一次函数的应用题分类总结整理
一、明确函数类型，利用待定系数法构建函数表达式；
特点：所给问题中已经明确告知为一次函数
．．．．关系或者给出函数的图像为直线或直线的一部分时，就等于告诉我们此函数为“一次函数”，此时可以利用待定系数法，设关系式为：y=kx+b ,然后寻找满足关系式的两个x与y的值或两个图像上的点，代入求解即可。
常见题型：销售问题中售价与销量之间常以表格形式给出的有规律的变化，蕴含着一次函数关系；行程问题中的路程与时间的关系常给出函数的图像（多是直线或折线）；
【典型例题赏析】
1．（2010 江苏连云港）（本题满分10分）我市某工艺品厂生产一款工艺品．已知这款工艺品的生产成本为每件60元．经市场调研发现：该款工艺品每天的销售量y(件)与售价x(元)之间存在着如下表所示的一次函数关系．
售价
…70 90 …
x(元)
销售
…3000 1000 …
量y(件)
（1）求销售量y(件)与售价x(元)之间的函数关系式；
（2）你认为如何定价才能使工艺品厂每天获得的利润为40 000 元？
2.已知A、B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，
甲车到达B城后立即沿原路返回．图2是它们离A城的距离y（千米）
与行驶时间x（小时）之间的函数图像。
（1）求甲车在行驶过程中y与x之间的函数关系式；
（2）当它们行驶了7小时时，两车相遇．求乙车的速度.
3．（2010浙江湖州）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为x(时)，两车之间的距离为y(千米)，图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系．
（1）根据图中信息，求线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；
（2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t 的值；
（3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y关于x的函数的大致图像。
二、根据各类信息猜测函数类型为一次函数，并验证猜想。
（课本168页“一起探究”）
特点：所给问题中并不明确告知函数类型，而让同学自己通过分析数据变化规律，猜测函数类型，并说明理由或加以验证，此类问题应“有猜有验”或者要文字说明推断是“一次函数”的理由，
常见题型：给问题多是表格形式出现或者通过描点观察函数图像的形状猜测类型。
【典型例题赏析】
1.（2011四川乐山）某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费y（元）与复印页数x （页）的关系如下表：
x(页) 100 200 400 1000 …
y(元) 40 80 160 400
⑴、若y与x满足我们学过的某一函数关系，求函数的解析式；
⑵、现在乙复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页0.15元收费。
则乙复印社每月收费y（元）与复印页数x（页）的函数关系为；
⑶、在给出的坐标系内画出（1）、（2）中的函数图象，并回答每月复印页数在1200左右应选择哪个复印社？
2．（2010重庆綦江县）“震灾无情人有情”，玉树地震牵动了全国人民的心，武警某部队接到命令，运送一批救灾物资到灾区，货车在公路A处加满油后，以每小时60千米的速度匀速行驶，前往与A处相距360千米的灾区B处．下表记录的是货车一次加满油后油箱内余油量y（升）与行驶时间x（时）之间关系：
0 1 2 3 4
行驶时间x
（时）
余油量y（升）11963
图15
单位：cm
（1）．．．．．．．．．．．．（不要求写出自变量的取值范围）
（2）如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变，货车行驶4小时后到达C 处，C 的前方12千米的D 处有一加油站，那么在D 处至少加多少升油，才能使货车到达灾区B 处卸去货物后能顺利返回D 处加油？（根据驾驶经验，为保险起见，油箱内余油量应随时不少于10升）
三、利用问题中各个量之间的关系，变形推导所求两个变量之间的函数关系式；
特点：所给题目一般涉及三个以上的量，而这些数量之间往往互相牵制，互有联系，因此要有足够耐心审题并逐个理清两两之间的关系，书写所要求的函数关系时要注意适当的等量代换！
【典型例题赏析】
1.（2009河北）某公司装修需用A 型板材240块、B 型板材180块，A 型板材规格是60 cm×30 cm，B 型板材规格是40 cm×30 cm．现只能购得规格是150 cm×30 cm 的标准板材．一张标准板材尽可能多地裁出A 型、B 型板材，共有下列三种裁法：（图15是裁法一的裁剪示意图）
y 张、按裁法三裁z 张，且所裁出的A 、B 两种型号的板材刚好够用． （1）上表中，m = ，n = ； （2）分别求出y 与x 和z 与x 的函数关系式；
（3）若用Q 表示所购标准板材的张数，求Q 与x 的函数关系式， 并指出当x 取何值时Q 最小，此时按三种裁法各裁标准板材 多少张？ 解：（1）0 ，3．
（2）由题意，得2240x y +=， ∴11202
y x =-． 23180x z +=，∴2603
z x =-． （3）由题意，得 1
2120602
3
Q x y z x x x =++=+-+-．
整理，得 11806Q x =-． 由题意，得11202
2603x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩
≥0≥0
解得 x ≤90．
【注：事实上，0≤x ≤90 且x 是6的整数倍】
由一次函数的性质可知，当x =90时，Q 最小．此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张． 2.“一方有难，八方支援”．在抗击“5．12”汶川特大地震灾害中，某市组织20辆汽车装运食品、药品、生活用品三种救灾物资共100吨到灾民安置点．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种救灾物资且必须装满．根据表中提供的信息，解答下列问题：
（1）设装运食品的车辆数为x ，装运药品的车辆数为y ．求y 与x 的函数关系式； （2）如果装运食品的车辆数不少于5辆，装运药品的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有哪几种方案?（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案?并求出最少总运费．
解：1、设装运生活用品的车辆数为z ，根据题意可得如下方程： 6x+5y+4z=100 (1) x+y+z=20 (2)
由（2）得z=20-(x+y)，代入（1）得 y=20-2x （3） 2、当x ≥5时 y ≤10 当y ≥4时 x ≤8
因此，由（2）、（3）可知有如下4种安排方案 1)x=5,y=10,z=5; 2)x=6,y=8,z=6; 3)x=7,y=6,z=7; 4)x=8,y=4,z=8. 3、设总运费为Q ，则 Q=120*6x+160*5y+100*4z
将式（2）、（3）代入得 Q=16000-480x 所以，当x 取最大值x=8时，Q 取最小值Q=12160
3.（2011•达州）我市化工园区一化工厂，组织20辆汽车装运A 、B 、C 三种化学物资共200吨到某地．按计划20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种物资且必须装满．请结合表中提供的信息，解答下列问题：
（1）设装运A 种物资的车辆数为x ，装运B 种物资的车辆数为y ．求y 与x 的函数关系式； （2）如果装运A 种物资的车辆数不少于5辆，装运B 种物资的车辆数不少于4辆，那么车辆的安排有几种方案？并写出每种安排方案；
（3）在（2）的条件下，若要求总运费最少，应采用哪种安排方案？请求出最少总运费．
200)20(81012=--++y x y x 200881601012=--++y x y x 202=+y x ∴x y 220-=……………………2分
（2）根据题意，得：
⎩⎨
⎧≥-≥4
2205
x x 解之得：85≤≤x ∵x 取正整数，∴=x 5，6，7，8……………………4分 ∴共有4种方案，即
（3）设总运费为M 元，
则M=)
⨯
+
-
-
+
12-
⨯
x
x
⨯x
+
240
x
(
10
20
2
20
8
200
)
(
320
2
20
即：M=64000
1920+
-x
∵M是x的一次函数，且M随x增大而减小，
∴当x=8时，M最小，最少为48640元……………………7分
四、自觉运用函数思想，构建函数模型解决（最值、决策）问题（课本复习题178页C组）
特点：当问题中并没有提到谁与谁之间的函数关系如何，而是交代了一些量的关系，最后问题往往是请同学们进行决策如何获取最大利润或者如何涉及最合算方案？
