解直角三角形基础变式习题课-
中考数学一轮复习 第20讲《解直角三角形》练习(2021年整理)
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2017年中考数学一轮复习第20讲《解直角三角形》【考点解析】知识点一、锐角三角函数的概念.【例1】(2015浙江丽水）如图,点A 为∠α边上任意一点，作AC ⊥BC 于点C ，CD ⊥AB 于点D ，下列用线段比表示αcos 的值，错误．．的是( ）A ．BC BDB ．AB BC C ．AC AD D ．AC CD 【分析】由图可知∠α=∠ACD ，所以cos α=cos ∠ACD ，∠α是RT △ABC 、△BCD 的内角，∠ACD 是RT △ACD 的内角,共有三种表示方法，故可做出判断．【解析】根据ACCD ACD AB BC BC BD =∠===cos cos α,所以选项A 、B 、D 正确，选项C 错误． 故选C ．【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．【点评】在解直角三角形时，许多问题中并不是直角三角形，而是要通过构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题．通常通过作三角形的高，构造一个包含所求角的直角三角形，然后利用三角函数定义解决．【变式】（2016•怀化）在Rt△ABC 中，∠C=90°,sinA=，AC=6cm ，则BC 的长度为（ ）A ．6cmB ．7cmC ．8cmD ．9cm【分析】根据三角函数的定义求得BC 和AB 的比值，设出BC 、AB,然后利用勾股定理即可求解．【解答】解：∵sinA==，∴设BC=4x，AB=5x,又∵AC2+BC2=AB2，∴62+（4x）2=（5x）2，解得：x=2或x=﹣2（舍)，则BC=4x=8cm，故选:C．【点评】本题考查了三角函数与勾股定理，正确理解三角函数的定义是关键．知识点二、特殊角的三角函数值【例2】(2016•天津）sin60°的值等于（）A．B．C．D．【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．【解答】解:sin60°=．故选：C．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确把握定义是解题关键．【变式】（2016•玉林)sin30°=()A．B．C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可．【解答】解：sin30°=．故选：B．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值即可解答该题．知识点三、解直角三角形【例3】1．（2016·山东省菏泽市·3分）如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形,且AB=AC=5，A′B′=A′C′=3,若∠B+∠B′=90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为（）A．25：9 B．5：3 C．: D．5：3【考点】互余两角三角函数的关系．【分析】先根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，∠B′=∠C′,根据三角函数的定义得到AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB,B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′，然后根据三角形面积公式即可得到结论．【解答】解：过A 作AD⊥BC于D，过A′作A′D′⊥B′C′于D′，∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠B′=∠C′，BC=2BD，B′C′=2B′D′,∴AD=AB•sinB，A′D′=A′B′•sinB′，BC=2BD=2AB•cosB，B′C′=2B′D′=2A′B′•cosB′,∵∠B+∠B′=90°，∴sinB=cosB′，sinB′=cosB，∵S△BAC=AD•BC=0.5AB•sinB•2AB•cosB=25sinB•cosB，S△A′B′C′=A′D′•B′C′=0.5A′B′•cosB′•2A′B′•sinB′=9sinB′•cosB′，∴S△BAC：S△A′B′C′=25：9．故选A．【点评】本题考查了互余两角的关系，解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质和三角形面积公式．【变式】如图,将一副三角板按图中方式叠放,BC=4,那么BD=【答案】6【解析】在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，∠C=45°,BC=4,∴AB=BC•sin∠C=4×22．在Rt△ABC中，∵∠DBA=90°，∠D=30°，2，∴BD=2226 tan303AB==︒。
解直角三角形复习课课件
，可以计算出其他边的长度。
建筑问题
