初中八年级数学试卷_三角形的中位线
初中数学北师大版八年级下册第六章 平行四边形3.三角形的中位线-章节测试习题(3)
章节测试题1.【答题】如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【分析】本题考查三角形的中位线.【解答】∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC＝14，∴DE BC＝7，∵∠AFB＝90°，AB＝8，∴DF AB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，选B．2.【答题】如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD 的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是（）A. 50°B. 40°C. 30°D. 20°【答案】D【分析】本题考查三角形的中位线.【解答】∵P是BD的中点，E是AB的中点，∴PE是△ABD的中位线，∴PE AD，同理，PF BC，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠EFP（180°﹣∠EPF）（180°﹣140°）＝20°，选D．3.【答题】如图，在△ABF中，点C在中位线DE上，且CE CD，连接AC，BC，∠ACB＝90°，若BF＝20，则AB的长为（）A. 10B. 12C. 14D. 16【答案】D【分析】本题考查三角形的中位线.【解答】∵DE是△ABC的中位线，BF＝20，∴DE BF＝10，∵CE CD，∴CD DE＝8，∵∠ACB＝90°，∴AB＝2CD＝16，选D.4.【答题】如图，△ABC中，N是BC边上的中点，AM平分∠BAC，BM⊥AM于点M，若AB＝8，MN＝2．则AC的长为（）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】C【分析】本题考查三角形的中位线.【解答】延长BM交AC于D，如图所示：∵BM⊥AM于点M，∴∠AMB＝∠AMD＝90°，∵AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠DAM，在△BAM和△DAM中，，∴△BAM≌△DAM（ASA）．∴AD＝AB＝8，BM＝MD，∵N是BC边上的中点，∴MN为△BCD的中位线，∴DC＝2MN＝4，∴AC＝AD+DC＝8+4＝12．选C．5.【答题】如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（）A. 2B. 5C. 4D. 10【答案】A【分析】本题考查三角形的中位线.【解答】如图，过A作AH⊥BC于H.∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∵DE∥BC，∴AE＝CE，∴DE BC，∵DF⊥BC，∴DF∥AH，DF⊥DE，∴BF＝HF，∴DF AH，∵△DFE的面积为1，∴DE•DF＝1，∴DE•DF＝2，∴BC•AH＝2DE•2DF＝4×2＝8，∴AB•AC＝8，∵AB＝CE，∴AB＝AE＝CE AC，∴AB•2AB＝8，∴AB＝2（负值舍去），∴AC＝4，∴BC．选A．6.【答题】如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝2，点B为边AN上一动点，连接BC，△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE并延长交A'B于点F，连接A'E．当△A'EF为直角三角形时，AB的长为______．【答案】或2【分析】本题考查三角形的中位线.【解答】当△A'EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A'EF＝90°时，如图，∵△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴A'C＝AC＝2，∠ACB＝∠A'CB，∵点D，E分别为AC，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A'EF，∴∠ACB＝∠A'EC，∴∠A'CB＝∠A'EC，∴A'C＝A'E＝2，在Rt△A'CB中，E是斜边BC的中点，∴BC＝2AE'＝4，由勾股定理可得AB2＝BC2﹣AC2，∴AB；②当∠A'FE＝90°时，如图，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°，∴∠ABF＝90°，∵△A'BC与△ABC关于BC所在直线对称，∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，∴AB＝AC＝2．综上，AB的长为或2．故答案为或2．7.【答题】如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为______．【答案】2【分析】本题考查三角形的中位线.【解答】∵M，N分别是AB和AC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN BC＝2，MN∥BC，∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，∵点E是CN的中点，∴NE＝CE，∴△MNE≌△DCE（AAS），∴CD＝MN＝2．故答案为2．8.【答题】如图，△ABC的周长为16，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，M，N，P分别为DE，EF，DF的中点，则△MNP的周长为______．如果△ABC，△DEF，△MNP分别为第1个，第2个，第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是______．【答案】4；【分析】本题考查三角形的中位线.【解答】∵△ABC的周长为16，D、F、E分别为AB、AC、BC的中点，∴EF、DF、DE为三角形中位线，∴EF AB，DE AC，DF BC，∴EF+DE+DF（AB+AC+BC），即△DEF的周长是△ABC周长的一半，同理，△MNP的周长是△DEF的周长的一半，即△MNP的周长＝△ABC的周长的16＝4，以此类推，第n个小三角形的周长是第一个三角形周长的16＝，故答案为4；．9.【题文】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB的点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）当∠A为多少度时，FG⊥FH？并说明理由．【答案】（1）见解答；（2）当∠A＝90°时，FG⊥FH．理由见解答. 【分析】本题考查三角形的中位线.【解答】（1）证明：∵AB＝AC．∴∠ABC＝∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴DB＝EC，∵点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点，∴FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，∴FG BD，FH CE，∴FG＝FH；（2）解：如图，延长FG交AC于N，∵FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，∴FH∥AC，FN∥AB，∵FG⊥FH，∴∠A＝90°，∴当∠A＝90°时，FG⊥FH．10.【题文】如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF（AC﹣AB）；（2）如图2，△ABC中，AB＝9，AC＝5，求线段EF的长．【答案】（1）见解答；（2）2.【分析】本题考查三角形的中位线.【解答】（1）证明：在△AEB和△AED中，，∴△AEB≌△AED（ASA），∴BE＝ED，AD＝AB，∵BE＝ED，BF＝FC，∴EF CD（AC﹣AD）（AC﹣AB）；（2）解：如图，分别延长BE、AC交于点H，在△AEB和△AEH中，，∴△AEB≌△AED（ASA），∴BE＝EH，AH＝AB＝9，∵BE＝EH，BF＝FC，∴EF CH（AH﹣AC）＝2．11.【答题】如图，在中，，分别是，的中点，，是上一点，连接，，．若，则的长度为（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查的是三角形中位线定理和直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质求出FE，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】，，，；，分别是，的中点，为的中位线，，选B．12.【答题】如图，的周长为，点，都在边上，的平分线垂直于，垂足为，的平分线垂直于，垂足为，若，则的长为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出△BAE、△CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线．首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为32，及BC=12，可得DE=8，利用中位线定理可求出PQ．【解答】平分，，.，，，，同理，点是的中点，点是中点（三线合一），是的中位线，，，．选C．13.【答题】如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD＝20°，∠BDC＝70°，则∠NMP的度数为（）A. 50°B. 25°C. 15°D. 20°【答案】B【分析】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的判定和性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出∠PMN的度数．【解答】在四边形ABCD中，∵M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM AB，PN DC，PM∥AB，PN∥DC．∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∴∠PMN=∠PNM．∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+（180﹣70）°=130°，∴∠PMN25°．选B．14.【答题】已知，四边形ABCD中，AB=2，CD=3，M、N分别是AD，BC的中点，则线段MN的取值范围是（）A. 1＜MN＜5B. 1＜MN≤5C. ＜MN＜D. ＜MN≤【答案】D【分析】本题考查了三角形的中位线，解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形的中位线定理和三角形的三边关系求解．当AB∥CD时，MN最短，利用中位线定理可得MN的最长值，作出辅助线，利用三角形中位线及三边关系可得MN的其他取值范围．【解答】连接BD，过M作MG∥AB，连接NG．∵M是边AD的中点，AB=2，MG∥AB，∴MG是△ABD的中位线，BG=GD，MG=AB=×2=1；∵N是BC的中点，BG=GD，CD=3，∴NG是△BCD的中位线，NG=CD=×3=，在△MNG中，由三角形三边关系可知MG-NG＜MN＜MG+NG，即-1＜MN＜+1，∴＜MN＜，当MN=MG+NG，即MN=时，四边形ABCD是梯形，故线段MN长的取值范围是＜MN≤．选D．15.【答题】如图，点、、分别是的边、、的中点，连接、、得，如果的周长是，那么的周长是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系．由于D、E分别是AB、BC中点，则DE是△ABC的中位线，那么DE=AC，同理有EF=AB，DF=BC，于是易求△DEF的周长．【解答】、分别是的边、的中点，，同理，，．选B．16.【答题】如图，中，是的中点，平分，于点，若，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．延长BD交AC于H，证明△ADB≌△ADH，根据全等三角形的性质得到AH=AB=12，BD=DH，求出HC，根据三角形中位线定理计算即可．【解答】延长交于，平分，，，，，是中点，，，选C．17.【答题】如图，在四边形中，，，，分别是，，的中点，若，，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【分析】本题考查了三角形中位线定理和等腰三角形的判定与性质．中位线是三角形中的一条重要线段，由于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用．根据三角形中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可.【解答】，，，分别是，，中点，是的中位线，是的中位线，，，，．又，，，，，，．选A．18.【答题】已知△ABC的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2012个三角形的周长为（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本题考查相似三角形的性质.【解答】∵连接△ABC三边中点构成第二个三角形，∴新三角形的三边与原三角形的三边的比值为1：2，∴它们相似，且相似比为1：2，同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为1：2，即第三个三角形与第一个三角形的相似比为1：22，以此类推：第2012个三角形与原三角形的相似比为1：22011，∵周长为1，∴第2012个三角形的周长为1：22011．选C．19.【答题】如图，▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（）A. 3cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm【答案】B【分析】本题考查三角形的中位线.【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC；又∵点E是BC的中点，∴BE=CE，∴AB=2OE=2×3=6（cm），选B．20.【答题】如图，在中，，分别是，的中点，是线段上一点，连接，，若，，，则的长为______．【答案】18【分析】本题考查是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．根据直角三角形的性质得到DF=8，根据EF=1，得到DE=9，根据三角形中位线定理解答即可．【解答】，点是的中点，，，，、分别是，的中点，，故答案为．。
