两个著名贝尔不等式的等价性
世界数学史上的十个著名不等式
数学史上的十个著名不等式在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩．下面择要介绍一些著名的不等式．一、平均不等式（均值不等式）设，，…，是个实数，叫做这个实数的算术平均数．当这个实数非负时，叫做这个非负数的几何平均数．当这个实数均为正数时，叫做这个正数的调和平均数．设，，…，为个正数时，对如下的平均不等式：，当且仅当时等号成立．平均不等式是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一．设，，…，是个正的变数，则（1）当积是定值时，和有最小值，且；（2）当和是定值时，积有最大值，且两者都是当且仅当个变数彼此相等时，即时，才能取得最大值或最小值．在中，当时，分别有，平均不等式经常用到的几个特例是（下面出现的时等号成立；（3），当且仅当时等号成立；（4），当且仅当时等号成立．二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）对任意两组实数，，…，；，，…，，有，其中等号当且仅当时成立．柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的，…，；，…，都表示实数）是：（1），，则（2）（3）柯西不等式是又一个重要不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位．三、闵可夫斯基不等式设，，…，；，，…，是两组正数，，则（）（）当且仅当时等号成立．闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式，当时得平面上的三角形不等式：右图给出了对上式的一个直观理解．若记，，则上式为四、贝努利不等式（1）设，且同号，则（2）设，则（ⅰ）当时，有；（ⅱ）当或时，有，上两式当且仅当时等号成立．不等式（1）的一个重要特例是（）．五、赫尔德不等式已知（）是个正实数，，则上式中若令，，，则此赫尔德不等式即为柯西不等式．六、契比雪夫不等式（1）若，则；（2）若，则下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解．如图，矩形OPAQ中，，，显然阴影部分的矩形的面积之和不小于空白部分的矩形的面积之和，（这可沿图中线段MN向上翻折比较即知）．于是有，也即七、排序不等式设有两组数，，…，；，，…，满足，则有，式中的，，…，是1，2，…，的任意一个排列，式中的等号当且仅当或时成立．以上排序不等式也可简记为：反序和乱序和同序和这个不等式在不等式证明中占有重要地位，它使不少困难问题迎刃而解．八、含有绝对值的不等式为复数，则，左边的等号仅当的幅角差为时成立，右边的等号仅当的幅角相等时成立，这个不等式也称为三角形不等式，其一般形式是，也可记为绝对值不等式在实数的条件下用得较多。
一元二次函数 、 方程和不等式(公式、定理、结论图表)-【口袋书】高考数学必背知识手册(新教材)
第二章一元二次函数、方程和不等式（公式、定理、结论图表）1．不等关系不等关系常用不等式来表示．2．实数a，b的比较大小文字语言数学语言等价条件a－b是正数a－b＞0a＞ba－b等于零a－b＝0a＝ba－b是负数a－b＜0a＜b3.重要不等式一般地，∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．4．等式的性质(1)性质1如果a＝b，那么b＝a；(2)性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；(3)性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；(4)性质4如果a＝b，那么ac＝bc；(5)性质5如果a＝b，c≠0，那么ac＝b c .5．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0⇒a n＞b n＞0(n∈N，n≥2)．6．基本不等式(1)有关概念：当a，b均为正数时，把a＋b2叫做正数a，b的算术平均数，把ab叫做正数a，b的几何平均数．(2)不等式：当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，等号成立．7.已知x、y都是正数，(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值S24.