人教版八年级上册数学12.3角平分线的性质角平分线的判定

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12.3角平分线的性质——角的平分线的判定说课稿2022-2023学年人教版八年级上册数学

12.3角平分线的性质——角的平分线的判定说课稿一、说课目标通过本节课的学习，使学生掌握以下内容：1.理解角平分线的定义和性质；2.掌握如何判断一个线段是否为角的平分线；3.运用角平分线的性质解决与角平分线相关的问题。

二、教学重点和难点2.1 教学重点1.角平分线的定义和性质；2.判断一个线段是否为角的平分线。

2.2 教学难点判断一个线段是否为角的平分线。

三、教学过程3.1 导入与激发通过展示一张图纸上有一个角ABC，让学生观察并思考：“如何判断一条线段是否为角的平分线？”引导学生思考与角的平分线相关的问题。

3.2 角平分线的定义首先，给出角平分线的定义：“在一个角的内部，从角的顶点出发，分别与两条角的边相交，且将角分成两个相等的角的线段，称为角的平分线。

”通过示意图，让学生理解角平分线的概念。

3.3 角平分线的性质接着，介绍角平分线的性质：1.角的平分线将角分成两个相等的角；2.角的平分线上的点到角的两边的距离相等；3.角的平分线与角的两边垂直相交。

通过示意图和简单的例子，让学生体会角平分线的性质。

3.4 判定角的平分线的方法讲解如何判断一个线段是否为角的平分线：1.判断两个角是否相等；2.判断线段的两个端点是否分别在角的两条边上；3.判断线段是否与角的两边垂直相交。

通过实例演示，引导学生掌握判定角的平分线的方法。

3.5 实例分析与练习提供一些实例，并与学生一起分析、判断是否为角的平分线。

然后，提供一些练习题，让学生通过练习巩固所学内容。

3.6 总结与展望通过本节课的学习，学生掌握了角平分线的定义和性质，以及判定角平分线的方法。

进一步，可以应用所学知识解决与角平分线相关的问题。

四、板书设计角平分线的定义：在一个角的内部，从角的顶点出发，分别与两条角的边相交，且将角分成两个相等的角的线段，称为角的平分线。

角平分线的性质： 1. 角的平分线将角分成两个相等的角； 2. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等； 3. 角的平分线与角的两边垂直相交。

12.3 第2课时角平分线的判定初中数学人教版八年级上册课件

图形
C P
已知条件
结论
OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E
PD = PE
C P
PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB
当堂小结
内容
角平分线的判定定
理
作用
相关结论
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的_平__分__线__上
判断一个点是否在角的平分线上
位置关系
数量关系
应用格式：
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上.
O
A
D C
P EB
回顾导入
如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路和铁路的距离相等，并且离公路与铁路交叉处距离为
500 m，这个风筝主题公园应建在何处？ O
解：作夹角的角平分线 OC，
新知一览
全等三角形
“边边边”
全等三角形
三角形全等的判定
“边角边” “角边角”“角角边”
“斜边、直角边”
角平分线的性质
角平分线的性质
角平分线的判定
第十二章全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第 2 课时角平分线的判定
人教版八年级（上）
新课导入如图，要在 S 区建一个风筝主题公园，使它到公路
B
A P2
P1 C
P3
典例精析例1 如图，∠ABC 的平分线与∠ACB 的外角平分线相交于点 D，连接 AD. 求证：AD 是∠BAC 的外角平分线.
分析：
求证：AD 是∠BAC 的外角平分线.
求证：D 到 BA，AC 的距离相等.