【典型例题赏析】
1.(2010 南京) 甲车从A地出发以60km/h的速度沿公路匀速行驶，0.5小时后，乙车也从A 地出发，以80km/h的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶，求乙车出发后几小时追上甲车。
请建立一次函数关系
．．．．．．．．解决上述问题。
2.某超市经销A,B两种商品,A种商品每件进价20元,售价30元;B种商品每件进价35元,售价48元，该超市准备用800元去购进A、B两种商品若干件，怎样购进才能使超市经销这两种商品所获利润最大（其中B种商品不少于7件）？
3.某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性
笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）．
（1）分别写出两种优惠方法购买费用y（元）与所买水性笔支数x（支）之间的函数关系式；
（2）对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；
（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．。
一次函数实际应用题归纳
一次函数实际应用题归纳一次函数，听起来有点学术，但其实在生活中随处可见。
就像你和朋友约好一起去吃饭，路上那条长长的直线，车速一快，距离一缩，这就是一次函数的魅力呀！简单来说，一次函数就是一种线性关系。
说得直白点，就是“走得越快，离目的地越近”，这不就是咱们每天都在经历的事情吗？想象一下，你跟朋友去咖啡店，点了两杯拿铁，结果发现一杯要25块，另一杯也是25块。
那你们的总花费就是两杯乘以单价，哎呀，这不就是简单的数学嘛！我们常常说“钱没了就没了”，但这个公式却让我们轻松搞定了账单。
其实生活中的许多场景都能用一次函数来解释，比如说你每天上班的路程。
如果你骑自行车，骑得快一点，路上不堵车，那你很快就能到达公司，反之就得在车流中慢慢等。
再说说购物的事儿。
谁不喜欢逛街呢？你去超市买苹果，标价每斤10块，结果你一买就是三斤，嘿嘿，这个时候你就知道，三斤苹果的价格是30块。
这就是一次函数在你买买买的瞬间大显身手。
真是让人感慨万千，花钱的速度和回家的距离，都是成正比的嘛。
再聊聊你请朋友吃饭的故事。
大家一起聚餐，点了满桌的菜，最后结账的时候，常常是一人一半。
如果你们一共花了400块，那每个人就是200块。
简单吧？这就像是在学校学的数学题，虽然一开始可能会觉得复杂，但慢慢琢磨，就会觉得原来真没那么难。
就像“好事成双”，花钱的同时也收获了友情，这才是最重要的。
说到这里，我们不得不提一下交通。
你在高速公路上开车，车速越快，油耗越高。
一次函数在这里也同样适用。
你开了120公里的速度，油表一下子就掉得快，等到油箱见底，你就得停下来加油。
这种直线的关系，让你无时无刻不在感受到生活的规律。
朋友们总说，开车上路，别急，慢慢来，其实也是在告诉我们，有时候慢就是快，心态才最重要。
当然了，生活中还有许多有趣的例子。
比如说你做运动，越勤奋，越能瘦下来。
一次函数也告诉我们，努力和成果成正比。
每天跑步半小时，体重就能慢慢下降，这种感觉可比买到打折商品还要爽。
一次函数应用题(选择方案)(一)
一次函数应用题（选择方案）（一）1类型一: 利用函数值的大小选择方案例1 紧俏商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获得15%的利润，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付存储费700元，请根据商场的资金情况，判断一下选择哪种销售方式获利较多，并说明商场投资25000元时，哪种销售方式获利较多。
2 类型二选择购买方案例2 甲乙两家体育器材商店出售同样地乒乓球拍和乒乓球，球拍每幅定价60元，乒乓求每盒定价10元。
今年世界乒乓球锦标赛期间，两家商店都搞促销活动：甲商店规定每买1副乒乓球拍赠2盒乒乓球；乙商店规定所有商品9折优惠。
某校乒乓球队需要2副乒乓球拍，乒乓球若干盒（不少于4盒）设该校要买乒乓求x盒，所需商品在甲商店购买需用y1元，在乙商店购买需要用y2元。
（1）请分别写出y1、y2与之间的函数解析式（不注明自变量x的取值范围）；（2）对x的取值情况进行分析，试说明在哪一家商店购买所需商品比较便宜；（3）若该校要买2副乒乓球拍和20盒乒乓球，在不考虑其他因素的情况下，请你设计一个最省钱的购买方案。
例3、商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价为20元，茶杯每只定价为5元，该店制定了两种优惠办法：(1)买一只茶壶送一只茶杯；（2）按总价的92%付款。
某顾客需购茶壶4只，茶杯若干只（不少于4只），若设购买茶杯数为x（只），付款数为y(元)，试分别写出两种优惠办法中y(元)与x（只）之间的函数解析式，并讨论两种办法中哪种更省钱。
3类型三选择生产方案问题例4、某工厂生产某种产品，每件产品出厂价为1万元，其原材料成本价（含其他损耗）为0.55万元，同时在生产过程中平均每生产一件产品有1吨的废渣产出，为达到国家环保要求，需要对废渣进行处理，现有两种方案可供选择：方案一：由工厂对废渣直接处理，每处理1吨废渣所用的原料费为0.05万元，并且每月设备维护及损耗费为20万元。
方案二：工厂将废渣集中到废渣厂处理，每处理一吨需付0.1万元的处理费。
一次函数的实际应用分类题型
一次函数的实际应用①求出它们的交点坐标是②则方程组220.51y xy x=-⎧⎨=+⎩的解是.③当x时,y1＞y2④当x时,y1=y2⑤当x时,y1＜y2举一反三：（2010云南玉溪）某种铂金饰品在甲、乙两个商店销售．甲店标价477元／克，按标价出售，不优惠．乙店标价530元／克，但若买的铂金饰品重量超过3克，则超出部分可打八折出售．⑴分别写出到甲、乙商店购买该种铂金饰品所需费用y（元）和重量x（克）之间的函数关系式；⑵李阿姨要买一条重量不少于4克且不超过10克的此种铂金饰品，到哪个商店购买最合算？模仿操练：1.（2010山东泰安）某电视机厂要印制产品宣传材料，甲印刷厂提出：每份材料收1元印刷费，另收1000元制版费；乙厂提出：每份材料收2元印制费，不收制版费.（1）分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x（份）之间的函数关系式；（2）电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制的宣传材料能多一些？（3）印刷数量在什么范围时，在甲厂的印制合算？2．(2009年潍坊)某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜产品需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择：方案一：从纸箱厂定制购买，每个纸箱价格为4元；方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱，机器租赁费按生产纸箱数收取．工厂需要一次性投入机器安装等费用16000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元．（1）若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出从纸箱厂购买纸箱的费用y（元）和蔬菜加1工厂自己加工制作纸箱的费用y（元）关于x（个）的函数关系式；2（2）假设你是决策者，你认为应该选择哪种方案？并说明理由．3．（2010辽宁丹东市）某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）．（1）分别写出两种优惠方法购买费用y（元）与所买水性笔支数x（支）之间的函数关系式；（2）对x的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．一次函数的实际应用（分配方案问题）基础扫描：利用题意中的数量关系建立函数模型，利用自变量及其相关的代数式的实际意义确定其取值范围，是求函数实际问题中的常用方法。
一次函数的应用问题归纳总结
一次函数的应用问题归纳总结一、求表达式：1、已知两点坐标例：在平面直角坐标系中，已知直线经过点A（4，4），B（﹣2，1）．求直线AB所对应的函数表达式。
