靖江高级中学第一学期期末考试高一数学试题
江苏省泰州市靖江高级中学2018年高一数学文期末试卷含解析
江苏省泰州市靖江高级中学2018年高一数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数则不等式的解集为（）A．B．C．D．参考答案：A略2. 已知集合A={1,3,5}，B={2,a,b}，若A∩B={1,3}，则a+b的值为A．4 B．7 C．9D．10参考答案：A3. 直线过点（－１，２）且与直线垂直，则直线的方程为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：A4. 不等式恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.参考答案：D5. 已知正三角形ABC的边长为2，设，则（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据向量的线性运算和乘法运算，判断选项的正误即可【详解】解：如图，∵正三角形的边长为2，，取中点，设，∴，，∴，故A错误；的夹角为120°，故B错误；，∴，故C正确；，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查向量的线性运算，解题的关键在于作出相应图像求解，属于基础题6. 函数f（x）=（x∈R）的值域是（）A．（0，1）B．（0，1] C．[0，1）D．[0，1]参考答案：B【考点】函数的值域．【分析】本题为一道基础题，只要注意利用x2的范围就可以．【解答】解：∵函数f（x）=（x∈R），∴1+x2≥1，所以原函数的值域是（0，1]，故选B．【点评】注意利用x2≥0（x∈R）．7. 已知函数和在同一直角坐标系中的图象不可能是（）参考答案：D8. 已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列,则△ABC的面积为（）A．15 B． C. D．参考答案：C由△ABC三边长构成公差为4的等差数列，设三边长分别为a，a+4，a+8（a＞0），∴a+8所对的角为120°，∴cos120°=整理得a2﹣2a﹣24=0，即（a﹣6）（a+4）=0，解得a=6或a=﹣4（舍去），∴三角形三边长分别为6，10，12，则S△ABC=×6×10×sin120°=15．故选C．9. 设向量=（3，6），=（x，8）共线，则实数x等于（）A．3 B．16 C．6 D．4参考答案：D【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线的性质直接求解．【解答】解：∵向量=（3，6），=（x，8）共线，∴，解得x=4．∴实数x等于4．故选：D．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量共线的性质的合理运用．10. 在等比数列中，已知，则n 为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量=（2，﹣1），=（﹣1，m），=（﹣1，2），若（+）∥，则m= ．参考答案：-1【考点】9K：平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】先求出两个向量的和的坐标，再根据向量平行的充要条件写出关于m的等式，解方程得到要求的数值，注意公式不要用错公式．【解答】解：∵+=（1，m﹣1），∵（+）∥∴1×2﹣（m﹣1）×（﹣1）=0，所以m=﹣1故答案为：﹣112.已知数列的前项和，则， .参考答案：，13. 命题“若x>y，则x2>y2-1”是否命题是。
2022-2023学年江苏省泰州市靖江高级中学高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省泰州市靖江高级中学高一（下）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知m →=(1，t)，n →=(t ，3)，若m →∥n →，则t ＝（ ） A ．0 B ．√3 C ．±√3 D ．±32．复数52−i（i 为复数单位）的共轭复数是（ ）A ．2﹣iB ．2+iC ．﹣2+iD ．﹣2﹣i3．采用简单随机抽样的方法，从含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为（ ） A ．15B ．12C ．23D ．254．望海楼是江苏泰州的著名景点，位于泰州凤城河风景区内．它初建于南宋绍定二年，被誉为“江淮第一楼”．为测量望海楼的高度AB ，可选取与楼底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ．现测得∠BCD ＝75°，∠BDC ＝60°，CD ＝45米，在点C 测得楼顶A 的仰角为30°，则楼高AB 约为（ ）米．A ．30B ．32C ．34D ．365．若tan θ＝﹣2，则sin2θcos 2θ+1的值为（ ）A ．−23B ．23C ．−43D ．436．在正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝2，AA 1＝A 1B 1＝1，则侧棱BB 1与底面ABCD 所成角的正弦值为（ ） A ．13B ．√22C ．√33D ．√327．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，且A =π3，BC =2√3，则OB →⋅AC →的最大值为（ ） A ．32B ．√3C ．2D ．38．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠B ＝40°，∠BAD ＝60°，AB ＝DC ，则tan C ＝（ ）A ．√3B ．√2C ．√22D ．√33二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．对于数据2，6，8，2，3，4，6，8，则这组数据的（ ） A ．极差为6 B ．平均数为5.25C ．30百分位数为3D ．众数为610．已知三个非零向量a →，b →，c →共面，则（ ） A ．若a →=b →，b →=c →，则a →=c →B ．若a →⊥b →，b →⊥c →，则a →∥c →C ．若a →⋅b →=b →⋅c →，则a →=c →D ．若a →∥b →，则存在实数λ，使a →=λb →11．已知事件A ，B 发生的概率分别为13，12，则（ ）A ．若A ，B 互斥，则A ，B 至多有一个发生的概率为16B ．若A ，B 互斥，则A ，B 至少有一个发生的概率为56C ．若A ，B 相互独立，则A ，B 至多有一个发生的概率为16D ．若A ，B 相互独立，则A ，B 至少有一个发生的概率为2312．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 为线段B 1C 上的动点，则（ ） A ．AP 与BD 1始终保持垂直 B ．P A +PD 的最小值为√6C ．经过AC 1的平面截正方体所得截面面积的最小值为√62D ．以A 为球心，AB 为半径的球面与平面A 1BCD 1的交线长为√2π2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．sin14°cos16°+sin16°cos14°＝ ．14．已知圆锥底面半径为1，高为√3，则该圆锥的侧面积为 ． 15．已知α＝1°，β＝61°，则满足tanα+tanβ+tanγtanαtanβtanγ=1的一个γ的值为 ．16．已知△ABC 的垂心为点D ，面积为15，且∠ABC ＝45°，则BD →⋅BC →= ；若BD →=12BA →+1 3BC→，则|BD→|=．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）设a为实数，复数z1＝a+3i，z2＝3﹣4i．（1）若z1•z2为纯虚数，求a的值；（2）若|z1|＜|z2|，求a的取值范围．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，P为A1B的中点，Q为B1C的中点，A1B ⊥B1C．求证：（1）PQ∥平面A1B1C1；（2）BC＝CC1．19．（12分）一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个白球（标号为3和4），甲、乙两人先后从袋中不放回地各摸出1个球．设“甲摸到红球”为事件R1，“乙摸到红球”为事件R2．（1）小明同学认为：由于甲先摸球，所以事件R1发生的可能性大于R2发生的可能性．小明的判断是否正确，请说明理由；（2）判断事件R1与R2是否相互独立，并证明．20．（12分）已知A（1，2），B（2，3）．（1）若C（﹣2，5），试判断△ABC的形状，并证明；（2）设AB的中点为M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①∠ACB＝60°；②CM=√102；③△ABC的面积为√3．21．（12分）如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝AB＝2，CD＝4，E为CD的中点．将△DAE 沿AE翻折，得到四棱锥P﹣ABCE（如图2）．（1）若PC 的中点为M ，点N 在棱AB 上，且MN ∥平面P AE ，求AN 的长度； （2）若四棱锥P ﹣ABCE 的体积等于2，求二面角P ﹣BC ﹣A 的大小． 22．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1+cosA sinA=1+cosB sinB+1．（1）当C =π2时，求tan A 2的值；（2）当a ＝1时，求△ABC 周长的最大值．2022-2023学年江苏省泰州市靖江高级中学高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知m →=(1，t)，n →=(t ，3)，若m →∥n →，则t ＝（ ） A ．0B ．√3C ．±√3D ．±3解：因为m →=(1，t)，n →=(t ，3)，且m →∥n →，则1t=t 3，解得t =±√3． 故选：C ． 2．复数52−i（i 为复数单位）的共轭复数是（ ）A ．2﹣iB ．2+iC ．﹣2+iD ．﹣2﹣i解：52−i=5(2+i)(2+i)(2−i)=2+i ，则复数52−i（i 为复数单位）的共轭复数是2﹣i ，故选：A ．3．采用简单随机抽样的方法，从含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为（ ） A ．15B ．12C ．23D ．25解：根据抽样原理知，每个个体被抽到的概率是相等的， 所以所求的概率值为P =25． 故选：D ．4．望海楼是江苏泰州的著名景点，位于泰州凤城河风景区内．它初建于南宋绍定二年，被誉为“江淮第一楼”．为测量望海楼的高度AB ，可选取与楼底B 在同一水平面内的两个测量基点C 与D ．现测得∠BCD ＝75°，∠BDC ＝60°，CD ＝45米，在点C 测得楼顶A 的仰角为30°，则楼高AB 约为（ ）米．A ．30B ．32C ．34D ．36解：在△BCD 中，∠CBD ＝45°， 由正弦定理得CD sin∠CBD=BC sin∠BDC，即BC =CDsin∠BDC sin∠CBD =45×√32√22=45√62（米），又∠ACB ＝30°，∠ABC ＝90°，则AB =√33BC =45√22≈32（米）． 故选：B ． 5．若tan θ＝﹣2，则sin2θcos 2θ+1的值为（ ）A ．−23B ．23C ．−43D ．