八年级数学人教版(上册)第2课时角的平分线的判定

∴OB＝OD．∴OE＝OD．又∵OE⊥AC，∠D＝90°，即 OD⊥CD， ∴CO 平分∠ACD．
(2)OA⊥OC．证明：在 Rt△ABO 和 Rt△AEO 中，OAOB＝＝OAOE，， ∴Rt△ABO≌Rt△AEO(HL).
∴∠AOB＝∠AOE＝12∠BOE. 同理，∠COD＝∠COE＝12∠DOE. ∴∠AOC＝∠AOE＋∠COE＝12∠BOE＋12∠DOE＝90°.∴OA
4.(教材 P51 习题 T3 变式)如图，CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E，BE，CD 相交于点 O.
(1)当∠1＝∠2 时，求证：OB＝OC．证明：∵∠1＝∠2，OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OE＝OD，∠ODB＝∠OEC＝90°.
在△BOD 和△COE 中，
∠BOD＝∠COE， OD＝OE， ∠ODB＝∠OEC， ∴△BOD≌△COE(ASA).
第 11 题图
12.(教材 P52 习题 T7 变式)如图，在四边形 ABDC 中，∠D＝ ∠B＝90°，O 为 BD 的中点，且 AO 平分∠BAC．求证：
(1)CO 平分∠ACD．证明：过点 O 作 OE⊥AC 于点 E， ∵∠B＝90°，AO 平分∠BAC， ∴OB＝OE. ∵点 O 为 BD 的延长线相
交于点 E.若存在点 P，使得 S△PAB＝S△PCD，则满足此条件的点 P( D ) A．有且只有 1 个
B．有且只有 2 个
C．组成∠E 的平分线
第 8 题图
D．组成∠E 的平分线所在的直线(点 E 除外)
9.如图，l1，l2，l3 是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加
6.如图，△ABC 的三边 AB，AC，BC 的长分别为 4，6，8，其三条角平分线将△ABC 分成三个三角形，则 S△OAB∶S△OAC∶S△OBC ＝ 2∶3∶4 .

人教版数学八年级上册知识分类训练-12.3-角平分线的性质(含详案)

人教版八年级上册知识分类训练12.3 角平分线的性质1、角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

2、角平分线的性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

用数学语言表示为：∵ QD⊥OA，QE⊥OB，点Q在∠AOB的平分线上∴ QD＝QE4、角平分线的判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

