沪教版八年级数学上册教案：19.2轨迹
轨迹与作图
一．考纲要求
1．了解轨迹概念及五种基本轨迹。
2．能利用轨迹进行简单的作图，计算动点所经过的路程的长。
本节内容的知识点：五种基本轨迹和基本作图。
二．基础回顾
1．到点O的距离等于3cm的点的轨迹是。
2．和线段AB两个端点距离相等的点的轨迹是。
3．到已知角的两边距离相等的点的轨迹是。
4．半径为2cm，且与已知直线l相切的圆的圆心的轨迹是。
5．和两条已知直线l1和l2 相切的圆的圆心轨迹是。
三．典型例题
例1．如图，在直角坐标系平面内，线段AB的两端点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上滑动，AB=8cm，求线段AB中点M的轨迹。
例2．如图，A、B、C三点表示三个村庄，要建一个电视转播站，使它到三个村庄的距离相等，求作电视转播站的位置（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
例3．如图，已知：线段r和∠ACB求作一圆O，使它与∠ACB的两边相切，且圆的半径等于r。
要求用直尺和圆规作图）
例4．如图，已知线段a、b、∠α，求作：平行四边形ABCD，使BD=a，AC= b，BD、AC 的夹角为α。
（要求用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）
例5．如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，M、N分别是位于公路AB 两侧的村庄。
（1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近；行驶到点Q位置时，距离村庄N最近。
请在图中的公路AB上分别画出点P，Q的位置。
（保留作图痕迹）。
（2）当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M，N两村庄都越来越近？在哪一段路上距离村庄N越来越近，而离村庄M越来越远？（分别用文字表述你的结论，不必证明）。
（3）在公路AB上是否存在这样一点H，使汽车行驶到该点时，与村庄M，N的距离相等？如果存在，请在图中的AB上画出这一点（保留作图痕迹，不必证明）；如果不存在，请简要说明理由。
四．反馈练习
1.斜边为AB的直角三角形ABC的顶点C的轨迹是。
2.AB是半径为R的⊙O中的一条弦，若AB 沿点A旋转30°角，那么，AB中点P随之运动所经过路程为（）
A 1
12πR B
1
2R C
1
6πR D
1
3πR
3.如图,已知△ABC,求作△ABC的外接圆.
4.如图,已知∠AOB和边OB上一点E,求作:一点P,使P到∠AOB两边的距离相等.且OP=E P
5.如图,已知:线段m和角α.求作:等腰三角形ABC,使底角∠B=α,腰AB=m.
五．作业
1）底边为已知线段BC的等腰三角形ABC的顶点A的轨迹是
2）以⊙O上一点A为端点的弦的中点的轨迹是
3）设⊙O1、⊙O、2的半径都是r，且O1 O、2＞2r，则与⊙O1、⊙O、2都外切的圆的圆心的轨迹是4）如图，扇形AOB，OA⊥OB，点P是弧AB上任一点，过B作OP的垂线，垂足为Q，则点Q 的轨迹是
5）已知线段AO（如图），（1）以定点O为圆心，定长OA为半径作⊙O；（2）作⊙O的圆内接六边形ABCDEF；（3）作正六边形ABCDEF的内切圆。
6）已知△ABC（如图），作△ABC的内切圆。
7）已知△ABC，BC=a，高线AD=h（如图），求作正方形，使其面积等于△ABC面积的2倍。
8）用直尺和圆规作一个∠AOB，使∠AOB=30°。
