5.3.2 命题、定理、证明
5.3.2 命题、定理、证明
5.3.2 命题、定理、证明刷基础题型1 命题的定义1.[2019江苏徐州铜山区期末]下列句子中，是命题的是（ ）A.画一个角等于已知角B.a ，b 两条直线平行吗C.对顶角相等D.过一点画已知直线的垂线1.C 【解析】A 、B 、D 选项都没有对一件事情作出任何判断，都不是命题.C 选项作出了判断，是命题.2.下列语句不是命题的是（ ）A.解方程35913x x +=-B.整数是有理数C.一个数的绝对值不小于原数D.负数的偶次幂是正数2.A 【解析】B 、C 、D 选项都对事情作出了判断，只有A 选项没有作出任何判断，故A 选项不是命题.题型2 命题的组成3.命题“只有符号不同的两个数互为相反数”的题设是（ ）A.两个数的符号不同B.两个数只有符号不同C.两个数互为相反数D.只有符号不同3.B 【解析】原命题可以改写为“如果两个数只有符号不同，那么这两个数互为相反数”，“如果”后面的部分是题设，故B 正确.4.[2019安徽阜阳颖泉区校级月考]命题“绝对值相等的两个数互为相反数”.（1）将命题改写成“如果……那么……”的形式.（2）写出该命题的题设和结论.4.【解】（1）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数.（2）题设是两个数的绝对值相等，结论是这两个数互为相反数.题型3 命题的真假5.[2019湖北随州曾都区校级期中]下列命题：①两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行；②直线外一点到这条直线的垂线段，就是这一点到这条直线的距离；③在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行.其中真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.45.A 【解析】两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行，①错误；直线外一点到这条直线的垂线段的长度，就是这一点到这条直线的距离，②错误；在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，③正确；在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，④错误.故选A.6.下列命题是假命题的是（ ）A.方程28x =的解是4x =B.236+≠C.经过同一平面内的任意三点中的两点一定能画三条直线D.a 是非负数6.C 【解析】若同一平面内的三点在一条直线上，则经过这三点中的任意两点画不出三条直线，故C 选项是假命题.7.下列命题是真命题还是假命题？说明理由.（1）一个数的平方大于原数；（2）如果x y =，那么55x y +=+.7.【解】（1）假命题.理由：若一个数为0.1，20.10.01=，0.010.1<，故该命题是假命题.（2）真命题理由：因为x y =（已知），所以55x y +=+（等量加等量，和相等）.题型4 举反例判断假命题8.下列各数可以用来说明命题“任何偶数都是4的整数倍”是假命题的反例是（ ）A.4B.8C.12D.188.D 【解析】18是偶数，但不是4的整数倍.9.[2019福建福州三模]说明命题“若4x >-，则216x >”是假命题的一个反例可以是________.9.3x =-（答案不唯一） 【解析】若3x =-，则29x =，条件满足，但916<，结论不成立.题型5 定理与证明10.[2019广东中山期中]下列命题是定理的是（ ）A.内错角相等B.同位角相等，两直线平行C.一个角的余角不等于它本身D.在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直10.B 【解析】A 选项，内错角相等，需要有前提条件“两直线平行”，是假命题；B 选项，同位角相等，两直线平行，是真命题，也是定理；C 选项，一个角的余角可以等于它本身，如45°，是假命题；D 选项，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题.故选B.11.[2019江苏南京鼓楼区校级月考]如图，从①12∠=∠，②C D ∠=∠，③A F ∠=∠三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题.（1）这三个命题中，真命题的个数为________；（2）选择一个真命题，并且证明.（要求写出每一步的依据）11.【解】（1）由①②，得③；由①③，得②；由②③，得①均为真命题，故答案为3.（2）（答案不唯一）选①②为条件，③为结论.如图所示，∵12∠=∠（已知），13∠=∠（对顶角相等），∴32∠=∠（等量代换），∴DB//EC （同位角相等，两直线平行），∴4D ∠=∠（两直线平行，同位角相等）.∵C D ∠=∠（已知），∴4C ∠=∠（等量代换），∴DF//AC （内错角相等，两直线平行），∴A F ∠=∠（两直线平行，内错角相等）.刷提升1.[2019四川南充期末]下列语句中，不是命题的是（ ）A.非负数大于0B.同位角不一定相等C.画两条平行线D.若∠1与∠2互补，则1290∠+∠=︒1.C 【解析】A 、B 、D 选项都对事情作出了判断，只有C 选项没有作出任何判断，故C 选项不是命题.故选C.2.[2019甘肃陇南徽县期末]下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等，两直线平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④互补的角是邻补角.其中真命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.42.C 【解析】①对顶角相等，是真命题；②内错角相等，两直线平行，是真命题；③平行于同一条直线的两条直线互相平行，是真命题；④互补的角不一定是邻补角，是假命题.故选C.3.下列选项中，可以用来证明命题“若21a >，则1a >”是假命题的反例是（ ）A.2a =-B.1a =-C.1a =D.2a =3.A 【解析】若2a =-，则241a =>，条件满足，但21-<，即1a <，结论不成立.故“若21a >，则1a >”是假命题.4.下列说法正确的是（ ）A.命题是定理，定理是命题B.命题不一定是定理，定理不一定是命题C.真命题有可能是定理，假命题不可能是定理D.定理可能是真命题，也可能是假命题4.C 【解析】命题不一定是定理，A 选项错误；定理一定是命题，B 选项错误；定理不可能是假命题，D 选项错误；C 选项正确，故选C.5.某班有20位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于14.”乙说：“两项都参加的人数小于5.”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题是（ ）A.