(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．8．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．9．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．10．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．11．三个“二次”的关系|b提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则>0，＋4a<0，解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R. 12．分式不等式的解法主导思想：化分式不等式为整式不等式类型同解不等式ax思考1：x －3x ＋2>0与(x －3)(x ＋2)>0等价吗？将x －3x ＋2>0变形为(x －3)(x ＋2)>0，有什么好处？提示：等价；好处是将不熟悉的分式不等式化归为已经熟悉的一元二次不等式．13．(1)不等式的解集为R (或恒成立)的条件设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c若ax 2＋bx ＋c ≤k 恒成立⇔y max ≤k 若ax 2＋bx ＋c ≥k 恒成立⇔y min ≥k14.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤(1)阅读理解，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系．(2)设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系(或表示成函数关系)．(3)解不等式(或求函数最值)．(4)回扣实际问题．思考2：解一元二次不等式应用题的关键是什么？提示：解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．<解题方法与技巧>1．作差法比较大小的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)；最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.典例1：已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小．[解]3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．∵x≤1得x－1≤0，而3x2＋1＞0，∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1.2.利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.典例2：若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：e(a－c)2＞e(b－d)2.[思路点拨]可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．[证明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.两边同乘以1(a－c)2(b－d)2，得1(a－c)2＜1(b－d)2.又e＜0，∴e(a－c)2＞e(b－d)2.3.对基本不等式的理解2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a、b都是正典例3：给出下面四个推导过程：①∵a、b为正实数，∴ba＋ab≥2ba·ab＝2；②∵a∈R，a≠0，∴4a＋a≥24a·a＝4；③∵x、y∈R，xy＜0，∴xy＋yx＝－－ 2.其中正确的推导为()A．①②B．①③C．②③D．①②③B[解]①∵a、b为正实数，∴ba、ab为正实数，符合基本不等式的条件，故①的推导正确．②∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴4a＋a≥24a·a＝4是错误的．③由xy＜0，得xy、yx均为负数，但在推导过程中将整体xy＋yx提出负号后，为正数，符合均值不等式的条件，故③正确．]4.