9）已知直线L上一点P以及直线外一点Q（如图），求作：经过点Q且与直线L相切于点P的⊙O。
10）已知：线段a、b和∠α（如图），求作：□ABCD，使AB=a，AD=b，∠A=∠α。
沪教版数学八年级上册19.2《轨迹》教学设计
沪教版数学八年级上册19.2《轨迹》教学设计一. 教材分析《轨迹》这一节内容是沪教版数学八年级上册19.2章的一部分，主要介绍了轨迹的概念和性质。
通过这一节的内容，学生能够理解轨迹的概念，了解不同类型的轨迹，并能够分析轨迹的性质。
教材中包含了丰富的例题和练习题，有助于学生巩固所学知识。
二. 学情分析学生在学习这一节内容之前，已经学习了平面几何的基础知识，对于图形的性质和概念有一定的了解。
但是，对于轨迹这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例和引导来理解和掌握。
此外，学生可能对于一些轨迹的性质和判定方法感到困难，需要通过大量的练习和讲解来巩固。
三. 教学目标通过本节课的学习，学生能够理解轨迹的概念，了解不同类型的轨迹，并能够分析轨迹的性质。
学生能够运用轨迹的知识解决一些实际问题，提高解决问题的能力。
此外，通过小组合作和讨论，培养学生的合作意识和交流能力。
四. 教学重难点教学重点：轨迹的概念和性质，不同类型的轨迹。
教学难点：轨迹的性质和判定方法，轨迹在实际问题中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过引导和启发学生思考，激发学生的学习兴趣和动力。
通过实例和动画演示，帮助学生直观地理解轨迹的概念和性质。
采用小组合作和讨论的方式，培养学生的合作意识和交流能力。
同时，通过大量的练习和讲解，巩固学生的知识。
六. 教学准备准备相关的教学材料，包括PPT、动画演示、例题和练习题。
同时，准备黑板和粉笔，用于板书和解释问题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入轨迹的概念，例如，一只小鸟从原点出发，飞向正x轴方向，飞行距离逐渐增加，最终停止在x轴上，求小鸟飞行的轨迹。
引导学生思考和讨论，引发学生对轨迹的兴趣。
2.呈现（10分钟）通过PPT和动画演示，呈现不同类型的轨迹，如抛物线、双曲线和椭圆等。
同时，解释每种轨迹的定义和特点，引导学生直观地理解轨迹的概念。
3.操练（10分钟）学生独立完成教材中的例题和练习题，教师进行个别指导和讲解。
沪教版(上海)初中数学八年级第一学期 19.2 证 明 举 例(5) 教案
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯课题：证明举例（5）教学目标：1、继续学习几何证明过程的分析方法，进一步学习证明角相等、线段相等的常用方法。
2、初步学会添加一条辅助线来进行几何证明。
3、继续引导学生正确、规范地书写证明过程。
4、掌握几何证明的推理步骤和推理过程、以及几何证明中有关演绎推理的思想方法。
5、培养学生一题多解的灵活的解题思路，在自主学习、小组讨论和交流中提高学生分析问题、解决问题的能力。
教学重点、难点：重点：通过添加辅助线构造有效的基本图形，证明角度或线段相等。
难点：辅助线怎么添，添在哪里教学过程：一、问题引入：你知道的证明角度相等或线段相等的方法有哪些？其中用得较多的有哪些？二、新课：（一）问题：如图，AB=AC，DB=DC。
求证∠B=∠C，1、前面所回忆的方法在此似乎都用不上，如何解决这样的问题？①添加辅助线的必要性②如何添？添在哪里呢？为什么这样添线？③如果这样添加的话，用的是什么方法证明角度相等？这里投影出整个过程，尤其辅助线的叙述要引导学生说准确。
