21算法的概念22简单算法举例23算法的特性24怎样表示

图2.3中菱形框的作用是对一个给定的条件进行判 断，根据给定的条件是否成立来决定如何执行其后 的哪一个操作。它有一个入口，两个出口。见图2.4。
连接点(小圆圈)是用于将画在不同地方的流程线连 接起来。如图2.5中有两个以①为标志的连接点，它 表示这两个点是互相连接在一起的, 实际上它们是同 一个点。用连接点，可以避免流程线的交叉或过长， 使流程图清晰。
计算机算法可分为两类：
数值算法: 数值运算的目的是求数值解，如求方根、 求定积分等。研究深入，算法成熟，“数学程序 库”。
非数值算法: 最常见的是用于事务管理领域，如排 序和检索（查找）。参考已有类似算法，重新设计。
2.2 简单算法举例
例2.1 求1×2×3×4×5，即5！。 解一：
步骤1： 先求1×2，得到结果2。 步骤2： 将步骤1得到的结果2再乘以3，得到结果6。 步骤3： 将6再乘以4，得24。 步骤4： 将24再乘以5，得120。 这样的算法虽然是正确的，但太繁琐。如果要求 1×2×…×1000，则要写999个步骤，显然是不可 取的。
2. 三种基本结构
1966年，Bohra和Jacopini提出了以下三种基本结构，作 为表示一个良好算法的基本单元。
(1) 顺序结构，如图2.14所示。
(2) 选择结构，或称分支结构，如图2.15所示。
注意，无论 p 条件是否成立，只能执行A框或B框之一， 不可能既执行A框又执行B框。
A或B两个框中可以有一个是空的 ，即不执行任何操作， 如图2.16所示。
在结构化程序设计方法推广之后，许多书刊已用 N-S结构化流程图代替这种传统的流程图。但是每 一个程序编制人员都应当熟练掌握传统流程图。
图2.11 图2.12
2.4.3 三种基本结构和改进的流程图
1. 传统流程图的弊端
传统的流程图用流程线指出各框的执行顺序，对流 程线的使用没有严格限制。因此，使用者可以不受 限制地使流程随意地转来转去，使流程图变得毫无 规律。这种情况如图2.13所示。
解一：顺序查找，从第1个元素到最后1个元素，逐个进 行比较，直至找到为止。共比较9次
解二：折半查找，算法步骤： step1 首先确定整个查找区间的中间位置，mid = （ left + right ）/ 2； step2 用待查关键字值与中间位置的关键字值进行比较： 若相等，则查找成功；若大于，则在后半区域继续进行 二分查找；若小于，则在前半区域继续进行二分查找。 Step3 对确定的缩小区域再按二分公式，重复上述步骤； 最后 得到结果：要么，查找成功，要么，查找失败。
第2章 程序的灵魂——算法
2.1 算法的概念 2.2 简单算法举例 2.3 算法的特性 2.4 怎样表示一个算法 2.5 结构化程序设计方法 作业
一个程序应包括以下两方面内容:
(1) 对数据的描述。在程序中要指定数据的类型和 数据的组织形式，即数据结构(data structure)。
(2) 对操作的描述。即操作步骤， 也就是算法 (algorithm)。
②再两个野人过河，一个野人回来；
③两个牧师过河，一个野人和一个牧师回来；
④两个牧师过河，一个野人回来；
⑤两个野人过河，一个野人回来；
⑥两个野人过河。
算法是指为解决一个问题而采取的方法和步骤。算法并不 是问题的结果，而是解题的过程和策略。
又例：对有序表关键字序列{5，10，19，21，31，37， 42，48，50，52}，查找k为50的记录。
5. 有效性
算法中的每一个步骤都应当能有效地执行，并得到确定的结 果。
2.4 怎样表示一个算法
常用的有自然语言、传统流程图、结构化流程图、 伪代码、PAD图等。
2.4.1 用自然语言表示算法
通俗易懂，但文字冗长， 容易出现“歧义性”。 自然语言表示的含义往往不太严格，要根据上下文 才能判断其正确含义。
由于计算机是高速进行运算的自动机器，实现循环 是轻而易举的，所有计算机高级语言中都有实现循 环的语句。因此，上述算法不仅是正确的，而且是 计算机能实现的较好的算法。
例2.2 有50个学生，要求将他们之中成绩在80分以 上者打印出来。用n表示学生学号，n1代表第一个 学生学号，ni代表第i个学生学号。用g代表学生成 绩，gi代表第i个学生成绩，算法可表示如下。
解：算法可以表示如下
S1：输入n的值
S2：2=>i （i作为除数）
S3：n被i除，得余数r
S4：如果r=0，表示n能被i整除，则打印n“不是素 数”，算法结束；否则执行S5
S5：i+1=>i
S6：如果i≤n-1，返回S3；否则打印 n “是素数”， 然后结束。
实际上n不必被2到(n-1)的整数除，只需被2到n/2 整除即可，甚至只需被2到 n 之间的整数除即可。