若甲对，则乙对B.若乙对，则甲对C.若乙错，则甲错D.若甲错，则乙对5.B 【解析】若甲对，即只参加一项的人数大于14，不妨设只参加一项的人数是15，则两项都参加的人数是5，故乙错；若乙对，即两都参加的人数小于5，则两项都参加的人数至多为4，此时只参加一项的人数为16，故甲对.故选B.6.“同角的余角相等”是一个________命题；“两个锐角之和是钝角”是一个________命题.（填“真”或“假”）6.真 假 【解析】“同角的余角相等”是余角的性质，是真命题；两个锐角之和不一定是钝角，如两个1°的角之和是2°，和仍是锐角，故是假命题.7.下列语句：①整数一定是有理数；②画直线AB；③直角都相等；④如果1x+>；x=-，那么10⑤我下次考试能得满分吗？其中是命题的是________.（填序号）7.①③④【解析】②⑤没有对一件事情作出任何判断，不是命题；①③④符合命题的定义，是命题.8.将命题“内错角相等”改写成“如果……那么……”的形式为________________________.8.如果两个角是内错角，那么这两个角相等【解析】根据命题的构成，题设是两个角是内错角，结论是这两个角相等，故原命题可改写为如果两个角是内错角，那么这两个角相等.9.命题“两个互余的角中，一个小于45°，另一个大于45°”的题设是________，结论是_____________________.9.两个角互余这两个角一个小于45°，另一个大于45°【解析】原命题可以写成如果两个角互余，那么这两个角一个小于45°，另一个大于45°.“如果”后面的部分是题设，“那么”后面的部分是结论.10.[2019安徽马鞍山和县期末]指出下列命题的题设和结论，并判断其真假，如果是假命题，举出一个反例.（1）邻补角是互补的角；（2）同位角相等.10.【解】（1）题设是两个角是邻补角，结论是这两个角互补，是真命题.（2）题设是两个角是同位角，结论是这两个角相等，为假命题，∠≠∠.反例：如图，∠1和∠2是同位角，但1211.如图，DP平分∠ADC交AB于点P，90∠+∠=︒，那么∠2和∠4相等吗？说明理由.∠=︒，如果1390DPC∠=∠.理由如下：11.【解】24因为DP平分∠ADC（已知），所以34∠=∠（角平分线的定义）.因为180∠=︒（平角的定义），APB且90∠=︒（已知），DPC所以1290∠+∠=︒（等式的性质）.又因为1390∠+∠=︒（已知），所以23∠=∠（同角的余角相等）.∠=∠（等量代换）.所以2412.[2019安徽阜阳颖州区校级月考]如图，现有以下3个论断：BD//EC；D C∠=∠.∠=∠；A F （1）请以其中两个为条件，另一个为结论组成命题，你能组成哪几个命题？（2）你组成的命题是真命题还是假命题？请你选择一个真命题加以证明.12.【解】（1）由BD//EC ，D C ∠=∠，得到A F ∠=∠；由BD//EC ，A F ∠=∠，得到D C ∠=∠；由A F ∠=∠，D C ∠=∠，得到BD//EC ；能组成3个命题.（2）由BD//EC ，D C ∠=∠，得到A F ∠=∠，是真命题.理由如下：∵BD//EC ，∴ABD C ∠=∠.∵D C ∠=∠，∴ABD D ∠=∠，∴AC//DF ，∴A F ∠=∠.由BD//EC ，A F ∠=∠，得到D C ∠=∠，是真命题.理由如下：∵BD//EC ，∴ABD C ∠=∠.∵A F ∠=∠，∴AC//DF ，∴D ABD ∠=∠，∴D C ∠=∠.由A F ∠=∠，D C ∠=∠，得到BD//EC ，是真命题.理由如下：∵A F ∠=∠，∴AC//DF ，∴D ABD ∠=∠.∵D C ∠=∠，∴ABD C ∠=∠，∴BD//EC .5.2~5.3综合训练刷综合1.如图，把教室中墙壁的棱看作直线的一部分，那么下列表示两条棱所在的直线的位置关系不正确的是（ ）A.AB BC ⊥B.AD//BCC.CD//BFD.AE//BF1.C 【解析】由图可知，CD 与BF 不平行，故C 选项表示的位置关系不正确，故选C.2.[2019河南南阳宛城区二模]如图，180∠=︒，280∠=︒，384∠=︒，则4∠=（ ）A.84°B.94°C.86°D.96°2.D 【解析】如图，∵180∠=︒，280∠=︒，∴12∠=∠，∴AB//CD ，∴34180∠+∠=︒.∵384∠=︒，∴496∠=︒，故选D.3.[2018江苏苏州期中]如图，有下列判定，其中正确的有（）①若13∠=∠，则AD//BC；②若AD//BC，则123∠=∠=∠；③若13∠=∠；∠=∠，AD//BC，则12④若34180∠+∠+∠=︒，则AD//BC.CA.1个B.2个C.3个D.4个3.B【解析】正确的是③④，共2个.故选B.4.一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向平行，则这两次拐弯的角度不可能是（）A.第一次向左拐40°，第二次向右拐40°B.第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C.第一次向右拐60°，第二次向右拐120°D.第一次向左拐110°，第二次向右拐110°4.B【解析】两次转弯后仍与原来的方向平行，那么要求：如果都是向左（或右）拐，则两个拐角互补；如果一左一右拐，则拐角相同.由此断定这两次拐弯的角度不可能是B.故选B.5.[2019河北唐山迁西期末]已知：如图，12∠=∠，3E∠=∠.（请按图填空，并补理由）∠=∠，试说明：A EBC证明：∵12∠=∠（已知），∴________∥________（________________）.∴E∠=∠________（________________）.又∵3∠=∠（已知），E∴3∠=∠________（等量代换），∴________∥________（内错角相等，两直线平行），∴A EBC∠=∠（________________）.5.DB EC内错角相等，两直线平行 4 两直线平行，内错角相等 4 AD BE两直线平行，同位角相等6.如图所示，如果A C∠+∠=︒，DA平分∠BDF，那么BC平分∠DBE.请说明理由.∠=∠，121806.【解】如图，∵12180∠+∠=︒，25180∠+∠=︒，∴15∠=∠，∴AB//CD ，∴7C ∠=∠，3A ∠=∠.又∵A C ∠=∠，∴7A ∠=∠，∴AD//BC ，∴64∠=∠.∵DA 平分∠BDF ，∴34∠=∠，∴4A ∠=∠，∴6A ∠=∠，∴67∠=∠，∴BC 平分∠DBE .7.[2019湖北孝感孝南区期末，难]如图，已知180BAD ADC ∠+∠=︒，AE 平分∠BAD ，CD 与AE 相交于点F ，DG 交BC 的延长线于点G ，CFE AEB ∠=∠.（1）若87B ∠=︒，求∠DCG 的度数；（2）AD 与BC 是什么位置关系？并说明理由；（3）若BAD α∠=，DGC β∠=，直接写出α，β满足什么数量关系时，AE//DG .7.【解】（1）∵180BAD ADC ∠+∠=︒，∴AB//CD ，∴87DCG B ∠=∠=︒.（2）AD//BC .