利用基本不等式比较大小1．在理解基本不等式时，要从形式到内含中理解，特别要关注条件．等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.典例4：(1)已知a，b∈R＋，则下列各式中不一定成立的是()A．a＋b≥2ab B.ba＋a b ≥2C.a2＋b2ab ≥2ab D.2aba＋b≥ab(2)已知a，b，c是两两不等的实数，则p＝a2＋b2＋c2与q＝ab＋bc＋ca的大小关系是________．(1)D(2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac[解](1)由a＋b2≥ab得a＋b＝2ab，∴A成立；∵ba＋ab≥2ba·ab＝2，∴B成立；∵a2＋b2ab≥2abab＝2ab，∴C成立；∵2aba＋b≤2ab2ab＝ab，∴D不一定成立．(2)∵a、b、c互不相等，∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac.∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋.]5.利用基本不等式证明不等式1．条件不等式的证明，要将待证不等式与已知条件结合起来考虑，比如本题通过“1”的代换，将不等式的左边化成齐次式，一方面为使用基本不等式创造条件，另一方面可实现约分与不等式的右边建立联系．2．先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质(注意限制条件)，通过相加(乘)合成为待证的不等式，既是运用基本不等式时的一种重要技能，也是证明不等式时的一种常用方法．典例5：已知a，b，c是互不相等的正数，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c>9.[思路点拨]看到1a＋1b＋1c>9，想到将“1”换成“a＋b＋c”，裂项构造基本不等式的形式，用基本不等式证明．[证明]∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3≥3＋2b a ·a b＋2c a ·a c＋2c b ·b c＝3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴1a ＋1b ＋1c>9.6.利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值的关键是获得满足基本不等式成立条件，即“一正、二定、三相等”.解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话：若不正，用其相反数，改变不等号方向；若不定应凑出定和或定积；典例6：(1)已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值；(2)已知0<x <12，求y ＝12(1－2x )的最大值．[思路点拨](1)看到求y ＝4x －2＋14x －5的最值，想到如何才能出现乘积定值；(2)要求y＝12x (1－2x )的最值，需要出现和为定值．[解](1)∵x <54，∴5－4x >0，∴y ＝4x －2＋14x －5＝－－4x 3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，上式等号成立，故当x ＝1时，y max ＝1.(2)∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x (1－2x )≤14×＝14×14＝116∴当且仅当2x ＝1－2x x ＝14时，y max ＝116.7.利用基本不等式求条件最值1．本题给出的方法，用到了基本不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是经常使用的方法，要学会观察、学会变形．f (x )＝ax (b －ax )型．典例7：已知x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1y ＝1.求x ＋2y 的最小值．[解]∵x ＞0，y ＞0，8x ＋1y ＝1，∴x ＋2yx ＋2y )＝10＋x y ＋16yx ≥10＋2x y ·16yx＝18，＋1y＝1，＝16yx ，＝12，＝3时，等号成立，故当x ＝12，y ＝3时，(x ＋2y )min ＝18.8.