2017北师大版数学九年级上册47《相似三角形的性质》课时作业1
九年级数学上册第四章图形的相似4.7相似三角形的性质作业设计(新版)北师大版
4.7相似三角形的性质一、选择题（本题包括15个小题.每小题只有1个选项符合题意）1. 如图，两个等边三角形，两个矩形，两个正方形，两个菱形各成一组，每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离都相等，那么两个图形对应边不成比例的一组是（）A. B. C. D.2. 如图，如图，A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，如果△RPQ∽△ABC ，那么点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（）A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁3. 若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，则△ABC与△A′B′C′的面积的比为（）A. 1：2B. 2：1C. 1：4D. 4：14. 若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A. 1：4B. 2：1C. 1：2D. 4：15. 给形状相同且对应边的比是1：2的两块标牌的表面涂漆，如果小标牌用漆半听，那么大标牌的用漆量是（）A. 1听B. 2听C. 3听D. 4听6. 已知△ABC∽△DEF ，且△ABC的三边长分别为4，5，6，△DEF的一边长为2，则△DEF的周长为（）A. 7.5B. 6C. 5或6D. 5或6或7.57. 如果两个相似三角形对应角平分线的比为16：25，那么它们的面积比为（）A. 4：5B. 16：25C. 196：225D. 256：6258. 两个相似三角形的对应边分别是15cm和23cm，它们的周长相差40cm，则这两个三角形的周长分别是（）A. 45cm，85cmB. 60cm，100cmC. 75cm，115cmD. 85cm，125cm9. 一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边是21，则其它两边的和是（）A. 17B. 19C. 21D. 2410. 若△ABC∽△DEF ，∠A=50°，∠B=60°，则∠F的度数是（）A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°11. 如图，△ABC∽△ADE ，则下列比例式正确的是（）A. B. C. D.12. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形是（）A. 等腰三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形13. △ABC∽△A1B1C1，且相似比为，△A1B1C1∽△A2B2C2，且相似比为，则△ABC与△A2B2C2的相似比为（）A. B. C. 或 D.14. 如图，在△ABC中，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=AB ，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（）A. B. 10 C. 或10 D. 以上答案都不对15. 如图，△ADE∽△ABC，若AD=1，BD=2，则△ADE与△ABC的相似比是（）A. 1：2B. 1：3C. 2：3D. 3：2二、填空题（本题包括4个小题）16. 已知△ABC∽△DEF ，且它们的面积之比为4：9，则它们的相似比为________ ．17. 已知△ABC与△A1B1C1的相似比为2：3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3：5，那么△ABC与△ A2B2C2的相似比为________.18. 已知两个相似多边形的周长比为1：2，它们的面积和为25，则这两个多边形的面积分别是________.19. 已知△ABC∽△DEF，且相似比为4：3，若△ABC中BC边上的中线AM=8，则△DEF中EF边上的中线DN=________.三、解答题（本题包括2个小题）20. 如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB=4．(1)求AD的长；(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．21. 已知：如图，△ABC∽△ADE，AE：EC=5：3，BC=6cm，∠A=40°，∠C=45°．(1)求∠ADE的大小；(2)求DE的长．答案一、选择题1. 【答案】D【解析】根据题意得，选项A中两个三角形相似，三角形对应角相等，对应边成比例；选项B、C中，正方形、菱形分别相似，四条边均相等，故对应边成比例；选项D中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，故选D．2. 【答案】B【解析】∵△RPQ∽△ABC，∴，即，∴△RPQ的高为6．故点R应是甲、乙、丙、丁四点中的乙处．