在建筑领域中，解直角三角形可 用于计算建筑物的角度、高度和 斜边长度等。例如，在计算建筑 物倾斜角度时，可以利用直角三
角形的正、距离和位置 等。通过测量船只与陆地之间的 角度和距离，可以确定船只的位
三角形的两边长度和夹角时，可以利用余弦定理来计算第三边的长度，
从而得到三角形的周长。
三角函数问题
正弦函数
解直角三角形与正弦函数密切相关。在直角三角形中，对 边长度与正弦函数值成正比，可以用于计算对边的长度。
余弦函数
余弦函数在解直角三角形中也有应用。例如，在计算角度 时，可以利用余弦函数来求解。
正切函数
正切函数在解直角三角形中也有应用。例如，在计算斜边 长度时，可以利用正切函数来求解。同时，正切函数还可 以用于计算角度，如锐角或钝角。
04
解直角三角形的注意事项
单位统一
总结词
在进行解直角三角形时，必须确保所有的单 位都是统一的，否则会导致计算错误。
详细描述
在解直角三角形时，常常涉及到长度和角度 两个量。这两个量必须使用相同的单位，如 米、厘米、毫米等。如果单位不统一，计算 结果将失去实际意义。例如，如果一边长度 是10米，而对应的锐角是60度，如果单位 不统一，计算出的另一边长度可能是10米 或10厘米，这将导致问题无法解决。因此 ，在解题前，需要先统一单位。
置。
几何问题
01
角度计算
解直角三角形可用于计算角度，如直角三角形中的锐角或钝角。通过已
知的边长和角度，可以计算出其他角度的大小。
02
面积计算
直角三角形的面积可以通过已知的边长来计算。例如，直角三角形的面
《解直角三角形》课件-06 (2)
3300°°
BB
3、在△ABC中，∠ACB=90°∠ABC=30By°杜小二 ∠ADC＝45°，AD=2,求BD的长。
变式：在△ABC中，∠C=90°， ∠ABC=30° ∠ADC＝45°，BD=2, 求AD的长。A
45°
D
C
30°
B
例题赏析 By 杜小二
例6
如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由 东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚方向，航行24海
C
影响?请说明理由.
60°
(2)为避免受到台风的影响,
B
A
该船应在多少小时内卸完货物?
3、在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30° By 杜小二
∠ADC＝45°，AD=2,求BD的长。
变式：在△ABC中，∠C=90°， ∠ABC=30° ∠ADC＝45°，BD=2, 求AD的长。
A
45°
D
C
45°
斜坡AB的坡度i=1∶3， i=1:3 斜坡CD的坡度i=1∶2.5，
i=1:2.5 23
A
D
则斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡
AB的长应设计为多少？(精确到0.1m)．
4、仰角和俯角
视线
By 杜小二
铅
仰角
直
线 俯角
水平线
5、方向角
视线
北
A
30°
如图：点A在O的北偏东30°西
东
O
点B在点O的南偏西45°（西
4，如果α和β都是锐角，且sinα= cosβ，
则α与β的关系 是（
B）
A，相等 B，互余 C，互补 D，不确定。
5，已知在Rt△ABC中, ∠C=90°，sinA=
中考数学解直角三角形练习
中考数学解直角三角形练习第一课时(锐角三角函数)课标要求1、 通过实例认识直角三角形的边角关系：即锐角三角函数（sinA 、cosA 、tanA 、cotA ）2、 熟知300、450、600角的三角函数值3、 会用计算器求锐角的三角函数值：以及由已知的三角函数值求相应的锐角。
4、 通过特殊角三角函数值：知道互余两角的三角函数的关系。
5、 了解同角三角函数的平方关系。
sin 2α+cos 2α=1：倒数关系tan α·cot α=1.6、 熟知直角三角形中：300角的性质。
中招考点1、 锐角三角函数的概念：锐角三角函数的性质。
2、 300、450、600角的三角函数值及计算代数式的值。
3、 运用计算器求的三角函数值或由锐角三角函数值求角度。
典型例题[例题1] 选择题（四选一）1、如图19-1：在Rt △ABC 中：CD 是斜边AB 上的高：则下列线段比中不等于sinA 的是（ ）A. AC CDB. CB BDC.AB CBD.CBCD分析：sinA=AC CD ； sinA=sin ∠BCD=BC BD ;sinA= ABBC；从而判断D 不正确。
故应选D.。
2、在Rt △ABC 中：∠C ＝900：∠A ＝∠B ：则cosA 的值是（ ） A.21B. 22 C.23 D.1分析：先求出∠A 的度数：因为∠C ＝900：∠A ＝∠B ：故∠A ＝∠B ＝450：再由特殊角的三角函数值可得：cosA=cos450=22故选B.。
3、在△ABC 中：∠C ＝900：sinA=23 ；则cosB 的值为（ ）A. 21B. 22C.23D.33分析：方法一：因为sinA=23；故锐角A ＝600。
