2012高考数学知识点综合总结第六章-不等式

高中数学第六章－不等式
考试内容：
不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求：
（1）理解不等式的性质及其证明．
（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用．
（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法．
（5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │
§06. 不 等 式 知识要点
1. 不等式的基本概念
（1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式.
（4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质
（1）a b b a <⇔>（对称性）
（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）
（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）
（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >⇒>>0,.
（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）
（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）
(9)0,0a b a b c d c d
>><<⇒
>（异向不等式相除）
11(10),0a b ab a
b
>>⇒
<
（倒数关系）
（11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)
1,(0>∈>
⇒
>>n Z n b a b a
n
n
且（开方法则）
3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若
（2）)2||2(2,2
2
2
2
ab ab b
a
ab b
a R
b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当
a=b 时取等号）
（3）如果a ,b 都是正数，那么
.2
a b +（当仅当
a=b 时取等号）
极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则：
○
1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
,3
a b c
a b c R +
++∈≥
(4)若、、则
a=b=c 时取等号） 0,2b a ab a
b
>+
≥(5)若则
（当仅当
a=b 时取等号）
2
2
2
2
(6)0||;
||a x a x a x a x a x a x a a x a
>>⇔>⇔<-><⇔<⇔-<<时，或
（7）||||||||||||,b a b a b a R b a +≤±≤-∈则、若 4.几个著名不等式
（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么
2112
a b a b +≤
≤
+（当仅当a=b 时
取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）： 特别地，22
2
(
)2
2
a b a b ab ++≤≤
（当a = b 时，22
2
(
)2
2
a b a b ab ++=
=）
)
,,,(33
2
2
2
2
时取等c b a R c b a c b a c
b a ==∈⎪⎭
⎫
⎝⎛+++≥++
⇒幂平均不等式：2
212
2
22
1)...(1...n n a a a n
a a a +++≥
+++
注：例如：22222()()()ac bd a b c d +≤++. 常用不等式的放缩法：①2
11
11111(2)1
(1)
(1)
1
n n
n n n n
n n n n
-=
=
-
≥++--
②1)n =
=≥
（2）柯西不等式： 时取等号
当且仅当（则
若n
n n
n n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====++
+
+
++
+
≤++++∈∈
3322
11223
22
21
223
22
2
1
2
332211321321)
)(();,,,,,,,,
（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数
若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点121
2,(),x x x x ≠有
12
1212
12()()
()()
()().2
2
2
2
x x f x f x x x f x f x f f ++++≤
≥
或
则称f(x)为凸（或凹）函数.
5.不等式证明的几种常用方法
比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6.不等式的解法
（1）整式不等式的解法（根轴法）.
步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解. 特例① 一元一次不等式ax >b 解的讨论；
②一元二次不等式ax 2+bx +c >0(a ≠0)解的讨论. （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
()()0
()()
0()()0;
0()0()
()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩
（3）无理不等式：转化为有理不等式求解
1
()0()0()()
f x
g x f x g x ⎧≥⎫
⇒⎪⎬>
≥⎨⎭
⎪
>⎩定义域
○2
⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0
)(0)()]
([)(0)(0
)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪
⎨⎧<≥≥⇔<2
)]
([)(0
)(0
)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式
()()
()
()
()
(1)()();(01)()()
(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a
a f x g x a
a
a f x g x a
b a b f x a b
>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>
（5）对数不等式：转化为代数不等式
()0
()0log ()log ()(1)()0;
l og ()log ()(01)()0()()()()a
a a
a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪
⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩
⎩
（6）含绝对值不等式
○
1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○
3应用化归思想等价转化 ⎩⎨
⎧>-<>≤⇔>⎩
⎨⎧<<->⇔<)
()()()(0
)()0)(),((0)()(|)(|)
()()(0
)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为
注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： ①231124
(1)2(1)(1)()2
2327
x x x x x -=
⋅--≤
=
②2
2
2
2
2
32(1)(1)
124(1)()2
23279
x x x y x x y y --=-⇒=
≤
=⇒≤
类似于2
2
sin cos sin (1sin )y x x x x ==-，③111|||||
|()2
x x x x
x x
+
=+≥与
同号，故取等。