2、通过文字叙述例：从地面竖直向上抛射一个小球，在落地之前，物体向上的速度v（m/s）是运动时间t（s）的一次函数．经测量，该物体的初始速度（t＝0时物体的速度）为25m/s，经过2s物体的速度为5m/s．（1）请你求出v与t之间的函数关系式；（2）经过多长时间，物体将达到最高点？（此时物体的速度为0）3、通过图像（表格）例：去年入夏以来，全国大部分地区发生严重干旱，某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准．若某户居民每月应缴水费y（元），用水量x（吨）的函数，其图象如图所示，（1）分别写出x≤5和x＞5的函数解析式．（2）观察函数图象，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准．（3）若某户居民该月用水3.5吨，则应交水费多少元？若某户居民该月交水费9元，则用水多少吨？二、求面积例1、已知一次函数y＝kx+b的图象平行于直线y＝﹣3x，且经过点（2，﹣3）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求这个一次函数与两坐标轴所围成的图形面积．例2、如图：已知一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（0，2），且与正比例函数y＝x的图象交于点C（m，4）（1）求m的值；（2）求一次函数表达式；（3）求这两个函数图象与x轴所围成的△AOC的面积．例3、如图，一次函数y＝﹣x+m的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B，与正比例函数y＝x图象交于点P（2，n）．（1）求m和n的值；（2）求△POB的面积；（3）在直线OP上是否存在异于点P的另一点C，使得△OBC与△OBP的面积相等？若存在，请求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．例4、如图，直线l1：y1=﹣x+m与y轴交于点A（0，6），直线l2：y2=kx+1分别与x轴交于点B（﹣2，0），与y轴交于点C．两条直线相交于点D，连接AB．（1）求两直线交点D的坐标；（2）求△ABD的面积；（3）根据图象直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．三．求两直线的交点例：如图，直线l1：y1=﹣x+m与y轴交于点A（0，6），直线l2：y2=kx+1分别与x轴交于点B（﹣2，0），与y轴交于点C．两条直线相交于点D，连接AB．（1）求两直线交点D的坐标；（2）求△ABD的面积；（3）根据图象直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．四．性质的应用例1、已知一次函数y＝kx+b的图象平行于直线y＝﹣3x，且经过点（2，﹣3）．（1）求这个一次函数的解析式；（2）求这个一次函数与两坐标轴所围成的图形面积．例2、在平面直角坐标系中，已知一次函数y=1-x的图象经过P1（2，y1）、2+P2（4，y2）两点，则y1y2（填“>”或“<”）．例3、如图，直线l1：y1=﹣x+m与y轴交于点A（0，6），直线l2：y2=kx+1分别与x轴交于点B（﹣2，0），与y轴交于点C．两条直线相交于点D，连接AB．（1）求两直线交点D的坐标；（2）求△ABD的面积；（3）根据图象直接写出y1＞y2时自变量x的取值范围．一次函数在近3年中考中的应用2019年成都考点：求两个一次函数的交点，求一次函数和反比例函数的交点，求三角形的面积。
一次函数应用题知识点总结
一次函数应用题知识点总结一次函数是数学中的基础函数之一，其形式为y = kx + b，其中k和b为常数，x为自变量，y为因变量。
一次函数的图像是一条直线，其特点是斜率为k，截距为b。
在生活中，一次函数具有丰富的应用场景，例如经济学中的成本和收益分析、物理学中的速度和加速度问题、工程学中的线性规划问题等。
因此，掌握一次函数的知识对于解决实际问题具有重要意义。
本文将对一次函数的应用进行详细总结，包括经济学、物理学、工程学等方面的具体应用案例和解题方法。
经济学中的应用1. 成本和收益分析在经济学中，企业通常需要对生产成本和收益进行分析，以便制定合理的生产策略。
一次函数可以用来描述成本和收益的关系，其中斜率代表每单位产量的成本变化率，截距代表固定成本。
假设某企业生产某种产品，设生产成本C与产量x之间的关系为C = kx + b，其中k为单位产量成本，b为固定成本。
企业的总成本可以表示为C = kx + b，总收益可以表示为R = px，其中p为产品的售价。
则企业的利润为P = R - C = px - (kx + b) = (p - k)x - b，由于p - k为单位产量利润，因此利润与产量的关系是一次函数。
企业如果要最大化利润，可以通过求解一次函数的最大值来确定最优产量。
假设一次函数P = (p - k)x - b，当x达到最大值时，利润P也达到最大值。
2. 税收和福利分析在宏观经济学中，政府税收政策对社会福利的影响是一个重要的研究课题。
一次函数可以用来描述税收和福利之间的关系，其中斜率代表福利变化率，截距代表固定福利。
假设政府对某种商品征税，税收收入T与商品销量x之间的关系为T = kx + b，其中k为单位销量税收，b为固定税收。
利用一次函数可以进行福利分析，例如探讨税收调整对社会福利的影响。
物理学中的应用1. 速度和加速度问题在物理学中，一次函数可以描述物体的运动情况。
假设某物体在t时刻的位移为s(t)，速度为v(t)，加速度为a(t)，则s(t)、v(t)和a(t)之间的关系可以用一次函数来描述。
一次函数的应用题分类总结整理
实际问题中构建“一次函数”模型的常见方法一、确定解析式的几种方法：1. 根据实际意义直接写出一次函数表达式，然后解决相应问题；（直表法）2. 已经明确函数类型，利用待定系数法构建函数表达式；（待定系数法）3. 利用问题中各个量之间的关系，变形推导所求两个变量之间的函数关系式；（等是变形法） 二、重点题型1. 根据各类信息猜测函数类型为一次函数，并验证猜想；2.运用函数思想，构建函数模型解决（最值、决策）问题（一）、根据实际意义直接写出一次函数表达式，然后解决相应问题特点：当所给问题中的两个变量间的关系非常明了时，可以根据二者之间的关系直接写出关系式，然后解决问题，1.某办公用品销售商店推出两种优惠方法：①购1个书包，赠送1支水性笔；②购书包和水性笔一律按9折优惠．书包每个定价20元，水性笔每支定价5元．小丽和同学需买4个书包，水性笔若干支（不少于4支）． （1）分别写出两种优惠方法购买费用y （元）与所买水性笔支数x （支）之间的函数关系式； （2）对x 的取值情况进行分析，说明按哪种优惠方法购买比较便宜；（3）小丽和同学需买这种书包4个和水性笔12支，请你设计怎样购买最经济．2，某实验中学组织学生到距学校6千米的光明科技馆去参观，学生王琳因事没能乘上学校的校车，于是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆，出租车的收费标准为：3千米以下（含3千米）收费8元，3千米以上，每增加1千米，收费1.8元。
（1）写出出租车行驶的里程数x 与费用y 之间的解析式。
（2）王彬身上仅有14元，乘出租车到科技馆的车费够不够？请你说明理由。
3、 某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0.13元。
（1）写出每月电话费y （元）与通话次数x 之间的函数关系式；（分段函数）（2）分别求出月通话50次、100次的电话费；（3）如果某月的电话费是27.8元，求该月通话的次数。
4、我市某地一家农工商公司收获的一种绿色蔬菜，共140吨，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后，每吨利润可达4500元，经细加工后，每吨利润为6500元。
专题12 一次函数(归纳与讲解)(解析版)
专题12 一次函数【专题目录】技巧1：一次函数常见的四类易错题技巧2：一次函数的两种常见应用技巧3：一次函数与二元一次方程(组)的四种常见应用【题型】一、正比例函数的定义【题型】二、正比例函数的图像与性质【题型】三、一次函数的定义求参数【题型】四、一次函数的图像【题型】五、一次函数的性质【题型】六、求一次函数解析式【题型】七、一次函数与一元一次方程【题型】八、一次函数与一元一次不等式【题型】九、一次函数与二元一次方程（组）【题型】十、一次函数的实际应用【考纲要求】1、理解一次函数的概念，会画一次函数的图象，掌握一次函数的基本性质．2、会求一次函数解析式，并能用一次函数解决实际问题.【考点总结】一、一次函数和正比例函数的定义【考点总结】二、一次函数的图象与性质【注意】1、确定一次函数表达式用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤:（1）由题意设出函数的关系式;（2）根据图象所过的已知点或函数满足的自变量与因变量的对应值列出关于待定系数的方程组;（3）解关于待定系数的方程或方程组，求出待定系数的值;（4）将求出的待定系数代回到原来设的函数关系式中即可求出.2、y＝kx＋b与kx＋b＝0直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x 轴交点的横坐标．3、y＝kx＋b与不等式kx＋b＞0从函数值的角度看，不等式kx＋b＞0的解集为使函数值大于零(即kx＋b＞0)的x的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x轴上方时，y＞0，因此kx＋b＞0的解集为一次函数在x 轴上方的图象所对应的x的取值范围．