43解：∵tan θ＝﹣2，则sin2θcos 2θ+1=2sinθcosθ2cos 2θ+sin 2θ=2tanθ2+tan 2θ=−42+4=−23，故选：A ．6．在正四棱台ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知AB ＝2，AA 1＝A 1B 1＝1，则侧棱BB 1与底面ABCD 所成角的正弦值为（ ） A ．13B ．√22C ．√33D ．√32解：由题意可得正四棱台的截面图，如图所示：由题意可知B 1BDD 1为等腰梯形，过点B 1做B 1M ⊥BD ，过点D 1做D 1N ⊥BD ， 由线面角的定义可知，侧棱BB 1与底面ABCD 所成角即为∠B 1BM ， 由条件可得BB 1＝1，B 1D 1=√2，BD =2√2， 则B 1D 1=MN =√2，BM =BD =√22，则B 1M =√12−(22)2=√22，所以△B 1BM 为等腰直角三角形， 所以∠B 1BM ＝45°，即sin ∠B 1BM =√22．故选：B ．7．已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，且A =π3，BC =2√3，则OB →⋅AC →的最大值为（ ） A ．32B ．√3C ．2D ．3解：作出图形，如图所示：∵A =π3，BC =2√3， ∴由正弦定理得2R =BC sinA =2√3sin π3=4，故OA ＝OB ＝OC ＝2， ∵A =π3， ∴∠BOC =2π3，则OB →⋅AC →=OB →⋅(OC →−OA →)=OB →⋅OC →−OB →⋅OA →=4cos 2π3−4cos∠AOC ＝﹣2﹣4cos ∠AOC ， ∵∠AOB ∈(0，2π3)， ∴∠AOC ∈(0，4π3)，则cos ∠AOC ∈[﹣1，1）， 故OB →⋅AC →=−2−4cos∠AOC ∈(−6，2]． 故选：C ．8．在△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠B ＝40°，∠BAD ＝60°，AB ＝DC ，则tan C ＝（ ） A ．√3B ．√2C ．√22D ．√33解：△ABC 中，点D 在线段BC 上，∠B ＝40°，∠BAD ＝60°，如图所示，则∠ADB ＝80°，∠CAD ＝80°﹣C ， 由正弦定理可得： △ADB 中，AB AD =sin∠ADB sinB =sin80°sin40°，△ADC 中，DC AD=sin∠CAD sinC=sin(80°−C)sinC，由AB ＝DC ，则sin80°sin40°=sin(80°−C)sinC，所以2sin40°cos40°sin40°=sin80°cosC−cos80°sinCsinC，可得2cos40°=sin80°tanC−cos80°， 可得tan C =sin80°2cos40°+cos80°=sin80°2cos(30°+10°)+cos80° =sin80°√3cos10°−sin10°+cos80°=sin80°√3sin80°−cos80°+cos80°=√33．故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．对于数据2，6，8，2，3，4，6，8，则这组数据的（ ） A ．极差为6 B ．平均数为5.25C ．30百分位数为3D ．众数为6解：数据2，6，8，2，3，4，6，8，从小到大排为2，2，3，4，6，6，8，8， 极差为8﹣2＝6，A 选项正确； 平均数为2+2+3+4+6+6+8+88=4.875，B 选项错误；8×30%＝2.4，30百分位数是第3个数据，所以30百分位数为3，C 选项正确； 众数为6和8，D 选项错误． 故选：AC ．10．已知三个非零向量a →，b →，c →共面，则（ ） A ．若a →=b →，b →=c →，则a →=c →B ．若a →⊥b →，b →⊥c →，则a →∥c →C ．若a →⋅b →=b →⋅c →，则a →=c →D ．若a →∥b →，则存在实数λ，使a →=λb →解：对于A ，a →=b →，b →=c →，根据相等向量的定义可得a →=c →，故A 正确； 对于B ，若a →⊥b →，b →⊥c →，因为它们为共面向量，则a →∥c →，故B 正确； 对于C ，由a →⋅b →=b →⋅c →得b →⋅(a →−c →)=0，因为a →，b →，c →是三个非零向量，所以得b →⊥(a →−c →)，无法推出a →=c →，故C 错误；对于D ，因为a →，b →为非零向量，由平面向量共线定理可知，若a →∥b →，则存在唯一的实数λ，使a →=λb →，故D 正确． 故选：ABD ．11．已知事件A ，B 发生的概率分别为13，12，则（ ）A ．若A ，B 互斥，则A ，B 至多有一个发生的概率为16B ．若A ，B 互斥，则A ，B 至少有一个发生的概率为56C ．若A ，B 相互独立，则A ，B 至多有一个发生的概率为16D ．若A ，B 相互独立，则A ，B 至少有一个发生的概率为23解：依题意，P(A)=13，P(B)=12，对于A ，P （AB ）＝0，则A ，B 至多有一个发生的概率为1﹣P （AB ）＝1，A 错误； 对于B ，P （AB ）＝0，则A ，B 至少有一个发生的概率P(A +B)=P(A)+P(B)=13+12=56，B 正确； 对于C ，P(AB)=P(A)P(B)=12×13=16，A ，B 至多有一个发生的概率为1−P(AB)=56，C 错误； 对于D ，P(AB)=P(A)P(B)=12×13=16，则A ，B 至少有一个发生的概率 P(A +B)=P(A)+P(B)−P(AB)=13+12−16=23，D 正确． 故选：BD ．12．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 为线段B 1C 上的动点，则（ ） A ．AP 与BD 1始终保持垂直 B ．P A +PD 的最小值为√6C ．经过AC 1的平面截正方体所得截面面积的最小值为√62D ．以A 为球心，AB 为半径的球面与平面A 1BCD 1的交线长为√2π2解：对于A ，连接BD ，由正方形的性质可得BD ⊥AC ，由正方体的性质可得DD 1⊥AC ， 又DD 1∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面BDD 1， ∵BD 1⊂平面BDD 1，∴AC ⊥BD 1，同理，AB 1⊥BD 1，∵AB 1∩AC ＝A ，∴BD 1⊥平面ACB 1， ∵AP ⊂平面ACB 1，∴BD 1⊥AP ，故A 正确；对于B，把△DCB1沿CB1展开到与△ACB1共面，如图，则A，D，P三点共线时，P A+PD最小，且最小值为AD，在△ACD中，CD＝1，AC=√2，∠ACD＝150°，由余弦定理得AD2＝1+2﹣2×1×√2×(−√32)=3+√6，故B错误；对于C，分别取DC，A1B1的中点M，N，连接AM，AN，C1M，C1N，由正方体的性质可知四边形ANC1M是菱形，且是过AC1面积最小的截面．理由如下：过点M作MF⊥AC1于F，设DM＝x，则CM＝1﹣x，由直角三角形性质可得AM2＝1+x2，C1M2＝1+（1﹣x）2，AF=√AM2−MF2=√1+x2−MF2，C1F=√C1M2−MF2=√1+(1−x)2−MF2，由AF+C1F=√3，可得MF2=23（x−12）2+12，由题意当x=12时，MF取到最小值√22，此时截面面积最小，最小面积为2×12MF•AC1=√62，故C正确；对于D，过点A作AE⊥A1于点E，由BC⊥平面ABB1A1，可得BC⊥AE，∵A1B∩BC＝B，∴AE⊥平面A1BCD1，以A 为球心，AB 为半径的球面被平面A 1BCD 1所截的圆面的圆心为E ，半径为r ， 则r 2+AE 2＝AB 2，∴r 2＝AB 2﹣AE 2=12，∴r =√22，以A 为球心，AB 为半径的球面与平面A 1BCD 1的交线是以E 为圆心的圆周，其长度为√2π，故D 错误．故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．sin14°cos16°+sin16°cos14°＝12．解：sin14°cos16°+sin16°cos14°＝sin30°=12． 故答案为：12．14．已知圆锥底面半径为1，高为√3，则该圆锥的侧面积为 2π ． 解：由已知可得r ＝1，h =√3，则圆锥的母线长l =√12+(√3)2=2． ∴圆锥的侧面积S ＝πrl ＝2π． 故答案为：2π．15．已知α＝1°，β＝61°，则满足tanα+tanβ+tanγtanαtanβtanγ=1的一个γ的值为 118°（答案不唯一） ．解：∵tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ，∴tan α+tan β＝tan （α+β）（1﹣tan αtan β）＝tan62°（1﹣tan αtan β）， 又tanα+tanβ+tanγtanαtanβtanγ=1，∴tan α+tan β+tan γ＝tan αtan βtan γ，即tan62°（1﹣tan αtan β）+tan γ＝tan αtan βtan γ， 化简可得，tan62°+tan γ＝tan αtan β（tan62°+tan γ）， ∴tan62°+tan γ＝0或tan αtan β＝1， 又α＝1°，β＝61°，故tan αtan β≠1， ∴tan62°+tan γ＝0，故γ＝118°满足题意， 故答案为：118°（答案不唯一）．16．已知△ABC 的垂心为点D ，面积为15，且∠ABC ＝45°，则BD →⋅BC →= 30 ；若BD →=12BA →+13BC →，则|BD →|= 5 ． 解：如图，AH 是△ABC 的BC 边上的高，则AH →⋅BC →=0， 设AD →=λAH →，因为∠ABC ＝45°，面积为15， 所以12|BA →|•|BC →|sin45°＝15，即|BA →|•|BC →|＝30√2，BD →⋅BC →=(BA →+AD →)⋅BC →=(BA →+λAH →)⋅BC →=BA →•BC →+λAH →•BC →=|BA →|•|BC →|cos45°＝30．由第一空可知BD →⋅BC →=30，所以BD →•BC →=（12BA →|+13BC →）•BC →=12BA →•BC →+13BC →2=30，所以BC →2=45，由|BA →|•|BC →|＝30√2，可得|BA →|＝2√10，即BA →2=40，因为BD →=12BA →|+13BC →，所以BD →2=14BA →2+19BC →2+13BA →•BC →=10+5+10＝25， ∴|BD →|＝5． 故答案为：30；5．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）设a 为实数，复数z 1＝a +3i ，z 2＝3﹣4i ． （1）若z 1•z 2为纯虚数，求a 的值； （2）若|z 1|＜|z 2|，求a 的取值范围．解：（1）因为z 1•z 2＝（a +3i ）（3﹣4i ）＝（3a +12）+（9﹣4a ）i ， 若z 1•z 2为纯虚数，则{3a +12=09−4a ≠0，解得a ＝﹣4；（2）若|z 1|＜|z 2|，则√a 2+9＜√32+(−4)2=5， 可得a 2＜16，解得﹣4＜a ＜4， 所以a 的取值范围（﹣4，4）．18．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，P为A1B的中点，Q为B1C的中点，A1B ⊥B1C．求证：（1）PQ∥平面A1B1C1；（2）BC＝CC1．解：（1）连接BC1，如图，因为四边形BCC1B1为平行四边形，所以Q为BC1的中点，又P为A1B的中点，所以在△A1BC1中，PQ∥A1C1，因为PQ⊄平面A1B1C1，A1C1⊂平面A1B1C1，所以PQ∥平面A1B1C1．