理由如下：∵AB//CD ，∴BAF CFE ∠=∠，又∵AE 平分∠BAD ，∴BAF FAD ∠=∠，∴DAF CFE ∠=∠.∵CFE AEB ∠=∠，∴DAF AEB =∠，∴AD//BC .（3）当2αβ=时，AE//DG .理由如下：∵AD//BC ，∴DAF AEB ∠=∠.∵AE 平分∠BAD ，∴22BAD DAF AEB ∠=∠=∠.当AE//DG 时，AEB DGC ∠=∠，∴2BAD DGC ∠=∠，∴2αβ=.专题2 平行线的性质与判定中常用的辅助线刷难关类型1 过“拐点”作平行线1.[2018河南洛阳模拟]如图所示，AB//EF ，35B ∠=︒，25E ∠=︒，则C D ∠+∠的值为________.1.240° 【解析】如图所示，过点C 作CG//AB ，过点D 作DH //EF .∵AB//EF ，∴AB//EF //CG//DH ，∴135B ∠=∠=︒，225E ∠=∠=︒，180GCD HDC ∠+∠=︒.∴3518025240BCD CDE ∠+∠=︒+︒+︒=︒，即C D ∠+∠的值为240°.2.[2019山东枣庄校级期末]一个小区大门的栏杆如图所示，BA 垂直于地面AE 于点A ，CD 平行于地面AE ，那么ABC BCD ∠+∠=________.2.270° 【解析】如图，过点B 作BH //AE .∵CD//AE ，∴CD//BH //AE ，∴180C CBH ∠+∠=︒.∵AB AE ⊥，∴90BAE ∠=︒，∴90ABH ∠=︒，∴18090270ABC BCD ∠+∠=︒+︒=︒.3.[2019上海浦东新区期中]如图，直线l 与直线m 平行，167∠=︒，225∠=︒，则3∠=________.3.42° 【解析】如图，过∠3的顶点作直线a//直线l .∵直线l 与直线m 平行，∴l//m//a .∵167∠=︒，∴43167∠+∠=∠=︒.∵225∠=︒，∴4225∠=∠=︒，∴367442∠=︒-∠=︒.4.如图，已知AB//DE ，80B ∠=︒，140D ∠=︒，求∠BCD 的度数.4.【解】如图，过点C 作GH //DE .∵GH //DE ，∴180DCH D ∠+∠=︒（两直线平行，同旁内角互补）.∵140D ∠=︒，∴18040DCH D ∠=︒-∠=︒.又∵AB//DE ，∴AB//GH （平行公理的推论），∴80BCH B ∠=∠=︒（两直线平行，内错角相等），∴40BCD BCH DCH ∠=∠-∠=︒.5.[难]已知，直线AB//CD ，点P 为平面内一点，连接AP 与CP .（1）如图（1），点P 在直线AB ，CD 之间，当60BAP ∠=︒，20DCP ∠=︒时，求∠APC 的度数.（2）如图（2），点P 在直线AB ，CD 之间，∠BAP 与∠DCP 的平分线相交于点K ，写出∠AKC 与∠APC 之间的数量关系，并说明理由.（3）如图（3），点P 在CD 下方，∠BAP 与∠DCP 的平分线相交于点K ，∠AKC 与∠APC 有何数量关系？并说明理由.5.【解】（1）如图（1），过点P 作PE//AB .∵AB//CD ，∴PE//AB//CD .∴APE BAP ∠=∠，CPE DCP ∠=∠.∴602080APC APE CPE BAP DCP ∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒.（2）12AKC APC ∠=∠.理由如下： 如图（2），过点K 作KE//AB .∵AB//CD ，∴KE//AB//CD ，∴AKE BAK ∠=∠，CKE DCK ∠=∠，∴AKC AKE CKE BAK DCK ∠=∠+∠=∠+∠.过点P 作PF //AB .同理可得APC BAP DCP ∠=∠+∠.∵∠BAP 与∠DCP 的平分线相交于点K ， ∴()11112222BAK DCK BAP DCP BAP DCP APC ∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠，∴12AKC APC ∠=∠. （3）12AKC APC ∠=∠.理由如下： 如图（3），过点K 作KE//AB .∵AB//CD ，∴KE//AB//CD ，∴BAK AKE ∠=∠，DCK CKE ∠=∠，∴AKC AKE CKE BAK DCK ∠=∠-∠=∠-∠.过点P 作PF //AB .同理可得APC BAP DCP ∠=∠-∠.∵∠BAP 与∠DCP 的平分线相交于点K ， ∴()11112222BAK DCK BAP DCP BAP DCP APC ∠-∠=∠-∠=∠-∠=∠， ∴12AKC APC ∠=∠.类型2 连接两点或延长线段使相交6.如图，AB//CD ，ABF DCE ∠=∠.求证：BFE FEC ∠=∠.6.【证明】如图，延长BF 交DC 的延长线于点H .∵AB//CD ，∴ABF H ∠=∠.∵ABF DCE ∠=∠，∴H DCE ∠=∠，∴BH //CE ，∴BFE FEC ∠=∠.7.如图所示，已知CD//EF ，12ABC ∠+∠=∠，试判断AB 与GF 的位置关系，并说明理由.7.【解】AB//GF .理由如下：如图，作CK//FG ，延长GF ，CD 交于点H .∵CK//FG ，∴2180H BCK ∠+∠+∠=︒，∵CD//EF ，∴1H ∠=∠.又∵12ABC ∠+∠=∠，∴180ABC BCK ∠+∠=︒，∴AB//CK .∵GF//CK ，∴AB//GF .5.4 平移知识过关 全理解知识点1 平移的定义1.定义：把一个图形整体沿某一□1 方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移. 2.平移的条件：决定平移的条件是平移的□2 和平移的□3 . 如图，△ABC 沿射线BC 的方向移动BD 长可得到△FDE ，△ABC 的这种位置变换就是平移.④说明知识点2 平移的性质1.图形平移后会得到一个新的图形，新图形与原图形的□4 和□5 完全相同. 2.新图形和原图形中的对应线段□6 （或在□7 ）且□8 ，对应角相等.连接各组对应点的线段□9 （或在□10 ）且□11 . 如图，△ABC 经过平移得到A B C '''△，其中A '与A ，B '与B ，C '与C 都是对应点，AB 与A B ''，AC 与A C ''，BC 与B C ''都是对应线段，而AA '，BB '，CC '是连接各组对应点得到的线段，∠A 与A '∠，∠B 与B '∠，∠C 与C '∠都是对应角.根据平移的性质，得AB 与A B ''平行且相等，AC 与A C ''平行且相等，BC 与B C ''在同一条直线上且相等.AA '与BB '平行且相等，AA '与CC '平行且相等，BB '与CC '在同一条直线上且相等，另外，还有B B '∠=∠等.④注意1知识点3 平移作图平移作图的四个步骤一“定”：确定平移的方向和距离；二“找”：找出原图形中的关键点；三“移”：过关键点作平行或在同一条直线上且相等的线段，得到关键点平移后的对应点；四“连”：按原图形顺序依次连接各个对应点，得到的图形即为平移后的图形.''''