量子力学-自旋 Ⅴ. 爱因斯坦-帕多尔斯基-罗森佯谬和Bell不等式 Ⅵ. 全同粒子交换不变性
爱因斯坦 波多尔斯基 罗森佯谬
在圆括弧内，称第一个项目为直积态 I，是两个量子态、的张量乘积，第二个项目为直积态 II，是两个量 子态、的张量乘积。在直积态 I里，量子态为的电子，其自旋的z轴分量为正值；量子态为的正电子，其为负值。 在直积态 II里，量子态为的电子，其为负值；量子态为的正电子，其为正值。但假若不做测量，则无法知道这 两个粒子中任何一个粒子的；根据哥本哈根诠释，这变量根本不存在。
EPR论文接着描述，先前相互作用的两个粒子，在分离之后的物理性质。假设两个粒子A、B在原点位置相互 作用之后，以相反方向移动分离。根据不确定性原理，由于位置算符与动量算符不对易，无法同时确定粒子B的位 置与动量；位置越确定则动量越不确定，反之亦然。假设准确测量出粒子A的位置，则由于粒子A与粒子B之间相 隔很远，测量粒子A不会搅扰到粒子B，粒子B的位置可以准确地预测为（概率为1），因此，按照实在性判据，对 于测量粒子B的位置，必定存在物理实在的要素。在这里，作者假设测量粒子A这动作遵守定域论，另外，由于存 在物理实在的要素，遵守实在论，粒子B的位置可以被预测。类似地，假设准确测量出粒子A的动量，则由于测量 粒子A不会搅扰到粒子B，粒子B的动量可以准确地预测为（概率为1），因此，按照实在性判据，对于测量粒子B 的动量，必定存在物理实在的要素。
EPR论文表明，假若定域实在论成立，则可以推导出量子力学的不完备性。
理论概述
EPR论文
玻姆版本
量子力学中的贝尔不等式
量子力学中的贝尔不等式引言量子力学是描述微观世界的一种理论，它与经典物理学有着明显的区别。
贝尔不等式是量子力学中的一个重要概念，它对于理解量子力学的本质和量子纠缠现象具有重要意义。
本文将介绍贝尔不等式的概念、背后的物理原理以及实验验证等相关内容。
贝尔不等式的提出贝尔不等式是由爱尔兰物理学家约翰·贝尔于1964年提出的，他的研究旨在解决爱因斯坦、波多尔斯基和罗森的“EPR悖论”。
EPR悖论是指根据量子力学的理论，存在一种称为“纠缠”的现象，即两个或多个粒子之间的状态是相互依赖的，无论它们之间的距离有多远。
然而，根据相对论的原理，信息传递的速度是有限的，不能超过光速。
这就引发了一个问题：如果两个纠缠粒子之间的状态是相互依赖的，那么改变一个粒子的状态是否会立即影响到另一个粒子的状态？为了回答这个问题，贝尔提出了贝尔不等式。
贝尔不等式是通过对物理实验的结果进行统计分析得到的，它用于检验量子力学是否能够满足局域实在性原理。
局域实在性原理是指物理系统的性质只能由其邻近的物理系统决定，而不能受到远离的物理系统的影响。
贝尔不等式的物理原理贝尔不等式的推导基于对物理系统的实验观测。
假设我们有两个纠缠粒子，它们之间的状态是相互依赖的。
我们可以对这两个粒子进行一系列的测量，比如测量它们的自旋。
根据量子力学的理论，这些测量结果是随机的，但是它们之间存在一定的相关性。
贝尔不等式的核心思想是通过对这些测量结果进行统计分析，来确定是否存在一种隐藏变量的理论可以解释这些相关性。
隐藏变量理论是一种假设，认为存在一些未知的物理性质或参数，可以完全描述系统的状态和测量结果。
如果贝尔不等式成立，那么就意味着存在这样的隐藏变量理论，否则就需要重新思考量子力学的基本假设。