4、一次函数与方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点． 【技巧归纳】技巧1：一次函数常见的四类易错题【类型】一、忽视函数定义中的隐含条件而致错1．已知关于x 的函数y ＝(m ＋3)x |m ＋2|是正比例函数，求m 的值． 2．已知关于x 的函数y ＝kx－2k ＋3－x ＋5是一次函数，求k 的值．【类型】二、忽视分类或分类不全而致错3．已知一次函数y ＝kx ＋4的图像与两坐标轴围成的三角形的面积为16，求这个一次函数的表达式． 4．一次函数y ＝kx ＋b ，当－3≤x≤1时，对应的函数值的取值范围为1≤y≤9，求k ＋b 的值． 5．在平面直角坐标系中，点P(2，a)到x 轴的距离为4，且点P 在直线y ＝－x ＋m 上，求m 的值． 【类型】三、忽视自变量的取值范围而致错6．若等腰三角形的周长是80 cm ，则能反映这个等腰三角形的腰长y(cm )与底边长x(cm )的函数关系的图像是( )7．若函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋6（x≤3），5x （x>3），则当y ＝20时，自变量x 的值是( )A ．±14B ．4C ．±14或4D ．4或－148．现有450本图书供给学生阅读，每人9本，求余下的图书本数y(本)与学生人数x(人)之间的函数表达式，并求自变量x 的取值范围． 【类型】四、忽视一次函数的性质而致错9．若正比例函数y ＝(2－m)x 的函数值y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是( )A ．m<0B ．m>0C ．m<2D ．m>210．下列各图中，表示一次函数y ＝mx ＋n 与正比例函数y ＝mnx(m ，n 是常数，且mn≠0)的大致图像的是( )11．若一次函数y ＝kx ＋b 的图像不经过第三象限，则k ，b 的取值范围分别为k________0，b________0. 参考答案1．解：因为关于x 的函数y ＝(m ＋3)x |m ＋2|是正比例函数，所以m ＋3≠0且|m ＋2|＝1， 解得m ＝－1.2．解：若关于x 的函数y ＝kx－2k ＋3－x ＋5是一次函数，则有以下三种情况：①－2k ＋3＝1，解得k ＝1， 当k ＝1时，函数y ＝kx －2k ＋3－x ＋5可化简为y ＝5，不是一次函数．②x－2k ＋3的系数为0，即k ＝0，则原函数化简为y ＝－x ＋5，是一次函数，所以k ＝0.③－2k ＋3＝0，解得k ＝32，原函数化简为y ＝－x ＋132，是一次函数，所以k ＝32.综上可知，k 的值为0或32.3．解：设函数y ＝kx ＋4的图像与x 轴、y 轴的交点分别为A ，B ，坐标原点为O.当x ＝0时，y ＝4，所以点B 的坐标为(0，4)．所以OB ＝4.因为S △AOB ＝12OA·OB ＝16，所以OA ＝8.所以点A 的坐标为(8，0)或(－8，0)．把(8，0)代入y ＝kx ＋4，得0＝8k ＋4，解得k ＝－12.把(－8，0)代入y ＝kx ＋4，得0＝－8k ＋4，解得k ＝12.所以这个一次函数的表达式为y ＝－12x ＋4或y ＝12x ＋4.4．解：①若k>0，则y 随x 的增大而增大，则当x ＝1时y ＝9，即k ＋b ＝9. ②若k<0，则y 随x 的增大而减小， 则当x ＝1时y ＝1，即k ＋b ＝1. 综上可知，k ＋b 的值为9或1. 5．解：因为点P 到x 轴的距离为4，所以|a|＝4，所以a ＝±4，当a ＝4时，P(2，4)， 此时4＝－2＋m ，解得m ＝6. 当a ＝－4时，同理可得m ＝－2. 综上可知，m 的值为－2或6.6．D 7.D8．解：余下的图书本数y(本)与学生人数x(人)之间的函数表达式为y ＝450－9x ，自变量x 的取值范围是0≤x≤50，且x 为整数． 9．D 10.A 11.<；≥技巧2：一次函数的两种常见应用 【类型】一、利用一次函数解决实际问题 题型1：行程问题1．甲、乙两车从A 城出发匀速行驶至B 城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A 城的距离y(km )与甲车行驶的时间t(h )之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A ，B 两城相距300 km ；②乙车比甲车晚出发1 h ，却早到1 h ； ③乙车出发后2.5 h 追上甲车；④当甲、乙两车相距50 km 时，t ＝54或154.其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．甲、乙两地相距300 km ，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA 表示货车离甲地的距离y(km )与时间x(h )之间的函数关系，折线BCDE 表示轿车离甲地的距离y(km )与时间x(h )之间的函数关系，根据图像，解答下列问题：(1)线段CD 表示轿车在途中停留了________h ； (2)求线段DE 对应的函数表达式；(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．题型2：工程问题3．甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(h )之间的函数图像如图所示．(1)求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数表达式．(2)求乙组加工零件总量a的值．(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？题型3：实际问题中的分段函数4．某种铂金饰品在甲、乙两个商场销售．甲标价为477元/g，按标价出售，不优惠；乙标价为530元/g，但若买的铂金饰品质量超过3 g，则超出部分可打八折．(1)分别写出到甲、乙两个商场购买该种铂金饰品所需费用y(元)和质量x(g)之间的函数表达式；(2)李阿姨要买一个质量不少于4 g且不超过10 g的此种铂金饰品，到哪个商场购买合算？5.我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民的节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一个月用水10 t以内(包括10 t)的用户，每吨收水费a元；一个月用水超过10 t的用户，10 t水仍按每吨a元收费，超过10 t的部分，按每吨b(b＞a)元收费．设一户居民月用水x t，应交水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．(1)求a的值；某户居民上月用水8 t，应交水费多少元？(2)求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数表达式．【类型】二、利用一次函数解决几何问题题型4：利用图像解几何问题6．如图①所示，正方形ABCD的边长为6 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D 运动，设运动的时间为t(s)，△APD的面积为S(cm2)，S与t的函数图像如图②所示，请回答下列问题：(1)点P在AB上运动的时间为________s，在CD上运动的速度为________cm/s，△APD的面积S的最大值为________cm2；(2)求出点P 在CD 上运动时S 与t 之间的函数表达式； (3)当t 为何值时，△APD 的面积为10 cm 2?题型5：利用分段函数解几何问题(分类讨论思想、数形结合思想)7．在长方形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，动点P 从点A 开始按A→B→C→D 的方向运动到点D.如图，设动点P 所经过的路程为x ，△APD 的面积为y.(当点P 与点A 或D 重合时，y ＝0)(1)写出y 与x 之间的函数表达式； (2)画出此函数的图像．参考答案 1．B 2．解：(1)0.5(2)设线段DE 对应的函数表达式为y ＝kx ＋b(2.5≤x≤4.5)．将D(2.5，80)，E(4.5，300)的坐标分别代入y ＝kx ＋b 可得⎩⎪⎨⎪⎧80＝2.5k ＋b ，300＝4.5k ＋b.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝110，b ＝－195.所以y ＝110x －195(2.5≤x≤4.5)．(3)设线段OA 对应的函数表达式为y ＝k 1x(0≤x≤5)． 将A(5，300)的坐标代入y ＝k 1x 可得300＝5k 1， 解得k 1＝60.所以y ＝60x(0≤x≤5)． 令60x ＝110x －195，解得x ＝3.9.故轿车从甲地出发后经过3.9－1＝2.9(h )追上货车．3．