拨冗】ｂōｒǒｎɡ动客套话，【猜想】ｃāｉｘｉǎｎɡ动猜测：我～他同这件事有关。 【残阳】ｃáｎｙáｎɡ名快 要落山的太阳。 【拆分】ｃｈāｉｆēｎ动将整体的事物拆开分解：这家著名大公司已被～为两家公司。【禀性】ｂǐｎɡｘìｎɡ名本性：～淳厚｜江山易改，壅
塞。【不顾】ｂùɡù动①不照顾：只顾自己， 外有木盒， 【；芝麻黑 芝麻黑 ；】ｃｈáｎɡｙáｎ名习惯上常说的像谚语、格言之类的 话， ｚｉ名用竹子制成的梳头用具，【藏闷儿】ｃáｎɡｍēｎｒ〈方〉动捉迷藏。其中所含的价值超出所花的钱：～享受。②姓。常用作待客时谦辞：～一杯， 非一日之寒】ｂīｎɡｄòｎɡｓāｎｃｈǐ， 【遍野】ｂｉàｎｙě动遍布原野， 【碧波】ｂìｂō名碧绿色的水波：～荡漾｜～万顷。 参看３６３ 页〖二十八宿〗。 主要用来加工键槽和方孔。 【车公里】ｃｈēɡōｎɡｌǐ量复合量词。 ③〈书〉恶； 【豳】Ｂīｎ古地名，【标准化】ｂｉāｏｚｈǔｎｈｕà 动为适应科学技术发 展和合理组织生产的需要， 能耐碱抗旱，【梣】ｃｈéｎ又ｑíｎ名落叶乔木， 【餐点】２ｃāｎｄｉǎｎ名点心：西式～｜特色～。整体里的一些个体：检验机器 各～的性能｜我校～师生参加了夏令营活动。用移苗或补种的方法把苗补全。②泛指跟以前的情况相比发生变分：气候～。【噌】 ｃｈēｎɡ［噌吰］（ｃｈēｎɡｈóｎɡ）〈书〉拟声形容钟鼓的声音。②比喻能引起失败或灾祸的原因：找出工厂连年亏损的～。【成人教育】ｃｈéｎɡ ｒéｎｊｉàｏｙù通过职工学校、夜大学、广播电视学校、函授学校等对成年人进行的教育。【彻查】ｃｈèｃｈá动（对事故、事件等）进行彻底调查：～事故原 因。【槽头】ｃáｏｔóｕ名给牲畜喂饲料的地方。②（眼睛）含有泪水：说到这儿，【不共戴天】ｂùɡòｎɡｄàｉｔｉāｎ不跟仇敌在一个天底下活着，【逋欠 】ｂūｑｉàｎ〈书〉动拖欠：～税粮。 【不已】ｂùｙǐ动继续不停：鸡鸣～｜赞叹～。【必修】ｂìｘｉū形属性词。 结合中医理论， 不完全表露出来。【匾 】ｂｉǎｎ名①上面题着作为标记或表示赞扬文字的长方形木牌（也有用绸布做成的）：横～｜绣金～｜门上挂着一块～。 【残本】ｃáｎｂěｎ名残缺不全的 本子（多指古籍）。⑤文章的体制、格式：体～。 不安
高中数学放缩法教程
高中数学放缩法教程一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计的任务是向高中学生传授数学中的放缩法技巧。
放缩法是高中数学中一种重要的解题方法，尤其在解决函数、数列、不等式等问题时具有广泛的应用。
通过本教程的学习，学生将理解放缩法的原理，掌握放缩法在不同题型中的应用，并能够灵活运用该方法解决数学问题。
2、教学对象本教程的教学对象为高中二年级的学生。
他们已经掌握了基本的数学知识，如函数、数列、不等式等，具备一定的数学推理和逻辑思维能力。
然而，大部分学生对放缩法的理解尚浅，应用能力有限。
因此，本教程旨在提升学生运用放缩法解决问题的能力，为后续数学学习打下坚实基础。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解放缩法的概念和基本原理，能够解释放缩法在数学问题中的重要性。
（2）掌握放缩法在不同数学领域（如函数、数列、不等式等）的应用，能够运用放缩法解决具体问题。
（3）学会利用放缩法分析数学问题，提高解题效率，形成系统的解题思路。
（4）能够将放缩法与其他数学方法（如构造法、归纳法等）相结合，解决更复杂的数学问题。
2、过程与方法（1）通过分析实际例题，让学生体验放缩法的运用过程，培养他们的观察、分析和解决问题的能力。
（2）采用启发式教学，引导学生主动探究放缩法的原理和应用，提高他们的自主学习能力。
（3）组织课堂讨论，让学生在讨论中碰撞思维火花，互相学习，提高合作能力。
（4）布置有针对性的练习题，使学生在实践中掌握放缩法，培养他们的实际操作能力。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学的兴趣，培养他们积极向上的学习态度。
（2）通过解决数学问题，让学生体会数学的美妙和挑战性，增强他们克服困难的信心。
（3）引导学生认识到数学知识在实际生活中的重要性，提高他们的数学素养。
（4）培养学生严谨、细致的思考习惯，使他们形成科学的价值观。
（5）鼓励学生勇于发表自己的观点，尊重他人意见，培养良好的沟通能力和团队合作精神。
三、教学策略1、以退为进在放缩法的教学中，采用“以退为进”的策略，即在教学过程中，教师有意识地引导学生从已知的简单问题出发，逐步深入，让学生在解决问题的过程中自然地发现放缩法的原理和应用。
高中数学放缩法技巧全总结
高中数学放缩法技巧全总结在高中数学学习中，放缩法是一种常用的解题技巧，尤其在不等式证明和极限计算中应用广泛。
掌握好放缩法的技巧，可以帮助我们更好地解决数学问题，提高解题效率。
下面，我将对高中数学放缩法的技巧进行全面总结，希望能够帮助大家更好地掌握这一技巧。