实验验证为了验证贝尔不等式，科学家们进行了一系列的实验。
其中最著名的实验是由阿尔茨和泰纳于1964年提出的阿尔茨-泰纳实验。
这个实验使用了光子对的纠缠态，通过测量它们的偏振来检验贝尔不等式。
贝尔不等式与量子纠缠
贝尔不等式与量子纠缠从古希腊时期的亚里斯多德，到近代的爱因斯坦，人类一直在试图理解和解释自然界的运行方式。
其中一个关键问题是如何解释“量子纠缠”，这是在量子力学中最难以理解和解释的概念之一。
量子纠缠的原始概念可以追溯到1935年，当时爱因斯坦、波多尔斯基和罗森提出了贝尔不等式，这个不等式是基于假设的，假设我们的世界是局部真实的，并且有局部隐藏变量来解释所有观测到的量子现象。
然而，从那时起，通过实验和理论的发展，我们知道这个假设是不正确的。
现在我们知道，贝尔不等式不仅可以被完全违反，而且量子纠缠的概念已经成为众多量子技术的核心，如量子隐形传态和量子密钥分发等。
在这篇文章中，我们将探讨贝尔不等式和量子纠缠之间的关系，以及这些概念如何引导我们了解量子力学和量子技术。
贝尔不等式背后的物理学贝尔不等式是基于类似于硬币的思想基础上的。
当一个硬币被抛掷时，它可以是正面朝上或反面朝上。
如果我们有两个硬币，我们可以观察它们的朝向，从而得到它们的结果：正-正、正-反、反-正或反-反。
现在，设想我们拥有两个处于纠缠状态的粒子。
当我们观察这两个粒子时，我们可以获取它们的特性（如自旋或电荷）。
如果这两个粒子是普通的，没有任何纠缠，我们可以假设每个粒子都有一个局部隐藏变量来解释这些特性。
如果这两个粒子是纠缠的，隐藏变量可能会决定它们中的一个特性，但它们不会决定另一个粒子的特性。
此时我们就会发现：用类似于硬币的情景描述量子纠缠是不准确的。
爱因斯坦、波多尔斯基和罗森就是试图通过这一种类比来证明量子纠缠是基于局部隐藏变量的理论的错误之处。
他们提出了三个看起来很合理的假设：真实性，局部性和完备性。
真实性意味着观察物理量的结果只取决于事实中存在的局部隐藏变量，而不是任意的选择。
局部性是指没有任何信息可以通过超越局部影响区域来传播。
完备性是指所有可能性都被考虑到了。
然而，事实证明，爱因斯坦等人的假设不能同时成立，而且实验结果违反了贝尔不等式。
史上最牛量子力学
史上最牛量子力学
量子力学是20世纪物理学的一大突破，也是目前最前沿的领域之一。
它涉及到微观粒子和系统的行为，挑战了我们对自然规律的经典认识。
在这个领域中，有很多令人惊叹的成就，以下是史上最牛的几个：
1. 波尔原子模型：丹麦物理学家尼尔斯·玻尔在1913年提出了电子绕着原子核运动的模型，这个模型成为了现代原子物理学的基础之一。
2. 海森堡不确定性原理：德国物理学家维尔纳·海森堡在1927年提出了不确定性原理，它表明对于一些物理量，比如位置和动量，我们无法同时准确地知道它们的值。
这个理论挑战了牛顿力学的经典观念。
3. 薛定谔方程：奥地利物理学家埃尔温·薛定谔在1925年提出了薛定谔方程，这个方程描述了微观粒子的行为，可以预测它们的位置和动量等量子量。
4. 爱因斯坦-波多尔斯基-罗森悖论：在1935年，爱因斯坦、波多尔斯基和罗森提出了一个悖论，表明根据量子力学的理论，两个粒子可以瞬间相互作用，即使它们之间的距离很远。
这个悖论至今还没有完全解决。
5. 贝尔定理：爱尔兰物理学家约翰·贝尔在1964年提出了贝尔定理，通过实验验证，表明量子力学的理论是正确的，而且不存在任何隐含变量。