因为∠C ＝900：所以∠B ＝300.cosB=23.故选C.方法二：因为 ∠C ＝900：故 ∠A 与 ∠B 互余.所以cosB=sin A ＝23.故选C..4、如图19-2：在△ABC 中：∠C ＝900：sinA=53.则BC ：AC 等于（ ）A C图19-1A. 3：4B. 4：3C.3：5D.4：5 分析： 因为∠C ＝900：sinA ＝53 ；又sinA=AB BC .所以AB BC ＝53； 不妨设BC ＝3k ；AB=5k ；由勾股定理可得AC ＝22BC AB -＝4k ；所以BC ：AC ＝3k:4k=3:4故选A.。
华师版九年级数学 24.4 解直角三角形(学习、上课课件)
感悟新知
知1－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝20 2； 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，
则sin A＝ac＝20202＝ 22， ∴∠A＝45°，∴∠B＝90°－∠A＝45°， ∴ b＝a＝20 .
感悟新知
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2 3，b＝2.
知1－练
感悟新知
(2)∠B＝72°，c＝14；
知1－练
解：在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，∠B＝72°，
∴∠A＝90°－72°＝18°. ∵sin B＝bc，∴b＝c sin B， 即 b＝14×sin 72°≈14×0.951≈13.31.
∵cos B＝ac，∴a＝c cos B， 即 a＝14×cos 72°≈14×0.309≈4.33.
(2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6.
解题秘方：紧扣以下两种思路去求解：(1)求边时，一般用
未知边比已知边(或已知边比未知边)，去找已知角的某一
个锐角三角函数.(2)求角时，一般用已知边比已知边，去
找未知角的某一个锐角三角函数.
感悟新知
知1－练
(1)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，b＝12； 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝90°－∠A＝60°.
第24章 解直角三角形
24.4 解直角三角形
学习目标
1 课时讲解 解直角三角形
解直角三角形在实际问题中的应用
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
感悟新知
知识点 1 解直角三角形
知1－讲
1. 一般地，直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过 程，叫做解直角三角形. (1)在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其 中的两个元素(至少有一个是边)，可求出其余的三个 未知元素(知二求三). (2) 一个直角三角形可解，则其面积可求. 但在一个解直 角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积.
湘教版九年级数学上册《解直角三角形练习》课件
7．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，且∠A，∠B，∠C 的对边 分别为 a，b，c. (1)已知 c＝6，∠A＝60°，则 a＝_3___3___，b＝__3__； (2)已知 a＝4，∠B＝45°，则 b＝_4___，c＝__4__2____； (3)已知 a＝10，b＝10 3，则 c＝__2_0____，∠A＝_3_0_°___； (4)已知 b＝6 3，c＝12，则 a＝_6___，∠B＝__6_0_°____.
程叫作___解__直__角__三__角__形________．
知识点：解直角三角形
1．(2014·湖州)如图，已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC ＝4，tanA＝12，则 BC 的长是( A ) A．2 B．8 C．2 5 D．4 5
2．如图是教学用直角三角板，边 AC＝30 cm，∠C＝90°， tan∠BAC＝ 33，则边 BC 的长为( C ) A．30 3 cm B．20 3 cm C．10 3 cm D．5 3 cm
12 5 13 12 A.13 B.12 C.12 D. 5 12．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若 AB＝4，sinA＝35，则斜 边上的高等于( B )
64 48 16 12 A.25 B.25 C. 5 D. 5 13．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，sinB＝ 23，a＝5，则∠B ＝___6_0_°____，c＝__1_0_____．
•8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
6．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°.