（2）因为∠ACB＝90°，即AC⊥BC，又AC⊥C1C，且BC∩CC1＝C，BC⊂平面BCC1B1，C1C⊂平面BCC1B1，所以AC⊥平面BCC1B1，因为AC∥A1C1，所以A1C1⊥平面BCC1B1，因为B1C⊂平面BCC1B1，所以A1C1⊥B1C，又A1B⊥B1C，A1B∩A1C1＝A1，A1B⊂平面A1BC1，A1C1⊂平面A1BC1，所以B1C⊥平面A1BC1，因为BC 1⊂平面A 1BC 1， 所以B 1C ⊥BC 1，则四边形BCC 1B 1为菱形， 所以BC ＝CC 1．19．（12分）一个袋子中装有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个白球（标号为3和4），甲、乙两人先后从袋中不放回地各摸出1个球．设“甲摸到红球”为事件R 1，“乙摸到红球”为事件R 2．（1）小明同学认为：由于甲先摸球，所以事件R 1发生的可能性大于R 2发生的可能性．小明的判断是否正确，请说明理由；（2）判断事件R 1与R 2是否相互独立，并证明．解：（1）两人摸出球的所有情况：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1）（4，2），（4，3），共12种；事件R 1包含的情况有：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），共6种； 事件R 2包含的情况有：（1，2），（2，1），（3，1），（3，2），（4，1）（4，2），共6种； 所以P(R 1)=P(R 2)=12，故小明的判断不正确．（2）事件R 1R 2包含的情况有：（1，2），（2，1），故P(R 1R 2)=212=16； 因为P(R 1)P(R 2)=14，P （R 1R 2）≠P （R 1）P （R 2）； 所以事件R 1与R 2不相互独立． 20．（12分）已知A （1，2），B （2，3）．（1）若C （﹣2，5），试判断△ABC 的形状，并证明；（2）设AB 的中点为M ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立： ①∠ACB ＝60°；②CM =√102；③△ABC 的面积为√3．解：（1）若C （﹣2，5），则△ABC 是直角三角形，证明如下： 若C （﹣2，5），则AB →=（1，1），AC →=（﹣3，3），∵AB →⋅AC →=1×(−3)+1×3=0，则AB →⊥AC →，即AB ⊥AC ， ∴△ABC 是直角三角形．（2）证明：由（1）可知|AB →|=√2，若选①②：由题意得CM →=12(CA →+CB →)，可得CM →2=14(CA →2+2CA →⋅CB →+CB →2)，即14(|CA →|2+2|CA →|⋅|CB →|×12+|CB →|2)=14(|CA|2+|CA|⋅|CB|+|CB|2)=52，可得|CA |2+|CB |2＝10﹣|CA |•|CB |，由余弦定理可得|AB |2＝|CA |2+|CB |2﹣2|CA |•|CB |cos ∠ACB ， 可得|CA |2+|CB |2＝2+|CA |•|CB |，则10﹣|CA |•|CB |＝2+|CA |•|CB |，解得|CA |•|CB |＝4， ∴△ABC 的面积为S △ABC =12|CA|⋅|CB|sin∠ACB =√3；若选①③：∵△ABC 的面积为S △ABC =12|CA|⋅|CB|sin∠ACB =12|CA|⋅|CB|×√32=√3，可得|CA |•|CB |＝4，由余弦定理可得|AB |2＝|CA |2+|CB |2﹣2|CA |•|CB |cos ∠ACB ，可得|CA |2+|CB |2＝6，∵CM →=12(CA →+CB →)，可得CM →2=14(CA →2+2CA →⋅CB →+CB →2)=14(|CA|2+|CB|2+|CA|⋅|CB|)=14(6+4)=52，即CM =√102；若选②③：∵△ABC 的面积为S △ABC =12|CA|⋅|CB|sin∠ACB =√3， 可得|CA|⋅|CB|=2√3sin∠ACB ，∵CM →=12(CA →+CB →)，可得CM →2=14(CA →2+2CA →⋅CB →+CB →2)，即14(CA →2+2|CA →|⋅|CB →|cos∠ACB +CB →2)=52，可得|CA|2+|CB|2=10−2|CA||CB|cos∠ACB =10−4√3cos∠ACBsin∠ACB，由余弦定理可得|AB |2＝|CA |2+|CB |2﹣2|CA |•|CB |cos ∠ACB ， 即2=10−4√3cos∠ACB sin∠ACB−4√3cos∠ACBsin∠ACB ，整理得tan ∠ACB =√3， 且0°＜∠ACB ＜180°，∴∠ACB ＝60°．21．（12分）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ＝AB ＝2，CD ＝4，E 为CD 的中点．将△DAE 沿AE 翻折，得到四棱锥P ﹣ABCE （如图2）．（1）若PC 的中点为M ，点N 在棱AB 上，且MN ∥平面P AE ，求AN 的长度； （2）若四棱锥P ﹣ABCE 的体积等于2，求二面角P ﹣BC ﹣A 的大小． 解：（1）取EC 的中点G ，连接GM ，GN ，因为G ，M 分别为EC ，PC 的中点，所以GM ∥PE ， 因为PE ⊂平面P AE ，GM ⊄平面P AE ，所以GM ∥平面P AE ； 因为MN ∥平面P AE ，GM ∩MN ＝M ，GM ，MN ⊂平面GMN ， 所以平面GMN ∥平面P AE ；因为平面ABCE ∩平面P AE ＝AE ，平面ABCE ∩平面GMN ＝GN ， 所以GN ∥AE ，即N 为AB 的中点，所以AN ＝1．（2）由图1可知，等腰梯形ABCD 的高为√3，所以四边形ABCE 的面积为2×√3=2√3； 因为四棱锥P ﹣ABCE 的体积等于2，所以四棱锥P ﹣ABCE 的高等于√3， 因为三角形DAE 的高为√3，所以平面P AE ⊥平面ABCE ； 取AE 的中点O ，连接OP ，OB ，由图1可知，△DAE ，△BAE 均为等边三角形，所以OP ⊥AE ，OB ⊥AE ，且OP =OB =√3； 因为OP ∩OB ＝O ，所以AE ⊥平面POB ， 因为PB ⊂平面POB ，所以AE ⊥PB ；由图1可知AE ∥BC ，所以∠PBO 是二面角P ﹣BC ﹣A 的平面角， 因为平面P AE ⊥平面ABCE ，平面P AE ∩平面ABCE ＝AE ，OP ⊥AE ， 所以OP ⊥平面ABCE ，所以△POB 为直角三角形； 在Rt △POB 中，OP =OB =√3，所以∠PBO ＝45°， 即二面角P ﹣BC ﹣A 为45°．22．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知1+cosA sinA=1+cosB sinB+1．（1）当C =π2时，求tan A2的值；（2）当a ＝1时，求△ABC 周长的最大值． 解：（1）因为1+cosA sinA =1+cosB sinB+1，则1+2cos 2A2−12sin A 2cosA 2=1+2cos 2B2−12sin B 2cosB 2+1，可得1tanA 2=1tanB 2+1，又因为C =π2， 则B 2=π2−A 2=π4−A2，所以1tanA 2=1tan(π4−A2)+1=1+tan π4tan A2tan π4−tan A 2+1 =1+tan A21−tan A 2+1=21−tan A 2，解得tanA 2=13； （2）设△ABC 的内切圆的圆心为O ，圆O 与边AB 切于点D ，连接OA ，OB ，OD ， 设△ABC 周长为l ，∠OBD =θ∈(0，π2)， 可得OD =OBsinθ，BD =OBcosθ，tan A 2=tan∠OAD =OD AD ，tan B 2=tan∠OBD =OD BD ， 由（1）可知：1tanA 2=1tanB 2+1，即1OD AD=1ODBD+1，整理得AD ＝BD +OD ＝OB （sin θ+cos θ）， 可得AB ＝AD +BD ＝OB （sin θ+2cos θ）， 根据等面积法可得12l ⋅OD =12AB ⋅BC ⋅sin∠ABC ，即12l ×OB ×sinθ=12OB(sinθ+2cosθ)×1×sin2θ，整理得l =sin2θ(sinθ+2cosθ)sinθ＝2sin θcos θ+4cos 2θ＝sin2θ+2cos2θ+2=√5sin(2θ+φ)+2， 其中tanφ=2，φ∈(0，π2)，当2θ+φ=π2，即tan2θ=tan(π2−φ)=1tanφ=12时，l 取到最大值√5+2， 所以△ABC 周长的最大值为√5+2．。
江苏省靖江高级中学2025届数学高三上期末质量检测试题含解析
江苏省靖江高级中学2025届数学高三上期末质量检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数()sin (0)5f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[0,2]π上有且仅有5个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．1229,510⎛⎤⎥⎝⎦ C ．1229,510⎛⎫⎪⎝⎭ D ．1229,510⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 2．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．-2B ．2C ．4D ．73．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若2||2PF =，则12F PF ∠的大小为（ ）A ．150︒B ．135︒C ．120︒D ．90︒4．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是（ ）A ．34B ．33C ．32D ．35．在很多地铁的车厢里，顶部的扶手是一根漂亮的弯管，如下图所示．将弯管形状近似地看成是圆弧，已知弯管向外的最大突出(图中CD )有15cm ，跨接了6个坐位的宽度(AB )，每个座位宽度为43cm ，估计弯管的长度，下面的结果中最接近真实值的是（ ）A ．250cmB ．260cmC ．295cmD ．305cm6．已知函数有三个不同的零点（其中），则 的值为( )A ．B ．C ．D ．7．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为(),f x π的图象向左平移6π个单位长度后关于y 轴对称，则()6f x π-的单调递增区间为( )A ．5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦8．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x 的值为( )A ．3B ．3.4C ．3.8D ．49．已知()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()2ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是（ ） A ．3B ．5C ．7D ．910．函数()sin 3f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω），当[]0,x π∈时，()f x 的值域为3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则ω的范围为（ ） A ．