故选B．考点：相似三角形的性质．3. 【答案】C【解析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可得解．∵△ABC∽△A′B′C′，相似比为1：2，∴△ABC与△A′B′C′的面积的比为1：4．故选：C．考点：相似三角形的性质．4. 【答案】C【解析】∵两个相似多边形面积比为1：4，等于相似比的平方，周长的比等于相似比，∴周长之比为=1：2，故选C．【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟记相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．5. 【答案】B【解析】设小标牌的面积为S1，大标牌的面积为S2，则，故S2=4S1，∵小标牌用漆半听，∴大标牌应用漆量为：4×0.5=2（听），故选B．6. 【答案】D【解析】∵△ABC∽△DEF，如果2与4是对应边，则△DEF的周长：△ABC的周长=2：4，即△DEF 的周长：（4+5+6）=2：4，∴△DEF的周长为7.5；如果2与5是对应边，则△DEF的周长：△ABC 的周长=2：5，即△DEF的周长：（4+5+6）=2：5，∴△DEF的周长为6；如果2与6是对应边，则△DEF的周长：△ABC 的周长=2：6，即△DEF的周长：（4+5+6）=2：6，∴△DEF的周长5，故选D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的周长的比等于相似比．解此题时要注意对应边不确定，即相似比不确定，要分情况进行讨论，否则容易漏解．7. 【答案】D【解析】根据两个相似三角形对应角平分线的比等于相似比，面积比等于相似比的平方，∴162：252=256：625，即它们的面积比为256:625，故选D．8.【答案】C【解析】根据题意两个三角形的相似比是15：23，周长比就是15：23，大小周长相差8份，所以每份的周长是40÷8=5cm，所以两个三角形的周长分别为5×15=75cm，5×23=115cm，故选C．9. 【答案】D【解析】设另一个三角形的最短边为x ，第二短边为y，根据相似三角形的三边对应成比例，得，∴x=9，y=15，∴x+y=24，故选D．10. 【答案】C【解析】在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，∴∠C=70°，又∵△ABC∽△DEF ，∴∠F=∠C=70°，故选C．11. 【答案】D【解析】∵△ABC∽△ADE ，∴，故选D．【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边成比例这一性质是解答此题的关键．12. 【答案】C【解析】将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数，得到的三角形与原三角形相似，根据相似三角形的对应角相等可知得到的三角形是直角三角形，故选C．13. 【答案】A【解析】∵△ABC∽△A1B1C1，相似比为，△A1B1C1∽△A2B2C2，相似比为，∴△ABC 与△A2B2C2的相似比为，故选A．14.【答案】C【解析】如图，①当∠AED=∠C时，即DE∥BC时，，∵AD=AB，AC=15，∴，∴AE =AC=10；②当∠AED=∠B时，△AED∽△ABC，∴，∵AB=12，AC=15，AD=AB=8，∴，∴ AE= ；综合①，②，AE=10或，故选C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是分△AED∽△ACB与△AED∽△ABC 两种情况进行讨论．15. 【答案】B【解析】因为△ADE∽△ABC，所以故选B二、填空题16. 【答案】2：3【解析】因为S△ABC：S△DEF=4：9=，所以△ABC与△DEF的相似比为2：3，故答案为：2：3．17.【答案】2：5【解析】∵△ABC与△A1B1C1的相似比为2：3，△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为3：5，∴AB:A1B1=2:3，A1B1:A2B2=3:5，∴AB：A2B2=2:5,即△ABC与△ A2B2C2的相似比为2：5，故答案为：2：5.18. 【答案】5和20【解析】根据相似多边形周长的比等于相似比，而面积的比等于相似比的平方，即可求得面积的比值，依据面积和为25，就可求得两个多边形的面积．多边形的面积的比是：（1：2）2=1：4，设两个多边形中较小的多边形的面积是x，则较大的面积是4x．根据题意得：x+4x=25，解得x=5．因而这两个多边形的面积分别是5和20．点评：本题考查相似多边形的性质．相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方．19.【答案】6【解析】因为△ABC∽△DEF，且相似比为4：3，所以AM:DN=4：3，因为AM＝8，所以DN＝6.考点：相似三角形的性质.三、解答题20. 【答案】（1）（2）【解析】（1）矩形DMNC与矩形ABCD相似，对应边的比相等，就可以得到AD的长；（2）相似比即为是对应边的比；解：(1)若设AD＝x(x＞0)，则DM＝.∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，∴＝.∴＝，即x＝4(舍负)．∴AD的长为4.(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为：＝.21. 【答案】（1）∠ADE =95°；（2）DE=cm【考点】相似三角形的性质【解析】（1）先由三角形的内角和是180°求得∠ABC=95°；再由相似三角形的对应角相等得出∠ADE=∠ABC ，最后由等量代换求得∠ADE的大小；（2）由AE：EC=5：3求得AE：AC=5：8，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得DE的长度．解：（1）在△ABC中，∠A=40°，∠C=45°，∴∠ABC=180°-40°-45°=95°；又∵△ABC∽△ADE ，∴∠ADE=∠ABC（相似三角形的对应角相等），∴∠ADE =95°；（2）∵AE：EC=5：3，∴AE：AC=5：8；又∵△ABC∽△ADE ，BC=6cm，∴，即，∴DE=cm．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例．熟记相关性质是解题的关键.。
北师大版九年级数学上册课时作业：4-7相似三角形的性质
4.7相似三角形的性质（1）一、选择题.1.如图是小孔成像原理的示意图，这支蜡烛在暗盒中所成的像CD的长是1 cm，则像CD 到小孔O的距离为 ( )A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm2.如图，铁道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m，当短臂的端点A下降0．5 m时，长臂的端点B应升高( )A．0．5 m B．1 m C．8 m D．16 m3.如图，圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影．已知桌面的直径为1．2 m，桌面距离地面1 m．若灯泡距离地面3 m，则地面上阴影部分的面积为 ( )A．0．36πm2 B．0．81πm2 C．2πm2 D．3.24πm24.一张等腰三角形纸片，底边长15 cm，底边上的高长22．5 cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3 cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是( )A．第4张 B．第5张 C．第6张 D．第7张二、填空题.5.顺次连接三角形三边上的中点所构成的三角形的高与原三角形对应高的比为．6.两个相似三角形一组对应角平分线的长分别是2 cm和5 cm，那么这两个三角形的相似比是，如果在这两个三角形的一组对应中线中，较短的中线是3 cm，那么较长的中线是cm.三、解答题：7.有一块三角形铁片ABC，BC=12．高AH=8，按图(1)、(2)两种设计方案把它加工成一块矩形铁片DEFG，且要求矩形的长是宽的2倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些．请你通过计算判断(1)、(2)两种设计方案哪个更好．4.7相似三角形的性质（2）一、选择题.1.已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2．则△ABC的面积与△DEF的面积之比为 ( )A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：12.若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2．则△DEF与△ABC的周长比为( )A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．3.两个相似多边形的面积之比为1：3，则它们的周长之比为 ( )A．1：3 B．1：9 C． D．2：34.在△ABC和△DEF中，AB=2DE，AC=2DF，∠A=∠D，如果△ABC的周长是16，面积是12，那么△DEF的周长、面积分别为 ( )A．8、3 B．8、6 C．4、3 D．4、6二、填空题.5.在△ABC中，AB=12 cm，BC=18 cm，CA=24 cm．另一个与它相似的△A′B′C′的周长为81 cm，那么△A′B′C′的最短边长为cm．6．若两个相似多边形的面积之比为1：4．周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别是．三、解答题：7.如图是测量小破璃管口径的量具ABC，AB的长为10cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE是多大?。
北师大版 九年级上册4.7 相似三角形的性质(1)(包含答案)