部编数学八年级下册专题18构造三角形中位线的常用技巧(解析版)含答案
专题18 构造三角形中位线的常用技巧（解析版）专题典例剖析及针对训练类型一 连接两中点构造中位线典例1如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 为BC 上的两点，FG ＝3，线段DG ，EF 的交点为O ，当线段FG 在线段BC 上移动时，三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是（ ）A ．15B ．12C ．9D ．6思路指引：连接DE ，过A 作AH ⊥BC 于H ．由于DE 是AB 、AC 的中点，利用三角形中位线定理可得DE ∥BC ，并且可知△ADE 的高等于12AH ，再结合等腰三角形三线合一性质，以及勾股定理可求AH ，那么△ADE 的面积就可求．而所求S △FOG +S 四边形ADOE ＝S △ADE +S △DOE +S △FOG ，又因为△DOE 和△FOG 的底相等，高之和等于AH 的一半，故它们的面积和可求，从而可以得到S △FOG +S 四边形ADOE 的面积．解：如图：连接DE ，过A 向BC 作垂线，H 为垂足，∵△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ，AH 分别是△ABC 的中位线和高，BH ＝CH =12BC =12×6＝3，∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，由勾股定理得AH ==4，∴S △ADE =12BC •AH 2=12×3×42=3，设△DOE 的高为a ，△FOG 的高为b ，则a +b =AH 2=2，∴S △DOE +S △FOG =12DE •a +12FG •b =12×3（a +b ）=12×3×2＝3，∴三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是S △ADE +S △DOE +S △FOG ＝3+3＝6．故选：D ．方法点睛：本题属中等难度题目，涉及到三角形中位线定理，解答此类题目时一般只要知道中点要作中位线，已知等腰三角形要作高线，利用勾股定理解答．针对训练1．如图，△ABC 的中线BD ，CE 相交于点0，F ，G 分别是BO ，CO 的中点，求证：EF ∥DG 且EF ＝DG ．解：连接ED ，FG .证四边形DEFG 是平行四边形，∴EF ∥DG 且EF ＝DG ．类型二 连接第三边构造中位线典例2（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若∠B ＝45°，BC ＝GH 的最小值为（ ）ABC DGF E DC B AABDE F G思路指引：连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH=12AF，求出AF的最小值即可解决问题．解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，∴GH=12 AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF==∴GH=即GH故选：D．方法点睛：本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．针对训练1．（2021秋•孟津县期末）如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减少C ．线段EF 的长不变D ．△ABP 和△CRP 的面积和不变思路指引：连接AR ，根据三角形的中位线定理可得EF =12AR ，根据AR 的变化情况即可判断．解：连接AR ，∵E ，F 分别是AP ，RP 的中点，∴EF =12AR ，∵当点P 在BC 上从点C 向点B 移动，点R 从点D 向点C 移动时，AR 的长度逐渐增大，∴线段EF 的长逐渐增大．S △ABP +S △CRP =12BC •（AB +CR ）．∵CR 随着点R 的运动而减小，∴△ABP 和△CRP 的面积和逐渐减小．观察选项，只有选项A 符合题意．故选：A ．方法点睛：此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 典例3 如图，点B 为AC 上一点，分别以AB ，BC 为边在AC 同侧作等边△ABD 和等边△BCE ，点P ，M ，N 分别为AC ，AD ，CE 的中点．（1）求证：PM ＝PN ；（2）求∠MPN 的度数．思路指引：（1）连接DC和AE，AE交CD于点M，证明△ABE≌△DBC，得到AE＝DC，利用中位线的性质证明PM＝PN；（2）根据中位线的性质把∠MPA+∠NPC转化成∠MCA+∠MAC，根据∠DMA＝∠MCA+∠MAC可知求出∠DMA度数即可．解：（1）连接DC和AE，AE交CD于点M，在△ABE和△DBC中，AB=BD∠ABE=∠DBCBE=BC∴△ABE≌△DBC（SAS）．∴AE＝DC．∵P为AC中点，N为EC中点，AE．∴PN=12DC．同理可得PM=12所以PM＝PN．（2）∵P为AC中点，N为EC中点，∴PN∥AE．∴∠NPC＝∠EAC．同理可得∠MPA＝∠DCA∴∠MPA+∠NPC＝∠EAC+∠DCA．又∠DQA＝∠EAC+∠DCA，∴∠MPA+∠NPC＝∠DQA．∵△ABE ≌△DBC ，∴∠QDB ＝∠BAQ ．∴∠DQA ＝∠DBA ＝60°．∴∠MPA +∠NPC ＝60°．∴∠MPN ＝180°﹣60°＝120°．方法点睛：本题主要考查全等三角形的判定和性质、中位线的性质、等边三角形的性质，解题的关键是找到“手拉手”全等模型．针对训练1.如图，分别以△ABC 的边AB ，AC 同时向外作等腰直角三角形，其中AB ＝AE ，AC ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，点G 为BC 的中点，点F 为BE 的中点，点H 为CD 的中点．探索GF 与GH 的数量关系及位置关系，并说明理由．解：连接BD ，CE ，易证△ABD ≌△AEC ，∴BD ＝ CE ，易证BD ⊥CE .由中位线性质可得GF ＝GH ，GF ⊥GH .类型三 取中点构造中位线（1）直接取一边中点典例4（2022春•武昌区期中）如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD 为AC 边上的高，E 为BC 边的中点，点F 在AB 边上，∠EDF ＝60°，若AF ＝2，BF =103，则BC 边的长为（ ）HG FEDCB AAB CDEFG HA ．163BCD 思路指引：过点D 作DM ⊥AB ，垂足为M ，取AB 的中点H ，连接EH ，DH ，根据已知可求出AB =163，先在Rt △ABD 中求出AD ，AH 的长，从而可得△ADH 是等边三角形，进而可得AD ＝DH ，∠ADH ＝∠AHD ＝60°，然后利用利用等腰三角形的三线合一性质求出AM 的长，从而求出DM ，DF 的长，最后证明手拉手模型﹣旋转型全等△ADF ≌△HDE ，从而利用全等三角形的性质可得DE ＝DF 进而利用直角三角形斜边上的中线，即可解答．解：过点D 作DM ⊥AB ，垂足为M ，取AB 的中点H ，连接EH ，DH ，∵AF ＝2，BF =103，∴AB ＝AF +BF =163，∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝∠CDB ＝90°，∵∠A ＝60°，∴∠ABD ＝90°﹣∠A ＝30°，∴AD =12AB =83，∵点H 是AB 的中点，∴AH ＝BH =12AB =83，∴AD ＝AH ，∴△ADH 是等边三角形，∴AD ＝DH ，∠ADH ＝∠AHD ＝60°，∴AM＝MH=12AH=43，∴DM=∵AF＝2，∴MF＝AF﹣AM＝2―43=23，∴DF∵点H是AB的中点，点E是BC的中点，∴EH是△ABC的中位线，∴EH∥AC，∴∠DHE＝∠ADH＝60°，∴∠ADH＝∠A＝60°，∵∠EDF＝∠ADH＝60°，∴∠ADH﹣∠FDH＝∠EDF﹣∠FDH，∴∠ADF＝∠HDE，∴△ADF≌△HDE（ASA），∴DE＝DF=∵∠CDB＝90°，∴BC＝2DE=故选：D．方法点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．针对训练1．（2022•长春一模）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E是CD的中点，点F是OA的中点，连结EF，则线段EF的长为 ．思路指引：取AD的中点M，连接FM，EM，构造三角形中位线，利用三角形中位线定理分别求得FM、EM的长度；然后利用勾股定理求得EF的长度．解：如图，取AD的中点M，连接FM，EM，∵点E是CD的中点，∴EM是△ACD的中位线．∴EM∥AC，EM=12AC＝4．同理，FM∥BD，FM=12OD=14BD＝3．在菱形ABCD中，AC⊥BD，则FM⊥ME．故在直角△EFM中，由勾股定理得到：EF5．故答案是：5．方法点睛：本题主要考查了菱形的性质和三角形中位线定理，解题过程中，巧妙地作出辅助线，利用三角形中位线定理求得直角三角形的两直角边的长度．（2）连接对角线，再取对角线中点典例5（2021秋•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC 和EF的关系是（ ）A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF思路指引：连接AC，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出EG=12BC，GF=12AD ，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD ，BC 和EF 的关系．解：如图，取AC 的中点G ，连接EF ，EG ，GF ，∵E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，∴EG ，GF 分别是△ABC 和△ACD 的中位线，∴EG =12BC ，GF =12AD ，在△EGF 中，由三角形三边关系得EG +GF ＞EF ，即12BC +12AD ＞EF ，∴AD +BC ＞2EF ，当AD ∥BC 时，点E 、F 、G 在同一条直线上，∴AD +BC ＝2EF ，所以四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则AD ，BC 和EF 的关系是AD +BC ≥2EF ．故选：B ．方法点睛：此题主要考查学生对三角形中位线定理和三角形三边关系的灵活运用，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．针对训练1．如图，在□ABCD 中，E 是CD 中点，F 是AE 的中点，FC 交BE 于点G（1）求证：GF ＝GC（2）求证：BG ＝3EG解：（1）取BE 的中点M ，∵FM ＝21AB ，∴FM //EC ，∴四边形 FMCE 为平行四边形，∴GF ＝GC（2）易证EG ＝MG ，∴EM ＝MB ，∴BG ＝3EG类型四 延长一边构造中位线典例6（2022秋•江北区校级期末）如图，在正方形ABCD 中，点E ，G 分别在AD ，BC 边上，且AE ＝3DE ，BG ＝CG ，连接BE 、CE ，EF 平分∠BEC ，过点C 作CF ⊥EF 于点F ，连接GF ，若正方形的边长为4，则GF 的长度是（ ）A B ．