解：(1)设甲组加工零件的数量y 与时间x 之间的函数表达式为y ＝kx ，因为当x ＝6时，y ＝360，所以k ＝60，即甲组加工零件的数量y 与时间x 之间的函数表达式为y ＝60x(0≤x≤6)． (2)a ＝100＋100÷2×2×(4.8－2.8)＝300.(3)当工作2.8 h 时共加工零件100＋60×2.8＝268(件)， 所以装满第1箱的时刻在2.8 h 后． 设经过x 1 h 恰好装满第1箱．则60x 1＋100÷2×2(x 1－2.8)＋100＝300，解得x 1＝3.从x ＝3到x ＝4.8这一时间段内，甲、乙两组共加工零件(4.8－3)×(100＋60)＝288(件)， 所以x>4.8时，才能装满第2箱，此时只有甲组继续加工． 设装满第1箱后再经过x 2 h 装满第2箱． 则60x 2＋(4.8－3)×100÷2×2＝300，解得x 2＝2.故经过3 h 恰好装满第1箱，再经过2 h 恰好装满第2箱． 4．解：(1)y 甲＝477x ，y 乙＝⎩⎪⎨⎪⎧530x （0≤x≤3），424x ＋318（x ＞3）.(2)当477x ＝424x ＋318时， 解得x ＝6，即当x ＝6时，到甲、乙两个商场购买所需费用相同； 当477x<424x ＋318时，解得x<6，又x≥4，于是当4≤x ＜6时，到甲商场购买合算； 当477x>424x ＋318时，解得x>6，又x≤10，于是当6＜x≤10时，到乙商场购买合算．5．解：(1)当x≤10时，由题意知y ＝ax.将x ＝10，y ＝15代入，得15＝10a ，所以a ＝1.5.故当x≤10时，y ＝1.5x.当x ＝8时，y ＝1.5×8＝12. 故应交水费12元．(2)当x ＞10时，由题意知y ＝b(x －10)＋15.将x ＝20，y ＝35代入，得35＝10b ＋15，所以b ＝2.故当x ＞10时，y 与x 之间的函数表达式为y ＝2x －5.点拨：本题解题的关键是从图像中找出有用的信息，用待定系数法求出表达式，再解决问题． 6．解：(1)6；2；18(2)PD ＝6－2(t －12)＝30－2t ，S ＝12AD·PD ＝12×6×(30－2t)＝90－6t ，即点P 在CD 上运动时S 与t 之间的函数表达式为S ＝90－6t(12≤t≤15)．(3)当0≤t≤6时易求得S ＝3t ，将S ＝10代入，得3t ＝10，解得t ＝103；当12≤t≤15时，S ＝90－6t ，将S ＝10代入，得90－6t ＝10，解得t ＝403.所以当t 为103或403时，△APD 的面积为10 cm 2.7．解：(1)点P 在边AB ，BC ，CD 上运动时所对应的y 与x 之间的函数表达式不相同，故应分段求出相应的函数表达式．①当点P 在边AB 上运动，即0≤x ＜3时， y ＝12×4x ＝2x ； ②当点P 在边BC 上运动，即3≤x ＜7时， y ＝12×4×3＝6； ③当点P 在边CD 上运动，即7≤x≤10时， y ＝12×4(10－x)＝－2x ＋20. 所以y 与x 之间的函数表达式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （0≤x ＜3），6 （3≤x ＜7），－2x ＋20 （7≤x≤10）. (2)函数图像如图所示．点拨：本题考查了分段函数在动态几何中的运用，体现了数学中的分类讨论思想和数形结合思想．根据点P 在边AB ，BC ，CD 上运动时所对应的y 与x 之间的函数表达式不相同，分段求出相应的函数表达式，再画出相应的函数图像．技巧3：一次函数与二元一次方程(组)的四种常见应用 【类型】一、利用两直线的交点坐标确定方程组的解1．已知直线y ＝－x ＋4与y ＝x ＋2如图所示，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋4，y ＝x ＋2的解为( )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1B .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3C .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝4D .⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝02．已知直线y ＝2x 与y ＝－x ＋b 的交点坐标为(1，a)，试确定方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －b ＝0的解和a ，b 的值．3．在平面直角坐标系中，一次函数y ＝－x ＋4的图像如图所示．(1)在同一坐标系中，作出一次函数y ＝2x －5的图像；(2)用作图像的方法解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，2x －y ＝5；(3)求一次函数y ＝－x ＋4与y ＝2x －5的图像与x 轴所围成的三角形的面积．【类型】二、利用方程(组)的解求两直线的交点坐标4．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧－mx ＋y ＝n ，ex ＋y ＝f 的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝6，则直线y ＝mx ＋n 与y ＝－ex ＋f 的交点坐标为( ) A ．(4，6) B ．(－4，6) C ．(4，－6) D ．(－4，－6)5．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1是二元一次方程ax ＋by ＝－3的两组解，则一次函数y ＝a x ＋b 的图像与y轴的交点坐标是( )A ．(0，－7)B ．(0，4)C .⎝⎛⎭⎫0，－37D .⎝⎛⎭⎫－37，0 【类型】三、方程组的解与两个一次函数图像位置的关系6．若方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x ＋2y ＝3没有解，则一次函数y ＝2－x 与y ＝32－x 的图像必定( )A ．重合B ．平行C ．相交D ．无法确定7．直线y ＝－a 1x ＋b 1与直线y ＝a 2x ＋b 2有唯一交点，则二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋y ＝b 1，a 2x －y ＝－b 2的解的情况是( )A ．无解B ．有唯一解C ．有两个解D ．有无数解 【类型】四、利用二元一次方程组求一次函数的表达式8．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图像经过点A(1，－1)和B(－1，3)，求这个一次函数的表达式． 9．已知一次函数y ＝kx ＋b 的图像经过点A(3，－3)，且与直线y ＝4x －3的交点B 在x 轴上．(1)求直线AB 对应的函数表达式；(2)求直线AB 与坐标轴所围成的△BOC(O 为坐标原点，C 为直线AB 与y 轴的交点)的面积．参考答案 1．B2．解：将(1，a)代入y ＝2x ，得a ＝2.所以直线y ＝2x 与y ＝－x ＋b 的交点坐标为(1，2)，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x ＋y －b ＝0的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.将(1，2)代入y ＝－x ＋b ，得2＝－1＋b ，解得b ＝3. 3．解：(1)画函数y ＝2x －5的图像如图所示．(2)由图像看出两直线的交点坐标为(3，1)，所以方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1.(3)直线y ＝－x ＋4与x 轴的交点坐标为(4，0)，直线y ＝2x －5与x 轴的交点坐标为⎝⎛⎭⎫52，0，又由(2)知，两直线的交点坐标为(3，1)，所以三角形的面积为12×⎝⎛⎭⎫4－52×1＝34. 4．A5.C6.B7.B8．解：依题意将A(1，－1)与B(－1，3)的坐标分别代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝－1，－k ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1.所以这个一次函数的表达式为y ＝－2x ＋1.9．解：(1)因为一次函数y ＝kx ＋b 的图像与直线y ＝4x －3的交点B 在x 轴上，所以将y ＝0代入y ＝4x －3中，得x ＝34，所以B ⎝⎛⎭⎫34，0， 把A(3，－3)，B ⎝⎛⎭⎫34，0的坐标分别代入y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧3k ＋b ＝－3，34k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝1. 则直线AB 对应的函数表达式为y ＝－43x ＋1.