53,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．55,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．14,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦11．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）A ．5?n ≤B ．6?n ≤C ．7?n ≤D ．8?n ≤12．若不等式32ln(1)20a x x x +-+>在区间(0,)+∞内的解集中有且仅有三个整数，则实数a 的取值范围是( )A ．932,2ln 2ln 5⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．932,2ln 2ln 5⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．932,2ln 2ln 5⎛⎤⎥⎝⎦ D ．9,2ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年江苏省泰州市靖江高级中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年江苏省泰州市靖江高级中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}{}N ,0,1,2,3,4,5A x y x B =∈=∣，则A 与B 之间的关系是（ ） A ．A B =B ．B A ⊆C ．A B ∈D ．A B ⊆【答案】D 【分析】计算得到{}0,1,2,3,4A =，据此得到集合的关系.【详解】{}{N}0,1,2,3,4A xy x =∈=∣，{0,1,2,3,4,5}B =， 故A B =错误；B A ⊆错误，A B ∈错误；A B ⊆正确.故选：D2．“角A 为钝角”是“角π,π2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭”的（ ）条件 A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要【答案】C【分析】利用充分、必要条件的概念即得. 【详解】由角A 为钝角可推出角π,π2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 由角π,π2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可推出角A 为钝角， 所以“角A 为钝角”是“角π,π2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭”的充要条件. 故选：C3．以下四组数中大小关系正确的是（ ）A ． 3.14πlog πlog 3.14<B ．0.30.30.50.4<C ．0.20.1ππ--<D ．0.30.70.40.1<【答案】C【分析】结合指数函数、对数函数、幂函数性质即可求解.【详解】对A ， 3.14πlog π1,log 3.141><，故 3.14πlog πlog 3.14>，错误；对B ，0.3y x =在第一象限为增函数，故0.30.30.50.4>，错误；对C ，πx y =为增函数，故0.20.1-ππ-<，正确；对D ，0.30.30.40.1>，0.30.70.10.1>，故0.30.70.40.1>，错误；故选：C4．已知,R x y ∈，角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(),1A x ，()2,B y -且1sin 3θ=，则x y ⋅=（ ） A ．4±B ．2-C ．2±D ．4 【答案】B【分析】根据三角函数的定义即得.【详解】由三角函数的定义可知12y x =-， 即2xy =-.故选：B.5．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：现欲从理论上对这些数据进行分析并预测，则下列模拟函数合适的是（ ）A ．2log y x =B ．2x y =C ．223y x x =+-D ．23y x =-【答案】A【分析】由表中数据的增大趋势和函数的单调性判断可得选项.【详解】解：由表中的数据看出：y 随x 的增大而增大，且增大的幅度越来越小， 而函数2x y =，223y x x =+-在()0+∞，的增大幅度越来越大，函数23y x =-呈线性增大，只有函数2log y x =与已知数据的增大趋势接近，故选：A.6．已知函数()e x f x x -=-的部分函数值如下表所示那么函数()f x 的一个零点的近似值（精确度为0.1）为（ ）A ．0.55 B ．0.57 C ．0.65 D ．0.7【答案】B【分析】根据给定条件直接判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断作答.【详解】函数()1e xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上单调递增， 由数表知：(0.5)(0.5625)0(0.625)(0.75)(1)f f f f f <<<<<，由零点存在性定义知，函数()f x 的零点在区间(0.5625,0.625)内，所以函数()f x 的一个零点的近似值为0.57.故选：B7．函数()log 11(0a y x a =-+>且1)a ≠的图象恒过定点A ，且A 点在直线1mx ny +=上，(0,0)m n >>，则212m m n ++的最小值为（ ）A ．6+B ．10 C ．8+D ．8【答案】B 【分析】先得出(2,1)A ，再由基本不等式得出答案.【详解】当11x -=时，log 111a y =+=，即函数的图象恒过定点(2,1)A ，因为A 在直线10mx ny +-=上，所以21m n +=，212121222(2)m m n m n m n m n +⎛⎫+=++=+++ ⎪⎝⎭46610n m m n =++≥+ 当且仅当122n m ==时，取等号，即212m m n++的最小值为10. 故选：B8．设函数()()π2sin 10,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+->≤≤ ⎪⎝⎭与()1cos 2g x x θ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭有相同的对称轴,且()f x 在[]0,5π内恰有3个零点,则ϕ的取值范围为（ ）A ．π50,π312⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭B ．πππ0,,432⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．π50,π612⎡⎤⎧⎫⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭D ．πππ0,,632⎡⎤⎡⎤⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦【答案】D【分析】根据()f x 与()g x 有相同对称轴,求出ω的值,对()f x 的相位进行换元,根据π02ϕ≤≤,确定定义域大致范围,画出新函数图象,分ϕ在第一个零点前后两种情况讨论,根据有3个零点,写出不等式求出范围即可.【详解】解:由题知,因为()f x 与()g x 有相同对称轴, 所以12ω=, 即()12sin 12f x x ϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,π02ϕ≤≤, 令15π,22t x ϕϕϕ⎡⎤=+∈+⎢⎥⎣⎦, 即2sin 1=-y t 在5π,2ϕϕ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上有3个零点, 因为π02ϕ≤≤,所以5π5π3π22ϕ≤+≤ 画出2sin 1y ϕ=-图象如下所示:当π06ϕ≤≤时, 2sin 1=-y t 在5π,2ϕϕ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上有3个零点, 只需13π5π17π626ϕ≤+<, 解得ππ33ϕ-≤<, 故π06ϕ≤≤; 当ππ62ϕ≤≤时, 2sin 1=-y t 在5π,2ϕϕ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上有3个零点, 只需17π5π3π62ϕ≤+≤, 解得ππ32ϕ≤≤, 综上: π06ϕ≤≤或ππ32ϕ≤≤. 故选:D二、多选题9．下列结论正确的是（ ）A ．若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数为同一个函数B ．函数y =()1,+∞ C ．若函数()22023log y x x a =++的值域为R ，则实数a 的取值范围为1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．函数()y f x =的定义域为[]1,3-则()()y f x f x =+-的定义域为[]1,1-【答案】BD【分析】利用特例可判断A ，求函数的定义域可判断B ，根据对数函数及二次函数的性质可判断C ，根据抽象函数的定义域可判断D.【详解】对于A ，如1y x =与2y x =定义域与值域相同，但不是同一个函数，故A 不正确； 对于B ，函数y =(1,)+∞，故B 正确； 对于C ，要使函数()22023log y x x a =++的值域为R ，令2t x x a =++，则11404a a ∆=-≥⇒≤，故C 错误；对于D ，因为函数()y f x =定义域为[]1,3-，则要使()()y f x f x =+-有意义，必须131113x x x -≤≤⎧⇒-≤≤⎨-≤-≤⎩， 所以()()y f x f x =+-定义域为[]1,1-，故D 正确.故选：BD.10．函数()π2sin 213f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则下列结论正确的为（ ） A ．函数()f x 的图象关于π,06⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 B ．函数()f x 的图象关于直线5π12x =对称C ．若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的值域为1⎡⎣ D ．函数()f x 的单调减区间为()511ππ,ππZ 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 【答案】BD【分析】代入验证正弦型函数的对称性判断AB ，求正弦型函数在给定区间的值域判断C ，求解正弦型函数的递减区间判断D.