2C D 思路指引：延长CF 交BE 于H ，利用已知条件证明△HEF ≌△CEF （ASA ），然后利用全等三角形的性质证明GF =12BH ，最后利用勾股定理即可求解．解：延长CF 交BE 于H ，∵EF 平分∠BEC ，∴∠HEF ＝∠CEF ，∵CF ⊥EF ，∴∠HFE ＝∠CFE ，在△HEF 和△CEF 中，∠HEF =∠CEF EF =EF ∠HFE =∠CFE，∴△HEF ≌△CEF （ASA ），∴HF ＝CF ，EH ＝EC ，而BG ＝CG ，∴GF =12BH ，∵AE ＝3DE ，正方形的边长为4，∴AE ＝3，AB ＝CD ＝4，DE ＝1，在Rt △ABE 中，BE =5，在Rt △CDE 中，CE ＝HE ==∴BH ＝BE ﹣HE ＝5―∴GF =12BH 故选：C ．方法点睛：此题主要考查了全等三角形的性质与判定，也利用了正方形的性质，三角形的中位线的性质，有一定的综合性，对于学生的能力要求比较高．针对训练1．（2022•合肥一模）如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 是BC 中点，AD ⊥BD ，AC ＝7，AB ＝4，则DE 的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．32思路指引：延长BD 交AC 于H ，证明△ADB ≌△ADH ，根据全等三角形的性质得到AH ＝AB ＝4，BD ＝DH ，根据三角形中位线定理计算即可．解：延长BD 交AC 于H ，在△ADB 和△ADH 中，∠BAD =∠HAD AD =AD ∠ADB =∠ADH，∴△ADB ≌△ADH （ASA ）．∴AH ＝AB ＝4，BD ＝DH ，∴HC ＝AC ﹣AH ＝3，∵BD ＝DH ，BE ＝EC ，∴DE =12HC =32，故选：D ．方法点睛：本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．类型五 延长两边构造中位线典例7（2022秋•封丘县校级期末）如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，D 是BC 的中点AE ⊥BE ，AB ＝5，AC ＝3，则DE 的长为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．52思路指引：连接BE 并延长交AC 的延长线于点F ，易证明△ABF 是等腰三角形，则得AF 的长，点E 是BF 的中点，求得CF 的长，从而DE 是中位线，即可求得DE 的长．解：连接BE 并延长交AC 的延长线于点F ，如图，∵AE ⊥BE ，∴∠AEB ＝∠AEF ＝90°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠FAE ，∴∠ABE ＝∠AFE ，∴△ABF 是等腰三角形，∴AF ＝AB ＝5，点E 是BF 的中点，∴CF ＝AF ﹣AC ＝5﹣3＝2，DE 是△BCF 的中位线，∴DE =12CF =1．故选：A ．方法点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形．针对训练1．如图，AD 为△ABC 的外角平分线，且AD ⊥BD 、M 为BC 的中点，若AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长8．延长BD ，CA 交于点E ，易证AE ＝AB ，BD ＝ED ，∵BM ＝CM ，∴DM ＝21CE ＝21(AB ＋AC )＝15.类型六作平行线或倍长中线先构造8字全等再构造中位线典例7（2021秋•宛城区期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（ ）A．2.5B．3C．4D．5思路指引：如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，首先证明CH＝BD，∠ECH＝90°，解直角三角形求出EH，利用三角形中位线定理即可解决问题．解：作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∠ECH+∠A＝180°，∵∠A＝90°，∴∠ECH＝∠A＝90°，在△DNB和△HNC中，∠B=∠NCHBN=CN，∠DNB=∠HNC∴△DNB≌△HNC（ASA），∴CH＝BD＝4，DN＝NH，在Rt△CEH中，CH＝4，CE＝3，∴EH=5，∵DM＝ME，DN＝NH，EH＝2.5，∴MN=12故选：A．方法点睛：本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．针对训练：如图，AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，D、B、C在一条直线上，F为AE的中点．（1）求证：BF∥CE；（2）若AB＝2，DE＝5，求BF的长．思路指引：（1）延长AB交CE于G，求出△ACG是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AB＝BG，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明；（2）根据等腰直角三角形的性质求出CE、CG，再求出GE，然后求解即可．（1）证明：如图，延长AB交CE于G，∵AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，∴△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∴△ACG也是等腰直角三角形，∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AG，∴AB＝BG，∵点F是AE的中点，∴BF是△AGE的中位线，∴BF∥CE；（2）解：∵AB ＝2，DE ＝5，∴CG ＝AC =＝CE =＝∴GE ＝CE ﹣CG ＝=∵BF 是△AGE 的中位线，∴BF =12GE方法点睛：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质与定理并作辅助线构造出以BF 为中位线的三角形是解题的关键。
初中数学八年级下三角形中位线定理专项训练题集二
初中数学八年级下三角形中位线定理专项训练题集二一、单选题1、如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE=30°，DF=4，则BF的长为（）A、4B、8C、D、2、如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：其中正确的个数有（）A、1个B、2个C、3个D、4个3、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（）A、6B、5C、4D、34、如图，已知E、F、G分别是△ABC各边的中点，△EBF的面积为2，则△ABC 的面积为[ ]A、2B、4C、6D、85、下列长度的三条线段，能组成三角形的是[ ]A、1cm，2cm，3cmB、2cm，3cm，6cmC、4cm，6cm，8cmD、5cm，6cm，12cm6、下列说法中正确的有①等边三角形有三条对称轴；②四边形有四条对称轴；③等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则它的周长是17或22；④一个三角形中三个不同顶点的外角中至少有两个锐角[ ]A、4个B、3个C、2个D、1个7、现有两根棍子长分别为3厘米，5厘米，若要选第三根棍子，使其与前两根拼成一个三角形，则它的长可为[ ]A、1厘米B、2厘米C、5厘米D、10厘米8、有5根小木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm、6cm，任意取其中的3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的个数为[ ]A、5个B、6个C、7个D、8个9、将一张三角形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，这个新的图形可能是（）A、三角形B、平行四边形C、矩形D、正方形10、如果一个四边形的对角线相等，那么顺次连接这个四边形各边中点所得的四边形一定是（）A、梯形B、矩形C、菱形D、正方形11、已知△ABC中，动点P在BC边上由点B向点C运动，若动点P运动的速度为2cm/s，则线段AP的中点Q运动的速度为（）A、1cm/sB、2cm/sC、3cm/sD、4cm/s12、顺次连接四边形ABCD各边中点所成的四边形为菱形，那么四边形ABCD 的对角线AC和BD只需满足的条件是（）A、相等B、互相垂直C、相等且互相垂直D、相等且互相平分13、顺次连接等腰梯形各边中点所得的四边形一定是（）A、等腰梯形B、矩形C、菱形D、正方形二、填空题1、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M 是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN 与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是_______________．2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN= .3、请用割补法作图，将一个锐角三角形经过一次或两次分割后，重新拼成一个与原三角形面积相等的平行四边形（只要求用一种方法画出图形，把相等的线段作相同的标记）．4、如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，BC=8，则DE=_____________．5、如图所示，D，E分别为AB，AC的中点，BC=8cm，则DE=（）cm．6、如图所示，在△ABC中，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，则△DEF的面积为（）cm2．7、如下图，AB是⊙O的直径，D是AC的中点，OD∥BC，若BC=8，则OD=（）。
北师大版八年级数学下册重难点练习6.2三角形的中位线(解析版)
1. 三角形的三条中位线长分别为3cm ，4cm ，6cm ，则原三角形的周长为( )A ． 6. 5cmB ． 34cmC 26cmD ． 52cm2. 如图是屋架设计图的一部分,D 是斜梁AB 的中点,立柱BC,DE 垂直于横梁AC,AB=4 m,∠A=30°,则DE 等于 ( )A ． 1mB ． 2mC ． 3mD ． 4m 3. 如图,D,E 分别是AB,AC 的中点,BE 是∠ABC 的平分线,对于下列结论:①BC=2DE;②DE ∥BC;③BD=DE;④BE ⊥AC ．其中正确的是 ( )A ． ①②B ． ①②③C ． ①②④D ． ①②③④ 4. 如图，已知在△ABC 中，D 、E 分别是 AB 、AC 的中点，BC=6cm ，则DE 的长度是_____ cm ．5. 如图,吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC,已知E,F 分别是边AB,AC 的中点,量得EF=5米,他想把四边形BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡,则需要篱笆的长是__米.6. △ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，A′、B′、C′分别为EF 、EG 、GF的三角形的中位线第六章 平行四边形中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n个三角形的周长是__________________．7. 如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．（1）求证：DE=CF；（2）求EF长．8. 如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BC,AD边上,AF=BE,AE与BF交于点G,ED与CF交于点H.求证:GH∥BC且GH=12 AD．的1. 三角形的三条中位线长分别为3cm ，4cm ，6cm ，则原三角形的周长为( )A ． 6. 5cmB ． 34cmC 26cmD ． 52cm【答案】C【解析】∵三角形的三条中位线分别为3cm 、4cm 、6cm ，∴三角形的三边分别为6cm ，8cm ，12cm ，∴这个三角形的周长=6+8+12=26cm.2. 如图是屋架设计图的一部分,D 是斜梁AB 的中点,立柱BC,DE 垂直于横梁AC,AB=4 m,∠A=30°,则DE 等于 ( )A ． 1mB ． 2mC ． 3mD ． 