4.7 相似三角形的性质（1）（含答案）一、选择题：1、两个相似三角形的对应高之比为1：2，那么它们的对应中线之比是 （ ）A.1：2B.1：3C.1：4D.1：82、等腰△ABC 和△DEF 相似，相似比为3：4，则它们底边上对应高线的比为（ ）A. 3：4B. 4：3C. 1：2D.2：13、若两个相似三角形的对应高的比是 9:16 ，则它们对应的对角线的比为（ ）A.9:16B.16:9C. 3:4D.4:34、如图，△ABC ∽△A 'B 'C '，AD 、BE 分别是△ABC 的高线和中线，A 'D '、B 'E '分别是 △A 'B 'C '的高线和中线，且AD=4，A 'D '=3，BE=6，则B 'E '=（ ）A. 23B. 25C.27D.29第4题图 第5题图 5、如图，D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点，DE//BC ，且AD:BD=4:5，那么△ADE 与△ABC 的对应高的比是（ ）A.4:1B.3:1C. 5:4D.9:46、两个相似三角形的相似比是2:7，它们的对应中线的差是25，则较大的三角形的中线长为（ ）A.10B.25C.35D.507、如图，四边形DEFG 是△ABC 的内接矩形，如果△ABC 的高线AH 长8cm ，底边BC 的长为10cm ，设DG=xcm ，DE=ycm ，则y 关于x 的函数关系式为（ ）A.x y 54=B.x y 45=C.854+-=x yD.845+-=x y第7题图 第8题图 8、如图，点光源P 在在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB//CD ，AB=2m ， CD=6m ，点P 到CD 的距离是2.7m ，则AB 与CD 的距离是（ ）A. 0.9mB.1.8mC.2.4mD.3m二、填空题：9、如果两个相似三角形的相似比是1：4，则这两个三角形的对应高之比是______，对应角平分线之比是_______；10、已知△ABC ∽△A 'B 'C '，21=''B A AB ，AB 边上的中线CD=4cm ，那么A 'B '边上的中线C 'D '=_____；11、已知两个相似三角形的对应中线之比是1：3，且较大的三角形最长边是18cm ，则较小三角形的最长边为_____cm ；12、顺次连接三角形三边的中点，所形成的三角形与原三角形的对应中线的比是_______；三、解答题：13、如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM ，EN 分别是边AB ，DF 上的中线，已知AC=9cm ，CB=12cm ，DE=3cm ；（1）求CM ，DN 的长；（2）ENCM 的值与相似比有什么关系？可得到什么结论？14、如图，AF是△ABC的高，点D，E分别在AB，AC上，且DE//BC，DE交AF于点G；AD=10，AB=30，AC=24，GF=12；（1）求AE的长；（2）求点A到DE的距离；15、如图，在△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，点D ，E 分别在AB ，AC 上；如果以A ，D ，E 为顶点的三角形和△ABC 相似，且对应角平分线的比是41，试求AD ，AE 的长；16、有一批形状、大小相同的直角三角形不锈钢钢片，如图所示①；在△ABC 中，∠C=90°，BC=3cm ，AC=4cm ；分别采取如图②③所示的两种方法截取一个正方形不锈钢钢片，且使正方形的面积较大；试判断哪种方法更好些，并说明理由；参考答案：1~8 AAADD CDB9、1：4，1：4；10、8cm ；11、6；12、1：2；12、（1）CM=7.5cm ，DN=2.5cm ；（2）ENCM 的值等于相似比；结论：相似三角形对应中线的比等于相似比； 14、（1）AE=8；（2）点A 到DE 的距离是6；15、AD=1.5，AE=2；16、图②的截法更好些；。
北师大版九年级上册数学《相似三角形的性质与判定》同步练习(含答案)
相似三角形的性质与判定一 、填空题1.如图，点1234,,,A A A A 在射线OA 上，点123,,B B B 射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，21A B ∥32A B 43A B ∥．若212323,A B B A B B △△的面积分别为1,4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．2.如图，在ABCD 中，点E 在线段DC 上，若12DE EC =∶∶，则BF BE =∶ ．二 、解答题3.已知ABC △中，BAC ∠的外角平分线交对边BC 的延长线于D ，求证：AB BDAC CD=4.在ABC ∆中，120BAC ∠=︒，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，求证：111AD AB AC=+．5.已知：AD 、AE 分别为ABC ∆的内、外角平分线，M 为DE的中点，求证：4321EAD BCFDCBAD CB A22AB BMAC CM=6.已知ABC ∆中，BAC ∠的外角平分线交对边BC 的延长线于D ，求证：2AD BD CD AB AC =⋅-⋅．7.如图，已知A 是XOY ∠的平分线上的定点，过点A 任作一条直线分别交OX 、OY于P 、Q . ⑴证明：11OP OQ+是定值；⑵求2211OP OQ +的最小值8.如图，等腰ABC △中，AB AC =，AD BC ⊥于D ，CF AB ∥，延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ，求证：2BP PE PF =⋅．