这个定理展示了量子力学的神奇之处，也为量子通讯和
计算打下了基础。
这些成就不仅改变了我们对自然的认识，也对现代科技的发展产生了深远的影响。
未来，我们将继续探索量子世界的奇妙之处，开拓出更多的可能性。
量子理论若干基本问题研究的新进展
第21卷 第3期物 理 学 进 展Vol.21,No.3 2001年9月PRO GRESS IN PHYSICS Sept.,2001文章编号:1000Ο0542(2001)03Ο0317Ο44量子理论若干基本问题研究的新进展孙昌璞(中国科学院理论物理研究所,北京 100080)摘 要: 本文结合最近的典型量子物理实验,如用冷原子Bragg散射实现的“whichΟway”实验,量子退相干过程的微腔Q ED检验和C60分子的量子干涉等,比较系统地介绍了量子理论基本问题若干研究的新进展,特别强调了处于其核心的量子测量问题及其相关的基本概念和基本思想,如EPR佯谬和Bell不等式,量子退相干和量子纠缠。
从理论和实验结合的角度,本文阐述了被测系统和测量仪器的相互作用怎样导致量子测量的一般动力学过程。
由此还讨论了外部环境和内部运动怎样诱导量子退相干和量子耗散,对“薛定谔猫佯谬”和“宏观物体空间局域化描述”给出了可能的物理解释。
最后,通过具体例子,本文简单地讨论了量子物理基本问题的研究结果对量子信息的应用。
关键词: 量子测量;量子退相干;量子耗散;量子纠缠;EPR佯谬和Bell不等式;薛定谔猫佯谬中图分类号: O437 文献标识码: A0 引 言以量子力学为核心的量子物理,不仅代表了人类对微观世界基本认识的革命性进步,而且带来了许多划时代的技术创新(如半导体和激光器的发明),直接推动了社会生产力的发展,从根本上改变了人类的物质生活。
量子理论过去的成功并不意味着它是一个彻底完善的物理学理论。
自量子力学诞生以来,关于量子力学的思想基础和基本问题的争论,从来就没有停止过。
人们对于量子力学本身的完备性及其一些基本观念的理解,甚至持有截然不同的观点[1～3]。
最近,由于这些量子力学基本问题所涉及的观念,在信息科学可能有着重要的应用,再加上实验方面的飞速进展,量子力学基本问题的研究得到了物理学界更加广泛的重视[4]。
在1927年Solvay物理学会议上,爱因斯坦和玻尔开始了关于量子力学基本问题的论战[5],引发了一系列关于量子物理的思想观念的深入讨论。
量子若干基本问题研究
的波包中“选择”动量为p1 = q 的平面波。按照量子力学的哥本
哈根解释,这一“选择”对应仪器和波包间某种“不可控制的相互
作用”的结果。在这种“不可控制相互作用”影响下,可能有p1 = q ,也可能p1 = s , ⋯⋯等等。但令人奇怪的是:只要探测器量出p1 = q ,那末不论是否对粒子2 的波包进行测量与否,就必然有p2 = q ,描述粒子2 的波包也将自动发生塌缩现象。粒子1 和粒子2 的
。对处于| f > = ∑cn| n > 的系统进行连续的 两次测量:第一次测量A ,然后再测量与A 不对 易的B 。若| m > 是B 的本征函数,相应的本征 值为bm ,则在给定| n > 态上得到bm 的几率为 | < m | n > | 2 。由于在| Ψ > 上第一次测量 得到an 的几率为| cn| 2 ,则两次连续测量得bm
量,从源S 产生的粒子束经双 缝分束后在屏C 上发生干涉。
上述的干涉效应代表了粒子
的波动特征。双缝干涉实验