利用基本不等式解决实际问题1．在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下思路和方法：(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数；(2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值；(4)正确写出答案．时，可用函数的单调性求解典例8：如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？[解]设每间虎笼长x m ，宽y m ，则由条件知，4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .法一：由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，所以26xy ≤18，得xy ≤272，即S max ＝272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．x ＋3y ＝18，x ＝3y ，＝4.5，＝3.故每间虎笼长为4.5m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．法二：由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y .∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝－32y ＝32y (6－y )．∵0<y <6，∴6－y >0.∴S ≤32(6－y )＋y 22＝272.当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.故每间虎笼长为4.5m ，宽为3m 时，可使每间虎笼面积最大．9.不等式恒成立问题对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下两种：(1)变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.(2)转化法求参数范围已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值的集合为B＝{y|m≤y≤n}，则(1)y≥k恒成立⇒y min≥k即m≥k；(2)y≤k恒成立⇒y max≤k即n≤k.典例9：已知y＝x2＋ax＋3－a，若－2≤x≤2，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，求a的取值范围．[思路点拨]对于含参数的函数在某一范围上的函数值恒大于等于零的问题，可以利用函数的图象与性质求解．[解]设函数y＝x2＋ax＋3－a在－2≤x≤2时的最小值为关于a的一次函数，设为g(a)，则(1)当对称轴x＝－a2<－2，即a>4时，g(a)＝(－2)2＋(－2)a＋3－a＝7－3a≥0，解得a≤73，与a>4矛盾，不符合题意．(2)当－2≤－a2≤2，即－4≤a≤4时，g(a)＝3－a－a24≥0，解得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2.(3)当－a2>2，即a<－4时，g(a)＝22＋2a＋3－a＝7＋a≥0，解得a≥－7，此时－7≤a<－4.综上，a的取值范围为－7≤a≤2.。
量子力学贝尔不等式
量子力学贝尔不等式量子力学贝尔不等式是描述量子力学的非局域性的一个重要工具。
它是由爱尔兰物理学家约翰·斯图尔特·贝尔在1964年提出的，也因此得名为“贝尔不等式”。
在量子力学中，一对粒子可以处于纠缠状态，即它们之间存在一种神秘的联系，无论它们之间有多远的距离，它们的状态总是相互关联的。
这种关联被称为“量子纠缠”，并且已经被实验证实。
然而，这种非局域性与经典物理学中的局域性原则似乎是相矛盾的。
经典物理学认为任何两个物体之间都必须通过某种介质进行相互作用，而这个介质传递信息速度有限，因此两个物体之间只能存在局域性联系。
为了解决这一矛盾，贝尔提出了一个实验方案，并推导出了一个数学公式来描述量子力学中非局域性的特征。
这个公式就是著名的“贝尔不等式”。
贝尔不等式基于一组假设：首先假设存在两个粒子A和B，在某个时刻同时发射出来，然后分别飞向两个测量器X和Y；其次假设这两个粒子之间存在纠缠关系，即它们的状态总是相互关联的。