9.如图，在ABC ∆的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使AD AE =，直线DE 和MD MED CBADCBA4321F EDCB A QPYXOAF PEDCBABC 的延长线相交于P ，求证：BP BDCP CE=．10.如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D E ，为BC 的中点，DE AC ，的延长线交于F ． 求证：AC FABC FD=．11.如图，AD 是ABC △的角平分线，求证：AB BDAC CD=12.如图，已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥．PEDCBA321FD E C BAD CB ADOECB A相似三角形的性质与判定答案解析一 、填空题1.10.5∵212A B B △，323A B B △的面积分别为1,4 又∵22332132,A B A B A B A B ∥∥ ∴2233212323,OB A OB A A B B A B B ∠=∠∠=∠ ∴122233B B A B B A △∽△ ∴1222233312B B A B B B A B == ∴233412A A A A = ∵22323322323331,4A B A B A B S A B A B B S A B ==△△△的面积是4 ∴223323122A B A A B B S S ==△△（等高的三角形的面积的比等于底边的比）同理可得：3343232248A B A A B B S S ==⨯=△△，1122121110.522A B A A B B S S ==⨯=△△∴三个阴影面积之和为0.52810.5++=．【解析】由平行得到相似的三角形．已知212A B B △△A 2B 1B 2，323A B B △的面积分别为1,4，且两三角形相似，因此可得出223312A B A B =，由于223A B A △与233B A B △是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底之边比，因此这两个三角形的面积比为1:2，根据323A B B △的面积为4，可求出223A B A △的面积，同理可求出334A B A △和112A B A △的面积．即可求出阴影部分的面积．2.3:5;过E 点作AD 的平行线交AC 于H ，可求出结果．二 、解答题3.过C 作CE AD ∥交直线AB 于EHFCBD AE∵CE AD ∥， ∴13∠=∠，24∠=∠ 又∵AD 平分CAF ∠， ∴12∠=∠， ∴34∠=∠， ∴AE AC =， 由CE AD ∥可得：AB BDAE CD=， ∴AB BDAC CD=【解析】由外角平分线证明相似的模型可作辅助线：过C 作CE AD ∥交直线AB 于E ，根据平行得到成比例线段AB BDAE CD=，再根据角与角相等的等量代换证明AE AC =，结论得证AB BDAC CD=． 4.解法一：本题可根据角平分线类相似的模型首先试着作出辅助线：过点D 作AB的平行线，由于所给120BAC ∠=︒平分之后有两个60的特殊角，可判定ADE △为等边三角形，再根据相似和平行导出线段的比例关系，最关键的一步是，将所得的两组线段整体相加，得到一个新的等式，最后发现问题得证． 解法二：分别以,AB AC 为边向外作两个等边三角形，即ABM △和ACN △，由平分后的角度为60，可轻易证明AD BM CN ∥∥得到两组比例线段CD ADBC BM=和BD ADBC CN=，两者相加后又重新得到一个新的等式，再根据等边三角形的特点代换相等的线段，最后问题也得证． （本题只给出第一种解法的步骤）．【解析】过点D 作AB 的平行线，交AC 于点E . ∵120BAC ∠=︒，BAD CAD ∠=∠，EDCBANMDCBAF 4321EDCB A∴60BAD CAD ∠=∠=︒ ∵DE AB ∥， ∴60ADE BAD ∠=∠=︒ ∴AD AE DE == ∵DE CD DE AB AB BC ⇒=∥，AE BDAC BC=∴1DE AE CD BDAB AC BC BC+=+= 等式两边同除以AD ，则有：111AB AC AD +=5.连接AM ，由已知条件可知90DAE ∠=︒，ACM CAD ADC BAD DAC CAM BAM ∠=∠+∠=∠+∠+∠=∠，又∵AMC AMB ∠=∠ ∴AMC BMA ∆∆∽， ∴AB BM AC AM =，AB AMAC CM=∴22AB BM AC CM=． 6.在ABC ∆外作ABE ADB ∠=∠交DA 的延长线于点E ，∵23∠=∠，34∠=∠， ∴24∠=∠， 又∵1BDE ∠=∠， ∴AEB ADC ∆∆∽ ∴AE ABAC AD=，即AE AD AB AC ⋅=⋅，① 由AEB ADC ∆∆∽可得：ACD E ∠=∠， 又∵ADC BDE ∠=∠， ∴DAC DBE ∆∆∽， ∴DA DE DC DB ⋅=⋅，②-②①得：DA DE AE AD DC DB AB AC ⋅⋅⋅-⋅-=∴()AD DE AD DC DB AB AC -=⋅-⋅，即2AD BD CD AB AC =⋅-⋅ 7.