4m 【答案】A【解析】∵点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC ，DE 垂直于横梁AC ，∴点E 是AC 的中点，∴DE 是直角三角形ABC 的中位线，根据三角形的中位线定理得：DE=12BC ， 又∵在Rt △ABC 中，AB=4m ，∠A=30°，∴BC=12AB=2m ． 故DE=12BC=1m. 3. 如图,D,E 分别是AB,AC 的中点,BE 是∠ABC 的平分线,对于下列结论:①BC=2DE;②DE ∥BC;③BD=DE;④BE ⊥AC ．其中正确的是 ( )三角形的中位线第六章 平行四边形A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】D【解析】∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE，DE∥BC，①、②正确；∵DE∥BC，∴∠DEB=∠EBC，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠DBE=∠EBC，∴∠DEB=∠EBD，∴BD=DE，③正确；∵点E是AC的中点，BE是∠ABC的平分线，∴BE⊥AC，④正确.4. 如图，已知在△ABC 中，D、E 分别是AB、AC 的中点，BC=6cm，则DE 的长度是_____ cm．【答案】3【解析】∵D、E 分别是AB、AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE=12BC=162=3cm．5. 如图,吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC,已知E,F分别是边AB,AC的中点,量得EF=5米,他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡,则需要篱笆的长是__米.【答案】25【解析】∵点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，EF=5米，∴BC=2EF=10米，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC ，∴BE=CF=12BC=5米， ∴篱笆的长=BE+BC+CF+EF=5+10+5+5=25米．故答案为：25．6. 如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，A′、B′、C′分别为EF 、EG 、GF 的中点，△A′B′C′的周长为_________．如果△ABC 、△EFG 、△A′B′C′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n 个三角形的周长是__________________．【答案】 (1). 16 (2). 64×(12)n−1【解析】∵如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，∴EF 、FG 、EG 为三角形中位线，∴EF=12BC ，EG=12AC ，FG=12AB ，∴EF+FG+EG=12（BC+AC+AB ），即△EFG 的周长是△ABC 周长的一半，同理，△A′B′C′的周长是△EFG 的周长的一半，即△A′B′C′的周长为14×64=16， 以此类推，第n 个小三角形的周长是第一个三角形周长的64×（12）n-1．7. 如图，等边△ABC 的边长是2，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，延长BC 至点F ，使CF=BC ，连接CD 和EF ．（1）求证：DE=CF；（2）求EF长．【解析】（1）证明：∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE BC，∵延长BC至点F，使CF=BC，∴DE FC，即DE=CF；（2）解：∵DE FC，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DC=EF，∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2，∴DC=EF=．8. 如图,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在BC,AD边上,AF=BE,AE与BF交于点G,ED与CF交于点H.求证:GH∥BC且GH=12 AD．【解析】证明：在平行四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，∵AF=BE，∴DF=CE，∴四边形ABEF和四边形CDFE都是平行四边形，∴BG=FG，CH=FH，∴GH是△FBC的中位线，∴GH∥BC，GH=12 BC，又∵BC=AD，∴GH=12 AD．的。
北师大版八年级下册数学 6.3三角形中位线定理的认识(含解析)
三角形中位线定理的认识一、选择题1、Rt△ABC两直角边的长分别为6cm和8cm，则连接这两条直角边中点的线段长为（）A．10cm B．3cm C．4cm D．5cm2、如图，点D、E、F分别为△ABC各边中点，下列说法正确的是（）A．DE=DFB．EF=ABC．S△ABD=S△ACD D．AD平分∠BAC3、如图，已知矩形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当P在BC上从B向C移动而R不动时，那么下列结论成立的是( )A .线段EF的长逐渐增大B .线段EF的长逐渐减少C .线段EF的长不变D .线段EF的长不能确定4、如图，已知四边形ABCD中，R、P 分别是BC、CD上的点，E、F分别是AP、RP的中点，当点P在CD上从C向D 移动而点R不动时，那么下列结论成立的是( )A .线段EF的长逐渐增大B .线段EF的长逐渐减少C .线段EF的长不变D .线段EF的长与点P的位置有关5、如图所示，吴伯伯家一块等边三角形的空地ABC，已知点E，F分别是边AB，AC的中点，量得EF=5米，他想把四边形BCFE用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长是（）A．15米B．20米C．25米D．30米6、如图，▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AD的中点，连接OE，如果AB=8，那么OE为（）A．6B．4C．3D．27、如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，则图中平行四边形共有（）个．A．2B．3C．4D．58、如图，在△ABC中，点D、E、F分别是三边的中点，那么平移△ADE可以得到（）A．△DBF和△DEF B．△DBF和△ABCC．△DEF和△CEF D．△DBF和△EFC9、如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD．若BD平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A．BC=2BE B．∠A=∠EDA C．BC=2AD D．BD⊥AC10、如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是AC的中点，那么的值是（）A．B．C．D．11、等边三角形的一条中线与一条中位线的比值是（）A．3：1B．：2D．：1C．：12、如图，D，E，F分别为△ABC三边的中点，且AB=AC≠BC，那么△DEF为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．不等边三角形13、如图，ABCD是等腰梯形，对角线AC与BD交于O点，AD=2，M、N分别是OB、OC的中点，AN与DM互相平分，则BC等于（）A．1B．2C．3D．414、如图1，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE沿线段DE向下折叠，得到图2．下列关于图2的四个结论中，不一定成立的是（）A．点A落在BC边的中点B．∠B+∠1+∠C=180°C．△DBA是等腰三角形D．DE∥BC15、三角形的三条中位线长分别为6，8，10，则该三角形为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定16、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AC、AB的中点，连DE、CE．则下列结论中不一定正确的是（）A．ED∥BC B．ED⊥AC C．∠ACE=∠BCE D．AE=CE二、填空题17、如图，为估计池塘岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB的中点M，N，测得MN=32m，则A，B两点间的距离是__________m.18、如图，若D，E分别是AB，AC中点，现测得DE的长为10米，则池塘的宽BC是__________米。
人教版初中数学八年级下册同步练习题18.1.2平行四边形的判定（4）——三角形的中位线
18.1.2平行四边形的判定(4)一一三角形的中位线课堂学习检测一、填空题：1.(1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边叫做三角形的中位线.(2)三角形的中位线定理是三角形的中位线三边，并且等于2.如图，△43。
的周长为64,E、F、G分别为WA AC.■的中点，』'、6'、C分别为研EG、GF的中点，△/'B'C的周长为.如果及7、4EFG、△』'B'C分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第〃个三角形的周长是•3.中，D、E分别为45、"。
的中点，若座=4,AD=3,AE=2,则■的周长为—二、解答题4.已知：如图，四边形/列中，E、F、G、日分别是/以Ba CD、以的中点.求证：四边形麽诳是平行四边形.5.已知：网的中线初、堡交于点。
F、G分别是缪、％的中点.求证：四边形力碰是平行四边形.综合、运用、诊断6.已知：如图，E为6BCD中庞'边的延长线上的一点，代CE=DC,连结如'分别交应；刃于点尺G,连结4C交初于。
连结必求证：AB=20F.7.已知：如图，在曲时中，£是⑦的中点，尸是/的中点，FC与BE交于G.求证：GF=GC.E CAD.8.已知：如图，在四边形曲％中，AD=BC, E 、尸分别是力C 、/边的中点，死'的延长线分别与如、BC的延长线交于〃、G 点.求证：/AHF=/BGF.拓展、探究、思考9.已知：如图，网中，力是此'边的中点，北'平分ZBAC, BELAE 于E 点，若AB=5, AC=7,求应Z 10.如图在中，D 、E 分别为』弥上的点，巨BD=CE, < "分别是庞、，的中点.过刎的直线交AB 于P,交如于。
线段#、40相等吗？为什么？A参考答案1.（1）中点的线段；（2）平行于三角形的，第三边的一半.2.16,64X（-）71-1.3.18.24.提示：可连结刃（或AC）.5.略.6.连结庞CE』ABnUABECnBF=FC.DABCD=>AO=OC,:.AB=20F.7.提示：取座的中点R证明四边形庭烈'是平行四边形.8.提示：连结』G取』C的中点M再分别连结依MF,可得£¥=成9.ED=\,提示：延长冏?，交/C于尸点.10.提示：AP^AQ,取网的中点&连接洌NH.证明zMW是等腰三角形，进而证明/AP4ZAQP.最新人教版八年级数学下册期中综合检测卷考试用时：120分钟，试卷满分：120分一、选择题（每小题3分，共30分）1.若式子后3在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A.xN3B.xW3C.x>3D.x<32.下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A.4,5,6B.l,1,a/2C.6,8,11D.5,12,233.下列各式是最简二次根式的是（）A.炯B.V7C.a/20D，V034.下列运算正确的是（）A.yfs-=B.=2?C.-'Jl=^2D.』（2一赃V=2-sf55.方程I 4x-8 I +Jx-y-m=O,当y>0时,m 的取值范围是（)A.O<m<lB.mN2C.mW2D.m<26.若一个三角形的三边长为6,8, x,则此三角形是直角三角形时，x 的值是（）A.8 B.10 C.2a /7 D.10 或 2妗7. 将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（ ）A.可能是锐角三角形B.不可能是直角三角形C.仍然是直角三角形D.可能是钝角三角形8. 能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ）A.AB〃CD, AD=BCB.AB=CD, AD=BCC.ZA=ZB, ZC=ZDD.AB=AD, CB=CD 9.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A.当AB=BC 时，它是菱形C.当ZABC=90°时，它是矩形 B.当ACLBD 时，它是菱形D.当AC=BD 时，它是正方形第9题图 第10题图第13题图 第15题图10.