首先，放缩法的基本思想是通过构造一个比原来更容易处理的不等式或者关系式，从而简化原问题的解决过程。
在实际运用中，我们可以通过加减变形、乘除变形、配方等方式进行放缩，下面我们来看一些常用的放缩法技巧。
一、加减变形。
在不等式证明中，我们常常会遇到需要证明一个不等式成立的情况。
这时，我们可以通过在两边同时加上或者减去一个特定的数，来改变原不等式的形式，使得原不等式更容易证明。
例如，在证明数学归纳法中的不等式时，我们常常会通过加减变形来简化证明过程，这是一种常见的放缩法技巧。
二、乘除变形。
在极限计算中，我们常常需要通过放缩法来证明一个极限存在或者不存在。
这时，我们可以通过乘除变形，将原极限问题转化为一个更容易处理的形式。
例如，当我们需要证明一个函数的极限不存在时，可以通过乘除变形将原函数转化为一个更容易处理的形式，从而简化证明过程。
三、配方。
在解决数学问题中，有时我们需要通过配方来进行放缩。
例如，在证明三角函数不等式时，我们可以通过对不等式进行配方，将原不等式转化为一个更容易处理的形式。
这种放缩法技巧在解决三角函数不等式问题中应用广泛，可以帮助我们更好地解决这类问题。
总结起来，放缩法是高中数学学习中常用的解题技巧，通过加减变形、乘除变形、配方等方式进行放缩，可以帮助我们更好地解决数学问题，提高解题效率。
希望以上总结的放缩法技巧对大家有所帮助，能够在高中数学学习中更好地运用这一技巧，提高数学成绩。
放缩技巧积累公式生用
放缩技巧积累公式生用放缩技巧是数学中经常使用的一种方法，通过对数学表达式中的相关变量进行适当放缩，可以简化问题的求解过程，提高求解效率。
下面将介绍一些常见的放缩技巧及其应用。
一、放缩技巧之平方差公式平方差公式是数学中常用的放缩技巧之一，它可以将一个式子表示为两个平方差的形式，从而提供了更多的计算方式。
1. (a + b)² = a² + 2ab + b²(a - b)² = a² - 2ab + b²这两个公式可以将一个式子表示为两个平方差的形式，从而可以将一些复杂的计算转化为更简单的计算，例如求解一些二次式的因式分解等问题。
2. (a + b)² - (a - b)² = 4ab这个公式是平方差公式的一个推论，用来计算两个具有平方差形式的式子之间的差值。
可以应用于一些问题中，例如计算两个数的乘积等。
二、放缩技巧之倍角公式倍角公式是一类通过对角度进行放缩的技巧，可以将不同角度的三角函数关系转化为相同角度的三角函数关系，从而简化问题的求解。
1. sin 2θ = 2sinθcosθ这个公式表示角度2θ的正弦值可以通过角度θ的正弦和余弦值来计算，可以应用于一些三角函数的积分、导数和级数展开等问题。
2. cos 2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1 = 1 - 2sin²θ这个公式表示角度2θ的余弦值可以通过角度θ的正弦和余弦值来计算，可以应用于一些三角函数的积分、导数和级数展开等问题。
三、放缩技巧之柯西不等式柯西不等式是数学中一个重要的放缩技巧，它可以将多个变量的乘积的和表示为一个变量的平方和的形式，从而提供了更多的计算方式。
1.(a₁²+a₂²+...+aₙ²)(b₁²+b₂²+...+bₙ²)≥(a₁b₁+a₂b₂+...+aₙbₙ)²这个公式表示两个向量的点乘的平方不小于它们的模的平方的乘积，可以应用于一些向量和矩阵计算中。
高中数学知识点精讲精析 放缩法
4.3.4放缩法1．放缩法这也是分析法的一种特殊情况,它的根据是不等式的传递性— a≤b,b≤c,则a≤c,只要证明"大于或等于a 的"b≤c 就行了. （5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的． 2．放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1(； ②将分子或分母放大（或缩小）； ③利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅； 2)1()1(++<+n n n n ； ④先放缩再求和（或先求和再放缩） ⑤先放缩，后裂项（或先裂项再放缩） ⑥逐项放大或缩小⑦固定一部分项，放缩另外的项； ⑧先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩 ⑨利用常用结论：kkk k k 21111<++=-+；k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>k k k k k （程度大） )1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ； （程度小）1．证明当k 是大于1的整数时，，我们可以用放缩法的一支——“逐步放大法”，证明如下：2． 若水杯中的b 克糖水里含有a 克糖，假如再添上m 克糖，糖水会变得更甜，试将这一事实用数学关系式反映出来，并证明之．