平面电磁波在无界媒质中的传播(一)

电波传播与天线
第四讲 平面电磁波在无界媒质中的传播（一）
昆明理工大学
平面电磁波在无界媒质中的传播（一）
在无源空间中，电磁场以振动的形式存在，并且向空间 传播，形成电磁波。 电磁场的波动性可用电磁场满足的波动方程来描述，而 波动方程是将麦克斯韦方程组进行适当变化后得到的。 电磁波传播的媒质环境包括， 无界：无障碍的自由空间 半无界：半无限大介质，属介质表面反、折射问题 有界：波导、传输线等 媒质性质有：无耗（非导电）和有耗（导电）。 在无限大非导电媒质(即 = 0)中，电磁波以均匀平面波 的形式传播。
l
波长：给定时刻，空间相位相差 2 的两平面间的距离。
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非导电媒质中的均匀平面波的传播特性
相速 三个不同时刻， Ex随kz变化的图形
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非导电媒质中的均匀平面波的传播特性
均匀平面波
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平面电磁波在无界媒质中的传播（一）
本讲首先根据麦克斯韦方程导出场矢量 E 、H 的波动
方程，在特定条件下求解波动方程，进而讨论平面电磁波 的传播特性。 波动方程 一维波动方程的解 非导电媒质中的均匀平面波的传播特性 非导电媒质中沿任意方向传播的均匀平面波
上式表明沿+z方向传播的均匀平面波可分为两组分量波： E x 和 H y 构成一组分量波， E 和 H x构成另一组分量波， y 这两组分量波彼此独立。 1 ˆ E ( z ) H ( z ) E ( z ) e E ( z ) 0 又因为 z 所以均匀平面波的电场和磁场相互垂直，且垂直于传播方 ˆ z 符合右手螺旋关系。 向； E 、 H 和 e
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非导电媒质中的均匀平面波的传播特性
沿+z方向传播的均匀平面波的电场与磁场间满足
1 ˆz E ( z ) H ( z) e
所以在讨论均匀平面波的传播特性时，只选择其中一个场量， 如 ，且只讨论一组分量波。 E 电场的 Ex 分量的瞬时形式为：
一维波动方程的解
在均匀媒质中传播单一频率的波时， 为常数 令 2 2 ，则 j jk 称为传播常 数，其中 k 则上述方程的通解为：
Ex ( z) A1e jkz A2e jkz
E y ( z) B1e jkz B2e jkz
1
瞬时形式：


1 ˆ y E xme j ( kz x ) e jt Re e E ˆ y xm cos(t kz x ) e

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非导电媒质中的均匀平面波的传播特性
平均功率流密度 在非导电媒质中沿+z方向传播的均匀平面波的平均功率流密 1 度： S ReE ( z ) H ( z )

2 1 1 ˆ Re E ( z ) ( ez E ( z ) 2 A ( B C ) ( A C ) B ( A B)C 1 ˆ ˆ Re ( E ( z ) E ( z ))ez ( E ( z ) ez ) E ( z ) 2 1 ˆz ( E ( z ) E ( z )) Re e 2 1 2 1 2 2 ˆz ˆz e E e ( Ex Ey ) 2 2 1 , v p 因为
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且 Ez 0 ， H z 0 。
d 2 H x ( z) 2 H x ( z ) 0 2 dz 2 d H y ( z ) 2 H ( z ) 0 y 2 dz
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2
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非导电媒质中的均匀平面波的传播特性
由于
1 1 ˆ ˆz e ˆx E x ( z ) H ( z ) ez E ( z ) e