用数学语言表示为：∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．5、尺规作角的平分线：画法：①以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．②分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．③作射线ＯＣ．所以，射线ＯＣ即为所求．针对训练1．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是（）A．4B．3C．2D．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC 于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝12，CG＝3，则△ABG的面积是（）A．12B．18C．24D．363．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝4，则PQ的长不可能是（）A．3.9B．4C．4.3D．5.54．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P 到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（）A．1B．2C．3D．45．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，BC＝6，对角线BD平分∠ABC，则△BCD 的面积为（）A．15B．12C．8D．66．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（）cm2．A．24B．27C．30D．337．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，若BA＝5，AC＝2，S△ABC＝14，则S△ABD ＝．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，如果AB＝10，△ADB的面积是15，则CD的长为．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，若CD＝4，则点D到AB的距离为．10．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则△ODQ的面积是．11．如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2．AB＝6．BC＝4，求△ABC的面积．12．如图在△ABC中，∠B＝∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB于点，DF⊥AC于点F．求证：AD是△ABC的角平分线．13．如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．求证：AC平分∠DAB．14．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．（1）求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）证明AP＝AQ．15．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．16．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．（1）求证：DE平分∠ADC；（2）求证：AB+CD＝AD．17．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°．（1）求∠ACE的度数；（2）求证：AE平分∠CAF；（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．参考答案1．解：过P作PE⊥AO于E，∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，∴PE＝PD＝2，∴点P到OA的距离是2．故选：C．2．解：过点G作GH⊥AB于点H，根据题意得，AF是∠CAB的角平分线，∵∠C＝90°，∴AC⊥CG，∵GH⊥AB，∴CG＝GH，∵CG＝3，∴，故选：B．3．解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA＝4，∴当PQ⊥AM时，PQ＝PA＝4，∴PQ≥4，∴PQ的长不可能3.9．故选：A．4．解：过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R，∵△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，∴PQ＝PW，PW＝PR，∴PR＝PQ，∵点P到AC的距离为3，∴PQ＝PR＝3，则点P到AB的距离为3，故选：C．5．解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，∴DE＝DA＝4，∵BC＝6，∴△BCD的面积＝BC•DE＝×6×4＝12，故选：B．6．解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3，同理可得OF＝OD＝3，∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC＝（AB+BC+AC），∵△ABC的周长是18，∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．故选：B．7．解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC于点E，F，∵AD是∠BAC的角平分线，∴DE＝DF，设DE＝DF＝h，∵BA＝5，AC＝2，S△ABC＝14，∴AB•h+AC•h＝14，即×5h+×2h＝14，解得h＝4，∴S△ABD＝AB•DE＝×5×4＝10．故答案为：10．8．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝10，△ADB的面积是15，∴，∴DE＝3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，∴CD＝DE＝3，故答案为：3．9．解：过点D，作DE⊥AB，交AB于点E，∵∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，∴DE＝CD＝4，故答案为：4．10．解：作DH⊥OB于点H，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DH⊥OB，∴DH＝DP＝5，∴△ODQ的面积＝OQ•DH＝4×5＝10，故答案为：10．11．解：如图，过点D作DF⊥BC于点F．∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE＝2，又∵AB＝6，BC＝4，∴＝．12．证明：∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF，即点D到AB和AC的距离相等，∴AD是△ABC的角平分线．13．证明：∵CE⊥AD于E，CF⊥AB，∴∠DEC＝∠CFB＝90°，∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠CBF，在△CDE与△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（AAS），∴CE＝CF，∴AC平分∠DAB．14．（1）解：如图所示，BQ为所求作；（2）证明：∵BQ平分∠ABC，∴∠ABQ＝∠CBQ，∵∠BAC＝90°∴∠AQP+∠ABQ＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠CBQ+∠BPD＝90°，∵∠ABQ＝∠CBQ，∴∠AQP＝∠BPD，又∵∠BPD＝∠APQ，∴∠AQP＝∠APQ，∴AP＝AQ．15．证明：∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，在Rt△OPD和Rt△OPE中，，∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），∴OD＝OE，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠DOF＝∠EOF，在△ODF和△OEF中，，∴△ODF≌△OEF（SAS），∴DF＝EF．16．证明：（1）如图，过点E作EF⊥AD于F，∵∠B＝90°，AE平分∠DAB，∴BE＝EF，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，∴CE＝EF，又∵∠C＝90°，EF⊥AD，∴DE是∠ADC的平分线．（2）∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，EF⊥AD，∠B＝∠C＝90°，∴AB＝AF，DC＝DF，∴AB+CD＝AF+FD＝AD．17．（1）解：∵∠ACB＝110°，∴∠ACD＝180°﹣110°＝70°，∵EH⊥BD，∴∠CHE＝90°，∵∠CEH＝55°，∴∠ECH＝90°﹣55°＝35°，∴∠ACE＝180°﹣35°﹣110°＝35°；（2）证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，∵BE平分∠ABC，∴EM＝EH，∵∠ACE＝∠ECH＝40°，∴CE平分∠ACD，∴EN＝EH，∴EM＝EN，∴AE平分∠CAF；（3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH，∴S△ACD＝S△ACE+S△CED＝AC•EN+CD•EH＝（AC+CD）•EM＝21，即，解得EM＝3，∵AB＝8.5，∴S△ABE＝AB•EM＝．。

八年级数学上册12.3角平分线的性质(讲+练)(8大题型)-【重要笔记】2022-2023学年八年级

12.3 角平分线的性质角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。

注意：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.题型1：作已知角的平分线1.尺规作图：已知：∠CBA，求作∠CAB的平分线.【变式1-1】如图，在直线MN上求作一点P，使点P到射线OA和OB的距离相等。