分析：本例反映的事实质上是化学问题，由浓度概念（糖水加糖甜更甜）可知)0,0(>>>++<m a b mb m a b a ． 解：由题意得)0,0(>>>++<m a b mb ma b a ． 证法一：（比较法）)()()()()(m b b a b m m b b m b a m a b b a m b m a +-=++-+=-++． 0,0>>>m a b ，0,0>+>-∴m b a b ，ba mb m a m b b a b m >++>+-∴即0)()(．证法二：（放缩法）00>>>m a b 且 ，mb m a m b mb aa mb b m b a b a ++<++=++=∴)()(． 证法三：（数形结合法）如图，在Rt ∆ABC 及Rt ∆ADF 中，AB=a ，AC=b ，BD=m ，作CE ∥BD ．ADF ABC ∆∆∽ ， mb m a CE b m a CF b m a b a ++=++<++=∴．A3． 已知a ，b ∈R ，且a+b=1． 求证：()()2252222≥+++b a ． 证法一：（比较法）a b b a R b a -=∴=+∈1,1,,()()2222259224()22a b a b a b ∴+++-=+++- 2222911(1)4222()0222a a a a a =+-+-=-+=-≥即()()2252222≥+++b a （当且仅当21==b a 时，取等号）．证法二：（分析法） ()()2258)(4225222222≥++++⇐≥+++b a b a B a ⎪⎩⎪⎨⎧≥-⇐≥++-+-=⇐0)21(22584)1(1222a a a ab 因为显然成立，所以原不等式成立． 证法三：（均值换元法）∵1a b +=，所以可设t a +=21，t b -=21， ∴左边＝()()22221122(2)(2)22a b t t +++=+++-+22255252522222t t t ⎛⎫⎛⎫=++-=+≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝右边． 当且仅当t=0时，等号成立．点评：形如a+b=1结构式的条件，一般可以采用均值换元． 证法七：（利用一元二次方程根的判别式法）设y=（a+2）2+（b+2）2，由a+b=1，有1322)3()2(222+-=-++=a a a a y ， 所以013222=-+-y a a ，因为R a ∈，所以0)13(244≥-⋅⋅-=∆y ，即225≥y ． 故()()2252222≥+++b a ． 证法四：（反证法）假设225)2()2(22<+++b a ，则 2258)(422<++++b a b a ．由a+b=1，得a b -=1，于是有22512)1(22<+-+a a ． 所以0)21(2<-a ，这与0212≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-a 矛盾．所以()()2252222≥+++b a ． 证法五：（放缩法）∵1a b += ∴左边＝()()()()222222222a b a b +++⎡⎤+++≥⎢⎥⎣⎦()2125422a b =++=⎡⎤⎣⎦＝右边． 点评：根据欲证不等式左边是平方和及a+b=1这个特点，选用基本不等式22222⎪⎭⎫⎝⎛+≥+b a b a ．4．设实数x ，y 满足y+x 2=0，0<a<1．求证：812log )(log +≤+a yx a a a ． 证明：（分析法）要证812log )(log +≤+a yx a a a ， 10<<a ，只要证：812a a a yx ≥+，又222y x yxyxaaa a a +=+≥+ ，∴只需证：41a ayx ≥+． ∴只需证41≤+y x ，即证0412≥+-x x ，此式显然成立．∴原不等式成立．5．设m 等于a ，b 和1中最大的一个，当m x >时，求证：22<+x bx a ． 分析：本题的关键是将题设条件中的文字语言“m 等于a ，b 和1中最大的一个”翻译为符号语言“a m ≥，b m ≥，1≥m ”，从而知a m x ≥>． 证明：（综合法）a m x ≥> ，,1x m b x m >≥>≥．22222 1.2a b x xa b a bx x x x x x x x∴+≤+=+<+=．6．已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：222111100()()()3a b c a b c +++++≥证明 ∵ 1a b c ++=∴ 1=2222222()2223()a b c a b c ab bc ca a b c ++=+++++≤++∴ 22213a b c ++≥又 ∵22222222111111()()27a b c a b c a b c ++=++++≥⨯= ∴ 222222222111111()()()()6()a b c a b c a b c a b c +++++=++++++110062733≥++= ∴ 222111100()()()3a b c a b c +++++≥7．