最短路径
最短路径和简单路径的关系
最短路径和简单路径的关系在这个信息爆炸的时代，最短路径和简单路径的概念可谓是我们的生活中不可或缺的部分。
说到最短路径，咱们首先得明白，最短路径就是在一个网络中，连接两个点的最直接、最有效的路线，听上去是不是很简单？想象一下，你要从家到公司，当然希望选一条不堵车的捷径，让你早早到达，喝上一杯咖啡，打个瞌睡，那才叫生活的乐趣呢！而简单路径呢，就是在连接这些点的过程中，尽量不走重复的路线，简单来说，就是不走回头路，不浪费时间。
1. 最短路径的魅力1.1 直奔主题最短路径的好处，大家都是心知肚明的。
就像一条顺畅的高速公路，直通目标，不费周章。
而且，找到这条最短路径，不仅能节省时间，还能节省资源。
想想，开车的时候，油耗可不是个小数目，走错了路，油表可就直线下降，心疼得很！而在生活中，找到最短路径，也能让你在复杂的选择中，理智而高效。
1.2 实际应用在现实生活中，最短路径的概念可广泛应用于很多场景。
比如，快递小哥为了在最短时间内送到你的包裹，会不断计算路线；又比如，GPS导航系统通过不断分析路况，为你推荐最佳路线。
这一切的一切，都是在追求那条最短的、最迅速的路径，让生活更加顺畅。
不过，这个“最短”可不是说一味地走近路，有时候，走一条小路可能会让你发现意想不到的风景。
2. 简单路径的意义2.1 避免重复简单路径的意义在于避免走冤屈路，就像生活中，很多时候我们需要做出选择，而这些选择可能会重叠，造成时间和精力的浪费。
走一条简单路径，能让我们更加专注于目标，心无旁骛。
比如，去商场买东西，如果你总是从同一个地方进出，不但浪费时间，还可能错过那些打折商品，岂不是得不偿失？2.2 生活中的应用在日常生活中，我们可以看到简单路径的身影。
比如，朋友聚会，总有些人喜欢绕圈圈，结果大家都等得不耐烦了；而有的人就会直接了当，提出一个简单明了的计划，大家一拍即合，分分钟搞定。
这种情况下，简单路径不仅提升了效率，还让大家的心情都好得多，像是阳光普照，心里暖暖的。
最短路径问题介绍
最短路径问题介绍全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：最短路径问题是指在一个带有边权的图中，寻找连接图中两个特定节点的最短路径的问题。
在实际生活中，最短路径问题广泛应用于交通运输、通信网络、物流配送等领域。
通过解决最短路径问题，可以使得资源的利用更加高效，节约时间和成本，提高运输效率，并且在紧急情况下可以迅速找到应急通道。
最短路径问题属于图论中的基础问题，通常通过图的表示方法可以简单地描述出这样一个问题。
图是由节点和边组成的集合，节点表示不同的位置或者对象，边表示节点之间的连接关系。
在最短路径问题中，每条边都有一个权重或者距离，表示从一个节点到另一个节点移动的代价。
最短路径即是在图中找到一条路径，使得该路径上的边权和最小。
在解决最短路径问题的过程中，存在着多种算法可以应用。
最著名的算法之一是Dijkstra算法，该算法由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra于1956年提出。
Dijkstra算法是一种贪心算法，用于解决单源最短路径问题，即从一个给定的起点到图中所有其他节点的最短路径。
该算法通过维护一个距离数组和一个集合来不断更新节点之间的最短距离，直到找到目标节点为止。
除了Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法外，还有一些其他与最短路径问题相关的算法和技术。
例如A*算法是一种启发式搜索算法，结合了BFS和Dijkstra算法的特点，对图中的节点进行评估和排序，以加速搜索过程。
Bellman-Ford算法是一种解决含有负权边的最短路径问题的算法，通过多次迭代来找到最短路径。
一些基于图神经网络的深度学习方法也被应用于最短路径问题的解决中，可以获得更快速和精确的路径搜索结果。
在实际应用中，最短路径问题可以通过计算机程序来实现，利用各种算法和数据结构来求解。
利用图的邻接矩阵或者邻接表来表示图的连接关系，再结合Dijkstra或者Floyd-Warshall算法来计算最短路径。
最短路径路由算法
最短路径路由算法1. 引言最短路径路由算法是计算机网络中的一种重要算法，用于确定网络中两个节点之间的最短路径。
在网络通信中，选择最短路径可以大大提高数据传输的效率和可靠性。
本文将介绍最短路径路由算法的原理、常见算法以及应用领域。
2. 原理概述最短路径路由算法是基于图论的算法。
它将网络抽象成一个有向图，其中节点表示网络中的路由器或交换机，边表示节点之间的连接。
每条边都有一个与之相关的权重，表示在该路径上传输数据的代价。
最短路径路由算法的目标是找到网络中两个节点之间的最短路径，即路径上的所有边的权重之和最小。
3. 常见算法3.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是最短路径路由算法中最经典的算法之一。
它通过逐步确定从源节点到其他节点的最短路径来实现最短路径的计算。
算法的核心思想是维护一个距离表，记录从源节点到其他节点的当前最短距离。
通过不断更新距离表中的值，最终得到源节点到目标节点的最短路径。
3.2 Bellman-Ford算法Bellman-Ford算法是另一种常见的最短路径路由算法。
与Dijkstra 算法不同，Bellman-Ford算法可以处理带有负权边的图。
算法通过进行多次迭代，逐步更新节点之间的最短距离，直到收敛为止。