2、能否换一种思路添加辅助线？如何添？那样添加的话，又是利用什么解决问题？小结：为什么会产生这样不同的添线的方法？不同的方法形成不同的证明思路，C A BCA 学会比较，尽量选择更为直接、简便的方法。
（二）1、例8已知 ：如图 AD 与BC 相交于O ，AB=CD ，AD=BC求证： ∠A = ∠C这里学生比较容易先想到△ABO 和△CDO 全等，通过分析发现AD=BC 这个条件用不上，如何构造全等三角形？①连接BD ②连接AC 两种办法均一起书写论证过程，进行比较，选择更好的解决办法，体会好在哪里？2、例9的引入：已知，如下图，点D 、E 在BC 上，BD=EC ，AD=AE 。
则图中相等的线段还有哪些？对前面学过的例题进行复习例9 已知：如上图，点D 、E 在BC 上， AB=AC ，AD=AE ，求证：BD=EC学生首先想到的多数还是全等，利用全等可以怎么证明？哪些三角形能证得全等？等腰三角形的性质除了两个底角相等之外，还有什么？三线合一的用法复习：如图AB=AC ，AH ⊥BC能得到什么？证明：∵AB=AC （已知），AH ⊥BC （作图）∴BH=CH （或AH 平分∠BAC ）（等腰三角形三线合一）回到例9，还可以如何证明？如何添加辅助线？证明：过A 作AH ⊥BC ，垂足为H∵AB=AC （已知），AH ⊥BC （作图）∴BH=CH（等腰三角形三线合一）同理DH=EH∴BH-DH=CH-EH（等式性质）即BD=CE比较全等和利用等腰三角形三线合一的证明方法，显然后者证明更为巧妙些。
八年级数学上册 19.2 线段垂直平分线与角平分线教案 沪教版五四制 教案
5、角平分线性质定理的逆定理：
角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. 几何语言表示：∵ PC⊥OA，PD⊥OB， PC＝PD，∴点 P 在∠AOB 的平分线上.
定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 A
注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系. 6、关于三角形三条角平分线的定理：
（）
Ａ．三条中线的交点Ｂ．三条高的交点
Ｃ．三条边的垂直平分线的交点Ｄ．三条角平分线的交点
二、填空题。
1、如图，点 P 在∠AOB 的平分线上，若使 △AOP ≌△BOP ，则需添加的一个条件是（只写一个即可，不添
加辅助线）：
2、如图，△ABC 中，DE、FG 分别是边 AB、AC 的垂直平分线，BC＝8 则则△EAG 的周长= 。
O A
C
E
A
B
C
D
B
图8 D
C
3/9
word
练习 1、如图，AC=AD，BC=BD，则（ ） A.CD 垂直平分 AD B.AB 垂直平分 CD C.CD 平分∠ACB 2、如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形的外部，那么，这个三角形是（ ）
3、下列命题中正确的命题有（ ） ①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；③经过线段中点 的直线只有一条；④点 P 在线段 AB 外且 PA=PB，过 P 作直线 MN，则 MN 是线段 AB 的垂直平分线；⑤过线段上任 一点可以作这条线段的中垂线.
例 2、如图 10，已知在四边形 ABCD 中，AB∥CD，AB⊥BC，EF⊥AD，E 为 BC 中点，连接CAE、
DE，DE 平分∠ADC，求证：AE 平分∠BAD.