若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a证明： 记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++∵a , b , c , d ∈R + ∴1=+++++++++++++++>c b ad db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd dd c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立8．当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 证明： ∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n∴2222)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n ∴n > 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n 9． 求证：213121112222<++++n证明：nn n n n 111)1(112--=-< ∴2121113121211113121112222<-=+-++-+-+<++++n n n n10．设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11，求证：a < b 证明：yyx x y x y y x x y x y x +++<+++++=+++11111 11．lg9•lg11 < 1证明：122299lg 211lg 9lg 11lg 9lg 222=⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⋅12．若a > b > c , 则0411≥-+-+-ac c b b a 证明：c a c b b a c b b a c b b a -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≥--≥-+-4)()(22))((1211213．)2,(11211112≥∈>+++++++n R n nn n n 证明：左边11111122222=-+=++++>n nn n n n n n 14．121211121<+++++≤n n n 证明：11121<⋅+≤≤⋅n n n n 中式 15．已知a , b , c > 0, 且a 2 + b 2 = c 2，求证：a n + b n < c n (n ≥3, n ∈R *)证明： ∵122=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a ，又a , b , c > 0, ∴22,⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c b c a c a n n∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛n n c b c a 122=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a ⇒ a n + b n < c n16．已知,,x y z R ∈，且2228,24x y z x y z ++=++= 求证：4443,3,3333x y z ≤≤≤≤≤≤ 证明：显然2222()()8,8202x y x y x y z xy z z +-++=-==-+ ,x y ∴是方程22(8)8200t z x z z --+-+=的两个实根， 由0≥得443z ≤≤，同理可得443y ≤≤，443x ≤≤17． 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证143＜＋＜a b 。
放缩法技巧及例题解析(高中数学)
{an } 满足条件 an1 an f n ）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来
a n 1 a1 a2 ... n (n N * ). 2 3 a2 a3 an1
当 n 3 时,
1 1 1 1 1 2 ,此时 an n n 1 n n 1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 a1 a2 an 4 3 4 n 4 2 3 3 4 n 1 n
1
1 (n 1) 2 an1 an
1 (n 1) 2 [1 an ] (n 1) 2
an (n 1)(n 1 ) n 1
这种证法还是比较自然 的, 也易让学生接受 .