最后，假设我们可以通过测量器X和Y来确定粒子A和B的状态。
根据这些假设，贝尔不等式可以写成以下形式：S <= 2其中S是一个数值，表示在一系列实验中观测到A和B之间的相关性。
如果S小于2，则说明A和B之间存在非局域性联系，即它们之间存在纠缠关系。
而如果S大于2，则说明A和B之间不存在非局域性联系，即它们之间不存在纠缠关系。
实验结果表明，在量子力学中，贝尔不等式成立的概率小于2。
这意味着量子力学中存在非局域性联系，即两个粒子之间可以通过超越空间距离的方式相互作用。
贝尔不等式对理解量子力学中的非局域性具有重要意义。
它揭示了经典物理学与量子力学之间的差异，并为我们提供了一种测试量子力学是否正确的方法。
此外，贝尔不等式还启发了科学家们探索更深入的量子现象，并为未来的量子技术发展提供了重要的理论基础。
总之，量子力学贝尔不等式是描述量子力学中非局域性的一个重要工具。
它揭示了经典物理学与量子力学之间的差异，并为我们提供了一种测试量子力学是否正确的方法。
贝尔不等式
苏晓强
• 哥本哈根：量子力学是完备的；但可能是 非定域的 • EPR：量子力学是不完备的，概率性来源 于我们对系统的了解有限，有一些尚未被 发现的所谓“隐变量”决定了测量结果
• 1964年，Bell得到一个不等式来定量化的描 述这种分歧 • 贝尔分析了EPR模型的玻姆简化版，发现 如果一个理论基于如下两点假设：
Aa, 1
Bb, 1
隐变量
• 两个测量之间的关联
Aa, Bb,
• 定义关联函数：P(a,b)表示沿(a,b)两方向测量结果 的关联函数
Pa, b ( )A(a, ) B(b, )d
其中，ρ(λ)为隐变量分布函数，满足：
• 根据反关联性： B(b, ) A(b, )
• 且满足：
A2 (b, ) 1
则，上式右边科写成：
d ( ) A(a, ) B(b, ) A(a, ) B(c, ) d ( ) A(a, ) A(b, ) A(a, ) A(b, ) A(b, ) B (c, ) d ( ) A(a, ) A(b, ) 1 A(b, ) B (c, )
• 注意： A(b, ) B(c, ) 1
A(a, ) A(b, ) 1
d ( ) A(a, ) A(b, ) 1 A(b, ) B(c, ) d ( )1 A(b, ) B(c, ) 1 P(b, c)
b B
b b AB
b A
B
b
b b AB
B A a A
b
科学中最深刻的发现—贝尔不等式,一个决定上帝是否掷骰子的公式
科学中最深刻的发现—贝尔不等式，一个决定上帝是否掷骰子的公式展开全文上帝不掷骰子！爱因斯坦坚信斯宾诺莎的上帝，认为大自然规律就是“上帝”，但是量子力学中的不确定性原理让爱因斯坦感到不安，在和波尔的争论当中，爱因斯坦说出了那句名言——上帝不掷骰子！在1935年，爱因斯坦为了论证量子力学根本哈根学派的不完备性，提出了著名的“EPR佯谬”，该佯谬经过玻姆简化后的版本为：一个母粒子分裂成两个相反方向的A粒子和B粒子，理论上A、B具有相反的自旋方向，当A和B相聚很远后，量子力学的根本哈根学派认为我们对任何一个粒子的测量，将会瞬间影响远在另一边的粒子，这在爱因斯坦看来是一种超距作用，爱因斯坦则认为两个粒子在分开时状态就是确定的，与你何时测量没有任何关系。
隐变量理论为了解决这个问题，爱因斯坦着手建立隐变量理论来代替不确定性原理，隐变量认为量子随机并非真正意义的随机，而是存在更深层的物理机制，只是我们还没发现这个机制而已，一旦我们发现了其中的机制，“不确定原理”也将变成确定的。
或许是爱因斯坦把精力都放在了统一场论当中，没有花太多精力在隐变量理论上，扛起隐变量理论大旗的是另外一位物理学家玻姆，玻姆使用超高的数学技巧打造了一个看起来可行的隐变量，但是其中的假设过于累赘，比如他假设了一个存在但是永远无法探测到的“势场”，与奥卡姆剃刀原理相悖，但是不管怎么样，隐变量理论是存在可能的。
然后一位数学大神出来捣乱了，说冯·诺依曼是20世纪最伟大的数学家之一，谁敢质疑？1932年时的冯·诺依曼已经名满天下，他在《量子力学的数学基础》一书当中，以纯数学的数理逻辑，否定了隐变量理论的存在，以他的威望，当时没有人质疑，于是隐变量理论逐渐被人们冷漠了。
直到20多年后，才有人发现冯·诺依曼的错误，冯·诺依曼的论证依赖于五个假设，前面四个假设是没有问题的，问题出在第五个假设，数学描述为（A+B+C，ψ，Y）=（A，ψ，Y）+（B，ψ，Y）+（C，ψ，Y），而且是非常低级的错误，换个比喻，该假设的意思是指“一个班学生的平均身高为170cm，那么班级上所有人的身高都是170cm。
贝尔不等式 知乎