强调了物质波粒二象性的波 动性侧面。
EPR 佯谬与Bell 不等式
以下先扼要地介绍一下EPR 佯谬的基本思想: 考虑一个由两个粒子组成的复合系统。如果这一双粒子系统的始
态中总动量p = 0 ,那末在两个粒子分开后,按照动量守恒定律,第 一个粒子的动量p1 必定与第二个粒子动量p2 有关联,即p1 = p2 ,作反向飞行。但在未测量前,人们并不十分清楚p1 或p2 的方 向和它们的绝对值的大小。当探测器测到了粒子1 ,得到p1 = q 以 后,粒子2 必将处在p2 = - q 态上。问题是,在量子系统的测量过程
的几率为:
科学中最深刻的发现—贝尔不等式，一个决定上帝是否掷骰子的公式
科学中最深刻的发现—贝尔不等式，一个决定上帝是否掷骰子的公式上帝不掷骰子！爱因斯坦坚信斯宾诺莎的上帝，认为大自然规律就是“上帝”，但是量子力学中的不确定性原理让爱因斯坦感到不安，在和波尔的争论当中，爱因斯坦说出了那句名言——上帝不掷骰子！在1935年，爱因斯坦为了论证量子力学哥本哈根学派的不完备性，提出了著名的“EPR佯谬”，该佯谬经过玻姆简化后的版本为：一个母粒子分裂成两个相反方向的A粒子和B粒子，理论上A、B 具有相反的自旋方向，当A和B相聚很远后，量子力学的哥本哈根学派认为我们对任何一个粒子的测量，将会瞬间影响远在另一边的粒子，这在爱因斯坦看来是一种超距作用，爱因斯坦则认为两个粒子在分开时状态就是确定的，与你何时测量没有任何关系。
隐变量理论为了解决这个问题，爱因斯坦着手建立隐变量理论来代替不确定性原理，隐变量认为量子随机并非真正意义的随机，而是存在更深层的物理机制，只是我们还没发现这个机制而已，一旦我们发现了其中的机制，“不确定原理”也将变成确定的。
或许是爱因斯坦把精力都放在了统一场论当中，没有花太多精力在隐变量理论上，扛起隐变量理论大旗的是另外一位物理学家玻姆，玻姆使用超高的数学技巧打造了一个看起来可行的隐变量，但是其中的假设过于累赘，比如他假设了一个存在但是永远无法探测到的“势场”，与奥卡姆剃刀原理相悖，但是不管怎么样，隐变量理论是存在可能的。
然后一位数学大神出来捣乱了，说冯·诺依曼是20世纪最伟大的数学家之一，谁敢质疑？1932年时的冯·诺依曼已经名满天下，他在《量子力学的数学基础》一书当中，以纯数学的数理逻辑，否定了隐变量理论的存在，以他的威望，当时没有人质疑，于是隐变量理论逐渐被人们冷漠了。
直到20多年后，才有人发现冯·诺依曼的错误，冯·诺依曼的论证依赖于五个假设，前面四个假设是没有问题的，问题出在第五个假设，数学描述为（A+B+C，ψ，Y）=（A，ψ，Y）+（B，ψ，Y）+（C，ψ，Y），而且是非常低级的错误，换个比喻，该假设的意思是指“一个班学生的平均身高为170cm，那么班级上所有人的身高都是170cm。
量子力学中的贝尔不等式与量子非实在性
量子力学中的贝尔不等式与量子非实在性引言：量子力学是描述微观世界的基本理论，它在过去一个世纪中取得了巨大的成功。
然而，量子力学中的一些概念和现象却挑战了我们对于现实的直觉和常识。
其中一个引起广泛讨论的问题是贝尔不等式与量子非实在性的关系。
本文将探讨贝尔不等式的背景、含义以及与量子非实在性的关系。
一、贝尔不等式的背景贝尔不等式是由爱尔兰物理学家约翰·贝尔于1964年提出的，它是一种用于检验量子力学与局域实在论之间的矛盾的方法。