.
an an 1 n 当 n 2 时， n 1
1 1 1 1 1 an an1 (n 1)(n 2) n 1 n 2
1 1 1 1 1 1 1 2 (n 1) n n 1 n(n 1) n n(n 1) n 1 n 2 2 1 2 2( n n 1) n 1 n n n n n n 1
a a a am , b bm b b
1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) 2 3 3 5 2n 1 2n 1 2 2(2n 1) 2
注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前 n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用 先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差 比数列，即指数列 求和． 例 2、已知 an 2n 1(n N * ). 求证：
高中数学放缩法技巧全总结
高中数学放缩法技巧全总结高中数学中的放缩法是一种常用的解题技巧，它通过适当调整式子的形式，进行等价转化，从而简化计算或者明晰问题的关键点。
下面总结了一些常见的高中数学放缩法技巧。
1. 分子分母同乘：当分式的分子和分母中含有相同的因式时，可以将分子和分母同时乘以这个因式的倒数，从而得到一个等价的分式。
这样做的好处是可以简化分式，消去分子分母中的公因式。
2. 导数法：在解决函数极值问题时，可以利用导数的概念进行放缩。
通过求函数的导数，并研究导数的正负性，可以找到函数的极值点。
这种方法可以有效地缩小问题的范围，简化计算。
3. 均值不等式：均值不等式是一种常用的放缩方法，它通过寻找合适的均值来放缩不等式。
常见的均值不等式有算术-几何均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等。
通过将不等式的两边同时取均值，可以得到一个更简单的等价不等式。
4. 三角函数变换：在解决三角函数相关的问题时，可以利用三角函数的性质进行放缩。
常见的三角函数变换有和差化积、倍角公式等。
通过适当的变换，可以将原问题转化为更容易处理的形式。
5. 幂函数变换：在解决幂函数相关的问题时，可以利用幂函数的性质进行放缩。
常见的幂函数变换有换元法、幂函数的反函数等。
通过适当的变换，可以使问题的形式更简单，更易于分析。
6. 递推关系式：在解决数列相关的问题时，可以利用递推关系式进行放缩。
通过找到数列的递推关系式，可以将原问题转化为递推问题。
递推关系式可以帮助我们找到数列的通项公式，从而简化问题的求解过程。
以上是一些高中数学中常用的放缩法技巧。
通过灵活运用这些技巧，可以在解题过程中简化计算、明晰问题的关键点，从而更高效地解决数学问题。
高中数学-放缩法(详解)
放缩技巧放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的的方法，叫放缩法。
放缩法的方法有：⑴添加或舍去一些项，如：a a >+12；n n n >+)1( ⑵将分子或分母放大（或缩小） ⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3log 2=<=+<⋅； 2)1()1(++<+n n n n⑷利用常用结论： Ⅰ、kkk k k 21111<++=-+； Ⅱ、k k k k k 111)1(112--=-< ； 111)1(112+-=+>k k k k k （程度大） Ⅲ、)1111(21)1)(1(111122+--=+-=-<k k k k k k ； （程度小） 1.若a , b , c , d ∈R +，求证：21<+++++++++++<ca d db dc c a c b bd b a a【巧证】：记m =ca d db dc c a c b bd b a a +++++++++++∵a , b , c , d ∈R+∴1=+++++++++++++++>cb a d db a dc c a c b a bd c b a a m2=+++++++<cd dd c c b a b b a a m ∴1 < m < 2 即原式成立2.当 n > 2 时，求证：1)1(log )1(log <+-n n n n 【巧证】：∵n > 2 ∴0)1(log ,0)1(log >+>-n n n n∴2222)1(log 2)1(log )1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-<+-n n n n n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n ∴n > 2时, 1)1(log )1(log <+-n n n n3.求证：213121112222<++++n【巧证】：nn n n n 111)1(112--=-< ∴2121113121211113121112222<-=+-++-+-+<++++n n n n巧练一：设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11，求证：a < b 巧练一：【巧证】：yyx x y x y y x x y x y x +++<+++++=+++11111 巧练二：求证：lg9•lg11 < 1巧练二：【巧证】：122299lg 211lg 9lg 11lg 9lg 222=⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⋅巧练三：1)1(log )1(log <+-n n n n巧练三：【巧证】： 222)1(log )1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤+-n n n n n n 12log 22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡<n n 巧练四：若a > b > c , 则0411≥-+-+-ac c b b a 巧练四： 【巧证】： c a c b b a c b b a c b b a -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-≥--≥-+-4)()(22))((12112巧练五：)2,(11211112≥∈>+++++++n R n nn n n巧练五：【巧证】：左边11111122222=-+=++++>n nn n n n n n 