2019-2020年全国通用2018高考数学大一轮复习第十二篇坐标系与参数方程第1节坐标系课件理
y2
=1.
与 x2+y2=1 比较系数,
得
3
2
2
2
1, 1,
故
3, 2,
所以伸缩变换为
x
y
3x, 2 y,
即先使圆 x2+y2=1 上的点的纵坐标不变,将圆上的点的横坐标伸长到原来的 3 倍,
得到椭圆 x2 +y2=1,再将该椭圆的点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 2 倍,得 9
到椭圆 x2 + y 2 =1. 94
反思归纳
平面上的曲线
y=f(x)在变换
:
x
y
x( 0), y( 0)
的作用下
得到的方程的求法是将
x y
x ,
y
代入 y=f(x),得
y
=
f
x
,整理之后得
到 y′=h(x′),即为所求变换之后的方程.
选考部分 第十二篇
坐标系与参数方程(选修4-4) 第1节 坐标系
最新考纲
2.了解极坐标的基本概念,会在极
1.了解坐标系的作用,了解在平面 坐标系中用极坐标刻画点的位置,
直角坐标系伸缩变换作用下平面 能进行极坐标和直角坐标的互化.
图形的变化情况.
3.能在极坐标系中给出简单图形
表示的极坐标方程.
知识链条完善 考点专项突破 经典考题研析
(1)求C1,C2的极坐标方程;
(2)若直线C3的极坐标方程为θ = π
△C2MN的面积.
4
(ρ ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求
解: (1)因为x=ρcos θ ,y=ρsin θ ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ =-2, C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ -4ρsin θ +4=0.
d= 1 1 =0,直线过圆心, 1 ( 3)2
所以|AB|=2.
答案:2
3.(2015·安徽卷)在极坐标系中,圆ρ =8sin θ 上的点到直线θ = π
3
(ρ ∈R)距离的最大值是
.
解析:圆ρ=8sin θ化为直角坐标方程为 x2+y2=8y, 即 x2+(y-4)2=16,直线θ= π (ρ∈R)化为直角坐标方程为 y= 3x .
=
2 2
.
考点三 简单曲线的极坐标方程及应用 【例 3】 (2016·黑龙江大庆实验中学模拟)在极坐标系中,已知圆 C 经
过点
P
2,
π 4
,圆心为直线
sin
π 3
=
3 与极轴的交点. 2
(1)求圆C的极坐标方程;
解:(1)在 sin
π 3
半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任
意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标为(ρ ,θ ),则它们之间的关系为
x=ρ cos θ
,y= ρ sin θ ,由此得ρ 2= x2+y2 ,tan θ =
y (x 0) x
.
3.常用简单曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为 r 的圆
【例 1】 在同一平面直角坐标系中,求一个伸缩变换,使得圆 x2+y2=1 变换为椭
圆 x2 + y 2 =1. 94
解:设伸缩变换为
x
y
x( 0), y( 0),
由题知 2 x2 + 2 y2 =1, 94
即
3
2
x2
+
2
2
【即时训练】
若函数
y=f(x)的图象在伸缩变换
:
x y
2x, 3y
的作用下得到曲
线的方程为
y′=
3sin
x
π 6
,求函数
y=f(x)的最小正周期.
解:由题意,把变换公式代入曲线
y′=
3sin
x
π 6
得
3y=
3sin
2x
π 6
=
3 2
中,令θ=0,得ρ=1.
所以圆心
C(1,0).因为圆
C
过点
P
2,
π 4
.
所以半径|PC|= ( 2)2 12 2 2 1 cos π =1. 4
所以圆 C 过极点,所以圆 C 的极坐标方程为ρ=2cos θ.
(2)求直线θ = π (ρ ∈R)被圆C所截得的弦长. 3
【即时训练】 已知☉O1和☉O2的极坐标方程分别是ρ =2cos θ 和 ρ =2asin θ (a是非零常数). (1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若两圆的圆心距为 5 ,求a的值.
解: (1)由ρ=2cos θ 得ρ2=2ρcos θ . 所以☉O1的直角坐标方程为x2+y2=2x, 即(x-1)2+y2=1. 由ρ=2asin θ 得ρ2=2aρsin θ . 所以☉O2的直角坐标方程为x2+y2=2ay, 即x2+(y-a)2=a2.
(2)☉O1 与☉O2 的圆心距为 12 a2 = 5 , 解得 a=±2.
备选例题
【例1】 在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标
系.曲线C的极坐标方程为ρ cos(θ - π )=1(0≤θ <2π ),M,N分别为C与
x轴、y轴的交点.
3
(1)写出C的直角坐标方程,并求M、N的极坐标;
(ρ ∈R)
ρ cos θ =a
ρ sin θ =a
对点自测
1.直线3x-2y+1=0经过变换
x y
3x, 2y
后的直线方程为
.
解析:由变换
x
y
3x, 2y
得
x
y
x , 3 y , 2
代入直线方程,
得 3× x -2× y +1=0,
3 圆心(0,4)到直线 3x -y=0 的距离
d=
4
=2.
( 3)2 (1)2
又圆的半径为 4, 故圆上的点到直线距离的最大值是 2+4=6.
答案:6
4.(2014·广东卷)在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρ sin2θ = cos θ 和ρ sin θ =1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正
2
1 2
x
=sin
x 的图象;
③正确.极坐标系中,点
2,
π 3
与
2,
π 3
2kπ
(k∈Z)为同一点;
④错误.极坐标系中,方程ρcos θ =1表示垂直于极轴的直线.
答案:①②③
考点专项突破
考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换
在讲练中理解知识
2.极坐标系 (1)设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的 极径 ,记为ρ . 以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的 极角 ,记为θ .有序 数对(ρ ,θ )叫做点M的极坐标,记为M(ρ ,θ ).
(2)极坐标与直角坐标的关系:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正
解:(2)法一 设直线θ= π (ρ∈R)与圆 C 相交于 A,B 两点,则△ACB 为等 3
边三角形.所以|AB|=1,即直线θ= π (ρ∈R)被圆 C 所截得的弦长为 1. 3
法二 圆 C:ρ=2cos θ的直角坐标方程为 x2+y2=2x,
即(x-1)2+y2=1.直线θ= π (ρ∈R)的直角坐标方程为 y= 3 x. 3
,
整理得
y=
sin
2x
π 6
,
故
f(x)=
sin
2
x
π 6
.
所以 y=f(x)的最小正周期为 2π =π. 2
考点二 极坐标与直角坐标的互化
【例2】 (2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐 标系.
ρ =r
圆心为(r,0),半径为 r 的圆
ρ =2rcos θ
π 2
π 2
圆心为
r,
π 2
,半径为
r 的圆
过极点,倾斜角为α 的 直线
过点(a,0),与极轴垂 直的直线
过点
a,
π 2
,与极轴平
行的直线
ρ =2rsin θ (0≤θ <π ) θ =α (ρ ∈R) 或θ =π +α
其中正确命题的序号是
.(写出所有正确命题的序号)
解析:①正确.在平面直角坐标系中,已知伸缩变换为
:
x
y
1 3 1 2
x, y,
则点(3,2)经过变换 后的点的坐标为(1,1);
②正确.将函数 y=sin 2x 的图象的横坐标伸长到原来的 2 倍,得到函数
y=
全国通用2018高考数学大一轮复习第十二篇坐标系与参数方程第2节参数方程课件理
最新考纲 1.了解参数方程,了解参数的意义.