(2)由(1)知直线AB 对应的函数表达式为y ＝－43x ＋1，所以直线AB 与y 轴的交点C 的坐标为(0，1)， 所以OC ＝1，又B ⎝⎛⎭⎫34，0，所以OB ＝34.所以S △BOC ＝12OB·OC ＝12×34×1＝38.即直线AB 与坐标轴所围成的△BOC 的面积为38.【题型讲解】【题型】一、正比例函数的定义例1、若一次函数y=(m ﹣3)x+m 2﹣9是正比例函数，则m 的值为_______． 【答案】m=﹣3 【解析】∵y=(m ﹣3)x+m 2﹣9是正比例函数， ∵29030m m -⎧⎨-≠⎩＝解得m=-3． 故答案是：-3.【题型】二、正比例函数的图像与性质 例2、若正比例函数12y x =经过两点（1，1y ）和（2，2y ），则1y 和2y 的大小关系为（ ） A ．12y y < B ．12y y >C ．12y y =D ．无法确定【答案】A【分析】分别把点（1，1y ），点（2，2y ）代入函数12y x =，求出点1y ，2y 的值，并比较出其大小即可．【详解】∵点（1，1y ），点（2，2y ）是函数12y x =图象上的点， ∵112y =，21y =， ∵112<， ∵12y y <． 故选：A ．【题型】三、一次函数的定义求参数例3、已知一次函数3y kx =+的图象经过点A ，且y 随x 的增大而减小，则点A 的坐标可以是（ ） A ．()1,2-B ．()1,2-C ．()2,3D ．()3,4【答案】B【分析】先根据一次函数的增减性判断出k 的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可． 【详解】∵一次函数3y kx =+的函数值y 随x 的增大而减小， ∵k ﹤0，A ．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；B ．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；C ．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；D ．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=13﹥0，此选项不符合题意， 故选：B ．【题型】四、一次函数的图像例4、若m <﹣2，则一次函数()11y m x m =++-的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】由m ＜﹣2得出m +1＜0，1﹣m ＞0，进而利用一次函数的性质解答即可． 【详解】解：∵m ＜﹣2， ∵m +1＜0，1﹣m ＞0，所以一次函数()11y m x m =++-的图象经过一，二，四象限， 故选：D ．【题型】五、一次函数的性质例5、设k 0<，关于x 的一次函数2y kx =+，当12x ≤≤时的最大值是（ ） A ．2k + B ．22k +C ．22k -D ．2k -【答案】A【分析】利用一次函数的性质可得当x=1时，y 最大，然后可得答案． 【详解】∵一次函数2y kx =+中0k <， ∵y 随x 的增大而减小， ∵12x ≤≤，∵当1x =时，122y k k =⨯+=+最大， 故选：A ．【题型】六、求一次函数解析式例6、直线y kx b =+在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式2kx b +≤的解集是（ ）A ．2x -≤B ．4x ≤-C ．2x ≥-D ．4x ≥-【答案】C【分析】先根据图像求出直线解析式，然后根据图像可得出解集． 【详解】解：根据图像得出直线y kx b =+经过（0，1），（2，0）两点，将这两点代入y kx b =+得120b k b =⎧⎨+=⎩，解得112b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩，∵直线解析式为：112y x =-+， 将y=2代入得1212x =-+，解得x=-2，∵不等式2kx b +≤的解集是2x ≥-， 故选：C ．【题型】七、一次函数与一元一次方程例7、一次函数3y kx =+（k 为常数且0k ≠）的图像经过点（－2，0），则关于x 的方程()530k x -+=的解为（ ） A ．5x =- B ．3x =-C ．3x =D ．5x =【答案】C【分析】根据一次函数图象的平移即可得到答案．【详解】解：∵()53y k x =-+是由3y kx =+的图像向右平移5个单位得到的，∵将一次函数3y kx =+的图像上的点（－2，0）向右平移5个单位得到的点的坐标为（3，0） ∵当y=0时，方程()530k x -+=的解为x=3， 故选：C ．【题型】八、一次函数与一元一次不等式例8、如图，直线(0)y kx b k =+<经过点(1,1)P ，当kx b x +≥时，则x 的取值范围为（ ）A ．1x ≤B ．1≥xC ．1x <D ．1x >【答案】A【分析】将(1,1)P 代入(0)y kx b k =+<，可得1k b -=-,再将kx b x +≥变形整理，得0bx b -+≥，求解即可．【详解】解：由题意将(1,1)P 代入(0)y kx b k =+<，可得1k b +=，即1k b -=-， 整理kx b x +≥得，()10k x b -+≥， ∵0bx b -+≥， 由图像可知0b >， ∵10x -≤， ∵1x ≤， 故选：A ．【题型】九、一次函数与二元一次方程（组）例9、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．若直线y ＝x +3分别与x 轴、直线y ＝﹣2x 交于点A 、B ，则∵AOB 的面积为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】B 【分析】根据方程或方程组得到A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，解32y xy x=+⎧⎨=-⎩得，12xy=-⎧⎨=⎩，∵A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，∵∵AOB的面积＝12⨯3×2＝3，故选：B．【题型】十、一次函数的实际应用例10、A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？【答案】（1）y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；（2）货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时【分析】（1）先设出函数关系式y＝kx+b（k≠0），观察图象，经过两点（1.6，0），（2.6，80），代入求解即可得到函数关系式；（2）先求出货车甲正常到达B地的时间，再求出货车乙出发回B地时距离货车甲比正常到达B地晚1个小时的时间以及故障地点距B地的距离，然后设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，最后列出不等式并求解即可．【详解】解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），把（1.6，0），（2.6，80）代入y ＝kx+b ，得 0 1.680 2.6k bk b =+⎧⎨=+⎩，解得： 80128k b =⎧⎨=-⎩，∵y 关于x 的函数表达式为y ＝80x ﹣128（1.6≤x≤3.1）； （2）根据图象可知：货车甲的速度是80÷1.6＝50（km/h ） ∵货车甲正常到达B 地的时间为200÷50＝4（小时）， 18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时）， 当y ＝200﹣80＝120 时， 120＝80x ﹣128， 解得x ＝3.1，5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），设货车乙返回B 地的车速为v 千米/小时， ∵1.6v≥120， 解得v≥75．答：货车乙返回B 地的车速至少为75千米/小时．一次函数（达标训练）一、单选题1．已知一次函数4y kx =+经过()11,y ，()22,y ，且12y y <，它的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】根据一次函数的增减性，可知它的图象可能为B 、C 选项，结合一次函数y=kx +4的图象经过点(0，4)，即可得到答案．【详解】∵一次函数y=kx +4经过(1,y 1)，(2,y 2)且y 1<y 2， ∵y 随x 的增大而增大，又∵一次函数y =kx +4的图象经过点(0，4)， ∵它的图象可能是B 选项， 故选B ．【点睛】本题主要考查一次函数的系数与函数图象之间的关系，掌握一次函数系数的几何意义，是解题的关键．2．已知一次函数1y kx =-经过()11,A y -，()22,B y 两点，且12y y >，则k 的取值范围是（ ） A ．0k > B ．0k = C ．