Bellman-Ford算法的优势在于可以处理具有负权边的情况，但由于需要进行多次迭代，算法的时间复杂度较高。
3.3 Floyd-Warshall算法Floyd-Warshall算法是一种全局最短路径算法，用于计算图中任意两个节点之间的最短路径。
算法通过动态规划的方式，逐步更新节点之间的最短距离。
Floyd-Warshall算法的时间复杂度较高，但由于可以同时计算所有节点之间的最短路径，因此在网络规模较小的情况下，仍然是一个有效的算法。
4. 应用领域最短路径路由算法在计算机网络中有广泛的应用。
其中，最为典型的应用之一就是Internet路由器的路由选择。
Internet由大量的路由器组成，路由器之间的通信需要选择最短路径，以保证数据的快速传输和网络的稳定性。
最短路径算法
§distance[j]=distance[u]+G[u][j]; §path[j]=u; §}}}
2、算法的正确性和计算复杂性
(1)贪心选择性质 (2)最优子结构性质 (3)计算复杂性 对于具有n个顶点和e条边的带权有向图，如果用 带权邻接矩阵表示这个图，那么Dijkstra算法的主循 环体需要 O (n)时间。这个循环需要执行n-1次，所以完 O(时间。算法的其余部分所需要时间不 n2 ) 成循环需要 O(n 2 ) 超过 。
7.5所有点对的最短路径问题
§对于一个各边权值均大于0的有n个顶点的带 权有向图G=(V,E)，求所有顶点之间的最短 路径和最短距离。
图的邻接矩阵表示法
1
1 1
3
0 2
9
2
2
8 9 6
V = 2
3
L= 8 0 6
1 ∞ 0
(b )
(a )
复习Dijkstra算法
其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作 基本思想是 设置顶点集合S 贪心选择来扩充这个集合 一个顶点属于集合S 来扩充这个集合。 贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S 当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。 当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。 初始时， 中仅含有源点。 初始时，S中仅含有源点。设u是G的某一个 顶点，把从源点到u且中间只经过S 顶点，把从源点到u且中间只经过S中顶点的路称 为从源到u的特殊路径，并用数组dist distance记录 为从源到u的特殊路径，并用数组dist 记录 当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。 当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。 Dijkstra算法每次从 算法每次从V Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路 长度的顶点u 添加到S 长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组 distance作必要的修改。一旦S包含了所有V中 作必要的修改。 dist 作必要的修改 一旦S包含了所有V 顶点，distance就记录了从源到所有其它顶点 顶点，dist 就记录了从源到所有其它顶点 之间的最短路径长度。 之间的最短路径长度。
最短路径的算法
最短路径的算法最短路径的算法小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水，若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂?要回答出这个问题，我们就要了解一下最短路径的相关知识。
以下是店铺与大家分享最短路径的知识。
最短路径最短路径，是指用于计算一个节点到所有节点的最短的线路。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。
最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径。
最短路径问题最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图(由结点和路径组成的)中两结点之间的最短路径。
算法具体的形式包括：确定起点的最短路径问题- 即已知起始结点，求最短路径的问题。
适合使用Dijkstra算法。
确定终点的最短路径问题- 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。
在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
确定起点终点的最短路径问题- 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
全局最短路径问题- 求图中所有的最短路径。
适合使用Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法1.定义概览Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。
主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。
注意该算法要求图中不存在负权边。
问题描述：在无向图 G=(V,E) 中，假设每条边 E[i] 的长度为 w[i]，找到由顶点 V0 到其余各点的最短路径。