如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE=DF, AE 、BF 相交于点O, 下列结论：（1）AE=BF ； （2） AE±BF ； （3） AO=OE ； （4）S aaob =S 四边形 deof 中正确的有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个二、填空题（每小题3分，共24分）11.已知最简二次根式』4a+3b与'刈2a-b+6可以合并，则ab=.12.若直角三角形的两直角边长为a、b,且满足V«2-6a+9+I b-4I=0,则该直角三角形的斜边长为.2513.如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1=—n,8S2=2n,则S3=.14.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC±BD,且OB=OD,请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD成为菱形（只需添加一个即可）.15.如图，^ABC在正方形网格中，若小方格边长为1,则^ABC的形状是16.已知菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,ZBAD=120°,AC=4,则该菱形的面积是•17.AABC中，若AB=15,AC=13,高AD=12,则AABC的周长是.18.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A,C的坐标分别为A（10,0）,C（0,4）,点D是OA的中点，点P为线段BC上的点.小明同学写出了一个以OD为腰的等腰三角形ODP的顶点P的坐标（3,4）,请你写出其余所有符合这个条件的P 点坐标■三、解答题（共66分）19.（8分）计算下列各题:(1)(a/48-4J-)-(3J--2^5);(2)(2—迅严比•(2+V3)2016-2X|-^|-(-V3)°.220.（8分）如图是一块地，已知AD=4m,CD=3m,AB=13m,BC=12m,且CD±AD,求这块地的面积.21.（8分）已知9+血与9—应的小数部分分别为a,b,试求ab~3a+4b~7的值.22.（10分）如图，在等腰直角三角形ABC中，ZABC=90°,D为AC边上中点，过D点作DEXDF,交AB于E,交BC于F,若AE=4,FC=3,求EF的长.23.（10分）如图，^ABC是直角三角形，且ZABC=90°,四边形BCDE是平行四边形, E为AC的中点，BD平分ZABC,点F在AB上，且BF=BC.求证：(1)DF=AE；(2)DF±AC.24.（10分）如图，四边形ABCD是一个菱形绿地，其周长为402m,ZABC=120°,在其内部有一个四边形花坛EFGH,其四个顶点恰好在菱形ABCD各边的中点，现在准备在花坛中种植茉莉花，其单价为10元/r^,请问需投资金多少元？（结果保留整数）25.（12分）（1）如图①，已知△ABC,以AB、AC为边向^ABC外作等边AABD和等边△ACE,连接BE,CD,请你完成图形，并证明：BE=CD;（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）如图②，已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接BE,CD,BE 和CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题:如图③，要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离，已经测得ZABC=45°CAE=90°,AB=BC=100米，AC=AE,求BE的长.最新人教版八年级数学下册期末综合检测卷一、选择题（每小题3分，共30分）1.二次根式而i 、屈、应、Jx + 2、j40f 、J/ +》2中,最简二次根式有（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.若式子目有意义，则x 的取值范围为（）A.xN4B.x 尹 3C.x34 或 x 乂3D.x34 且 x 尹33.下列计算正确的是( )A.a /4 X ^/6=4a /6B 疝+痴=应C.何：屁22 D.J(-15)2=-154.在 RtAABC 中,ZACB=90° , AC=9, BC=12,则点 C 到 AB 的距离是( )A 36「12A,—— B.—5 25厂 9、30C. — D.----4 45.平行四边形ABCD 中,ZB=4ZA,则ZC=()A.18° B.36° C.72° D.144°6.如图，菱形ABCD 的两条对角线相交于O,菱形的周长是20 cm, AC : BD=4 : 3,则菱形的面积是（）A.12 cm 2 B.24 cm 2 C.48 cm 2 D.96 cm 2第6题图第8题图第10题图X =-17.若方程组（2工+*=3的解是.贝I直线y=—2x+b与y=x—a\x-y=a的交点坐标是（）A.（-l,3）B.（l,-3）C.（3,-1）D.（3,1）8.甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程s（m）与赛跑时间t（s）的关系如图所示，则下列说法正确的是（）A.甲、乙两人的速度相同B.甲先到达终点C.乙用的时间短D.乙比甲跑的路程多9.在我市举行的中学生春季田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示：成绩（m） 1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80人数124332这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（）A.1.70, 1.65B.1.70, 1.70C.1.65, 1.70D.3,410.如图，在^ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点，PE±AB于E,PF±AC 于F,M为EF中点，则AM的最小值为（）二、填空题（每小题3分，共24分）11.当x=时，二次根式x+1有最小值，最小值为12.已知a,b,c是^ABC的三边长,且满足关系式yjc2-a2-b2+\a-b\=O,则Z^ABC的形状为13.平行四边形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,AB=13,AC=10,DB=24,则四边形ABCD的周长为.14.如图，一次函数"灯x+bi y2=k2x+b2的图象相交于A（3,2）,则不等式（k2—/ci）x+b2 -bi>0的解集为第14题图第16题图第18题图15.在数据一1,0,3,5,8中插入一个数据X,使得该组数据的中位数为3,则x的值为16.如图,3XBCD中,E、F分别在CD和BC的延长线上,ZECF=60°,AE〃BD,EF1BC, EF=2,则AB的长是.17.（山东临沂中考）某中学随机抽查了50名学生，了解他们一周的课外阅读时间，结果如下表所示：时间（小时）4567人数1020155则这50名学生一周的平均课外阅读时间是小时.18.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD 上，下列结论：①CE=CF,②ZAEB=75°,③BE+DF=EF,④S正方形ABCD=2+0,其中正确的序号是.（把你认为正确的都填上）三、解答题（共66分）19.（8分）计算下列各题:(1)12V2-31-+a/18（2）先化简，再求值："+。
2020-2021学年北师大版八年级数学下三角形中位线定理习题含答案
三角形的中位线定理同步练习一．选择题（共7小题）1．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝，AD＝1，点M，N分别是边BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别是线段DM，MN的中点，则线段EF长度的最大值为（）A．2B．C．1D．【解答】解：∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF＝DN，∴DN最大时，EF最大，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB＝＝＝2，∴EF的最大值为1．故选：C．2．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD平分∠BAC，AD⊥BF于点D，点E为BC的中点，连接DE，则DE 的长是（）A．0.5B．0.75C．1D．2【解答】解：∵在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BF，AB＝3，∴点D是BF的中点，且AB＝AF＝3．∵AC＝5，∴FC＝AC﹣AF＝5﹣3＝2．又∵点E为BC的中点，∴DE是△BFC的中位线，∴DE＝FC＝＝1．故选：C．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，D、E分别为AC、AB边上的中点，连接DE并延长DE到F，使得EF＝2ED，连接BF，则BF长为（）A．2B．2C．4D．4【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝4，∴AB＝2BC＝8，∠ABC＝60°，∵E为AB边上的中点，∴AE＝EB＝4，∵D、E分别为AC、AB边上的中点，∴DE∥BC，∴∠AED＝∠AED＝60°，∴∠BEF＝∠ABC＝60°，在Rt△AED中，∠A＝30°，∴AE＝2DE，∵EF＝2DE，∴AE＝EF，∴△BEF为等边三角形，∴BF＝BE＝4，故选：C．4．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E，F分别是AB，CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝23°，则∠PFE的度数为（）A．23°B．25°C．30°D．46°【解答】解：在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E，F分别是AB，CD的中点，∴FP，PE分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PF＝BC，PE＝AD，∵AD＝BC，∴PF＝PE，故△EPF是等腰三角形．∵∠PEF＝23°，∴∠PEF＝∠PFE＝23°．故选：A．5．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，AE是∠BAC的外角平分线，ED∥AB交AC于点G，下列结论：①AD⊥BC；②AE∥BC；③AE＝AG；④AD2+AE2＝4AG2．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：连接EC，∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，故①正确；∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE平分∠F AC，∴∠F AC＝2∠F AE，∵∠F AC＝∠B+∠ACB，∴∠F AE＝∠B，∴AE∥BC，故②正确；∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴CD＝BD，∴AE＝CD，∵AE∥BC，∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AC＝DE，AG＝CG，DG＝EG，∴DG＝AG＝CG＝EG，在Rt△AED中，AD2+AE2＝DE2＝AC2＝(2AG)2＝4AG2，故④正确；∵AE＝BD＝BC，AG＝AC，∴AG＝AE错误（已知没有条件AC＝BC），故③错误；即正确的个数是3个，故选：C．6．如图，BD为△ABC的中线，E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，若BC的长为7，则BF的长为（）A．B．C．D．【解答】解：取FC的中点H，连接DH，∵CD＝DA，∴DH是△ACF的中位线，∴DH∥AF，∵BE＝ED，∴BF＝FH，∴BF＝FH＝HC＝BC＝，故选：A．7．如图，在△ABC中，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，若△ABC的面积是40，则四边形BDEF的面积是（）A．10B．12.5C．15D．20【解答】解：∵D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，∴S△ADE＝S△ADC，S△ADC＝S△ABC，S△DEF＝S△ADE，∴S△DEF＝S△ABC＝×40＝5，∵D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，∴S△ABD＝S△ABC＝40＝20，∴S△BDF＝S△ADB＝20＝10，∴四边形BDEF的面积＝S△BDF+S△DEF＝15，故选：C．