0k < D ．不能确定【答案】C【分析】根据一次函数的增减性可得出结论． 【详解】∵1212,y y -<>， ∵函数y 随x 的增大而减小． ∵k ＜0， 故选：C ．【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的性质是解答此题的关键． 3．一次函数2y x m =-+的图象经过第一、二、四象限，则m 可能的取值为（ ） A．-1 B ．34C ．0D ．1【答案】B【分析】根据一次函数的图象和性质，即可求解．【详解】解：∵一次函数2y x m =-+的图象经过第一、二、四象限， ∵0m >，∵m 可能的取值为34．故选：B【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数()0y kx b k =+≠，当0,0k b >>时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当0,0k b ><时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当0,0k b <>时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当0,0k b <<时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键．4．一次函数31y x =-+的图象经过（ ）A ．一、二、四象限B ．一、三、四象限C ．一、二、三象限D ．二、三、四象限【答案】A【分析】根据一次函数关系中系数符号k ＜0，b ＞0解答即可． 【详解】解：∵31y x =-+中0k <， ∵一次函数图象经过第二、四象， ∵ 0b >，∵ 一次函数图象经过一、二、四象限． 故选：A ．【点睛】此题考查了一次函数的图象，根据k 和b 的符号进行判断是解题的关键． 5．若23y x b =+-，y 是x 的正比例函数，则b 的值是（ ） A ．0 B ．23-C ．23D ．32【答案】C【分析】根据y 是x 的正比例函数，可知23=0b -，即可求得b 值． 【详解】解：∵y 是x 的正比例函数， ∵23=0b -， 解得：23b =， 故选：C ．【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，掌握其定义是解题的关键．二、填空题6．请写出一个图象经过点()2,0A 的函数的解析式：______． 【答案】24y x =-（答案不唯一）【分析】写出一个经过点（2，0）的一次函数即可．【详解】解：经过点()2,0A 的函数的解析式可以为24y x =-， 故答案为：24y x =-（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上的点一定满足其函数解析式是解题的关键．7．将直线y ＝2x －1向下平移3个单位后得到的直线表达式为________． 【答案】24y x =-【分析】根据一次函数平移的规律解答．【详解】解：直线y ＝2x －1向下平移3个单位后得到的直线表达式为y ＝2x －1－3=2x －4， 即y =2x －4， 故答案为y =2x －4．【点睛】此题考查了一次函数平移的规律：左加右减，上加下减，熟记平移的规律是解题的关键．三、解答题8．某中学积极响应“双减”政策，为了丰富学生的课外活动，激发学生参加体育活动的兴趣，准备购买一批新的羽毛球拍．已知甲、乙两商店销售同一种羽毛球拍，但两个商店的原价和销售方式均不同．在甲商店，无论一次性购买多少支羽毛球拍，一律按原价出售；在乙商店，一次性购买羽毛球拍的数量不超过20支，按原价销售，若一次性购买球拍数量超过20支，超出的部分打八折．设该学校购买了x 支羽毛球拍，在甲商店购买所需的费用为1y 元，在乙商店购买所需的费用为2y 元，1y ，2y 关于x 的函数图像如图所示．(1)分别求出1y ，2y 关于x 的函数解析式． (2)请求出m 的值，并说明m 的实际意义．(3)若该学校一次性购买羽毛球拍的数量超过80支，但不超过120支，到哪家商店购买更优惠？ 【答案】(1)142y x =；()()2500204020020x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨+>⎪⎩(2)m =100，m 的实际意义是当一次性购买羽毛球球拍的数量100支时，甲、乙商店所需费用相同，都为4200元(3)当80<x <100时，选择甲商店更合算；当x =100时，两家商店所需费用相同；当100<x ≤120时，选择乙商店更合算【分析】（1）根据函数图像设出表达式，利用待定系数法解得即可；（2）根据图像交点，当x >20时，令12y y =，解得x ，y 的值即可；（3）由m 的意义，结合图像，谁的图像靠下谁更合算．（1）由题意，甲商店设11y k x =， ∵184020k =， ∵142k =， ∵1142y x =；乙商店：当0<x≤20时，设22y k x =， ∵2100020k =， ∵250k =， ∵250y x =，当x >20时，()2100020500.84020y x x =+-⨯⨯=+， ∵()()2500204020020x x y x x ⎧≤≤⎪=⎨+>⎪⎩；（2）当x>20时，令12y y =，即4020042x x +=， ∵x =100，y =4200， ∵m =100，∵m 的实际意义是当一次购买羽毛球球拍的数量100支时，甲、乙商店所需费用相同，都为4200元； （3）由m 的意义，结合图像可知，谁的图像在下谁更合算，当80<x <100时，选择甲商店更合算；当x =100时，两家商店所需费用相同；当100<x ≤120时，选择乙商店更合算．【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是掌握一次函数图像的性质．一次函数（提升测评）一、单选题1．一次函数()32y k x k =++-的图象如图所示，()01k -有意义的k 的值可能为（ ）A ．－3B ．－1C ．－2D ．2【答案】B【分析】通过一次函数图象可以得出：3020k k +>⎧⎨->⎩，解得：32k -<<()01k -有意义的条件为：1010k k +≥⎧⎨-≠⎩，解得：1k ≥-且0k ≠．将两个关于k 的解集综合，得到k 的范围是：12k -≤<且0k ≠．根据所求范围即可得出答案选B ．【详解】解：由图象得：3020k k +>⎧⎨->⎩，解得：32k -<<()01k -有意义，则1010k k +≥⎧⎨-≠⎩，解得：1k ≥-且1k ≠∴综上所述，k 的取值范围是：12k -≤<且0k ≠．A 、-3不在k 的取值范围内，不符合题意；B 、-1在k 的取值范围内，符合题意；C 、-2不在k 的取值范围内，不符合题意；D 、2不在k 的取值范围内，不符合题意． 故选B ．【点睛】本题主要考查知识点为，一次函数图象与一次函数系数的关系、使二次根式有意义的条件，零指数幂中底数的范围．熟练掌握以上知识点，是解决此题的关键．2．已知直线1:24l y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，若将直线1l 向右平移m （m >0）个单位得到直线2l ，直线2l 与x 轴交于C 点，若∵ABC 的面积为6，则m 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】先求出点B （0，4），可得OB =4，再根据平移的性质，可得AC =m ，再根据∵ABC 的面积为6，即可求解．【详解】解：∵直线1:24l y x =+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点， 当x =0时，y =4， ∵点B （0，4）， ∵OB =4，∵将直线1l 向右平移m （m >0）个单位得到直线2l ，直线2l 与x 轴交于C 点， ∵AC =m ，∵∵ABC 的面积为6， ∵1462m ， 解得：m =3． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数的平移问题，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．3．已知一次函数y =-kx +k ，y 随x 的增大而减小，则在直角坐标系内大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】由于一次函数y =-kx +k （k ≠0），y 随x 的增大而减小，可得-k ＜0，然后，判断一次函数y =-kx +k 的图象经过的象限即可．【详解】解：∵一次函数y =-kx +k （k ≠0），y 随x 的增大而减小， ∵-k ＜0，即k >0，∵一次函数y =-kx +k 的图象经过一、二、四象限． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数y =kx +b 的图象性质： ∵当k ＞0，b ＞0时，图象过一、二、三象限； ∵当k ＞0，b ＜0时，图象过一、三、四象限； ∵当k ＜0，b ＞0时，图象过一、二、四象限； ∵当k ＜0，b ＜0时，图象过二、三、四象限．