ˆy e
E xme j ( kz x ) H ( z , t ) Re H ( z )e jt
jt x x 1 2
对于第一项的相位因子我们考虑等相位面 t kz constant 全微分上式 dt kdz 0 所以 v dz c 1 dt k
因此第一项表示向+z方向传播的波。 而第二项等相位面表示向-z方向传播的波， t tz Constant
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平面电磁波在无界媒质中的传播（一）
均匀平面波的概念 等相位面：电磁波传播的空间中相位相同的点构成的曲面 平面波：等相位面为无限大平面且垂直于波传播方向的电磁 波 均匀平面波：在与波传播方向垂直的平面内场强的相位和振 幅都相等，即等相位面和等振幅面均为平面且垂直于传播方 向 等相位面 均匀平面波是电磁波的一种理想情况。 x E 在距离波源很远的有限区域内，实际的 波传播方向 球面波就可以近似为平面波。平面波是 o z 所有电磁波问题的基本构成模块，更复 y H 杂的电磁波可认为是平面波的叠加。
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一维波动方程的解
将上述式子代入
ˆx e H x Hx ˆy e y Hy
H jE
和
E jH
中，
ˆz e H y H x ˆx ( ˆy e )e z z z Hz
所以可得：
同理可得：
2 E E 2 0 电场强度矢量的波动方程 t 齐次矢量波动方程 2H 2 H 2 0 磁场强度矢量的波动方程 t
2
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波动方程
对于时谐电磁场，在无源非导电媒质中，复数形式的麦克斯 韦方程为： H jE
E H t H E t H 0 E 0
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波动方程
H ( E ) ( ) 对第二式取旋度： t 2 2 由于矢量恒等式 ( E) ( E ) E E 又因为 ( H ) ( H ) 改变对空间变量和对时间变量的微分顺 t t 序 E ( ) t t 2 E 2 t
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波动方程
假设在无界空间中充满均匀、线性和各向同性的非导电媒 质的无源区域（不存在产生电场的电荷和电流），
r 0 均匀媒质：媒质参数与位置无关； r 0 线性媒质：媒质参数与场强大小无关； 0 各向同性媒质：媒质参数与场强方向无关。 此时，麦克斯韦方程为：

电波传播与天线 z=0平面的图形 第四讲 平面电磁波在无界媒质中的传播（一） 昆明理工大学
非导电媒质中的均匀平面波的传播特性
t=常数时，Ex 随空间坐标z的周期变化。 t 0, x 0, Ex ( z,0) Exm cos(kz)
Ex
o
Ex ( z,0) Emcoskz的曲线
z
一维波动方程的解
其中，
k



k


称为媒质的本征阻抗（波阻抗），由媒质参数决定。
ˆx E x ( z ) e ˆy E y ( z ) E ( z) e 1 H ( z ) 1 e ˆx E y ( z ) e ˆ y E x ( z ) e ˆz E ( z )
非导电媒质中的均匀平面波的传播特性
周期与波长 在z=常数的平面内， Ex 以角频率 随时间按余弦规律变化。 Ex Exm cos(t x ) Z=0平面上， ， 设 x 0, Ex (0, t ) Exm cost
T
2 /
周期T：给定位置上，时间相位相差 2 的两平面间的时间 间距。 T 2
E jH 0 H E 0
可推得：
2 E 2 E 0 2 2 H H 0
复矢量波动方程（齐次亥姆霍兹方程）
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Ex ( z) A1e jkz Exme jx e jkz j E y ( z ) B1e jkz E yme y e jkz
H x ( z ) C1e
H y ( z ) D1e
jkz
H xme e jkz
' j y
' jx
jkz
H yme e jkz
E x ( z, t ) Re E x ( z )e jt Re E xme j x e jkze jt E xm cos(t kz x )



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Ex 既是时间的周期函数，又是空间坐标的周期函数。
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对于任意给定时刻，当空间坐标增加一个波长时，波形 恢复原来的大小和相位。然而时间不断变化，因此波也不固 定，让观察点固定在恒定相位点，如图箭头所示。该点相应 于wt－kz＝常数。 表明随时间t的增加，空间坐标z也必须增加，以保证相 位恒定。 dz 1 v 所以得相位为常数的平面移动的速率， p dt k 其方向沿＋z方向， 1 在真空中， v p0 3 108 m / s c 0 0