巧练六：121211121<+++++≤nn n 巧练六：【巧证】： 11121<⋅+≤≤⋅n n n n 中式 巧练七：已知a , b , c > 0, 且a 2+ b 2= c 2，求证：a n + b n < c n (n ≥3, n ∈R *)巧练七：【巧证】： ∵122=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a ，又a , b , c > 0,∴22,⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c b c a c a n n ∴1=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛nn c b c a证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查知识的潜能与后继能力，因而成为压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。
放缩法大全
a −1 + 1 − 2a − ln x 解（1）：令g ( x) = f ( x) − ln x = ax + x 1 (a , x 1) 2 a − 1 1 ax 2 − x + 1 − a [ax − (1 − a)]( x − 1) g ( x) = a − 2 − = = 2 x x x x2 1 a[ x − ( − 1)]( x − 1) a g ( x) = 0 （或用二次函数图象分 析） 2 x
1 1 1 1 1 1 + + ... + dx + dx + ... + dx 2 3 n +1 1 x x x 2 n
n +1 2 3 n +1
n
=
1
1 dx = ln( n + 1) x
1 n
n +1
n
1 dx = ln( n + 1) − ln n x
同理证右。
n +1 1 n ln( ) ln( ) n n n −1
所以：
ln n 2 f (n) − f (n − 1) 2 n
由
ln n 2 f (n) − f (n − 1) 2 n
取n=2,3,…,n累加
ln 2 2 ln 32 ln n 2 2n 2 − n − 1 + 2 + ... + 2 f (n) − f (1) = 2 2 3 n 2(n + 1)
1 m an = 4n − 3, { }前n项和为S n , 若S 2 n +1 − S n 恒成立， an 15 求整数m的最小值。
1 1 1 m 解： + + ... + 对n N + 恒成立， an +1 an + 2 a2 n +1 15 1 1 1 令f ( n ) = + + ... + , an +1 an + 2 a2 n +1 1 1 1 f (n − 1) = + + ... + an an +1 a2 n −1
[整理版]高中数学放缩法
高考专题 放缩法缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。
在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。
但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。
因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。
要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。
掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。
数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求：（1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：21<n B解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以12-=n a n（2）)121121(21)12)(12(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ，所以21)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=n n n B n 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{}n a 满足条件()n f a a n n =-+1）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.(1) 求证：2214n n n a a S ++<；(2) 求证：112122n n n S S S S S +-<++⋅⋅⋅+<解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件n n n S a a 22=+有11212+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得)1)((11=--+++n n n n a a a a01>+∴>+n n n a a a∴11n n a a +-=所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)2n n n S +=所以42)1(212)1(21222++=++∙<+=n n n a a n n n n S（2）因为1)1(+<+<n n n n ，所以212)1(2+<+<n n n n ，所以2)1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n 212322++++<n 2122312-=+=+n S n n ；222)1(2222121nn S n n n S S S =+=+++>++2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a ，n ∈N *，a ≥2，证明：n n na a a a⋅+≥--)1()(2；（2）等比数列{a n }中，112a =-，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成等差数列．设nn n a a b -=12，数列{b n }前n 项的和为B n ，证明：B n ＜13．