，图（2）即为所作的图形. 注如图（1），将A点移到A'点，作出四边形ABCD平移后得到的四边形A B C D意2答案□1直线□2方向□3距离□4形状□5大小□6平行□7同一条直线上□8相等□9平行□10同一条直线上□11相等敲黑板划重点说明（1）平移是图形的基本变换，要弄清一个平移变换，首先要弄清平移的方向，它可以向上、下、左、右移动，也可以斜向移动，但不能转动，即图形的“朝向”不能变；其次要弄清平移的距离，就是新图形与原图形对应点连线的长度.（2）平移时图形的所有点的移动方向一致，并且移动的距离相等，所以确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离.（3）平移与平行有关，平移可以将一个角、一条线段、一个图形平移到另一个位置，使分散的条件集中到一个图形上，便于解决问题.注意1 （1）“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的区别：前者是原图形上的点与平移后的图形上的点连接而成的，而后者是原图形上的线段与平移后的图形上的线段的对应关系.（2）“连接各组对应点的线段”与“对应线段”的联系：二者都平行（或在同一条直线上）且相等.注意2 （1）平移的性质是平移作图的依据.（2）在平移过程中，要注意平移的方向和距离要符合要求.（3）在平移过程中，对应点连线一定要平行（或在同一条直线上）且相等.（4）利用平移设计图案时，首先要确定基本图案，然后通过连续平移基本图案得到组合图案.5.4 平移刷基础题型1 平移的定义1.[2019广东广州越秀区校级期中]在下列生活现象中，不是平移的是（）A.小亮荡秋千的运动B.拉开抽屉的运动C.站在运行的电梯上的人D.坐在直线行驶的列车上的乘客1.A【解析】小亮在荡秋千的运动过程中，方向不断发生变化，根据平移的性质，可知A选项不是平移运动.故选A.2.[2019吉林长春南关区校级月考]下图属于平移位置变换的是（）A. B. C. D.2.A 【解析】根据平移的性质，可知A 选项正确.3.[2018河南洛阳洛龙区期中]下列图案中可以看作是由图案自身的一部分经过平移后得到的是（ ）A. B. C. D.3.A 【解析】观察图案可知，选项A 的图案是由自身的一部分沿着直线运动而得到的，因此可以由平移得到，故选A.题型2 平移的性质4.[2018江苏宜兴期中]如图，将△ABC 沿BC 方向平移3cm 得到△DEF ，若△ABC 的周长为20 cm ，则四边形ABFD 的周长为（ ）A.20 cmB.22 cmC.24 cmD.26 cm4.D 【解析】由于平移不改变图形的形状和大小，而四边形ABFD 的周长只比△ABC 的周长多出平移距离的2倍（即多出AD CF +的长），∵△ABC 的周长为20 cm ，3cm AD CF ==，∴四边形ABFD 的周长为26 cm.故选D.5.如图，两个形状、大小完全相同的直角三角形重叠在一起，将直角三角形ABC 沿着BC 方向平移到直角三角形DEF 的位置.已知5AB =，2DO =，平移距离为3，则阴影部分的面积为（ ）A.12B.24C.21D.20.55.A 【解析】由直角三角形ABC 沿BC 方向平移到直角三角形DEF 的位置，可知ABC DEF S S =△△，OEC OEC ABEO S S S S +=+△△阴影部分梯形，∴()15253122ABEO S S ==⨯-+⨯=阴影部分梯形.6.如图，在三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，4cm AC =，3cm BC =，将三角形ABC 沿AB 方向向右平移得到三角形DEF ，若8cm AE =，2cm DB =.（1）求AD 的长；（2）求四边形AEFC 的周长.6.【解】（1）∵三角形ABC 沿AB 方向向右平移得到三角形DEF ，∴AD BE CF ==，3cm BC EF ==.∵8cm AE =，2cm DB =，∴()cm 8232AD BE CF -====. （2）四边形AEFC 的周长为()83cm 3418AE EF CF AC +++=+++=.题型3 平移作图7.如图，在106⨯的网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，将三角形ABC 平移到三角形DEF 的位置，下面平移步骤正确的是（ ）A.先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度B.先向右平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度C.先向左平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度D.先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度7.A 【解析】根据网格结构，观察对应点A ，D ，点A 先向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度即可到达点D ，所以平移步骤是先把三角形ABC 向左平移5个单位长度，再向下平移2个单位长度.故选A.8.如图，在方格纸中，每个小正方形的边长均为1个单位长度有一个三角形ABC ，它的三个顶点均与小正方形的顶点重合.（1）将三角形ABC 向右平移3个单位长度，得到三角形DEF （A 与D ，B 与E ，C 与F 对应），请在方格纸中画出三角形DEF ；（2）在（1）的条件下，连接AE 和CE ，请直接算出三角形ACE 的面积S ，并判断点B 是否在AE 边上.8.【解】（1）如图所示.（2）由图可知，11154412425202459222S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=---=. 根据图形可知，点B 不在AE 边上.刷提升1.[2018福建龙岩新罗区校级期中]将图中所示的图案平移后得到的图案是（ ）A. B. C. D.1.C 【解析】图案平移后得到的图案一定与原图案完全相同，图案的朝向也一定相同，观察可知C 选项的图案可以由已知图案通过平移得到.故选C.2.如图，△ABC 沿着BC 方向平移得到A B C '''△，点P 是直线AA '上任意一点.若△ABC ，PB C ''△的面积分别为1S ，2S ，则下列关系正确的是（ ）A.12S S >B.12S S <C.12S S =D.122S S =2.C 【解析】∵△ABC 沿着BC 方向平移得到A B C '''△,∴AA //BC ''，∵点P 是直线AA '上任意一点，∴△ABC 与PB C ''△等底等高，∴12S S =，故选C.3.如图，将面积为5的△ABC 沿BC 方向平移至△DEF 的位置，平移的距离是边BC 长的2倍，则图中的四边形ACED 的面积为（ ）A.5B.10C.15D.203.C 【解析】设点A 到BC 的距离为h ，则152ABC S BC h =⋅=△.