2.能选择适当的参数写出直线、 圆和椭圆的参数方程.
知识链条完善 考点专项突破 解题规范夯实
知识链条完善
把散落的知识连起来
知识梳理
1.曲线的参数方程
一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个
变数t的函数
x
y
2=2 5.
答案: 2 5
4.如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-x=0的参数方程
为
.
解析:方程
x2+y2-x=0
可化为
x
1 2 2
+y2=
1 4
,
圆的直径为 1,
圆的参数方程为
x y
OP OP
cos sin
1 cos 1 cos
cos , sin ,
(θ为参数)
,则直线
l
与曲线
C
的交点的极坐标为
.
解析:直线l的普通方程为y=x+2,曲线C的直角坐标方程为x2-y2=4 (x≤-2),故直线l与曲线C的交点为(-2,0),对应极坐标为(2,π).
答案: (2,π)
3.(2015·湖北卷)在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建
立极坐标系.已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ-3cos θ)=0,曲线C的参
数方程为
x y
t t
1 , (t为参数),l与C相交于A,B两点,则|AB|=
t 1 t
.
解析:直线 l 的直角坐标方程为 y-3x=0, 曲线 C 的普通方程为 y2-x2=4.
由
y 3x,
高考数学一轮复习第十二篇坐标系与参数方程第1节坐标系课件理新人教版
第1节 坐标系
考纲展示 1.了解坐标系的作用,了解在平面 直角坐标系伸缩变换作用下平面图 形的变化情况.
2.了解极坐标的基本概念,会在极 坐标系中用极坐标刻画点的位置, 能进行极坐标和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形表 示的极坐标方程.
25 16
5
4
比较系数得
( (
5
)2 )2
=1， 所以
=1，
=5， =4.
4
反思归纳
平面上的曲线
y=f(x)在变换
:
x
y
x,( 0), y,( 0)
的作用下得到的
方程的求法是将
x
y
x，
代入
y
y=f(x),得
极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,设M是平面内任意一点,它的直角坐
标是(x,y),极坐标为(ρ ,θ ),则它们之间的关系为x=
,y=
,
ρ cos θ
ρ sin θ
由此得ρ 2= x2+y2
,tan θ = y ( x 0 ) .
x
3.常用简单曲线的极坐标方程
曲线
图形
圆心在极点,半径为 r 的圆
y
=f（
x
）,整理之后得到
y′=h(x′),
即为所求变换之后的方程.
跟踪训练
1:若函数
y=f(x)的图象在伸缩变换
:
x
y
2x, 3y
的作用下得到曲线的方程
2018年高考数学一轮复习坐标系与参数方程课时达标68坐标系理
2018 年高考数学一轮复习 坐标系与参数方程 课时达标 68 坐标系理[ 解密考纲 ] 高考取， 主要波及曲线的极坐标方程、曲线的参数方程、 极坐标方程与直角坐标方程的互化、参数方程与一般方程的互化，两种不一样方式的方程的互化是考察的热门，常以解答题的形式出现．x 212x ′＝ x ，1．求椭圆 4 ＋ y ＝ 1 经过伸缩变换2后的曲线方程．y ′＝ y1获得 x ＝ 2x ′，分析： 由x ′＝ 2x ，①y ′＝ yy ＝ y ′.x 2 24x ′ 2 222将①代入 4 ＋ y ＝ 1 得 4 ＋ y ′ ＝ 1，即 x ′ ＋ y ′ ＝ 1.x 222 2所以椭圆 4 ＋ y ＝ 1 经伸缩变换后获得的曲线方程是 x ＋ y ＝ 1.2．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，已ππ知点 A 的极坐标为 2， 4 ，直线 l 的极坐标方程为 ρcos θ－ 4 ＝ a ，且点 A 在直线 l上．(1) 求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程；(2)x ＝ 1＋cos α，( α 为参数 ) ，试判断直线 l 与圆 C 的地点关圆 C 的参数方程为y ＝ sin α系．ππ π分析： (1) 由点 A 2，在直线 l 上，得 2cos －2，故直线 l 的 4 4 4 ＝ a ，则 a ＝ 方程可化为 ρsin θ＋ ρcos θ ＝ 2，得直线 l 的直角坐标方程为 x ＋ y － 2＝0.(2) 消去参数α，得圆 C 的一般方程为 ( x － 1) 2＋ y 2＝ 1，圆心 C 到直线 l 的距离 d ＝|1 ＋ 0－ 2|12＋ 2＝<1，所以直线 l 与圆 C 订交． 1 123．(2017 ·海南模拟 ) 已知曲线 1 的极坐标方程为ρ ＝ 6cos θ ，曲线2的极坐标方程CC为θ ＝ π( ρ ∈ R) ，曲线1， 2 订交于 ， 两点．4CCA B(1) 把曲线 C 1， C 2 的极坐标方程转变为直角坐标方程；(2) 求弦 AB 的长度．分析： (1) 曲线 C 2：θ＝π4 ( ρ∈ R) 表示直线 y ＝ x ，曲线 C 1：ρ＝ 6cos θ 即 ρ2＝ 6ρcos θ，所以 x 2＋y 2＝ 6x ，即 ( x － 3) 2＋ y 2＝ 9.3 2(2) ∵圆心 (3,0) 到直线的距离 d ＝ 2 ， r ＝3，22∴弦长 AB ＝ 2 r － d ＝ 3 2.4．在直角坐标系xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴成立极坐标系，已知曲线1的极坐标方程为ρ 2＝ 2 2 ，直线 l 的极坐标方程为 ρ ＝ 4 .C1＋ sin θ 2sinθ＋ cos θ(1) 写出曲线 C 1 与直线 l 的直角坐标方程；(2) 设 Q 为曲线 C 1 上一动点，求 Q 点到直线 l 距离的最小值．分析： (1) 依据 ρ2＝ x 2＋ y 2， x ＝ ρcos θ， y ＝ ρsin θ，可得 C 1 的直角坐标方程为x 2＋2y 2＝ 2，直线 l 的直角坐标方程为 x ＋ 2y ＝ 4.(2) 设 Q ( 2cos θ， sin θ) ，则点 Q 到直线 l 的距离为2cos θ－4| ＝ 2sinπ＝ | 2sin θ＋θ＋ 4 － 4 ≥ 2 ，d333π ππ当且仅当 θ ＋ 4 ＝ 2k π＋ 2 ，即 θ＝ 2k π＋ 4 ( k ∈ Z) 时取等号．2∴ Q 点到直线 l 距离的最小值为.35．(2017 ·泰州模拟 ) 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正π半轴重合，若直线的极坐标方程为ρsinθ－ 4 ＝ 3 2.(1) 把直线的极坐标方程化为直角坐标方程；x 2y 2(2) 已知 P 为椭圆 C ： 16＋ 9 ＝ 1 上一点，求 P 到直线的距离的最大值．