贝尔不等式的提出源于爱因斯坦、波多尔斯基和罗森的著名的EPR实验，该实验旨在验证量子力学的完备性。
EPR实验提出了“纠缠”的概念，即两个粒子之间存在一种特殊的关联，这种关联不受距离的限制。
二、贝尔不等式的含义贝尔不等式是一种用于检验局域实在论的方法。
在局域实在论中，物理量的值是独立于观测者的选择的，而在量子力学中，物理量的值是由观测者的选择决定的。
贝尔不等式的基本思想是通过比较实验结果与局域实在论的预测来检验量子力学的非局域性。
三、贝尔不等式与量子非实在性的关系贝尔不等式的违背表明了量子力学中存在一种非局域性，即量子纠缠现象。
量子纠缠是指两个或多个粒子之间的状态是相互关联的，无论它们之间的距离有多远。
这种关联不仅仅是一种相互依赖的关系，而是一种非常特殊的关系，被称为“非实在性”。
量子非实在性的概念源于量子力学的测量理论。
根据量子力学的测量理论，当我们对一个量子系统进行测量时，我们不能同时确定其位置和动量，或者同时确定其自旋在不同方向上的取值。
这种不确定性被称为海森堡不确定性原理。
然而，当两个纠缠的粒子之间进行测量时，它们的测量结果是高度相关的，即使它们之间相隔很远。
这种相关性违背了经典物理学的局域实在论，表明量子力学中存在一种非局域性。
四、实验验证贝尔不等式的违背贝尔不等式的违背已经在实验中得到了验证。
实验中使用的是纠缠态的光子对，通过测量它们之间的关联性来验证贝尔不等式的违背。
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,
, Sz
表象中）
(,, )
(,
,
S
z
)
(,
2 , 2
)
1(, 2 (,
) )
于是可推得 Jˆ 2 的本征值 j(j 1) 2
jl1 2
(ljmj (,,Sz ))
1 2l 1
lm1 lm
Yl,m Yl,m1
mj m 1 2 l m l 1
jl1 2
(ljmj (,,Sz ))
称为Bell基。它们也都是纠缠态。
8.9 8.12
第 二 十 二讲
Ⅴ. 爱因斯坦-帕多尔斯基-罗森佯谬 和 Bell 不等式
A. Einstein-Podolsky-Rosen 佯谬 B. 贝尔不等式 ( Bell Inqualities )
Ⅵ. 全同粒子交换不变性－波函数具有确 定的交换对称性
jl 1 2
m
j
m
1 2
lm1
1 lm
1
S,l, j,mj
l,m S,
l,m 1 S,
2l 1
2 2l 1
2
jl 1 2
1 mj m 2
lm
1 lm1
1
S,l, j,mj
l,m 2l 1
S, 2
l,m 1 S,
2l 1
2
即从 A 表象 (S2,L2,J2,Jz )
SAB B 表象 (L2,Lz ,S2,Sz )
Jˆ znljmj m jnljmj
Hˆ nljmj Enljnljmj
B. 碱金属的双线结构 碱金属原子有一个价电子，它受到来
自原子核和其他电子提供的屏蔽库仑场的 作用。所以，价电子的哈密顿量为
Hˆ Pˆ 2 V(r) (r)Lˆ Sˆ 2
Hˆ E
1 1 dV(r) (r) 22c2 r dr
如选力学量完全集 (Hˆ ,Lˆ2,Jˆ 2,Jˆ z ) （运动 常数的完全集），则
nljmj Rnlj(r)ljmj (, )
Jˆ 2 Lˆ Sˆ 2 Lˆ 2 2Sˆ Lˆ Sˆ 2
所以
(Sˆ
Lˆ )ljmj
1 2
(Jˆ 2
Lˆ 2
Sˆ 2 )ljmj