(1)已知∠A 和 c，则 a＝___c_·_si_n_A______，b＝___c_·c_o_s_A______. (2)已知∠B 和 b，则 a＝__t_a_bn_B____，c＝__s_i_bn_B_______．
人教版九年级下册数学第二十八章 解直角三角形习题课件
15．(梧州中考)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D 为 BC 上一点，
AB＝5，BD＝1，tan B＝34 . (1)求 AD 的长； (2)求 sin α的值．
解：(1)由 tan B＝34 可设 AC＝3x，得 BC＝4x， ∵AC2＋BC2＝AB2， ∴(3x)2＋(4x)2＝52，解得 x＝－1(舍去)或 x＝1， ∴AC＝3，BC＝4，∵BD＝1，∴CD＝3，∴AD ＝ CD2＋AC2 ＝3 2
人教版
第二十八章 锐角三角函数
28．2.1 解直角三角形
9．(练习变式)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，由下列条件解直角三角形： 第二十八章 锐角三角函数
(1)∠A＝60°，b＝4； (1)∠A＝60°，b＝4； 第二十八章 锐角三角函数
(1)∠A＝60°，b＝4； (1)∠A＝60°，b＝4； 9．(练习变式)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，由下列条件解直角三角形： 第二十八章 锐角三角函数
9．(练习变式)在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，由下列条件解直角三角形：
((11))∠ ∠AA＝＝解6600：°°探，，bb＝＝究44；；：过点 B 作 BD⊥AC，垂足为 D.∵AB＝c，∠A＝α，∴BD＝c·sin
(1)∠A＝60°，b＝4；
9(91．．)∠((练练A习 习＝α变 变60，式 式°))，在 在∴bRR＝ttS△ △4△；AAABBCCB中 中C＝， ，∠ ∠12CC＝ ＝A9900C° °·， ，Baa， ，Dbb＝， ，cc分 分12别 别b为 为c∠ ∠AAs， ，in∠ ∠BBα， ，∠ ∠CC的 的应对 对用边 边， ，：由 由下 下过列 列点条 条件 件解 解C直 直作角 角三 三C角 角E形 形： ：⊥DO 于点
华师大版九年级数学上第24章解直角三角形 习题课 解直角三角形的综合练习题(22张ppt)
A．8.1米
Hale Waihona Puke B．17.2米C．19.7米
D．25.5米
课后作业
11．如图，小岛A在港口P的南偏东45°方向，距离港口81
海里处．甲船从A出发，沿AP方向以9海里/时的速度驶向
港口；乙船从港口P出发，沿南偏西60°方向，以18海里/
时的速度驶离港口．现两船同时出发，当甲船在乙船的正
东方向时，行驶的时间为
课后作业
课后作业
能力提升
9．(重庆中考)如图，某办公大楼正前方有一根高 度是15米的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端 E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的 距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝ 1∶ ，则大楼AB的高度约为(精确到0.1米，参考 数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45)( D )
课后作业
3．(泰安中考)如图，轮船沿正南方向以30海里/ 时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏 南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯 塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行 至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离 约为(由科学计算器得到sin 68°＝0.9272， sin46°＝0.7193，sin 22°＝0.3746，sin 44°＝ 0.6947)( B ) A．22.48 B．41.68 C．43.16 D．55.63
课后作业
7．某条道路上通行的车辆限速60千米/时，道路的AB段为监 测区，监测点P到AB的距离PH为50米(如图)．已知点P在点A的 北偏东45°方向上，且在点B的北偏西60°方向上，点B在点A 的北偏东75°方向上，那么车辆通过AB段的时间在多少秒以 内，可认定为超速？(参考数据： ≈1.7， ≈1.4)
专题15 解直角三角形(课件+练习)
标
解题指导 教学目
标
【解答】他的这种坐姿不符合保护视力的要求， 理由：如图所示：过点B作BD⊥AC于点D， ∵BC=30cm，∠ACB=53°， ∴sin53°= = ≈0.8， 解得：BD=24， cos53°= ≈0.6，解得：DC=18， ∴AD=22﹣18=4（cm）， ∴AB= = = ＜ ， ∴他的这种坐姿不符合保护视力的要求．
解直角三角形
九年级中考复习专题
知识回顾 教学目
锐角三角函数的概念 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°， ∠A，∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c，则： a A的对边 sin A= =_______ ； c 斜边 b A 的邻边 cos A= =_______ ； c 斜边 a A 的对边 tan A= =_______. b A的邻边 注：其中 sin A，cos A，tan A 分别表示∠A 的正弦、余 弦、正切.
