高中物理竞赛全套教程讲座之二：4.5 自感磁场的能量

§4．5 自感磁场的能量
4．5．1、自感
(1)自感电动势、自感系数
回路本身的电流变化而在回路中产生的电磁感应现象叫自感现象。

在自感现象中回路产生的电动势叫自感电动势。

由法拉第电磁感定律
t n
∆∆Φ
=ε
这里磁通Φ是自身电流产生磁场的磁通，按照毕奥—萨尔定律，线圈中的电流所激发的磁场的磁感应强度的大小与电流强度成正比。

因而应有
t I t ∆∆∞∆∆Φ//。

根据法拉第电磁感应定律，可得自感到电动势
t I
L
∆∆-=ε自
式中L 为比例系数，仅与线圈的大小、形状、匝数以及周围介质情况有关，称为自感系数。

在国际单位制中，自感系数的单位是亨利。

式中负号表示自感电动势的方向。

当电流增加时，自感电动势与原有电流的方向相反；当电流减小时，自感电动势与原有电流的方向相同。

要使任何回路中的电流发生改变，都会引起自感应对电流改变的反抗，回路的自感系数越大，自感应的作用就越强，改变回路中的电流也越困难。

因此自感系数是线圈本身“电磁惯性”大小的量度。

(2)典型的自感现象及其规律
如图4-5-1所示电路由电感线圈L 和灯泡A ，以及电阻R 和灯泡B
组成两个支路连接在一个电源两端。

A 、B 灯泡相同，当K 闭合瞬时，L —A 支路
L A B R
K
图4-5-1
I 图4-5-2
中，由于L 的自感现象，阻碍电流增大，所以A 不能立即发光，而是逐渐变亮，而B 立即正常发光。

当稳定后，电流不再变化时，L 只在电路中起一个电阻的作用。

流过L —A 支路的电流1I ，此时L 中贮存磁场能为
2121LI W =
(在后介绍)
当K 断开瞬间，L 中电流要减小，因而会产生自感电动势ε，在回来L —A —B —R 中产生感应电流，从能量观点来看，L 释放线圈中磁场能，转变成电能消耗在回路中，所以A 、B 灯泡应是在K 断开后瞬间逐渐熄灭，其回路中电流时间变化如图4-5-2所示。

4．5．2、磁场的能量
见图4-5-3，当K 闭合后，回路中电流ι将从零不断增加，而自感系数为L 的线圈中将产生自感电动势
t i
∆∆-
=ε自阻碍电流的增加，ε和自ε合起来产生电流通过
电阻R
Ri t i
L
=∆∆-ε
即
t i
L
Ri ∆∆+=ε
式中i 是变化的，方程两边乘以t i ∆并求和图5-2-1
∑∑∑∆+∆=∆εi Li t Ri t i 2
显然，方程的左边是电源输出的能量，而方程右边第一项是在电阻R 上产生的焦耳热，那剩下的一项显然也是能量，是储存在线圈中的磁场能，下面我们求它的更具体的表达式：
K R
L
ε
图4-5-3
K 刚闭合时，i =0，而当电路稳定后，电流不再变化，自感电动势变为零，稳定电流
R I ε
=
(忽略电源内阻)，∑∆i Li 这个求和式的
求和范围从0到I ，令，y=i 并以i 为横作标，y 为纵坐标做一坐标系，则y=i 在坐标系中为第
一象限的角平分线。

在横作标i 处取i ∆-，i ∆很小，可认为对应的y 为常量，窄条面积i i i y S ∆=∆=∆，把从0到I 的所有窄条面积加起来∑∑∆=∆i i i y 即为y=i 与i 轴所夹三角形面积，故
∑∑=∆=∆2
21
I i i i y
代入∑∆i Li 可知储存线圈内的能量。

2
21LI W =
从公式看，能量是与产生磁场的电流联在一起的，下面我们求出直螺线管的自感系数从而证实能量是磁场的。

设长直螺线管长为l ，截面积为S ，故绕有N 匝线圈，管内为真空。

当线圈中通有电流I 时，管内磁场的磁感应强度nI B 0ϕ=，通过N 匝线圈的磁通量
IS
l N IS l N N NBS 2
00ϕ=ϕ==Φ
与LI =Φ相比较，可得
S
l N L 2
0ϕ=
将代
S l N L 2
ϕ=，N Bl
n B I 00ϕ=ϕ=
代入磁场能量式
图4-5-4
v n B
N Bl S l N n W 0
2
2
2
2121=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ϕ
单位体积的磁场能量为 02
2n B
与电场的能量密度2
021
E ε相比较，公式何等相似。

从电学、磁学公式中，我
们知道01
ε对应于0n ，公式的相似来源于电场，磁场的对称性。

磁场的能量密度公式告诉我们，能量是与磁场联系在一起的。

只要有磁场，
就有B
，就有能量。

另外，公式虽是从长直螺线管的磁场这一特例推导出来，但
对所有磁场的均适用。

典型例题
例1、如图4-5-5所示的电路中，电池的电动势
V
12=ε，内阻
,2,15,9,2;1321H L R R R r =Ω=Ω=Ω=Ω=开始时电键K 与A 接通。

将K 迅速地由A 移至与B 接通，则线
圈L 中可产生的最大自感电动势多大？
分析：K 接在A 点时，电路中有恒定电流I ，当K 接至B 瞬间时，线圈中自感所产生的感应电动势应欲维持这一电流，此瞬时电流I 就是最大值，维持此电流的感应电动势就是最大自感电动势。

解：L 为纯电路，直流电阻不计，K 接在A 时，回路稳定时电流I 为
A
r R R I 12
21=++=
当K 接到B 点时，线圈中电流将逐渐减小至零，但开始时刻，电流仍为A I 1=，根据欧姆定律，维持这电流的瞬时自感电动势为
L
B
A K R 1 R 2
R 3
r ⋅ε
图4-5-5
)(32R R I L +=ε
V 24=
以后电流变小，自感电动势也减小直至零。

例2、由半径11=r 毫米的导线构成的半径102=r 厘米的圆形线圈处于超导状态，开始时线圈内通有100安培的电流。

一年后测出线圈内电流的减小量不足
610-安培，试粗略估算此线圈电阻率的上限。

解：线圈中电流)(t I 的减小将在线圈内导致自感电动势，故
(1)
IR t I
L
=∆∆-=ε
式中L 是线圈的自感系数
I L Φ=
在计算通过线圈的磁统量Φ时，以导线附近即1r 处的B 为最大，而该处B 又可把线圈当成无限长载流导线所产生的，即
1012)(r I n r B π=
Φ＜B )
(2)(1
2
2022
1t I r r n r r =π
I L Φ
=
＜12
202r r n (2)
而
212
21222r r r r R ρππρ
== (3)
把式(2)和式(3)代入式(1)，得
ρ ＜ t I I r r ∆∆ϕ-
4210 (4)
把3110-=r 米，1
210-=r 米，100≈I 安培及
t I
∆∆-＜146102.336002436510--⨯≈⨯⨯安培/秒
代入式(4)得
ρ＜26100.1-⨯欧姆/米
这就是超导线圈电阻率的上限。