分析：(1) 把 直 线 的 极 坐 标 方 程 为 ρsin θ－π ＝ 32睁开得42 2θ－ ρcos θ＝ 6，获得直角坐标方程 x － yρ2 sin θ－ 2 cos θ ＝ 32，化为 ρsin＋6＝ 0.x 2 y 2(2) ∵P 为椭圆 C ： 16＋ 9 ＝ 1 上一点，|4cos α－ 3sin α＋ 6|∴可设 (4cosα ， 3sin α ) ，利用点到直线的距离公式得d ＝P2|5sin α－ φ－ 6| | －5－ 6|＝ 11 2 .＝2≤ 22当且仅当 sin( α－ φ) ＝－ 1 时取等号．∴ P 到直线的距离的最大值是 11 22 .3， π 4，π6．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为 3 ， 6 ，求△ AOB (此中 O为极点 ) 的面积．分析： 由题意知，B 的极坐标分别为3，π， 4， π，则△AOB 的面积△ AOB＝ 1A36S 21πOA · OB ·sin ∠ AOB ＝ 2×3×4×sin 6 ＝ 3.7．在极坐标系 Ox 中，直线 C 的极坐标方程为ρsin θ＝ 2， M 是 C 上随意一点，点P11在射线 OM 上，且| OP |·|OM |＝ 4，记点 P 的轨迹为 C 2，求曲线 C 2 的极坐标方程．分析： 设 ( 1， θ ) ， ( ρ2， θ ) ，P ρM由 || ·| | ＝4，得12＝4，即ρ2＝4.OP OM ρ ρρ1∵ M 是 C 1 上随意一点，∴ ρ2sinθ＝ 2，4即 sin θ ＝ 2，ρ 1＝ 2sin θ.ρ 1∴曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ＝ 2sin θ.π8．(2017 ·吉林模拟 ) 在极坐标系中，设圆C 1：ρ＝ 4cos θ 与直线 l ： θ＝ 4 ( ρ∈ R)交于 A ， B 两点．(1) 求以 AB 为直径的圆 C 2 的极坐标方程；(2) 在圆 C 1 上任取一点 M ，在圆 C 2 上任取一点 N ，求 | MN |的最大值．分析： (1) 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，成立直角坐标系，则由题意得圆C 1：ρ＝ 4cosθ 化为 ρ 2＝ 4ρcos θ，∴圆 C的直角坐标方程 x 2y2＋ －4 ＝0.1直线 l 的直角坐标方程 y ＝ x .x 2＋y 2－ 4x ＝ 0，由y ＝x ，x ＝ 0， x ＝ 2， 解得或y ＝ 0y ＝ 2，∴ A (0,0) ， B (2,2) ，进而圆 C 2 的直角坐标方程为 ( x － 1) 2＋ ( y － 1) 2＝ 2，即 x2＋ y2＝2x＋2y.将其化为极坐标方程为：ρ2＝2ρ cosθ＋2ρsinθ，即ρ＝2cosθ＋2sinθ.(2) ∵C1(2,0) ，r1＝ 2，C2(1,1)，r2＝2，∴ | MN| ＝ | CC| ＋r＋r＝ 2＋ 2＋ 2＝ 2 2＋ 2.max1 212。
18高考数学大一轮复习坐标系与参数方程第一节坐标系课件理
x2 y2 即 9 －16＝1 为曲线 C′的方程， 可见经变换后的曲线仍是双曲线， 则所求焦点坐标为 F1(－5,0)，F2(5,0)．
2 2 x y 4．将圆 x2＋y2＝1 变换为椭圆 9 ＋ 4 ＝1 的一个伸缩变换公式
为
X＝axa>0， φ： Y＝byb>0，
求 a，b 的值．
角度单位 (通常取弧度)及 极轴；再选定一个长度单位 、一个__________
其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．
(2)极坐标
一般地，没有特殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ 可取任意实数．
(3)点与极坐标的关系
(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z) 表示同一个 一般地，极坐标(ρ，θ)与__________________
，θ)(θ∈R) ，和直角坐标不 点，特别地，极点 O 的坐标为(0 ____________
同，平面内一个点的极坐标有无数种表示． 如果规定 ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可 用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也 是唯一确定的．
2．极坐标与直角坐标的互化
判断极坐标的极点与直角坐标系的原点是否重合， 第一步 且极轴与 x 轴正半轴是否重合，若上述两个都重合， 则极坐标方程与直角坐标方程可以互化 通过极坐标方程的两边同乘 ρ 或同时平方构造 ρcos 第二步 θ，ρsin θ，ρ2 的形式，一定要注意变形过程中方程 要保持同解，不要出现增解或漏解 根据极坐标方程与直角坐标方程的互化公式 x＝ρcos θ， 第三步 及 ρ2＝x2＋y2 将极坐标方程转化为直 y＝ρsin θ 角坐标方程
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
x′＝3x， φ： 2y′＝y.
18高考数学大一轮复习坐标系与参数方程第一节坐标系课件理
2 x′＝3x， y 2 3．求双曲线 C：x －64＝1 经过 φ： 变换后所得曲线 2y′＝y
C′的焦点坐标．
解：设曲线 C′上任意一点 P′(x′，y′)， 1 2 x＝ x ′ ， y 3 由题意，将 代入 x2－64＝1 y＝2y′ x′2 4y′2 得 9 － 64 ＝1， x′2 y′2 化简得 9 － 16 ＝1，
，θ)(θ∈R) ，和直角坐标不 点，特别地，极点 O 的坐标为(0 ____________
同，平面内一个点的极坐标有无数种表示． 如果规定 ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可 用唯一的极坐标(ρ，θ) 表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也 是唯一确定的．
2．极坐标与直角坐标的互化
3． [考点二]在极坐标系中， 直线 ρ(sin θ－cos θ)＝a 与曲线 ρ＝2cos θ－4sin θ 相交于 A，B 两点，若|AB|＝2 3，求实数 a 的值．
解：直线的极坐标方程化为直角坐标方程为 x－y＋a＝0， 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5， 所以圆心 C 的坐标为(1，－2)，半径 r＝ 5，所以圆心 C 到 |1＋2＋a| 直线的距离为 ＝ 2 r
点M 互化公式 直角坐标(x，y) 极坐标(ρ，θ)
2 2 2 ρ ＝ x ＋ y ， y tan θ＝xx≠0
ρcos θ x＝_______， ρsin θ y＝_________
考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
极坐标与直角坐标的互化
1．极坐标方程化为直角坐标方程的步骤
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
x′＝3x， φ： 2y′＝y.
