最短路径问题PPT课件

C
Q 山
河岸
P
A
大桥
B
由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线 段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为 一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最 小”． 同问题2是一种类型，自己在练习本上独立完成
C
Q 山
河岸
P
A
大桥
从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然 后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程 最短？
B A
lห้องสมุดไป่ตู้
将A，B 两地抽象为两个点，将河流l 抽象为一条直 线．
·B A·
l
你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？
（1）从A 地出发，到河流l边 饮马，然后到B 地；
作业：
小练习册本节课内容
谢谢指导！
A
·
C′ C
B
·
l
B′
问题1 归纳
B A
l
解决实 际问题
B
A
C
l
B′
抽象为数学问题 用旧知解决新知
B
A
C
l
联想旧知
A
C
l
B
尝试应用：
1.如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建
一个水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中
实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ D ）
（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地 到饮马地点，再回到B 地的路程之和；
（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）．
AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′．
即 AC +BC 最短．
A
·
C′ C
B
·
l B′
思考：证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上 任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′ +BC′？这里的“C′”的作用是什么？
若直线l 上任意一点（与点 C 不重合）与A，B 两点的距离 和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小．
B
2.如图：A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵 出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到 帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。
新知1 运用轴对称解决距离最短问题
运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线 段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题 的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同 旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核 心，所有作法都相同.
的周长最小。
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上 造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径 AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥 要与河垂直。）
a
A
M
b
N
B
问题2：你能证明一下如果在不同于 MN的位置造桥M/N/，距离是怎样的， 能证明我们的做法AM+MN+NB的和是 最短距离吗？试一下。
A A′
M N
a b
B
A A′
问题2
a M′ M
N′
N
B
证明:取不同于,M，N的另外两
点M/，N/
b 由于M/N/=MN=AA/； 由平移的性质可知： AM=A/N,AM/=A/N/ 又根据“两点之间，线段最 短”可知A/N/+N/B>A/B 所以，AM/+N/B＞AM+NB, 所以，AM/+N/B+M/N/>
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小呢？
思考1：如何将点B转“移”
到l 的另一侧B′处，满足直线l A 上的任意一点C，都保持CB 与 · CB′的长度相等？
B
·
l
思考2：你能利用轴对称的 有关知识，找到上问中符合条 件的点B′吗？
Q
Q
P
P
MA
l Q
P
M
l
C
B
M Q
l
P
M
l
D
变式1：已知直线m、l和点B，在直线m、l上分
别取点A、点C，使点B到点C再到点A的距离之 和最小。
变式2：如图，有两条直线m、l和一点B，在直 线m、l上分别取点A、点C，使△BAC的周长最
小。
变式3：如图，有两条直线m、l和点B、点D，在 直线m、l上分别取点A、点C，使四边形DACB
A
·
l C
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不
重合），连接AC′，BC′，B′C′．
由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC
= AC +B′C = AB′， AC′+BC′
= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称
点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交
于点C． 则点C 即为所求．
B
·
A
·
l C
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ B
·
13.4最短路径问题
新课引入
我们把研究关于“两点之间，线 段最短” “垂线段最短”等问 题，称它们为最短路径问题.最 短路径问题在现实生活中经常碰 到，今天我们就通过几个实际问 题,具体体会如何运用所学知识 选择最短路径.
“将军饮马” --相传，古希腊亚历山大里亚城里有 一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专 程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：
AM+NB+MN.
问题3：还有其他的方法选两点M,N，使得 AM+MN+NB的和最小吗？试一试。
a
b
A
M
N
B
问题2 归纳
解决实 际问题
A
A'
M
a
b
N
B
抽象为数学问题 用旧知解决新知
A
Ma Nb
B
联想旧知
A
C
l
B
变式练习
• 变式4：如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处 前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往 河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最 短路径．