沪教版数学八年级上册19.2《角平分线》教学设计
沪教版数学八年级上册19.2《角平分线》教学设计一. 教材分析《角平分线》是沪教版数学八年级上册第19.2节的内容。
本节课的主要内容是让学生掌握角平分线的性质，并能运用角平分线解决一些几何问题。
教材通过引入角平分线的概念，引导学生探究角平分线的性质，从而培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了角的概念、线段的概念以及一些基本的几何性质。
他们对这些基础知识有一定的了解，但可能对角平分线的性质和应用还不够清楚。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生通过观察、操作、思考等方式，发现和总结角平分线的性质，提高他们的几何思维能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握角平分线的性质，并能运用角平分线解决一些几何问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、思考等方式，培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.角平分线的性质2.运用角平分线解决几何问题五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂。
2.探究教学法：引导学生通过观察、操作、思考等方式，发现和总结角平分线的性质。
3.案例教学法：通过分析具体案例，让学生学会运用角平分线解决几何问题。
六. 教学准备1.教学课件：制作角平分线的性质和应用的课件，以便于引导学生直观地观察和理解。
2.教学素材：准备一些角平分线的实际问题，用于巩固和拓展学生的知识。
3.学具：为学生准备一些几何图形，如直角三角形、等腰三角形等，以便于他们动手操作和观察。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些生活中的角平分线的实例，如剪刀、扇子等，引导学生对角平分线产生兴趣，并提出问题：“什么是角平分线？它有什么特点？”2.呈现（10分钟）教师通过讲解和演示，向学生介绍角平分线的定义和性质。
同时，让学生观察和操作手中的几何图形，引导他们发现和总结角平分线的性质。
八年级数学上册 19.2 —平面上两点间的距离教案 沪教
平面上两点间的距离【学习导航】1．掌握平面上两点间的距离公式、中点坐标公式；2．能运用距离公式、中点坐标公式解决一些简单的问题．（1）平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 之间的距离公式为12PP = 222121()()x x y y -+-．（2）中点坐标公式：对于平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，线段12PP 的中点是00(,)M x y ，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩． 【精典范例】例1：（1）求A(-1,3)、B （2，5）两点之间的距离；（2）已知A （0，10），B （a ，-5）两点之间的距离为17，求实数a 的值．【解】(1)由两点间距离公式得AB=22[2(1)](53)13--+-=(2) 由两点间距离公式得22(0)(510)17a -+--=,解得 a=8±．故所求实数a 的值为8或-8．例2：已知三角形ABC 的三个顶点13(1,0),(1,0),(,)22A B C -，试判断ABC ∆的形状． 分析：计算三边的长，可得直角三角形．【解】22(1(1))02,AB =--+= 2213(1)(0)1,22BC =-+-=2213((1))(0)322AC =--+-=,∵222AC BC AB +=， 111222(,),(,)P x y P x y 中点坐标1212(,)22x x y y ++ 22122121()()PP x x y y =-+-∴ABC ∆为直角三角形.点评：本题方法多样，也可利用BC 、AC 斜率乘积为-1，得到两直线垂直.例3：已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5),A -(2,1),(4,7)B C --，求BC 边上的中线AM 的长和AM 所在的直线方程．