二．填空题（共7小题）8．已知△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝7，点D、E、F分别为三边中点，则△DEF的周长为9．【解答】解：∵点D，E分别AB、BC的中点，∴DE＝AC＝3.5，同理，DF＝BC＝3，EF＝AB＝2.5，∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝9，故答案为：9．9．如图，点A（0，4），点B（3，0），连接AB，点M，N分别是OA，AB的中点，在射线MN上有一动点P，若△ABP是直角三角形，则点P的坐标是（4，2）或（，2）．【解答】解：∵点M、N分别是OA、AB的中点，点A（0，4），∴MN∥OB，MN＝OB＝1.5，OM＝2，①当∠APB＝90°时，在Rt△AOB中，AB＝＝＝5，∵∠APB＝90°，点N是AB的中点，∴PN＝AB＝2.5，则PM＝PN+MN＝4，∴点P的坐标是（4，2）；②当∠ABP＝90°时，过P作PE⊥x轴于E，连接AP，设BE＝x，则PM＝OE＝x+3，由勾股定理得，PB＝，AP＝，在Rt△ABP中，AP＝＝，则＝，解得，x＝，∴OE＝+3＝，∴P（，2），故答案为：（4，2）或（，2）．10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是．【解答】解：连接CM，∵点D、E分别为CN，MN的中点，∴DE＝CM，当CM⊥AB时，CM的值最小，此时DE的值也最小，由勾股定理得：AB＝＝＝5，∵S△ABC＝＝，∴CM＝，∴DE＝＝，故答案为：．11．如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E是AB的中点，OE＝3cm，则AD的长是6cm．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，∵点E是AB的中点，∴EO＝AD，∵OE＝3，∴AD＝6cm，故答案为：6．12．如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，∠B＝50°．先将△ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面内的点为A1，则∠BDA1的度数为80°．【解答】解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝50°（两直线平行，同位角相等）；又∵∠ADE＝∠A1DE，∴∠A1DA＝2∠B，∴∠BDA1＝180°﹣2∠B＝80°；故答案是：80°．13．如图，△ABC，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直AD，垂足为M，若BC＝16，MN＝3，则△ABC的周长为38．【解答】解：在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BE＝BA，AN＝NE，同理，CD＝CA，AM＝MD，∵AM＝MD，AN＝NE，MN＝3，∴DE＝2MN＝6，∵BE+CD﹣BC＝DE，∴AB+AC＝BC+DE＝22，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝22+16＝38，故答案为：38．14．如图，在四边形BCDE中，BC⊥CD，DE⊥CD，AB⊥AE，垂足分别为C，D，A，BC≠AC，点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，连接MN，MF，NF．当BC＝4，DE＝5，∠FMN＝45°时，则BE的长为．【解答】解：∵点M，N，F分别为AB，AE，BE的中点，∴MF，MN都是△ABE的中位线，∴MF∥AE，MN∥BE，∴四边形EFMN是平行四边形，∴∠AEB＝∠NMF＝45°，又∵AB⊥AE，∴∠ABE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝AE，∵BC⊥CD，DE⊥CD，又∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠EAD+∠BAC＝90°，∴∠ABC＝∠EAD，∵∠C＝∠D＝90°，∴△ABC≌△EAD（AAS），∴BC＝AD＝4，CA＝DE＝5，∴Rt△ABC中，AB＝＝，∴等腰Rt△ABE中，BE＝＝，故答案为：．三．解答题（共10小题）15．如图，在△ABC中，BD、CE是△ABC的中线，BD与CE相交于点O，点F、G分别是BO、CO的中点，连接AO．若AO＝6cm，BC＝8cm．求四边形DEFG的周长．【解答】解：∵BD，CE是△ABC的中线，∴ED∥BC且ED＝BC，∵F是BO的中点，G是CO的中点，∴FG∥BC且FG＝BC，∴ED＝FG＝BC═4cm，同理GD＝EF＝AO＝3cm，∴四边形DEFG的周长为3+4+3+4＝14（cm）．16．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB＝6，BC＝10，MN＝1.5，求△ABC的周长．【解答】解：延长线段BN交AC于E．∵AN平分∠BAC，在△ABN和△AEN中，∴△ABN≌△AEN（ASA），∴AE＝AB＝6，BN＝NE，又∵M是△ABC的边BC的中点，∴CE＝2MN＝2×1.5＝3，∴△ABC的周长是AB+BC+AC＝6+10+6+3＝25．17．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高．（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；（2）求证：∠DHF＝∠DEF．【解答】证明：（1）∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴DE、EF都是△ABC的中位线，∴EF∥AB，DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形；（2）∵四边形ADEF是平行四边形，∴∠DEF＝∠BAC，∵D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高，∴DH＝AD，FH＝AF，∴∠DAH＝∠DHA，∠F AH＝∠FHA，∵∠DAH+∠F AH＝∠BAC，∠DHA+∠FHA＝∠DHF，∴∠DHF＝∠BAC，∴∠DHF＝∠DEF．18．如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．（1）若AB＝6，CD＝8，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，求EF的长；（2）若∠BDC﹣∠ABD＝90°，求证：AB2+CD2＝4EF2．【解答】（1）解：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．∵E，F分别是AD、BC的中点，AB＝6，CD＝8，∴PE∥AB，且PE＝AB＝3，PF∥CD且PF＝CD＝4．又∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，∴∠EPD＝∠ABD＝30°，∠DPF＝180°﹣∠BDC＝60°，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝90°，在直角△EPF中，由勾股定理得到：EF＝＝＝5，即EF＝5；（2）证明：如图，取BD的中点P，连接EP、FP．∵E，F分别是AD、BC的中点，∴PE∥AB，且PE＝AB，PF∥CD且PF＝CD．∴∠EPD＝∠ABD，∠BPF＝∠BDC，∴∠DPF＝180°﹣∠BPF＝180°﹣∠BDC，∵∠BDC﹣∠ABD＝90°，∴∠BDC＝90°+∠ABD，∴∠EPF＝∠EPD+∠DPF＝∠ABD+180°﹣∠BDC＝∠ABD+180°﹣（90°+∠ABD）＝90°，∴PE2+PF2＝（AB）2+（CD）2＝EF2，∴AB2+CD2＝4EF2．19．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M、N，证明：∠BME＝∠CNE．【解答】证明：连接BD，取BD的中点H，连接HE，HF，∵E、F分别是BC、AD的中点，∴FH∥BM，FH＝AB，EH∥CN，EH＝CD，∴∠BME＝∠HFE，∠CNE＝∠HEF，∵AB＝CD，∴FH＝EH，∴∠HFE＝∠HEF，∴∠BME＝∠CNE．20．如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC＝BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F．你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？【解答】解：相等．理由如下：取AD的中点G，连接MG，NG，∵G、N分别为AD、CD的中点，∴GN是△ACD的中位线，∴GN＝AC，同理可得，GM＝BD，∵AC＝BD，∴GN＝GM＝AC＝BD．∴∠GMN＝∠GNM，又∵MG∥OE，NG∥OF，∴∠OEF＝∠GMN＝∠GNM＝∠OFE，∴OE＝OF．21．已知：△ABC中，D是BC上的一点，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，求证：EG、HF互相平分．【解答】证明：连接EH，GH，GF，∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，∴AB∥EH∥GF，GH∥BC，∴GH∥BF．∴四边形EHGF为平行四边形．∵GE，HF分别为其对角线，∴EG、HF互相平分．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，连接BE，点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点．（1）求证：FG＝FH；（2）当∠A为多少度时，FG⊥FH？并说明理由．【解答】（1）证明：∵AB＝AC．∴∠ABC＝∠ACB，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴DB＝EC，∵点F、G、H分别为BE、DE、BC的中点，∴FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，∴FG＝BD，FH＝CE，∴FG＝FH；（2）解：延长FG交AC于N，∵FG是△EDB的中位线，FH是△BCE的中位线，∴FH∥AC，FN∥AB，∵FG⊥FH，∴∠A＝90°，∴当∠A＝90°时，FG⊥FH．23．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；（2）如图2，△ABC中，AB＝9，AC＝5，求线段EF的长．【解答】（1）证明：在△AEB和△AED中，，∴△AEB≌△AED（ASA）∴BE＝ED，AD＝AB，∵BE＝ED，BF＝FC，∴EF＝CD＝（AC﹣AD）＝（AC﹣AB）；（2）解：分别延长BE、AC交于点H，在△AEB和△AEH中，，∴△AEB≌△AEH（ASA）∴BE＝EH，AH＝AB＝9，∵BE＝EH，BF＝FC，∴EF＝CH＝（AH﹣AC）＝2．24．如图，AD为△ABC的中线，BE为△ABD的中线．（1）在△BED中作BD边上的高，垂足为F；（2）若△ABC的面积为20，BD＝5．①△ABD的面积为10，②求△BDE中BD边上的高EF的长；（3）过点E作EG∥BC，交AC于点G，连接EC、DG且相交于点O，若S△ABC＝2m，又S△COD＝n，求S△GOC．（用含m、n的代数式表示）【解答】解：（1）作EF⊥BD垂足为F，（2）①∵AD为△ABC的中线，∴S△ABD＝S△ABC，∵△ABC的面积为20，∴△ABD的面积为10；②∵BE为△ABD的中线，∴S△BDE＝S△ABD＝5，∵BD＝5，∴EF的长＝2；③∵EG∥BC，BE为△ABD的中线，∴EG是△ACD的中位线，∴DG是△ACD的中线，∴S△BDE＝S△CDG，S△BDE＝S△CDG＝S△ABD＝S△ABC＝，∴S△GDC＝，又∵S△COD＝n，∴S△GOC＝S△GDC﹣S△COD＝．。
2021北师大版八年级数学下三角形的中位线练习题含答案