∵△ABC 沿BC 方向平移的距离是边BC 长的2倍，∴2BE AD CF BC ===，AD//BF ，∴CE BC =，∴四边形ACED 的面积为()()11222CE AD h BC BC h +=+=1335152BC h ⨯⋅=⨯=.故选C.4.[2019河南舞钢期中]如图，在Rt △ABC 中，90BAC ∠=︒，3cm AB =，4cm AC =，把△ABC 沿着直线BC 的方向平移2.5 cm 后得到△DEF ，连接AE ，AD ，有以下结论：①AC//DF ；②AD//BE ；③ 2.5cm CF =；④DE AC ⊥.其中正确的结论有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个4.D【解析】∵△ABC沿着直线BC的方向平移2.5 cm后得到△DEF，∴AB//DE，AC//DF，AD//CF，∠=︒，∴BA ACBAC⊥，故④正确.故选D.⊥，∴DE ACCF AD2.5cm==，故①②③正确.又∵905.将自己的双手手掌印按在同一张纸上，两个手掌印________（填“能”或“不能”）通过平移完全重合在一起. 5.不能【解析】两个手掌印形状、大小相同，方向不同，不能通过平移重合在一起.6.如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC'=________.6.5【解析】由题意，三角板向右平移了1055CC'=.-=（个）单位长度，则顶点C平移的距离57.如图所示，由三角形ABC平移得到的三角形有________个（不包括三角形ABC）.7.5【解析】如图，由三角形ABC平移得到的三角形有5个：三角形DEB、三角形BIH、三角形FGE、三角形EMI、三角形INP.8.下面的图形是由一个基本图案利用平移方法得到的，请你在横线上画出这个基本图案：________.8.【解析】因为平移与方向有关，所以不能单纯用一个“”或“”作基本图案.9.[2018河南平顶山叶县期中]根据平移的知识可得图中的封闭图形的周长（图中所有角都是直角）为________.9.16【解析】如图所示，由平移的性质，知封闭图形的周长可转化为长为5，宽为3的长方形的周长，即周长是()⨯+=.2531610.如图，直线l 上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较大锐角的度数为60°.将三角板ECD 沿直线l 向左平移到如图所示的位置，使点E 落在AB 上，即点E '，点P 为AC 与E D ''的交点.（1）求CPD '∠的度数；（2）求证：AB E D ''⊥.10.（1）【解】由平移的性质知DE//D E ''，则60CPD CED '∠=∠=︒.（2）【证明】由平移的性质知CE//C E ''，60CED C E D '''∠=∠=︒，30BE C A ''∠=∠=︒.∴90BE D ''∠=︒.∴AB E D ''⊥.11.[2019河北石家庄行唐期末]如图，已知直线AB//CD ，100A C ∠=∠=︒，E ，F 在CD 上，且满足DBF ABD ∠=∠，BE 平分∠CBF .（1）直线AD 与BC 有何位置关系？请说明理由；（2）求∠DBE 的度数；（3）若平行移动AD ，在平行移动AD 的过程中，是否存在某种情况，使BEC ADB ∠=∠？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由.11.【解】（1）AD//BC .理由如下：∵AB//CD ，∴180A ADC ∠+∠=︒.又∵A C ∠=∠，∴180ADC C ∠+∠=︒.∴AD//BC .（2）∵AB//CD ，100C ∠=︒，∴18080ABC C ∠=︒-∠=︒.∵DBF ABD ∠=∠，BE 平分∠CBF ， ∴11140222DBE ABF CBF ABC ∠=∠+∠=∠=︒. （3）存在，60BEC ADB ∠=∠=︒.理由如下：设ABD DBF BDC x ∠=∠=∠=.∵AB//CD ，∴40BEC ABE x ∠=∠=+︒，18080ADC A ∠=︒-∠=︒.∴80ADB x ∠=︒-.若BEC ADB ∠=∠，则4080x x +︒=︒-，解得20x =︒.∴存在，60BEC ADB ∠=∠=︒.全章综合训练刷中考1.[2019山东济南中考]如图，DE//BC ，BE 平分∠ABC ，若170∠=︒，则∠CBE 的度数为（ ）A.20°B.35°C.55°D.70°1.B 【解析】∵DE//BC ，∴170ABC ∠=∠=︒.∵BE 平分∠ABC ，∴1352CBE ABC ∠=∠=︒.故选B.2.[2018湖南郴州中考]如图，直线a ，b 被直线c 所截，下列条件中，不能判定a//b 的是（ ）A.24∠=∠B.14180∠+∠=︒C.54∠=∠D.13∠=∠2.D 【解析】由24∠=∠或14180∠+∠=︒或54∠=∠，可得a//b ；由13∠=∠，不能得到a//b .故选D.3.[2019贵州毕节中考]如图，在△ABC 中，CD 是AB 边上的高，CM 是AB 边上的中线，点C 到边AB 所在直线的距离是（ ）A.线段CA 的长度B.线段CM 的长度C.线段CD 的长度D.线段CB 的长度3.C 【解析】点C 到边AB 所在直线的距离是点C 到直线AB 的垂线段的长度，而CD 是点C 到直线AB 的垂线段，故选C.4.[2019辽宁抚顺中考]将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，点D 在BC 的延长线上，EF //BC ，90B EDF ∠=∠=︒，30A ∠=︒，45F ∠=，则∠CED 的度数是（ ）A.15°B.25°C.45°D.60°4.A 【解析】根据题意，得60ACB ∠=︒，45DEF ∠=︒.∵EF //BC ，∴60CEF ACB ∠=∠=︒，∴CED CEF ∠=∠-604515DEF ∠=︒-︒=︒.故选A.5.[2019广东深圳中考]如图，已知1l //AB ，AC 为角平分线，下列说法错误的是（ ）A.14∠=∠B.15∠=∠C.23∠=∠D.13∠=∠5.B 【解析】∵1l //AB ，∴24∠=∠，32∠=∠，512∠=∠+∠.∵AC 为角平分线，∴1243∠=∠=∠=∠，521∠=∠.故选B.6.[2018河南中考]如图，直线AB ，CD 相交于点O ，EO AB ⊥于点O ，50EOD ∠=︒，则∠BOC 的度数为________.6.140° 【解析】∵直线AB ，CD 相交于点O ，EO AB ⊥于点O ，∴90EOB ∠=︒.∵50EOD ∠=︒，∴40BOD ∠=︒，则∠BOC 的度数为18040140︒-︒=︒.7.[2018湖南湘潭中考]如图，点E 是AD 延长线上一点，如果添加一个条件，使BC//AD ，则可添加的条件为________________.（任意添加一个符合题意的条件）7.（答案不唯一）180A ABC ∠+∠=︒ 【解析】若180A ABC ∠+∠=︒，则BC//AD ，本题答案不唯一.8.