⑴ 方法一：过点A 作OA 的垂线，分别交OX 、OY 于点F 、E ，过点P 作OY 的平行线交EF的延长线于点K .∵XOA YOA ∠=∠，EF OA OE OF ⊥⇒=KP PA KP OY QE AQ ⇒=∥，KP PFOE OF =∴KP PF =，KP PF PAQE QE AQ==∵PA OPXOA YOA AQ OQ∠=∠⇒=∴PF OP PF QEQE OQ OP OQ=⇒=∵1OF OP OF PFOP OP OP --==，1OE OE OQ EQ OQ OQ OQ --== ∴112OF OE OF OEOP OQ OP OQ-=-⇒+= ∴112OP OQ OE+=因为A 点为定点，故E 、F 均为定点，OE 为定值，所以11OP OQ+是定值. 方法二：过A 作AM OY ∥，交OX 于M ，易证得：AM OM =设AM OM a ==，∵AM OY ∥ ∴a PMOQ OP=，即a OP a OQ OP -=， 整理得：111OQ OP a+=， KQ FE P YXOAa aYX M PQOA∵已知A 是XOY ∠的平分线上的定点， ∴a 为定值. ∴11OQ OP+为定值. ⑵ 因为222111111()2OP OQ OP OQ OP OQ +=+-⋅，其中11OP OQ+为定值，要使2211OP OQ + 的值最小，则必须使OP OQ ⋅的值最小. 而()()OP OQ OF PF OE EQ ⋅=+⋅-2OE =+()OE EQ PF OE EQ -⋅-⋅ 又PF OPEQ OQ=， ∴()()0OE EQ PF OE EQ OE PF OP EQ OE OQ PF -⋅-⋅=⋅-⋅=-⋅≥ 当且仅当OP OF =，即点P 处于点F 处时OP OQ ⋅有最小值2OE . 此时2211OP OQ +有最小值22OE 本题的⑴小问归根结底用到的也是拆分，不过它里面结合了“角平分线定理”和复杂的比例变换. 8.连接CP ，由CF AB ∥， ∴1F ∠=∠，再证明APB APC ∆∆≌可得12∠=∠（也可以由AB AC PB PC ==，，于是ABC ACB PBC PCB ∠=∠∠=∠，， 等量减等量便可得12∠=∠） 又∵CPE FPC ∠=∠， ∴CPE FPC ∆∆∽， ∴2PC PE PF =⋅， 又∵PC PB =， ∴2PB PE PF =⋅．9.过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥， ∴PCM PBD ∆∆∽，21F P EDC BA∴BP BDCP CM=， ∵CM AB ∥， ∴14∠=∠， 又∵AD AE =，∴12∠=∠，∴24∠=∠， ∵23∠=∠， ∴34∠=∠， ∴CM CE = ∴BP BDCP CE=【解析】根据所要证明的结论，由三点定形法可初步判定需要证明PCE PDB △∽△，但根据所给的已知条件无法找到有利的条件得到证明，于是回到题中看看怎么样能利用到已知条件AD AE =，于是尝试着过C 作平行线得到证明．10.∵CD BC ⊥，E 为BC 中点，∴ED EC =， ∴12∠=∠，又∵290390B B ∠+∠=︒∠+∠=︒，， ∴13∠=∠， 又∵F F ∠=∠，FCD FDA ∆∆∽，∴FA ADFD CD=， 又∵3390ACB ADC ∠=∠∠=∠=︒，， ∴ABC ACD ∆∆∽， ∴AD ACCD BC =， ∴AC FABC FD=． 11.过C 作CE AD ∥交直线AB 于E ．∵CE AD ∥，4321MPE D CBA∴1E ∠=∠，23∠=∠ 又∵AD 平分BAC ∠， ∴12∠=∠， ∴3E ∠=∠， ∴AE AC =，由CE AD ∥可得：AB BDAE CD=， ∴AB BDAC CD=【解析】由角平分线类的相似模型可作出辅助线：过点C 作CE AD ∥交直线AB 于E ，再根据平行得到相似的比例线段，最后题目得证．12.∵DE AB ∥∴AOB EOD ∆∆∽，OE ODOA OB=， 又∵2OA OC OE =⋅，∴OE OAOA OC =， ∴OD OA OB OC=， ∵AOD COB ∠=∠， ∴AOD COB ∆∆∽， ∴DAO BCO ∠=∠， ∴AD BC ∥【解析】由一个平行得到比例线段OE ODOA OB=，再根据已知条件2OA OC OE =⋅，以及线段间的等量代换得到OD OAOB OC=，得到证明AOD COB ∆∆∽，得到相等的角DAO BCO ∠=∠，最后得到证明AD BC ∥．321ED CBA。
北师大版九年级数学上册《4.7相似三角形的性质》同步测试题带答案