分析：由中点公式可求出BC 中点坐标,分别用距离公式、两点式就可求出AM 的长和AM 所在的直线方程．【解】如图，设点(,)x y ．∵点M 是线段BC 的中点， ∴241,2x -+== 1732y -+==， 即M 的坐标为(1,3)．由两点间的距离公式得22[1(1)](35)22AM =--+-=．因此，BC 边上的中线AM 的长为22．由两点式得中线AM 所在的直线方程为315311y x --=---，即40x y +-=． 点评:本题是中点坐标公式、距离公式的简单应用.例4．已知ABC ∆是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系， 证明：12AM BC =． 证：如图，以Rt ABC ∆的直角边,AB AC 所在直线为坐标轴，建立适当的直角坐标系，设,B C 两点的坐标分别为(,),(0,)b o c ，∵M 是BC 的中点，∴点M 的坐标为00(,)22b c ++，即(,)22b c ． 由两点间的距离公式得22221(0)(0),222b c AM b c =-+-=+ 所以，12AM BC =． 追踪训练一 1.式子22(1)(2)a b ++-可以理解为(B )()A 两点(a,b )与(1,-2)间的距离()B 两点(a,b )与(-1,2)间的距离()C 两点(a,b )与(1,2)间的距离()D 两点(a,b )与(-1,-2)间的距离2.以A (3,-1), B (1,3)为端点的线段的垂直平分线的方程为 (C )()A 2x +y -5=0 ()B 2x +y +6=0()C x -2y =0 ()D x -2y -8=03. 线段AB 的中点坐标是(-2,3),又点A 的坐标是(2,-1),则点B 的坐标是(6,7)-．4．已知点(2,3),A -，若点P 在直线70x y --=上，求取最小值．解:设P 点坐标为(,)P x y ,∵P 在直线70x y --=上，∴7y x =-，22222(2)(4)212202(3)2AP x x x x x =-+-=-+=-+， ∴AP 的最小值为2．【选修延伸】对称性问题例5: 已知直线1:12l y x =-，（1）求点(3,4)P 关于l 对称的点Q ；（2）求l 关于点(2,3)对称的直线方程．分析：由直线l 垂直平分线段，可设，有垂直关系及中点坐标公式可求出点；而关于点对称的直线必平行，因此可求出对称的直线方程．【解】（1）设Q 0(,)o x y ，由于PQ ⊥l ，且PQ 中点在l 上，有00004234311222y x y x -⎧=-⎪-⎪⎨++⎪=⋅-⎪⎩，解得0029585x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ∴Q 298(,)55- （2）在l 上任取一点，如(0,1)M -，则M 关于点(2,3)对称的点为(4,7)N ．∵所求直线过点N 且与l 平行，∴方程为17(4)2y x -=-，即2100x y -+=． 例6：一条光线经过点(2,3)P ,射在直线10x y ++=上，反射后，经过点(1,1)A ，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．分析：入射光线和反射光线所在直线都经过反射点，反射直线所在直线经过点关于直线10x y ++=的对称点．【解】入射线所在的直线和反射线所在的直线关于直线10x y ++=对称，设P 点关于直线10x y ++=对称点的坐标为Q 00(,)x y ，因此PQ 的中点在直线10x y ++=上，且PQ 所在直线与直线10x y ++=垂直， 所以00003(1)12231022y x x y -⎧⨯-=-⎪-⎪⎨++⎪++=⎪⎩，解得(4,3)Q --．反射光线经过A Q 、两点，∴反射线所在直线的方程为4510x y -+=．由10,4510,x y x y ++=⎧⎨-+=⎩得反射点21(,)33R --． 入射光线经过P 、R 两点，∴入射线所在直线的方程为0145=+-y x ．点评:求点P 关于直线l 的对称点Q ，通常都是根据直线PQ 垂直于直线l ，以及线段PQ 的中点在直线l 上这两个关系式列出方程组，然后解方程组得对称点Q 的坐标．思维点拔：平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离公式为222121()()x x y y -+-，线段12PP 中点坐标为1212(,)22x x y y ++.