数据是操作的对象，操作的目的是对数据进行加工 处理，以得到期望的结果。作为程序设计人员，必 须认真考虑和设计数据结构和操作步骤(即算法)。 因此，Pascal之父沃思(Nikiklaus Wirth)提出一 个公式:
数据结构 + 算法 = 程序
实际上，一个程序除了以上两个主要要素之外，还应当采 用结构化程序设计方法进行程序设计，并且用某一种计算机 语言表示。因此，可以这样表示：
例2.5 对一个大于或等于3的正整数，判断它 是不是一个素数。
分析：所谓素数，是指除了1和该数本身之外，不能 被其他任何整数整除的数。例如，13是素数，因为 它不能被2，3，4，…，12整除。
判断一个数n(n≥3)是否素数的方法是很简单的：将 n作为被除数，将2到(n-1)各个整数轮流作为除数， 如果都不能被整除，则n为素数。
S1：1=>i
S2：如果gi≥80，则打印ni和gi，否则不打印
S3：i+1=>i
S4：如果i≤50，返回S2，继续执行；否则，算法 结束。
本例中，变量i作为下标，用它来控制序号(第几个 学生，第几个成绩)。当i超过50时，表示已对50个 学生的成绩处理完毕，算法结束。
例2.3 判定2000—2500年中的每一年是否闰 年，将结果输出。
上例共比较3次
对同一个问题，可以有不同的解题方法和步骤，即不同 算法。
如何判断一个算法（程序）的优劣？时空复杂 度（时间复杂度、空间复杂度）。
一般来说，希望采用简单的和运算步骤少的方 法。
如果一个算法对其每一个输入实例，都能输出 正确的结果并停止，则称它是正确的。
因此 ，为了有效地进行解题，不仅需要保证 算法正确，还要考虑算法的质量，选择合适的 算法。
1.有穷性
一个算法应包含有限的操作步骤，而不能是无限的。一个算 法必须保证执行有限步之后结束；
2.确定性 算法的每一步骤必须有确切的定义；
3.有零个或多个输入
所谓输入是指在执行算法时需要从外界取得必要的信息。一 个算法也可以没有输入。
4. 有一个或多个输出 算法的目的是为了求解，“解” 就是输出。没有输出的算法 是没有意义的。
图2.14
图2.15
ห้องสมุดไป่ตู้
图2.16
(3) 循环结构。有两类循环结构：
① 当型(While型)循环结构 见图2.17(a)。它的功能是先判断给定的条件p1，成立时， 再执行A框操作，执行完A后，再判断条件p1是否成立，如 果仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次 p1条件不成立为止，此时不执行A框，而从b点脱离循环结 构。 ② 直到型(Until型)循环 见图2.17(b)。它的功能是先执行A框，然后判断给定的p2 条件是否成立，如果p2条件不成立，则再执行A，然后再对 p2条件作判断，如果p2条件仍然不成立，又执行A……如此 反复执行A，直到给定的p2条件成立为止，此时不再执行A， 从b点脱离本循环结构。
解二：利用循环算法。算法改写如下： S1： 使p=1 S2： 使i=2 S3： p×i=>p S4： i+1 => i S5： 若i ≤ 5，返回步骤S3；否则，算法结束。 S是step(步)的缩写。这是写算法的习惯用法。 思考：如果将S5步骤写成 S5： 若i＜5，返回S3。
这样会有什么问题?会得到什么结果? 思考：如果题目改为求1×3×5×7×9×11
图 2.3
图 2.4
图 2.5
例2.6 将例2.1求5!的算法用流程图表示
流程图见图2.6。如果需要将最后结果打印出来，可 以在菱形框的下面再加一个输出框，见图2.7。
例2.7 将例2.2的算法用流程图表示。将50名学生 中成绩在80分以上者的学号和成绩打印出来，见图 2.8。在此算法中没有包括输入50个学生数据的部 分，如果包括这个输入数据的部分，流程图如图2.9 所示。
例2.4 求1-1/2+1/3-1/4+…+1/99-1/100。 算法可以表示如下： S1：1=>sign S2：1=>sum S3：2=>deno S4：(-1)×sign=>sign S5：sign×(1/deno)=>term S6：sum+term=>sum S7：deno+1=>deno S8：若deno≤100返回S4；否则算法结束。
2.1 算 法 的 概 念
问题一：有两个杯子A和B，分别放有酒精和纯净水，试着 将两个杯子中的液体进行互换。
问题二：有三个牧师和三个野人过河，只有一条能装下两 个人的船，在河的任何一方或者船上，如果野人的人数大于 牧师的人数，那么牧师就会有被吃掉的危险。请找出一种安 全的渡河方案。
①两个野人先过河，一个野人回来；
这种算法难以阅读，也难以修改，从而使算法的可 靠性和可维护性难以保证。如果我们写出的算法能 限制流程的无规律任意转向，阅读起来就很方便。
图2.13
为了解决这个问题，人们设想，规定出几种基本结 构，然后按一定规律将各个基本结构顺序排列起来 组成一个算法结构(如同用一些基本预制构件来搭成 房屋一样) 。