北师大版八年级数学下册三角形的中位线同步练习题A组(基础题)一、填空题1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为_____________．2．如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50 cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为________．3．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，已知∠ADE＝65°，则∠CFE的度数为________．4．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC为直角．若DF＝2 cm，BC＝16 cm，则AC的长为________cm.二、选择题5．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE.若∠ABC ＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为( )A．50° B．40° C．30°D．20°6．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为E，F是BC的中点．若BD＝10，则EF的长为( )A．8 B．10 C．5 D．47．如图，在△ABC中，D，E，F分别为BC，AC，AB边的中点，AH⊥BC于点H，FD＝8，则HE＝( )A．20 B．16 C．12 D．88．以三角形的一条中位线和第三边上的中线为对角线的四边形是( )A．梯形 B．平行四边形C．菱形 D．矩形三、解答题9．(1)如图，BD是△ABC的高，E，F，G分别是BC，AC，AB的中点．求证FG＝DE；(2)如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝7，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，求四边形EFGH的周长．10．(1)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E分别是AB，BC的中点，点F在CA 的延长线上，∠FDA＝∠B，AC＝9，AB＝12，求四边形AEDF的周长；(2)如图，在△ABC 中，AD ，AE 分别为△ABC 的中线和角平分线．过点C 作CH ⊥AE 于点H ，并延长交AB 于点F ，连接DH.求证：DH ＝12BF.B 组(中档题)一、填空题11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AE ，BD 是角平分线，CM ⊥BD 于点M ，CN ⊥AE 于点N.若AC ＝6，BC ＝8，则MN ＝________．12．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD 且AC ＝4，BD ＝8，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则EF ＝________．13．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，且AD ⊥BD ，E 为AC 的中点，AD ＝6 cm ，BD ＝8 cm ，BC ＝16 cm ，则DE 的长为________cm.二、解答题14．如图，在四边形ABCD 中，AB>CD ，E ，F 分别是对角线BD ，AC 的中点． 求证：EF>12(AB －CD)．C组(综合题)15．如图，在△ABC中，D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC.(1)求证：四边形BDEF是平行四边形；(2)线段BF，AB，AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．参考答案一、填空题1．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，△BEO的周长是8，则△BCD的周长为16．2．如图，跷跷板AB的支柱OD经过它的中点O，且垂直于地面BC，垂足为D，OD＝50 cm，当它的一端B着地时，另一端A离地面的高度AC为100_cm．3．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，已知∠ADE＝65°，则∠CFE的度数为65°．4．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFC为直角．若DF＝2 cm，BC＝16 cm，则AC的长为12 cm.二、选择题5．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连接OE.若∠ABC ＝60°，∠BAC＝80°，则∠1的度数为(B)A．50° B．40° C．30°D．20°6．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为E，F是BC的中点．若BD＝10，则EF的长为(C)A．8 B．10 C．5 D．47．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 边的中点，AH ⊥BC 于点H ，FD ＝8，则HE ＝(D)A ．20B ．16C ．12D ．88．以三角形的一条中位线和第三边上的中线为对角线的四边形是(B)A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形 三、解答题9．(1)如图，BD 是△ABC 的高，E ，F ，G 分别是BC ，AC ，AB 的中点．求证FG ＝DE ；证明：∵G ，F 分别是AB ，AC 的中点， ∴FG ＝12BC.∵BD 是△ABC 的高， ∴△BCD 是直角三角形． ∵E 是BC 的中点， ∴DE ＝12BC.∴FG ＝DE.(2)如图，D 是△ABC 内一点，BD ⊥CD ，AD ＝7，BD ＝4，CD ＝3，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BD ，CD ，AC 的中点，求四边形EFGH 的周长．解：∵BD ⊥CD ，BD ＝4，CD ＝3，∴BC ＝BD 2＋CD 2＝42＋32＝5.∵E ，F ，G ，H 分别是AB ，AC ，CD ，BD 的中点，∴EH ＝FG ＝12BC ，EF ＝GH ＝12AD.∴四边形EFGH 的周长＝EH ＋GH ＋FG ＋EF ＝AD ＋BC.又∵AD ＝7，BC ＝5，∴四边形EFGH 的周长＝7＋2＝12.10．(1)如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，D ，E 分别是AB ，BC 的中点，点F 在CA 的延长线上，∠FDA ＝∠B ，AC ＝9，AB ＝12，求四边形AEDF 的周长；解：在Rt △ABC 中， ∵AC ＝9，AB ＝12， ∴BC ＝92＋122＝15. ∵E 是BC 的中点， ∴AE ＝12BC ＝BE ＝7.5.∴∠BAE ＝∠B.∵∠FDA ＝∠B ，∴∠FDA ＝∠BAE. ∴DF ∥AE.∵D ，E 分别是AB ，BC 的中点， ∴DE ∥AC ，DE ＝12AC ＝4.5.∴四边形AEDF 是平行四边形．∴四边形AEDF 的周长＝2×(4.5＋7.5)＝24.(2)如图，在△ABC 中，AD ，AE 分别为△ABC 的中线和角平分线．过点C 作CH ⊥AE 于点H ，并延长交AB 于点F ，连接DH.求证：DH ＝12BF.证明：∵AE 为△ABC 的角平分线，CH ⊥AE ， ∴△ACF 是等腰三角形． ∴AF ＝AC ，HF ＝CH. ∵AD 为△ABC 的中线， ∴DH 是△BCF 的中位线． ∴DH ＝12BF.B 组(中档题)一、填空题11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AE ，BD 是角平分线，CM ⊥BD 于点M ，CN ⊥AE 于点N.若AC ＝6，BC ＝8，则MN ＝2．12．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ⊥BD 且AC ＝4，BD ＝8，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则EF ＝25．13．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，且AD ⊥BD ，E 为AC 的中点，AD ＝6 cm ，BD ＝8 cm ，BC ＝16 cm ，则DE 的长为3cm.二、解答题14．如图，在四边形ABCD 中，AB>CD ，E ，F 分别是对角线BD ，AC 的中点． 求证：EF>12(AB －CD)．证明：作AD 的中点G ，连接EG ，FG.∵E ，F 分别为四边形ABCD 的对角线BD ，AC 的中点， ∴FG ＝12CD ，EG ＝12AB.∴EG －FG ＝12(AB －CD)．在△EFG 中，EG －FG<EF ， ∴EF>12(AB －CD)．C 组(综合题)15．如图，在△ABC 中，D 是边BC 的中点，点E 在△ABC 内，AE 平分∠BAC ，CE ⊥AE ，点F 在边AB 上，EF ∥BC.(1)求证：四边形BDEF 是平行四边形；(2)线段BF ，AB ，AC 的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论．解：(1)证明：延长CE 交AB 于点G. ∵AE ⊥CE ，∴∠AEG ＝∠AEC ＝90°. 在△AGE 和△ACE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠GAE ＝∠CAE ，AE ＝AE ，∠AEG ＝∠AEC ，∴△AGE ≌△ACE(ASA)．∴GE ＝EC. ∵BD ＝CD ，∴DE 为△CGB 的中位线． ∴DE ∥AB.∵EF ∥BC ，∴四边形BDEF 是平行四边形． (2)BF ＝12(AB －AC)．证明如下：∵四边形BDEF 是平行四边形，∴BF ＝DE. ∵D ，E 分别是BC ，GC 的中点， ∴BF ＝DE ＝12BG.∵△AGE ≌△ACE ，∴AG ＝AC. ∴BF ＝12(AB －AG)＝12(AB －AC)．。
6.3三角形的中位线同步练习2020-2021学年北师大版八年级下册数学
6.3三角形的中位线一．选择题1．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝13，点D是AC的中点，过点D 作DE∥BC，交AB于E点，则DE的长为（）A．8B．7C．6D．52．如图，BD、CE是△ABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则PQ：BC等于（）A．1：4B．1：5C．1：6D．1：73．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE＝3cm，则AB的长为（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm4．如图，BD为△ABC的中线，E为BD的中点，连接AE并延长交BC于点F，若BC的长为7，则BF的长为（）A．B．C．D．5．如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的是（）A．DE是△BCD的中线B．BD是△ABC的中线C．AD＝DC，BE＝EC D．DE是△ABC的中线6．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，已知∠A＝65°，则∠DFE＝（）A．60°B．62°C．64°D．65°7．如图，AH是△ABC的高，D，E，F分别是三边中点，则DE与FH的大小关系是（）A．DE＜FH B．DE＞FH C．DE＝FH D．不能确定8．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（）A．2B．3C．4D．59．如图，△ABC的周长为32，点D、E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，则PQ的长为（）A．3B．4C．5D．610．如图，△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG ⊥AD于F，交AB于G，连接EF，则线段EF的长为（）A．1B．C．D．二．填空题11．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，如果BC＝7，那么DE＝．12．如图，已知线段AB，将线段AB沿某个方向平移4个单位得到线段DC，其中点D是A 的对应点，且点D不在直线AB上．连接AC，BD交于点O，若E是CD中点，则OE 的长度值是．13．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，AD的延长线交BC于点E，F是AC中点，连接DF，若AB＝10，BC＝24，则DF的长为．14．如图，△ABC中，若D、E、F分别是AB、AC、CD的中点，连接BF，若四边形BDEF 的面积为6，则△ABC的面积＝．15．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠PEF＝30°，则∠EPF的度数是．三．解答题16．如图，等边△ABC的边长是4，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF ＝BC，连接CD和EF．（1）求证：DE＝CF；（2）求EF的长．17．在△ABC中，E是AC边上一点，线段BE垂直∠BAC的平分线于D点，点M为BC边的中点，连接DM．