1． 在同一平面直角坐标系中， 已知伸缩变换 点
【配套K12】[学习]2019届高考数学一轮复习 第十二篇 坐标系与参数方程 第1节 坐标系训练 理
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第1节坐标系1.将圆x+y=1上每一点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标变为原来的3倍,得曲线Γ.(1)写出Γ的参数方程;(2)设直线l:3x+2y-6=0与Γ的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.解:(1)设(x1,y1)为圆上的点,在已知变换下变为Γ上的点(x,y),依题意,得即由+=1,得()2+()2=1,即曲线Γ的方程为+=1.故Γ的参数方程为(t为参数).(2)由解得或不防设P1(2,0),P2(0,3),则线段P1P2的中点坐标为(1,),所求直线的斜率k=.于是所求直线方程为y-= (x-1),即4x-6y+5=0,化为极坐标方程,得4ρcos θ-6ρsin θ+5=0.2.在直角坐标系xOy中,直线C1:x=-2,圆C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C1,C2的极坐标方程;(2)若直线C3的极坐标方程为θ= (ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积.解:(1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.(2)将θ=代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3ρ+4=0,解得ρ1=2,ρ2=.故ρ1-ρ2=,即|MN|=.由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为.3.在极坐标系中,曲线C:ρ=2acos θ(a>0),l:ρcos(θ-)=,C与l有且仅有一个公共点.(1)求a;(2)O为极点,A,B为曲线C上的两点,且∠AOB=,求|OA|+|OB|的最大值.解:(1)曲线C:ρ=2acos θ(a>0),变形ρ2=2aρcos θ,化为x2+y2=2ax,即(x-a)2+y2=a2.所以曲线C是以(a,0)为圆心,a为半径的圆.由l:ρcos(θ-)=,展开为ρcos θ+ρsin θ=,所以l的直角坐标方程为x+y-3=0.由题可知直线l与圆C相切,即=a,解得a=1.(2)不妨设A的极角为θ,B的极角为θ+,则|OA|+|OB|=2cos θ+2cos(θ+)=3cos θ-sin θ=2cos(θ+),当θ=-时,|OA|+|OB|取得最大值2.4. (2017·成都模拟)在直角坐标系xOy中,半圆C的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C的极坐标方程;(2)直线l的极坐标方程是ρ(sin θ+cos θ)=5,射线OM:θ=与半圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以半圆C的极坐标方程是ρ=2cos θ,θ∈[0,]. (2)设(ρ1,θ1)为点P的极坐标,则有解得设(ρ2,θ2)为点Q的极坐标,则有解得由于θ1=θ2,所以|PQ|=|ρ1-ρ2|=4,所以线段PQ的长为4.。
2019版高考数学一轮复习第12章选4系列12.1坐标系课件理
π 2 ， 6
，则
)
(2)(2016· 北京高考)在极坐标系中，直线ρcosθ－ 3 ρsinθ－1＝0与圆ρ＝2cosθ交于A，B两点，则|AB|＝ 2 ________.
解析 将ρcosθ－ 3 ρsinθ－1＝0化为直角坐标方程为x － 3 y－1＝0，将ρ＝2cosθ化为直角坐标方程为(x－1)2＋y2 ＝1，圆心坐标为(1,0)，半径r＝1，又(1,0)在直线x－ 3 y－ 1＝0上，所以|AB|＝2r＝2.
解 (1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线 C上点(x，y)，
x＝x1， 依题意，得 y＝2y1，
y 2 2 2 由x2 ＋ y ＝ 1 得 x ＋ ＝1， 1 1 2 2 y 2
故曲线C的方为x ＋ 4 ＝1.
2 y2 x ＋ ＝1， 4 (2)由 2x＋y－2＝0，
第12章
选4系列
12．1
坐标系
基础知识过关
[知识梳理] 1．伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 x′＝λxλ>0， y′＝μyμ>0 φ：_______________________ 的作用下，点P(x，y)对应到 点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变 换，简称伸缩变换．
解析 ∵y＝1－x(0≤x≤1)， ∴ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)；
π 1 0 ≤ θ ≤ ∴ρ＝ .故选A. 2 sinθ＋cosθ
(2)(选修A4－4P8T5)通过平面直角坐标系中的平移变换 x＋12 y－12 和伸缩变换，可以把椭圆 9 ＋ 4 ＝1变为圆心在原 点的单位圆，求上述平移变换和伸缩变换，以及这两种变 换的合成的变换．
高考数学一轮总复习 第12章 坐标系与参数方程 第1节 坐标系课件 理 新人教版
2．若圆 C 的极坐标方程为 ρ2－4ρcosθ－π3－1＝0，若以极 点为原点，以极轴为 x 轴的正半轴建立相应的平面直角 坐标系 xOy，则在直角坐标系中，圆心 C 的直角坐标是 ________．
解析：因为 ρ2－4ρcosθ－π3－1＝0，所以 ρ2－2ρcos θ－2 3 ρsin θ－1＝0，即 x2＋y2－2x－2 3y－1＝0，因此圆心坐 标为(1， 3)． 答案：(1， 3)
2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视． 注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k ∈Z)表示同一点的坐标．
[小题纠偏] 1．圆 ρ＝5cos θ－5 3sin θ 的圆心的极坐标为________．
解析：将方程 ρ＝5cos θ－5 3sin θ 两边都乘以 ρ 得： ρ2＝5ρcos θ－5 3ρsin θ， 化成直角坐标方程为 x2＋y2－5x＋5 3y＝0. 圆心的坐标为52，－5 2 3，化成极坐标为5，53π. 答案：5，53π(答案不唯一)
x＝_ρ_c_o_s_θ_， y＝_ρ_s_in__θ_；
ρ2＝_x_2_＋__y_2，
tan
θ＝_xy__x_≠__0__ .