[2019四川绵阳中考]如图，AB//CD ，∠ABD 的平分线与∠BDC 的平分线交于点E ，则12∠+∠=________.8.90°【解析】∵AB//CD，∴180ABD BDC∠+∠=︒.∵BE是∠ABD的平分线，∴112ABD∠=∠.∵DE是∠BDC的平分线，∴122BDC∠=∠，∴1290∠+∠=︒.9.[2018江苏南通中考]如图，40AOB∠=︒，OP平分∠AOB，点C为射线OP上一点，作CD OA⊥于点D.在∠POB 的内部作CE//OB，则DCE∠=________.9.130°【解析】∵40AOB∠=︒，OP平分∠AOB，∴20AOC BOC∠=∠=︒.又∵CD OA⊥于点D，∴90ODC∠=︒.∵180DOC ODC DCO∠+∠+∠=︒，180DCO DCP∠+∠=︒，∴70DCO∠=︒，∴110DCP∠=︒.∵CE//OB，∴20PCE POB∠=∠=︒，∴11020130DCE DCP PCE∠=∠+∠=︒+︒=︒.10.[2018重庆中考]如图，AB//CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD.若90EFG∠=︒，35E∠=︒，求∠EFB的度数.10.【解】∵90EFG∠=︒，35E∠=︒，∴18055FGH EFG E∠=︒-∠-∠=︒.∵GE平分∠FGD，AB//CD，∴55FHG HGD FGH∠=∠=∠=︒.∵180FHG FHE∠+∠=︒，∴125FHE∠=︒.又∵180EFH EHF E∠+∠+∠=︒，∴1801253520EFH∠=︒-︒-︒=︒.11.[2019湖北武汉中考]如图，点A，B，C，D在一条直线上，CE与BF交于点G，1A∠=∠，CE//DF，求证：E F∠=∠.11.【证明】∵CE//DF，∴ACE D∠=∠.∵1A∠=∠，∴1801801ACE A D︒-∠-∠=︒-∠-∠.又∵180E ACE A∠=︒-∠-∠，1801F D∠=︒-∠-∠，∴E F∠=∠.刷章测1.若∠A与∠B是对顶角且互补，则它们两边所在的直线（）A.互相垂直B.互相平行C.既不垂直也不平行D.不能确定1.A【解析】∵∠A与∠B是对顶角，∴A B∠=∠.又∵∠A与∠B互补，∴180A B∠=∠=︒.∠+∠=︒，∴90A B故选A.2.如图所示，以下几种说法中正确的个数是（）①∠3和∠4是同位角；②∠6和∠7是同位角；③∠4和∠5是内错角；④∠2和∠5是同旁内角；⑤∠2和∠7是同位角；⑥∠1和∠2是同位角.A.3B.4C.5D.62.B【解析】由“三线八角的概念及图形，可知正确的是①③④⑥，共4个.故选B.3.如图，在66⨯方格中有两个涂有阴影的图形M、N，每个小正方形的边长都是1个单位长度，图（1）中的图形M 平移后位置如图（2）所示，以下对图形M的平移方法叙述正确的是（）A.先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度B.先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度C.先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度D.先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度3.B【解析】由题图（1）可知，图M先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，可得题图（2），故选B.4.下列命题不正确的是（）A.若两个相等的角有一边平行，则另一边也互相平行B.两条直线相交，所成的两组对顶角的平分线互相垂直C.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直D.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行4.A【解析】若两个相等的角有一边平行，则另一边互相平行或相交，故A不正确，应选A.5.[2018山东菏泽牡丹区模拟]如图所示，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF，若20∠的度数为（）∠=︒，则EFC'ABEA.115B.120°C.125°D.130°。
初中数学：5.3.2 命题、定理、证明(人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线)
5．3平行线的性质5．3.2命题、定理、证明1．理解命题的概念，能区分命题的条件和结论，并把命题写成“如果……那么……”的形式；(重点)2．了解真命题和假命题的概念，能判断一个命题的真假性，并会对命题举反例．(难点)一、情境导入2015年10月，屠呦呦因发现青蒿素治疗疟疾的新疗法获诺贝尔生理学或医学奖．屠呦呦是第一位获得诺贝尔科学奖项的中国本土科学家、第一位获得诺贝尔生理医学奖的华人科学家．青蒿素是从植物黄花蒿茎叶中提取的有过氧基团的倍半萜内酯药物．其对鼠疟原虫红内期超微结构的影响，主要是疟原虫膜系结构的改变，该药首先作用于食物泡膜、表膜、线粒体、内质网，此外对核内染色质也有一定的影响．青蒿素的作用方式主要是干扰表膜－线粒体的功能．可能是青蒿素作用于食物泡膜，从而阻断了营养摄取的最早阶段，使疟原虫较快出现氨基酸饥饿，迅速形成自噬泡，并不断排出虫体外，使疟原虫损失大量胞浆而死亡．要读懂这段报道，你认为要知道哪些名称和术语的含义？二、合作探究探究点一：命题的定义与结构【类型一】命题的判断下列语句中，不是命题的是()A．两点之间线段最短B．对顶角相等C．不是对顶角不相等D．过直线AB外一点P作直线AB的垂线解析：根据命题的定义，看其中哪些选项是判断句，其中只有D选项不是判断句．故选D.方法总结：①命题必须是一个完整的句子，而且必须做出肯定或否定的判断．疑问句、感叹句、作图过程的叙述都不是命题；②命题常见的关键词有“是”“不是”“相等”“不相等”“如果……那么……”．【类型二】把命题写成“如果……那么……”的形式把下列命题写成“如果……那么……”的形式．(1)内错角相等，两直线平行；(2)等角的余角相等．解：(1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；(2)如果两个角是相等的角，那么它们的余角相等．方法总结：把命题写成“如果……那么……”的形式时，应添加适当的词语，使语句通顺．【类型三】命题的条件和结论写出命题“平行于同一条直线的两条直线平行”的条件和结论．解析：先把命题写成“如果……那么……”的形式，再确定条件和结论．解：把命题写成“如果……那么……”的形式：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．所以命题的条件是“两条直线都与第三条直线平行”，结论是“这两条直线也互相平行”．方法总结：每一个命题都一定能用“如果……那么……”的形式来叙述．