【详解】选项A ：πsin 203π6⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象关于点π,16⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故A 错误； 选项B ：5ππsin 21123⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象关于直线5π12x =对称，故B 正确；选项C ：由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得ππ2π2333x -≤-≤，则π2sin 223x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭，π12sin 2133x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭即若π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 的值域为1⎡⎤⎣⎦，故C 错误； 选项D ：由ππ3π2π22π,Z 232k x k k +≤-≤+∈，可得5π11πππ1212k x k +≤≤+，Z k ∈， 即函数()f x 的单调递减区间为()511ππ,ππZ 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确. 故选：BD.11．下列函数中，最小值不为4的函数为（ ）A ．4y x x =+B ．4sin sin y x x=+ C ．e 4e x x y -=+D ．3log log 81x y x =+【答案】ABD【分析】利用基本不等式逐项分析判断即得. 【详解】对于A ，当0x <时，40y x x=+<，所以A 最小值不为4；对于B ，sin 0x >，40sin x >，4sin 4sin x x +≥=， 当且仅当4sin sin x x=，即sin 2x =时，取得最小值4，但sin 2x =无解，故B 最小值不为4；对于C ，因为e 0x >，所以e 4e 4x x y -=+≥=，当且仅当e 4e x x -=，即ln 2x =时取等号，所以e 4e x x y -=+的最小值为4，所以C 最小值为4；对于D ，当01x <<，3log log 810x y x =+<，所以D 最小值不为4.故选：ABD.12．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且满足：()()2f x f x +=-，当(]0,1x ∈时，()f x =则下列结论正确的是（ ）A ．()f x 为周期函数B ．()32f -=-C ．不等式()0f x ≥的解集为{}442,Z xk x k k ≤≤+∈∣D ．关于x 的方程()f x mx =恰有三个不同的解，则2m =【答案】AC【分析】利用周期性的定义可判断A 选项，计算出()3f -的值，可判断B 选项，求出不等式()0f x >在22x -≤≤上的解，结合周期可判断C 选项，数形结合可判断D 选项.【详解】对于A ，由已知可得()()()42f x f x f x +=-+=，故函数()f x 为周期函数，A 对； 对于B ，由A 知()()3(34)1212f f f -=-+==⨯=， B 错；对于C ，由奇函数的性质可得()00f =，则()()200f f =-=，()()220f f -==，当(]0,1x ∈时，()20f x x =>，当[)1,0x ∈-时，(]0,1x -∈，则()()0f x f x =--<，当()1,2x ∈时，()21,0x -∈-，则()()20f x f x =-->，当()2,1x ∈--时，()20,1x +∈，则()()20f x f x =-+<.故当22x -<≤时，不等式()0f x ≥的解为02x ≤≤，又因为函数()f x 的周期为4，故不等式()0f x ≥的解集是{}442,x k x k k ≤≤+∈Z ，C 对； 对于D ，作出函数()f x 与函数y mx =的部分图象如下图所示：由图可知，当1m =时，直线2y x =与函数()f x 的图象也有三个交点，D 错.故选：AC三、填空题13．已知全集为(){}2R,log 12A x x =+<,则R A =__________. 【答案】R {1A x x =≤-或3}x ≥【分析】先化简集合A ,再根据补集的定义写出结果即可.【详解】解:由题知(){}2log 12A x x =+<,解得:{}13A x x =-<<, 故R {1A x x =≤-或3}x ≥.故答案为:R {1A x x =≤-或3}x ≥1422sin 20sin110201cos 160+-的值为__________．【答案】1【分析】根据诱导公式，平方关系即可解出． 【详解】()2sin 20cos 202sin 20cos 20sin 20cos 20120sin160sin 20cos 20sin 20cos 20++===+++． 故答案为：1．15．已知定义在R 上的函数()()20231R x t f x t -=-∈为偶函数，记：()0.5log 3a f =，()()2log 5,2b f c f t ==，则,,a b c 的大小关系按从大到小排列为__________.【答案】b a c >>【分析】根据函数的奇偶性及函数的单调性结合条件即得.【详解】因为函数()()20231R x t f x t -=-∈为偶函数， 所以()()2023120231x t x t f x f x ----=-=-=，即20232023x t x t +-=， 所以0=t ，即()20231x f x =-，函数在[)0,∞+上单调递增，又()()0.522(log 3)log 3log 3a f f f ==-=，()2(0)c f t f ==，22log 5log 30>>，所以b a c >>.故答案为：b a c >>.16．已知()()()2211(0)210x x f x x x x ⎧-+>⎪=⎨--+≤⎪⎩，关于x 的方程()()()2310R f f x a a x -+-=∈有8个不等的实数根，则a 的取值范围为__________.【答案】133,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】令()f x t =，结合()f x 的图象将问题转化为“方程2310t t a -+-=在()1,2上有两不等实根”，利用韦达定理结合二次函数性质求解出a 的取值范围.【详解】作()f x 的图象如下图所示，令()f x t =，因为关于x 的方程()()2310f f x x a -+-=有8个不等的实数根，结合图象可知，关于t 的方程2310t t a -+-=有两不等实根，记为12,t t ，且()12,1,2t t ∈，因为123t t +=，121t t a =-，所以()2111391324a t t t ⎛⎫-=-=--+ ⎪⎝⎭， 又因为()11,2t ∈，12t t ≠，即132t ≠，所以213924t ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的取值范围是92,4⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以a 的取值范围是133,4⎛⎫ ⎪⎝⎭， 故答案为：133,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.四、解答题17．已知角α的终边经过点(4,3)P -，(1)求tan sin()cos 2αππαα⎛⎫--+ ⎪⎝⎭值；(2)求22sin sin cos 2cos αααα++的值.【答案】(1)58- (2)2925【分析】（1）根据点坐标求出正余弦三角函数值结合诱导公式和同角的三角函数关系即可求出结果；（2）直接代入正余弦值即可．【详解】（1）由题意3sin 5α=，4cos 5α=-，则原式sin 15cos sin sin 2cos 8ααααα===-+； （2）原式21sin cos cos ααα=++1216291252525=-+=． 18．已知()4log f x x =，当1,416x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的值域为集合A ，关于x 的不等式：()312R 2x a x a +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭的解集为B ，集合501x C x x -⎧⎫=≥⎨⎬+⎩⎭∣，集合{121}D x m x m =+≤<-∣ (1)若A B B ⋃=，求实数a 的取值范围；(2)若D C ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】(1)(),4-∞-；(2)(],3-∞．【分析】（1）根据对数函数及指数函数性质可得集合,A B ，由题可得A B ⊆，由此列出不等式求解，即得；（2）先解分式不等式，根据D C ⊆，分别讨论121m m +≥-，121m m +<-两种情况，即得.【详解】（1）由对数函数的单调性可得，()4log f x x =在1,416⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以其值域()[]1,42,116A f f ⎡⎤⎛⎫==- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 又由()312R 2x a x a +⎛⎫>∈ ⎪⎝⎭，可得()322x a x -+>，所以3x a x -->，即4a x <-， 所以,4a B ⎛⎫=-∞- ⎪⎝⎭， 又A B B ⋃=，所以A B ⊆， 所以14a ->，所以4a ，即实数a 的取值范围为(),4-∞-；（2）由501x x -≥+，可得501x x -≤+， 所以15x -<≤，即(]1,5C =-，对于集合{}|121D x m x m C =+≤<-⊆有：当121m m +≥-时，即2m ≤时，D =∅，满足D C ⊆；当121m m +<-时，即m>2时，D ≠∅，所以211215m m m >⎧⎪+>-⎨⎪-≤⎩，所以23m <≤；综上，实数m 的取值范围为(],3-∞．19．解决下列问题：(1)若不等式()222223ax a x x +--≥-对于x ∈R 恒成立，求实数a 的范围；(2)函数()()21h x x a x a =-++，若存在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得()1h x ≤-成立，求实数a 的范围. 【答案】(1)26a ≤≤(2)1a ≤-【分析】对于（1），()()()22222232210ax a x x a x a x +--≥-⇔-+-+≥，分22，a a =≠两种情况讨论可得答案；对于（2），存在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得()1h x ≤-等价于()1min h x ≤-，其中10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 【详解】（1）()()()22222232210ax a x x a x a x +--≥-⇔-+-+≥.①当2a =时，有10≥，则2a =符合题意；②当2a ≠时，有()()22026Δ2420a a a a ->⎧⎪⇒<≤⎨=---≤⎪⎩. 综上，实数a 的范围是26a ≤≤.