4．常见曲线的极坐标方程
(1)圆心在极点，半径为 r 的圆的极坐标方程：_ρ_＝___r(_0_≤__θ_<__2_π_)．
(2)圆心为r，π2，半径为 r 的圆的极坐标方程：_ρ_＝__2_r_s_in__θ_ _(_0_≤__θ_<_π_)_．
做点 M 的极径，记为 ρ. ②极角：以极轴 Ox 为始边，射线 OM 为终边的角 xOM 叫做点
M 的极角，记为 θ. ③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点 M 的极坐标，记作 M(ρ，θ)．
2020版高考数学大一轮复习 选讲12.1坐标系与参数方程教案文含解析新人教A版
2020版高考数学大一轮复习第十二章系列4选讲 12.1坐标系与参数方程 第1课时 坐标系1.平面直角坐标系设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·x ，λ>0，y ′＝μ·y ，μ>0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 2.极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O 称为极点，射线Ox 称为极轴.平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标.ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角.(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面关系式成立：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，这就是极坐标与直角坐标的互化公式.3.常见曲线的极坐标方程概念方法微思考1.平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也能建立一一对应关系吗？提示 不能，极径需和极角结合才能唯一确定一个点.2.由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗？提示 平面上的点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3.( √ ) (2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.( √ ) (3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.( × ) 题组二 教材改编2.若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为( )A.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4C.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π2D.ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤π4答案 A解析 ∵y ＝1－x (0≤x ≤1)，∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)； ∴ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2. 3.在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2 C.(1,0) D.(1，π)答案 B解析 方法一 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2.方法二 由ρ＝－2sin θ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π2，知圆心的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－π2，故选B.题组三 易错自纠4.在极坐标系中，已知点P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，则过点P 且平行于极轴的直线方程是( )A.ρsin θ＝1B.ρsin θ＝ 3C.ρcos θ＝1D.ρcos θ＝ 3答案 A解析 先将极坐标化成直角坐标表示，P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π6转化为直角坐标为x ＝ρcos θ＝2cos π6＝3，y ＝ρsin θ＝2sinπ6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x 轴的直线为y ＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.5.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C 的直角坐标方程为. 答案 x 2＋y 2－2y ＝0解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0. 6.在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点.当△AOB 是等边三角形时，求a 的值.解 由ρ＝4sin θ可得圆的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ， 即x 2＋(y －2)2＝4.由ρsin θ＝a 可得直线的直角坐标方程为y ＝a (a >0).设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示.由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt△DOB 中，易求DB ＝33a ， ∴B 点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫33a ，a . 又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，∴⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＋a 2－4a ＝0， 即43a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3. 所以a ＝3.题型一极坐标与直角坐标的互化1.(1)化圆的直角坐标方程x2＋y2＝r2(r>0)为极坐标方程；(2)化曲线的极坐标方程ρ＝8sinθ为直角坐标方程.解(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＝r2(r>0)，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，即ρ＝r.所以以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ＝r(0≤θ<2π).(2)方法一把ρ＝x2＋y2，sinθ＝yρ代入ρ＝8sinθ，得x2＋y2＝8·yx2＋y2，化简得x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16.方法二方程ρ＝8sin θ两边同时乘ρ，得ρ2＝8ρsin θ，因为ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，所以x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16.2.在极坐标系中，已知曲线C1：ρcosθ－3ρsinθ－1＝0，C2：ρ＝2cosθ.(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离.解(1)∵C1：ρcosθ－3ρsinθ－1＝0，∴x－3y－1＝0表示一条直线.由C2：ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，∴x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.∴C2是圆心为(1,0)，半径为1的圆.(2)由(1)知，点(1,0)在直线x－3y－1＝0上，∴直线C1过圆C2的圆心.因此两交点A，B的连线是圆C2的直径.∴两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度.(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解决此类问题常通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换.题型二求曲线的极坐标方程例1将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C.(1)求曲线C 的标准方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与直线l 垂直的直线的极坐标方程.解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由x 21＋y 21＝1，得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，即曲线C 的标准方程为x 2＋y 24＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线的斜率为k ＝12，于是所求直线的方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ.思维升华求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点.(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式. (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.跟踪训练1已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＝0，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t (t 为参数)，射线OM 的极坐标方程为θ＝3π4.(1)求圆C 和直线l 的极坐标方程；(2)已知射线OM 与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 解 (1)∵ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －2y ＝0， ∴ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0，∴圆C 的极坐标方程为ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4. 又直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t (t 为参数)，消去t 后得y ＝x ＋1，∴直线l 的极坐标方程为sin θ－cos θ＝1ρ.(2)当θ＝3π4时，|OP |＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－π4＝22，∴点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，3π4，|OQ |＝122＋22＝22，∴点Q 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22，3π4，故线段PQ 的长为322. 题型三 极坐标方程的应用例2 在平面直角坐标系xOy中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，直线C 2的直角坐标方程为y ＝3x .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |.解 (1)由曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝2＋sin α(α为参数)，得曲线C 1的普通方程为(x－2)2＋(y －2)2＝1，则C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0， 由于直线C 2过原点，且倾斜角为π3，故其极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R ).(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，θ＝π3，得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，设A ，B 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7， ∴1|OA |＋1|OB |＝|OA |＋|OB ||OA |·|OB |＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27. 思维升华极坐标应用中的注意事项(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴正半轴重合；③取相同的长度单位.(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.跟踪训练2(2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值.解 (1)设点P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0).由题意知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0). (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0). 由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin∠AOB＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.1.在极坐标系中，已知圆C 被直线θ＝π4截得的弦长为2，圆心为直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程. 解 由已知在直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中， 令θ＝0，得ρ＝1，∴圆C 的圆心的极坐标为C (1,0).又圆C 被直线θ＝π4截得的弦长为2，∴圆心C 到直线θ＝π4的距离为d ＝1×sin π4＝22，∴圆C 的半径为r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝1. 又圆C 过坐标原点，∴圆C 的极坐标方程为ρ2＝cos θ，即ρ＝2cos θ.2.在直角坐标系xOy 中，圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3＋3sin φ(φ为参数).以O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆C 的普通方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝43，射线OM ：θ＝5π6与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长. 解 (1)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝3＋3sin φ(φ为参数)，消去参数可得圆C 的普通方程为x 2＋(y －3)2＝9. (2)化圆C 的普通方程为极坐标方程得ρ＝6sin θ， 设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝6sin θ，θ＝5π6，解得ρ1＝3，θ1＝5π6，设Q (ρ2，θ2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6＝43，θ＝5π6，解得ρ2＝4，θ2＝5π6，∴|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝1.3.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝3＋3t(t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ＋23ρsin θ－4. (1)求直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|OA |·|OB |的值.解 (1)∵直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝3＋3t(t 为参数)，∴直线l 的普通方程为y ＝3＋3(x －1)，即y ＝3x ，∴直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )，又∵曲线C 的极坐标方程为ρ2＝4ρcos θ＋23ρsin θ－4，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝4x ＋23y －4，即(x －2)2＋(y －3)2＝3， ∴曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －3)2＝3.