（1）求证：DM＝CE；（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．18．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：EF＝（AC﹣AB）；（2）如图2，请直接写出线段AB、AC、EF的数量关系．参考答案一．选择题1．解：∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝13，∴BC＝＝12，∵DE∥BC，D是AC的中点，∴DE＝BC＝6，故选：C．2．解：连接DE，连接并延长EP交BC于点F，∵DE是△ABC中位线，∴DE＝BC，AE＝BE，AD＝CD，∴∠EDB＝∠DBF，∵P、Q是BD、CE的中点，∴DP＝BP，∵在△DEP与△BFP中，，∴△DEP≌△BFP（ASA），∴BF＝DE＝BC，P是EF中点，∴FC＝BC，PQ是△EFC中位线，PQ＝FC，∴PQ：BC＝1：4．故选：A．3．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC；又∵点E是BC的中点，∴BE＝CE，∴AB＝2OE＝2×3＝6（cm）故选：B．4．解：取FC的中点H，连接DH，∵CD＝DA，∴DH是△ACF的中位线，∴DH∥AF，∵BE＝ED，∴BF＝FH，∴BF＝FH＝HC＝BC＝，故选：A．5．解：∵D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，∴DE是△BCD的中线；BD是△ABC的中线；AD＝DC，BE＝EC；DE是△BCD的中线，不是△ABC的中线．观察选项，只有选项D符合题意；故选：D．6．解：∵点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，∴DF、EF是△ABC的中位线，∴DF∥AC，EF∥AB，∴四边形ADFE是平行四边形，∴∠DFE＝∠A＝65°，故选：D．7．解：∵D，E分别是BA，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AC，∵AH⊥BC，F为AC的中点，∴FH＝AC，∴DE＝FH，故选：C．8．解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∵BC＝14，∴DE＝BC＝7，∵∠AFB＝90°，AB＝8，∴DF＝AB＝4，∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3，故选：B．9．解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴∠ABQ＝∠EBQ，∵∠ABQ+∠BAQ＝90°，∠EBQ+∠BEQ＝90°，∴∠BAQ＝∠BEQ，∴AB＝BE，同理：CA＝CD，∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线，∵BE+CD＝AB+AC＝32﹣BC＝32﹣12＝20，∴DE＝BE+CD﹣BC＝8，∴PQ＝DE＝4．故选：B．10．解：∵AD是∠BAC平分线，∴∠BAD＝∠CAD，在△AGF和△ACF中，，∴△AGF≌△ACF（ASA）∴AG＝AC＝3，GF＝FC，∴GB＝AB﹣AG＝1，∵CF＝FG，CE＝EB，∴EF是△CGB的中位线，∴EF＝GB＝，故选：C．二．填空题11．解：∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝3.5，故答案为：3.5．12．解：如图，连接AD，BC，根据平移的性质知：AD＝4，AB＝CD且AB∥CD，则四边形ABCD是平行四边形，∴O点是AC的中点，∵E是CD中点，∴OE是△ACD的中位线，∴OE＝AD＝2．故答案是：2．13．解：在△ADB和△EDB中，，∴△ADB≌△EDB（ASA），∴EB＝AB＝10，AD＝DE，∵BC＝24，∴CE＝BC﹣BE＝14，∵AF＝FC，AD＝DE，∴DF＝CE＝7，故答案为：7．14．解：∵点F是CD的中点，∴S△DEF＝S△CEF，设S△DEF＝S△CEF＝x，∵D、E分别是AB、AC的中点，∴S△ADE＝S△CDE＝2x，S△BDC＝S△ADC＝4x，S△BDF＝2x，∴S四边形BDEF＝3x．∵S四边形BDEF＝6，∴3x＝6，∴x＝2，∴S△ABC＝2S△BDC＝8x＝16，故答案为：16．15．解：∵点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，∴PF＝BC，PE＝AD，又AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠PFE＝∠PEF＝30°，∴∠EPF＝120°，故答案为：120°．三．解答题16．（1）证明：∵D，E为AB，AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∵CF＝BC，∴DE＝CF；（2）解：由（1）可知，DE∥BC，DE＝CF，∴四边形DCFE为平行四边形，∴EF＝DC，在等边△ABC中，D为AB中点，∴CD⊥AB，∴CD＝BC•sin60°＝2，∴EF＝2．17．（1）证明：在△ADB和△ADE中，，∴△ADB≌△ADE（ASA）∴AE＝AB，BD＝DE，∵BD＝DE，BM＝MC，∴DM＝CE；（2）解：在Rt△ADB中，AB＝＝10，∴AE＝10，由（1）得，CE＝2DM＝4，∴AC＝CE+AE＝14．18．（1）证明：如图1中，∵AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，∴△ABD是等腰三角形，∴BE＝DE，∵BF＝FC，∴EF＝DC＝＝（AC﹣AB）．（2）结论：EF＝（AB﹣AC），理由：如图2中，延长AC交BE的延长线于P．∵AE⊥BP，∴∠AEP＝∠AEB＝90°，∴∠BAE+∠ABE＝90°，∠P AE+∠APE＝90°，∵∠BAE＝∠P AE，∴∠ABE＝∠APE，∴AB＝AP，∵AE⊥BP，∴E为BP的中点，∴BE＝PE，∵点F为BC的中点，∴BF＝FC，∴EF＝PC＝（AP﹣AC）＝（AB﹣AC）．。
人教版八年级下册数学期末考前复习微专题(三角形的中位线)
人教版八年级下册数学期末考前复习高频考点专题过关微专题（三角形的中位线）知识储备：1.定义：三角形两边中点的连线叫中位线。
2.性质: 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
专题过关练习 一．选择题。
1. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，点F 是线段DE 上的一点连接AF ，BF ，∠AFB =90°，且AB=8，BC= 14，则EF 的长是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．52. ABC ∆中，点,D E 分别是ABC ∆的边AB ，AC 的中点，连接DE ，若68C ∠=︒，则AED =∠（ ） A ．22︒B ．68︒C ．96︒D ．112︒3. 如图，在△ABC 中，∠A=90°，D 是AB 的中点，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，作BC 的垂线交BC 于点F ，若AB=CE ，且△DFE 的面积为1，则BC 的长为（ ）A ．B ．5C ．D ．104. 如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，若5EF =，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．20B ．30C ．40D ．505. 如图，点E 是ABCD 的边AD 上的一点，且12DE AE =，连接BE 并延长交CD 的延长线于点F ，若3,4DE DF ==，则ABCD 的周长为（ ）A ．21B ．28C ．34D ．426. 如图，在▱ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8．E 是边BC 的中点，F 是▱ABCD 内一点，且∠BFC ＝90°．连接AF 并延长，交CD 于点G ．若EF ∥AB ，则DG 的长为（ ）A ．52B ．32C ．3D ．2二．填空题。
7. 一个周长为16cm 的三角形，由它的三条中位线构成的三角形的周长为_________cm ．8. 如图，在ABC 中，45,B AB ∠=︒=，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，连接DE ，在直线DE 和直线BC 上分别取点F 、G ，连接BF 、DG ．若3BF DG =，且直线BF 与直线DG 互相垂直，则BG 的长为_______．9. 如图，在ABCD 中，点E 是CD 的中点，AE ，BC 的延长线交于点F ．若ECF △的面积为1，则四边形ABCE 的面积为________．10.如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，D 、E 、F 分别为AB 、BC 、CA 的中点，若5BF =，则DE =_______．11.如图，在ABC ∆中，M ，N 分别是AB 和AC 的中点，连接MN ，点E 是CN 的中点，连接ME 并延长，交BC 的延长线于点D ，若4BC =，则CD 的长为_________．12. 如图，P 为平行四边形ABCD 边BC 上一点，E F 、分别为PA PD 、上的点，且3,3,PA PE PD PF ==,,PEF PDC PAB 的面积分别记为12,S S S 、．若2,S =则12S S +=____．三．解答题。
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6.3三角形的中位线
班级：二（ ）学号：（ ）姓名：（ ）
一、课前
1．44x y -因式分解正确的是（ ）
A. 4()x y -
B. 2222()()x y x y +-
C. 222()x y -
D. 22()()()x y x y x y ++-
2．下列方程中，不是分式方程的是（ ） A.
203x += B.11x
= C.2211x x += D.11011x x -=+- 3．关于x 的不等式ax b >的解集是b x a <，则（ ） A. a >0 B. a <0 C. a ≤0 D. a ≥0
4．已知：在四边形ABCD 中，AB=CD,则下列条件不能判定．．．．
四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）
A. AB//CD
B.AD=BC
C.∠A+∠D=180˚
D.AD//BC
5．在下列给出的条件中，不能判．．．定．
四边形ABCD 为平行四边形的是（ ） A ．AB=BC ，CD=DA B ．AB ∥CD ，AD ∥BC
C ．AB ∥C
D ，∠DAC=∠BCA D ．OA=OB ，OC=OD 二、课堂
（一）三角形的中位线
1、已知：如图，△ABC 中，取AB 、AC 的中点D 、E 并连接DE 。
则线段DE 就是△ABC 的一条中位线。
（1）连接三角形_____________的线段叫做三角形的中位线。
（2）一个三角形有 条中位线。
2．证明：三角形的中位线平行于第三边，并且第于第三边的一半。
已知：
求证：
证明：
D
A C
B 2第1，图
三角形的中位线定理： 。
∵DE是△ABC的中位线（或AD=BD ，AE=CE ）（已知）
∴ ，
(三角形的中位线平行于第三边，并且第于第三边的一半)
3．巩固练习
1.你能将任意一个△ABC 分成四个全等的三角形吗？
说说你的做法和理由。
2.已知:在△ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 的中点．
求证：四边形AFDE 是平行四边行．
B C
A
（二）中点四边形
1、任意一个四边形，将其四边的中点依次连接起来，得到一个新的四边形，这个新四
边形叫做“中点四边形
．．．．．”。
2、求证：任意四边形的中点四边形是平行四边形。
已知：如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
证明：连接AC.
3．巩固练习
如图，在四边形ABCD中， E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点。
请判断四边形EGFH的形状，并说明理由。
三、课外
1．如图，A、B两地被池塘隔开，在没有任何测量工具
的前提下，小明通过下列的方法估出了A、B间的距
离。
先在AB外选一点C，然后步测出AC、BC的中点
M、N，并测出MN的长为30米，由此他就知道了A、B间的距离为。
2．已知三角形的各边分别为8cm，10cm，12cm，以各边中点为顶点的三角形的周长是_______。
3．求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
(要求：根据题意画出图形，写出已知、求证和证明过程)
已知：
求证：
证明：。