平面上两点间距离公式及中点坐标公式有着广泛的应用，如：计算图形面积，判断图形形状等.同时也要注意掌握利用中点坐标公式处理对称性问题.追踪训练二1．点(-1,2)关于直线x+y-3=0的对称点的坐 标为 (A )()A (1,4) ()B (-1,4) ()C (1,-4) ()D (-1,-4)2．直线3x-y-2=0关于x 轴对称的直线方程为320x y +-=．3．已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),试求D 点的坐标,使四边形ABCD 为等腰梯形． 答案:D 点的坐标为(2,3)或163(,)55． 4．已知定点(2,2)A ，(8,4)B ，x R ∈，求2222(2)2(8)4x x -++-+的最小值．x与,A B两点的距离和,利(数形结合:x轴上的动点(,0)用对称性,得到最小值为。
2019-2020学年最新沪教版五四制八年级数学上册《轨迹2》教学设计-评奖教案
19.6（2）轨迹（2）教学目标1．通过生活实例理解交轨思想和交轨法作图的原理； 2．能够运用三个基本轨迹进行交轨法作图. 教学重点及难点理解交轨思想和交轨法作图. 教学用具准备黑板、粉笔、电脑、学生准备课堂练习本. 教学流程设计教学过程设计1．回顾，导入引例：鉴于中国经济不断的快速增长，综合国力的不断强盛.跨国公司都纷纷进驻中国市场.世界零售业巨头沃尔玛正在积极的进入中国市场，计划在长三角区域内建立一个超大型的仓储配送中心W ，要求到图上三个城市的距离相等，点W 应该在哪里？回顾引入巩固新知课堂小结尝试反馈W？杭州上海南京分析：假如W已经作出，W到上海、南京的距离应该相等，故W应该在上海至南京连线所得线段的垂直平分线上.同样地，W也应该在南京至杭州连线所得线段的垂直平分线上.所以，两条垂直平分线的交点就是W的位置.W 杭州上海南京在上题中，我们先找出符合一部分作图要求的点的轨迹，如上海至南京连线所得线段的垂直平分线；再找出符合另一部分作图要求的点的轨迹，如南京至杭州连线所得线段的垂直平分线；然后得出两个轨迹的交点.概念：利用轨迹相交进行作图的方法叫做交轨法.【说明】该题是上一节课的引例，同学们较容易理解，并且与上节课的内容衔接上也更加连贯.2．巩固新知例题3 已知：∠AOB 和∠AOB 内一点C. 求作：点P ，使PC=PO ，且点P 到∠AOB 的两边OA 、OB 的距离相等.分析：假如点P 已作出，由PC=PO ，可知点P 一定在线段OC 的垂直平分线上.又由点P 到∠AOB 的两边OA 、OB 的距离相等，可知点P 在∠AOB 的平分线上.因此，点P 是这两个轨迹的交点.做法：1.联结OC ，作线段OC 的垂直平分线.2．作∠AOB 的平分线，它与OC 的垂直平分线相交于点P. 则点P 就是所求作的点.【说明】经过上一题的讲解，同学已经理解了交轨法，所以这一题放手让同学们独立完成.作法并不要求，重点是对交轨思想的理解.例题4 已知线段a 、h ，求作等腰三角形，使其底边长为a ，底边上的高为h.已知：线段a 、h.ha OCB APBOCA求作：△ABC,使AB=AC ，且BC=a ，高AD=h.分析：首先画出符合条件的图形草图，根据BC=a ，可以确定点B 、C 的位置.由等腰三角形的“三线合一”的性质，画出BC 的中垂线MN ，交BC 于点D ，由AD=h ，可知点A 到点D 的距离为h.这就是说，点A 必定在以点D 为圆心、h 为半径的圆上.因此，这个圆与DM 的交点就是点A.做法：1.作线段BC=a2．作线段BC 的垂直平分线MN ，MN 与BC 相交于点D.3．在MN 上截取DA ，使DA=h. 4．分别联结AB 、AC.则△ABC 就是所画的等腰三角形.3．尝试反馈练习1 要在某天然气管道 MN 上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供气，泵站应该修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？AD B CNMNM BA泵站BNM A分析：根据两点之间线段最短的知识，可知联结AB ，得到与 MN 的交点就是泵站的位置.