(2)∵将直线l ：θ＝π3代入曲线C 的极坐标方程ρ2＝4ρcos θ＋23ρsin θ－4，得ρ2－5ρ＋4＝0，设直线l 与曲线C 的两交点A ，B 的极坐标分别为A (ρ1，θ1)，B (ρ2，θ2)，∴|OA |·|OB |＝ρ1ρ2＝4.4.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos α，y ＝2sin α，其中α为参数，曲线C 2：x 2＋y 2－2y ＝0，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l ：θ＝α(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别交于点A ，B (均异于原点O ) (1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)当0<α<π2时，求|OA |2＋|OB |2的取值范围.解 (1)C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4，C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ，C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(2)联立θ＝α(ρ≥0)与C 1的极坐标方程得|OA |2＝16cos 2α， 联立θ＝α(ρ≥0)与C 2的极坐标方程得|OB |2＝4sin 2α， |OA |2＋|OB |2＝4＋12cos 2α，0<α<π2，∴|OA |2＋|OB |2∈(4,16).5.在直角坐标系xOy 中，直线l 1：x ＝0，圆C ：(x －1)2＋(y －1－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求l 1，C 的极坐标方程；(2)若直线l 2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设l 1，l 2与C 的公共点分别为A ，B ，求△OAB的面积.解 (1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴l 1的极坐标方程为ρcos θ＝0，即θ＝π2(ρ∈R )，C 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin θ＋3＋22＝0.(2)将θ＝π2代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2(1＋2)ρ＋3＋22＝0，解得ρ1＝1＋ 2.将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2(1＋2)ρ＋3＋22＝0，解得ρ2＝1＋2， 故△OAB 的面积为12×(1＋2)2×sin π4＝1＋324.6.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(a >b >0，φ为参数)，在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2是圆心在极轴上，且经过极点的圆.已知曲线C 1上的点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22对应的参数φ＝π4，射线θ＝π3与曲线C 2交于点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3.(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程；(2)若点A ，B 为曲线C 1上的两个点且OA ⊥OB ，求1|OA |2＋1|OB |2的值.解 (1)将M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22及对应的参数φ＝π4， 代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝a cos π4，22＝b sin π4，即⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，所以曲线C 1的方程为⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ，φ为参数，所以曲线C 1的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1.设圆C 2的半径为R ，由题意，圆C 2的极坐标方程为ρ＝2R cos θ(或(x －R )2＋y 2＝R 2)， 将点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3代入ρ＝2R cos θ，得1＝2R cos π3，即R ＝1，所以曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2cos θ，所以曲线C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设A (ρ1，θ)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，θ＋π2在曲线C 1上， 所以ρ21cos 2θ2＋ρ21sin 2θ＝1，ρ22sin 2θ2＋ρ22cos 2θ＝1，所以1|OA |2＋1|OB |2＝1ρ21＋1ρ22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2θ2＋sin 2θ＋⎝⎛⎭⎪⎫sin 2θ2＋cos 2θ＝32. 第2课时 参数方程1.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )就是曲线的参数方程.2.常见曲线的参数方程和普通方程概念方法微思考1.在直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)中，(1)t 的几何意义是什么？(2)如何利用t 的几何意义求直线上任意两点P 1，P 2的距离？提示 (1)t 表示在直线上过定点P 0(x 0，y 0)与直线上的任一点P (x ，y )构成的有向线段P 0P 的数量.(2)|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2. 2.圆的参数方程中参数θ的几何意义是什么？ 提示 θ的几何意义为该圆的圆心角.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )，y ＝g (t )中的x ，y 都是参数t 的函数.( √ )(2)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.( √ )(3)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O为原点，则直线OM 的斜率为 3.( × ) 题组二 教材改编2.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a(t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，求常数a 的值.解 直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1， ∴椭圆C 的右顶点坐标为(3,0)，若直线l 过(3,0)， 则3－a ＝0，∴a ＝3.3.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上 答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y ＝－2x 上. 题组三 易错自纠4.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝2－3t (t 为参数)，求直线l 的斜率.解 将直线l 的参数方程化为普通方程为y －2＝－3(x －1)，因此直线l 的斜率为－3.5.设P (x ，y )是曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，θ∈[0,2π))上任意一点，求yx的取值范围.解 由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，得(x ＋2)2＋y 2＝1，表示圆心为(－2,0)，半径为1的圆.y x 表示的是圆上的点和原点连线的斜率，设yx＝k ，则原问题转化为y ＝kx 和圆有交点的问题，即圆心到直线的距离d ≤r ，所以|－2k |1＋k2≤1，解得－33≤k ≤33， 所以yx的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 6.已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t (t 为参数).(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)设点P (m,0)，若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA |·|PB |＝1，求实数m 的值. 解 (1)曲线C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，化为ρ2＝2ρcos θ，可得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t (t 为参数)，消去参数t 可得x ＝3y ＋m ，即直线l 的普通方程为3y －x ＋m ＝0. (2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ＋m ，y ＝12t(t 为参数)代入方程x 2＋y 2＝2x ，化为t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0，① 由Δ>0，解得－1<m <3.设t 1，t 2为方程①的两个实数根， ∴t 1t 2＝m 2－2m .∵|PA |·|PB |＝1＝|t 1t 2|，∴m 2－2m ＝±1， 解得m ＝1±2或m ＝1，满足Δ>0. ∴实数m ＝1±2或m ＝1.题型一 参数方程与普通方程的互化1.(2018·包头调研)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程；(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C 1，求曲线C 1上的点到直线l 的距离的最小值. 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ， 即(x －2)2＋y 2＝4.直线l 的普通方程为x －y ＋25＝0.(2)将曲线C 上的所有点的横坐标缩短为原来的12，得(2x －2)2＋y 2＝4，即(x －1)2＋y 24＝1，再将所得曲线向左平移1个单位长度， 得曲线C 1：x 2＋y 24＝1，则曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设曲线C 1上任一点P (cos θ，2sin θ)， 则点P 到直线l 的距离d ＝|cos θ－2sin θ＋25|2＝|25－5sin (θ＋φ)|2≥102⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝－12， 所以点P 到直线l 的距离的最小值为102. 2.在《圆锥曲线论》中，阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶圆锥(直或斜)得到所有的圆锥曲线，并命名了椭圆(ellipse)、双曲线(hyperboler)和抛物线(parabola)，在这本晦涩难懂的书中有一个著名的几何问题：“在平面上给定两点A ，B ，设P 点在同一平面上且满足|PA ||PB |＝λ(λ>0且λ≠1)，P 点的轨迹是圆.”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”.已知点M 与长度为3的线段OA 两端点的距离之比为|OM ||MA |＝12，建立适当坐标系，求出M 点的轨迹方程并化为参数方程.解 由题意，以OA 所在直线为x 轴，过O 点作OA 的垂线为y 轴，建立直角坐标系， 设M (x ，y )，则O (0,0)，A (3,0). 因为|OM ||MA |＝12，即x 2＋y 2(x －3)2＋y 2＝12， 化简得(x ＋1)2＋y 2＝4，所以点M 的轨迹是以(－1,0)为圆心，2为半径的圆.由圆的参数方程可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ－1，y ＝2sin θ.思维升华消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数. (2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围. 题型二 参数方程的应用例1在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率. 解 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α， 故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.思维升华 (1)解决直线与椭圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与椭圆的位置关系来解决. (2)对于形如⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)，当a 2＋b 2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.跟踪训练1已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t(t 为参数).(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；(2)设A (1,0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与到直线l 的距离相等，求点P 的坐标.解 (1)椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)，直线l 的普通方程为x －3y ＋9＝0. (2)设P (2cos θ，3sin θ)，则|AP |＝(2cos θ－1)2＋(3sin θ)2＝2－cos θ，P 到直线l 的距离 d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92.由|AP |＝d ，得3sin θ－4cos θ＝5，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝35，cos θ＝－45.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，335.题型三 极坐标方程和参数方程的综合应用例2(2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.解 (1)消去参数t ，得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m ，得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2).设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k(x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0).所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0). (2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π).联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ).故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5.思维升华在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷的解决问题.例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想. 跟踪训练2(1)已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ，C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝2－22t (t 为参数).①将曲线C 1与C 2的方程化为直角坐标系下的普通方程； ②若C 1与C 2相交于A ，B 两点，求|AB |.