1什么是贝叶斯不等式
贝叶斯不等式（Bayes's Inequality）是来自十八世纪英国数学家贝叶斯提出的数学不等式，它可以给予概率变量之间的不确定性最大、最小值上限，研究了概率空间中概率变量之间的联系。
2贝叶斯不等式的公式推导：
令$X$和$Y$是离散型离散变量，其关系可写为：
$$P(X<Y)=\sum_{x<y}P(X=x,Y=y)$$
又由马尔可夫的独立性，有：
$$\sum_{y}P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$$
再使用贝叶斯定理可求出，
$$P(X=x)=\sum_y P(X=x,Y=y)$$
上式代入$P(X<Y)$可得，
$$P(X<Y)=\sum_x\sum_y P(X=x,Y=y)$$
也就是贝叶斯不等式，
$$P(X<Y)\ge P(X)P(Y)$$
可推出最大上限，
$$P(X<Y)\le1+P(X)P(Y)$$
当两个变量完全独立时：$P(X)P(Y)=P(X)P(Y)=P(X,Y)$，那么贝叶斯不等式有：
$$P(X<Y)\ge P(X,Y)$$
3贝叶斯不等式的应用
贝叶斯不等式有着广泛的应用，它在算法学习中，起着重要的作用，对机器学习起到一个前提的作用。
应用到回归和分类学习中，用于计算目标变量和特征变量间的关系，用来判断某个属性是否为有效特征，也可用于特征选择中。
尤其是在病理学中，可以基于它进行疾病检测，只要把判断概率和贝叶斯不等式相结合，就可以把症状做出一定的判断来帮助诊断和医治。
它在贝叶斯预测中也有重要的作用，它能够给出预先未知信息的最大可能性，在很多理论和实际研究中有着丰富的应用。
赫尔德不等式的证明及其等价形式
赫尔德不等式的证明及其等价形式
赫尔德不等式是一个数学不等式，由德国数学家腓特烈·赫尔德于1971年提出，其上界是玎捷式不等式。
它描述了有限块上被定义的双变量实值函数f(x,y)的关系，是当特定双变量函数有一个立体极值点时的一种约束条件。
简单说，赫尔德不等式限制了函数的极值点的横向运动，阻止了极值点发生弹跳。
f(x, y)的偏导数之和大于或等于0
即，
∂f/∂x + ∂f/∂y ≥ 0
在求导时，可用分部定义将函数分为两部分。
假设函数f(x, y)在(x, y)处可被分成两部分，f*(x, y)和f*(x, y)：
f*(x, y) = f(x, y) + g(x, y)
此时，可将赫尔德不等式分成两部分：
两个式子的加和就是原有赫尔德不等式：
另一个等价的形式是：给定f(x,y ) ，设g (x ,y ) 为任意表面，且满足
则：
即满足f (x ,y ) ≤ g (x ,y ) 的表面时，赫尔德不等式中求出的偏导不小于表面g (x ,y ) 求出的偏导数乘积之和。
这就是赫尔德不等式等价形式。
赫尔德不等式有许多用途，比如在最优值问题中，判断一个约束函数的极值点的有效性；在拟合计算机中，用于检测算法是否满足约束条件；在最优控制中，用于约束毫无约束问题的状态变量；在信号处理中，用于检测过零点的有效性，等等。
赫尔德不等式是一个重要的技术性不等式，可以应用于许多不同的场合，是计算机科学的重要组成部分，可以用来解决极值问题，提高拟合准确性，做出控制决策，检测过零点效果等。
量子力学贝尔不等式
量子力学贝尔不等式量子力学贝尔不等式，是由物理学家约翰·贝尔在1964年提出的一个重要概念。
它揭示了量子力学中的一些非经典现象，引发了对于量子力学本质的深入讨论和研究。
贝尔不等式的提出，使得我们对于自然界的理解产生了深刻的影响。
在传统的经典物理学中，物体的性质是确定的，即物体的状态在任何时刻都是唯一确定的。
然而，在量子力学中，物体的状态并不是唯一确定的，而是存在着一种概率性。
这种概率性表现在量子力学的叠加原理中，即一个粒子可以同时处于多个状态之间。
这种现象挑战了我们对于世界的直观认识，引发了许多哲学和科学上的争议。
贝尔不等式是一个用来检验量子力学中非经典性的工具。
它通过一系列的实验来验证量子力学中的超越经典物理学的特性。
在这些实验中，贝尔不等式被用来检验量子纠缠现象。
量子纠缠是指两个或多个粒子之间存在一种特殊的关系，即使它们被分开，它们的状态仍然是相关的。
这种现象在经典物理学中是无法解释的，只有通过量子力学才能够得到合理的解释。
贝尔不等式的提出，揭示了量子纠缠现象的非经典性质。
在经典物理学中，贝尔不等式的取值是有一个上限的，而在量子力学中，这个上限被打破了。
这意味着量子力学中存在着一种超越经典物理学的特性，即量子纠缠现象是真实存在的，而不仅仅是一种数学上的抽象。