练习2 要在某天然气管道 MN 上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供气，泵站应该修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？BNMA泵站ABNMA'分析：先作点A 关于直线MN 的对称点A ’，联结A ’B ，则A ’B 与 MN 的交点就是泵站的位置.【说明】练习2实际上是课本练习2.考虑到同学们在独立研究时有困难，因此增加练习1，降低难度.4、总结、扩展这节课我们学习了交轨法的知识，请同学们谈一下你对本节课学习的体会．学生活动：谈这节课的主要内容或注意问题等等．【说明】课堂归纳总结由学生来说，可以使学生上课听讲精神集中，还可以训练学生归纳总结的能力．5、回家作业练习册。
八年级数学上册 19.2 证明举例(第5课时)教案 沪教版五四制 教案
19.2 证明举例（第5课时）教学目标：1、通过证明举例的学习和实践，懂得演绎推理的一般规则，初步掌握规X的表达格式；了解证明之前进行分析的基本思路。
2、能利用全等三角形的判定与性质来证明有关线段相等、三角形全等的简单问题。
3、了解文字语言、图形语言、符号语言三种数学语言形态，会证明简单的文字语言形态表述的几何命题。
4. 提高数学语言运用能力和逻辑表达能力,加深对论证几何的理解和数学表达模式的体验。
教学重点：文字语言叙述的几何命题的证明.教学难点：证明几何命题的完整过程.教学过程1、例题讲解例题13 求证: 三角形一边的两端到这边的中线所在直线的距离相等.已知: 如图,AD是△ABC的中线,CE⊥AD,垂足为E, BF⊥AD, 垂足为F.求证:CE=BF.证明:∵AD是△ABC的中线(已知),∴BD=CD(中线的定义).∵CE⊥AD, BF⊥AD(已知),∴∠CED=∠BFD=90°(垂直的定义).在△BDF与△CDE中,∠BFD=∠CED(已证)∠BDF=∠CDE(对顶角相等),BD=CD(已证),∴△BDF≌△CDE(A.A.S).∴CE=BF(全等三角形的对应边相等).说明：本例是文字语言叙述的几何命题的证明，包括了证明几何命题的完整过程，是一个难点.教师要从分析题设、结论，到画图、写已知、求证，直至完成证明，耐心地对学生进行引导.本题不仅可从全等三角形性质的角度证明线段相等，还可引导学生从面积角度入手来证明线段相等，开阔学生的思维. 例题14 求证：有两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等。
已知：如图，在△ABC与△A’B’C’中，AD、A’D’分别是BC、B’C’上的中线，AB=A’B’，BC=B’C’，AD=A’D’.求证：△ABC≌△A’B’C’.在△ABC与△A’B’C’中AB=A’B’(已知)∠B=∠B’(已证),BC=B’C’(已知)∴△ABC≌△A’B’C’ (S.A.S).说明：本例是文字语言叙述的几何命题的证明，包括了证明几何命题的完整过程，是一个难点.教师要从分析题设、结论，到画图、写已知、求证，直至完成证明，耐心地对学生进行引导.2、反馈练习，巩固知识(1)求证：有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等.(2)求证：等腰三角形底边中线上任意一点到两腰的距离相等.说明：及时的练习可以巩固学生刚刚学到的知识.3、课堂小结我们如何来证明文字语言叙述的几何命题？。
轨迹课件(上海)数学八年级第一学期
角平分线可以看做是_在__这_个__角__的__内__部_（__包__括_ 顶点） ____且__到__角_两__边__距__离__相_等__的_____________点的集合
典例精析
例题1 作图并说明符合下列条件的点的轨迹 （1）到点A的距离等于1cm的点的轨迹；
以点A为圆心，以1cm长为半径的圆
例题1 作图并说明符合下列条件的点的轨迹 （2）过点A且半径为1cm的圆的圆心O的轨迹；
以点A为圆心，以1cm长为半径的圆
例题2 作图并说明符合下列条件的点的轨迹 (1)和定点A、B距离相等的点C的轨迹；
线段AB的垂直平分线
轨迹-点点等距
例题2 作图并说明符合下列条件的点的轨迹 (2)经过定点A、B的圆的圆心O的轨迹；
E
a
F G
3 作图并说明符合下列条件的点的轨迹
(1) 以底边为定长的等腰三角形的顶点的轨迹
(2) 经过定点A且半径为4cm的圆的圆心的轨迹
(3) 在直角坐标平面内，到x轴和y轴距离相等 的第二象限点的轨迹。
(4)线段AB=3cm,这时到点A和点B的距离之和 为3cm的点的轨迹.