解 ①曲线C 1的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ，即ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，∴曲线C 1的普通方程为y 2＝2x ，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝2－22t (t 为参数)，消去参数t ，得C 2的普通方程为x ＋y ＝4.②将C 2的参数方程代入C 1的普通方程并化简得12t 2－32t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝62，故|AB |＝|t 1－t 2|＝6 2.(2)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. ①将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；②设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值. 解 ①ρ＝2cos θ变形为ρ2＝2ρcos θ.(ⅰ)将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入(ⅰ)式即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.(ⅱ)②将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t 代入(ⅱ)式，得t 2＋53t ＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.1.已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数).(1)求曲线C 的普通方程；(2)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12(平面直角坐标系xOy 中的点)作直线l 交曲线C 于A ，B 两点，若P 恰好为线段AB 的中点，求直线l 的方程.解 (1)由曲线C 的参数方程，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x 2，sin θ＝y ，所以cos 2θ＋sin 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋y 2＝1，所以曲线C 的普通方程为x 24＋y 2＝1.(2)设直线l 的倾斜角为θ1，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ1，y ＝12＋t sin θ1(t 为参数)，代入曲线C 的直角坐标方程，得(cos 2θ1＋4sin 2θ1)t 2＋(2cos θ1＋4sin θ1)t －2＝0， 所以t 1＋t 2＝－2cos θ1＋4sin θ1cos 2θ1＋4sin 2θ1，由题意知t 1＝－t 2， 所以2cos θ1＋4sin θ1＝0，得k ＝－12，所以直线l 的方程为x ＋2y －2＝0.2.已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t ＋6(t 是参数)，以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝22cos θ.(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； (2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t ＋6，得y ＝2x ＋6，故直线l 的普通方程为2x －y ＋6＝0， 由ρ＝22cos θ，得ρ2＝22ρcos θ， 所以x 2＋y 2＝22x ，即(x －2)2＋y 2＝2， 故曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝2. (2)根据题意设点M (2＋2cos θ，2sin θ)，则x ＋y ＝2＋2cos θ＋2sin θ＝2＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，所以x ＋y 的取值范围是[－2＋2，2＋2]. 3.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3ρcos θ－2ρsin θ＋6＝0.(1)求直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程；(2)设M 是曲线C 上的一动点，求M 到直线l 的距离的最小值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝sin t ，得x 24＋y 2＝1，故曲线C 的普通方程为x 24＋y 2＝1.由3ρcos θ－2ρsin θ＋6＝0及x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 得3x －2y ＋6＝0.故直线l 的直角坐标方程为3x －2y ＋6＝0.(2)设M (2cos t ，sin t )，则点M 到直线l ：3x －2y ＋6＝0的距离d ＝|23cos t －2sin t ＋6|7＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π37，所以当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π3＝1时，d min ＝277，即M 到直线l 的距离的最小值为277.4.已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)点P (x ，y )是直线l 与圆面ρ≤4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6的公共点，求3x ＋y 的取值范围.解 (1)因为圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6， 所以ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ. 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0. (2)设z ＝3x ＋y ，由圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x －23y ＝0， 得(x ＋1)2＋(y －3)2＝4，所以圆C 的圆心是(－1，3)，半径是2. 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－32t ，y ＝3＋12t 代入到z ＝3x ＋y ，得z ＝－t .又直线l 过C (－1，3)，圆C 的半径是2， 所以－2≤t ≤2，所以－2≤－t ≤2， 即3x ＋y 的取值范围是[－2,2].5.已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t (t 为参数)的距离的最小值.解 (1)曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1， 曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆. (2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ. 曲线C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|， 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855.6.已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 1上的点按坐标变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝32x ＋23，y ′＝3y ＋2得到曲线C 2，以原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.(1)求曲线C 1的极坐标方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若直线θ＝π4(ρ∈R )与曲线C 1交于M ，N 两点，与曲线C 2交于P ，Q 两点，求|PQ ||MN |的值.解 (1)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数)，消去参数α，得x 24＋y 23＝1.又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴3ρ2cos 2θ＋4ρ2sin 2θ＝12， 即曲线C 1的极坐标方程为ρ2(3＋sin 2θ)＝12. 又由已知⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝32x ＋23，y ′＝3y ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23(x ′－23)，y ＝13(y ′－2)，代入x 24＋y 23＝1，得(x ′－23)29＋(y ′－2)29＝1，∴曲线C 2的直角坐标方程为(x －23)2＋(y －2)2＝9. (2)将θ＝π4代入ρ2(3＋sin 2θ)＝12，得ρ2＝247，∴ρ＝±2427，∴|MN |＝4427.又直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入(x －23)2＋(y －2)2＝9，整理得t 2－22(3＋1)t ＋7＝0，分别记P ，Q 两点对应的参数为t 1，t 2，则⎩⎨⎧t 1＋t 2＝22(3＋1)，t 1·t 2＝7，∴|PQ |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝243＋1， ∴|PQ ||MN |＝243＋14427＝1683＋4212.。
2018年高考数学理一轮复习教师用书： 第十二章 坐标系
第1课时 坐标系1．平面直角坐标系设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x (λ＞0)，y ′＝μ·y (μ＞0)的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．(2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).这就是极坐标与直角坐标的互化公式．3．常见曲线的极坐标方程考点一 极坐标与直角坐标的互化例1] (1)把点M 的极坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，π6化成直角坐标；(2)把点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标． 解：(1)∵x ＝－5cos π6＝－52 3，y ＝－5sin π6＝－52，∴点M 的直角坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－52 3，－52. (2)ρ＝(－3)2＋(－1)2＝3＋1＝2，tan θ＝－1－3＝33. ∵点M 在第三象限，ρ＞0，∴最小正角θ＝7π6. 因此，点M 的极坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，7π6 方法引航] (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性.1．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，43π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－43π 解析：选C.因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3.2．若点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，则P 到x 轴的距离为________．解析：y ＝ρsin θ＝2×sin π3＝ 3. 答案：3考点二 直角坐标方程与极坐标方程的互化及应用例2] 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．解：(1)∵ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1.∴12x ＋32y ＝1.即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0. 令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233.∴M (2,0)，N ⎝⎛⎭⎪⎫0，233. ∴M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2.(2)∵M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33，∴P 的极角为θ＝π6.∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．例3] 在极坐标系中，已知直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，圆C 的圆心的极坐标是C ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，圆的半径为1.(1)求圆C 的极坐标方程； (2)求直线l 被圆C 所截得的弦长．解：(1)设O 为极点，OD 为圆C 的直径，A (ρ，θ)为圆C 上的一个动点，则∠AOD ＝π4－θ或∠AOD ＝θ－π4，OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ或OA ＝OD cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4.(2)由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1，得22ρ(sin θ＋cos θ)＝1，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0，又圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22满足直线l 的方程，∴直线l 过圆C 的圆心，故直线被圆所截得的弦长为直径2.方法引航] 直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化为我们熟悉的直角坐标系的情境.在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.高考真题体验]1．(2016·高考全国甲卷)在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x ＋6)2＋y 2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程； (2)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t cos αy ＝t sin α，(t 为参数)，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝10，求l 的斜率．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ可得圆C 的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )．设A ，B 所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.|AB |＝|ρ1－ρ2|＝(ρ1＋ρ2)2－4ρ1ρ2＝144cos 2α－44. 由|AB |＝10得cos 2α＝38，tan α＝±153.所以l 的斜率为153或－153.2．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t ，(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．解：(1)将⎩⎨⎧x ＝4＋5cos ty ＝5＋5sin t ，消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎨⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝1y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2.3．(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3. (2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝ t 2＋12，故当t ＝0时，|PC |取得最小值， 此时，P 点的直角坐标为(3,0)．课时规范训练1．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4， 因为ρ2－22ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2， 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.2．