【分析】根据特殊角的直角三角形的边 角关系求解，想求出AB的长度，然后 再求出BD. 【解答】在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，∠C=45°， BC=4，∴AB=BC•sin∠C=4× ∴BD= . =2 ． 在Rt△ABD中，∵∠DBA=90°，∠D=30°，AB=2，
解题指导 教学目
4.（2016· 台州）保护视力要求人写字时眼睛和笔端的 距离应超过30cm，图1是一位同学的坐姿，把他的眼睛 B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图2的△ABC， 已知BC=30cm，AC=22cm，∠ACB=53°，他的这种坐 姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．（参考数据： sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3） 【分析】根据锐角三角函数关 系得出BD，DC的长，进而结 合勾股定理得出答案．
解直角三角形 课后练习二及详解
学科：数学专题：解直角三角形主讲教师：黄炜北京四中数学教师金题精讲题一：题面：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=5，CD⊥AB，则sin∠ACD的值是，tan∠BCD的值是.题二：题面：已知如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AC=BD=5，tan∠CAD=12，求AB的值．满分冲刺题一：题面：如图，在△ABC中，∠A=135°，AB=20，AC=30，求△ABC的面积.题二：题面：如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高，且AB=6，BC=10．则AC= ，sin a= .题三：2，求AB的长.题面：如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=3课后练习详解金题精讲题一：答案：54141;45详解：∵△ABC 中，∠ACB =90°，BC =4，AC =5，CD ⊥AB ，∴AB =2222=54=41AC BC ++．在Rt △ABC 与Rt △ACD 中，∠A +∠B =90°，∠A +∠ACD =90°，∠ADC =∠ACB =90°． ∴∠B =∠ACD ．Rt △ABC ∽Rt △ACD ，∠BCD =∠A ．故sin ∠ACD =sin ∠B =AC AB=54141， tan ∠BCD =tan ∠A =BC AC =45． 题二：答案：35详解：∵AD ⊥BC ，△ADC 为Rt △，又在Rt △ADC 中tan ∠CAD ＝1=2CD AD ，∴设CD =x ，AD =2x ，由：CD 2+AD 2=AC 2得x 2+4x 2=25，∵x ＞0∴x =5,∴在Rt △ADB 中AB =22AD BD +=35，即AB 长为35满分冲刺题一：答案：1502详解：过点B 作BE ⊥AC ，∵∠A =135°，∴∠BAE =180°-∠A =180°-135°=45°，∴∠ABE =90°-∠BAE =90°-45°=45°，在Rt △BAE 中，∵AB =20，∴BE =102，∵AC =30，∴S △ABC =12AC •BE =12×30×102=1502．题二：答案：8；45. 详解：在Rt △ABC 中，AC =22BC AB -=8；AB 2=BD •BC ，∴BD =3.6，CD =6.4，在Rt △ACD 中，sin a =CD AC =45． 题三：答案：3+3.详解：过点C 作CD ⊥AB 于D ，在Rt △ACD 中，∠A =30°，AC ＝23， ∴CD =AC ×sin A =230.53⨯=，AD =AC ×cos A =32332⨯=. 在Rt △BCD 中，∠B =45°，则BD =CD =3，∴AB =AD +BD =3+3.。