（2）存在10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得()1h x ≤-等价于()1min h x ≤-，其中10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 又()()()22211124a a h x x a x a x -+⎛⎫=-++=-- ⎪⎝⎭. ①当1012a a +≤⇒≤-，()h x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 则()()01min h x h a ==≤-，得此时1a ≤-；②当1101022a a +<<⇒-<<时，()h x 在102,a ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭在单调递减，在1122,a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦上单调递增，则()()211124min a a h x h -⎛⎫+==-≤- ⎪⎝⎭3a ⇒≥或1a ≤-，结合10a -<<，可知此时a 不存在； ③当11022a a +≥⇒≥时，()h x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 则()11312242min a h x h a ⎛⎫==-≤-⇒≤- ⎪⎝⎭，结合0a ≥，得此时a 不存在. 综上：实数a 的范围是1a ≤-20．已知1a b c <<<，且1log log log 2a b a b c c +=+． (1)若3c a =，求log a b 的值；(2)求log log a b b c +的最小值．【答案】(1)3log 2a b =或2(2)2【分析】（1）由对数的运算得37log log 2a a b b +=，解方程可得答案； （2）由1log log log 2log 2b a a a c b c b +=+⋅()21log 3log 04a a c c -+，解不等式得3log 22a c +，根据1log log log 2a b a b c c +=+可得答案. 【详解】（1）由题意，331log log log 2a b a b a a +=+，即37log log 2a a b b +=，解得3log 2a b =或2． （2）因为1a b c <<<，所以log 1,log 1,log 1a b a b c c >>>，所以1log log log 2log 2b a a ac b c b +=+⋅ 因此1log 2log 2a a c c +，即()21log 3log 04a a c c -+， 解得3log 22a c +或3log 22a c -， 因为log 1a c >，所以3log 22a c+， 故1log log log 222a b a b c c +=++，当log log 1a b b c ==所以log log a b b c +的最小值为221．已知函数()()sin (0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<在一个周期内的图象如图所示：(1)求函数()f x 的解析式，并写出它是由2sin2y x =的图象经过怎样的变换而得到的函数图象所对应的函数；(2)若存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得关于x 的不等式21cos 223m f x x m π⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭成立，求实数m 的最小值. 【答案】(1)2π()2sin(2)3f x x =+,向左平移π3个单位长度； (2)12.【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得函数的解析式，再由函数图象的平移求解即可；（2）假设存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得不等式成立，分离参数可转化为存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使22sin 21sin 2x m x -≥+成立，求出22sin 21sin 2x x-+的最小值即可得解. 【详解】（1）由所给函数图象可知，2A =，5πππ()212122T =--=，即πT =, 所以2π2T ω==，又图象过点π(,2)12-，所以ππ2()2π,Z 122k k ϕ⨯-+=+∈， 解得2π2π,Z 3k k ϕ=+∈， 因为0πϕ<<，所以当0k =时，2π3ϕ=， 故2π()2sin(2)3f x x =+. 由2sin2y x =的图象向左平移π3个单位长度可得函数π2πsin 2()sin(2)33y x x =+=+，即2π()2sin(2)3f x x =+的图象. （2）存在0π(0,)2x ∈，使得关于x 的不等式2π1cos 223m f x x m ⎛⎫--≥- ⎪⎝⎭成立，即存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得关于x 的不等式2sin 22sin 2m x x m ≥--成立， 即存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得22sin 21sin 2x m x-≥+成立. 当00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，]sin 2(0,1x ∈，令sin 2(0,1]t x =∈时，22211111(1)21111t t y t t t t t t --+===-+=-+++++++为减函数， 所以当1t =时， 221t y t-=+取得最小值为12，即22sin 21sin 2x x -+的最小值为12， 故实数12m ≥，所以m 的最小值为12. 22．已知函数()()121,2121x x x f x g x ++==-- (1)利用函数单调性的定义，判断并证明函数()f x 在区间()0,∞+上的单调性；(2)若存在实数()12,0,x x ∈+∞且12x x <，使得()f x 在区间[]12,x x 上的值域为()()21,m m g x g x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求实数m 的取值范围.【答案】(1)()f x 在区间()0,∞+上是减函数，详见解析；(2)()9,+∞．【分析】（1）根据函数单调性的定义按步骤证明即可；（2）根据函数的单调性结合条件可将问题变转化为121 2121x x x m ++=--在()0,∞+上有两解的问题，采用换元法，利用一元二次方程在给定区间有解的条件解答即可.【详解】（1）由题可得()21212121x x x f x +==+--， ()f x 在区间()0,∞+上是减函数，任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则21221x x >>，则()()()()()22111212222221121212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭， 由题设知21121120,20,220x x x x --->>>，故()()()()()21121222202121x x x x f x f x --=>--，所以()()12f x f x >，所以()f x 在区间()0,∞+上是减函数；（2）由（1）知()f x 在区间()0,∞+上是减函数， 所以当120x x <<时，()f x 在区间[]12,x x 上单调递减，所以函数()f x 在区间[]12,x x 上的值域为()()2121212121,,2121x x x x f x f x ⎡⎤++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦--⎣⎦， 所以2221111121212121 2121x x x x x x m m ++⎧+=⎪⎪--⎨+⎪=⎪--⎩， 所以121 2121x x x m ++=--在()0,∞+上有两解， 所以()()()22121210x x x m ⋅-+--=在()0,∞+上有两解， 令21x t =-，则210x t =->，则关于t 的方程()()2120t t mt ++-=在()0,∞+上有两解，即()22520t m t +-+=在()0,∞+上有2解， 所以220504Δ(5)160m m >⎧⎪-⎪>⎨⎪=-->⎪⎩，解得9m >， 所以m 的取值范围为()9,+∞．。
靖江高一高三数学试卷
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在x=1时取得最小值，则a、b、c之间的关系是：A. a > 0, b = 0, c < 0B. a < 0, b = 0, c > 0C. a > 0, b ≠ 0, c ≠ 0D. a < 0, b ≠ 0, c ≠ 02. 下列各数中，属于有理数的是：A. √3B. πC. √(-1)D. 1/23. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1 = 2，d = 3，则S10等于：A. 150B. 165C. 180D. 1954. 在三角形ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的大小是：A. 75°B. 105°C. 120°D. 135°5. 下列函数中，在其定义域内是单调递减的是：A. f(x) = 2x + 1B. f(x) = x^2C. f(x) = √xD. f(x) = log2(x)6. 已知复数z = a + bi（a，b∈R），若|z| = 1，则复数z的取值范围是：A. a^2 + b^2 = 1B. a^2 + b^2 = 2C. a^2 + b^2 = 0D. a^2 + b^2 = 37. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，若存在实数m，使得f(m) = 0，则m的取值范围是：A. m ≥ 0B. m ≤ 0C. m > 0D. m < 08. 已知数列{an}的通项公式为an = 2n - 1，则数列{an}的前n项和Sn的公式是：A. Sn = n^2B. Sn = n^2 - nC. Sn = n^2 + nD. Sn = n^2 - 2n9. 在等腰三角形ABC中，底边BC的中点为D，若AB = AC = 6，则AD的长度是：A. 3B. 4C. 5D. 610. 下列各对数式中，等价的是：A. log2(4) = log4(2)B. log3(27) = log9(3)C. log5(25) = log25(5)D. log7(49) = log49(7)二、填空题（每小题5分，共50分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的图像是_________。
江苏省靖江市刘国钧中学高一数学上册期末试题