在“如果”后面的部分是“条件”，在“那么”后面的部分是“结论”．探究点二：真命题与假命题下列命题中，是真命题的是()A．若a·b＞0，则a＞0，b＞0B．若a·b＜0，则a＜0，b＜0C．若a·b＝0，则a＝0且b＝0D．若a·b＝0，则a＝0或b＝0解析：选项A中，a·b＞0可得a、b同号，可能同为正，也可能同为负，是假命题；选项B中，a·b＜0可得a、b异号，所以错误，是假命题；选项C中，a·b＝0可得a、b 中必有一个字母的值为0，但不一定同时为零，是假命题；选项D中，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或二者同时为0，是真命题．故选D.方法总结：判断一个命题是真命题还是假命题，就是判断一个命题是否正确，即由条件能否得出结论．如果命题正确，就是真命题；如果命题不正确，就是假命题．探究点三：证明与举反例 【类型一】 命题的证明求证：两条直线平行，一组内错角的平分线互相平行．解析：按证明与图形有关的命题的一般步骤进行．要证明两条直线平行，可根据平行线的判定方法来证明．解：如图，已知AB ∥CD ，直线AB ，CD 被直线MN 所截，交点分别为P ，Q ，PG 平分∠BPQ ，QH 平分∠CQP ，求证：PG ∥HQ .证明：∵AB ∥CD (已知)，∴∠BPQ ＝∠CQP (两直线平行，内错角相等)．又∵PG 平分∠BPQ ，QH 平分∠CQP (已知)，∴∠GPQ ＝12∠BPQ ，∠HQP ＝12∠CQP (角平分线的定义)， ∴∠GPQ ＝∠HQP (等量代换)，∴PG ∥HQ (内错角相等，两直线平行)．方法总结：证明与图形有关的命题时，正确分清命题的条件和结论是证明的关键．应先结合题意画出图形，再根据图形写出已知与求证，然后进行证明．【类型二】 举反例举反例说明下列命题是假命题．(1)若两个角不是对顶角，则这两个角不相等；(2)若ab ＝0，则a ＋b ＝0.解析：分清题目的条件和结论，所举的例子满足条件但不满足结论即可．解：(1)两条直线平行形成的内错角，这两个角不是对顶角，但是它们相等；(2)当a ＝5，b ＝0时，ab ＝0，但a ＋b ≠0.方法总结：举反例时，所举的例子应当满足题目的条件，但不满足题目的结论．举反例时常见的几种错误：①所举例子满足题目的条件，也满足题目的结论；②所举例子不满足题目的条件，但满足题目的结论；③所举例子不满足题目的条件，也不满足题目的结论．三、板书设计命题⎩⎪⎨⎪⎧概念结构真、假命题证明与举反例本节课通过命题及其证明的学习，让学生感受到要说明一个定理成立，应当证明；要说明一个命题是假命题，可以举反例．同时让学生感受到数学的严谨，初步养成学生言之有理、落笔有据的推理习惯，发展初步的演绎推理能力.。
5.3.2命题、定理、证明
2：判断下列命题的真假。真的用“√”， 假的用“× 表示。
1）互为邻补角的两个角的平分线互相垂直（ √ ） 2）一个角的补角大于这个角（ × ） 3）相等的两个角是对顶角（ × ） 4）两点可以确定一条直线（ √ ） 5）若A=B，则2A = 2B（ √ ） 6）锐角和钝角互为补角（ × ） 7）两点之间线段最短（ √ ） 8）同角的余角相等（√ ） 9）同旁内角互补（ × ）
如命题：“如果一个数能被4整除，那么它也能被 2整除”就是一个正确的命题。 如命题：“如果两个角互补，那么它们是邻补角” 就是一个错误的命题。
4.正确的命题叫真命题，错误的命题 叫假命题。
确定一个命题真假的方法： 利用已有的知识，通
过观察、验证、推理、 举反例等方法。
例将下列的命题写成“如果…..，那么 .….. ”的形式，并判断它的真假。
5.3.2 命题、定理、证明
1.定义：判断一件事情的语句叫做命题。
注意： （1）、只要对一件事情作出了判断， 不管正确与否，都是命题。
如：相等的角是对顶角。 （2）、如果一个句子没有对某一件事 情作出任何判断，那么它就不是命 题。 如：画线段AB=CD。
例：判断下列五个语句中，哪个是 命题， 哪个不是命题？并说明理由：
如图，已知直线b∥c，a⊥b，求证a⊥c
证明：∵a⊥b（已知） b ∴∠1=90°（垂直的定义） 又∵ b∥c（已知） 1 ∴∠1=∠2（两直线平行， 同位角相等） ∴ ∠1=∠2=90°（等量代换） ∴a⊥c（垂直的定义）
c
2
a
证明中每一步推理都要有根据， 不能“想当然”。这些根据，可以是 已知条件，也可以是学过的定义、 基本事实、定理等。
课堂小结
人教版初中数学七年级下册5.3.2《命题、定理、证明》教案
今天在教授《命题、定理、证明》这一章节时，我发现学生们对命题的概念接受得比较快，但是在理解定理和证明方法上遇到了一些困难。这让我意识到，虽然定理和证明在数学中非常重要，但它们的概念对学生来说可能比较抽象，需要更多的实际例证和练习来加深理解。
在讲解定理时，我尝试通过具体的例子来展示定理的形成和应用，但感觉效果并不如预期。我意识到，可能需要更多的生活实例或者图形辅助，让学生能够直观地感受到定理在解决问题时的作用。接下来，我会在准备教案时加入更多直观的教学素材，比如动画或者实物模型，以提高学生的兴趣和参与度。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解命题的基本概念。命题是可以判断真假的陈述句，它是数学逻辑推理的基础。定理则是经过严格证明的真命题，它在数学体系中扮演着重要的角色。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何通过已知的定理来证明一个新的命题，以及这个过程如何帮助我们解决实际问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调命题的结构和定理的应用这两个重点。对于难点部分，如证明方法的选择和使用，我会通过具体的例题和逐步解析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与命题、定理相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的证明练习。这个练习将演示如何运用所学的证明方法来证实一个命题的正确性。
人教版初中数学七年级下册5.3.2《命题、定理、证明》教案
一、教学内容
人教版初中数学七年级下册5.3.2《命题、定理、证明》教案：
1.理解命题的概念，能识别简单命题的结构。
2.学习定理的定义，了解定理在数学证明中的作用。
5.3.2命题、定理、证明
定理 真命题 命题
假命题
举出一个反__例__即可
概念 判断一件事情的语句
组成
_题__设___ _结__论___
如果 那么
1. 下列关于命题的描述中，正确的是 ( C )
A. 命题一定是正确的 B. 真命题一定是定理 C. 定理一定是真命题 D. 一个反例不足以说明一个命题为假命题
2. 命题“内错角相等”是真命题吗？若是，说出 理由，若不是，请举出反例. 答：不是真命题.必须是两直线平行，内错角相等.
(8)若 a<0,b>0,且 a b ，则a+b<0. √
2. 判断下列命题的真假.