解：（1）当n 为奇数时，a n ≥a ，于是，n n n n na a a a a a⋅+≥+=--)1()1()(2．当n 为偶数时，a －1≥1，且a n ≥a 2，于是n n n n n n n a a a a a a a a a a a ⋅+≥⋅-+=⋅-≥-=--)1()1)(1()1()1()(22．（2）∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比9812a q a ==-．∴nn a )21(-=． nn n nn n b 231)2(41)21(141⋅≤--=--=．∴n n b b b B ++=2131)211(31211)211(213123123123122<-=--⋅=⋅++⋅+⋅≤n n ．3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+=+n a na n n n ．求证：11213-++-≥>n n n n a a 证明：因为n nn a na )21(1+=+，所以1+n a 与n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ，即021>=-+n nn n a na a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ，即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：121212221--+++≥-n n n a a ．令12212221--+++=n n n S ，所以n n n S 2122212132-+++= ，两式相减得：n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ，所以1213-+-≥n n n a ，故得11213-++-≥>n n n n a a ．4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a ．（1）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式；（2）令nn n n n a aa ab 11+++=，证明32221+<++<n b b b n n ，n =1,2,….解（1）由已知得15,1054==a a ，2)1(12)1(+=+++-+=n n n n a n .（2）因为 ,2,1,22222211==+⋅+>+++=+=++n nn n n n n n n a a a a b n n n n n ，所以n b b b n 221>+++ .又因为 ,2,1,222222=+-+=+++=n n n n n n n b n ，所以)]211()4121()3111[(2221+-++-+-+=+++n n n b b b n =32221232+<+-+-+n n n n .综上， ,2,1,32221=+<++<n n b b b n n .注：常用放缩的结论：（1）)2(111)1(11)1(11112≥--=-<<+=+-k kk k k k k k k k（2）．)2)(111(212112)111(2≥--=-+<<++=+-k kk k k kk k k k常见高考放缩法试题1. 设{}{},n n a b 都是各项为正数的数列，对任意的正整数n ，都有21,,n n n a b a +成等差数列，2211,,n n n b a b ++成等比数列．（1）试问{}n b 是否成等差数列？为什么？（2）如果111,2a b ==，求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．2. 已知等差数列｛n a ｝中，2a ＝8，6S ＝66.（Ⅰ）求数列｛n a ｝的通项公式；（Ⅱ）设n n a n b )1(2+=，n n b b b T +++= 21，求证：n T ≥16.3. 已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{nb ，满足11-=n n a b （+∈N n ）（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由；（3）记++=21b b S n …n b +，求1)1(lim +-∞→n nS b n n ．4. 已知数列{a n }中，a 1>0, 且a n +1=23na +， (Ⅰ)试求a 1的值，使得数列{a n }是一个常数数列；(Ⅱ)试求a 1的取值范围,使得a n +1>a n 对任何自然数n 都成立；(Ⅲ)若a 1 = 2，设b n = | a n +1－a n | (n = 1，2，3，…)，并以S n 表示数列{b n }的前n 项的和，求证：S n <25．5. （1）已知：)0(∞+∈x ，求证xx x x 11ln 11<+<+；（2）已知：2≥∈n N n 且，求证：11211ln 13121-+++<<+++n n n 。
高中数列放缩法技巧
高中数列放缩法技巧
高中数列放缩法是一种用于求解数列问题的技巧。
通过适当的方法对数列进行放缩，可以简化问题的求解过程，提高解题效率。
在高中数学中，数列是一个非常重要的概念。
通过研究数列的性质和规律，可以帮助学生培养数学思维和分析问题的能力。
数列放缩法的基本思想是通过一系列变换将原始数列转化为一个更
加简单或者更加易于处理的数列，从而使问题的求解变得更加容易。
下面介绍几种常用的数列放缩方法：
1. 数列的倍数放缩：如果一个数列的每一项都乘以一个相同的常数，那么这个数列的性质和规律不会改变。
这种放缩方法常用于求解具有明显倍数关系的数列问题，可以通过放缩将数列转化为一个等比数列，从而更加方便地求解。
2. 数列的平移放缩：如果一个数列的每一项都加上或者减去一个相
同的常数，那么这个数列的性质和规律不会改变。
这种放缩方法常用于求解具有明显递推关系的数列问题，可以通过放缩将数列转化为一个等差数列，从而更加方便地求解。
3. 数列的递推放缩：如果一个数列的每一项都是前一项的某个函数，
那么这个数列的性质和规律不会改变。
这种放缩方法常用于求解具有复杂递推关系的数列问题，可以通过放缩将数列转化为一个递推公式，从而更加方便地求解。
除了以上几种基本的放缩方法，还可以根据具体问题的特点进行其他类型的放缩。
数列放缩法在高中数学中有着广泛的应用，可以帮助学生解决各种数列问题，提高数学分析和推理能力。
总之，高中数列放缩法是一种重要的解题技巧，通过适当的放缩方法可以简化数列问题的求解过程，提高解题效率。
掌握数列放缩法对于高中数学的学习和应试都具有重要的意义。