北师大版九年级数学上册《4.7相似三角形的性质》同步测试题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【基础达标】1.两个相似三角形的对应边之比为3∶4,那么它们对应高线的比为()A.√3∶4B.3∶4C.√3∶2D.2∶√32.已知△ABC∽△DEF,相似比为3∶1,且△ABC的周长为18,则△DEF的周长为()A.2B.3C.6D.543.已知两个相似三角形的相似比为2∶3,则它们的面积比为()A.2∶3B.4∶9C.3∶2D.√2∶√34.如图,△ADE∽△ABC,若AD=1,BD=2,则△ADE与△ABC的相似比是()A.1∶2B.1∶3C.2∶3D.3∶25.若相似三角形对应角平分线的比为3∶2,则它们对应中线的比为.6.已知△ABC的三边长分别为√2,√6,2,△A'B'C'的两边长分别是1和√3,如果△ABC与△A'B'C'相似,那么△A'B'C'的第三边长应该是√2.7.两个相似三角形的面积之比为1∶2,则相似比为√2.【能力巩固】8.如图,△AOB∽△COD,OA∶OC=9∶7,∠A=x°,∠C=y°,△AOB与△COD的面积分别是S1和S2,△AOB与△COD的周长分别是C1和C2,则下列等式一定成立的是()A.BO=9CDB.7x=9yC.7S1=9S2D.7C1=9C29.如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点的值为.上.设△ABC的面积为S1,△DEF的面积为S2,则S1S210.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,M是DE的中点,CM的延长线交边AB于点的值为.N,那么S△DMNS四边形DBCM11.在平面直角坐标系中,已知O(0,0),A(2,0),B(0,4),C(0,3),D为x轴上一点.若以D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似,这样的D点有()A.2个B.3个C.4个D.5个12.已知△ABC∽△A'B'C',它们的周长之差为20,面积比为4∶1,求△ABC和△A'B'C'的周长.【素养拓展】13.如图,矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处.已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA.(1)求证:△OCP∽△PDA.(2)若△OCP与△PDA的周长之比为1∶2,求边AB的长.参考答案【基础达标】1.B2.C3.B4.B5.3∶26.√27.1∶√2【能力巩固】8.D9.1210.11511.C12.解:∵△ABC∽△A'B'C',面积比为4∶1∴相似比为2∶1,周长比为2∶1.∵周长比相差1,而周长之差为20∴每份周长为20∴△ABC的周长是2×20=40,△A'B'C'的周长是1×20=20.【素养拓展】13.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,DC=AB,∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°.由折叠可得AP=AB,PO=BO,∠PAO=∠BAO,∠APO=∠B∴∠APO=90°,∴∠APD=90°-∠CPO=∠POC.∵∠D=∠C,∠APD=∠POC∴△OCP∽△PDA.(2)∵△OCP与△PDA的周长之比为1∶2∴OPPA =CPDA=12,∴DA=2CP.∵AD=8,∴CP=4,CB=8.设OP=x,则OB=x,CO=8-x.在Rt△PCO中,∠C=90°,CP=4,OP=x 则OB=x,CO=8-x∴x2=(8-x)2+42,解得x=5.∵OPPA =12,∴AB=AP=2OP=10∴边AB的长为10.。
北师大版九年级数学上册4.7相似三角形性质(课时1)说课稿
一、教材分析
（一）内容概述
本节课选自北师大版九年级数学上册第四章第四节“相似三角形性质（课时1）”。这一节内容是在学生已经掌握了相似三角形的定义及判定方法的基础上展开的，是整个相似三角形章节的重要组成部分。相似三角形性质的学习，不仅有助于学生巩固已学知识，而且为后续学习其他几何图形的性质打下基础。
2.主要内容：相似三角形的性质、周长比与面积比的证明、实际应用案例。
3.风格：采用图文结合的方式，用不同颜色粉笔突出重点，使用箭头和框线连接相关知识点，使板书层次分明。
板书在教学过程中的作用是帮助学生构建知识结构，强化记忆。为确保板书清晰、简洁且有助于学生把握知识结构，我将：
1.在课前精心设计板书内容，确保逻辑清晰、重点突出。
2.对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比。这一性质的理解和运用对学生来说有一定的难度，需要通过具体例题和练习进行巩固。
3.解决实际问题。将相似三角形的性质运用到实际问题中，培养学生的应用能力和解决问题的能力。
二、学情分析导
（一）学生特点
本节课面向的是九年级学生，这个年龄段的学生正处于青春期，思维活跃，好奇心强，具有一定的独立思考和探究能力。在认知水平上，他们已经具备了基本的几何知识和逻辑推理能力，能够理解并运用相似三角形的定义和判定方法。在学习兴趣方面，学生对新颖有趣、富有挑战性的问题更感兴趣。在学习习惯上，他们逐渐形成了自主学习、合作交流的习惯，但仍有部分学生依赖性强，需要教师引导和鼓励。
4.鼓励学生进行自我评价，反思学习过程中的优点和不足，提高自我认知。
（五）作业布置
课后作业布置如下：
1.基础作业：布置一些相似三角形性质的练习题，巩固课堂所学知识。
九年级数学上册 第4章 图形的相似 第11课时 相似三角形的性质(1)(课后作业)习题课件 (新版)北师大版
作业本