（不写作法，保留作图痕迹）【变式1-2】如图，在Rt△ABC中，△C=90°.（1）作△BAC的平分线AD交边BC于点D.（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）.（2）在（1）的条件下，若△BAC=28°，求△ADB的度数.题型2：角平分线的性质的应用-证明线段2.如图，已知OE平分△AOB，BC△OA于点C，AD△OB于点D，求证：EA=EB．【变式2-1】如图，点D、B分别在△A的两边上，C是△A内一点，AB = AD，BC = CD，CE△AD于E，CF△AF于F.求证：CE = CF.【变式2-2】已知：如图，OC是△AOB的平分线，P是OC上的一点，PD△OA，PE△OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF.求证：DF＝EF.题型3：角平分线的性质的应用-和差关系3.如图，在△ABC中，△C=90°，△CAD=△BAD，DE△AB于E，点F在边AC 上，连接DF．（1）求证：AC=AE；（2）若AC=8，AB=10，求DE的长；（3）若CF=BE，直接写出线段AB，AF，EB的数量关系.【变式3-1】如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△ABC的外角平分线AD于点D，DF△AB于点F，且AB＞AC，试探究BF、AC、AF之间的数量关系，并说明理由．【变式3-2】题型4：角平分线的性质的应用-面积相关4.如图，BD是ΔABC的角平分线，DE⊥AB垂足为E，ΔABC的面积为70，AB= 16，BC=12，求DE的长.【变式4-1】如图，AD是△ABC的角平分线，DF△AB，垂足为F，如图DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，求△EDF的面积【变式4-2】如图，在ΔABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若ΔABC的面积为21cm2，AB=8cm，AC=6cm，求DE的值.角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.注意：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB题型5：角平分线的判定5.如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，求证：AM平分∠DAB．【变式5-1】如图所示,PA=PB,△1+△2=180°.求证:OP平分△AOB.【变式5-2】如图所示，AP、CP分别是△ABC外角△MAC和△NCA的平分线，它们交于点P．求证：BP为△MBN的平分线．题型7：角平分线的性质与判定综合6.如图，已知点A、C分别在△GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD△BE，△GBE的平分线与AD交于点D，连接CD.求证：（1）AB=AD；（2）CD平分△ACE.【变式6-1】如图，已知△ABC中BC边的垂直平分线DE与∠BAC的平分线交于点E，EF⊥AB交AB的延长线于点F，BG⊥AC交AC于点G．求证．（1）BF=CG．（2）若AB=6，AC=8，求AF的长度．【变式6-2】如图，在△ABC外作两个大小不同的等腰直角三角形，其中∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD，AC=AE.连接DC、BE交于F点．（1）求证：△DAC△△BAE．（2）直线DC、BE是否互相垂直，请说明理由．（3）求证：AF平分∠DFE．【变式6-3】如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知△A=78°，△BPC=39°，BC=7，AB=4．（1）求证：BD平分△ABC；（2）如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM△BC于点M，求MC的长度．题型7：角平分线的实际应用7.某地有两条相交叉的公路，计划修建一个饭馆：希望饭馆点P既在MN这条公路上，又到直线OA、OB的距离相等．你能确定饭馆应该建在什么位置吗？（保留作图痕迹）【变式7-1】如图：某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个公园，要使公园到三条公路的距离相等，应在何处修建？（使用尺规作图，保留作图痕迹）并证明你的观点．【变式7-2】太和中学校园内有一块直角三角形（Rt △ABC）空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在△ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积．题型8：三角形中的角平分线8.已知△ABC的三条角平分线相交于点O，过点O作OD△BC，OE△AC，OF△AB.求证：OD=OE=OF.【变式8-1】如图，△ABC中，AB＝6，AC＝7，BD、CD分别平分△ABC、△ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F. 求△AEF的周长．【变式8-2】如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于？【变式8-3】如图①，在△ABC中，△ABC和△ACB的平分线交于点O，△A＝α．（1）如图①，若△A＝50°，求△BOC的度数．（2）如图②，连接OA，求证：OA平分△BAC．（3）如图③，若射线BO与△ACB的外角平分线交于点P，求证OC△PC．一、单选题1．如图，在△ABC中，△C=90°，BD平分△ABC，交AC于点D；若DC=3，AB=8则△ABD的面积是()A．8B．12C．16D．242．如图，OP平分△MON，PA△ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA= 4，则PQ的长不可能是（）A．3.5B．4C．4.5D．53．如图，已知点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，△A=40°，则△BOC=（）A．110°B．120°C．130°D．140°4．如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BA和CD的延长线交于点E,若点P使得S△PAB=S△PCD,则满足此条件的点P()A．有且只有1个B．有且只有2个C．组成△E的平分线D．组成△E的平分线所在的直线(E点除外)5．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=12，BD=2CD，AD平分∠BAC，则点D到AB的距离等于（）A．3B．4C．5D．9二、填空题6．如图，在△ABC中，BE平分△ABC交AC于点E，AF△BC于点F，BE、AF交于点P，若AB=9，PF=3，则△ABP的面积是.7．如图，已知△COB＝2△AOC，OD平分△AOB，且△COD＝18°，则△AOB的度数为．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°, AC=6, BC=8, AB=10, AD是∠BAC的平分线.若P, Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是.9．如图，OP平分△AOB，PM△OA于M，点D在OB上，DH△OP于H．若OD＝4，OP＝7，PM＝3，则DH的长为．三、作图题10．如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．四、解答题11．如图，已知AD⊥BC于点D，E是延长线BA上一点，且EC⊥BC于点C，若∠ACE=∠E.求证：AD平分∠BAC.12．如图，在△ABC中，AD为△BAC的平分线，DE△AB于E，DF△AC于F，△ABC 面积是28cm2，AB=20cm，AC=8cm，求DE的长．13．如图，点P是△AOB的角平分线OC上一点，PE△OA，OE＝12cm，点G是线段OP的中点，连接EG，点F是射线OB上的一个动点，若PF的最小值为4cm，求△PGE的面积.14．如图，直线AB△CD，点E在CD上，点O、点F在AB上，连接OE，过点F作FH△OE于点H.（1）尺规作图：作△EOF的角平分线OG交CD于点G；（不写作法，保留作图痕迹，并标明字母）（2）在（1）的条件下，已知△OFH＝20°，求△OGD的度数.15．如图，△ABC和△EBD中，△ABC＝△DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N.（1）求证：AE＝CD；（2）求证：AE△CD；（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分△CBE；②MB平分△AMD，其中正确的一个是（请写序号），并给出证明过程.。

