九年级数学下册2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质1教案

2.2 二次函数的图象与性质
第3课时 二次函数y =a (x -h )2的图象与性质
1．掌握二次函数y ＝ax 2与y ＝a (x －h )2(a ≠0)图象之间的联系；(重点) 2．能灵活运用二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的知识解决简单的问题．(难点) 一、情境导入
二次函数y ＝ax 2＋c (a ≠0)的图象可以由y ＝ax 2(a ≠0)的图象平移得到：
当c >0时，向上平移c 个单位长度； 当c <0时，向下平移－c 个单位长度． 问题：函数y ＝ (x －2)2的图象，能否也可以由函数y ＝ x 2平移得到？本节课我们就一起讨论．
二、合作探究
探究点：二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质
【类型一】 二次函数y ＝a (x －h )2的图象
顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y ＝－1
2x 2的图象相同的抛物线的解
析式为( )
A ．y ＝12(x －2)2
B ．y ＝1
2(x ＋2)2
C ．y ＝－12(x ＋2)2
D ．y ＝－1
2(x －2)2
解析：因为抛物线的顶点在x 轴上，所
以可设该抛物线的解析式为y ＝a (x －h )2(a ≠0)，而二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)与y ＝－12x 2的图象相同，所以a ＝－1
2，而抛物
线的顶点为(－2，0)，所以h ＝2，把a ＝－12，
h ＝2代入y ＝a (x －h )2得y ＝－1
2
(x ＋2)2.故选
C.
方法总结：决定抛物线形状的是二次项
的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题
【类型二】 二次函数y ＝a (x －h )2的性质
若抛物线y ＝3(x ＋2)2的图象上
的三个点，A (－32，y 1)，B (－1，y 2)，C (0，y 3)，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________________．
解析：∵抛物线y ＝3(x ＋2)2的对称轴为x ＝－2，a ＝3＞0，∴x ＜－2时，y 随x 的增大而减小；x ＞－2时，y 随x 的增大而增大．∵点A 的坐标为(－32，y 1)，∴点A 在抛物线上的对称点A ′的坐标为(2，y 1)．∵－1＜0＜2，∴y 2＜y 3＜y 1.故答案为y 2＜y 3＜y 1.
方法总结：函数图象上点的坐标满足解析式，即点在抛物线上．解决本题可采用代入求值方法，也可以利用二次函数的增减性解决．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题
【类型三】 二次函数y ＝a (x －h )2的图象与y ＝ax 2的图象的关系
将二次函数y ＝－2x 2的图象平移
后，可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象，平移的方法是( )
A ．向上平移1个单位
B ．向下平移1个单位
C ．向左平移1个单位
D ．向右平移1个单位
解析：抛物线y ＝－2x 2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y ＝－2(x ＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y ＝－2x 2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象．故选C.
方法总结：解决本题要熟练掌握二次函
数的平移规律．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题
【类型四】 二次函数y ＝a (x －h )2与三角形的综合
如图，已知抛物线y ＝(x －2)2的顶
点为C ，直线y ＝2x ＋4与抛物线交于A 、B 两点，试求S △ABC .
解析：根据抛物线的解析式，易求得点C 的坐标；联立两函数的解析式，可求得A 、B 的坐标．画出草图后，发现△ABC 的面积无法直接求出，因此可将其转换为其他规则图形的面积求解．
解：抛物线y ＝(x －2)2的顶点C 的坐标为(2，0)，联立两函数的解析式，得
⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋4，y ＝（x －2）2，解得⎩
⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝16.所以点A 的坐标为(6，16)，点B 的坐标为(0，4)．
如图，过A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，则S △ABC ＝S
梯形
ABOD －S △ACD －S △BOC ＝
12
(OB ＋AD )·OD －12OC ·OB －12CD ·AD ＝1
2(4＋
16)×6－12×2×4－1
2
×4×16＝24.
方法总结：解决本题要明确以下两点：
(1)函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解；(2)不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题
【类型五】 二次函数y ＝a (x －h )2的探究性问题
某抛物线是由抛物线y ＝－2x 2向
左平移2个单位得到．
(1)求抛物线的解析式，并画出此抛物线的大致图象；
(2)设抛物线的顶点为A ，与y 轴的交点
为B .
①求线段AB 的长及直线AB 的解析式； ②在此抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△ABC 为等腰三角形？若存在，求出这样的点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
解析：(1)抛物线y ＝－2x 2向左平移2个单位所得的抛物线的解析式是y ＝－2(x ＋2)2；(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式，即可得出其顶点A 和B 点的坐标，然后根据A ，B 两点的坐标即可求出直线AB 的解析式；②本题要分三种情况进行讨论解答．
解：(1)y ＝－2(x ＋2)2，图略；
(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式y ＝－2(x ＋2)2，可得A 点的坐标为(－2，0)，B 点的坐标为(0，－8)．因此在Rt △ABO 中，根据勾股定理可得AB ＝217.设直线AB 的解析式为y ＝kx －8，已知直线AB 过A 点，则有0＝－2k －8，k ＝－4，因此直线AB 的解析式为y ＝－4x －8；
②本题要分三种情况进行讨论：当AB ＝AC 时，此时C 点的纵坐标的绝对值即为AB 的长，因此C 点的坐标为C 1(－2，217)，C 2(－2，－217)；当AB ＝BC 时，B 点位于AC 的垂直平分线上，所以C 点的纵坐标为B 点的纵坐标的2倍，因此C 点的坐标为C 3(－2，－16)；当AC ＝BC 时，此时C 为AB 垂直平分线与抛物线对称轴的交点．过B 作BD 垂直于抛物线的对称轴于D ，那么在直角三角形BDC 中，BD ＝2(A 点横坐标的绝对值)，CD ＝8－AC ，而BC ＝AC ，由此可根据勾股定理求出AC ＝17
4，因此这个C
点的坐标为C 4(－2，17
4
)．
综上所述，存在四个点，C 1(－2，217)，C 2(－2，－217 )，C 3(－2，－16)，C 4(－2，－174
)． 方法总结：本题主要考查了二次函数图象的平移及等腰三角形的构成情况，主要涉及分类讨论、数形结合的数学思想方法的运用．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题
三、板书设计
二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质 1．二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质 2．二次函数y ＝a (x －h )2的图象与y ＝ax 2的图象的关系
3．二次函数y ＝a (x －h )2的图象的应用
本节课采用启发式、讨论式结合的教学方法，以问题的提出、问题的解决为主线，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，在引导分析时，给学生留出足够的思考时间和空间，让学生去联想、探索，从真正意义上完成对知识的自我建构. 另外，在教学过程中，采用多媒体辅助教学，直观呈现教学素材，从而更好地激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率.。