(1) 同旁内角互补 (2) 一个角的补角大于这个角
(× ) (× )
(3) 相等的两个角是对顶角
(×)
(4) 两点可以确定一条直线
( √)
(5) 两点之间线段最短
(√)
(6) 同角的余角相等
( √)
(7) 互为邻补角的两个角的平分线互相垂直( √ )
命题 1：如果一个数能被 4 整除，那么它也能被 2 整除. 命题 2：如果两个角互补，那么它们是邻补角.
命题1 命题2
题设 成立 成立
结论 成立 不一定成立
总结 如果题设成立，那么结论一定成立，这样的
命题叫做真命题. 如果题设成立，不能保证结论一定成立，这
样的命题叫做假命题.
命题：相等的角是对顶角．
知识点3：定理与证明
公理 又称基本事实 真命题 线段公理：两点之间线段最短.
命题的分类
定理 经过推理证实 证明
补角的性质、余角的性质等.
假命题
一般举一个反例即可
b 例3 已知：b∥c，a⊥b．求证：a⊥c．
人教版数学七年级下册5.3.2命题、定理、证明优秀教学案例
3. 详细讲解证明的方法和步骤，包括直接证明、反证法和归纳法等，让学生掌握证明的基本方法。
4. 通过示例题目，演示如何运用命题、定理和证明的知识解决问题，让学生理解学习的实际意义。
（三）学生小组讨论
1. 将学生分成小组，每组选择一个定理进行证明，并用自己的语言解释证明的每一步。
这些亮点体现了本节课在教学设计、教学方法和教学评价等方面的优秀之处，有助于提高学生的学习兴趣、培养学生的思维能力和团队合作能力，促进学生的全面发展。同时，这些亮点也是我作为特级教师在教学实践中不断探索和尝试的结果，希望能够为其他教师提供一定的借鉴和参考。
4. 总结归纳环节：在课程结束时，引导学生回顾和总结所学内容，帮助学生巩固知识，提高学生的记忆和理解能力。总结归纳环节能够使学生对学习内容有一个清晰的认识，增强学生对知识的系统性和整体性的理解。
5. 作业小结环节：布置与课程内容相关的作业，要求学生运用所学知识解决问题，培养学生的应用能力和实践能力。作业小结环节能够及时巩固所学知识，帮助学生检验自己的学习效果，同时也为教师提供了了解学生学习情况的机会，为下一步的教学提供参考。
3. 设计一些评估题目，检验学生对命题、定理和证明的掌握程度，及时发现和纠正学生的错误。
4. 注重对学生的形成性评价，关注学生的进步和努力，激发学生的学习动力和自信心。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1. 利用生活实例引入命题的概念，例如：“如果今天是星期五，那么学校放假。”引导学生理解命题由题设和结论两部分组成。
2. 强调定理证明的重要性，以及定理证明在数学中的应用，使学生认识到学习定理证明的意义。
3. 总结学生在小组讨论中的表现，对学生的学习成果进行肯定和鼓励，激发学生的学习动力。
人教版数学七年级下册5.3.2《命题、定理、证明》教学设计4
人教版数学七年级下册5.3.2《命题、定理、证明》教学设计4一. 教材分析《人教版数学七年级下册5.3.2命题、定理、证明》这一节主要介绍命题、定理和证明的概念。
通过本节课的学习，学生能够理解命题、定理和证明的定义，掌握判断命题真假的方法，了解证明的两种方法——演绎法和归纳法，并能够运用这些知识解决实际问题。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了基本的数学运算能力和逻辑思维能力，但对命题、定理和证明的概念接触较少。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出命题、定理和证明的概念，并通过实例让学生理解和掌握这些概念。
三. 教学目标1.了解命题、定理和证明的概念。
2.掌握判断命题真假的方法。
3.掌握证明的两种方法——演绎法和归纳法。
4.能够运用命题、定理和证明的知识解决实际问题。
四. 教学重难点1.重点：命题、定理和证明的概念，判断命题真假的方法，证明的两种方法。
2.难点：证明的两种方法——演绎法和归纳法的理解和运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题引入命题、定理和证明的概念。
2.实例教学法：通过具体的实例让学生理解和掌握命题、定理和证明的概念。
3.小组讨论法：引导学生分组讨论，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
4.教学反馈法：通过提问、练习等方式及时了解学生的学习情况，调整教学进度和方法。
六. 教学准备1.教学PPT：制作含有命题、定理和证明的实例的PPT。
2.练习题：准备一些判断命题真假和运用证明方法的练习题。
3.教学素材：准备一些实际问题作为教学素材。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入命题、定理和证明的概念。
例如：在三角形中，如果一个角是直角，那么它的两条边分别是斜边。
这个命题是如何判断真假的？如何用数学语言来表达这个命题？2.呈现（10分钟）介绍命题、定理和证明的定义。
命题是判断某个陈述真假的语句，定理是被证明为真的命题，证明是用逻辑推理的方法来证明定理的过程。
人教版七年级数学下册5.3.2命题、定理、证明教学设计
a.证明：三角形的内角和等于180度。
b.证明：对角线相等的平行四边形是矩形。
c.证明：圆的任意直径垂直于圆的切线。
3.结合生活实际，自行设计一个包含命题、定理和证明的数学问题，并用所学的知识进行解答。要求问题具有一定的挑战性，能够体现学生对几何知识的综合运用。
4.强调证明过程中需要注意的问题，如逻辑严密、步骤清晰等。
（三）学生小组讨论
1.将学生分成若干小组，每组分配一个几何问题，要求学生运用所学的定理和证明方法解决问题。
2.学生在小组内展开讨论，共同探讨解决问题的方法，教师巡回指导，给予提示和帮助。
3.各小组汇报讨论成果，分享解题过程和经验，其他小组进行评价和补充。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生严谨、细致的学习态度，使学生认识到数学的严密性和逻辑性。
2.增强学生对数学美的感知，激发学生对数学学科的兴趣和热爱。
3.培养学生勇于探索、善于思考的品质，使学生体验到数学探究的乐趣。
4.引导学生将所学知识应用于实际生活，认识到数学在现实生活中的重要性，增强学生的社会责任感。
5.创设轻松愉快的学习氛围，鼓励学生提问、表达，激发学生的学习兴趣和积极性。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握命题的概念，能够正确判断命题的真假。
2.熟悉基本的几何定理，并能运用定理解决实际问题。
3.学会运用逻辑推理进行证明，提高学生的逻辑思维能力。
4.能够将所学知识综合运用，解决复杂的几何问题。
（二）教学设想
1.创设情境，引入命题概念
-利用生活实例，如“两点之间线段最短”，引导学生理解命题的概念，并学会判断命题的真假。