l 2
2ljm j
l1 2
例 (x1,x2 ) (x1 x2 )
该态在动量表象中的表示为
(p1,p2 )
1 2
ei ( p1x1 p2x2
)
/
(x1
x2
)dx1dx2
21ei(p1p2 )x2 / dx 2
p1 p2
爱因斯坦等认为，当测量第一个粒子
的坐标，测得值为 x0
则第二个粒子的坐标必为 x0
测量第二个粒子的动量，测得值为
C. 1z2z , 1x2x 表象中两自旋
为 1 2 的粒子的自旋态--Bell基
Ⅲ. 碱金属的双线结构 A. 总角动量 1.总角动量引入
当考虑电子具有自旋后，电子在中心 力场中的哈密顿量为
Hˆ 1 Pˆ 2 V(r) (r)Lˆ Sˆ 2
(r)
1 2m2c2
1 r
dV(r) dr
由于自旋－轨道耦合项的存在，Lˆ 和 Sˆ 都不是运动常数. 因此，( Hˆ , Lˆ2, Lˆ z ,Sˆ z )不 能构成力学量完全集
如 bˆ 与 z 轴间的夹角为 ，则
由
σˆ b2 σˆ x2 sinθ σˆ z2 cosθ
得
C(aˆ,bˆ ) 1 2
σˆ x2 sinθ σˆ z2 cosθ
ˆ x2 sin ˆ z2 cos
而
σˆ x
所以
C(aˆ,bˆ ) cosθ
( aˆ bˆ )
1. 对两个处于自旋单态的粒子，在三 个不同方向测量它们的自旋
根据定域隐变量理论，它们的关联测 量平均值的关系为
C(aˆ, bˆ ) C(aˆ, cˆ) C(bˆ , cˆ) 1
这称为 Bell 不等式。
论证：令关联量
g a1b2 (1 b2c2 )
在定域隐变量理论中，对第一个粒子 的测量将不影响第二个粒子的状态。每个 粒子同时有确定的自旋分量。因此，在这 理论中，沿三个方向的自旋分量都有确定 值。当然，重复的测量值可以是不同的。
g 的平均值为 g ˆ a1ˆ b2 ˆ a1ˆ c2 C(aˆ,bˆ ) C(aˆ,cˆ)
于是有
g g a1b2 (1 b2c2 )
a1b2 1 b2c2
(1 b1c2 )
所以，
C(aˆ, bˆ ) C(aˆ, cˆ) C(bˆ , cˆ) 1
而对这一关联测量平均值的关系，量 子力学的预言为
C(aˆ, bˆ ) C(aˆ, cˆ) C(bˆ , cˆ) cos(aˆ bˆ ) cos(aˆ cˆ) cos(bˆ cˆ)
若在测量时，取 aˆ,bˆ ,cˆ 三个方向共面，
且 aˆ bˆ ,
aˆ cˆ 2, bˆ cˆ
于是
C(aˆ, bˆ ) C(aˆ, cˆ) C(bˆ , cˆ) cos cos 2 cos
A. 交换不变性 B. 全同粒子的波函数结构，泡利原理
C. 全同粒子的交换不变性的后果
Ⅴ. 爱因斯坦-帕多尔斯基-罗森佯谬 和 Bell 不等式 A. Einstein-Podolsky-Rosen 佯谬
爱因斯坦，帕多尔斯基和罗森认为： 两个粒子构成一个量子力学态。对一个粒 子的测量将直接得知另一个粒子的状态
1
lm
ห้องสมุดไป่ตู้
2l 1 l m 1
Yl,m
Yl,m1
mj m 1 2 l 1 m l
由此可见，Jˆ z 取确定值 mj ，而 Sˆ z , Lˆ z 不具有确定值，它们取值为
1
1
2 m
2 (m 1)
事实上，上述就是基矢 Lˆ2,Sˆ 2,Jˆ 2,Jˆ z 以 Lˆ2,Sˆ 2,Lˆ z ,Sˆ z 基矢展开。
但
[Lˆ z Sˆ z , Lˆ Sˆ ] 0
