正弦函数的图像和性质

1定义

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数学术语

正弦函数是三角函数的一种.

定义与定理

定义：对于任意一个实数x都对应着唯一的角（弧度制中等于这个实数），而这个角又对应着唯一确定的正弦值sin x，这样，对于任意一个实数x都有唯一确定的值sin x与它对应，按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin x，叫做正弦函数。

正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/sin A=b/sin B=c/sin C

在直角三角形ABC中，∠C=90°，y为一条直角边，r为斜边，x为另一条直角边（在坐标系中，以此为底），则sin A=y/r,r=√（x^2+y^2）

2性质

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图像

图像是波形图像（由单位圆投影到坐标系得出），叫做正弦曲线(sine curve)

正弦函数x∈&

定义域

实数集R

值域

[-1，1] （正弦函数有界性的体现）

最值和零点

①最大值：当x=2kπ+（π/2），k∈Z时，y(max)=1

②最小值：当x=2kπ+（3π/2），k∈Z时，y(min)=-1

零值点：（kπ,0) ，k∈Z

对称性

既是轴对称图形，又是中心对称图形。

1）对称轴：关于直线x=（π/2）+kπ，k∈Z对称

2）中心对称：关于点（kπ，0），k∈Z对称

周期性

最小正周期：y=sinx T=2π

奇偶性

奇函数（其图象关于原点对称）

单调性

在[-π/2+2kπ，π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递增.

在[π/2+2kπ，3π/2+2kπ]，k∈Z上是单调递减.

3正弦型函数及其性质

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正弦型函数解析式：y=Asin（ωx+φ）+h

各常数值对函数图像的影响：

φ（初相位）：决定波形与X轴位置关系或横向移动距离（左加右减）

ω：决定周期（最小正周期T=2π/|ω|）

A：决定峰值（即纵向拉伸压缩的倍数）

h：表示波形在Y轴的位置关系或纵向移动距离（上加下减）

作图方法运用“五点法”作图

“五点作图法”即当ωx+φ分别取0，π/2，π，3π/2，2π时y的值.

单位圆定义

图像中给出了用弧度度量的某个公共角。逆时针方向的度量是正角而顺时针的度量是负角。设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。这个交点的y坐标等于sinθ。在这个图形中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边并有长度1，所以有了sin θ=y/1。单位圆可以被认为是通过改变邻边和对边的长度并保持斜边等于 1 查看无限数目的三角形的一种方式。即sinθ=AB，与y轴正方向一样时正，否则为负

sina

对于大于2π或小于0 的角度，简单的继续绕单位圆旋转。在这种方式下，正弦变成了周期为2π的周期函数。[1]

4诱导公式

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sin

cos

tαn

cot

sec

csc

π/2（90°）-α

cos

sin

cot

tαn

csc

sec

π/2（90°）+α

-sin

-cot

-tαn

-csc

sec

π（180°）-α

sin

-cos

-tαn

-cot

-sec

csc

π（180°）+α

-sin

-cos

tαn

cot

-sec

-csc

3π/2（270°）-α-cos

-sin

cot

tαn

-csc

-sec

3π/2（270°）+α-cos

sin

-cot

-tαn

csc

-sec

2π（360°）-α

-sin

cos

-tαn

-cot

sec

-csc

2kπ（k*360°）+αsin

cos

cot

sec

csc

助记方法：

“奇变偶不变，符号看象限。”（π/2的奇数倍或偶数倍，“变”就是三角函数名的改变。）[1]

符号、单调性

1

2

3

4

x+

y+

x-

y-

sin

+，+

+，-

-，-

-，+

1

-1

cos

+，-

-，-

-，+

+，+

1

-1

tαn

+，+

-，+

+，+

-，+

+1/0-

cot

+，-

-，-

+，-

-，-

-1/0+

-1/0+

sec

+，+

-，+

-，-

+，-

1

+1/0-

-1

-1/0+

csc

+，-

+，+

-，+

-，-

-1/0+

1

+1/0-

-1

注：1/0表示不存在，+1/0=1/0+=+∞，1/0-=-1/0=-∞，左边的符号是左趋近，右边的符号是右趋近，第一个是符号，第二个是单调性

四则运算

sin（α±β）=sin αcos β±cos αsin β

sin2α=2sin αcos α

sin（α+2kπ）=sin α

sin(-α）=-sin α

sin（π-α）=sin α

sin（π/2-α）=cos α

sin α=cos（π/2-α）

sin（π+α）=-sin α

sin（3π/2-α）=-cos α

sin（3π/2+α）=-cos α