程序设计方法-动态规划法

(p( 0,6,3)|q=0) = 3 * p( 1,6,2 )
q=l+1=1 3 2 1 5 1 2 5 01234 5 6
d( l,q)=d(0,1)=32 p( q+1,r,k-1 )=p( 2,6,2 )
(p( 0,6,3)|q=1) = 32 * p( 2,6,2 )
q=l+2=2 3 2 1 5 1 2 5 01234 5 6
p( 5,6,1 )
2*5
25 56
p(5,6,1) = 10
p( 1,6,2 )= max { 2 * p( 2,6,1 ) , 21 * p( 3,6,1) , 215 * p( 4,6,1) , 2151 * p( 5,6,1) }
=max{2*7560,21*2560,215*60,2151*10} = 53760
《程序设计实践》
程序设计方法之 动态规划
任务:摘桃子（1104)
长满桃子的树很大，共有n层（最
高层为第1层），第i层有i条树枝，
1
树的形状呈一个三角形（如图）
图中的点表示树枝，每个点上方的数字表示这条
树枝最多能摘到的桃子数
2
3
在摘得某枝条的桃子之后，小猴子只能选择往左 上方爬或者是往右上方爬
A1
P(D) = max{P(G), P(H)}+7 P(E) = max{P(H), P(I)}+6
B2 C9
P(F) = max{P(I), P(J)}+5
D7 E6 F 5
P(G) = 2, P(H) = 3, P(I) = 6, P(J) = 4
G2 H3 I 6 J4 x
将底层到每个点的最长路径P也存放在二维 数组中
参考程序如下
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <iostream>
using namespace std;
#define MAXLAYER 110
int maxnum(int x, int y) {
if (x > y) return x;
动态规划的指导思想是：在做每一步决策时， 列出各种可能的局部解，之后依据某种判定条 件，舍弃那些肯定不能得到最优解的局部解。
在每一步都经过筛选，以每一步都是最优的来 保证全局是最优的。
筛选相当于最大限度地有效剪枝（从搜索角度 看），效率会十分高。
但它又不同于贪心法。贪心法只能做到局部最 优，不能保证全局最优，因为有些问题不符合 最优性原理。
12 5 456
p(5,6,1) = 2 * 5 = 10
p(4,6,2) = 1 * p(5,6,1) = 10
p( 0,6,3)= max{ 3 * p( 1,6,2 ) , // q=0 32 * p( 2,6,2 ) , // q=1 321* p( 3,6,2 ) , // q=2 3215 * p( 4,6,2 ) } // q=3
动态规划与贪心法区别
贪心法产生一个按贪心策略形成的判定序 列，该序列不保证解是全局最优的。
动态规划会产生许多判定序列，再按最优 性原理对这些序列加以筛选，去除那些非 局部最优的子序列。
举例说明动态规划思路
问题： 在数字串中插入若干乘号使 总的乘积最大
*
**
s
3215 1 2 5
0123 4 5 6
请插入3个乘号使乘积最大 32*15*12*5=28800 3*215*12*5=38700 321*51*2*5=163710
解题思路
定义 : 从 l 到 r 加入 k 个乘号的最大乘积
值
*
p( l , r , k )
l l+1 l+2 . . . q q+1 q+2 . . . r
d(l,q)
5 * p(4,6,1 )
51 2 5 34 5 6
51 * p(5,6,1)
51 2 5 34 5 6
p( 3,6,2 ) = { 5 * 60 , 51 * 10 } = 510
p( 4,6,2 )
1*2*5
125 456
p( 4,6,2 ) = 10
p( 4,6,2 )
1* p(5,6,1 )
桃子的数目，我们定义为路径 7 6 5 长度。 原问题转化为求所有路径中路 2 3 6 4
径长度的最大值。
问题分析（续）
按照前面的思路，最长路径的长度是：
P(A) = max{P(B), P(C)}+1
y
P(B) = max{P(D), P(E)}+2
P(C) = max{P(E), P(F)}+9
for (i = 0; i < n; i++)