(单源最短路径)2.算法描述1)算法思想：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合(用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径 , 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了)，第二组为其余未确定最短路径的顶点集合(用U表示)，按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。
求最短路径的算法
求最短路径的算法
最短路径算法是计算图中两个节点之间最短距离的算法。
在计算机科学中，最短路径算法是图论中最基本的算法之一。
最常见的应用是在路由算法中，用来寻找两个网络节点之间的最短路径。
最短路径算法有多种实现方式，其中最著名的算法是迪杰斯特拉算法和弗洛伊德算法。
迪杰斯特拉算法使用贪心策略，从起点开始对所有节点进行扫描，依次找到距离起点最近的节点，并更新与其相邻节点的距离。
弗洛伊德算法则是基于动态规划的思想，通过递推计算出所有节点之间的最短路径。
除了以上两种算法，还有贝尔曼-福德算法、A*算法等，它们各自适用于不同的场景。
例如，A*算法是一种启发式搜索算法，根据启发函数估计到目标节点的距离，从而更快地找到最短路径。
在实际应用中，最短路径算法被广泛使用。
例如，在地图导航中，我们需要找到最短路径来规划行程；在通信网络中，路由器需要计算出最短路径来转发数据包。
因此，掌握最短路径算法是计算机科学学习的基础，也是工程实践中必备的技能。
- 1 -。
最短路径问题 ppt课件
12
图论及其应用 作业 用Dijkstra算法求出下图中从顶点a到其它所有 顶点的最短路径及及长度。
13
图论及其应用
有向图中求最短路径的Dijkstra算法
设Sj是带权有向图G中自顶点1到顶点j的最短有向路的长度 步骤1：置P={1}，T={2,3,…,n}且S1=0，Sj=w1j， j=2,3,…,n 。 步骤2：在T中寻找一点k，使得Sk=min{Sj}，置P=P{k}， T=T- {k}。若T=，终止；否则，转向步骤3。 步骤3：对T中每一点j，置Sj=min {Sj ，Sk+ wkj}，然后转向步 骤2。 算法经过n-1 次循环结束。
6
1-6-8-B
6-8-B
13
10
5
图论及其应用
指定点到其它所有点的最短路径
解决这一问题最著名的方法是 Dijkstra算法，这个算法是由荷 兰计算机科学教授Edsger W.Dijkstra在1959年提出的。 他在1972年获得美国计算机协 会授予的图灵奖，这是计算机 科学中最具声望的奖项之一。
最终，起点上方的最短路线及权值即为起点到终点的最 短路线及长度。
3
图论及其应用
例 使用回溯法求下图中结点1到结点10的最短路径
2-6-9-10 600
1-4-6-9-10 650
4-6-9-10 500
6-9-10
300
9-10
100 5-8-10
400
8-10
150
3-5-8-10 600
7-8-10 275
定义2 已知矩阵A=(aij)m n ，B =(bij)mn，规定C=AB=(dij)mn，
其中dij=min(aij, bij)
迪杰斯特拉算法最短路径
迪杰斯特拉算法最短路径迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm）是一种用于计算图中最短路径的算法。
它是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·迪杰斯特拉（Edsger Wybe Dijkstra）于1956年提出的，并且被广泛应用于网络路由和地图导航等领域。
迪杰斯特拉算法可以解决的问题是，给定一个带有非负权重的有向图和一个起始节点，找出从起始节点到其他所有节点的最短路径。
该算法采用了贪心的策略，即每次选择当前离起始节点最近的节点进行扩展，直到扩展到目标节点为止。
算法的具体步骤如下：1.初始化：将起始节点的距离设置为0，其他节点的距离设置为无穷大。
2.创建一个优先队列（通常是最小堆），用于存储待扩展的节点。
将起始节点加入队列。
3.循环以下步骤直到队列为空：-从队列中取出距离起始节点最近的节点，记为当前节点。
-如果当前节点已被访问过，则跳过该节点。
-更新与当前节点相邻节点的距离。
如果经过当前节点到达某个相邻节点的路径比之前计算的路径短，则更新这个节点的距离。
-将未访问过的相邻节点加入队列。
4.循环结束后，所有节点的最短路径已被计算出。
迪杰斯特拉算法的核心思想是不断扩展距离起始节点最近的节点，通过更新节点的距离，逐步获取最短路径。
算法的时间复杂度为O(V^2)，其中V是图中的节点数量。
这是因为每次循环需要查找距离起始节点最近的节点，而在最坏情况下，这个操作需要遍历所有节点。
以下是一个简单的例子来说明迪杰斯特拉算法的使用：假设有一个有向图，如下所示：```A ->B (1)A -> C (4)B ->C (2)B -> D (5)C ->D (1)C -> E (3)D ->E (4)```起始节点为A，我们希望找到到达其他节点的最短路径。
首先，初始化距离：A到A的距离为0，A到B/C/D/E的距离均为无穷大。
然后，将A加入优先队列。
从队列中取出A，更新A的邻居节点的距离。
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小
河
使AM+MN+NA最小.