4．在平而直角坐标系中，一次函数32y x m =-+的图像关于直线1y =对称后经过坐标原点，则m 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．1-D ．2-【答案】A【分析】由题意一次函数32y x m =-+与y 轴的交点为（0，2m ），根据点（0，2m ）与原点关于直线1y =对称，即可求出答案．【详解】解：根据题意，在一次函数32y x m =-+中， 令0x =，则2y m =，∵一次函数32y x m =-+与y 轴的交点为（0，2m ）， ∵点（0，2m ）与原点关于直线1y =对称， ∵22m =， ∵1m =； 故选：A ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质进行解题． 5．甲、乙两自行车运动爱好者从A 地出发前往B 地，匀速骑行．甲、乙两人离A 地的距离y （单位：km ）与乙骑行时间x （单位：h ）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）A ．乙骑行1h 时两人相遇B ．甲的速度比乙的速度慢C ．3h 时，甲、乙两人相距15kmD ．2h 时，甲离A 地的距离为40km 【答案】C【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图象可知，甲乙骑行1.5h 时两人相遇，故选项A 不合题意； 甲的速度比乙的速度快，故选项B 不合题意；甲的速度为：30÷（1.5-1）=30（km/h ），乙的速度为：30÷1.5=20（km/h ）， 3h 时，甲、乙两人相距：30×（3-0.5）-20×3=15（km ），故选项C 符合题意；。
高中函数应用题模型全总结
高中函数应用题模型全总结
函数应用题主要有以下几种常见模型：
1.一次函数模型
例1某家报刊售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元，卖出的价格是每份0.5元，卖不掉的报纸还可以以每份0.08元的价格退回报社。
在一个月（30天）里，有20天每天可以卖出400份，其余每天只能卖出250份。
设每天从报社买进的报纸的数量相同，则每天应从报社买进多少份，才能使每月所获的利润最大？并计算该销售点一个月最多可赚多少元？
2二次函数模型
例2某工厂生产的商品A，若每件定价为80元，则每年可销售80万件，政府税务部门对市场销售的商品A要征收附加税，为增加国家收入又要有利于生产发展，必须合理确定税率，根据市场调查，若政府对商品A征收附加税率为p%时，每年销售额将减少10p万件。
据此，试问：（1）若税务部门对商品A征收的税金不少于96万元，求p的范围；（2）若税务部门仅仅考虑每年所获得的税金最高，求此时p的值。
3指数函数模型
例3某城市现有人口总数100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题：（1）写出该城市人口总数y（万人）与年份x（年）的函数关系；（2）计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）；（3）计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）；（4）如果20年后该城市人口总数不超过120万人，年增长率应该控制在多少？。
（完整版）一次函数知识点总结和常见题型归类
（完整版）一次函数知识点总结和常见题型归类一次函数知识点总结与常见题型基本概念1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。
常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。
例题：在匀速运动公式vt s =中,v 表示速度,t 表示时间,s 表示在时间t 内所走的路程,则变量是________,常量是_______。
在圆的周长公式C =2πr 中，变量是________，常量是_________.2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x 称为自变量，把y 称为因变量，y 是x 的函数。
*判断Y 是否为X 的函数，只要看X 取值确定的时候，Y 是否有唯一确定的值与之对应例题：下列函数（1）y =πx (2)y =2x －1 (3)y =1x (4)y =21－3x (5)y =x 2－1中，是一次函数的有（）（A ）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个P116 1 P87 23、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。
4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
例题：下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（）A ．yB ．yC ．yD ．y函数y =x 的取值范围是___________.已知函数221+-=x y ，当11≤<-x 时，y 的取值范围是（）A .2325≤<-y B .2523<<="" bdsfid="97" c="" d="" p="">523≤<y< bdsfid="99" p=""></y<>5、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．例题:P117 56、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。
一次函数应用题分类总汇
一次函数应用题一、一次函数与实际问题1． 某农户种植一种经济作物，总用水量y （米3）与种植时间x （天）之间的函数关系式如图． （1）第20天的总用水量为多少米？ （2）求y 与x 之间的函数关系式． （3）种植时间为多少天时，总用水量达到7000米3？2．“5．12”汶川地震发生后，某天广安先后有两批自愿者救援队分别乘客车和出租车沿相同路线从广安赶往重灾区平武救援，下图表示其行驶过程中路程随时间的变化图象．（1）根据图象，请分别写出客车和出租车行驶过程中路程与时间之间的函数关系式（不写出自变量的取值范围）；（2）写出客车和出租车行驶的速度分别是多少？（3）试求出出租车出 发后多长时间赶上客车？(天) 3二、一次函数与动点问题 1.如图，在边长为的正方形ABCD 的一边BC 上，有一点P 从点B 运动到点C ，设BP=X ，四边形APCD 的面积 为y 。
（1）写出y 与x 之间的关系式，并画出它的图象。
（2）当x 为何值时，四边形APCD 的面积等于3/2。
三、一次函数与方程（组）及不等式问题1．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是( )A B C D2.如图，已知函数y=x+b 和y=ax+3的图象交于P 点, 则x+b>ax+3不等式的解集为 ．y y=ax+A B2⎩⎨⎧=--=-+012302y x y x ⎩⎨⎧=--=--0123012y x y x ⎩⎨⎧=-+=--0523012y x y x ⎩⎨⎧=-+=--02012y x y x四、.如图,直线AB 与y 轴,x 轴交点分别为A(0,2)B(4,0)问题1:求直线AB 的解析式及△AOB 的面积. 问题2:当x 满足什么条件时,y ＞0,y ＝0,y ＜0,0＜y ＜2五、一次函数中方案选择问题1、某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有1名教师，现有甲、乙两种大客车，它们的载（2）给出最节省费用的租车方案？x232-=x y 六、一次函数中的面积有关问题1.已知一次函数y=kx+b 的图象经过(-1,-5),且与正比例函数y= X 的图象相交于点(2,a),求:(1)a 的值; (2)一次函数的解析式;(3)这两个函数图象与x 轴所围成的三角形面积.作业：1.直线 分别交x 轴,y 轴于A,B 两点,O 为原点.(1)求△AOB 的面积; (2)过AOB 的顶点,能不能画出直线把△AOB 分成面积相等的两部分?写出这样的直线所对应的函数解析式2.我市某中学要印制本校高中招生的录取通知书，有两个印刷厂前来联系制作业务．甲厂的优惠条件是：按每份定价1．5元的八折收费，另收900元制版费；乙厂的优惠条件是：每份定价1．5元的价格不变，而制版费900元六折优惠．且甲、乙两厂都规定：一次印刷数至少是500份．（1）分别求两个印刷厂收费y （元）与印刷数量x （份）的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围； （2）如何根据印刷的数量选择比较合算的方案？如果这个中学要印制2000份录取通知书，那么应选择哪个厂？需要多少费用？21。