再见
线段AB的垂直平分线
例题2 作图并说明符合下列条件的点的轨迹 (3)以线段AB为底边的等腰三角形的顶点C的轨迹；
线段AB的垂直平分线（除线段AB的中点外）
巩固练习如图，已知直线l及直线外三点E、F、G 1、在l上求作一点M，使点M到E、F两点距离和最小 2、在l上求作一点M，使点M到G、F两点距离和最小 3、在l上求作一点M，使点M到G、F两点距离差最大
19.6 Байду номын сангаас迹
教学目标
1.通过实例了解轨迹的意义，知道“线段的垂直平分线”，“角平分 线”和“圆”这三条基本轨迹。 2.会运用准确的数学语言来描述和画出符合某些条件的点的轨迹。
沪教版数学八年级上册19.2《—平面上两点间的距离》教学设计
沪教版数学八年级上册19.2《—平面上两点间的距离》教学设计一. 教材分析《—平面上两点间的距离》是沪教版数学八年级上册第19.2节的内容，主要讲述了在平面直角坐标系中，利用坐标求解两点间的距离。
本节内容是学生在学习了坐标系和函数的基础上进行学习的，对于进一步学习几何知识具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了坐标系的初步知识，函数的概念，以及一些基本的代数运算。
但学生对于实际问题与数学知识的联系还需加强，因此，在教学过程中，应注重引导学生将实际问题转化为数学问题，提高学生的解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解两点间的距离的概念，掌握计算两点间距离的方法。
2.能够将实际问题转化为数学问题，利用坐标求解两点间的距离。
3.提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重难点：理解两点间的距离的概念，掌握计算两点间距离的方法。
2.难点：将实际问题转化为数学问题，利用坐标求解两点间的距离。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探索，发现问题，解决问题。
2.利用多媒体辅助教学，直观展示两点间的距离的计算过程。
3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.坐标系模型。
3.相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的距离问题，如测量两地间的距离，测量物体的高度等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。
2.呈现（10分钟）介绍两点间的距离的概念，讲解计算两点间距离的方法，并展示公式推导过程。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，利用坐标求解两点间的距离。
教师巡回指导，解答学生疑问。
4.巩固（10分钟）学生独立完成一些相关练习题，巩固所学知识。
教师选取部分题目进行讲解，分析解题思路。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：在实际生活中，还有哪些问题可以用两点间的距离来解决？学生分享自己的思考，教师进行点评和指导。
沪教版数学八年级上册19.2《角平分线》教学设计
沪教版数学八年级上册19.2《角平分线》教学设计一. 教材分析《角平分线》是沪教版数学八年级上册第19章“几何变换”的最后一节内容，主要介绍了角平分线的性质和作法。
本节课的内容对于学生来说，既有新奇性，又具有挑战性。
角平分线的性质和作法是学生在学习了角的概念、角的计算、线段的性质等知识的基础上进行学习的，是对原有知识的延伸和拓展。
同时，角平分线的作法和性质在实际问题中的应用也是对学生解决实际问题能力的培养。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了角的概念、角的计算、线段的性质等知识，对于这些知识的理解和运用已经比较熟练。
但是，对于角平分线的性质和作法，学生可能比较陌生，需要通过实例和操作来进行理解和掌握。
同时，学生在学习过程中，可能存在对于几何图形的观察和分析能力不足，以及对于几何证明的思路和方法不清晰的问题。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解角平分线的性质，能够熟练地作出角的平分线。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的几何思维能力和解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够积极参与课堂活动，对于几何学习保持兴趣和热情。
四. 教学重难点1.教学重点：角平分线的性质，角的平分线的作法。
2.教学难点：对于角平分线性质的理解和运用，角的平分线的作法。
五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，激发学生的思考，引导学生自主探索和学习。
2.操作法：通过学生的动手操作，培养学生的实践能力和几何思维能力。
3.讨论法：通过学生之间的讨论和交流，促进学生对知识的理解和掌握。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备角平分线的性质和作法的相关知识点，以及实例和练习题。
2.学生准备：学生需要准备好数学笔记本，以及对于之前学习的角的概念、角的计算、线段的性质等知识进行复习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提出问题，引导学生思考角平分线的性质和作法。
例如，教师可以提出问题：“如果你要找一个角的平分线，你会怎么做？”通过这个问题，引起学生的思考，引出本节课的主题。