如图，作点A关于l1和l2的对称点A1、A2，连接A1A， 交l1于M点，交l2于N点。 连接AM和AN， AM+MN+NA最小.
因此，那天这样走路线最短.
A1
l1
M A
l2 N
A2
挑战自我：（两定两动）
某中学八(1)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示，两直排
(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果， 站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上。请你
A
D
作点B关于AC的对称点D，
连接DE，交AC于点P。
P
则点P即为所求。
B
C
E
拓展提升：（一定两动）
如图，A为马厩，牧马人某一天要从马
厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河
边饮马，然后回到马厩. 请你帮他确定这一
天的最短路线.
l1
M A
N
l2
已知：如图，在l1、l2之间有一点A.
A
求作：分别在l1、l2上确定一点M、N
P
到最短距离呢？
连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。
根据：两点之间线段最短.
问题2:两点在一条直线同侧的最短路径问题
如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的 河边 l处 饮马，然后到B地．牧马人到河边的 什么地方饮马，可使所走的路径最短？
思考：
B
你能把这个问题
A
转化为数学问题吗？
l
分析：
八年级 上册
13.4 课题学习 最短路径问题(1)
天津市滨海新区大港海滨学校 孙淑欣
最短 路径 问题
复习引入
A
B
线段公理： 两点之间，线段最短.
A
l
B 垂线段性质：
垂线段最短.
问题1：两点在一条直线异侧的最短路径问题
已知：如图，A，B在直线L的两侧， 在L上求一点P，使得PA+PB最小。
为什么这样做就能得
C′ C
∴BC=B′C，BC′=B′C′．
∴AC+BC=AC+B′C=AB′．
在△AB′C′中，
B′
AB′< AC′+B′C′，
∴AC+BC < AC′+B′C′，
即AC+BC最小．
归纳
B A
l
解决实 际问题
B
A
C
l
B′
抽象为数学问题 用旧知解决新知
B
A
C
l
联想旧知
A
C
l
B
练习1：（两定一动）
已知：正方形ABCD的边BC上有一点E， 请你在对角线AC上找到一点P， 使得BP+PE的和最小
B B
A
A
l
CC
l
转化为数学问题
当点C在直线 l 的什么位置时， AC与BC的和最小？
分析：
A C
B
A
l
l
C
（1）这两个问题之B间，有什么相同点和不同点？
（2）我们能否把A、B两点转化到直线l 的异侧呢？ 转化需要遵循的原则是什么？
（3）利用什么知识可以实现转化目标？
如下左图，作点B关于直线 l 的对称点B′ . 当点C在直线 l 的什么位置时，AC与CB′的和最小？
B
A
C
l
B
A
l
C
B′
如上右图，当A， C， B′共线时 ，
B′
线段AC+C B′的和最小 .
即AC+BC的和最小 .
所以，线段AB′与直线 l 的交点C即为所求。
证明：如图.
在直线 l 上任取另一点C′ ，
B
连接AC′ 、BC′ 、B′ C′ ．
A
∵直线 l 是点B、B′的对称轴，
l
点C、C′在对称轴上，
帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？
橘子
A
O
C
糖
果
D
B
C1
A
P
O
C D
Q D2
B
小结归纳
A C
轴对称 变换
B
A
A'
M
a
l
b
N
B′
B
A
C
l
平移 变换
B
两点之间，线段最短.