7.已知△ABC∽△A′B′C′，AB＝4 cm，A′B′＝3 cm，AD，A′D′分别为△ABC与△A′B′C′的中线， 下列结论中： ①AD∶A′D′＝4∶3； ②△ABD∽△A′B′D′； ③△ABD∽△A′B′C′； ④△ABC与△A′B′C′对应边上的高之比为4∶3. 其中结论正确的序号是_①__②__④___．（填序号）
（2）求CD的长． ∵△ABC∽△DAC，AD=2，AC=4，BC=6，
作业本
3.用放大镜看一个三角形，一条边由原来的1 cm 变为5 cm，那么看到的图形的高是原来的( A ) A．5倍 B．15倍 C．25倍 D．1倍 4.已知△ABC∽△A1B1C1，AB∶A1B1＝3∶5，BE， B1E1分别是它们的对应中线，则BE∶B1E1＝ ___3_:_5_______．
第四章 图形的相似
第11课时 相似三角形的性质（1）
作业本
作业本
一、选择或填空题（每题10分，共70分） 1．若△ABC∽△A′B′C′，且相似比为2∶3，则 对应边上的高的比等于( A ) A．2∶3 B．3∶2 C．4∶9 D．9∶4 2．两个相似三角形对应高的比为1∶2，那么 它们对应中线的比为( A ) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶8
作业本
5．两个相似三角形的相似比为1∶4，其中较 小三角形某一条边上的中线为3，则较大三角 形对应边上的中线为___1_2_____． 6.如果两个相似三角形对应边的比为1∶2 ，那 么： （1）它们的相似比为__1_：__2___； （2）它们对应边上的高的比为__1_：__2___； （3）它们对应角的平分线的比为_1_：__2____．
作业本
9.如图，AD=2，AC=4，BC=6，∠B=36°， ∠D=117°，△ABC∽△DAC． （1）求∠ACB的度数；
北师大版九年级数学上册4.7相似三角形性质(课时1)教学设计
二、学情分析
九年级学生在经过前两年的数学学习后，已经具备了一定的几何基础，对三角形的性质、全等三角形等知识有了较为深入的了解。在此基础上，学习相似三角形的性质，对学生来说是几何知识的拓展和深化。然而，学生在解决实际问题时，可能还未能熟练运用相似三角形的性质，需要教师在教学过程中给予引导和指导。
5.演示与操作，增强直观感受：运用几何画板等教学工具，动态演示相似三角形的性质，增强学生的直观感受，帮助学生理解并掌握性质。
6.精讲精练，提高解题能力：精选典型例题，详细讲解解题思路和方法，引导学生掌握几何证明的步骤和技巧。同时，布置适量练习题，让学生在练习中巩固所学知识。
7.评价与反馈，促进教学相长：采用多元化评价方式，如口头提问、课堂练习、小组讨论等，及时了解学生的学习情况，给予针对性的指导。同时，鼓励学生积极反馈，促进教学相长。
（二）过程与方法
1.通过实际问题的引入，激发学生的兴趣，引导学生自主探究相似三角形的性质。
2.通过动手操作、观察、猜想、验证等环节，培养学生的观察能力、动手能力和创新能力。
3.通过小组讨论、合作交流，提高学生的问题解决能力和团队协作能力。
4.引导学生运用几何画板等教学工具，直观演示相似三角形的性质，增强学生对知识点的理解。
2.自主探究，合作交流：在教学过程中，教师引导学生通过观察、猜想、验证等方法，自主探究相似三角形的性质。同时，组织学生进行小组讨论，合作交流，共同解决问题。
3.分层次教学，关注个体差异：针对不同层次的学生，设计不同难度的练习题和思考题，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
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4、7相似三角形的性质(1)
1、下列说法:①相似三角形对应角的比等于相似比;②相似三角形对应高的比等于对应角平分线的比;③相似三角形对应中线的比等于相似比;④相似之比等于1的两个三角形全等。
其中正确的说法有( )
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
2、如下图就是一个照相机成像的示意图,如果底片AB 宽40mm,焦距就是60mm,所拍摄的2m 外的景物的宽CD 为( )
A 、12m
B 、3m
C 、m 23
D 、m 3
4
3、如果两个相似三角形对应高的比为5:4,那么这两个相似三角形的相似比为 。
4、已知两个相似的△ABC 与△A ’B ’C ’的对应角平分线的比为5:2,若△ABC 的最短边长就是20㎝,则△A ’B ’C ’的最短边长就是 。
5、如图,光源P 在横杆AB 的正上方,AB 在灯光下的影子为CD,AB ∥CD,AB=2m,CD=6m,点P 到CD 的距离就是2、7m,则AB 与CD 间的距离就是 m 。
6、两个相似三角形的对应高线之比为2:3,且第一个三角形的某一边长6,则第二个三角形中与之对应的边的长度为 。
7、如图所示,CD 就是Rt △ABC 的斜边AB 上的高。
(1)求图中有几对相似三角形;
(2)若AD=9㎝,CD=6㎝,求BD;
(3)若AB=25㎝,BC=15㎝,求BD 。
8、如图所示,有一侦察员在距敌方200m的地方A处发现敌人的一座建筑物DE,但不知其高度,又不能靠近建筑物测量,机灵的侦察员食指竖直举在右眼前,闭上左眼,并将食指前后移动,使食指恰好将该建筑物遮住。
若此时眼睛到食指的距离约为40cm,食指的长约为8cm,您能根据上述条件计算出敌方建筑物的高度不？请写出您的推理过程。