12.3角的平分线的性质第2课时角平分线的判定教案人教版数学八年级上册

12.3角的平分线的性质第2课时角平分线的判定教学目标：1.探究并证明角平分线的判定方法.2.会用角的平分线的判定解决实际问题.3.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用.教学重难点：重点:角平分线的判定.难点:三角形的内角平分线的应用.教学过程：课堂导入我们知道,角的平分线上的点到角的两边的距离相等,反过来,到角的两边的距离相等的点是否在这个角的平分线上呢?这节课我们来对这个问题进行探究.讲授新课知识点1角平分线的判定定理角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上吗?也就是交换角的平分线的性质中的已知和结论.下面我们证明这个命题的正确性.已知:如图所示,PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE.求证:点P在∠AOB的平分线上(OP平分∠AOB).证明:因为PD⊥OA,PE⊥OB(已知),所以∠PDO=∠PEO=90°.在Rt△PDO和Rt△PEO中,{PO=PO,PD=PE,所以Rt△PDO≌Rt△PEO(HL).所以∠POD=∠POE.即点P在∠AOB的平分线上.[归纳]角的平分线的判定定理:角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.注意:(1)使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部;(2)角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要办法.几何语言:如图所示,因为点P 是∠AOB 内的一点,PD ⊥OA,PE ⊥OB,垂足分别为D,E,且PD=PE, 所以点P 在∠AOB 的平分线OC 上.范例应用例1 如图所示,要在S 区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,并且离公路和铁路的交叉处500 m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1∶20 000)? 解:因为图上距离500=120000, 所以图上距离=0.025 m=2.5 cm.如图所示,P 点即为所求.理由:P 点在这个交叉口的角平分线上,所以P 点到公路与铁路的距离相等.知识点2 角的平分线的性质定理与判定定理的关系点在角的平分线上(角的内部)点到角的两边的距离相等.正确理解两个定理的条件和结论,性质定理和判定定理的条件和结论是相反的,性质定理是证明两条线段相等的依据,判定定理是证明两个角相等的依据.知识点3 三角形三个内角平分线的性质1.如图所示,三角形的三个内角的角平分线已画出,从位置上你能观察出什么结论? 答案:三角形三个内角的平分线的交点位于三角形的内部.2.如图所示,过交点分别作三角形三边的垂线,根据角平分线的性质定理你能得出什么结论? 答案:过交点作的三角形三边的垂线段相等.范例应用例2 如图所示,△ABC 的角平分线AD,BE,:点P 到△ABC 三边AB,BC,CA 的距离相等. 证明:如图所示,过点P 作PM ⊥BC ,PN ⊥AC ,PO ⊥AB ,垂足分别为M ,N ,O.因为AD为△ABC的角平分线,所以PN=PO.因为BE为△ABC的角平分线,所以PM=PO.因为CF为△ABC的角平分线,所以PM=PN.所以PM=PN=PO,即点P到△ABC三边AB,BC,CA的距离相等.课堂训练1.判断题:(1)如图(1)所示,若QM=QN,则OQ平分∠AOB.(×)(2)如图(2)所示,若QM⊥OA于点M,QN⊥OB于点N,则OQ平分∠AOB.