[Lˆ Sˆ, Lˆ Sˆ] 0
引入 Jˆ Lˆ Sˆ
显然
[Jˆ i , Jˆ j] iijkJˆ k
对于有心势， Hˆ ,Lˆ 2,Jˆ 2,Jˆ z 彼此对易。 因此可作为力学量的完全集。
2. (Lˆ2, Jˆ2,Jˆz )的共同本征矢的表示（在
显然，在这个态中，测量第一个粒子
（在 z 方向）得到某一结果，则知道第 二个粒子随之测量（在 z方向）的结果。
现考虑对它们的自旋沿不同方向进行
相继测量。第一个粒子沿 aˆ 方向测量，
第二个粒子沿 bˆ 方向测量。它们的测量
结果都为 1
如 aˆ ，bˆ 方向相同，则平均值为 1 如 aˆ ，bˆ 方向不相同，这一相关联测量
爱因斯坦等人进一步认为，由于我们 的测量并未接触到第二个粒子，所以测量 第一个粒子自旋前，第二个粒子的状态应 当与测量第一个粒子自旋后是相同的。所
以第二个粒子的自旋 Z分量的值，应当是 确定的，甚至是在测量第一个粒子自旋 Z 分量前就有确定值。
我们又可将这一论证应用于对第一个 粒子自旋 X 或 Y 分量的测量，从而也 推得，测量第一个粒子自旋或分量前，第 二个粒子的自旋 X 或 Y 分量也有确定的 值。这是与量子力学的描述相矛盾的。
a,b 就是平常称的幺正变换系数
A B (S† )BA
A
(S† )AB
Sˆ AB
1
1
2 l, j,mj l,ml , 2 ms
于是在中心势中，考虑了电子的自
旋，则其特解
R nljmj
nlj ljmj
Lˆ 2nljmj l(l 1)2nljmj
Jˆ 2nljmj j( j 1)2nljmj
2．对两个处于自旋单态的粒子，在四 个不同方向测量它们的自旋
根据定域隐变量理论，它们的关联测 量平均值的关系为
C(aˆ,bˆ ) C(aˆ,cˆ) C(aˆ,bˆ ) C(aˆ, cˆ) 2
p0
第一个粒子的动量必为
p0
所以，xi , pi都是物理实在（即都有确
定值），且坐标和动量可同时具有确定值
这与两个自旋为 1 2 的粒子处于自 旋 S 0 的态的状况是等价的
考虑两个自旋为 1 2 的粒子处于自旋 单态。
一旦测得第一个粒子的自旋 Z 分量 ，那直接允许我们去推断第二个粒子的自 旋 Z 分量，它始终与第一个粒子的自旋 相反。
爱因斯坦，帕多尔斯基和罗森则认为 若用态矢量来作为量子力学的描述是 不完全的。态矢量必须被补充或被某额外 的‘隐变量’所替代。自旋分量必然是这
.
些‘隐变量’的函数，所以，自旋分量能 同时确定。
量子力学否定这一假设，认为即使两 个粒子离开很远，对第一个粒子的测量将 影响第二个粒子的状态；另外，粒子本身
2ljm j
jl 1 2
jl 1 2
Hˆ nljm j Enlj nljm j
可表为
2 1 d2
l(l 1) 2
2 r dr2 (Rnljr) 2r2 Rnlj V(r)Rnlj
l 2 l 2
2(r)Rnlj 1 2(r)Rnlj
EnljRnlj
因 (r) 0 。因此，
j l 1 2
j l 1 2
如令
S S1 S2
则 Sˆ i 满足角动量的对易关系 [Sˆ i ,Sˆ j] iijk Sˆ k
并有
[Sˆ 2,Sˆ z ] 0
可选 (Sˆ 2,Sˆ z ) 为力学量的完全集。得
11 (1)(2)
10
1 [(1)(2) (1)(2)] 2
11 (1)(2)
00
1 [(1)(2) (1)(2)] 2