// n-i层的的节点
{
for (j = 0; j < k; j++)
{
cin >> peachtree[j][n-i-1];
}
k++;
}
参考程序（续）
//初始化P[x][0] for (i = 0; i < n; i++) {
P[i][0] = peachtree[i][0]; }
}
}
cout << P[0][n-1] << endl;retur Nhomakorabea 0; }
动态规划
阶段 状态 决策 状态转移方程
动态规划的几个概念:
阶段：据空间顺序或时间顺序对问题的求解 划分阶段。
状态：描述事物的性质，不同事物有不同的 性质，因而用不同的状态来刻画。对问题 的求解状态的描述是分阶段的。
//递推过程P[x][y] = max{P[x][y-1], P[x+1][y-1]}+peachtree[x][y]
for (j = 1; j < n; j++)
// i是行号，j是列号
{
for (i = 0 ; i + j < n; i++)
{
P[i][j] = maxnum(P[i][j-1], P[i+1][j-1])+peachtree[i][j];
else return y;
}
//返回2个整数中的大者
参考程序（续）
int main() {
int peachtree[MAXLAYER][MAXLAYER]; int P[MAXLAYER][MAXLAYER]; int i, j, k, n;
//读入数据
cin >> n;
k = 1; //当前这层的节点数目
d( l,q)=d(0,2)=321 p( q+1,r,k-1 )=p( 3,6,2 )
(p( 0,6,3)|q=2) = 321 * p( 3,6,2 )
q=l+3=3 3 2 1 5 1 2 5 01234 5 6
d( l,q)=d(0,3)=3215 p( q+1,r,k1 )=p( 4,6,2 )
151 2 5 234 5 6
151 2 5 234 5 6
151 2 5 234 5 6
151 2 5 234 5 6
p(2,6,1) = max { 1 * 5125 , 15 * 125 , 151 * 25 , 1512 * 5 }
= 7560
p( 3,6,1 )
5 * 125
51 2 5 34 5 6
从上述两条路径中选择一条最优的
令
令P(X)表示从底层到X点可以摘到最多桃子数目， 包含X点可以摘到的桃子数目
则：P(A) = max{P(B)，P(C)}+1
思路（续）
而第1阶段的
P(B) = max{P(D), P(E)}+2 P(C) = max{P(E), P(F)}+3 按照题意，P(D),P(E),P(F)分别初始化为4, 6, 5
51 * 25
51 2 5 34 5 6
5 12* 5
51 2 5 34 5 6
p( 3,6,1 )=max{5*125, 51*25, 512*5 }
= 2560
p( 4,6,1 )
1 * 25
125 456
12 * 5
125 456
p( 4,6,1 ) = max { 1 * 25, 12 * 5 } = 60
数据结构(续)
#define MAXLAYER 3 int peachtree[MAXLAYER][MAXLAYER] = {
{1, -1, -1, -1}, {2, 9, -1, -1}, {7, 6, 5, -1}, {2, 3, 6, 4} }; int P[MAXLAYER][MAXLAYER]
( p( 0,6,3)|q=3) = 3215 * p( 4,6,2 )
p( 0,6,3)= max{ 3 * p( 1,6,2 ) , // q=0 32 * p( 2,6,2 ) , // q=1 321* p( 3,6,2 ) , // q=2 3215 * p( 4,6,2 ) } // q=3
决策：根据题意要求，对每个阶段所做出的 某种选择性操作。
状态转移方程：用数学公式描述与阶段相关 的状态间的演变规律。
动态规划相关概念
动态规划是运筹学的一个重要分支，是解 决多阶段决策过程最优化的一种方法
所谓多阶段决策过程，是将所研究的过程 划分为若干个相互联系的阶段，在求解时， 对每一个阶段都要做出决策，前一个决策 确定以后，常常会影响下一个阶段的决策。
数组行上存放桃树上一层中每个树枝上桃子数