(×)2.如图所示,表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有(D)处处处处第2题图第3题图3.如图所示,O是△ABC内一点,O到三边AB,BC,CA的距离分别为OF,OD,OE,且OF=OD=OE,若∠BAC=70°,则∠BOC=125°.4.如图所示,:AP平分∠BAC.证明:如图所示,作PQ⊥BC,PM⊥AE,PN⊥AF,垂足分别为Q,M,N.因为P点在∠CBE和∠BCF的平分线上,所以PM=PQ,PN=PQ.所以PM=PN.又PM⊥AE,PN⊥AF,所以AP平分∠BAC.课堂小结1.三角形的三条角平分线的交点有且只有一个,且一定在三角形的内部.2.证明三线共点的思路:先设其中的两线交于一点,再证明该交点也在第三条直线上.3.在三角形内部,要找一点到三边距离相等时,只要作出两个角的平分线,其交点即是.4.角平分线的判定与性质的关系:由角平分线的判定方法知这个结论的逆命题也是正确的,即在三角形内,到三角形三边的距离相等的点是三角形三条角平分线的交点.板书设计第2课时角平分线的判定角平分线的判定{学会用添加辅助线的方法解题判定定理——角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上应用——综合利用角的平分线的性质和判定来解决实际问题教学反思本课时教学应重视以下几点:(1)由定理得到它的逆命题,并证明它的正确性,把两个定理正确地运用;(2)尽力体现数学与生活的联系,从实际中学习新知,使学生认识这种学习方法.(3)课堂中,可采用口答、动手做等方式组织学生比赛,教师依据具体情形予以点评指点,查缺补漏,使学生从本质上理解知识.。

人教版八年级数学上册12.3第2课时角的平分线的判定及性质的应用

上，且DC＝EF，△BCD与△BEF的面积相等．求证： 4．如图，B是∠CAF内一点，点D在AC上，点E在AF上，且DC＝EF，△BCD与△BEF的面积相等．求证：AB平分∠CAF.
例2 如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD. (3)若BC＝12，AD＝13，求S△AMD.
1 2
S梯形ABCD.
∵S梯形ABCD＝12 (CD＋AB)·BC＝12 ×13×12＝78，
∴S△AMD＝12 ×78＝39.
ห้องสมุดไป่ตู้ 练习
1．教材P50 练习第2题． 2．如图，点P是∠MON内一点，PA⊥ON于点A， PB⊥OM于点B，且PA＝PB.若∠MON＝50°，C为OA 上一点且∠OPC＝30°，则∠PCA的度数为( B ) A．50° B．55° C．60° D．80°
AB平分∠CAF. (3)若BC＝12，AD＝13，求S△AMD.
(1)若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请证明你的结论；
∴∠BFD＝∠CED＝90°.
证∴ 明D如C证·下BM：＝明过点EM：F作·BMN过E. ⊥A点D于点BE.作BM⊥AC于点M，BN⊥AF于点N.
(3) 我们能不能证明上面的结论？
(1)若连接AM，则AM是否平分∠BAD？请证明你的结论； 3-5，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m，这个集贸市场应建于何处(在图上
标如出图它 12又的. 位∵置，比M例尺E为⊥1:200A00)D？，∠B＝90°，∴AM平分∠BAD；
∵S梯形ABCD＝ (CD＋AB)·BC＝ ×13×12＝78，∴S△AMD＝ ×78＝39.
4．如图，B是∠CAF内一点，点D在AC上，点E在AF上，且DC＝EF，△BCD与△BEF的面积相等．求证：AB平分∠CAF.