江苏省靖江市刘国钧中学高一数学上册期末试题一、选择题1．设全集U =R ，已知集合{|3A x x =<或9}x ，集合{|}B x x a =，若()U A B ⋂≠∅，则a 的取值范围为（ ）A ．3a >B ．3aC ．9a <D ．9a2．函数y x1=1-＋ln x 的定义域为（ ） A ．（0，1） B ．（0，1］ C ．（1，＋∞）D ．［1，＋∞） 3．已知扇形的弧长是6，半径为3，则扇形的圆心角的弧度数是 A ．1B ．2C ．12或2 D ．12 4．已知[0,2]απ∈，点(1,tan 2)P 是角α终边上一点，则α=（ ） A ．2 B ．2π+ C ．2π- D ．2π- 5．已知函数()10lg f x x x =--在区间(,1)n n +上有唯一零点，则正整数n =（ ） A ．7B ．8C ．9D ．106．《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年.其中有这样一个问题：“今有勾三步，股四步，间勾中容方几何？”其意思为：今有直角三角形ABC ，勾AC （短直角边）长3步，股BC （长直角边）长为4步，问该直角三角形能容纳的正方形CDEF （D ，E ，F 分别在边CB ，BA ，AC 上）边长为多少？在求得正方形CDEF 的边长后，可进一步求得BAD ∠的正切值为（ ）A ．937B ．1637C ．79213D ．1162137．设函数()21()ln 11f x x x =+-+，则使得()()21f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>图像上一点()(),22P s t t -<<向右平移2π个单位，得到的点Q 也在()f x 图像上，线段PQ 与函数()f x 的图像有5个交点，且满足()4f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()02f f π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，若()y f x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与y a =有两个交点，则a 的取值范围为（ ）A ．(2,-B．2,⎡-⎣C ．)2D ．2⎤⎦二、填空题9．已知函数()12ax a f x x -+=+，则下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的定义域为()(),22,-∞--+∞B ．当函数()f x 的图象关于点()2,3-成中心对称时，32a = C ．当13a <时，()f x 在()2,+∞上单调递减D ．设定义域为R 的函数()g x 满足()()44g x g x -+-=，若2a =，且()f x 与()g x 的图象共有2020个交点，记为(),i i i A x y (1i =，2，…，2020)，则()()()112220202020x y x y x y ++++++的值为010．下列命题为真命题的是（ ）A ．设命题p :n N ∃∈,22n n >.则p ⌝:n N ∀∈,22n n ≤;B ．若0a b >>,0c d <<,则a b d c<; C ．若()f x 是定义在R 上的减函数,则“0a b +≤”是“()()()()f a f b f a f b +≥-+-”的充要条件;D ．若i a ,i b ,i c (1,2i =)是全不为0的实数,则“111222a b c a b c ==”是“不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>解集相等”的充分不必要条件.11．已知实数a ，b ，c 满足c b a <<，且0ac <，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．ab ac >B ．()0c b a ->C ．()0ac a c -<D ．22cb ab <12．定义：在平面直角坐标系xOy 中，若存在常数()0ϕϕ＞，使得函数()y f x =的图象向右．．平移ϕ个单位长度后，恰与函数()y g x =的图象重合，则称函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”.下列四个选项中，函数()y f x =是函数()y g x =的“原形函数”的是（ ）A ．()2f x x =，()221g x x x =-+B ．()sin f x x =，()cos g x x =C ．()ln f x x =，()ln 2xg x =D ．()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()123xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭三、多选题13．已知命题“存在x ∈R ，使220ax x -+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是___________.14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，并且(2)()f x f x +=-，当10x -≤<时，()212()log 1f x x =+，则(2021)f =______．15．设,a b 是实数，已知角θ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(,1)A a ，(2,)B b -，且1sin 3θ=，则ab 的值为____________ .16．已知函数2()22b a f x ax x =+-，当[1,1]x ∈-时，1()2f x ≥-恒成立，则+a b 的最大值为________.四、解答题17．已知{}2230A x x x =--≤，()(){}40B x x k x k =--+>．（1）若[]0,3AB =R，求实数k 的值；（2）若p ：x A ∈，q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数k 的取值范围．18．已知函数())sin cos 2f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的单调递减区间.19．已知0a >，函数1()13xf x a =+⋅.（1）判断函数()f x 在R 上的单调性，并用定义法证明；（2）设()()()g x f x f x =-，若对任意[1,1]x ∈-，()(2)g x f ≥恒成立，求a 的取值范围. 20．某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量（即该产品的年产量）x （单位：万件）与年促销费()0m m ≥（单位：万元）满足31x km =-+（k 为常数），如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件，已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）.（1）将2020年该产品的利润y （单位：万元）表示为年促销费用m 的函数； （2）该厂家2020年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？21．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在（单位：）时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度（单位：）由关系式确定，其中，，．在一次振动中，小球从最高点运动至最低点所用时间为．且最高点与最低点间的距离为．（1）求小球相对平衡位置的高度（单位：）和时间（单位：）之间的函数关系；（2）小球在内经过最高点的次数恰为50次，求的取值范围．22．设函数2()(,)f x x ax b a b R =-+∈.（1）若2a =，求函数|()|y f x =在区间[0,3]上的最大值；（2）试判断：是否存在实数a ，b ，使得当,][0x b ∈时，2()6f x ≤≤恒成立，若存在，请求出实数b 的取值范围；若不存在，请说明理由.【参考答案】一、选择题 1．C 【分析】 可以求出{|39}UA x x =<，然后根据()U AB ⋂≠∅即可得出a 的取值范围.【详解】因为全集U =R ，集合{|3A x x =<或9}x ， 所以{|39}UA x x =<，又因为()U A B ⋂≠∅，{|}B x x a =9a ∴<.故选：C 2．A 【分析】利用具体函数的定义域的求法求解. 【详解】由100x x ->⎧⎨>⎩，解得01<x <，所以函数的定义域是（0，1） 故选：A 3．B 【分析】直接利用弧度公式||lrα=，即可得答案. 【详解】 ∵||l r α=，∴6||23l r α===. 故选：B. 【点睛】本题考查弧度公式||lrα=的应用，考查运算求解能力，属于基础题. 4．B 【分析】根据三角函数的定义求出cos ,sin αα，从而可得α. 【详解】 因为22ππ<<，故cos20<，因为(1,tan 2)P 是角α终边上一点，故11cos 2cos 2OP ==-， 故()1cos cos 2cos 21cos 2απ==-=+-，而()tan 2sin sin 2sin 21cos 2απ==-=+-， 故α与2π+的终边相同，而[]20,2ππ+∈，故2απ=+. 故选：B.5．C 【分析】根据零点存在性定理即可求解. 【详解】解：()10lg f x x x =--在()0,∞+上单调递减， 故()10lg f x x x =--最多有一个零点，函数()10lg f x x x =--在区间(,1)n n +上有唯一零点，()()10f n f n ∴⋅+<，()9109lg91lg90f =--=->， ()101010lg1010f =--=-<，故函数()10lg f x x x =--在区间(9,10)上有唯一零点， 故9n =， 故选：C. 6．B 【分析】由题设，令3,4AC BC ==，正方形的边长为a ，由相似比有443a a-=求a 值，再由tan tan()BAD BAC DAC ∠=∠-∠及两角差正切公式即可求值. 【详解】由题意知：若3,4AC BC ==，设正方形的边长为a ，则443a a-=，解得127a =， ∵tan tan tan tan()1tan tan BAC DAC BAD BAC DAC BAC DAC∠-∠∠=∠-∠=+∠∠，而4tan 3BAC ∠=，4tan 7DAC ∠=， ∴441637tan 4437137BAD -∠==+⨯. 故选：B 7．B 【分析】由题意判断出()f x 为偶函数，在()0+∞，时是单调递增的.把()()21f x f x >-转化为()()21f x f x >-，即21x x >-，两边平方即可解得.【详解】函数()21()ln 11f x x x =+-+的定义域为R . 因为()()()2211()ln 1ln 1=()11f x x x f x x x -=+--=+-++-， 所以()f x 为偶函数，且0x ≥时，()21()ln 11f x x x =+-+. 因为()ln 1y x =+在()0+∞，时是单调递增的，且211y x =-+在()0+∞，时是单调递增， 所以()21()ln 11f x x x =+-+在()0+∞，时是单调递增的. 所以()()21f x f x >-等价于()()21f x f x >-，即21x x >-，两边平方可得：23410x x -+>，解得：113x <<. 故选：B. 8．A 【分析】首先根据已知条件分析出22PQ T π==，可得2ω=，再由()4f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可得()y f x =对称轴为8x π=，利用()02f f π⎛⎫-> ⎪⎝⎭可以求出符合题意的一个ϕ的值，进而得出()f x 的解析式，再由数形结合的方法求a 的取值范围即可. 