通过实验验证贝尔不等式，科学家们得以证实量子力学中的非经典性质。
这一结果对于我们理解自然界的本质产生了深远的影响。
量子力学的提出，揭示了世界的本质是复杂而深奥的，远远超出了我们的直觉和经验所能够理解的范围。
贝尔不等式的提出，不仅仅是对于量子力学的一个检验，更重要的是它引发了对于世界的本质进行重新思考的问题。
通过研究量子纠缠现象，我们或许能够更深入地理解自然界的奥秘，揭示其背后的规律和原理。
量子力学的发展，将为我们带来更多的惊喜和启发，促使我们不断深入探索自然界的奥秘。
在未来的研究中，我们将继续关注贝尔不等式及其在量子力学中的应用。
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J = ∑ a，b，x，yCa，b，x，yp(a，b|x，y)， 其中 Ca，b，x，y 是一个关于输入 x，y 和输出 a，b 的 函数 ， 函数的不同会有不同的贝尔不等式。 最简单的两系统的贝尔不等式协议可以描述如下 ： 两位游戏者 Alice 和 Bob 各有一个黑盒子分开在两地 ， 他们分别随机地对黑盒子进行输入 x，y， 黑盒子因此各 产生了一个比特的输出 ， 分别为 a，b， 游戏中禁止通讯。 根据 J 的表达式计算出实验中的结果。有趣的是即使有 人提前控制了 Alice 和 Bob 手中的盒子 ， 提前预设好了 各种结果 ，即通过局域隐变量的方法 ，贝尔不等式的 值始终无法超过经典的界限 JC，J ≤ JC。而当 Alice 和 Bob 使用量子的方法进行测量 ， 比如 Alice 和 Bob 共享 了一对纠缠对 ， 根据自己的随机输入对自己部分的系统 进行不同基的测量 ， 测量结果决定了输出 ， 这时是可以 产生超过经典界限的值 ， 也就是贝尔不等式会产生违背 J ＞ JC[6]。 在这一组贝尔不等式中 ， 有两个不等时较为著名 ， 分别是 CHSH 不等式和 CH 不等式。它们的表述形式如下 ： CHSH ： S = ∑ a，b，x，y(−1)a ⊕ b+xyp(a，b|x，y) − 2 CH ： S = pA(o|α1) + pB(o|β1) − p(o， o|α1， β1) − p(o，o|α2，β1) − p(o，o|α1，β2) + p(o， o|α2，β2) 正如我们刚才所说 ， 这两个不等式形式有所差别。 在 CHSH 中 ： a，b 分别指 Alice 和 Bob 的输出值 ，x，y 分别指 Alice 和 Bob 的输入值 ； a ⊕ b 指 (a+b)/2 的余数 ； p(a，b|x，y) 指在输入 x，y 的情况下输出 a，b 的条 件概率。 在 CH 中 ： p(o，o|α1，β1) 即 为 p(o，o|x，y)， 只看某种特定输出时的概率 ； pA(o|α1) 为 Alice 单方 输入 α1 的情况下 ， 单方面输出 o 的条件概率 ， 它包 含两种情况 ， 因此 pA(o|α) = p(o，o|α，β) + p(o，e|α，β)。 Bob 同理 ， 因此有 pB(o|β) = p(o， o|α， β) + p(e， o|α，β)。 这样便得到了如下简图 ：
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SCIENTIST
2016年第15期
图1
下面想要说明的是他们在无信号超光速传递（Nosignaling）的条件下是等价的。 无信号传递是指在贝尔 游戏中一端的输入不应该直接影响到另一端的输出 ， 反 之， 相隔很远的 Alice 和 Bob 则可以通过自己输出的不 同直接判断对方的输出是什么 ， 从而达到超光速传递信 息的功效 ， 而我们生活的世界便满足这一条件 ， 即无法 超光速传递信息 ， 量子力学所描述的问题也都在这一范 畴内。 首先把 CHSH 拆成分项 ： ∑ a，b，x，y(−1)a ⊕ b+xyp(a，b|x，y) = p(o， o|α1，β1) − p(e， o|α1，β1) − p(o， e|α1，β1) + p(e，e|α1，β1) +p(o， o|α2，β1) − p(e， o|α2，β1) − p(o， e|α2，β1) + p(e，e|α2，β1) +p(o， o|α1，β2) − p(e， o|α1，β2) − p(o， e|α1，β2) + p(e，e|α1，β2) −p(o， o|α2， β2) + p(e， o|α2， β2) + p(o， e|α2，β2) − p(e，e|α2，β2) ≤ 2 因为有 ： p(o，o|α，β) + p(e，o|α，β) + p(o，e|α， β) + p(e，e|α，β) = 1 所以 ： p(e， e|α， β) = 1 − p(o， o|α， β) − p(e， o|α，β) − p(o，e|α，β) 用 1 − p(o， o|α， β) − p(e， o|α，β) − p(o， e|α， β) 替换分项式中所有的 p(e， e|α， β) 项化简得 ：∑ a，b，x，y(−1)a ⊕ b+xyp(a，b|x，y) = 1 − 2p(e， o|α1， β1) − 2p(o， e|α1，β1) +1 − 2p(e， o|α2， β1) − 2p(o， e|α2， β1) +1 − 2p(e， o|α1， β2) − 2p(o， e|α1， β2) −1 + 2p(e， o|α2，β2) + 2p(o，e|α2，β2) 2 + 2[−p(e，o|α1，β1) − p(o，e|α1，β1) − p(e， o|α2， β1) −p(o， e|α2，β1) − p(e， o|α1， β2) − p(o，e|α1，β2) +p(e，o|α2，β2) + p(o，e|α2，β2)] ≤ 2 所以有 ： p(e， o|α1， β1) + p(o， e|α1， β1) + p(e， o|α2，β1) + p(o， e|α2，β1) +p(e， o|α1，β2) + p(o，e|α1，β2) − p(e，o|α2，β2) − p(o，e|α2， β2) ≥ 0--由于 CH 中输出项全部为 o， 则尽可能能消去 CHSH 中输出有 e 的项 ， 又因为 ： pA(o|α) = p(o， o|α， β) + p(o， e|α， β)
1900 年 ，普朗克提出量子概念 [1]，标志量子力学 正式提出。然而 ， 这个理论的创立与完善并非像牛顿经 典力学、麦克斯韦电磁理论以及爱因斯坦的相对论那么 顺风顺水 ， 自此理论建立至今 ， 质疑与反对者层出不穷 ， 他们的质疑与批判曾给量子力学的建立者们带来极大的 困难 ， 但也正是这些质疑与批判 ， 使量子力学在不断地 克服困难中得到完善修正 ， 从而使其变得比其他理论更 加强大和使人信服。 爱因斯坦坚信“上帝不掷骰子”[2]， 爱因斯坦同波 多尔斯基（Boris Podolsky）和罗森（Nathan Rosen） 共同在《物理评论》 （Physics Review）上发表了一篇 题为《量子力学对物理实在的描述可能是完备的吗》[3] 的论文 ， 从而提出著名的 EPR 佯谬。显然 ， 在爱因斯坦 看来 ， 量子力学对物理问题的描述实在是不完备的。为 了解决这一问题 ， 德布罗意、玻姆等人提出了一个叫做 局域隐变量的假说。这个假说是指在一个局域有限空间 内， 应当存在一个能描述一切但又尚未被人所发现的完 备理论 ， 能够解释量子理论对 EPR 佯谬的不完备描述。 简单地说 ， 就是对于我们观察者来说 ， 两个粒子的行为 看似随机 ， 实则受控于一个隐藏力量 ， 它在暗中作用于 粒子 ， 使其按早已确定好的行为发展 ， 再以看似随机的 样子出现在观察者面前。就好比赌博 ， 赌徒们看似觉得 赌局是公平随机的 ， 实则赌局早已被庄家操纵好 ， 只是 赌徒们不知道而已 ， 其中的庄家就是这里所说的局域隐 变量。 贝尔本是爱因斯坦确定论的忠实追随者 ， 其创造 贝尔不等式的目的本是出于拥护爱因斯坦的目的 ， 但令 他始料未及的是 ，1982 年巴黎奥赛光学研究所得到的 结果与量子论完全符合 ， 爱因斯坦的定域实在性以及确 定论错了 ， 此次实验和以后的大量实验都证明了现实的 非定域性并且否定了局域隐变量的假说 [4-5]。 贝尔不等式所说的并不是一个不等式 ， 而是一组。 这一组贝尔不等式形式不一 ， 但其在大体上的表意都差 不多 ， 尽管各自有微小的差别 ， 比如说在成立条件的差 别， 对于只有两个系统 ， 每个系统只有两个输入 ， 两个 输出的最一般形式的贝尔不等式为 ：
科学前论坛
两个著名贝尔不等式的等价性
孙浩瑜 西安高新第一中学 ， 陕西西安 710000
摘 要 量子力学因其反直觉的特点从诞生起就争议不断 ， 其中有爱因斯坦和波尔的著名争论。贝尔不等式的实 验证明了爱因斯坦局域隐变量假设的错误 ， 从而验证了量子纠缠这一非局域性的存在。而 CHSH 不等式和 CH 不等式 是其中两个非常著名的贝尔不等式 ， 本文将分析它们在无信号传递条件下的等价性特点。 关键词 量子力学 ； 贝尔不等式 ； 无信号传递 中图分类号 O4 文献标识码 A 文章编号 2095-6363（2016）15-0034-02