人教版八年级数学上册123角的平分线的性质第2课时角平分线的判定课件

解：∵
图上距离 500m
=
1 20000
∴图上距离 = 0.025m = 2.5cm.
P
如下图：P点即为所求 ; 理由：P点在这个交叉口的角平分线上，所以P点到公路与铁路的距离相等.
练习2 要在三角形的内部找到一点，使这一点到三角形的三边的距离都相等，这个点应如何确定？
作其中任意两角的平分线，交点即为所要找的点.
M
∵P点在∠CBE和∠BCF的平分
线上，∴PM = PQ，PN = PQ，
∴PM = PN.
又PM⊥AE，PN⊥AF， ∴ AP平分∠BAC.
N
拓展延伸 3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，
DF⊥AC，垂足分别是E、F．连接EF，EF与AD 交于G，AD 垂直平分EF吗？证明你的结论．解：AD垂直平分EF .证明如下： ∵AD是△ABC的角平分线， DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠1=∠2，∠AED =∠AFD =90°，
思考
推进新课
如图，要在S 区建一个集贸场，使它到公路、
铁路的距离相等，并且离公路和铁路的交叉处
500 m. 这个集贸场应建于何处〔在图上标出它的
位置，比例尺为1：20 000〕？
知识点1 角平分线的性质定理的逆定理的证明
交换角的平分线的性质中的和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．
学习目标
【知识与技能】1.掌握角的平分线的判定.2.会利用三角形角平分线的性质. 【过程与方法】通过学习角的平分线的判定，开展学生的推理能力，培养学生分析、归纳问题的能力.【情感态度】锻炼数学应用意识和用数学解决实际问题的能力，体验数学的应用价值.【教学重点】角平分线的判定.【教学难点】三角形的内角平分线的应用.

人教版八年级数学上册第十二章 1 第1课时角的平分线的性质

123456
1.如果要作已知∠AOB的平分线OC,合理的顺序是 ( ).
①作射线OC;②在OA,OB上分别截取OD,OE,使OD=OE;③分别以
D,E为圆心,大于
1 2
DE长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C.
A.①②③
B.②①③ C.②③① D.③②①
关闭
C
答案
-6-
知识梳理预习自测
1234
关闭
因为∠ACB=90E=CE.
所以AE+DE=AE+CE=AC=3 cm.
关闭
B
解析答案
角的平分线的性质拓展应用【例题】如图,BD是∠ABC的平分线,DE⊥AB于点E,S△ABC=36 cm2,AB=18 cm,BC=12 cm,求DE的长.
分析:由题目条件及图形知S△ABC=S△ABD+S△BCD.因为点D是 ∠ABC的平分线上的点,且DE⊥AB,所以易想到过点D作出BC边上的高DF,利用角的平分线的性质有DE=DF.由△ABD和△BCD的面积,可列出等式求出DE的长.
知识梳理预习自测
1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 . 2.一般情况下,要证明一个几何命题时,可以按照以下步骤进行: (1)明确命题中的已知和求证 ; (2)根据题意,画出图形 ,并用符号表示已知和求证; (3)经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.
-5-
知识梳理预习自测
解:过点D作DF⊥BC,垂足为F. ∵DE⊥AB,BD平分∠ABC,∴DE=DF. ∵S△ABC=S△ABD+S△BCD, ∴36=12·AB·DE+12·BC·DF=12DE·(AB+BC)=12DE·(18+12)=15DE. 解得DE=2.4(cm).