将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程． 解：(1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎨⎧x ＝x 1，y ＝2y 1. 由x 21＋y 21＝1得x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，故曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎨⎧ x ＝1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 故所求直线的极坐标方程为ρ＝34sin θ－2cos θ.3．在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．若△AOB 是等边三角形，求实数a 的值．解：由ρ＝4sin θ，得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4， 由直线ρsin θ＝a ，得直线的直角坐标方程为y ＝a .设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示．由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt △DOB 中，易求DB ＝33a ， ∴B 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫33a ，a .又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋a 2－4a ＝0， 解得a ＝3(a ＝0舍)．4．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，求|RP |的最小值．解：(1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12. ∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ，即为所求的轨迹方程． (2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程， 得x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322，知P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0为圆心，半径为32的圆．直线l 的直角坐标方程是x ＝4. 结合图形(图略)易得|RP |的最小值为1.第2课时 参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎨⎧x ＝f (t )y ＝g (t )，就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程考点一 参数方程与普通方程的互化及应用例1] (1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程．解：(1)圆的半径为12， 记圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，连接CP ，则∠PCx ＝2θ，故x P ＝12＋12cos 2θ＝cos 2θ， y P ＝12sin 2θ＝sin θcos θ(θ为参数)．所以圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．(2)求直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝3sin α，(α为参数)的交点个数．解：将⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α，消去参数α得圆x 2＋y 2＝9. 又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22＜3. 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．方法引航] 1.由普通方程求参数方程，要根据参数的意义建立关系．2．由参数方程得到普通方程的思路是消参，消去参数的方法要视情况而定，一般有三种情况：(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数，或直接利用加减消元法消参；(2)利用三角恒等式消去参数，一般是将参数方程中的两个方程分别变形，使得一个方程一边只含有sin θ，另一个方程一边只含有cos θ，两个方程分别平方后两式左右相加消去参数；(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数.,将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x 和y 取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t )和g (t )的值域，即x 和y 的取值范围.1．若将本例(1)改为：圆上的任一点P 与圆心的连线的旋转角为参数θ，求圆的参数方程．解：圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，r ＝12. 设P (x ，y )，则x ＝12＋12cos θ， y ＝12sin θ(0≤θ≤2π) ∴圆的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋12cos θ，y ＝12sin θ.2．若将本例(2)的曲线变为⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝4sin α，其余不变，求交点个数．解：⎩⎨⎧x ＝3cos αy ＝4sin α，即⎩⎪⎨⎪⎧x 3＝cos α，y4＝sin α.∴x 29＋y 216＝1.而直线x ＋y －1＝0，过点(1,0)，点在椭圆x 29＋y 216＝1内，故直线与曲线有两个交点．考点二 极坐标方程与参数方程的综合应用例2] (1)(2016·高考全国乙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t ，(t 为参数，a ＞0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.①说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；②直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：①消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2.所以C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.②曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1. 当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.(2)(2016·高考全国丙卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.①写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；②设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标． 解：①C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.②由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值， d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2.当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. 方法引航] 对于曲线方程为极坐标方程或参数方程时，一般都化为平面直角坐标系中的普通方程f (x ，y )＝0再应用.如果直接应用，要明确极坐标(ρ，θ)及参数的意义.1．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t(t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(3，5)，求|P A |＋|PB |. 解：(1)由ρ＝25sin θ，得ρ2＝25ρsin θ. ∴x 2＋y 2＝25y ，即x 2＋(y －5)2＝5. (2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程． 得⎝⎛⎭⎪⎫3－22t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝5，即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0，故可设t 1，t 2是上述方程的两实根， 所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1·t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)，故由上式及t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.2．(2017·甘肃三校联考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，在极坐标系 (与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝6sin θ. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)设圆C 与直线l 交于点A ，B ，若点P 的坐标为(1,2)，求|P A |＋|PB |的最小值． 解：(1)由ρ＝6sin θ得ρ2＝6ρsin θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝6y ，即x 2＋(y －3)2＝9.所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －3)2＝9.(2)将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2＋2(cos α－sin α)t －7＝0. 由已知得Δ＝(2cos α－2sin α)2＋4×7＞0，所以可设t 1，t 2是上述方程的两根， 则⎩⎨⎧t 1＋t 2＝－2(cos α－sin α)，t 1·t 2＝－7.由题意得直线l 过点(1,2)，结合t 的几何意义得|P A |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4(cos α－sin α)2＋28 ＝32－4sin 2α≥32－4＝27. 所以|P A |＋|PB |的最小值为27.高考真题体验]1．(2015·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ. (1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧ x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.2．(2014·高考课标全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线l ：y ＝3x ＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D 点的坐标．解：(1)C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)． 可得C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos t ，y ＝sin t(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D (1＋cos t ，sin t )．由(1)知C 是以G (1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同． tan t ＝3，t ＝π3.故D 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos π3，sin π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.3．(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为255.4．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)已知动点P ，Q 都在曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点． 解：(1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．故M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos α＋cos 2αy ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)． 当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．课时规范训练1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时， |AB |取得最大值，最大值为4.2．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C 1，直线C 2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 2.(1)求C 1与C 2交点的极坐标；(2)设P 为C 1的圆心，Q 为C 1与C 2交点连线的中点．已知直线PQ 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 3＋a ，y ＝b 2t 3＋1(t ∈R 为参数)，求a ，b 的值．解：(1)圆C 1的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4，直线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.解⎩⎨⎧ x 2＋(y －2)2＝4，x ＋y －4＝0，得⎩⎨⎧ x 1＝0，y 1＝4，⎩⎨⎧x 2＝2，y 2＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.注：极坐标系下点的表示不唯一．(2)由(1)可得，P 点与Q 点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)． 故直线PQ 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0， 由参数方程可得y ＝b 2x －ab2＋1. 所以⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝1，－ab2＋1＝2，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2.3．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2.所以直线l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22＜1， 所以直线l 与圆C 相交．4．在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点M 的坐标；(2)若|P A |·|PB |＝|OP |2，其中P (2，3)，求直线l 的斜率． 解：(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程为x 24＋y 2＝1. 当α＝π3时，设点M 对应的参数为t 0. 直线l 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0， 设直线l 上的点A ，B 对应参数分别为t 1，t 2. 则t 0＝t 1＋t 22＝－2813，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，－313.(2)将⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得(cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0， 因为|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α，|OP |2＝7，所以12cos 2α＋4sin 2α＝7，得tan 2α＝516. 由于Δ＝32cos α(23sin α－cos α)＞0， 故tan α＝54.所以直线l 的斜率为54.。