【详解】如图假设()0,0P ，线段PQ 与函数()f x 的图像有5个交点，则2PQ π=， 所以由分析可得22PQ T π==，所以T π=， 可得222T ππωπ===， 因为()4f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭所以488f x f x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即88f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以8x π=是()f x 的对称轴，所以()282k k Z ππϕπ⨯+=+∈，即()4k k Z πϕπ=+∈，()()2sin 2sin 02sin 2f f ππϕϕϕ⎛⎫-=-+=->= ⎪⎝⎭， 所以sin 0ϕ<，可令1k =-得34πϕ=-， 所以()32sin 24x x f π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，令332,444x t πππ⎡⎤-=∈-⎢⎥⎣⎦，则()2sin f x t =，3,44t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ 作()f t 图象如图所示：当34t π=-即0x =时3y =2t π=-即8x π=时，2y =-，由图知若()y f x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦与y a =有两个交点，则a 的取值范围为(2,2-， 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是取特殊点()0,0P 便于分体问题，利用已知条件结合三角函数图象的特点，以及三角函数的性质求出()f x 的解析式，再利用数形结合的思想求解a 的取值范围.二、填空题9．ACD 【分析】结合选项逐个验证即可，定义域结合分母不为零易求，变形解析式可得B,C 选项的正误，结合(),()f x g x 的对称性可得选项D 的正误. 【详解】()f x 的定义域为()(),22,-∞--+∞，A 正确；()132ax a x f -=++，故()f x 的图象关于点()2,a -成中心对称，故当()f x 的图象关于点()2,3-成中心对称时，3a =，B 错误；当13a <时，130a ->，则()132a x a x f -=++在()2,+∞上单调递减，C 正确；若()()44g x g x -+-=，则()g x 的图象关于()2,2-对称，若2a =，则()f x 的图象也关于()2,2-对称，则()f x 与()g x 图象的交点成对出现，且每一对均关于()2,2-对称，所以122020x x x +++=220204040-⨯=-，122020*********y y y +++=⨯=，则()()()112220202020x y x y x y ++++++0=，故D 正确，故选：ACD. 10．ABC 【分析】特称命题的否定是将存在词变为全称量词后否定结论；结合不等式的性质求解； 【详解】A 选项：特称命题的否定是将存在词变为全称量词后否定结论，所以命题p :n N ∃∈,22n n >.则p ⌝:n N ∀∈,22n n ≤，A 是真命题；B 选项：0,0c d a b <<>>，0,0c d ac bd ∴->->->->0cd >又，,ac bd a b cd cd d c∴->->-即-，a bd c ∴<，B 是真命题；C 选项：若0a b +<，则,a b b a <-<-而()f x 在R 上递减，故()()()(),f a f b f b f a >->-，()()()()f a f b f a f b +>-+-充分性满足；若()()()()f a f b f a f b +>-+-，则0a b +<的逆否命题是： 若0a b +≥，则()()()()f a f b f a f b +≤-+-，由0a b +≥，得,a b b a ≥-≥-而()f x 在R 上递减，故()()()(),f a f b f b f a ≤-≤-，即()()()()f a f b f a f b +≤-+-，所以必要性满足.综上：若()f x 是定义在R 上的减函数,则“0a b +≤”是“()()()()f a f b f a f b +≥-+-”的充要条件，C 是真命题； D 选项：设()1112220a b c m m a b c ===≠，则121212,,a ma b mb c mc === 所以不等式21110a x b x c ++>等价于()22220m a x b x c ++>.若0m >，此时()22220m a x b x c ++>等价于22220a x b x c ++>，此时两者解集相等；若0m <，此时()22220m a xb xc ++>等价于22220a xb xc ++<，此时两者解集不相等；若不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>解集为∅，则两个不等式的系数没有关系。
泰州中学江苏省泰州中学、如东高级中学、靖江高级中学、宜兴中学 2022-2023学年数学高一上期末学
因为 ，所以 ，所以 ，
由 ，可得 .
所以函数 的单调递增区间为 .
（2）由题意知，函数 ，
因为 的图象关于直线 对称，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ，所以 .
当 时， ，可得 ，
所以 ，即函数 的值域为 .
【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为 的形式；
故抽样比为： ，
抽取的男生人数为： .
故选：B.
8、C
【解析】利用正切函数的性质求解.
【详解】解：令 ，
解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ， ，
故选：C
9、A
【解析】画出函数 的图像，通过观察 的图像与 的交点，利用对称性求得 与 的关系，根据对数函数的性质得到 与 的关系.再利用函数的单调性求得题目所求式子的取值范围.
（2）利用均值不等式即可求解.
【小问1详解】
解：由题意，y关于x的函数表达式为 ；
【小问2详解】
解：因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立.
所以当 时，y有最小值为3.
（2）由（１）可得： ，再结合余弦函数的图象及性质可得： ，进而结合x的取值范围得到结果
试题解析：（1）由题意可得：
所以函数 解析式为： ；
因为 为偶函数，所以有： 即：
又因为 ，
所以
（２）由（１）可得： ，
因为 ，
所以由余弦函数的图象及性质得： ，
又因为 ，所以
x的集合为
考点：１．两角和与差的正余弦公式、二倍角公式；２．向量数量积的坐标运算；３．三角函数的性质
17．已知幂函数 为偶函数
（1）求 的解析式；
（2）若函数 在区间（2，3）上为单调函数，求实数 的取值范围
江苏省靖江高级中学2023届数学高一上期末质量检测模拟试题含解析
22、（1）见解析；（2） ；（3）见解析.
【解析】（1）利用函数的单调性的定义，即可证得函数的单调性，得到结论；
（2）由 得 ，转化为 ，设 ，利用二次函数的性质，即可求解.
（3）把函数 有 个零点转化为方程 有两个解，令 ，作 的图像及直线 图像，结合图象，即可求解，得到答案.
（1）求 的值；
（2）若 ，求 的值.
20．已知函数
（1）若 的定义域为R，求a的取值范围；
21．某种树木栽种时高度为A米 为常数 ，记栽种x年后的高度为 ，经研究发现， 近似地满足 ， 其中 ，a，b为常数， ，已知 ，栽种三年后该树木的高度为栽种时高度的3倍
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求栽种多少年后，该树木的高度将不低于栽种时的5倍 参考数据： ，
2、A
【解析】画出函数 的图像，通过观察 的图像与 的交点，利用对称性求得 与 的关系，根据对数函数的性质得到 与 的关系.再利用函数的单调性求得题目所求式子的取值范围.
【详解】画出函数 的图像如下图所示，根据对称性可知， 和 关于 对称，故 .由于 ，故 .令 ，解得 ，所以 . ，由于函数 在区间 为减函数，故 ，故选A.
故D正确；
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，熟记正弦函数的奇偶性、单调区间、最小正周期与对称轴是解决本题的关键.
5、D
【解析】根据指数函数与对数函数的图象判断
【详解】因为 ， ， 是减函数， 是增函数，只有D满足
故选：D
6、C
【解析】利用平面向量的线性运算及平面向量的基本定理求解即可
B： ，当 时，函数单调递减，故本选项不符合题意；
江苏省泰州中学、如东高级中学、靖江高级中学、宜兴中学 2023届高一数学第一学期期末达标检测模拟试题
故选：B
7、D
【解析】直接利用任意角的三角函数的定义求得点P的坐标
【详解】设 ，由任意角的三角函数的定义得，
，
点P的坐标为
故选D
【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，是基础题
8、B
【解析】∵集合
∴集合
∵集合
∴
故选B
9、A
【解析】利用诱导公式化简根式内的式子，再根据同角三角函数关系式及大小关系，即可化简
②“T—单调增函数” 一定是“ —单调增函数”（其中 ，且 ）：
③函数 是“T—单调增函数”（其中 表示不大于x的最大整数）；
④函数 不 “T—单调增函数”
其中，所有正确的结论序号是______
14．在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(bie nao).已知在鳖臑 中, 平面 , ,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为____
点睛：本题考查了球与几何体的问题，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线，这样两条直线的交点，就是其外接球的球心.
可得 ，解得： ，
所以 的范围为 ，
故答案为： ．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）A产品的利润y关于投资x的函数解析式为： ；
B产品的利润y关于投资x的函数解析式为： .
（2）① 万元；②当投入B产品的资金为 万元，投入A产品的资金为 万元，该企业获得的总利润最大，其最大利润为 万元.
江苏省靖江高级中学2022-2023学年高一上学期阶段测试 数学含答案
（2）每套丛书售价定为 元时，单套丛书的利润最大，为 元.
【21题答案】
【答案】（1） 或 或 .
（2） 或
【22题答案】
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
6.关于x的不等式 的解集为 ，则 的最小值是（）
A.4B. C.2D.
7.已知集合 中恰有2个整数解，则a的取值范围是（）
A. B. C. D.
8.若 ，且 ，则 的最小值为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
（1）每套丛书的售价定为 元时，书商所获得的总利润．
（2）每套丛书的售价定为多少元时，单套丛书的利润最大.
21.已知函数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（1）若该函数恰有一个零点，求实数m的值；
（2）若不等式 对 恒成立，求实数m的取值范围．
22.已知 ， ．
（1）求证： ；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
江苏省靖江高级中学2022一2023学年第一学期阶段测试
14.不等式 的解集为____________．
15.若“ ”是“ ”的充分不必要条件，则 的取值范围是____________．
16.正实数 、 满足 ，则 的最小值是____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知集合 ，且
（1）求a和b；
江苏省靖江高级中学2022一2023学年第一学期阶段测试